高中数学人教A版必修四阶段质量检测：(一) Word版含解析-

人教a版数学必修四测试题答案及解析一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-6x+c的图象与x轴有两个交点，则c的取值范围是（）A. c > 9B. c < 9C. c > 0D. c < 0答案：B解析：根据二次函数的图象与x轴交点个数与判别式的关系，当Δ=b^2-4ac > 0时，图象与x轴有两个交点。

将函数f(x)=x^2-6x+c 的系数代入Δ=36-4c，要使Δ > 0，需满足c < 9。

2. 已知等比数列{a_n}的公比q=2，且a_1=1，则a_5的值为（）A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A解析：等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，将已知条件代入公式得a_5 = 1 * 2^(5-1) = 2^4 = 16。

二、填空题3. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)。

答案：f'(x) = 3x^2 - 3解析：根据导数的计算规则，对于函数f(x)=x^3-3x+1，其导数f'(x)为3x^2-3。

4. 求直线y=2x+3与x轴的交点坐标。

答案：(-3/2, 0)解析：令y=0，解方程2x+3=0，得到x=-3/2，所以交点坐标为(-3/2, 0)。

三、解答题5. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=24，求a_4。

答案：a_4 = 5解析：设等差数列的首项为a_1，公差为d，则S_3 = 3a_1 + 3d = 9，S_6 = 6a_1 + 15d = 24。

联立解得a_1 = 1，d = 2。

因此a_4 = a_1 + 3d = 1 + 3*2 = 7。

6. 求函数f(x)=x^2-4x+c在区间[1,3]上的最小值。

答案：最小值为c-3解析：函数f(x)=x^2-4x+c的对称轴为x=2，开口向上。

在区间[1,3]上，函数在x=2处取得最小值，代入x=2得到f(2)=4-8+c=c-4。

阶段质量检测（一）(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a >b >c ，则一定成立的不等式是( ) A ．a |c |>b |c | B ．ab >ac C ．a －|c |>b －|c |D. 1a <1b <1c解析：选C 当c ＝0时，A 不成立； 当a <0时，B 不成立；当a ＝1，c ＝－1时，D 不成立． ∵a >b ，∴C 成立．2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：选A 设甲、乙两地的距离为S ，则从甲地到乙地所需时间为S a，从乙地到甲地所需时间为S b，又因为a <b ，所以全程的平均速度为v ＝2SS a ＋S b＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ，2ab a ＋b >2ab2b ＝a ，即a <v <ab .3．若a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则( ) A ．ab ＞bc B ．ac ＞bc C ．ab ＞acD ．a |b |＞c |b |解析：选C ∵a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c . ∴a ＞0，又b >c .∴ab >ac .4．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C.b a ＋a b>2D ．|a |－|b |＝|a －b |解析：选D 法一(特殊值法)：令a ＝－1，b ＝－2，代入A 、B 、C 、D ，知D 不正确． 法二：由1a <1b<0，得b <a <0，所以b 2>ab ，ab >a 2，故A 、B 正确．又由b a >1，a b >0，且b a ≠a b ，得b a ＋a b>2，故C 正确． 对于D ，由b <a <0⇔|a |<|b |.即|a |－|b |<0，而|a －b |≥0，故D 错误． 5．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4D ．－4解析：选B x >1⇒x －1>0，y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＋6≥log 2(2＋6)＝log 28＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号． 6．若6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )A ．(9,30)B ．[0,18]C ．[0,30]D ．(15,30)解析：选A 因为a 2≤b ≤2a ，所以3a2≤a ＋b ≤3a .又因为6<a <10，所以3a2>9,3a <30.所以9<3a2≤a ＋b ≤3a <30.即9<c <30.7．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <4}，则实数a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由|x －a |<b 得，a －b <x <a ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.8．设xy <0，x ，y ∈R ，则下列选项正确的是( ) A ．|x ＋y |>|x －y | B ．|x －y |<|x |＋|y | C ．|x ＋y |<|x －y |D ．| x －y |<||x |－|y ||解析：选C ∵xy <0，∴x ，y 异号．不妨取x ＝1，y ＝－1验证即可． 9．不等式|x ＋log 3x |<|x |＋|log 3x |的解集为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(0,1)解析：选D 在|a ＋b |≤|a |＋|b |中，当ab >0或至少有一者为零时取等号，∴当 |a ＋b |<|a |＋|b |时，ab <0，∴x ·log 3x <0，∵x >0，∴log 3x <0，故0<x <1.10．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或8 解析：选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2，如图1可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，答案为D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填在题中横线上) 11．函数f (x )＝3x ＋12x2(x >0)的最小值为________．解析：f (x )＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥333x 2·3x 2·12x 2＝9，当且仅当3x 2＝12x 2，即x ＝2时取等号．答案：912．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，则f (－2)＝________，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________．解析：f (－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6. |2x －1|＋x ＋3≤5⇔|2x －1|≤2－x ⇔x －2≤2x －1≤2－x⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥x －2，2x －1≤2－x解得－1≤x ≤1. 答案：6 [－1,1]13．定义运算x ·y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤y ，y ，x ＞y ，若|m －1|·m ＝|m －1|，则m 的取值范围是________．解析：依题意，有|m －1|≤m ，所以－m ≤m －1≤m ，所以m ≥12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 14．已知x 2＋2y 2＝1，则x 2y 4－1的最大值是________． 解析：∵x 2＋2y 2＝1，∴x 2＋y 2＋y 2＝1. 又∵x 2·y 4－1＝x 2·y 2·y 2－1，x 2·y 2·y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2＋y 233＝127， ∴x 2y 4－1≤127－1＝－2627.即x 2y 4－1≤－2627.∴x 2y 4－1的最大值是－2627.答案：－2627三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)解不等式：|2x －1－x |<2.解：原不等式⇔⎩⎨⎧2x －1－x <2，2x －1－x >－2.因为2x －1－x <2⇔2x －1<x ＋2 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋2≥0，2x －x ＋2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x 2＋2x ＋5>0⇔x ≥12.又2x －1－x >－2⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≥0，2x －x －2或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x 2－6x ＋5<0或12≤x <2， ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，1<x <5或12≤x <2⇔2≤x <5或12≤x <2⇔12≤x <5. 所以原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，12≤x <5⇔12≤x <5. 因此，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x <5. 16．(本小题满分12分)已知x >0，y >0， 证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . 证明：因为x >0，y >0， 所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0， 1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.结合a >0，解得x ≤－a2，即不等式f (x )≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.∵不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}， ∴－a2＝－1，故a ＝2.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝|x ＋m |－|5－x |(m ∈R)． (1)当m ＝3时，求不等式f (x )>6的解集；(2)若不等式f (x )≤10对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)当m ＝3时，f (x )>6， 即|x ＋3|－|5－x |>6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，x ＋3－x －，解得x ≥5；或⎩⎪⎨⎪⎧ －3<x <5，x ＋3＋x －，解得4<x <5；或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋x －，解集是∅.故不等式f (x )>6的解集为{x |x >4}．(2)f (x )＝|x ＋m |－|5－x |≤|(x ＋m )＋(5－x )|＝|m ＋5|， 由题意得|m ＋5|≤10，则－10≤m ＋5≤10，解得－15≤m ≤5， 故m 的取值范围为[－15,5]．。

