当前位置：文档之家 › 第2讲优化方法的数学基础

第2讲优化方法的数学基础

  • 格式：pdf
  • 大小：773.41 KB
  • 文档页数：34

下载文档原格式

  / 34

合集下载

-第二章优化设计的数学基础newPPT课件

-第二章优化设计的数学基础newPPT课件

15
机械优化设计 上式写成矩阵形式：
f (x)
f
( x0
)


f x1
1 2
x1
2 f

x2

x12 2 f
x1x2
f x2

x0
x1 x2


2 f
x1x2

2 f
x1 x2

机械优化设计
第二章 优化设计的数学基础
一、多元函数的方向导数和梯度
二、多元函数的泰勒展开
三、无约束优化问题的极值条件
四、凸集、凸函数与凸规划 五、等式约束优化问题的极值条件
六、不等式约束优化问题的极值条件
2020/2/20
1
机械优化设计
一、多元函数的方向导数和梯度
1、方向导数
二元函数 f (x1, x2 )在 x0 x10, x20 点处的偏导数的定义是：
23
机械优化设计 定理：若二次函数 f (X ) 1 X TQX bX c 中Q正定，
2 则它的等值面是同心椭球面族，且中心为 X Q1b
证明：作变换 X Y Q1b ，代入二次函数式中：
(Y ) f (Y Q1b)
1 (Y Q1b)Q(Y Q1b) bT (Y Q1b) c 2


f x1
xn
cosn

n i 1
f xi
x0
cosi
2020/2/20
4
机械优化设计
2、二元函数的梯度
f d
x0
f x1
cos 1 +
x0
f x2

优化设计的数学基础

优化设计的数学基础

a11 a12 a11 0, a11 a12 a21 a22 0, , a21 a22 an1 an 2
a1n a2 n ann 0
即矩阵A的各阶主子式均大于零。当矩阵A为正定时，其对应的二次型 为正定二次型。 如果实二次型 XTAX 中的矩阵A的各阶主子式负、正相间（即所 有奇数阶主子式小于零，而所有偶数阶主子式大于零），即
■ 函数的泰勒近似展开式和黑塞矩阵 ■ 无约束优化问题的极值条件 ■ 凸函数与凸规划 ■
约束优化问题的极值条件
2.1 二次型与正定矩阵
在介绍优化方法时，常常是将二次型函数作为对象。其原因除了 二次型函数在工程优化问题中有较多的应用且比较简单之外，还因为 任何一个复杂的多元函数都可采用泰勒二次展开式做局部逼近，使复 杂函数简化为二次函数。因此，需要讨论有关二次型函数的问题。
A 称为二次型矩阵，因为 aij = aji ，所以 A =AT，称为对称矩阵，
因此二次型矩阵都是对称矩阵。
2. 正定矩阵
在采用泰勒二次近似展开式讨论函数的极值时，常要分析二次型 函数是否正定或负定。二次型的正定与负定的定义简述如下： 如果对于任意的非零向量 X = [x1, x2, …，xn]T，即x1，x2，…，xn 不全为零，若有 XTAX > 0，则称此二次型 f (X)=XTAX 是正定二次 型， 其对应的矩阵A 称为正定矩阵； 若有 XTAX ≥0，则称此二次型 f (X) = XTAX 为半正定二次型，并称 其相应的矩阵A为半正定矩阵； 若有XTAX < 0，则称此二次型 f (X)=XTAX 为负定二次型，其对应 的矩阵A为负定矩阵。 矩阵A的正定与负定的判别，可用矩阵A的各阶顺序主子式的正负 来判别。矩阵A的正定条件是：
a1n a2 n ann

