变化率与导数导数的计算图文

第1节变化率与导数导数的计算导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点的变化率。

导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨在17世纪提出，是微积分研究的基石之一、在实际问题中，导数的概念有着广泛的应用，如物理学中的速度、加速度、斜率等都是变化率的概念。

导数的定义是函数在其中一点的变化率，用极限表示，即：如果函数f(x)在点x=a处存在导数，则称函数在点x=a处可导，导数的值记为f'(a)，即：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)对于一个实函数来说，导数被定义为函数变化的斜率，表示的是函数在其中一点的瞬时变化速率。

在应用中，导数有许多计算方法，这里列举一些常用的计算方法：1.基本导数公式基本导数公式是指常用的函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

熟练掌握这些公式，可以快速计算函数的导数。

2.导数的基本性质导数有一些基本的性质，如积差、和差、复合函数的导数规则。

这些性质可以简化复杂函数的导数计算。

3.高阶导数高阶导数是指导数的导数。

如果一个函数的导数可导，则可以继续对导数求导，得到高阶导数。

高阶导数可以描述函数的凹凸性、拐点等特性。

4.隐函数求导有时函数的表达式不显含自变量，而是通过一个方程来描述函数与自变量之间的关系。

这种情况下，要通过隐函数求导的方法来计算导数。

5.参数方程求导对于参数方程描述的曲线，可以通过参数对函数进行求导，得到曲线的切线方程、法线方程等。

通过以上方法，可以计算得到函数在其中一点的导数值，进而研究函数的性质、变化规律等。

在实际问题中，导数的应用非常广泛。

例如，在物理学中，加速度是速度的导数，速度是位移的导数；在经济学中，边际成本、边际收益等概念都是导数的应用；在工程学中，导数是电路中信号变化的关键指标。

总之，导数是微积分中的重要概念，可以描述函数的变化率，通过导数的计算可以研究函数的性质和变化规律，并在实际问题中得到广泛应用。

第三章 导数及其应用第1节 变化率与导数、导数的计算【知识衍化体验】 知识梳理 1．(1)瞬时变化率2．点(x 0，f(x 0))处切线 f′(x 0) y-f(x 0)＝f′(x 0)(x-x 0) 瞬时速度 3．(1)0 (2) nxn －1(3) cos x (4) -sin x (5)a x ln a ；(6) e x(7)1x lna (8)1x4．(1) f ′(x )±g ′(x ) (2) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) Cf ′(x )(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)基础自测1．D 2．C 3．B 4．B 5．1e考点聚焦突破【例1-1】解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝cos x ′e x －cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x e x. (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x3.(3) y ′＝1x ·（x 2＋1）－ln x ·2x （x 2＋1）2＝()2212ln 1x x x x x +-+＝()22222ln 11x x x x x -++. （4）y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝12cos x ..(5)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x －13′＝[(2x －1)－3]′＝－3(2x －1)－4×2＝－6(2x －1)－4. 【例1-2】D令G (x )＝f （x ）ex ，则G ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）ex＝2x －2，可设G (x )＝x 2－2x ＋c ，∵G (0)＝f (0)＝1.∴c ＝1.∴f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x ＝e x (x －1)2. 【训练1】(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)()32y 12x -'=-.【例2-1】（1）(1，1) （2） 2x －y －2＝0 (3) x －y －4＝0或y ＋2＝0（1）由题意，y ′＝e x ，所以曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设点P (x 0，y 0)，x 0>0，易知函数y ＝1x 的导函数y ′＝－1x 2，所以曲线y ＝1x在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k 2＝－1x 20.由题意，知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 20＝－1，即x 20＝1，解得x 0＝1或－1(舍去)．又因为P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x(x >0)上，将x 0＝1代入，得y 0＝1，所以点P 的坐标为(1，1)．（2） 对y ＝2ln x 求导，得y ′＝2x.当x ＝1时，y ′＝2，故所求切线的斜率为2.又因为切线经过点(1，0)，所以切线的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.（3）设经过点A (2，－2)的曲线的切线的切点为P (x 0， 30x －420x ＋5x 0－4)．由题意，f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(x 0)＝320x －8x 0＋5，所以过点A (2，－2)的切线方程为y ＋2＝(320x －8x 0＋5)·(x －2)．