第一章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是( )A ．终边相同的角一定相等B ．锐角都是第一象限角C ．第一象限角都是锐角D ．小于90°的角都是锐角答案：B2．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( ) A.17 B ．－17C ．－7D ．7答案：A解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝45， ∴sin α＝－45. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴cos α＝1－sin 2α＝35. ∴sin α＋cos αsin α－cos α＝－45＋35－45－35＝－15－75＝17. 3．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4答案：B解析：∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π. 4．若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( ) A ．2 B.12C ．3 D.13答案：B解析：由y ＝2cos ωx 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，即2×cos ⎝⎛⎭⎫ω×2π3＝1，cos ⎝⎛⎭⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合． 5．sin(－1740°)的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案：D解析：sin(－1740°)＝sin60°＝32. 6．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3 答案：B解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 7．下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数的偶函数是( ) A ．y ＝|sin x | B ．y ＝|sin2x |C ．y ＝|cos x |D ．y ＝tan x答案：A解析：作图比较可知．8．要得到函数y ＝cos(3x ＋2)的图象，只要将函数y ＝cos3x 的图象( )A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移23个单位 D ．向右平移23个单位 答案：C解析：∵y ＝cos(3x ＋2)＝cos3⎝⎛⎭⎫x ＋23， ∴只要将函数y ＝cos3x 的图象向左平移23个单位即可． 9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.32C ．－32 D.12答案：B解析：f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 10．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4(a >0)的最小正周期为1，且g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ax (x <0)g (x －1)(x ≥0)，则g ⎝⎛⎭⎫56等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案：C 解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π，∴g ⎝⎛⎭⎫56＝g ⎝⎛⎭⎫－16＝sin ⎝⎛⎭⎫－a 6＝ sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32. 11．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] 答案：A解析：因为ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，所以ωπ2＋π4≤ωx ＋π4≤ωπ＋π4，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A. 12．下图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始旋转，15s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 答案：A解析：∵T ＝15，故ω＝2πT ＝2π15，显然y max －y min 的值等于圆O 的直径长，即y max －y min ＝6，故A ＝y max －y min 2＝62＝3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 答案：m解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m . 14．已知f (x )的定义域为(0,1]，则f (sin x )的定义域是________．答案：(2k π，2k π＋π)，k ∈Z解析：由0<sin x ≤1得2k π<x <2k π＋π(k ∈Z )．15．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域为________． 答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0cos x ≥12， 如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )2k π－π3≤x ≤2k π＋π3 (k ∈Z )，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )， ∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }． 16．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________． ①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ②y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ③y ＝f (x )的最小正周期为2π；④y ＝f (x )的图象的一条对称轴为x ＝－π6. 答案：①②解析：4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故①②正确，③④错误． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值． 解：(1)∵|OP |＝1，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α. 由余弦函数的定义得cos α＝45，故所求式子的值为54. 18．(12分)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－2 2ax ＋a ＝0的两个根．(1)求实数a 的值；(2)若θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin θ－cos θ的值． 解：(1)∵(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，又∵⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝2 2a ，sin θ·cos θ＝a ， ∴a ＝12或a ＝－14，经检验Δ≥0都成立， ∴a ＝12或a ＝－14.(2)∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴a <0， ∴a ＝－14且sin θ－cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝－62. 19．(12分)若函数f (x )＝a －b cos x 的最大值为52，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx 的最值和最小正周期．解：当b ＞0时，⎩⎨⎧ a ＋b ＝52a －b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝32， g (x )＝－4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 当b ＜0时，⎩⎨⎧ a －b ＝52a ＋b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32， g (x )＝－4sin(－32x )＝4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. b ＝0时不符合题意．综上所述，函数g (x )的最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 20．(12分)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系是s ＝A sin(ω t ＋φ)，0<φ<π2，根据图象，求：(1)函数解析式；(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(3)单摆来回摆动一次需要多长时间？解：(1)由图象知，34T ＝1112－16＝34，所以T ＝1.所以ω＝2πT＝2π. 又因为当t ＝16时取得最大值，所以令2π·16＋φ＝π2＋2k π， ∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以φ＝π6.又因为当t ＝0时，s ＝3， 所以3＝A sin π6，所以A ＝6，所以函数解析式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (2)因为A ＝6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.(3)因为T ＝1，所以单摆来回摆动一次需要 1s.21．(12分)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期． (1)求f (0)；(2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求sin α的值．解：(1)f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫ω×0＋π6＝3sin π6＝32. (2)∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，所以f (x )的解析式为：f (x )＝3sin(4x ＋π6)． (3)由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95得3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6＝95，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝35，∴cos α＝35， ∴sin α＝±1－cos 2α＝± 1－⎝⎛⎭⎫352＝±45. 22．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π8，π2时，方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围； (3)将函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移m (m >0)个单位后所得函数g (x )的图象关于原点中心对称，求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π， 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，故函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )； (2)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上为减函数 又f ⎝⎛⎭⎫－π8＝0，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－2cos π4＝－1， ∴当k ∈[0，2)时方程f (x )＝k 恰有两个不同实根． (3)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋3π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ∴g (x )＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－m ＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2m 由题意得π4－2m ＝2k π，∴m ＝－k π＋π8，k ∈Z 当k ＝0时，m ＝π8，此时g (x )＝2sin2x 关于原点中心对称．。

