专题08 平面向量(教案)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)

ykiA(x,y,z)O jxz2021届高考数学一轮复习 专题12 向量法解空间立体几何教案一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底 叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。

（3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=（斜二测画法）；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系（5）空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

2021届高考数学一轮复习 专题09 平面上的直线 教案一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2.例题1 （2020·上海市七宝中学高三三模）若直线方程0ax by c的一个法向量为1)-，则此直线的倾斜角为________【答案】3π 【解析】设直线的一个方向向量为(),a x y =由直线方程0ax by c 的一个法向量为1)-，0y -=，令1x =，则y =所以直线的一个方向向量为，k ==，设直线的倾斜角为α， 由tan k α=，所以直线的倾斜角为：3πα=.故答案为：3π二、直线方程的形式及适用条件例题2（2019·上海浦东新区华师大二附中高三一模）若两直线12:2:24l y kx k l y x =++=-+，的交点在第一象限,则正整数k =______.【答案】1 【解析】两直线l 1：y ＝kx +k +2，l 2：y ＝﹣2x +4，则224y kx ky x=++⎧⎨=-+⎩，k≠﹣2，22642kxkkyk-⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又两直线的交点在第一象限，则22642kkkk-⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得﹣23＜k＜2，所以正整数k＝1.故答案为：1．三、解直线方程1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2.求直线方程的方法主要有以下两种：（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；（2）待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．（3）消参：直线的参数方程消去参数t，能求出直线的普通方程，由此能求出直线的斜率，从而能求出直线的倾斜角．例3过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．【答案】x－2y－1＝0【解析】(1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.则所求直线方程为x－2y－1＝0.例4（2017·上海杨浦复旦附中高三其他）直线24x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）的倾角是（ ）A ．1arctan()2- B ．arctan(2)- C ．1arctan2π- D ．arctan 2π-【答案】D 【解析】由直线24x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）消去参数得到直线的普通方程：20x y +-=,则直线的斜率为2k =-.设直线的倾斜角为α，则tan 2k α==- ， 所以直线的倾斜角为arctan 2απ-=故选：D 四、点到直线的距离已知直线l 的方程是0(,ax by c a b ++=不同时为0）和直线外一点00(,)P x y ，求点P 到直线l 的距离。

一、学习目标1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题；2. 能通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系3. 掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用，实现向量与物理之间的融合，会用向量知识解决一些物理问题.二、学习重难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决三、学法指导本节关键是选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决•四、自主预习1、复习：（1）若0为重心,则++= __________（2）水渠横断面是四边形,=,且|=1，则这个四边形为. 类比几何元素之间的关系你会想到向量运算之间都有什么关系？（3）两个人提一个旅行包，夹角越大越费力•为什么？2、预习教材P109—P112。

整理题型五、问题探究：iur uuu urnr问题1:平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型•如下图，AC AB AD，ILLT Ulin ULLTDB AB AD，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？结论：____________________________________BE、BF分另U与AC 问题2：平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点, 交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？结论：问题3:用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的?⑴__________________________________________________⑵__________________________________________________⑶____________________________________________________ 问题4:在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力•你能从数学的角度解释这种现象吗？问题5：如图，一条河的两岸平行，河的宽度d 500m 一艘船从 A 处出发到河对岸.已知船的速度| w|=10km/h ,水流的速度|V 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少（精 确到？六、达标检测 （A 组必做，B 组选做） A 组：1.给出下面四个结论：B.直角三角形C.等腰三角形fff4.在四边形 ABC ［中, AB=- CD AC- BD= 0，则四边形为（）.若线段 uuv AC=AB+BC 则向量 AC uuv uuvAB BC ;若向量 LUIV UUV LUUVAC AB BC ,则线段AC=AB+BC若向量 uuv uuuAB 与BC 共线，则线段 AC=AB+BC; 若向量 uuv uuu ―K —KAB 与BC 反向共线，则 AB BCAB BC .其中正确的结论有 A. 0个 2.河水的流速为2m s ， 一艘小船想以垂直于河岸方向10^S 的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为"s B.2 26C . W63.在ABC 中，若(CA CB)?(CA CB) =0，则ABC 为（）A.正三角形 D.无法确定A.平行四边形 B •矩形 C •等腰梯形 D .菱形5.已知在厶ABC 中, AB= a , AC= b ,且a • b <0,则厶ABC 的形状为（ ）.A.钝角三角形 B •直角三角形 C •锐角三角形 D •等腰直角三角形f f f f f f6•点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足 OA OB= OB- OG OC- OA 则点O 是厶ABC2.已知直线ax + by + c = 0与圆 Ox 2+ y 2= 4相交于A B 两点，且|AB = 2 3，则6人f B=3. 在平面直角坐标系中，正方形 OABC 勺对角线OBf f的两端点分别为 O 0,0），B （1,1），则AB- AC=f f4.已知点A （1,0），直线I : y = 2x - 6，点R 是直线I 上的一点，若RA= 2AP,求点P 的轨迹 方程.C 组（体验咼考）:1.ABC 中，AB 边上的高为CD ,uuu r uuur r r rr uuu若 CB a,CAb,a b 0,|a|1,|b| 2,则 AD ( )1 r 1 r o2 r 2r c 3r 3r 4 r 4r A. — abB. a bC . — a bD .a b 3 33 35 55 5uuu iuu2.在厶 ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3 BC=1Q 则 AB AC = _________3.如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC 2，点E 为BC 的中点，点 F 在边CD 上，若LLLT UUU - UUU UUUABg AF 2，贝y AEg BF 的值是uuv uuv4. 如图4，在平行四边形 ABCD 中 ，API BD,垂足为P, AP 3，则APgAC = _.— 七、知识梳理八、问题备忘: 九、巩固作业 教材 120 页 4、 6、 7A.三个内角的角平分线的交点 B •三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点 D•三条高的交点7.已知 OR OP 2 OP 30, OR OP 2OP 3 1，则OR 、OP 2、OF 3两两夹角是B 组：1.已知 ABC 中，a 2,b 3,C600，求边长c 。