将切点P (x 0，x 30－420x ＋5x 0－4)代入，得x 30－420x ＋5x 0－4＋2＝(320x －8x 0＋5)(x 0－2)，整理，得x 30－520x ＋8x 0－4＝0.观察可知x 0＝1是方程的一个根，所以x 30－520x ＋8x 0－4＝20x (x 0－1)－4x 0(x 0－1)＋4(x 0－1)＝0，即(x 20－4x 0＋4)(x 0－1)＝0，即(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝1或2.将x 0＝1或2分别代入切线方程y ＋2＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，得y ＋2＝0或y ＋2＝x －2.所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.【例2-2】（1） －3; （2）A（1）y ′＝a e x ＋(ax ＋1)e x ＝(ax ＋a ＋1)e x .因为曲线y ＝(ax ＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，所以y ′|x ＝0＝(a ·0＋a ＋1)e 0＝－2，解得a ＝－3.（2）f (x )＝－e x－x ，则f ′(x )＝－e x－1，∵e x＋1>1，∴－e x－1<－1，由g (x )＝ax ＋2cos x ，可得g ′(x )＝a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2，2]，∴a －2sin x ∈[－2＋a ，2＋a ]，要使得过曲线f (x )＝－e x－x 上任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝ax ＋2cosx 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋a ≤0，2＋a ≥1，解得－1≤a ≤2.即实数a 的取值范围是[－1，2]．【例2-3】 （1） D （2）y ＝x ＋1解（1） ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2.故选D.(2) 设直线l 与曲线y ＝e x的切点为(x 0，e x0)，直线l 与曲线y ＝－14x 2的切点为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，－x 214，因为y ＝e x在点(x 0，e x0)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝e x0，y ＝－x 24在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1，－x 214处的切线的斜率为y ′|x ＝x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2| x ＝x 1＝－x 12，则直线l 的方程可表示为y ＝e x 0x －x 0e x 0＋e x0或y ＝－12x 1x＋14x 21，所以⎩⎪⎨⎪⎧e x＝－x12，－x 0e x 0＋e x＝x214，所以e x0＝1－x 0，解得x 0＝0，所以直线l 的方程为y＝x ＋1. 【训练2】 1. A设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0>0，由y ′＝x －3x ，得k ＝x 0－3x 0＝2，∴x 0＝3.故选A.2． 1－ln 2解析 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln (x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln (x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k －1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1，－ln k ，∵A ，B 在直线y ＝kx ＋b上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.3. A要使得图像在两点处的切线互相垂直，只需在这两点处的切线的斜率之积为－1.对于A ，y ＝sin x ，y ′＝cos x ，易知cos0·cosπ＝－1，即函数y ＝sin x 的图像上存在两点，使得图像在这两点处的切线互相垂直，故A 正确；对于B ，y ＝ln x ，x >0，所以y ′＝1x>0恒成立， 所以不符合题意；同理y ＝e x ，y ＝x 3的导函数y ′＝e x >0，y ′＝3x 2≥0均恒成立，C ，D 均不符合题意.。

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一、选择题1.函数f(x)=x+elnx的单调递增区间为()A.(0，+∞)B.(-∞ ，0)C.(-∞，0)和(0，+∞)D.R2.假定函数f(x)的导函数f′(x)=x2-4x+3，那么使得函数f(x+1)单调递减的一个充沛不用要条件为x∈()A.(0,1)B.[0,2]C.(1,3)D.(2,4)3.函数f(x)的导函数为f′(x)，假定(x+1)·f′(x)0，那么以下结论中正确的选项是()A.x=-1一定是函数f(x)的极大值点B.x=-1一定是函数f(x)的极小值点C.x=-1不是函数f(x)的极值点D.x=-1不一定是函数f (x)的极值点4.函数f(x)=4x+3sin x，x∈(-1,1)，假设f(1-a)+f(1-a2)0成立，那么实数a的取值范围为()A.(0,1)B.(1，)C.(-2，-)D.(-∞，-2)∪(1，+∞)5.假定函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1，k+1)内不是单调函数，那么实数k的取值范围是( )A.[1，+∞)B.[1，)C.[1,2)D.[，2)6.假定a0，b0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，那么ab的最大值等于() A.2 B.3C.6D.9。