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单元质量评估(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.与-525°终边相同的角可表示为( )A.525°-k·360°(k∈Z)B.165°+k·360°(k∈Z)C.195°+k·360°(k∈Z)D.-195°+k·360°(k∈Z)【解析】选C.-525°=-360°×2+195°，所以-525°与195°终边相同，所以与-525°终边相同的角可表示为195°+k·360°(k∈Z).2.若点P在的终边上，且|OP|=2，则点P的坐标为( )A.(1，-)B.(，-1)C.(-1，-)D.(-1，)【解析】选A.由任意角的三角函数定义知x P=|OP|cos=2×=1，y P=|OP|sin=2×=-，故点P坐标为(1，-).【补偿训练】若点A(x，y)是240°角终边上异于原点的一点，则的值为( )A.-B.C.-D.【解析】选D.由题意知=tan240°=tan(180°+60°)=tan60°=.3.(2015·合肥高一检测)已知tanα>0，且sinα+cosα<0，则( )A.cosα>0B.cosα<0C.cosα=0D.cosα符号不确定【解析】选B.由tanα>0知α是第一或第三象限角.又因为sinα+cosα<0，所以α是第三象限角，所以cosα<0.4.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得的图象的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A.y=sin，x∈RB.y=sin，x∈RC.y=sin，x∈RD.y=sin，x∈R【解析】选D.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin的图象，再将所得的图象的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y=sin的图象.5.在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a>0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )【解析】选D.当0<a<1时，y=sinax的周期T=>2π，B不正确，D正确；当a>1时，y=sinax的周期T=<2π.A，C都不正确.【补偿训练】不等式l og a x>sin2x(a>0且a≠1)对任意x∈都成立，则a的取值范围为( )A. B.C.∪D.【解题指南】先分析临界位置，如l og a x过点，再确定范围.【解析】选D.当y=log a x的图象恰好过点时有log a=1，所以a=.结合图形知≤a<1时在上y=log a x总在y=sin2x上方.即log a x>sin2x成立.6.下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f(x)=f(-x)和f(x-π)=f(x)的函数是( )A.f(x)=sinxB.f(x)=sinx·cosxC.f(x)=cosxD.f(x)=cos2x【解析】选D.由f(x)=f(-x)知f(x)为偶函数，排除A，B.由f(x-π)=f(x)知x=是f(x)图象的一条对称轴，排除C，故选D.7.(2015·汕头高一检测)下列比较大小错误的是( )A.sin(-70°)>sin(-80°)B.cos>cosC.tan<tanD.tan38°<tan43°【解析】选C.-90°<-80°<-70°<0°且y=sinx在上为增函数，所以sin(-80°)<sin(-70°)，故A正确；cos=cos=cos>0，cos=cos=cos<0，所以cos>cos，故B正确；tan=tan=-tan=-，tan=tan=-tan=-，所以tan>tan，C错误，易知D正确.8.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)，y=f(x)的部分图象如图，则f=()A.3B.C.1D.【解析】选A.由题干图知，T=2×=，所以ω==2.又图象过点，所以Atan=0，所以tan=0，所以φ+=kπ，k∈Z.所以φ=kπ-，k∈Z.又|φ|<，所以φ=，所以f(x)=Atan.又图象过点(0，1)，所以Atan=1，所以A=，即f(x)=tan，所以f=tan=3.【补偿训练】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，当x∈时，满足f(x)=1的x的值为( )A. B. C. D.【解析】选B.由图象知A=2.=2×=π，ω=2.故f(x)=2sin(2x+φ)，x=-时y=0，代入上式，得0=2sin，所以-+φ=kπ，k∈Z，故φ=kπ+，k∈Z，又|φ|<，所以φ=，所以f(x)=2sin.由f(x)=1得sin=，又2x+∈，所以2x+=，所以x=.9.(2015·安徽高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x=时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f<f<fB.f<f<fC.f<f<fD.f<f<f【解析】选A.因为函数f=Asin(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，所以T==π⇒ω=2，所以f=Asin，当x=时，2×+φ=+2kπ，k∈N⇒φ=+2kπ，k∈N，所以f=Asin，当2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时函数f取得最大值.下面只需要判断2，-2，0与最近的最高点处对称轴的距离，距离越大，函数值越小.当k=0时，x=，≈0.52，≈1.48；当k=1时，x=，≈1.67；当k=-1时，x=-，≈0.62，所以f<f<f，故选A.【补偿训练】(2015·宜昌高一检测)设y=f(t)是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.根据上述数据，函数y=f(t)的解析式为( )A.y=12+3sin，t∈[0，24]B.y=12+3sin，t∈[0，24]C.y=12+3sin，t∈[0，24]D.y=12+3sin，t∈[0，24]【解析】选A.由已知得A==3，k==12.=15-3，所以ω=，所以y=12+3sin，t=3，y=15代入上式得sin=1，解得φ=2kπ，k∈Z.所以y=12+3sin，t∈[0，24].10.(2015·武汉高一检测)函数f(x)=asinx+blog2(x+)+4(a，b为常数)，若f(x)在(0，+∞)上有最小值-4，则f(x)在(-∞，0)上有( )A.最大值-2B.最大值4C.最大值10D.最大值12【解析】选D.设g(x)=f(x)-4，则g(x)为奇函数.因为f(x)在(0，+∞)上有最小值-4，所以g(x)在(0，+∞)上有最小值-8.又因为g(x)为奇函数，所以g(x)在(-∞，0)上有最大值8.所以f(x)在(-∞，0)上有最大值12.11.定义在R上的函数满足f(x+2)=f(x)，且x∈[1，3]时，f(x)=cos x，则下列大小关系正确的是( )A.f(tan1)>fB.f<fC.f(sin2)>f(cos2)D.f(cos1)>f(sin1)【解析】选C.由题意知函数f(x)是以2为周期的函数，且在区间[-1，0]上为减函数，在区间[0，1]上是增函数，x=1是函数f(x)的一条对称轴，于是f(cos2)=f(2-cos2)=f(-cos2)，又因<2<，所以1>sin2>-cos2>0，因此有f(sin2)>f(-cos2)=f(cos2).12.(2015·厦门高一检测)已知函数f(x)=sinx+x，则使不等式f(sinθ)+f(cosθ)≥0成立的θ的取值范围是( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选C.函数f(x)=sinx+x的定义域为R，因为f(-x)=sin(-x)+(-x)=-sinx-x=-(sinx+x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，不等式f(sinθ)+f(cosθ)≥0可化为f(sinθ)≥-f(cosθ)=f(-cosθ)，又因为y=sinx和y=x在[-1，1]上均为增函数，所以f(x)=sinx+x在[-1，1]上为增函数，且sinθ∈[-1，1]，-cosθ∈[-1，1]，所以sinθ≥-cosθ，即sinθ+cosθ≥0，角θ终边所在区域如图所示，所以θ∈(k∈Z).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.弧长为3π，圆心角为的扇形的面积为________.【解析】设扇形的半径为R，由已知得·R=3π，所以R=4.所以扇形的面积S=××42=6π.答案：6π14.(2015·黄冈高一检测)函数y=2sin，x∈[-π，0]的单调递增区间为__________.【解析】y=2sin=-2sin，由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，设A=，B=[-π，0]，A∩B=，所以y=2sin，x∈[-π，0]的单调递增区间为[-，-]答案：【补偿训练】若f(x)=2sinωx(ω>0)在区间上的最大值是，则ω=__________.【解析】f(x)=2sinωx在即上为增函数.由题意知且f=.所以所以ω=6k+或6k+且0<ω<，所以ω=.答案：15.(2015·南昌高一检测)如图是一个半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动四圈，水轮上的点P相对于水面的高度y(米)与时间x(秒)满足函数关系式y=Asin(ωx+φ)+2(A>0，ω>0，φ∈(-，))，且初始位置(即x=0)时y=，则函数的表达式为__________.【解析】函数表达式为y=Asin(ωx+φ)+2，则由题意得A=3；T==15，故ω==π；由初始位置时y=知，=3sinφ+2；故sinφ=；再由φ∈知，φ=，所以函数表达式为y=3sin+2.答案：y=3sin+216.给出下列4个命题：①函数y=的最小正周期是；②直线x=是函数y=2sin的一条对称轴；③若sinα+cosα=-，且α为第二象限角，则tanα=-；④函数y=cos(2-3x)在区间上单调递减.其中正确的是__________.(写出所有正确命题的序号).【解析】函数y=sin的最小正周期是π，故①正确.对于②，当x=π时，2sin=2sinπ=-2，故②正确.对于③，由(sinα+cosα)2=得2sinαcosα=-，因为α为第二象限角，所以sinα-cosα==，所以sinα=，cosα=-，所以tanα=-，故③正确.对于④，函数y=cos(2-3x)的最小正周期为，而区间长度>，显然④错误.答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)若cosα=，α是第四象限角，求的值.【解析】由已知得sinα=-，===-=.18.(12分)(1)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(-3，4)，求cos(π-α)+cos的值.(2)若tanβ=3，求的值.【解析】(1)r=|OP|==5.所以sinα==，cosα==-，所以cos(π-α)+cos=-cosα-sinα=--=-.(2)原式===.19.(12分)(2015·宜昌高一检测)已知函数f(x)=2sin(2ωx+)+1(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心，(1)试求ω的值.(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[-π，π]上的图象.【解析】(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，所以-+=kπ，k∈Z，所以ω=-3k+，k∈Z，因为0<ω<1，所以k=0，ω=. (2)由(1)知f(x)=2sin+1，x∈[-π，π]列表如下，x+-π-πx -π--π-1 1则函数f(x)在区间x∈[-π，π]上的图象如图所示.【拓展延伸】“巧”画图象“妙”解题在利用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，如果能正确利用函数的性质就能更快、更准确地画出函数图象的简图.例如定出第一个关键点后，就可以根据五个关键点横坐标之间的距离都为，画出另外四个关键点.20.(12分)(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式.(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.【解析】(1)根据表中已知数据，得A=5，ω=2，φ=-.数据补全如表：π且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知f(x)=5sin，得g(x)=5sin.因为y=sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x+2θ-=kπ，k∈Z，解得x=+-θ，k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称，令+-θ=，k∈Z，解得θ=-，k∈Z.由θ>0可知，当k=1时，θ取得最小值.【补偿训练】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：(1)请将表数据补全，并直接写出函数f(x)的解析式.(2)将函数f(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)的单调递减区间.【解析】(1)函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)函数g(x)=2sin.令2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数y=g(x)的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z.21.(12分)已知f(x)=3sin-1.(1)f(x)的图象是由y=sinx的图象如何变换而来？(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x的值.【解析】(1)将函数y=sinx图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y=3sinx的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin2x的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=3sin的图象，再把所得函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)=3sin-1的图象.(2)最小正周期T=π，由2x+=+kπ(k∈Z)，得对称轴方程为x=+(k∈Z).当2x+=+2kπ(k∈Z)，即x=+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值2.【补偿训练】(2015·都江堰高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中的周期为π，其图象上一个最高点为M，(1)求f(x)的解析式.(2)当x∈时，求f(x)的最值及相应的x的值.【解析】(1)由T=π得ω===2，由最高点为M得A=2，且2sin=2，即sin=1，所以+φ=2kπ+，故φ=2kπ+(k∈Z)，又因为φ∈，所以φ=，所以f(x)=2sin.(2)因为x∈，所以2x+∈，所以当2x+=，即x=0时，f(x)取得最小值1；当2x+=，即x=时，f(x)取得最大值2.22.(12分)(2015·南通高一检测)某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°.(1)设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域.(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用.【解析】(1)因为在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，所以OE=.在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，所以OF=.又∠EOF=90°，所以EF===，所以l=OE+OF+EF=++，即l=，当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=；当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=.故此函数的定义域为.(2)由题意知，要求建设总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可.由(1)得，l=，α∈，设sinα+cosα=t，则sinα·cosα=，所以l===，由≤α+≤，得≤t≤，所以≤t-1≤-1，从而+1≤≤+1，当α=，即BE=25时，l min=50(+1)，所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000(+1)元.关闭Word文档返回原板块。

