新课程高一第一学期期末数学试题及详细解析（考察范围：指数函数与对数函数、立体几何初步、直线与圆的方程）(考试时间：120分钟 总分：150分)一、单选题（每小题5分，共60分） 1．直线3103x y +-=的倾斜角为（ ） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．m ，n 为空间中两条不重合直线，α为空间中一平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//m n ，n ⊂α ，则//m α B ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥ C ．若//m α，n ⊂α ，则//m nD ．若m α⊥，m n ⊥ ，则//n α3．已知集合{}40log 2A x x =<<，{}31x B x e -=≤，则()R AC B =（ ）A ．()3,16B ．()3,8C ．(]1,3D ．()1,+∞4．已知三点(),1A m ，()4,2B ，()4,2C m -在同一条直线上，则实数m 的值为（ ） A ．0B ．5C ．0或5D ．0或-55．在平面四边形ABCD 中，,AB AD CB CD ==，将该四边形沿着对角线BD 折叠，得到空间四边形ABCD ，则异面直线,AC BD 所成的角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．直线10kx y --=与直线220x y +-=的交点在第四象限，则实数k 的取值范围为（ ） A ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭7．已知函数||1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，记1313a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，37log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>8．如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为5 ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π9．如图，在各小正方形边长为 1 的网格上依次为某几何体的正视图，侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为 （ ）A ．2π13+B ．42π33+ C 233πD 233π10．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ；1DP BC ⊥③；④平面1PDB 平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．24C ．22D 312．设函数,10()11,01(1)x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，若函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,{0}4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦二、填空题（每小题5分，共20分．）13．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中A C B C ''''⊥，2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.14．已知正四棱锥的底面边长为2，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为1：4，若截去的小棱锥的侧棱长为2，则此棱台的表面积为______________.15．经过点12,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且在坐标轴上截距相等的直线方程为________.16．函数()22()log 2f x x tx =-++在区间()1,2上为单调递减函数，则实数t 的取值范围为___________. 三、解答题（70分）17．（10分）已知直线1l ：60x my ++=和2l ：(2)320m x y m -++=，分别就下列条件求出实数m 的值.（1）直线1l 与2l 垂直； （2）直线1l 与2l 平行.18．（12分）如图，长方体ABCD A B C D ''''-由，12AB =，10BC =，6AA '=，过A D ''作长方体的截面A D EF ''使它成为正方形.（1）求三棱柱AA F DD E ''-的外接球的表面积； （2）求 B A D EF V ''-.19．（12分）已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ：340x y n +-=.（1）求直线1l 的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距离为85； （2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线l 的方程.20．（12分）已知函数1()log [(1)2]af x a x =--（0a >且1a ≠）.（1）求()f x 的定义域；（2）若()0f x >在41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围.21．（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA ⊥CD .（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH //平面PAD ； （2）求证：PA ⊥平面PCD ；22．（12分）一副标准的三角板（如图1），ABC ∠为直角，60A ∠=︒，DEF ∠为直角，DE EF =，BC DF =，把BC 与DF 重合，拼成一个三棱锥（如图2），设M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 的中点.（1）求证：平面ABC ⊥平面EMN ； （2）设平面ABE平面MNE l =，求证：//l AB .答案解析一、单选题 1．【答案】D【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk 求解倾斜角.