2021届高考数学一轮复习 专题08 平面向量一、填空题1．（2020·上海市七宝中学高三其他）已知向量()1,2AB =，()4,2AC =-，则ABC 的面积为_____________ . 【答案】5 【解析】因为5,25AB AC ==，又因为0AB AC ⋅=，所以90BAC ∠=︒， 所以152552ABCS=⨯⨯=． 故答案为：5．2．（2020·上海高三专题练习）已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b +=__________．【答案】13. 【解析】222|3|6916cos60913,313a b a a b b a b +=+⋅+=+⨯+=∴+=.3．（2020·上海高三专题练习）如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是______________.【答案】22 【解析】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅- 2231162AD AB AB AD =--⋅311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =-⨯-⋅=-⋅=∴⋅=4．（2020·上海高三专题练习）设O 点在ABC ∆内部，且有，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为.【答案】3 【解析】分别取AC 、BC 的中点D 、E,230OA OB OC ++=, 2()OA OC OB OC ∴+=-+,即24OD OE =-,O ∴是DE 的一个三等分点, 3ABCAOCS S ∆∴=, 故答案为:3.5．（2020·上海浦东新高三二模）如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+，若ABC 的面积为332，则AP 的最小值为__________.2 【解析】设,AB AC m n ==ABC 331sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠13332mn ==6mn ∴=D 为AB 中点，2AB AD ∴=12又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t = 1133AP AC AB ∴=+ 则()2222911112=3399APAC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠ 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+m AP ∴==当且仅当m n ==时取得最小值.6．（2020·上海高三其他）已知a 、b 、2c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则4232ac a b c +++-的最小值是________【答案】【解析】令2c e =，设(1,0)a =，(0,1)b =，e 对应的点C 在单位圆上， 所以问题转化为求|2||64|a e a b e +++-的最小值.因为2222(2)(2)330a e a e e a +-+=-=，所以|2||2|a e a e +=+， 所以|64|(|22)|a e a b e x ++-=++ 表示C 点到点(2,0)-和(6,4)的距离之和， 过点(2,0)-和(6,4)的直线为220x y ，原点到直线220x y 1=<，所以与单位圆相交， 所以|2||64|a e ab e +++-的最小值为：点(2,0)-和(6,4)之间的距离，即故答案为：7．（2020·上海长宁高三三模）已知点P 为不等式020y x y -≥+-≤⎨所表示的可行域内任意一点，点(1,3)A -，O 为坐标原点，则||OA OP OP ⋅的最大值为________【答案】1 【解析】作出不等式所表示的可行域，如下图阴影部分所示：则由31302033x x y x y y ⎧⎧=-=⎪⎪⇒⎨⎨+-=⎪=⎪⎩⎩31,33)C ，因为||OP OP 表示与OP 平行的单位向量，所以当OP 与OA 夹角最小时，||OA OP OP ⋅的值最大.结合图象可知，当点P 在线段OC 上时，OP 与OA 的夹角最小， 此时222313332(31)1||||(31)(33)4(31)OA OP OA OC OP OC ⋅⋅-++--====-+--,即||OA OP OP ⋅的最大值为1.故答案为：1.8．（2020·上海静安高三二模）已知(,)M x y 为由不等式组02{22x y x ≤≤≤≤，所确定的平面区域上的动点，若点)2,1A ，则z OM OA =⋅的最大值为 ．【答案】4 【解析】cos 3cos OM OA OM OA MOA OM MOA ⋅=∠=∠,其几何意义为向量OM 在OA 上的投影，当动点M 坐标为()2,2，所以()()2,12,24OM OA ⋅=⋅=，所以答案为：4．9．（2020·上海嘉定高三二模）设P 是双曲线2218y x -=的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆22(3)1x y -+=相交于A B 、两点，则PA PB ⋅的最小值是_________． 【答案】3. 【解析】设圆心为(3,0)C ，并且直线过(3,0)C ，则()()C CA P PC CB +⋅+22PC CA =-又21CA =，2PC =2PC ，又min 2PC =,则PA PB ⋅21PC =-22213≥-=．故答案为：3 【点睛】本题是直线参数方程、直线与圆位置关系、向量、圆锥曲线的综合问题，分析出直线过圆心，向量式转化化简是突破点，难点.10．（2019·上海高三一模）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，23CB CD ==.若点M 为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为_______.【答案】214以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴， 过点D 作DP x ⊥轴，过点D 作DQ y ⊥轴，∵AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，23CB CD ==，∴()00B ，，()20A ，，()0,23C ，()3,3D ， 设()0,M a ，则()2,AM a =-，()3,3DM a =--， 故()232121 6344AM DM a a a ⎛⎫=+-=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⋅，故答案为214． 11．（2016·浦东新上海师大附中高三其他）在ABC ∆中，已知,,a b c 分别为,,A B C ，B ∠，C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积．若向量222(4) (1)p a b c q S =+-=，，，满足//p q ，则C = 【答案】【解析】 试题分析：()2224,p a b c =+-，()1,q S =，且有//p q ，故有2224S a b c =+-，而in 12s S ab C =，故有2222sin ab C a b c =+-，222sin cos 2a b c C C ab+-∴==，tan 1C ∴=，由于0C π<<，45C ∴∠=.12．（2020·上海闵行高三一模）若O 是正六边形123456A A A A A A 的中心，{}1,2,3,4,5,6,,,i Q OA i a b c Q ==∈，且,,a b c 互不相同，要使得()0c a b +=，则有序向量组(),,a b c 的个数为 ____________①如左图，这样的a ，b 有6对，且a ，b 可交换，此时c 有2种情况，∴有序向量组(),,a b c 个数为62224⨯⨯=个；②如右图，这样的a ，b 有3对，且a ，b 可交换，此时c 有4种情况，∴有序向量组(),,a b c 个数为32424⨯⨯=个.综上所述，总数为242448+=个. 故答案为：48.二、单选题13．（2018·上海高三期中）已知点A （﹣2，0）、B （3，0），动点P （x ，y ）满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D 【解析】∵动点P （x ，y ）满足2PA PB x ⋅=， ∴（﹣2﹣x ，﹣y ）•（3﹣x ，﹣y ）=x 2， ∴（﹣2﹣x ）（3﹣x ）+y 2=x 2，解得y 2=x+6， ∴点P 的轨迹是抛物线． 故选D ．14．（2018·上海市金山中学高三期中）已知ABC 是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是( )A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B 【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标则(0,3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(,3)PA x y =--，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--， 所以(2,2)PB PC x y +=--，222333()22(3)22()22⋅+=--=+---PA PB PC x y y x y ≥， 当3(0,)2P 时，所求的最小值为32-.故选：B15．（2020·上海松江高三其他）在△ABC 中，已知AB =3，AC =5，△ABC 的外接圆圆心为O ，则AO BC ⋅=（ ） A ．4 B ．8C ．10D ．16【答案】B 【解析】如图，取AC 中点D ，AB 中点E ，并连接OD ，OE ， 则OD AC ⊥，OE AB ⊥，∴212522AO AC AC ⋅==， 21922AO AB AB ⋅==，()259822AO BC AO AC AB AO AC AO AB ∴⋅=⋅-=⋅-⋅=-=. 故选：B16．（2019·上海浦东新高三期末）已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线2334y x =-上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7 B ．[]1,7-C ．1,323⎡⎤+⎣⎦D ．1,323⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】设(),P x y 则由2334xy =-可得()221043x y y +=≥，令2cos ,3sin x y θθ==，[](0,θπ∈，()1,2AP x y ∴=-+，()1,2AB =，124232cos 23sin 34sin 36AP AB x y x y πθθθ⎛⎫∴⋅=-++=++=++=++ ⎪⎝⎭，0θπ≤≤，7666πππθ∴≤+≤， 1sin 126πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 14sin 376πθ⎛⎫∴≤++≤ ⎪⎝⎭，17．（2017·上海高三一模）如图，在圆C 中，C 是圆心，点,A B 在圆上，AB AC ⋅的值（ ）A ．只与圆C 的半径有关B ．只与弦AB 的长度有关C ．既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关D ．是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值【解析】设AB 与AC 的夹角为θ，在ABC 中，12cos ABACθ=.2112cos ||2ABAB AC AB AC AB AC AB ACθ=∴⋅==⋅， AB AC ∴⋅的值只与弦AB 的长度有关，故选：B .18．（2020·上海市建平中学高三月考）在平面直角坐标系中，定义11n n nn n nx x y y x y ++=-⎧⎨=+⎩（*n ∈N ）为点(,)n n n P x y 到点111(,)n n n P x y +++的变换，我们把它称为点变换，已知1(1,0)P ，222(,)P x y ，333(,)Px y ，⋅⋅⋅是经过点变换得到一组无穷点列，设112n n n n n a P P P P +++=⋅，则满足不等式122020n a a a ++⋅⋅⋅+>最小正整数n 的值为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C 【解析】由定义知1110x y =⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，330,2x y =⎧⎨=⎩，即23(1,1),(0,2)P P ．11223(0,1)(1,1)1a PP P P =⋅=⋅-=， 观察可得，112,n n n n n a P P P P +++=⋅112121(,)(,)n n n n n n n n x x y y x x y y ++++++=--⋅-- 11(,)(,)n n n n y x y x ++=-⋅-2211()()n n n n n n n n n n n n y y x x y x y x x y x y ++=+=++-=+， 222222111()()2()n n n n n n n n n a x y x y x y x y +++=+=-++=+2n a =， ∴数列{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1．∴12n na ．2112122221n n n a a a -+++=++++=-，由212020n ->，解得11n ≥．即n的最小值为11. 故答案为：C三、解答题()cos ,sin C αα，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin21tan ααα++的值.【答案】（1）54π；（2）95- 【解析】（1）∵AC BC =，化简得tan 1α=，∵3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴54πα=． （2）∵ 1AC BC ⋅=-，∴()()cos 3,sin cos ,sin 31αααα-⋅-=-， ∴2sin cos 3αα+=，∴52sin cos 9αα=-， ∴()22sin cos sin cos 2sin sin 252sin cos 1tan sin cos 9ααααααααααα++==-++＝．20．（2020·上海高三专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2(,m =，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．（1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 【答案】（1）tan 1x =（2）512π． 【解析】 （1）∵m n ⊥， ∴0m n ⋅=，故cos 022x x -=，∴tan 1x =．（2）∵m 与n 的夹角为3π， ∴22sin cos 122cos ,112x xm n m n m n -⋅<>===⨯||||，故1sin()42x π-=， 又(0,)2x π∈，∴(,)444x πππ-∈-， 46x ππ∴-=，即512x π=． 故x 的值为512π．21．（2019·浦东新上海市浦东复旦附中分校高三二模）已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(,3)12π和点2(,2)3π-. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.【答案】（I ）3,1m n ==.（II ）函数()y g x =的单调递增区间为[,],2k k k Z πππ-∈.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点(,3)12π和点2(,2)3π-代入就可得到关于,m n 的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法得到()y g x =的解析式，利用最高点到点(0,3)的距离的最小值为1求得ϕ角，得()2cos2g x x =，求减区间需令[]22,2x k k πππ∈+解x 的范围试题解析：（1）由题意知．()y f x =的过图象过点(3)12π和2(,2)3π-，所以3sin cos,66{442sin cos,33m nm nππππ=+-=+即133,22{312,22m nm n=+-=--解得3,{1.mn==（2）由（1）知．由题意知()()2sin(22)6g x f x xπϕϕ=+=++．设()y g x=的图象上符合题意的最高点为(,2)x，由题意知211x+=，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．将其代入()y g x=得sin(2)16πϕ+=，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此()2sin(2)2cos22g x x xπ=+=．由222,k x k kπππ-+≤≤∈Z得,2k x k kπππ-+≤≤∈Z，所以函数()y f x=的单调递增区间为[,],2k k k Zπππ-+∈22．（2016·上海高三一模）已知O为坐标原点，向量()3cos,3sinOA x x=，()3cos,sinOB x x=，()3,0OC=，0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求证：()OA OB OC-⊥；（2）若ABC∆是等腰三角形，求x的值．【答案】（1）见解析；（2）6xπ=【解析】（1）∵()0,2sinOA OB x-=，∴()032sin00OA OB OC x-⋅=⨯=，∴()OA OB OC-⊥．（2）若ABC∆是等腰三角形，则AB BC=，2sin AB x = ，BC =∴()(2222sin 3cos sin x x x =-+，整理得：22cos0x x =，解得cos 0x=，或cos x =，∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos x =，6x π=23．（2020·上海杨浦高三二模）已知双曲线222:1(0)y H x b b-=>，经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M N 、两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值； （2）若b =M N 、的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒.（3）设直线l 与y 轴交于点,,E EM MD EN ND λμ==，求证：λμ+为定值. 【答案】（1）b =2）证明见解析；（3）证明见解析； 【解析】（1）:2l x =，2241y b-=，y =，∴),(2,),6M N MN b ==⇒=（2）22:12y H x -=，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线斜率存在，设方程为(2)y k x =-，并与H 联立得()222224420k x k x k -+--=，由124x x +=-得224412k k k-=-⇒=±-，此时126x x ⋅=-. ()()()12121212121222224OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++ 122(4)40=--⨯-+=.（3）有题意可知直线l 斜率必存在，设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -.由,EM MD EN ND λμ==得()()()()11112222,22,,22,x y k x y x y k x y λλ⎧+=--⎪⎨+=--⎪⎩，所以121x λλ=+，121k y λ-=+，又由于点M 在双曲线H 上，故22221122221111k y x b b λλλ-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-=⇒-= ⎪+⎝⎭化简得222223240b b k b λλ---=，同理222223240bb k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.则222233b b λμ+==为定值.24．（2020·上海闵行高三二模）在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值; （2）若3b =，且32PD PC =，求点Q 的横坐标； （3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2π（2）23Q x =；（3）(0,3)P 【解析】解：（1）由椭圆Γ的方程知，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （0，1）， 则∠OAF 2＝45°， ∴∠F 1AF 2＝90°；（2）若b ＝3，设C 、D 的两点坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， ∵32PD PC =， ∴()()22113,3,32x y x y -=-，即2121333,222x x y y ==-，而C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均在2212x y +=上，代入得()2211221122991242x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得179y =， ∴213y =-，分别代入Γ解得，1284,93x x ==， ∴直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1， 联立211y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得23x =，∴Q 点的横坐标为23； （3）假设存在这样的点P ，设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1）， 点C ，D 的坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），联立2222y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，得（2k 2+1）x 2+4kbx +2b 2﹣2＝0， 由△＝16k 2b 2﹣8（2k 2+1）（b 2﹣1）＞0，得2212b k ->，由12221224212221kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()2121212b kx x x x b -=+， 直线BC 的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+， 而x 1y 2＝kx 1x 2+bx 1，x 2y 1＝kx 1x 2+bx 2，联立11221111y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，得()()()()()()()()12212112122121121221122x y x y x x kx x b x x x x y x y x y x x b x x x x ++-+++-==-++-++ ＝()()()()122122112113x x b x x b x x b x x b ++-==-++， 则b ＝3＞1，因此，存在点P （0，3），使得点Q 的纵坐标恒为13.。