人教a版数学必修4测试题答案及解析一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-2x+3，则f(1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D解析：将x=1代入函数f(x)=x^2-2x+3，得到f(1)=(1)^2-2*1+3=2。

2. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=3，公差d=2，则a_5的值为（）A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A解析：根据等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入n=5，得到a_5=3+(5-1)*2=13。

二、填空题3. 已知函数y=x^3-3x^2+2，求导数y'的值为（）。

答案：3x^2-6x解析：利用求导法则，对函数y=x^3-3x^2+2求导，得到y'=3x^2-6x。

4. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，求圆心坐标为（）。

答案：(3, -4)解析：将圆的方程整理为标准形式(x-3)^2+(y+4)^2=49，由此可知圆心坐标为(3, -4)。

三、解答题5. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求函数的极值点。

答案：x=1或x=2解析：首先求导数f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1或x=2。

然后计算二阶导数f''(x)=6x-6，代入x=1和x=2，得到f''(1)=0，f''(2)>0，因此x=1为拐点，x=2为极小值点。

6. 已知等比数列{a_n}的前三项分别为a_1=2，a_2=4，a_3=8，求数列的通项公式。

答案：a_n=2^n解析：根据等比数列的性质，公比q=a_2/a_1=4/2=2，所以通项公式为a_n=a_1*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n。

四、证明题7. 证明：若a，b，c为正实数，且a+b+c=1，则(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc。

答案：证明如下解析：由柯西不等式得(a+b)(b+c)(c+a)≤(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)=3(a^2+b^2+c^2)。

高中一年级质量检测数学科试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目填写在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分． 4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管．参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+.一．选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡中． 1. 已知直线l 的倾斜角为300，则直线的斜率k 值为（ ）．A ．33B ．21 C ．3D ．23 2. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为（ ） A ． π B ． 4π C ．23πD ．34π3. 已知函数3)1(+-=x m y 在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ． ),1(+∞B ．)0,(-∞C ．),0(+∞D ．)1,(-∞4． 右面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为A . i>20B. i<20C. i>=20D. i<=205．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组： 第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组， 成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩 大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组 方法得到的频率分布直方图．设成绩大于等于15秒且 小于17秒的学生人数为x ，则从频率分布直方图中可 分析出x 为（ ）A. 48B. 27C. 35D. 326．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过ml mg 2.0。

阶段质量检测(一) A 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AD DB ＝45，DE ∥BC ，则ECAC 等于( )A.95B.54C.59D.49解析：选C ∵DE ∥BC ，AD DB ＝45， ∴AB DB ＝95.∴DB AB ＝59. 又∵DB AB ＝EC AC ，∴EC AC ＝59.2.如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4 C.3∶ 2D.2∶ 3解析：选A Rt △ACD ∽Rt △CBD ， ∴AC BC ＝AD CD ＝32.3．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，DC ＝23AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE .若图中的两个三角形相似，则DE 的长是( )A ．6B ．8C ．6或8D ．14解析：选C 依题意，本题有两种情形：(1)如图1，过D 作DE ∥CB 交AB 于E . 则AD AC ＝DE CB . 又∵DC ＝23AC ，∴AD AC ＝13.∴DE ＝13BC ＝6.(2)如图2，作∠ADE ＝∠B ，交AB 于E ，∴AD AB ＝DE BC . 又∵AD ＝13AC ＝4，∴DE ＝AD ·BC AB ＝4×189＝8.∴DE 的长为6或8.4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD 的高，且AC ＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215B.215C.3215D.2125解析：选A AC 2＝CD ·BC ， 即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝ 2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215. 5．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝2 cm ，则CD 和BC 的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm解析：选D 设AD ＝x ， 则由射影定理得x (x ＋3)＝4， 即x ＝1(负值舍去)， 则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)，BC ＝BD ·AB ＝3(3＋1)＝23(cm)．6.如图，DE ∥BC ，S△ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( ) A ．1∶4 B ．1∶3 C ．1∶2D ．1∶5解析：选C 由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8， 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ，∴⎝⎛⎭⎫AD AB 2＝S △ADE S △ABC ＝19. ∴AD AB ＝13，AD DB ＝12.7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40°解析：选C A 项中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 项中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ；D 项中AB AC ＝DEDF ，∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ；而C 项中不能保证三边对应成比例．8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( )A.14B.13C.12D ．2解析：选C 由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶4.令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 9.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE ，BE ，BD 且AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF 等于( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：选A ∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△EDF . ∴DE AB ＝DF FB ＝25.∴S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫252＝425.又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410. ∴S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝4∶10∶25.10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD ＝3，则AE ∶EC 等于( )A.125B.512C.75D.57解析：选A ∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD . ∵BCCD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125. ∴AE EC ＝AG CD ＝125.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，设l 1∥l 2∥l 3，AB ∶BC ＝3∶2，DF ＝20，则DE ＝________.解析：EF ∶DE ＝AB ∶BC ＝3∶2， ∴DE DF ＝25，又DF ＝20，∴DE ＝8.答案：812．如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.解析：∵PE ∥BC ，∠C ＝∠A ， ∴∠PED ＝∠C ＝∠A . ∴△PDE ∽△PEA . ∴PE PA ＝PD PE ，即PE 2＝PD ·PA . 又PD ＝2，DA ＝1， ∴PA ＝3.∴PE 2＝2×3＝6，故PE ＝ 6. 答案： 613.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝________.解析：在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3， 所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝32. 在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3， 由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214， 故ED ＝212. 答案：21214．如图，▱ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，BCBM －ABBN 的值为________． 解析：∵AD ∥BM ，∴AB BN ＝DMMN. 又∵DC ∥AN ， ∴DM MN ＝MC MB . ∴DM ＋MN MN ＝MC ＋MBMB， 即DN MN ＝BC BM .∴BC BM －AB BN ＝DN MN －DM MN ＝MN MN ＝1.答案：1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB ，AC 于点M ，N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB. ∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝ANNC . ∵BD ＝DC ，∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝ANNC. ∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F .求证：BP 2＝PE ·PF . 证明：连接PC ， ∵AB ＝AC ，AD 是中线， ∴AD 是△ABC 的对称轴，故PC ＝PB . ∠PCE ＝∠ABP . ∵CF ∥AB ， ∴∠PFC ＝∠ABP ， 故∠PCE ＝∠PFC . ∵∠CPE ＝∠FPC ， ∴△EPC ∽△CPF ， 故PC PF ＝PE PC ， 即PC 2＝PE ·PF ， ∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB ，DC 于E ，F ，交DA ，BC 的延长线于G ，H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F ，H ，C 重合时，请判断PE ，PC ，PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD . ∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PBPD .∴PE PF ＝PHPG.∴PE ·PG ＝PF ·PH . (2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图， ∵AB ∥CD ， ∴PE PC ＝PBPD. ∵AD ∥BC ， ∴PC PG ＝PB PD. ∴PE PC ＝PCPG，即PC 2＝PE ·PG . 18．(本小题满分14分)如图(1)，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，点M 在对角线AC 上，AM ＝14AC ，直线l 过点M 且与AC 垂直，与边AD 相交于点E .(1)如果AD ＝3，求证点B 在直线l 上；(2)如图(2)，如果直线l 与边BC 相交于点H ，直线l 把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD 的长；(3)如果直线l 分别与边AD ，AB 相交于E ，G ，当直线l 把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE 的长．解：(1)证明：连接BD ，交AC 于O 点， ∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝12AC .∵AM ＝14AC ，∴AM ＝OM .在Rt △ABD 中，AB ＝1，AD ＝3， ∴BD ＝AB 2＋AD 2＝2. ∴BO ＝OA ＝AB ＝1.∴△AOB 是等边三角形．又AM ＝OM ， ∴BM ⊥AO .∴点B 在直线l 上．(2)设AD ＝a ，则AC ＝1＋a 2.∵∠EAM ＝∠CAD ，∠AME ＝∠D ＝90°， ∴△AEM ∽△ACD .∴AE AC ＝AMAD . 又AM ＝14AC ＝141＋a 2，∴AE ＝AC ·AM AD ＝1＋a24a.由AE ∥HC ，得△AEM ∽△CHM ， ∴AE HC ＝AM MC ＝13.∴HC ＝3AE . 又BH ＝BC －HC ＝a －3(1＋a 2)4a ＝a 2－34a ，而S 梯形ABHE ＝12(AE ＋BH )·AB＝12⎝⎛⎭⎫1＋a 24a ＋a 2－34a ·1＝a 2－14a . ∵S 梯形ABHE ∶S 梯形EHCD ＝2∶7， ∴S 梯形ABHE ＝29S 矩形ABCD ＝29a .∴a 2－14a ＝29a .解得a ＝3，即AD ＝3.(3)如图，由题意知直线l 分别交AD ，AC ，AB 于E ，M ，G 三点， 则有△AEG ∽△DCA ，∴AG AD ＝AE DC. ∵DC ＝1， ∴AE ＝AGAD .∵S △AEG ＝12AE ·AG ，S △AEG S 多边形EGBCD ＝16，∴S△AEGS矩形ABCD＝17.∴12AE·AG AD·DC＝17，即AE·AGAD＝27.∴AE2＝27，AE＝147.。