【详解】310x y +-=的斜率3=k -3tan [0,180)3o o k θθ∴==-∈， ∴150θ︒=. 故选：D 2．【答案】B【分析】根据空间中的线线平行、线面平行、线面垂直的定义以及性质逐项进行判断. 【详解】A ．因为//m n ，n ⊂α，所以当m α⊂时，//m α不满足，故错误； B ．根据“垂直于同一平面的不同直线互相平行”可知B 正确； C ．因为//m α，n ⊂α，所以,m n 可能是异面直线，故错误； D ．因为m α⊥，m n ⊥，所以n ⊂α时也满足，故错误， 故选：B.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析已知的平行垂直关系，找寻不符合条件描述的反例，由此排除选项. 3．【答案】A【分析】化简集合A,B ，根据补集、交集运算即可求解.【详解】因为{}40log 2(1,16)A x x =<<=，{}31(,3]x B x e -=≤=-∞，所以(3,)R C B =+∞，()(3,16)R A C B =.故选：A 4．【答案】C【分析】根据()4,2B ，()4,2C m -知直线斜率存在，利用斜率相等求解.【详解】因为三点(),1A m ，()4,2B ，()4,2C m -在同一条直线上，且直线斜率存在，所以212244(4)mm --=---， 解得0m =或5m = 故选：C 5．【答案】D【分析】由题意，利用线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面ACE ，从而证出AC BD ⊥，即求.【详解】取线段BD 的中点E ，连接,AE CE .易得,BD AE BD CE ⊥⊥， 从而BD ⊥平面ACE . 因此AC BD ⊥，所以异面直线,AC BD 所成的角是2π故选：D.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 6．【答案】A【分析】联立两直线的方程，解得交点的坐标，根据交点在第四象限，由00x y >⎧⎨<⎩求解.【详解】由10220kx y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得4212121x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为直线10kx y --=与直线220x y +-=的交点在第四象限，所以402121021x k k y k ⎧=>⎪⎪+⎨-⎪=<⎪+⎩，解得1122k -<<， 所以实数k 的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故选：A 7．【答案】A【分析】比较133317,log ,log 532⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，再利用函数()f x 的单调性比较a ，b ，c 的大小关系.【详解】因为x ∈R ，||1()2()x x x f f ⎛⎫⎪⎭=-= ⎝，所以||1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是偶函数， 并且当0x >时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为13110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3371log log 52<<，即1333170log log 532⎛⎫<<< ⎪⎝⎭， 又因为()y f x =在()0,∞+是减函数，所以a b c >>.故选：A .【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数||1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的性质，后面的问题迎刃而解. 8．【答案】B【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段5MB =. 【详解】设底面圆半径为r ， 由母线长4l，可知侧面展开图扇形的圆心角为22r rl ππα==， 将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，最短距离为BM ； 如图，在ABM 中，25,2,4MB AM AB ===， 所以222AM AB MB +=, 所以2MAB π∠=,故22rππα==，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=, 故选：B【点睛】关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为2rlπα=，其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长，解三角即可求解底面圆半径r ，利用圆锥表面积公式求解. 9．【答案】D【分析】根据题意可知几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，结合锥体体积公式13V Sh =即可得出结果. 【详解】解:由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，体积21111223133223V π⎛⎫⎛=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭⎝ 233π=+ 故选：D 10． 【答案】C【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ， 故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确；对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DPBC ，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想． 11．【答案】B【分析】设正四棱锥的底边为a ，侧面的等腰三角形的高为h ，内切球的半径为r ，建立它们之间的比值关系即可求解【详解】由于正四棱锥：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形，设正四棱锥的底边为a ，底面积为2a ，所以，该正四棱锥的侧面积为23a ，设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为h ，则有223ah a =，所以，32h a =，设内切球的半径为r ，则如图，OGP 与PHF 相似，有OG PO HF PF =，所以，2222a h r r a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，由于32h a =， 化简得，2a r =，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为2r a =故选：B【点睛】关键点睛：解题关键在于利用三角形的相似关系，求出内切球的半径与底面正方形的边长关系，属于中档题 12．