平面向量及其加减运算教案【学习目标】1. 了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义.2. 理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义.3. 理解两个向量共线的含义.【要点梳理】要点一、平面向量1. 有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.要点诠释：uuur uuur（1）“有向线段AB”符号标记为AB ，且AB 表示点B 相对于点A的位置差别.（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面.2. 平面向量的定义及表示（1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量. 其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.要点诠释：①向量的两要素：向量的大小、向量的方向.②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.③向量与有向线段的区别：（a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；（b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.（2）向量的表示方法:rrr ①小写英文字母表示法: 如a,b,c,L 等.uuur uuur②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如AB,CD 等.（3）向量的分类：固定向量：有大小、方向、作用点的向量；自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.要点诠释：我们学习的主要是自由向量.3. 特殊的向量零向量: 长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1 个单位的向量. 相等向量: 长度相等且方向相同的向量.互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量.平行向量: 方向相同或相反的非零向量，叫平行向量（平行向量又称为共线向量）.规定: 0 与任一向量共线.要点诠释：（1）零向量的方向是任意的，注意0r与0 的含义与书写的不同.（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（3）零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.要点二、平面向量的加法运算1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.2. 运算法则：（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量. 这样的规定叫做向量的加法的三角形法则. 如图：Ａuuur uuur uuur ＢAB BC AC（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.（3）平行四边形法则：如果a r、r b 是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与a r、b r相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就rr是a 、b 和的向量. 如图：Ａuuur uuur uuur ＢABAD AC要点诠释：r r r r r1. 两个向量的和是一个向量，规定a 0 0 a a .2. 可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.3. “向量平移” （自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.4. |a r | |b r | |a r b r | |a r | |b r |.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.3. 运算律：1）交换律： a b b a ； 要点三、向量的减法运算1. 定义： 已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法 .2. 运算法则：在平面内任取一点， 以这点为公共起点作出这两个向量， 那么它们的差向量是以减向量的 终点为起点、 被减向量的终点为终点的向量， 这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法 的三角形的法则 . 要点诠释：用加法法则来解决减法问题2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定a a 0.uuur3）与 AB 长度相等、方向相反的向量，叫做【典型例题】 类型一、向量的基本概念件；r r r r r r (3) 若 a b,b c ，则 a cr r r r r r(4) 两向量 a, b 相等的充要条件是 a b 且 a//b .【思路点拨】 对于有关向量基本概念的考查， 可以从概念的特征入手， 也可以从反面进行考 虑，要注意这两方面的结合 . 【答案与解析】解： （1） 不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由a rb r 推不出a b .uuur uuur uuurDC 且 AB// DC .又 A 、B 、C 、D 是不共线的四点，四边uuur uuur uuur uuur 形 ABCD 是平行四边形，则 AB//DC,AB DC 且 AB 与DC 方向相同 .因此AB DC .rr ab，则 a b ； 2）结合律： (a b) ca (b c)1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：uuur uuur AB ADuuur uuur uuur AB DA DB ，从而uuur uuurAB 的相反向量，即 ABuuur BA .(2) 若 A 、 B 、C 、D 是不共线的四点，则uuu r ABuD u C ur 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条uuur uuur (2) 正确， Q AB uuurDC,∴ AB. 判断下列各命题是否正确：(1) 若（3） 正确， Q a b,∴a, b 的长度相等且方向相同；又 Q b c,∴b, c 的长度相等且方向相同，r r r r ∴a , c 的长度相等且方向相同 .故 a c .的充要条件 .【总结升华】 我们应该清醒的认识到， 两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相 同，向量相等是可传递的 . 复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实 数运算区别开来 . 举一反三：【变式】下列说法正确的个数是 （ ）uuur uuur①向量 AB // DC ，则直线 AB// 直线 CD;②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等； uuur uuur ③向量 AB 既是有向线段 AB ；uuur uuur④在平行四边形 ABCD 中，一定有 AB DC .A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个 【答案】 C类型二、向量的加法运算2. （2016?闵行区一模）如图，已知四边形 ABCD ，点 P 、Q 、R 分别是对角线 AC 、BD 和边 AB 的中点，设 = ， = ．1）试用 ， 的线性组合表示向量 ；（需写出必要的说理过程） 2）画出向量 分别在 ， 方向上的分向量．思路点拨】 （1）由点 P 、Q 、R 分别是对角线 AC 、BD 和边 AB 的中点，直接利用三角得答案；（4） 不正确，当 a r //b r 但方向相反时，即使 ab r ，也不能得到 a rrbrrr 不是 a b形中位线的性质，即可求得 ==﹣ ， ， = = ，再利用三角形法则求解即可求2）利用平行线四边形法则求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵点P、Q、R 分别是对角线AC、BD 和边AB 的中点，∴ = = ﹣，= = ，∴ = + = ﹣+ ；2）如图：与即为所求．【总结升华】此题考查了平行向量的加法运算．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．举一反三：【变式】求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形uuur uuur uuur uuur 已知：四边形ABCD中，AO OC，DO OB 求证：ABCD 是平行四边形.答案】证明：由向量的加法法则：Ｃuuur uuur uuur uuur uuur uuurAB AO OB ，DC DO OCuuur uuur uuur uuur uuur uuurAO OC ，DO OB ，∴ AB DC ，即线段AB与DC 平行且相等，∴ ABCD是平行四边形类型三、向量的减法运算3. 三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的【答案与解析】已知：如图，ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点.求证：DE //BC且DEB1证明：∵ D ， E 分别是边 AB ，AC 的中点，∴ AD AB ， AE2∴ DE AE AD 1(AC AB)1BC ，221∵D ， B 不共点，∴ DE//BC 且DE 1BC .2【总结升华】 两个向量相减， 则表示两个向量起点的字母必须相同； 向量的终点 .类型四、向量加减综合运算b ，∠ DAB ＝ 120°，且a思路点拨】 利用三角形法则和数乘运算， br3 ，求 a和ab r.量表示其他向量，本题的基底就是 a, 用向量法讨论几何问题， uuur uuur 由它可以“生”成AC,DB,L L .关键是选取适当的基向 答案与解析】 解：以 AB 、 AD 为邻边作平行四边形 uuur uuur由于 |AD | |AB | 3，故此四边形为菱形 由向量的加减法知 uuur r r uuur r rAC a b ，DB a buuur r r uuur r 故 | AC ||a b |，|DB | |a因为 DAB 120O，所以所以 ADC 是正三角形，则 |AC| 3DAC 60OuuurABCD ，由于菱形对角线互相垂直平分 , 所以 AOD 是直角三角形， 3 3 3uuur uuur o|OD| | AD |sin 60o 3 所以 |a【总结升华】 数乘向量外， 形或三角形中， 选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量， 运用向量加、 减法运算 及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、 平行四边形法则， 运用减法三角形法则， 充分利用三角形的中位线， 相似三角形对应边成比 例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解 .用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功， 还应充分利用平面几何的一些定理， 因此在求向量时要尽可能转化到平行四边 选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量， 除利用向量加、 减法、 2 AC .差向量的终点指向被减举一反三：变式1】如图，已知点D,E,F分别是ABC三边AB, BC ,CA的中点，uuur uuur uuur r 求证：EA FB DC 0.证明：连结DE,EF,FD.因为D,E,F分别是ABC三边的中点，所以四边形ADEF 为平行四边形.uuur uuur uuur 由向量加法的平行四边形法则，得ED EF EA(1) ，uuur uuur uuur同理在平行四边形BEFD中，FD FE FB(2) ，uuur uuur uuur在平行四边形CFDE 在中，DF DE DC (3)将(1)(2)(3) 相加，得uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuurEA FB DC ED EF FD FE DE DF变式2】（2015?上海模拟）如图，已知向量、、，那么下列结论正确的是（【答案】D.解：A 、+ =﹣，故本选项错误；B、+ =﹣，故本选项错误；D 、+ = ﹣，故本选项正确．故选D ．uu u u u u u u uu uuruuuuuuurA．D．C、+ = ﹣，故本选项错误；答案】。