阶段质量检测（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若角α的终边经过点P (－1,3)，则tan α的值为( ) A ．－13 B ．－3C ．－1010 D.31010解析：选B 由定义，若角α的终边经过点P (－1,3)，∴tan α＝－3.故选B. 2．若sin α＝33，π2<α<π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．－63 B ．－12C.12 D.63解析：选A ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，又π2<α<π，sin α＝33，∴cos α＝－63. 3．已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1C.2π3D ．3 解析：选B 弧长l ＝3r －2r ＝r ，则圆心角α＝lr＝1.4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：选C f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋3π4， 当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π4.5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 解析：选D 周期为π，排除A ，B ；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，所以选D.6．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：选C 令k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z ，选C.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32 解析：选C ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π，∴3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.8．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选B 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos π2－2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos2x －π3.故选B.9．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32 B ．2C ．0 D.34解析：选A f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∵－π6≤x ≤π6，∴－12≤sin x ≤12.当sin x ＝－12时，f (x )min ＝14；当sin x ＝12时，f (x )max ＝54，∴f (x )min ＋f (x )max ＝14＋54＝32.10．同时具有下列性质的函数可以是( ) ①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立； ②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数． A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选B 依题意知，满足条件的函数的周期是π，图象以直线x ＝π3为对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．对于A 选项，函数周期为4π，因此A 选项不符合；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，因此C 选项不符合；对于D 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠±1，即函数图象不以直线x ＝π3为对称轴，因此D 选项不符合．综上可知，应选B.11.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 解析：选C 由图象可知A ＝2，因为π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π4，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8·2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝1，又|φ|<π，解得φ＝3π4.故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 12．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a解析：选A 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )，即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是________． 解析：因为π2<α<π，所以cos α<0，sin α>0，所以cos α＝－cos 2α＝－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝－11＋tan 2α＝－11＋3＝－12.sin α＝32，所以cos α－sin α＝－1＋32.答案：－1＋3214．函数f (sin x )＝cos 2x ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________． 解析：令sin x ＝12，得x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π3＝12. 答案：1215．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，b a >b ，例如1*2=1，则函数f （x ）=sin x *cos x的值域为________．解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确． 对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3×7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确． 对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知tan α＋1tan α＝52，求2sin 2(3π－α)－3cos π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2的值．解：tan α＋1tan α＝52，即2tan 2α－5tan α＋2＝0，解得tan α＝12或tan α＝2.2sin 2(3π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2 ＝2sin 2α－3sin αcos α＋2 ＝2sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＋2. 当tan α＝12时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－3×12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝－45＋2＝65；当tan α＝2时，原式＝2×22－3×222＋1＋2＝25＋2＝125. 18．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2(2)令2k π－π2≤13x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以2k π－π3≤13x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，解得6k π－π≤x ≤2π＋6k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6的单调递增区间为[6k π－π，2π＋6k π]，k ∈Z .19．(12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)写出f (x )的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．解：(1)列表如下：x －π4 π4 3π4 5π4 7π4 x ＋π4π2 π3π2 2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π40 10 －13sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 0 3 0 －3 0描点画图如图所示．(2)由图可知，值域为[－3,3]，最小正周期为2π， 对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．20．(12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合． 解：(1)因为函数图象过点(0,1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，所以当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . (3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12，所以π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，所以y ≥1时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z .21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 的图象与x 轴有两个交点，某某数m 的取值X 围．解：(1)由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又因为－π<φ<π，所以φ＝π3.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ， 则π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(3)由题意知，方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上有两个根．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.所以m －16∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.所以m ∈[33＋1,7)．22．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－b (ω>0,0<φ<π)的图象两相邻对称轴之间的距离是π2.若将f (x )的图象先向右平移π6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象对应的函数g (x )为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的对称轴及单调区间；(3)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)因为2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)－b .又因为函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ－b ＋3为奇函数，且0<φ<π，所以φ＝π3，b ＝3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3. (2)令2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得对称轴为直线x ＝π12＋k π2，k ∈Z .令2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，得单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，令2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，得单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以－3≤f (x )≤1－3，所以－1－3≤f (x )－1≤－ 3.因为f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立， 整理可得m ≤1f x －1＋f (x )－1.由－1－3≤f (x )－1≤－3，得－1－332≤1f x －1＋f (x )－1≤－433， 故m ≤－1－332，即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1－332.。

人教a版数学必修4的测试题答案及解析一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数y=f(x)在区间(a,b)上是增函数，那么下列说法正确的是（）A. f(a) > f(b)B. f(a) < f(b)C. f(a) = f(b)D. f(a)与f(b)的大小关系不确定答案：B解析：根据增函数的定义，如果函数y=f(x)在区间(a,b)上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈(a,b)，当x1 < x2时，都有f(x1) < f(x2)。

因此，a < b时，f(a) < f(b)。

2. 已知函数f(x)=x^2-6x+c，若f(x)在[2,+∞)上单调递增，则c的取值范围是（）A. c > 4B. c ≥ 4C. c < 4D. c ≤ 4答案：B解析：首先，我们找到函数f(x)的对称轴，即x=3。