【答案】D【分析】化简函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可．【详解】因为()(),1011,011x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩所以(),1011,011x x f x x x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，其图象如下：函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点， 等价于()40f x t -=在区间()1,1-内有且仅有一个实数根，又等价于函数()y f x =的图象与直线4y t =在区间()1,1-内有且仅有一个公共点. 于是41t ≤-或40t =，解得14t ≤-或0t =.故选：D【点睛】关键点点睛：根据分段函数及初等函数函数的图象变换可得出()f x 的图象，利用转化思想，转化为函数()y f x =的图象与直线4y t =在区间()1,1-内有且仅有一个公共点，数形结合求解. 二、填空题 13．【答案】82【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可．【详解】由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====，242AO A O ''==所以114428222ABCSBC AO =⋅=⨯⨯= 故答案为：82【点睛】关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解． 14．【答案】5315+【分析】根据棱台的上、下底面的面积之比为1：4，利用相似比得到棱台的上、下底面的边长之比为1：2，再根据截去的小棱锥的侧棱长为2和正四棱锥的底面边长为2，得到棱台的底面边长和斜高，代入公式求解. 【详解】如图所示：因为棱台的上、下底面的面积之比为1：4， 所以棱台的上、下底面的边长之比为1：2， 因为截去的小棱锥的侧棱长为2， 所以正四棱锥的侧棱长为4，又因为正四棱锥的底面边长为2，即2CD =， 所以1111,2C D CC ==， 作1C E CD ⊥，则()111122CE CD C D =-=， 22221111522C E CC CE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以此棱台的表面积为()115412112253152S =⨯++⨯+⨯=+ 故答案为：5315+15．【答案】04=+y x 或302x y ++= 【分析】分截距为0时和截距不为0时两类讨论，分别求出直线的方程可得答案． 【详解】当截距为0时，即直线过原点时，设该直线的方程为y kx =，把12,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入y kx =得，14k =-，此时方程为14y x =-直线方程为04=+y x ；当截距不为0时，设直线方程为1x y a a +=，则1221a a-+=，解得32a =-，所以直线方程为302x y ++=.综上，直线方程为04=+y x 或302x y ++=.故答案为：04=+y x 或302x y ++=16．【答案】[]1,2【分析】根据复合函数的单调性及函数的定义域建立不等式组求解即可. 【详解】因为函数22y x tx =-++开口向下，对称轴是直线2tx =, 所以要使函数()22()log 2f x x tx =-++在区间 ()1,2内单调递减，需有12t≤且22220t -++≥,解得 12t ≤≤．故答案为：[]1,2【点睛】方法点睛：复合函数单调性，运用口诀“同增异减”即内外两层函数单调性相同，则该函数为单调递增函数，若内外两层单调性相反即一个单调递增另一个单调递减，则该函数为单调递减函数．本题中对数函数是以2为底数，所以问题等价于函数22y x tx =-++在区间()1,2内恒大于零且单调递减，从而求解． 三、解答题 17．【答案】（1）12（2）1- 【分析】(1）由已知条件利用直线与直线垂直的条件直接求解； (2）由已知条件利用直线与直线平行的条件直接求解.【详解】（1）1l ：60x my ++=和2l ：(2)320m x y m -++=垂直(2)130m m ∴-⨯+=，解得12m =（2）1l ：60x my ++=和2l ：(2)320m x y m -++=平行，(2)130m m ∴--⨯=且2216m m-≠， 解得1m =-18．【答案】（1）200π（2）80【分析】（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥A BEF V '-即可. 【详解】（1）因为截面A D EF ''为正方形， 所以10A F BC A D '===''，在Rt A AF '△中，222AA AF A F ''+=，即222610AF +=，解得8AF =，在直三棱柱AA F DD E ''-中，底面Rt A AF '△的外接圆半径为1110522A F '=⨯=， 直三棱柱AA F DD E ''-的外接球球心到面A AF '的距离为11052⨯=， 设三棱柱的外接球半径为R ， 则225552R =+=24200S R ππ∴==（2）因为22B A EF A B B A D EF EF V V V ''-'--'==， 在长方体中AA '⊥平面BEF ， 所以三棱锥A BEF '-的高为6AA '=， 所以B A D EF V ''-111226332BEF S A A EF BF ⎛⎫'=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⎪⎝⎭△ 11210468032=⨯⨯⨯⨯⨯=.【点睛】关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.19．【答案】（1）(1,2)P ，2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）240x y +-= 【分析】（1）利用直线系求出定点，根据点到直线距离求出2l ；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，求出截距，表示出三角形面积，利用均值不等式求最值.