章节压轴题解题思路分析模块一：平面向量的线性运算1．（2020·杭州高级中学钱塘学校高二期中）已知1e ，2e 是平面内两个夹角为23π的单位向量，若()()12222a te t e t R =+-∈，则12222e e a a e +-+-的最小值为（ ）A B C ．2D 【答案】B【分析】不妨用坐标表示向量1e ，2e ，然后作12,OA e OB e ==，OP a =，由共线定理得P 点位置，而1212222222e e e e a a e a a e ⎛⎫++-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，括号内利用向量模的几何意义求最小值． 【详解】因为1e ，2e 是平面内两个夹角为23π的单位向量，所以不妨设1(1,0)e =，2221(cos,sin )(332e ππ==-， 12,OA e OB e ==，作平行四边形OACB 即为菱形，过C 作AB 的平行线交x 轴于E ，交OB 的延长线于F ，设12(1)OQ te t e =+-，则点Q 在直线AB 上，OQ 的延长线交EF 于P ，则22OP OQ a ==，M 是菱形OACB 对角线的交点，则OM AB ⊥，OM EF ⊥，122e e OM +=，2PB a e =-，122e e PM a +=-， 设3OD OM =，则D 是M 关于直线EF 的对称点，1211()24OM e e ⎛=+= ⎝⎭，则34OD ⎛= ⎝⎭，即3(4D ⎛ ⎝⎭，又12⎛- ⎝⎭B ，所以BD ==PB PM PB PD BD +=+≥=,,B P D 共线时等号成立，所以 PB PM +，12222e e a a e +-+-12222()2e e a e a PB PM ⎡⎤+=-+-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求向量模的最小值问题，解题关键是平面直角坐标系中作出向量1e ，2e ，然后由向量的线性运算得出各点位置，然后利用向量模的几何意义，结合对称求得最小值．模块二：向量的数量积1．（2021·天津和平区·高三一模）如图，四边形ABCD 中，//AB CD ，5AB =，2CD =，BC =，0AC BD ⋅=，M ，N 分别是线段AB ，AD 上的点，且2AM AN →→+=，则AM AN ⋅的最大值为___________.【答案】12【分析】根据平面几何及梯形的性质，可求出cos CBA ∠，求出21||||2AN AM AN AN ⋅=-，利用二次函数求最值. 【详解】设,CBA θ∠= 则,BCD πθ=-∠则BD BC CD =+， AC BC BA =-，//,2,5,AB CD CD AB ==2,5CD BA ∴=2,5BD BC BA ∴=+,BD AC ⊥2()()05BD AC BC BA BC BA ∴⋅=+⋅-=，即22135cos 5cos 25055θθ⨯+⨯-⨯=得3θ=，即cos θ=过C 作,CE AB ⊥过D 作,DF AB ⊥则//,=CE DF CE DF ， 则cos 1BE BC θ=⋅=sin CE BC θ=⋅==则DF CE ==//,=CE DF CE DF ， //,=2,EF EF CD CD ∴=2AB B F F E A E =--=∴则tan 2DAF ∠== ,3DAB DAF π∴∠=∠=4,cos3F AD A π=∴=由||||2,AM AN += 得||2||,AM AN =-1||||cos (2||)||2AM AN AM AN DAB AN AN ∴⋅⋅∠=-⋅=⋅⋅21||||2AN AN =-，||(0,2)AN ∈，函数 212y x x =-+开口向下，对称轴1x =， ∴当||1AN =时， ()2max1111.22AM AN⋅=-⨯=故答案为：12【点睛】关键点点睛：利用平面几何性质，求出,AM AN <>，利用向量积的定义，求出21||||2AN AM AN AN ⋅=-，利用二次函数求最值是解题关键.2．（2021·浙江高一期末）已知123,,e e e 是平面向量，且12,e e 是互相垂直的单位向量，若对任意R λ∈均有31e e λ+的最小值为32e e -，则123323e e e e e +-+-的最小值为___________． 【答案】3【分析】根据31e e λ+的最小值为32e e -，代入得关于λ的一元二次不等式，利用等号可以取到判断出()()2132344210∆=--=e e e e ，然后设1e 为x 轴的方向向量，2e 为y 轴方向向量，312=+e xe ye ，则得关于点(,)x y 的轨迹方程，利用抛物线的定义将向量模长转化为距离，计算最小值.【详解】2222222313313132223++22λλλ+=≥-=-+e e e e e e e e e e e e ，即213232210λλ++-≥e e e e ，所以()()2132344210∆=--=e e e e ，即()21323210-+=e e e e ，设1e 为x 轴的方向向量，2e 为y 轴方向向量，所以312=+e xe ye ，对应的坐标为(,)x y ，所以2210x y -+=，得212()2=-x y ；123323(1,3)(,)(,)(0,1)+-+-=-+-e e e e e x y x y ，因为212()2=-x y 为抛物线22x y =向上平移12个单位，所以焦点坐标为(0,1)，准线为0y =，所以点(,)x y 到(0,1)的距离与到0y =的距离相等，()(1,3)(,)(,)(0,1)=1,333-+---+≥-+=x y x y x y y y y ，当且仅当1x y ==时，取最小值. 故答案为：3【点睛】关于向量模长的问题，一般没有坐标时，利用平方公式展开计算；有坐标时，代入坐标公式求解，涉及模长的最值问题，一般需要转化为点与点之间的距离，或者点到线的距离等问题，利用几何方法求解.3．（2021·天津南开区·高三一模）在ABC 中，60A ∠=︒，2AC =，3BA BC BA ⋅=，则AB =______；若AE EC λ=，CF FB λ=，0λ>，则AE BF ⋅的最大值为______． 【答案】1【分析】①利用向量的数量的的定义及向量的投影，即可求出AB ；②将AE 和BF 分别用AB 和AC 表示代入AE BF ⋅，利用基本不等式求解即可. 【详解】①如图，作CD AB ⊥，垂足为D ，因为3BA BC BA ⋅=，所以||||cos 3||BA BC ABC BA ∠=，所以||cos BC ABC ∠=BD ， 又60A ∠=，2AC =，所以||cos 2cos601AC A ∠==，即1AD =, 所以1AB =②因为AE EC λ=，CF FB λ=，所以1λAE AC λ=+,11BF BC λ=+, 所以2222()()(1)(1)(1)AC BC AE B AC AC AB AC C AB F A ⋅⋅=⋅++=-=-⋅+λλλλλλ22(||||||cos )(1)AC ACAB A =-∠+λλ2(321=⋅-++λλλ33142-=≤++λλ，当且仅当1λλ=，即1λ=时，等号成立.所以AE BF ⋅.故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活应用向量的投影及用基底法表示向量. 模块三：向量的坐标表示1．（2021·全国高三其他模拟）已知向量a ，b 满足3a b +=，0a b ⋅=，若(1)()c a b λλλ=+-∈R ，且c a c b ⋅=⋅，则c 的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．12D ．32【答案】D【分析】令a AM =，b MB AN ==，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到AC MN ⊥，然后数形结合求c 的最大值.【详解】如图:令a AM =，b MB AN ==，则a b AM MB AB +=+=，故3AB =. 因为0a b ⋅=，所以AM MB ⊥，记AB 的中点为O ，所以点M 在以AB 为直径的圆O 上. 设c AC =，连接MN ，因为(1)c a b λλ=+-，所以点C 在直线MN 上. 因为c a c b ⋅=⋅，所以)0(c a b ⋅-=，即0AC NM ⋅=，所以AC MN ⊥.结合图形可知，当NM AB ⊥时，||AC 即c 取得最大值，且max 3||2c AO ==.故选：D【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.模块四：向量的应用1．（2021·江苏南通市·启东中学高一月考）已知函数21())sin()cos 22f x x x x ππ=-++-（1）求函数()f x 的单调递增区间（2）若锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且1(),42f A b ==，求ABC 面积S 的取值范围【答案】（1）()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）( 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简解析式得到()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果；（2）由（1）先求出π3A =，由正弦定理得：sin 2sin ==+b C c B ，再根据锐角三角形求出B 的取值范围，进而求出c 的取值范围，从而得到面积=ABCS 的取值范围.【详解】（1）()()2211sin cos cos cos 222f x x x x x x x ππ⎛⎫=-++-=+- ⎪⎝⎭1π2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 由()()πππ2ππ2π22π2π22π26233-+≤+≤+∈⇒-≤≤+∈Z Z k x k k k x k k 解得：()ππππ36k x k k -≤≤+∈Z ， 故函数()f x 的单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （2）1()2=f A ，π1sin 262⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭A ，又π02A <<，π5π266∴+=A ，π3A ∴=，又4b =，1sin 2∴==ABCS bc A 在ABC 中，由正弦定理得：sin sin c b C B=，得sin sin b Cc B =14sin 4sin 22sin sin π3⎫⎛⎫+⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭∴====B B B c B B 又ABC 为锐角三角形，且π3A =，故π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62B <<1tan 006228tan ∴>⇒<<⇒<<⇒<<B B ，即28c <<(∴=∈ABCSABC ∴面积S的取值范围是：(【点睛】易错点睛：本题考查利用正弦定理求三角形边长范围的最值，解本题时要注意的事项：求角B 的范围时，是在ABC 为锐角三角形的前提下，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.2．（2021·江苏高一单元测试）已知△AOB中，边OA OB ==，令,,1,OA a OB b a b ==⋅=过AB 边上一点1P (异于端点)引边OB 的垂线11,PQ 垂足为1,Q 再由1Q 引边OA 的垂线11,Q R 垂足为1,R 又由1R 引边AB 的垂线12,R P 垂足为2,P 设111()(01)AP t b a t =-<<. （1）求||AB ；（2）证明：112(1)3BQ t b =--； （3）当12P P 、重合时，求111PQ R 的面积. 【答案】（1（2）证明见解析；（3. 【分析】（1）根据平面向量的模长公式和数量积的运算公式，即可求解；（2）利用余弦定理，求得cos ABO ∠，然后求出1BP ，从而得到11cos BQ BP ABO =∠，即可得到结论；（3）根据向量的夹角公式，求得cos BOA ∠和cos BAO ∠，从而求得11cos QR OQ BOA =∠和21cos AP AR BAO =∠的值，当12,P P 重合时，12t t =，求得114t =，最后根据三角形的面积公式和11111111PQ ROABOR Q R AP BQ P SSSSS=---，即可求解.【详解】（1）在OAB中，因为OA OB =,OA a OB b ==， 可得2,3,1a b a b ==⋅=，则2223AB b a b a a b =-=+-⋅=，所以3AB =. （2）由（1）与已知，可得3,2,3AB OA OB ===，由余弦定理可得2222cos 32OB AB OAABO OB AB+-∠===，又因为1113AP t b a t =-=，则113BP AB AP =-=， 则111cos )3BQ BP ABO t =∠=-，所以112(1)3BQ tb =--. （3）由已知可得cos 2a b BOA a b⋅∠===⨯⋅，因为3OB AB ==cos BAO ∠=，()))11111cos cos 112OR OQ BOA OB BQ BOA t t ⎤=∠=-∠=-=+⎥⎦，因为()211cos cos AP AR BAO OA OR BAO =∠=-∠112)]2)32t t =+=-， 所以1211115(52)18918AP tt t b a==-=-+-， 当12,P P 重合时，12t t =，解得1115918t t =-+，解得114t =， 此时112BQ b =-， 所以11111111244BQ OB OR AP BP R A Q P ========， 可得111111553535,,,OABOR Q R AP BQ P SS S S ====，所以1111111155PQ ROAB OR Q R AP BQ P SSSSS=---=.【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解.3．（2020·湖南长沙市·宁乡一中高一月考）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos a c B b C -=．（1）求B 的大小；（2）如图，AB AC =，在直线AC 的右侧取点D ，使得24AD CD ==．当角D 为何值时，四边形ABCD 面积最大． 【答案】（1）3B π=（2）56D π∠=【分析】（1）（法一）根据正弦定理利用“边化角”的方法将原式化为(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，利用两角和的正弦公式进行化简，结合三角形的性质即可求得B 的大小；（法二）根据余弦定理利用“角化边”的方法将原式化为222222(2)22a c b a b c a c b ac ac+-+--⨯=⨯，化简得出cos B 的值，即可得出B 的大小. （2）根据题意，设D α∠=，根据余弦定理表达出AC ，再根据三角形的面积公式，分别表达出ABC S ∆与ACD S ∆，从而得到四边形ABCD 面积的函数，利用三角函数的性质即可求出面积的最大值. 【详解】（1）（法一）：在ABC ∆中，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -= 2sin cos sin cos sin cos sin()A B B C C B B C ∴=+=+2sin cos sin A B A ∴= sin 0A ≠ 1cos 2B ∴= 0B π<<，故3B π=． （法二）在ABC ∆中，由余弦定理得222222(2)22a c b a b c a c b ac ab+-+--⨯=⨯ 2222221cos =022a c b a c b ac B B ac π+-∴+-=∴=<<,,故3B π=． （2）由（1）知，3B π=且AB AC =，ABC ∆为等边三角形，设D α∠=，则在ABC ∆中，由余弦定理得216416cos 2016cos AC αα=+-=-，211sin ,42sin 4sin 232ABC ACD S AC S πααα∆∆∴=⨯⨯==⨯⨯=∴四边形ABCD 的面积4sin 8sin()3S πααα=+=- 20,333πππαπα<<∴-<-<∴当32ππα-=即56πα=时，max 8S =+所以当56D π∠=时，四边形ABCD 的面积取得最大值8+． 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式以及根据三角函数的性质求最值.4．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）在平面四边形ABCD 中，已知//AD BC ，CBD BDC α∠=∠=，ACD β∠=.（1）若30α=，75β=5=，求,AC CD 的长；（2）若90αβ+>，求证：AB AD <.【答案】（1）AC =CD ；（2）见解析【分析】（1）根据题意，得出45ACB ∠=，ADC 60∠=，再利用正弦定理求得AC =，结合已知条件，即可求出,AC CD 的长；（2）利用余弦定理以及三角形的内角和，得出ACB ACD ∠<∠，通过判断三角形中边角关系，即可得出结论.【详解】（1）由已知得30CBD BDC ∠=∠=，75ACD ∠=，所以45ACB ∠=.因为AD BC ∥，所以30ADB CBD ∠=∠=，45DAC BCA ∠=∠=.所以ADC 60∠=.在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，所以sin 60sin 45AC CD =，所以2AC =.5=，所以AC =CD =.（2）在ACB ∆中，由余弦定理得AB =在ACD ∆中，由余弦定理得AD =因为90αβ+>，1802ACB αβ∠=--，所以()()180218020ACB ACD αββαβ∠-∠=---=-+<，即ACB ACD ∠<∠.又0180ACB <∠<，0180ACD <∠<，所以cos cos ACB ACD ∠>∠，所以AB AD <.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，通过正弦定理和余弦定理、以及三角形边和角的有关性质等，同时考查学生化归和转化思想.。