因为f(x)在[2,+∞)上单调递增，所以对称轴x=3应该在区间[2,+∞)的左侧，即3 ≤ 2，这显然是不可能的。

因此，我们需要找到使得f(x)在[2,+∞)上单调递增的c的最小值。

由于f(x)=x^2-6x+c是一个开口向上的抛物线，所以当x=3时，f(x)取得最小值。

因此，f(3)=9-18+c=c-9≥0，解得c≥4。

3. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：首先求出函数y=x^3-3x+1的导数，即y'=3x^2-3。

将x=1代入导数表达式，得到y'(1)=3(1)^2-3=3-3=0。

但是，题目要求的是x=1处的导数，而我们计算的是x=1时的导数值，这两者是不同的。

我们需要重新计算，y'(1)=3(1)^2-3=3-3=0，所以正确答案应该是B。

4. 已知函数f(x)在x=2处有极值，且f'(2)=0，那么f''(2)的符号是（）A. 正B. 负C. 零D. 不确定答案：D解析：根据极值的定义，如果函数f(x)在x=2处有极值，那么f'(2)=0。

1．4三角函数的图象与性质第9课时正弦函数、余弦函数的图象答案B解析由y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，作出y＝－sin x，x∈[0，2π]的图象，再画出y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象．A．只关于x轴对称B．关于原点对称C．关于原点、x轴对称D．关于原点、坐标轴对称答案C解析作出函数y＝cos x与函数y＝－cos x的简图(图略)，易知选C．3．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为()答案D解析 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2或3π2≤x ≤2π，0，π2<x <3π2.4．函数y ＝－cos x (x >0)的图象中与y 轴距离最近的最高点的坐标为( ) A ．π2，1 B ．(π，1) C ．(0，1) D ．(2π，1) 答案 B解析 作出函数y ＝－cos x (x >0)的图象，如图所示，由图易知与y 轴距离最近的最高点的坐标为(π，1)．A ．π4，3π4B ．π4，π2∪5π4，3π2C ．π4，π2D ．5π4，7π4 答案 A解析 ∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈π4，3π4．6．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．①y>1，②y<1；(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．解列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．(1)由图象可知图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部位时y<1，所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1．(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，所以a的取值范围是(－1，1)∪(1，3)．7．方程sin x＝1－a2在x∈π3，π上有两个实数根，求a的取值范围．解首先作出y＝sin x，x∈π3，π的图象，然后再作出y＝1－a2的图象，如果y ＝sin x ，x ∈π3，π与y ＝1－a 2的图象有两个交点，方程sin x ＝1－a 2，x ∈π3，π就有两个实数根．设y 1＝sin x ，x ∈π3，π，y 2＝1－a 2． y 1＝sin x ，x ∈π3，π的图象如图．由图象可知，当32≤1－a 2<1，即－1<a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈π3，π上有两个实根，所以a 的取值范围为－1<a ≤1－3．一、选择题1．若sin θ＝1－log 2x ，则实数x 的取值范围是( ) A ．[1，4] B ．14，1 C ．[2，4] D ．14，4 答案 A解析 由正弦函数的图象，可知－1≤sin θ≤1，所以－1≤1－log 2x ≤1，整理得0≤log 2x ≤2，解得1≤x ≤4，故选A ．2．要得到函数y ＝－sin x 的图象，只需将函数y ＝cos x 的图象( ) A ．向右平移π2个单位长度 B ．向右平移π个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向左平移π个单位长度 答案 C解析 因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ，由图象平移变换可知，由y ＝cos x 图象向左平移π2个单位即可得到y ＝－sin x 的图象，故选C ．3．在[0，2π]上，满足sin x ≥32的x 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π答案 C解析 y ＝32与y ＝sin x 的两个交点为π3，32，2π3，32，∴x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3．4．方程sin x ＝lg x 的解有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C解析 如图所示，由于y ＝lg x 的图象过点(10，1)，故两图象有3个公共点，所以方程sin x ＝lg x 有3个解．5．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝2只有1个交点．二、填空题6．关于三角函数的图象，有下列命题：①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同； ③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ②④解析 对于②，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同；对于④，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称；由图可知①③均不正确．故真命题是②④．7．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝4的交点坐标为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4解析 作出函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0，2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y ＝4的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4．8．已知函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．答案 (1，3)解析 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎨⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]的图象如图．若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k 的取值范围是(1，3)．三、解答题9．分别作出下列函数的图象．(1)y ＝|cos x |，x ∈R ； (2)y ＝sin|x |，x ∈R ．解(1)y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x 2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，－cos x 2k π＋π2<x <2k π＋3π2(k ∈Z )．其图象如图所示．(2)y ＝sin|x |＝⎩⎨⎧sin x (x ≥0)，－sin x (x <0)，其图象如图所示．10．已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系． 解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图． 由图象可知，①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ； ②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x ．。

人教A 版高一必修四阶段质量检测：(一)_Word 版含解析阶段质量检测（一）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30° 2．若sin α＝33，π2<α<π，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．－63B ．－12C.12D.633．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B.2sin 1C ．2sin 1D ．sin 24．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π25．化简1＋2sin （π－2）·cos （π－2）得( ) A ．sin 2＋cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2－cos 2 D ．±cos 2－sin 26．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( )A.12B ．－12 C.32 D ．－32 8．设α是第三象限的角，且⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32B ．2 C ．0 D.3410．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π611．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π412．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，且f ⎝⎛⎭⎫－14＝－a ，那么f ⎝⎛⎭⎫94等于( ) A ．a B ．2a C ．3a D ．4a二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是________． 14．设f (n )＝cos ⎝⎛⎫n π2＋π4，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于________．15．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤b ），b （a >b ），例如1*2＝1，则函数f (x )＝sin x *cos x 的值域为________．16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝⎛⎭⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 18．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 19．(12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(2)写出f (x )的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．20．(12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0，1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合．21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 的图象与x 轴有两个交点，求实数m 的取值范围．22．(12分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0，0≤θ⎭⎫≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值．答 案1. 解析：选B 因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.2. 解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，又π2<α<π，sin α＝33，∴cos α＝－63. 3. 解析：选B 如图，由题意知θ＝1，BC ＝1，圆的半径r 满足sin θ＝sin 1＝1r ，所以r ＝1sin 1，弧长AB ＝2θ·r ＝2sin 1.4. 解析：选C f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋3π4，当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π4.5. 解析：选C1＋2sin （π－2）·cos （π－2）＝1＋2sin 2·（－cos 2） ＝（sin 2－cos 2）2， ∵π2<2<π，∴sin 2－cos 2>0. ∴原式＝sin 2－cos 2.6. 解析：选C 令k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z ，选C.7. 解析：选C ∵⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＝π， ∴3π4－α＝π－⎝⎛⎭⎫π4＋α，∴sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32. 8. 解析：选B ∵α是第三象限的角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z .∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z . ∴α2在第二或第四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2是第二象限的角． 9. 解析：选A f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54，∵－π6≤x ≤π6， ∴－12≤sin x ≤12.当sin x ＝－12时，f (x )min ＝14；当sin x ＝12时，f (x )max ＝54，∴f (x )min ＋f (x )max ＝14＋54＝32.10. 解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3，然后将其图象向左平移π3个单位，即将x 变为x ＋π3.∴y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6.11. 解析：选C 由图象可知A ＝2，因为π8－⎝⎛⎭⎫－π8＝π4，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝⎛⎭⎫－π8·2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝1，又|φ|<π，解得φ＝3π4.故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4.12. 解析：选A 由f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫x ＋12＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－12＝f (x )， 即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数， 则f ⎝⎛⎭⎫94＝f ⎝⎛⎭⎫14＝－f ⎝⎛⎭⎫－14＝a . 13. 解析：因为π2<α<π，所以cos α<0，sin α>0，所以cos α＝－cos 2α＝－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝－11＋tan 2α＝－11＋3＝－12.sin α＝32， 所以cos α－sin α＝－1＋32.答案：－1＋3214. 解析：f (n )＝cos ⎝⎛⎭⎫n π2＋π4的周期T ＝4，且f (1)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＝cos 3π4＝－22，f (2)＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－22，f (3)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋π4＝22， f (4)＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4＝22.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝－22. 答案：－2215. 解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 16. 解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12的最小正周期是π，则y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确．对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝⎛⎭⎫3×7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝⎛⎭⎫23，3长度73>2π3，显然④错误． 答案：①②③17. 解：由tan αtan α－1＝－1，得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3⎝⎛⎭⎫122＋12＋2⎝⎛⎭⎫122＋1＝135.18. 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝2(2)令2k π－π2≤13x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以2k π－π3≤13x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，解得6k π－π≤x ≤2π＋6k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6的单调递增区间为[6k π－π，2π＋6k π]，k ∈Z .19. 解：(1)列表如下：描点画图如图所示．(2)由图可知，值域为[－3，3]，最小正周期为2π， 对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．20. 解：(1)因为函数图象过点(0，1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，所以当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . (3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6≥12，所以π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，所以y ≥1时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z .21. 解：(1)由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π，ω＝2πT ＝2. 由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又因为－π<φ<π，所以φ＝π3.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ， 则π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(3)由题意知，方程sin ⎝⎛⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎡⎤－π3，π6上有两个根．因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3.第11页 共11页 所以m －16∈⎣⎡⎭⎫32，1. 所以m ∈[33＋1，7)． 22. 解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中， 得cos θ＝32. ∵0≤θ≤π2，∴θ＝π6. ∵T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. (2)∵点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，y 0＝32， ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3. ∵点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32， 且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. ∴4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6. ∴x 0＝2π3或x 0＝3π4.。