数学优化方法与应用

数学优化方法与应用

数学优化方法与应用数学优化方法是指通过数学模型和计算方法寻找最优解的一种技术手段。

它在现代科学、工程、经济等领域具有广泛的应用价值。

本文将围绕数学优化方法的基本理论和应用领域展开讨论。

一、数学优化方法的基本理论数学优化方法的基本理论包括最优化问题的数学建模、优化算法的设计和求解过程中的收敛性分析等方面。

1.1 最优化问题的数学建模在实际问题中，如何将问题转化为数学模型是数学优化方法的第一步。

数学优化问题一般可以分为线性规划、非线性规划、整数规划等类型。

线性规划是指目标函数和约束条件均为线性的优化问题；非线性规划则是指目标函数和约束条件存在非线性项的优化问题；整数规划是指变量取离散值的优化问题。

1.2 优化算法的设计在建立数学模型后，下一步是选择合适的优化算法进行求解。

常见的优化算法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、遗传算法等。

这些算法各有优缺点，在实际应用中需要根据问题的性质和规模选择合适的算法。

1.3 收敛性分析优化算法的收敛性分析是指证明算法在有限步骤内能够找到最优解的性质。

收敛性分析是数学优化方法的关键问题之一，一般需要利用数学分析和优化理论的知识进行推导和证明。

二、数学优化方法的应用领域数学优化方法在各个领域都有广泛的应用，下面主要介绍在工程和经济领域的应用。

2.1 工程领域的应用在工程设计和优化中，数学优化方法可以用于寻找最佳的设计参数和工艺方案，以实现工程系统的优化设计。

例如，在交通规划中，可以利用数学优化方法确定最短路径和最优交通流；在电力系统中，可以利用数学优化方法解决电力调度和能源分配问题；在物流管理中，数学优化方法可以用于优化物流网络布局和运输路径选择等。

2.2 经济领域的应用在经济领域，数学优化方法可以用于决策分析、资源配置和风险管理等方面。

例如，在投资组合优化中，可以利用数学优化方法确定最佳投资组合，以实现最大的收益和最小的风险；在供应链管理中，数学优化方法可以用于优化存货管理和订单分配等问题；在产能规划中，数学优化方法可以用于优化生产计划和资源配置。

2-2优化方法数学基础

2-2优化方法数学基础

一,正定二次型
2 f ( X ) = ax12 + bx1 x 2 + cx 2 + dx1 + ex 2 + f 二次函数
写成向量形式
1 T f ( X ) = X HX + B T X + C 2 XTHX二次型,H二次型矩阵 二次型, 二次型矩阵 二次型 正定和负定矩阵. 正定和负定矩阵.对于所有非零向量 XTHX >0,矩阵正定 , XTHX >=0,矩阵半正定 , XTHX < 0,矩阵负定 , XTHX <=0,矩阵半负定 , XTHX =0,矩阵不定 ,
函数沿任一方向的变化率,用方向导数描述. 函数沿任一方向的变化率,用方向导数描述. 二元函数在X ) 二元函数在 (k)处沿与坐标轴夹角为αi的 S方向的变化 方向的变化 率,即方向导数
f ( X ) f x1 + x1 , x2 = lim s →0 S
(k )
(
(k )
(k )
+ x2 f x1 , x2 s
) (
(k )
(k )
)
二,方向导数和梯度
f ( X ) f x1 + x1 , x2 = lim s →0 S
(k )
(
(k )
(k )
+ x2 f x1 , x2 s
) (
(k )
(k )
)
f X (k ) f X (k ) = cosα1 + cosα 2 x1 x2
(
)
(
)
(X ( ) ), f (X ( ) )]cosα f =[
k k
x1
x2
cosα 2

2第二章优化设计的数学基础new

2第二章优化设计的数学基础new

其中的cosi为d方向和坐标轴xi方向之间夹角的余弦。
2、二元函数的梯度
f f
f
f
dx 0 x 1x 0co 1 s x 2x 0co 2 s x 1
fco 1s x 2 x 0 co 2 s
f
令
f
s.t. hk (x1，x2 ，，xn) = 0 (k = 1,2,l) 由l个约束方程将n个变量中的前l个变量用其余n-l个变量表示， 有
x1 = (xl+1,xl+2,,xn)
x2 = (xl+1,xl+2,,xn)

xn = (xl+1,xl+2,,xn)
将这些函数关系代入到目标函数中， 得到只含有xl+1,xl+2,,xn共n-l个变量的函
解：
所以得
F(x, )=4x12+5x22+ (2x1+3x2-6) Fx1=8x1+2=0 x1=-/4
Fx2=10x2+3=0 x2=-3/10
F =2x1+3x2-6=0=-30/7
此即为所求极值点x*.
x1=1.071， x2=1.286
2.6 不等式约束优化问题的极值条件
xn

x0
函数 f(x1,x2， , xn)在x0处沿d的方向导数可表示为
d fx 0in 1 x fix 0co i s fx 0T d fx 0co f,s d
d方向上的单位向量
cos 1
d