2021年上海高中数学专项讲义（平面向量）[基础篇]1.理解向量的有关概念：（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意方向；（3）单位向量：给定一个非零向量→a ，与→a 同向且长度为1的向量叫→a 的单位向量,→a 的单位向量是a a→→；（4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，→a 的相反向量是长度相等方向相反的向量a →-.2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如→a ，→b ，→c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i ，→j 为基底，则平面内的任一向量→a 可表示为→→→+=j y i x a ，称(),x y 为向量→a 的坐标，),(y x a =→叫做向量→a 的坐标表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.（提醒：向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标就不相同.）3．实数与向量的积：实数λ与向量→a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）a a λλ=；（2）当0λ>时，a λ 的方向与→a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与→a 的方向相反；当0λ=时，零向量，注意：0a λ≠.提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有→0)；④三点C B A 、、共线⇔AB AC 、共线；4．平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，过O 点作OA a = ，OB b =，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a b →→⊥．（2）两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量cos a b θ→→叫做a 与b的数量积（或内积），记作a b →→⋅，即a b →→⋅＝cos a b θ→→．规定零向量与任一向量的数量积为0．若1122(,),(,)a x y b x y ==，则a b →→⋅＝1212x x y y +．（3）向量的数量积的几何意义：cos b θ→叫做向量b 在a 方向上的投影(θ是向量a 与b的夹角)．a b →→⋅的几何意义是，数量a b →→⋅等于模a →与b →在a →上的投影的积．（4）向量数量积的性质：设a 与b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b的夹角．当→a 与→b 同向时，a b →→⋅＝a b →→；当→a 与→b 反向时，a b →→⋅＝-a b →→,θcos ＝a ba b→→→→⋅;⑸|→→⋅b a |≤a b →→．（5）向量数量积的运算律：⑴a b →→⋅＝a b c →→→⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭；⑵a b λ→→⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＝a b λ→→⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＝a b λ→→⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⑶a b c →→→⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭＝a c b c →→→→⋅+⋅5.平面向量的基本定理：如果→1e 和→2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量→a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使→a =1122e e λλ+ ，1e 、2e称为一组基底.6．向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，除此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b == ，那么向量AC 叫做→a 与→b 的和，即a b AB BC AC +=+=；②向量的减法：用“三角形法则”：设,AB a AC b ==，那么a b AB AC CB -=-=由减向量的终点指向被减向量的终点.容易得出：a b a b a b -≤-≤+．（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：1向量的加减法运算：a b ±=()1212,x x y y ±±；2实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==；3若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；4平面向量数量积：a b →→⋅=1212x x y y +；⑤向量的模：2222||||a a a x y ===+ ；7．向量的运算律：（1）交换律：→→→→+=+a b b a ，→→=a a )()(λμμλ，a b →→⋅=→→⋅a b ；(2)结合律：→→→→→→++=++c b a c b a )()(，)(→→→→→→+-=--c b a c b a ；（3）分配律：→→→+=+a a a μλμλ)(，→→→→+=+b a b a λλλ)(，→→→→→→→⋅+⋅=⋅+c b c a c b a )(.8.向量平行(共线)的充要条件：(1)向量→b 与非零向量a共线的充要条件是b a λ→→=；实数λ是唯一存在的，当→a 与→b 同向时，0λ>；当a 与b异向时，0λ<；(2)若()11,a x y →=,()22,b x y →=，则//a b ⇔ 1212x y y x =⇔22)()(→→→→=⋅b a b a ．提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接.可推广到122311...n n n A A A A A A A A -+++=（据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点）9．向量垂直的充要条件：0a b a b →→⊥⇔⋅=→→+⇔b a =→→-b a 12120x x y y ⇔+=．[技能篇]类型一：向量的坐标表示及其运算【例1】已知12,G G 分别是△ABC 和△ACD 的重心，G 是12G G 的中点，若A,B,C,D 的坐标分别是()0,0【例2】已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及OP =OA +t AB ，求：（1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限?（2）四边形OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．巩固练习：1．已知)2,(x A ，)2,5(-y B ，若(4,6)AB =，则y x ,的值分别为_________．2．已知向量)7,2(x a = ，)4,6(+=x b ，若b a=，则=x _________．3．已知平行四边形ABCD 的顶点)2,1(--A 、)1,3(-B 、)6,5(C ，则顶点D 的坐标为_________．4．若向量)2,3(=a，)1,0(-=b ，则向量a b -2的坐标是_________．5．若)3,2(=a ，)1,4(y b +-= ，且b a//，则y 等于_________．6．若M 为ABC ∆的重心，则下列各向量中与AB共线的是（）A ．AB BC AC ++ B ．AM MB BC ++ C ．AM BM CM ++D ．AM AM AM AC +++7．在矩形ABCD 中，AB = ，1BC = ，则向量()AB AD AC ++的长度等于（）A ．2B ．C ．3D ．48．在ABC ∆中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，已知D 点坐标为)2,1(，E 点坐标为)5,3(，F 点坐标为)7,2(，则点A 坐标为____________．9．已知)2,1(=a ，)1,(x b = ，当b a 2+与b a-2共线时，x 的值为____________．10．当=m ___时，向量)1,2(-=m a 与)6,2(-=m b 共线且方向相同；当=m __时，a 与b共线且方向相反．11．若三点)1,1(A ，)4,2(-B ，)9,(x C 共线，则=x ____________．12．设)2,1(-=a ，)1,1(-=b ，)2,3(-=c，用a 、b 作基底有b q a p c +=，则=p ______，=q ________．13．已知点),(y x M 在向量(1,2)OP =所在的直线上，则y x ,所满足的条件是___________．14.已知12(4,3),(2,6)P P --,(1)若点P 在线段12PP 上,且122PP PP = 则点P 的坐标是;(2)若点P 在线段12PP 的延长线上,且124PP PP = 则点P 的坐标是;(3)若点P 在线段21P P 的延长线上,1245PP PP =则点P 的坐标是;(4)若点P 在线段21P P 的延长线上,11245PP PP =,则点P 的坐标是.15．下列四个命题：①若0a b →→⋅=，则0a →→=或0b →→=；②若e →为单位向量，则a a e →→→=⋅；③3a a a a →→→→⋅⋅=；④若a→与b →共线，b →与c →共线，则a →与c →共线．其中错误命题的序号是___________．16．已知)0,0(O 、)2,1(A 、)5,4(B ，且OP OA tOB =+，则当=t ________时，点P 落在x 轴上．17．已知a →，b →是两个非零向量，则“a →，b →不共线”是“a b a b →→→→+<+”的____________．18．下列四个命题中是真命题的有____________个．①若b a +与b a -是共线向量，则a 与b也是共线向量②若||||||b a b a -=-，则a 与b是共线向量③若||||||b a b a +=-，则a 与b是共线向量④若||||||||b a b a+=-，则b 与任何向量都共线19.在ABC ∆中,设向量,CA a CB b ==，则ABC ∆的面积ABC S ∆=,ABC ∆的周长ABC C ∆=.20.对n 个向量12,,...,n a a a →→→，如果存在不全为零的实数12,n k k k 使得1122...0n n k a k a k a →→→→+++=，则称12,,...,n a a a →→→性相关.若已知()11,1a →=，()23,2a →=-，()33,7a →=-是线性相关的，则123::k k k =___________.21.在四边形ABCD 中，()1,1AB DC == ，BABC BA BC +=ABCD 的面积是___________.类型二：向量的数量积【例1】设O 是直角坐标原点，j i OB j i OA -=+=4,32，在x 轴上求一点P ，使BP AP ⋅最小，并求此时APB ∠的大小.【例2】已知1||,2||==b a ，且b a ,的夹角为4π，又b a OD b a OC -=+-=2,3，求||CD .【例3】已知锐角ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量(2sin m B = 2(2cos1,cos 2)2B n B =- ,且m n ⊥ （1）求B 的大小，（2）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值.巩固练习：1．（1）已知2||=a ，1||=b ，a 与b 的夹角为120，则=⋅b a __________．（2）已知4||=a ，1||=b ，4-=⋅b a ，则向量a 与b的夹角为___________．2．（1）已知4||=a ，a 与b 的夹角为30，则a 在b 方向上的投影为___________．（2）已知3||=a ，5||=b ，13=⋅b a ，则a 在b上方向上的投影为___________．3．已知3||=a，4||=b ，且)()(b k a b k a -⊥+，则k 的值为___________．4．已知5||=a ，a与b的夹角正弦值为53，12=⋅b a，则=||b ___________．5．已知2||=a ，5||=b ，3-=⋅b a，则=+||b a __________．6．已知2||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为45，要使a b -λ与a 垂直，则=λ______．7．在平行四边形ABCD 中，已知4,3AB AD == ，60=∠DAB ，则AB DA ⋅ =_______．8．P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC ∆的____________．9．已知向量)a →=，b →是不平行于x 轴的单位向量，且a b →→⋅=b →=____________．10．与向量71(,),22a = 17(,)22b =- 的夹解相等，且模为1的向量是____________．11．在ABC ∆中，AB a = ，BC b = ，CA c = ，且3a = ，2b = ，4c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅ 的值为___________．12．在ABC ∆中，已知2AB AC ==，且2AB AC ⋅= ，则这个三角形的形状是___．13．下列四个命题：①若0 =-b a ，则b a =；②若0=⋅b a ，则0 =a 或0 =b ；③若R ∈λ，且0=a λ，则0=λ或0 =a ；④对任意两个单位向量a ，b都有1=⋅b a ．其中正确命题的序号是_______________．14.若a b a b →→→→==-,则b →与a b →→+的夹角为____________．