2021届高考数学一轮复习 专题08 平面向量 教案
一、平面向量的概念
1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。
2．表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的
方向表示向量的方向.用小写字母a ，b
…或用，，…表示.
注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段.
3．模：向量的长度叫向量的模，记作a
.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0
；零向量的方向不确定. 注意：0和0 是不同，0是一个数字，0
代表一个向量，不要弄混.
5．单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.a
a
a =0
注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。
6．共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 注意：由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量
也称为共线向量平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量b a
,，若存在非零常
数λ使b a
λ=是b a ∥的充要条件.
7．相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 例1下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若||||a b =，则a b =；
③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； ⑤若m n =，n k =，则m k =；
⑥若b c b a
∥∥,，则.c a ∥
正确的是_________ 【答案】④⑤
【解析】①把一个向量平移后向量是不变的，③A,B,C,D 有可能在一条直线上，⑥b
可能是
零向量
二、平面向量的数量积及坐标表
1、向量的夹角：已知两个非零向量,a b ，如果以O 为起点作,OA a OB b ==，那么射线
,OA OB 的夹角θ叫做向量a 与b 的夹角．θ的取值范围是0θπ≤≤
（1） 当0θ=时，表示向量a 与b 方向相同；
（2） 当θπ=时，表示向量a 与b 方向相反；
（3） 当2
π
θ=
时，表示向量a 与b 相互垂直。
【注意：一定牢记夹角的取值范围，特别是0和π的实际意义。】
例题2已知||2,||3,a b ==a 与b 的夹角为
4
π
，当向量a b +与a b λ+夹角为锐角时，求实数λ的取值范围。 【答案】）
，（），（∞+⋃115
12
-
【解析】提示：当两个向量的数量积大于0时，它们的夹角取值范围是[0,90°）；锐角时，数量积大于0且不等于1.
2、 向量的数量积
已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ（0θπ≤≤），则把cos a b θ叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅．即||||cos a b a b θ⋅= （1）两个向量的数量积是一个实数；
（2）2
0a a a ⋅=≥，当且仅当0a a ⋅=时，0a =
（3）已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影．
显然b 在a 方向上的投影等于
||
a b
a ⋅． （4）a
b ⋅的几何意义： a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在向量a 的方向上的投影cos b θ的乘积．
例题3已知向量a 与b 的夹角为θ，且3
sin ,||55
a θ==，则a 在
b 的方向上的投影是 ； 【答案】±4
【解析】提示：投影是数值，可能是正的也可能是负的。
3、向量数量积的运算律 ①交换律成立：a b b a ⋅=⋅
②对实数的结合律成立：
()()()()R ∈⋅=⋅=⋅λλλλ
③分配律成立：()
⋅±⋅=⋅±()
±⋅= 特别注意：
（1）结合律不成立：()()
⋅⋅≠⋅⋅；
（2）消去律不成立⋅=⋅不能得到⋅=
（3）b a ⋅=0不能得到a =0或b =0
④但是乘法公式成立： ()()
2
2-=-=-⋅+；()
2
22
2+⋅±=±
2+⋅±=；等等。
⑤两个向量垂直的充要条件是：0a b ⋅= 4、向量数量积的坐标表示
设1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。
a 与
b 夹角为θ，则
cos θ=
a 与
b 的夹角为锐角等价于12120x x y y +>且1221x y x y ≠
a 与
b 的夹角为钝角等价于12120x x y y +<且1221
x y x y ≠
例题4
（2020·上海高三专题练习）已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、
()cos ,sin C αα，3,
22
ππ
α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. （1）若AC BC =，求角α的值；
（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin21tan αα
α
++的值.
【答案】（1）54π
；（2）95
- 【解析】