cos



2

f x 2 x0
10

数学中的优化理论与最优化方法

数学中的优化理论与最优化方法

数学中的优化理论与最优化方法优化理论是数学中的重要分支，在不同领域中都有广泛的应用。

本文将介绍数学中的优化理论以及一些常用的最优化方法。

一、优化理论的基本概念1.1 优化问题优化问题是指在一定的约束条件下，寻找使某个目标函数取得最优值的问题。

通常有两种类型的优化问题：极大化问题和极小化问题。

极大化问题是要找到使目标函数取得最大值的自变量取值，而极小化问题则是要找到使目标函数取得最小值的自变量取值。

1.2 目标函数和约束条件在优化问题中，目标函数是要优化的对象，通常用f(x)表示，其中x表示自变量。

约束条件是目标函数的取值范围或限制条件，用g(x)表示。

优化问题可以表示为如下形式：max/min f(x)s.t. g(x) <= 01.3 最优解最优解是指在所有满足约束条件的自变量取值中，使得目标函数取得最大值或最小值的解。

最优解可能存在唯一解，也可能存在多个解。

二、常用的最优化方法2.1 梯度下降法梯度下降法是一种基于搜索的最优化方法，通过迭代的方式不断调整自变量的取值来逼近最优解。

该方法的核心思想是沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，使目标函数逐渐减小，直到达到最小值。

2.2 牛顿法牛顿法是一种迭代求解方程的方法，也可以用于解决优化问题。

该方法基于泰勒级数展开，通过求解目标函数的一阶导数和二阶导数来更新自变量的取值，以逼近最优解。

2.3 线性规划线性规划是一种常用的优化方法，适用于目标函数和约束条件都是线性的情况。

线性规划可以通过线性规划模型进行建模，然后利用线性规划算法求解最优解。

2.4 非线性规划非线性规划是一种更一般性的优化方法，适用于目标函数或约束条件存在非线性关系的情况。

非线性规划可以通过梯度下降法、牛顿法等方法进行求解，也可以利用非线性规划算法进行求解。

2.5 整数规划整数规划是一类特殊的优化问题，要求自变量取值必须为整数。

整数规划有时候可以通过线性规划进行求解，但通常需要借助专门的整数规划算法来求解。

最优化_第2章 优化设计的数学基础

最优化_第2章 优化设计的数学基础

(0) (0) f ( x1(0) , x2 x2 ) f ( x1(0) , x2 ) f ( x) lim x2 X ( 0) x2 0 x2
分别表示沿坐标轴x1和x2方向在X (0)处的f(X)变化率。
§2.1
多元函数的导数与梯度
(0) (0) f x1(0) x1 , x2 x2 f x1(0) , x2 f lim d X ( 0 ) d 0 d (0) (0) (0) f x1 x1 , x2 f x1(0) , x2 x1 lim d 0 x1 d
n元函数极值充分条件:海塞矩阵为正定。
2 f 2 x 1 2 f x2 x1 (0) G( X ) 2 f xn x1
2 f xn x2
§2.4
凸集、凸函数与凸规划
f X f X*
函数f(X)在X*附近的一切X均满足不等式
2.二阶导数（ Hessian矩阵)判断
Hessian矩阵G(X)在R上处处半正定。
(0) 1 (0) 2
X (0)
x2
§2.2
多元函数的泰勒展开
二元函数泰勒展开矩阵形式:
f x1 , x2 f X
(0)
f ( X
(0) T
1 ) X X TG ( X (0) )X 2
2 f x 2 1 其中: G ( X (0) ) 2 f x2 x1
2 2
2 5 5 5 1 5 1 5 5
f
X
(1)
26 3x 4 x1 x2 x |X ( 0 ) 5 2 5
2 1