15．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是.16．已知ABC ∆满足2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则ABC ∆的形状一定是________.17.在△ABC 中，0120ABC ∠=，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD BC ⋅=________.18.如果c a b a ⋅=⋅，且0≠a ，那么()．A ．cb =B ．cb λ=C ．cb ⊥D ．c b ,在a方向上的投影相等19．若a 、b是非零向量且b a ⊥，则一定有（）A ．||||||b a b a+=+B ．||||||b a b a-=+C ．||||b a b a -=+D ．||||||b a b a+=-20.已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.21．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e|，则（）A ．a ⊥eB ．e ⊥(a －e )C ．a ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )22．已知两个单位向量1e 和2e 互相垂直，R ∈2121,,,μμλλ，则11122122()()e e e e λμλμ+⊥+的充要条件是（）A ．02121=+μμλλB ．02121=-μμλλC ．02211=+μλμλD ．01221=-μλμλ23．在ABC ∆中，有命题①AB AC BC -= ；②0AB BC CA ++=；③若()()0AB AC AB AC +⋅-= ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0AB AC ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④24点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0OA OB OC ++= ；（2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ；（3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA⎛⎫⎛⎫⎪⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=．则点O 依次为ABC ∆的（）A ．内心、外心、重心、垂心B ．重心、外心、内心、垂心C ．重心、垂心、内心、外心D ．外心、内心、垂心、重心类型三：平面向量的分解定理【例1】已知D 是ABC ∆的边BC 上的点，且:1:2BD DC =，,AB a AC b == ，如图1所示．若用a b、表示AD ，则AD =．【例2】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+ ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则=200S __________.【例3】下列条件中，A B P 、、三点不共线的是（）A ．1344MP MA MB=+B ．2MP MA MB =-C ．33MP MA MB=-D ．3144MP MA MB=+ 【例4】下列向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（）A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 【例5】过ABC ∆的重心作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ．若,AD xAB AE y AC == ，0≠xy ，则yx 11+的值为____________．【例6】P 是ABC ∆内的一点，()13AP AB AC =+，则ABC ∆的面积与ABP ∆的面积之比为__________.A ．2B ．3C ．23D ．6巩固练习：1、已知向量)2,3(-=a ，)1,2(-=b ，)4,7(-=c ，用a 和b 来表示c ，则c为（）A ．ba -2B ．ba +2C ．ba2-D ．ba2+2、设M 是△ABC 的重心，则AM=（）A ．2AC AB - B ．2AC AB + C ．3AC AB - D ．3AC AB + 3、AD 、BE 分别为ABC ∆的边BC 、AC 上的中线，且AD a = ，BE b = ，那么BC为（）A ．b a 3432+B ．b a 3232-C ．b a 3432-D ．ba 3432+-4、001,OB 120OC OA 30,OC 5OA OB OA === 与的夹角为，与的夹角为，请用OA OB ，表示.OC =__________.5、已知1,.0,OA OB OA OB === AOC ∠30o=.设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则m n等于__________.6、已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上，（不包括端点A 、C ），则AP等于（）A ．()AB AD λ+，λ∈(0,1)B ．()AB BC λ+ ，λ∈(0,22)C ．()AB AD λ-，λ∈(0,1)D ．()AB BC λ-，λ∈(0,22)7、如图，在△ABC 中，设AB a = ，AC b = ,AD a λ= ,(0<λ<1),AE b λ= ,(0<μ<1),试用向量a ,b 表示c.类型四：向量的应用【例1】l 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△ABO 是A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不确定与P 值有关.【例2】已知向量R x x x b x a ∈==},2sin 3,{cos },1,cos 2{.设b a x f ⋅=)(.（1）若31)(-=x f 且3,3[ππ-∈x ，求x 的值；（2）若函数x y 2sin 2=的图像按向量)2|}(|,{π<=m n m c 平移后得到函数)(x f y =的图像，求实数n m ,的值.巩固练习：1.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数.2.已知点O 是，，内的一点，090BOC 150AOB =∠=∠∆ABC 设,,OA a OB b OC c === 且2,1,3a b c ===，试用,a b 表示c .3.求平面内两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式.4.三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ∠ABC 的值.5.证明:βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.6.已知ABC ∆，AD 为中线，求证()2222221⎪⎭⎫⎝⎛-+=BC AC AB AD .7.已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++= ，1231OP OP OP ===，求证：321P P P ∆是正三角形.8．设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为____________．9.证明柯西不等式2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+.10.求x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最值[竞技篇]一、填空题：1、已知2,3==b a.若3-=⋅b a ，则a 与b夹角的大小为.2、在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为5,0)，1(2,1)e = 、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若12(OP ae be a =+、)b R ∈，则a 、b 满足的一个等式是_____．3、如图所示，直线2=x 与双曲线Γ：1422=-y x 的渐近线交于21,E E 两点，记11e OE =，22e OE =.任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是.4、若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l 的方程为．5、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3AB =，1BD =，则AB AD ⋅=6、若()2,1d →=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为7、若()2,1n =-是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为8、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CNBC CD = ，则AM AN ⋅的取值范围是9、在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅的取值范围是.10、已知向量(1 )a k = ，，(9 6)b k =- ，．若//a b，则实数k =11、已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c．若,,,{1,2,3}i j k l ∈，且i j ≠，k l ≠，则()()i j k l a a c c +⋅+ 的最小值是．12、直线l 的参数方程是)(221R t t y tx ∈⎩⎨⎧-=+=，则l 的方向向量d →可以是（）（A ）（2,1）.（B ）（1,2）.（C ）（1,2-）（D ）（2,1-）13、若向量()()2,0,1,1a b ==，则下列结论正确的是（）(A)1a b ⋅= (B)a b= (C)()a b b-⊥ (D)a b∥14、若1a 、2a 、3a 均为单位向量，则136,33a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭是123a a a ++=的（）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件．15、设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同的点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为A ．0B ．1C ．2D .4.16、设O 为ABC ∆所在平面上一点.若实数x y z 、、满足0xOA yOB zOC ++= 222(0)x y z ++≠，则“0xyz =”是“点O 在ABC ∆的边所在直线上”的（）(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分又不必要条件.17、直线2310x y -+=的一个方向向量是（）(A)(2 3)-，(B)(2 3)，(C)(3 2)-，(D)(3 2)，18、已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）双曲线19、在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d．若m 、M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++ 的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆，{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆，则m 、M 满足（）(A)0m =，0M >(B)0m <，0M >(C)0m <，0M =(D)0m <，0M <20、已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,设向量→m =(a ,b ),→n =(sinB,sinA),→p =(b -2,a -2)⑴若→m ∥→n ,求证:△ABC 为等腰三角形；⑵若→m ⊥→p ,边长c =2,角C=π3,求△ABC 的面积.25、已知向量()sin 21,cos a x x =- ，()1,2cos b x = ，设函数()f x a b =⋅ ，求函数()f x 的最小正周期及0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的最大值．26、定义向量(),OM a b =的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”为(),OM a b =（其中O 为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）设()3sin 4sin 2g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭求证：()g x S ∈;（2）已知()()cos 2cos h x x x α=++且()h x S ∈,求其“相伴向量”的模；27.（2012年高考理科23）对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==.若对于任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ ，使得120a a ⋅=，则称X 具有性质P .例如}2,1,1{-=X 具有性质P .（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当1n x >时，11x =；（6分）（3）若X 具有性质P ，且121,x x q ==（q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）。