【详解】（1）由20mx y m +--=可得(1)20m x y -+-=， 所以直线1l 的定点(1,2)P ，(1,2)P 到直线2l ：340x y n +-=的距离22|11|85534n d -===+， 解得3n =或19n =，所以直线2l ：3430x y +-=或34190x y +-= （2）由题意，设直线l ：2(1)y k x -=-， 因为直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，所以0k <令0,20x y k ==->，20,10y x k==->， 所以1222(2)(1)222()()4222AOB k k S k k k k=--=--≥+--=△，当且仅当2k =-时等号成立，故所求直线方程为22(1)y x -=--，即240x y +-=【点睛】关键点点睛：直线系过定点问题，需将直线化为含参数与不含参数的部分，如(1)20m x y -+-=，可根据此形式直接写出定点；直线与坐标轴围成三角形的面积，可利用截距表示.20．【答案】（1）当01a <<时，函数的定义域为2,1a ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭；当1a >时，函数的定义域为2,1a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭（2）133,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】(1)根据函数解析式，得到(1)20a x -->，分别讨论01a <<和1a >两种情况，解对应不等式，即可得出定义域；(2)分类讨论01a <<和1a >两种情况，根据对数型函数单调性，即可得出结果.【详解】(1)因为1()log [(1)2]af x a x =--，所以(1)20a x -->， 因为0a >且1a ≠，当01a <<时，10a -<，解不等式(1)20a x -->可得21x a <-； 当1a >时，10a ->，解不等式(1)20a x -->可得21x a >-； 综上，当01a <<时，函数的定义域为2,1a ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭；当1a >时，函数的定义域为2,1a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭； (2)当01a <<时，10a -<，11a>，所以函数1()log [(1)2]a f x a x =--在定义域内单调递减；又且()0f x >在41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以只需142314log (1)203a a a ⎧<⎪-⎪⎨⎡⎤⎪-->⎢⎥⎪⎣⎦⎩，无解；当1a >时，10a ->，101a<<，所以函数1()log [(1)2]a f x a x =--在定义域内单调递减；又()0f x >在41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以只需12114log (1)203a a a ⎧>⎪-⎪⎨⎡⎤⎪-->⎢⎥⎪⎣⎦⎩，即34(1)213a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得1334a <<，综上所述实数a 的取值范围为133,4⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：求解对数型不等式时，一般根据对数函数的单调性，结合题中条件，列出不等式（组）求解；列式时，要注意定义域. 21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连接BD ，因为H 为BD 的中点，G 为V 的中点，所以//GH PD ，从而得到GH //平面P AD.（2）取棱PC 中点N ，连结DN ，可得DN PC ⊥，.又平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC 平面PCD PC =，DN ⊥∴平面PAC ， 又PA ⊂平面PAC ，DN PA ∴⊥，又PA CD ⊥，CDDN D =，可得PA ⊥平面PCD ．【详解】解:（1）连结BD ，由题意得AC BD H =，BH DH =，又由BG=PG ，得//GH PD ，GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，. //GH ∴平面PAD ．（2）取棱PC 中点N ，连结DN ， 依题意得DN PC ⊥，. 又平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，DN ⊥∴平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，DN PA ∴⊥， 又PA CD ⊥，CDDN D =，PA ∴⊥平面PCD ．【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定定理与性质、直线与平面垂直的判定定理与性质、平面与平面垂直的判定定理与性质以及直线与平面所成角的求法. 22．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）只要证明MN BC ⊥，EN BC ⊥，即得；（2）由（1）知MN ∥AB ，可得//AB 平面MNE ，又平面ABE ∩平面MNE ＝l ，利用线面平行推导出线线平行即可.【详解】证明：（1）设BC 的中点为N ，连结MN ，EN ，如图，因为M 是AC 的中点，N 是BC 的中点， 所以MN ∥AB ， 因为AB ⊥BC ， 所以MN ⊥BC ，因为BE ⊥EC ，BE ＝EC ，N 是BC 的中点， 所以EN ⊥BC ，又MN ⊥BC ，MN ∩EN ＝N ，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ， 所以BC ⊥平面EMN ， 又因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面EMN证明：（2）由（1）知MN ∥AB ，AB ⊄平面EMN , MN ⊂平面EMN , 所以//AB 平面MNE ， 又AB平面ABE ，且平面ABE ∩平面MNE ＝l ，所以l ∥AB.【点睛】关键点点睛：利用线线平行可判定线面平行，根据线面平行的性质定理可得线线平行，注意图中没有平面ABE ∩平面MNE ＝l ，但利用性质定理即可证明.。