第二章-优化设计

第二章-优化设计

优化数学模型： 设计变量：
X x1 x2
T
x3
目标函数：
min f X x1 x2 2 x1 x3 x2 x3
x2
1 1 x1 x2 10 x x1 2 约束条件：
g1 X 4 x1 0 g 2 X x2 0
设计变量X
设计常 量
设计变量:在优化设计过程中需要调整和优选的参数。
特点：
（1）实际工程设计对象的不同，则选取的设计变量也就不同。 它可以是几何参数：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动尺寸 等；也可以是某些物理量：如零部件的重量、体积、力与力矩、惯 性矩等；还可以是代表机器工作性能的导出量：如应力、变形等。 总之，设计变量必须是对该项设计性能指标优劣有影响的参数。 （2）设计变量是一组相互独立的基本参数。它的每一个分量都 是相互独立的。
x1
二、优化设计数学模型
可以看出，优化设计的数学模型需要用设计变量、 目标函数和约束条件等基本概念进行描述，可以写成以 下统一的形式： 设计变量：
X x1 , x2 xn 目标函数：
T
f ( X ) f ( x1 , x2 , xn )
约束条件：
不等式约束条件： 等式约束条件：
综上所述，优化数学模型是对实际问题的数学描述和概括，是进行优 化设计的基础。因此，根据设计问题的具体要求和条件建立完备的数学模 型是关系优化设计成败的关键。数学模型的最优解是否是实际问题的最优 解，完全取决于数学模型和实际问题的符合程度。
三、优化问题的分类
一维无约束优化问题 无约束优化问题 工 程 优 化 问 题 多维无约束优化问题
2
3）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即

第二章 优化方法的数学基础

第二章 优化方法的数学基础

为凸函数，则称此问题为凸规划 凸规划。 式中若F（X）、 g j ( X ) 均为凸函数，则称此问题为凸规划。
凸规划的一些性质： 凸规划的一些性质： 1）可行域 D = X g j ( X ) ≤ 0
{
j = 1,2,L, m
}
为凸集； 为凸集；
2）凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解； 凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解； 可微， 为凸规划问题 最优解的充分必 规划问题的 3）若F（X）可微，则X*为凸规划问题的最优解的充分必 要条件为： 要条件为： 对任意 X
T
解： 由于
则函数在
处的最速下降方向是
∂f ( X ) − ∂x1 −6 x1 + 4 x2 +4 P = −∇f ( X 0 ) = = = ∂f ( X ) 4 x1 + 2 x2 x1 =0 −2 x2 =1 − x1 =0 ∂x2
一、凸集
设 D 为 n 维欧氏空间中的一个集合， 若其中任意两点 维欧氏空间中的一个集合 ， X(1) 、 X(2) 之间的联接直线都属于 D ， 则称这种集合 D 为 n维 欧氏空间的一个凸集。 是二维空间的一个凸集， 欧氏空间的一个凸集。图2-6（a）是二维空间的一个凸集， 而图2 不是凸集。 而图2-6（b）不是凸集。
f (αX + (1−α)X ) ≤α f (X ) + (1−α) f (X )
(1) (2) (1) (2)
上的凸函数 若不满足上式，则为凹函数 凸函数， 凹函数。 则f（X）为D上的凸函数，若不满足上式，则为凹函数。
凸函数的几何意义如图2 所示： 凸函数的几何意义如图2-7所示： 的几何意义如图

优化设计的数学基础.ppt

优化设计的数学基础.ppt
hk (x) = 0 (k = 1, 2,L ,l )

引入拉格郎日乘子 l 函数
k
(k
=
1, 2,L ,l )
构成一个新的目标
l
å F (x, l ) = f (x ) + l khk (x )
k=1
将其作为一个新的无约束条件的目标函数来求解它 的极值点，所得结果就是原等式约束问题的极值点。
新的目标函数具有极值点的必要条件为
海赛矩阵
轾 犏 抖2 f 犏 犏 犏 犏 ¶抖x2 f12 G (x0 ) = 犏 犏 犏 犏抖x2Mx1 犏 犏 犏 犏 臌抖x抖n2 f x 1
2f
抖x1 x2
2f

x
2 2
M
2f 抖xn x2
?2f L 抖x1 xn
?2f L 抖x2 xn MM
?2f
L

x
2 n
x0
例题（一）
求二元函数f (x1, x2 ) =
x0
=
轾 犏 犏 臌抖抖xf1
fT x2 x0
称为函数f (x1, x2 )在x0 (x10, x20 ) 处的梯度
d
=
轾 犏cos q1 犏 犏 臌cos q2
称为d 方向单位向量
¶f ¶d
x0
=
?
f (x 0 )T d
2)二元函数梯度的几何解释
2)二元函数梯度的几何解释
2)二元函数梯度的几何解释
¶F = 0 (i = 1, 2,L , n)
¶ xi
¶F ¶l k
=
hk (x ) =
0
(k
=
1, 2,L ,l)
一共可得n+l个方程，从而可解得(x,)共n+l个未知