《平面向量的分解定理》学案班级___________ 姓名__________一、知识探究问题1：已知两个不平行向量1e 和2e ，则同一平面内任意向量a ，是否都可以由1e 和2e 表示？问题2：同一平面内，换一组非零向量1e 和2e ，向量a 是否可以用向量1e 和2e 表示？二、定理剖析如果1e 、2e 是同一平面内两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量，________________实数1λ，2λ，使=1λ1e +2λ2e 。

我们把任意两个________的向量1e 、2e 叫做这一平面内所有向量的_________。

问题3：对于=1λ1e +2λ2e ，系数λ1、λ2是否唯一？问题4：平面向量的基向量选取唯一吗？三、课堂例题()()()121212121212.11.32.3.ABCD DM k DB k AM AB AD k AM AB AD AM AB AD λλλλλλλλλλλλ===+==+=+例题：如图，平行四边形中，当时，已知，求、当时，已知，求、，并填入表中已知，求+的值结论提炼：四、本课小结1、本节课学习了平面向量分解定理，定理中应该注意：___________；____________.2、本节课了解了_________、____________的思想方法. 五、巩固练习().,,,32,23,2,30120,,,==∈+====μλμλμλ则若，且的夹角为与，的夹角为与其中三个向量例题：如图，平面内有R OB OA OC OC OB OA OC OA OB OA OC OB OAkλ1λ2ABCO。

沪教版高中数学平面向量的基本运算教案2023教学方案学科：数学学段：高中版本：沪教版教材：数学单元：平面向量的基本运算年级：高中一年级教案名称：平面向量的基本运算教学目标：1. 了解平面向量的概念和基本性质。

2. 掌握平面向量的加法和减法运算规则。

3. 能够根据题目中的条件，进行向量的运算。

4. 运用向量的基本运算解决实际问题。

教学内容：平面向量的基本运算教学准备：1. 教师准备：黑板、粉笔、课件、教材、练习题。

2. 学生准备：课本、笔、纸。

教学步骤：Step 1：引入教师可以通过举例子的方式引入向量的概念。

例如，教师可以说：“我们知道，向右走一步可以表示为向量(1,0)，向上走一步可以表示为向量(0,1)。

那么，向右走两步可以用什么向量表示呢？向上走三步呢？”Step 2：概念解释教师向学生介绍平面向量的概念和基本性质，包括向量的表示方法、向量的模、向量共线与平行、零向量的概念等。

Step 3：向量的加法和减法3.1 向量的加法：教师通过示意图和数学表达式向学生解释向量的加法规则。

例如，向量A(3,2)与向量B(1,-1)相加可以表示为A+B=(3+1, 2+(-1))=(4,1)。

3.2 向量的减法：教师通过示意图和数学表达式向学生解释向量的减法规则。

例如，向量A(3,2)与向量B(1,-1)相减可以表示为A-B=(3-1,2-(-1))=(2,3)。

Step 4：向量的数乘教师向学生介绍向量的数乘概念和运算规则。

例如，向量A(3,2)乘以2可以表示为2A=(2×3, 2×2)=(6,4)。

Step 5：练习题教师布置一些练习题，让学生运用所学的向量基本运算规则进行计算。

教师可以根据学生的实际情况调整题目的难度。

Step 6：实际应用教师通过实际问题的引入，让学生应用所学的向量基本运算解决问题。

例如，教师可以给学生提供一道题目：“小明从家里出发，先向北走了100米，再向东走了50米，最后又向南走了80米。

上海高三数学复习第一轮教案rar5篇编写教案要依据教学大纲和教科书。

从学生实际状况启程，细心设计。

今日我在这里整理了一些上海高三数学复习第一轮教案rar5篇最新，我们一起来看看吧!上海高三数学复习第一轮教案rar1中学数学必修4教案学案教学目标1.理解平面对量的根本概念和几何表示、向量相等的含义;驾驭向量加减法和数乘运算，驾驭其几何意义;理解向量共线定理2.了解向量的线性运算性质及其几何意义;会用向量的几何表示及其代数运算、三角形法那么、平行四边形法那么解决有关问题教学重难点向量的有关概念与线性运算教学过程设计(教法、学法、课练、作业)个人主页一、学问回忆1.以下算式中不正确的.是( )A. BC D2.确定正方形ABCD边长为1，, , 那么+ + 的模=( )A.0B.3C.D.3.确定向量, 满意：，那么=( )A.1B.C.D.4.在平行四边形ABCD中，, , ,M为BC的中点，那么= (用, 表示)二、例题讲解例1设是两个不共线的向量，确定=2 + , = +3 , =2 - .假设A,B,D三点共线,求的值.例2在梯形ABCD中,E,F分别是腰AB,DC的三等分点,且, 求例3设O是平面上必须点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满意, .求点P的轨迹,并判定P的轨迹通过下述哪必须点:①△ABC的外心; ②△ABC的内心;③△ABC的重心; ④△ABC的垂心.三、小结四、训练练习见练习纸教后感上海高三数学复习第一轮教案rar2中学数学必修教案一、教学过程1.复习。