人教A 版高一必修四阶段质量检测：(二)_Word 版含解析阶段质量检测（二）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在五边形ABCDE 中(如图)，＝( )2．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)3．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，若λa ＋b 与a 垂直，则λ的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．24．若|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2A.12 B ．－12 C.32 D ．－326．已知向量满足：|a |＝2，|b |＝3，|a －b |＝4，则|a ＋b |＝( ) A. 6 B.7 C.10 D.11A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心8．平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2，1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b ∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π4 C.π2 D.3π49．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设＝a ，＝b ，则等于( )A.43a ＋23bB.23a ＋43bC.23a －43b D ．－23a ＋43bA.⎝⎛⎭⎫0，π3B.⎝⎛⎭⎫π3，5π6C.⎝⎛⎭⎫π2，2π3D.⎝⎛⎭⎫2π3，5π611．已知a ＝(－1，3)，＝a －b ，＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB 的面积是( )A. 3 B ．2 C ．2 2 D ．412．已知向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，p ＝(x ，y )，定义新运算m ⊗n ＝(ac ＋bd ，ad ＋bc )，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m 都有m ⊗p ＝m 成立，则向量p 为( )A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(0，－1) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(2x ＋3，2－x )，b ＝(－3－x ，2x )(x ∈R )．则|a ＋b |的取值范围为________． 14．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若a ＝e 1＋λe 2与b ＝－(2e 1－3e 2)共线，则实数λ等于________． 15．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.18．(12分)设向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，且a 与b 不共线．(1)求证：(a ＋b )⊥(a －b )；(2)若向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α. 19．(12分)如图，平行四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，(1)以a ，b 为基底表示向量(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求20．(12分)在边长为1的正△ABC 中，AD 与BE 相交于点F .21．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2.22．(12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求的坐标；(3)已知D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．答 案1. 解析：选B ∵＝＝.2. 解析：选B ∵a ∥b ，∴－21＝m2，∴m ＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3.解析：选A由题意可知(λa＋b)·a＝λa2＋b·a＝0.∵|a|＝10，a·b＝1×4＋(－3)×(－2)＝10，∴10λ＋10＝0，λ＝－1.4.解析：选B由于(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝0，所以a·b＝|a|2＝2，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝222＝22，即a与b的夹角是π4.5.6.解析：选C由题意|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝16，∴a·b＝－32.∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝10，∴|a＋b|＝10.7.∴P是△ABC的垂心．8.解析：选C由题意知b－c＝(－3，1－y)，a＋c＝(x＋1，y－3)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3x－3（1－y）＝0，x＋1＋2（y－3）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝2，∴c＝(1，2)，而b·c＝－2×1＋1×2＝0，∴b⊥c.9.10.11. 解析：选D 由题意||＝||且⊥，所以(a －b )2＝(a ＋b )2且(a －b )·(a ＋b )＝0， 所以a ·b ＝0，且a 2＝b 2， 所以|a |＝|b |＝2，所以S △AOB ＝12||·||＝12（a －b ）2（a ＋b ）2＝12（a 2＋b 2）2＝4. 12. 解析：选A 因为m ⊗p ＝m ，即(a ，b )⊗(x ，y )＝(ax ＋by ，ay ＋bx )＝(a ，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝a ，ay ＋bx ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a （x －1）＋by ＝0，ay ＋b （x －1）＝0. 由于对任意m ＝(a ，b )， 都有(a ，b )⊗(x ，y )＝(a ，b )成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0. 所以p ＝(1，0)．故选A.13. 解析：因为a ＋b ＝(x ，x ＋2)， 所以|a ＋b |＝x 2＋（x ＋2）2＝2x 2＋4x ＋4 ＝2（x ＋1）2＋2≥2，所以|a ＋b |∈[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)14. 解析：因为a ，b 共线，所以由向量共线定理知，存在实数k ，使得a ＝k b ， 即e 1＋λe 2＝－k (2e 1－3e 2)＝－2k e 1＋3k e 2 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2k ，λ＝3k ，解得λ＝－32.答案：－3215. 解析：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．则由A (0，0)，B (2，0)，E (2，3)，D (1，3，可得＝1.答案：1 16.答案：[1，4]17. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)， ∴a －b ＝(－2，0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)， ∴a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.18. 解：(1)证明：由题意，得a ＋b ＝⎝⎛⎫cos α－12，sin α＋32，a －b ＝⎝⎛⎭⎫cos α＋12，sin α－32，因为(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝1－1＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )．(2)因为向量3a ＋b 与a －3b 的模相等， 所以(3a ＋b )2＝(a －3b )2，所以|a |2－|b |2＋23a ·b ＝0，因为|a |＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， 所以|a |2＝|b |2，所以a ·b ＝0， 所以－12cos α＋32sin α＝0，所以tan α＝33， 又因为0≤α＜2π， 所以α＝π6或α＝7π6.19. 解：(1)∵M 为DC 的中点，(2)由已知得a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6，＝12a 2＋⎝⎛⎭⎫1－112a ·b －16b 2 ＝12×32＋1112×(－6)－16×42 ＝－113.20. 解：(1)由题意，D 为BC 边的中点，而△ABC 是正三角形，所以AD ⊥BC ，＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫23b －a ＝13b 2－12a 2－16a ·b ＝13－12－16×1×1×12＝－14.根据平面向量的基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－22（λ＋1）＝－μ，λ2（λ＋1）＝2μ3，解得λ＝4. 21.∴t ＝－2k sin θ＋16.∵t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k ， ∵k ＞4，∴1＞4k＞0，当sin θ＝4k 时，t sin θ取最大值为32k .由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，＝(4，8)，∴·＝(8，0)·(4，8)＝32.22. 解：(1)＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.∵A ，E ，C 三点共线， ∴存在实数k ，使得，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，即点A 的坐标为(10，7)．。

人教a版数学必修4测试题答案及解析一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-6x+c的图象与x轴有交点，则c的取值范围是（）。

A. c>9B. c<9C. c≥9D. c≤9答案：D解析：函数f(x)=x^2-6x+c的判别式Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4*1*c=36-4c。

要使函数与x轴有交点，判别式Δ≥0，即36-4c≥0，解得c≤9。

2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，d=2，则S_5的值为（）。

A. 15B. 25C. 30D. 40答案：A解析：等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，代入n=5，a_1=1，d=2，得S_5=5/2*(2*1+(5-1)*2)=5/2*(2+8)=5*5=25。