2优化设计的数学基础

2优化设计的数学基础

第二章 优化设计的数学基础优化设计中绝大多数是多变量有约束的非线性规划问题，即是求解多变量非线性函数的极值问题。

由此可见，优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的，对于无约束优化问题为数学上的无条件极值问题，而对于约束优化问题则为数学上的条件极值问题。

本章主要叙述与此相关的数学基础知识。

第一节 函数的方向导数与梯度一、函数的方向导数一个二元函数()21,x x F 在点()02010,x x X 处的偏导数，即函数沿坐标轴方向的变化率定义为：而沿空间任一方向S 的变化率即方向导数为：方向导数与偏导数之间的数量关系为依此类推可知n 维函数()n x x x F ,,,21 在空间一点()002010,,,n x x x X 沿S 方向的方向导数为二、函数的梯度 函数()X F 在某点X 的方向导数表明函数沿某一方向S 的变化率。

—般函数在某一确定点沿不同方向的变化率是不同的。

为求得函数在某点X 的方向导数为最大的方向，引入梯度的概念。

仍以二元函数()21,x x F 为例进行讨论，将函数沿方向S 的方向导数写成如下形式令：图2-1 二维空间中的方向图2-2 三维空间中的方向称为()21,x x F 在点X 处的梯度()X F grad ，而同时设S 为单位向量于是方向导数可写为：此式表明，函数()X F 沿S 方向的方向导数等于向量()X F ∇在S 方向上的投影。

且当()()1,cos =∇S X F ，即向量()X F ∇与S 的方向相向时，向量()X F ∇在S 方向上的投影最大，其值为()X F ∇。

这表明梯度()X F ∇是函数()X F 在点X 处方向导数最大的方向，也就是导数变化率最大的方向。

上述梯度的定义和运算可以推广到n 维函数中去，即对于n 元函数()n x x x F ,,,21 ，其梯度定义为由此可见，梯度是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向。

即梯度()X F ∇方向是函数()X F 的最速上升方向，而负梯度()X F ∇-方向则为函数()X F 的最速下降方向。

优化方法的数学基础-2022年学习资料

优化方法的数学基础-2022年学习资料

例题2-1-求函数fx=x+x-4x,+4在点3,2]7的梯度。-解：-2x-Vfx=-在点x1四=[3, ]T处的梯度为：-Vfx"=-2x,-4-2x2
例2-2：试求目标函数fx1,x2=3x2-4xx2+x-在点°=[0,1]处的最速下降方向，并求沿这个方 移-动一个单位长度后新点的目标函数值。-解：由于-af x-ar x-4X2?--4x1+2x-则函数在X [0,]处的最速下降方向是-「-6x+4x2-L4x-2x0-X1=0-X2=
这个方向上的单位向量是--VfXo）-2--Vfx川-V+42+-22-新点是-5-f X=3x-4x-2 -2√5
几个常用的梯度公式：-①.fX=C常数-则，fX=0-即，VC=0-2.fx=bx则，fx=b-3-fX= X则，fX=2x-4-O对称矩阵。fX=x'Qx则，fX=20x
二、二次函数及正定矩阵-在n元函数中，除了线性函数：-或fX=aX+c-M-外，最简单最重要的一类就是二次 数。
定义：设Q为n×n对称矩阵-若∀X∈R”,X0,均有X'QX>0,则称矩阵Q是正-定的。-若VX∈R”,且 0,均有XTQK0,则称Q是负定的。-一个×m对称矩阵O是正定矩阵的充要条件是矩阵-O的各阶主子式都是正的 -一个n×m对称矩阵O是负定矩阵的充要条件是矩阵-O的各阶主子式的值负、正相间。
例23：判定矩阵Q=-是否正定-解：对称矩阵Q的三个主子式依次为：-6-0=10>0-因此知矩阵Q是正定的
二次函数的一般形式为：-fx,Ax∑Σ8xx,+∑x+-其中8，b,C均为常数。-=8j-其向量矩阵表示形 是：fX=-X"QX +b"X+c-811-812-其中0=-821-822-82m-M-b=-Q为对称矩 -8n-8n2-nn-在代数学中将特殊的二次函数fx-】x'Qx称为二次型-对于二次函数，我们更关心的是为 定矩阵的情形。