反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。

求出函数y=x3的反函数。

2.新课。

先让学生用几何画板画出y=x3的图象，学生纷纷动手，很快画出了函数的图象。

有局部学生发出了“咦”的一声，因为他们得到了如下的图象(图1)：老师在画出上述图象的学生中选定生1，将他的屏幕内容通过教学系统放到其他同学的屏幕上，很快有学生作出反响。

【高三】2021届高三数学理科平面向量总复习教学案第四平面向量高考导航考试要求重难点击命题展望1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景；(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及其坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义；(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条.4.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义；(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系；(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；(2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题.本重点：1.向量的各种运算；2.向量的坐标运算及数形结合的思想；3.向量的数量积在证明有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中的应用.本难点：1.向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行问题中的应用；2.向量的夹角公式和距离公式在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用. 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，同时又是数形结合思想运用的典范，正是由于向量既具有几何形式又具有代数形式的“双重身份”，所以它成为中学数学知识的一个交汇点.在高考中，不仅注重考查向量本身的基础知识和方法，而且常与解析几何、三角函数、数列等一起进行综合考查.在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值.知识网络4.1 平面向量的概念及线性运算典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量的长度与的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；与是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①a＝；②(a b) c＝a (b c)；③ －＝；④在任意四边形ABCD中，为AD的中点，N为BC的中点，则＋＝2 ；⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b).其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D. a＝正确；(a b) c≠a (b c)；－＝正确；如下图所示，= + + 且 = + + ，两式相加可得2 ＝＋，即命题④正确；因为a，b不共线，且a＝b＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点在线段DO上，且 = ，点N 在线段OC上,且 = ,设 =a, =b,试用a、b表示，， .【解析】在▱ABCD中，AC，BD交于点O，所以＝12 ＝12( － )＝12(a－b)，＝＝12 ＝12( ＋ )＝12(a＋b).又＝13 ，＝13 ，所以＝＋＝b＋13＝b＋13×12(a－b)＝16a＋56b，＝＋＝＋13＝43 ＝43×12(a＋b)＝23(a＋b).所以＝－＝23(a＋b)－(16a＋56b)＝12a－16b.【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.【变式训练2】O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足＝＋λ( ＋ )，若λ＝12时，则 ( ＋ )的值为.【解析】由已知得－＝λ( ＋ )，即＝λ( ＋ )，当λ＝12时，得＝12( ＋ )，所以2 ＝＋，即－＝－，所以＝，所以＋＝＋＝0，所以 ( ＋ )＝ 0＝0，故填0.题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5 ，所以，共线.又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线.(2)因为ka＋b和a ＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，所以(k－λ)a＝(λk－1)b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.【点拨】(1)向量共线的充要条中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知O是正三角形BAC内部一点， +2 +3 =0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是（）A.32B.23C.2D.13【解析】如图，在三角形ABC中，＋2 ＋3 ＝0，整理可得＋＋2( ＋ )＝0.令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，则点O在点F与点E连线的13处，即OE ＝2OF.设三角形ABC中AB边上的高为h，则S△OAC＝S△OAE＋S△OEC＝12 OE (h2＋h2)＝12OE•h，S△OAB＝12AB 12h＝14AB•h，由于AB＝2EF，OE＝23EF，所以AB＝3OE，所以S△OACS△OAB＝＝23.故选B.总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出.3.当向量a与b共线同向时，a＋b＝a＋b；当向量a与b共线反向时，a＋b＝a－b；当向量a与b 不共线时，a＋b＜a＋b.4.2 平面向量的基本定理及其坐标表示典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图▱ABCD中,,N分别是DC，BC中点.已知 =a, =b,试用a，b表示，与【解析】易知＝＋＝＋12 ，＝＋＝＋12 ，即所以＝23(2b－a)，＝23(2a－b).所以＝＋＝23(a＋b).【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0，则等于( )A.13B.12C.1D.2【解析】由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝2 ，因此结合＋＋＝0即得＝2 ，因此易得P，A，D三点共线且D是PA的中点，所以＝1，即选C.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v⇔(2x＋1，3)＝3(2－x，1)⇔(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.(2)u∥v ⇔(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)⇔⇔(2x＋1)－3(2－x)＝0⇔x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.【变式训练2】已知向量an＝(cosnπ7，sinnπ7)(n∈N*)，b＝1.则函数y＝a1＋b2＋a2＋b2＋a3＋b2＋…＋a141＋b2的最大值为.【解析】设b＝(cos θ，sin θ)，所以y＝a1＋b2＋a2＋b2＋a3＋b2＋…＋a141＋b2＝(a1)2＋b2＋2(cosπ7，sinπ7)(cos θ，sin θ)＋… ＋(a141)2＋b2＋2(cos141π7，sin141π7)(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(π7－θ)，所以y的最大值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积.【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin A＝bsin B.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.(2)因为m⊥p，所以m•p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).所以S△ABC＝12absin C＝12×4×32＝3.【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n⇔x1y2＝x2y1；②m⊥n⇔x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cos C，cos C＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为( )A.10－53B.10＋53C.10－23D.10＋23【解析】由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－12或cos C＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝100－ab，由10＝a＋b≥2ab⇒ab≤25，所以c2≥75，即c≥53，所以a＋b＋c≥10＋53，当且仅当a＝b＝5时，等号成立.故选B.总结提高1.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起.向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运算.2.向量的运算中要特别注意方程思想的运用.3.向量的运算分为向量形式与坐标形式.向量形式即平行四边形法则与三角形法则，坐标形式即代入向量的直角坐标.4.3 平面向量的数量积及向量的应用典例精析题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例1】已知a，b夹角为120°，且a＝4，b＝2，求：(1)a＋b；(2)(a＋2b) •(a＋b)；(3)a与(a＋b)的夹角θ.【解析】(1)(a＋b)2＝a2＋b2＋2a•b＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以a＋b＝23.(2)(a＋2b) •(a＋b)＝a2＋3a•b＋2b2＝16－3×4×2×12＋2×4＝12.(3)a•(a＋b)＝a2＋a•b＝16－4×2×12＝12.所以cos θ＝＝124×23＝32，所以θ＝π6.【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.【变式训练1】已知向量a，b，c满足：a＝1，b＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则a与b 的夹角大小是.【解析】由c⊥a⇒c•a＝0⇒a2＋a•b＝0，所以cos θ＝－12，所以θ＝120°.题型二利用数量积解决垂直与平行的问题【例2】在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，且△A BC的一个内角为直角，求k 的值.【解析】①当∠A＝90°时，有• ＝0，所以2×1＋3•k＝0，所以k＝－23；②当∠B＝90°时，有• ＝0，又＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，所以2×(－1)＋3×(k－3)＝0⇒k＝113；③当∠C＝90°时，有• ＝0，所以－1＋k•(k－3)＝0，所以k2－3k－1＝0⇒k＝3±132.所以k的取值为－23，113或3±132.【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.【变式训练2】△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，求• ＋• ＋• .【解析】因为2 • ＋2 • ＋2 •＝( • ＋• )＋( • ＋• )＋( • ＋• )＝•( ＋ )＋•( ＋ )＋•( ＋ )＝• ＋• ＋•＝－42－62－52＝－77.所以• ＋• ＋• ＝－772.题型三平面向量的数量积的综合问题【例3】数轴Ox，Oy交于点O，且∠xOy＝π3，构成一个平面斜坐标系，e1，e2分别是与Ox，Oy同向的单位向量，设P为坐标平面内一点，且＝xe1＋ye2，则点P的坐标为(x，y)，已知Q(－1，2).(1)求的值及与Ox的夹角；(2)过点Q的直线l⊥OQ，求l的直线方程(在斜坐标系中).【解析】(1)依题意知，e1•e2＝12，且＝－e1＋2e2，所以 2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1•e2＝3.所以＝3.又•e1＝(－e1＋2e2) •e1＝－e21＋2e1 e2＝0.所以⊥e1，即与Ox成90°角.(2)设l上动点P(x，y)，即＝xe1＋ye2，又⊥l，故⊥ ，即[(x＋1)e1＋(y－2)e2] •(－e1＋2e2)＝0.所以－(x＋1)＋(x＋1)－(y－2) •12＋2(y－2)＝0，所以y＝2，即为所求直线l的方程.【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年高考的命题趋势.【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中，点A(5，0).对于某个正实数k，存在函数f(x)＝ax2(a＞0)，使得＝λ ( ＋)(λ为常数)，其中点P，Q的坐标分别为(1，f(1))，(k，f(k))，则k的取值范围为( )A.(2，＋∞)B.(3，＋∞)C.(4，＋∞)D.(8，＋∞)【解析】如图所示，设＝，＝，＋＝，则＝λ .因为P(1，a)，Q(k，ak2)，＝(1，0)，＝(kk2＋a2k4，ak2k2＋a2k4)，＝(kk2＋a2k4＋1，ak2k2＋a2k4)，则直线OG的方程为y＝ak2k＋k2＋a2k4x，又＝λ ，所以P(1，a)在直线OG上，所以a＝ak2k＋k2＋a2k4，所以a2＝1－2k.因为＝1＋a2＞1，所以1－2k＞0，所以k＞2. 故选A.总结提高1.本节是平面向量这一的重要内容，要准确理解两个?向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即(a•b) •c≠a•(b•c)；数量积不满足消去律，即a•b＝a•c推不出b＝c.2.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断两直线是否垂直.3.向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识，在解决向量与不等式、函数、方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时，往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径.感谢您的阅读，祝您生活愉快。