数学学习的技巧如何应用数学优化方法

数学学习的技巧如何应用数学优化方法

数学学习的技巧如何应用数学优化方法数学学习作为一门基础科目，对我们的学业和职业发展有着重要的影响。

而掌握数学学习的技巧，可以帮助我们更有效地学习和应用数学知识。

本文将介绍如何将数学优化方法应用于数学学习的技巧中，以提高学习效果和解决实际问题。

一、了解数学优化方法的基本原理数学优化方法是一种通过数学模型和计算方法，寻找最优解或近似最优解的技术。

其基本原理是将问题转化为数学模型，建立目标函数以及约束条件，然后利用数学分析和计算方法求解最优解。

数学优化方法可以应用于各个领域，如经济学、工程学、物理学等。

二、应用数学优化方法提高数学学习效果1. 设置学习目标函数在数学学习中，我们可以将学习目标设为最大化理解和掌握的知识点数量，最小化学习时间。

通过合理的学习计划和方法，我们可以优化学习过程，提高学习效果。

2. 建立学习约束条件在学习过程中，我们需要考虑时间、能力、资源等方面的约束条件。

例如，每天的学习时间是有限的，我们可能需要将学习内容分割成小部分，并合理分配学习时间。

此外，我们还可以利用一些技巧来提高学习效率，如使用记忆法、做题技巧等。

3. 解决学习优化问题通过数学优化方法，我们可以将学习问题转化为数学模型，并利用数学分析和计算方法求解最优解。

例如，在准备数学考试时，我们可以将问题定义为最大化考试成绩，然后分析各个知识点的重要性和难度，并制定相应的学习计划和策略。

此外，我们还可以利用数学优化方法进行学习资料的选择和时间安排等。

三、实例分析：应用数学优化方法解决数学学习问题为了更好地说明数学优化方法在数学学习中的应用，我们以完成一道数学题为例进行分析。

假设有一道高中数学难题，要求证明一个数学定理，需要运用多种定理和推理方法。

我们可以将问题转化为数学优化模型，建立一个目标函数和多个约束条件。

目标函数可以设为证明的难度和所需时间的加权和，约束条件可以包括已学知识的应用、所需的推理步骤等。

然后，我们可以通过对各种证明方法的比较和分析，找到最佳的证明策略，并合理安排推理步骤和时间分配。

初中数学中的优化方法

初中数学中的优化方法

初中数学中的优化方法优化方法是数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中起着至关重要的作用。

优化方法可以帮助我们找到最佳的解决方案，使得某个目标函数达到最大或最小值。

在初中数学中，我们学习了一些常见的优化方法，如线性规划、最值问题等。

一、线性规划线性规划是一种常见的优化方法，它适用于一些具有线性关系的问题。

在线性规划中，我们需要确定一组变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一些线性约束条件。

例如，假设我们要在一定的预算下购买商品，我们可以使用线性规划来确定购买数量，使得总花费最小。

二、最值问题最值问题是数学中常见的优化问题之一。

在最值问题中，我们需要找到一个函数的最大值或最小值。

例如，我们要确定一个矩形的最大面积，可以通过求解函数的最值问题来得到答案。

在初中数学中，我们通常使用函数的图像和导数的概念来解决最值问题。

三、约束条件在优化问题中，约束条件是不可或缺的一部分。

约束条件限制了变量的取值范围，使得问题的解满足实际情况。

例如，在线性规划中，我们可能需要考虑预算的限制，这就是一个约束条件。

在解决优化问题时，我们需要将约束条件纳入考虑，并找到满足约束条件的最优解。

四、应用举例优化方法在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在生产过程中，我们可以使用优化方法来确定最佳的生产方案，使得成本最小或产量最大。

在交通规划中，我们可以使用优化方法来确定最短路径，以减少交通拥堵。

在资源分配中，我们可以使用优化方法来合理分配资源，以达到最优效果。

总结起来，初中数学中的优化方法是一种重要的数学工具，它可以帮助我们解决实际问题，找到最佳的解决方案。

通过学习线性规划、最值问题等内容，我们可以培养自己的优化思维能力，提高解决问题的能力。

在实际应用中，我们需要注意约束条件的考虑，确保解满足实际情况。

优化方法的应用范围广泛，可以在生产、交通、资源分配等领域发挥重要作用。

通过不断学习和实践，我们可以更好地掌握优化方法，为解决实际问题提供有效的数学工具。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

= =
h12 h13 x1 h11 x1 11 12 13 1 1 1 x + b , b , b x h h h ( x11, x22, x33 ) 21 22 23 21 22 23 2 2 ( 1 1 2 2 3 3) 2 2 2 h h x x h 31 32 33 3 31 32 33 3 3 3 1 2 2 2 2 1 2 1 2 h11 x + h x + h x + h12 x1x2 + h13 x1x3 + h23 x2x3 +bx +b2 x2 +b3 x3 22 33 1 11 1 1 22 2 2 33 3 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3 11 1 2 2 3 3 2 2 2
hij = h ji ij ji
1 2
b b 1 1 b22 b M M b b n n
1 T T HX + BT X +C 其向量矩阵表示形式是： f ( X ) = X T
其中 H=
B=
H为对称矩阵
T T
第二章 机械优化设计
第二节 优化方法的数学基础
一. 正定二次型
在n元函数中，除了线形函数：
f
(x
1 1
x2 L xn 2 n
)= ∑
n n
ii = 1 =1
a ii x ii + c
或 f(X)=aX+c
a1 1 a2 T 2 T a = M a n n
x1 1 x 2 X = 2 M xn n
外，最简单最重要的一类就是二次函数。
n n n n n 1 n 二次函数的一般形式为： f ( x1 , x2,Lxn = ∑∑hij x x + b x +c n) ij ii jj ∑ ii ii 1 2 2 ii= 1 1 ii= 1 1 jj= 1 1 = = =
梯度的模：
∂f ∂f ∇f = + ∂x1 ∂x2
2 2Biblioteka cos θ1 s≡ 因： 为单位向量。 cos θ 2 ∂f T 则有 = ∇ f ( x ) s = ∇f ( x0 ) cos(∇f , s ) x0 0 ∂s 梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度的 模就是函数变化率的最大值 。
一个n×n对称矩阵H是正定矩阵的充要条件是矩阵H的各 阶主子式都是正的。 一个n×n对称矩阵H是负定矩阵的充要条件是矩阵H的各 阶主子式的值负、正相间。
6 −3 1 例：判定矩阵H= −3 2 0 是否正定 1 0 4
解：对称矩阵H的三个主子式(行列式)依次为：
三、多元函数的泰勒展开
∆ x1 x1 − x 二元函数： ∆ x = = k ∆ x2 x 2 − x 2
k 1
1 T 2 f ( x ) = f ( x ) + ∇f ( x ) ∆x + ∆x ∇ f ( x k )∆x + L 2
k k T
二元函数：在点Xk处
6 = 6 > 0
6 −3 =3>0 −3 2
6 −3 −3 2 1 0
1 0 = 10 > 0 4
因此知矩阵H是正定的。
性质： 若二次函数 f ( X ) = X TT HX + BX + c 中H正定，则它的等 2 * − 1 值面是同心椭球面族，且中心为 X*= −H−1B
1 − 1 恰是二次目标函数的唯一极小点。 这族椭球面的中心 X** =−H− B
1
例：把二次函数
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) = 3x12 + x2 + 2x3
−3x1x2 + x1x3 − 4x1 + 5x2
化为矩阵向量形式并检验H是 否正定，如正定，试用公式
−1 * 1 X* = −H − B
求这个函数的极小点。
解：展开
1 T T T T f ( x1 x x = X HX + B X ) 1 2 2 3 3 2
∂f ∂s
x0
∂f =∑ i =1 ∂xi
n
T cos = ∇ f ( x ) s = ∇f ( x0 ) cos(∇f , s) θ x0 i 0
梯度 ∇ F ( x 0 ) 模：
n ∂f 2 ∇ f ( x0 ) = ∑ ( ) x0 i =1 ∂ x i
1 2
函数的梯度方向与函数等值面相垂直，也就是 和等值面上过x0的一切曲线相垂直。 由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处的 最大变化率是不同的。因此，梯度是函数的一种局 部性质。
梯度两个重要性质： 性质一 函数在某点的梯度不为零，则梯度必与过 该点的等值面垂直； 性质二
x2 x0
－∇ f(x0) 最速下降方向 下降方向 变化率为零的方向 上升方向
梯度方向是函数具有最大变化率的方向。
∇ f(x0) 最速上升方向
O
x1
例题 2-1
求函数f ( x ) = ( x1 − 2) + ( x2 − 1) 在点[3,2]T 的 梯度。
2 2
解：
∂f ∂x 2 x − 4 1 1 = ∇f ( x ) = 2 x − 2 ∂ f 2 ∂ x 2 2 x1 − 4 2 ∇f ( x ) = = 2 x2 − 2 x(1) 2 | ∇f ( x ) |= 2 2
∂f cosθ1 + ∂x2
cosθ 2
x0
x20
x0 θ2 θ1 ∆x1
∆x2
O
x10
x1
n元函数在点x0处沿s方向的方向导数 ∂f ∂s
n
x0
∂f = ∂x1
x0
∂f x 0 cos θ1 + ∂x2
x2
∂f x 0 cos θ 2 + L + ∂xn
x0
cosθ n
∂f =∑ i =1 ∂xi
* *
−2 2 ⋅⋅8 8 − − 6 ⋅ 7 − 6 ⋅ 7 0 ⋅⋅ 7 7 0
2 2 2 f ( x1, x2, x3) =3x1 +x2 +2x3
−3xx 1 2 +xx 1 3 −4x 1 +5x 2
二、 方向导数与梯度
x0
∂f cosθ1 + ∂x2
cosθ 2
x0
cosθ1 设 s= cos θ 2
∂f ∂f ∂f cosθ1 = cosθ ∂s ∂x1 ∂x2 2 = ∇f T ⋅ s = ∇f ⋅ s cos ( ∇f , s )
梯度方向和s方向重合时，方向导数值最大。
1、方向导数 二元函数在点x0处沿某一方向s的方向导数 ∂f ∂s
x0
f ( x10 + ∆x1 , x20 + ∆x2 ) − f ( x10 , x20 ) = lim ∆S → 0 ∆s
x2
x
S
方向导数是偏导数概念的推广。 方向导数与偏导数之间的数量关系是
∆s
∂f ∂s
x0
∂F = ∂x1
x0
(1) . ( 2) . ( 3) . ( 4) .
f ( X ) = C(常数) 则，∇f ( X ) = 0 f ( X ) = BT X 则，∇f ( X ) = B T f ( X ) = X X 则，∇f ( X ) = 2X H对称矩阵。 f ( X ) = X T HX
即，∇C = 0 . . 则，∇f ( X ) = 2HX
其中 hijij, bii, c 均为常数。
h L h11 h12 L h h11nn h 11 12 h h L h h h L h 21 22 2 n 21 22 2 n M M M M M M h hnn22 L L h hnn hnn11 h nn
在代数学中将特殊的二次函数 ff ( X X )= = 定义：设H为n×n对称矩阵
1 1 X X 2 2
H HX X
称为二次型。 二次型
对于二次函数，我们更关心的是H为正定矩阵的情形。
若 ∀X ∈ R nn ，X≠0 ，均有 X TT HX ＞0 ，则称矩阵H是正定的。
n T n X ∀ X ∈ R 若 ，且X≠0，均有 T HX ＜0，则称H是负定的。
∂ f ∂x 2 1 2 k ∇ f (x ) ≡ 2 ∂ f ∂x ∂x 2 1
2
∂ f ∂ x1∂ x2 2 ∂ f 2 ∂ x2
2
多元函数泰勒展开
1 T 2 f ( x ) = f ( x ) + ∇f ( x ) ∆ x + ∆ x ∇ f ( x k ) ∆ x + L 2 ∂ f ∂f ∂f T k ∇f ( x ) = [ L ]x k ∂x1 ∂x2 ∂ xn
在点x(1)=[3,2]T处的梯度为： x(1)=[3,2]T处的梯度模为：
2 2 0 ( ) f x , x = 3 x − 4 x x + x X = [ 0,1] 处的 1 1 2 2 在点 例2-2：试求目标函数 1 2
T
最速下降方向，并求沿这个方向移动一个单位长度后新点的目 标函数值。 ∂f ( X ) ∂f ( X ) = 6 x1 − 4 x 2 , = − 4 x1 + 2 x 2 解： 由于
2 2 + 5 + 5 5 0 5 X1 = X0 +e = + = 1 1 1 − 5 1 − 5 5 5