但题目要求的是S_5的值，所以正确答案应为A。

二、填空题1. 已知函数y=2x-3与直线y=-x+4平行，则它们的斜率相等，斜率k的值为（）。

答案：-1解析：两条直线平行，它们的斜率相等。

直线y=-x+4的斜率为-1，所以函数y=2x-3的斜率k也应为-1。

2. 已知圆x^2+y^2-6x-8y+24=0的圆心坐标为（）。

答案：(3,4)解析：将圆的方程化为标准形式(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，即(x-3)^2+(y-4)^2=1，可得圆心坐标为(3,4)。

三、解答题1. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)。

答案：f'(x)=3x^2-3解析：根据导数的定义，f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]。

对f(x)=x^3-3x+1求导，得f'(x)=3x^2-3。

2. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，公比q=3，求S_5。

答案：S_5=341解析：等比数列的前n项和公式为S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=2，q=3，n=5，得S_5=2*(1-3^5)/(1-3)=2*(1-243)/(-2)=2*(-242)=-484。

阶段质量检测(一) 卷一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．如图，已知＝，∥，则等于( )解析：选∵∥，＝，∴＝.∴＝.又∵＝，∴＝..如图，∠＝°，⊥于，＝，＝，则∶的值是( )．∶．∶∶∶解析：选△∽△，∴＝＝.．在△中，＝，＝，＝，为上一点，＝，在上取一点，得到△.若图中的两个三角形相似，则的长是( )．．．或．解析：选依题意，本题有两种情形：()如图，过作∥交于.则＝.又∵＝，∴＝.∴＝＝.()如图，作∠＝∠，交于，则△∽△.∴＝.又∵＝＝，∴＝＝＝.∴的长为或.．如图，在△中，∠＝°，是斜边上的高，是△的高，且＝，＝，则的值为( )解析：选＝·，即＝×，∴＝.∴＝＝＝.∵＝，∴＝.．如图，在△中，为斜边上的高，若＝，＝，则和的长分别为( )．和和和．和解析：选设＝，则由射影定理得(＋)＝，即＝(负值舍去)，则＝＝()，＝＝＝()．.如图，∥，△∶四边形＝∶，则∶的值为( )．∶．∶．∶．∶解析：选由△∶四边形＝∶，得△∶△＝∶.∵∥，∴△∽△.∴＝＝.∴＝，＝.．△和△满足下列条件，其中不一定使△与△相似的是( )．∠＝∠＝°′，∠＝°′，∠＝°．＝，＝，＝，＝，＝，＝．＝，＝，＝，＝，＝，＝．＝，＝，∠＝∠＝°解析：选项中∠＝∠，∠＝∠＝°，∴△∽△；项中∶∶＝∶∶＝∶∶；∴△∽△；项中＝，∠＝∠，。

2017-2018学年度高中数学人教A版必修四阶段性检测一(时间120分钟，满分150分)班级姓名学号一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，)1．在五边形ABCDE中(如图)，＝()2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝() A．(－5，－10) B．(－4，－8) C．(－3，－6) D．(－2，－4)3．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa＋b与a垂直，则λ的值是() A．－1 B．1 C．－2 D．24．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是()A.π6B.π4C.π3D.π2A.12B．－12C.32D．－326．已知向量满足：|a|＝2，|b|＝3，|a－b|＝4，则|a＋b|＝()A. 6B.7C.10D.11A．内心B．外心C．垂心D．重心8．平面向量a＝(x，－3)，b＝(－2，1)，c＝(1，y)，若a⊥(b－c)，b∥(a＋c)，则b与c的夹角为()A．0 B.π4C.π2D.3π49．已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则等于()A.43a＋23b B.23a＋43b C.23a－43b D．－23a＋43bA.0，π3B.π3，5π6C.π2，2π3D.2π3，5π611．已知a＝(－1，3)，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是()A. 3 B．2 C．2 2 D．412．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算m?n＝(ac＋bd，ad＋bc)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m都有m?p＝m成立，则向量p 为()A．(1，0)B．(－1，0)C．(0，1)D．(0，－1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a＝(2x＋3，2－x)，b＝(－3－x，2x)(x∈R)．则|a＋b|的取值范围为________．14．设e1，e2为两个不共线的向量，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则实数λ等于________．15．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.18．(12分)设向量a＝(cos α，sinα)(0≤α＜2π)，b＝－12，32，且a与b不共线．(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；(2)若向量3a＋b与a－3b的模相等，求角α.19．(12分)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M是AD，DC的中点，BF＝13BC，(1)以a，b为基底表示向量(2)若|a|＝3，|b|＝4，a 与b的夹角为120°，求20．(12分)在边长为1的正△ABC 中，AD 与BE 相交于点 F.21．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n ，t)，C(ksin θ，t)0≤θ≤π2.22．(12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求的坐标；(3)已知D(3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．答案1.解析：选B ∵＝＝.2.解析：选B∵a ∥b ，∴－21＝m2，∴m ＝－4，∴b ＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3.解析：选A由题意可知(λa＋b)·a＝λa2＋b·a＝0.∵|a|＝10，a·b＝1×4＋(－3)×(－2)＝10，∴10λ＋10＝0，λ＝－1.4.解析：选B由于(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝0，所以a·b＝|a|2＝2，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝222＝22，即a与b的夹角是π4.5.6.解析：选C由题意|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝16，∴a·b＝－3 2 .∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝10，∴|a＋b|＝10.7.∴P是△ABC的垂心．8.解析：选C由题意知b－c＝(－3，1－y)，a＋c＝(x＋1，y－3)，依题意得－3x－3（1－y）＝0，x＋1＋2（y－3）＝0，解得x＝1，y＝2，∴c＝(1，2)，而b·c＝－2×1＋1×2＝0，∴b⊥c.9.。

阶段质量检测(一)(A 卷 学业水平达标) (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30°答案：B2．若－π2<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B3．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin 120°，cos 120°)，则α可以是( )A ．60°B ．330°C ．150°D ．120° 答案：B4．若sin 2θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝( ) A ．1 B.12C ．－12D ．－1 答案：D5．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C6．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案：C7．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( ) A.32 B ．2 C ．0 D.34答案：A8．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案：A9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 答案：C10．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，且f ⎝⎛⎭⎫－14＝－a ，那么f ⎝⎛⎭⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知sin(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)＝________. 解析：sin(π－α)＝sin α＝－23，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：25512．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为________． 解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，∴sin θ＜cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－2sin θcos θ＝－23. 答案：－2313．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，例如1] .解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 14．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝⎛⎭⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ， 即3π4＋φ＝k π(k ∈Z)，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z)， 又|φ|＜π2，所以φ＝π4.再由图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 故有f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 答案： 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由tan αtan α－1＝－1，得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1 ＝3⎝⎛⎭⎫122＋12＋2⎝⎛⎭⎫122＋1＝135. 16．(本小题满分12分)已知α是第二象限角，且f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan (π－α)tan (－α－π)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝35，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝－cos αsin α(－tan α)－tan αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝35， ∴sin α＝35.又∵α是第二象限角，∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴f (α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＝45. 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式，并用“五点法”作出y ＝g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．解：(1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在y 轴上的截距为1，最大值为2，∴A ＝2,1＝2sin φ，∴sin φ＝12. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.∵两相邻的最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)， ∴T ＝2[(x 0＋3π)－x 0]＝6π， ∴ω＝2πT ＝2π6π＝13.∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6.(2)将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，得函数的解析式为y＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再向右平移π3个单位后，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 列表如下：x －π60 π2 π 3π2 2π x π6 2π3 7π6 5π3 13π6 g (x )2－2描点并连线，得g (x )在一个周期的闭区间上的图象如下图．18.(本小题满分14分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)x ∈R ，ω>0,0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值． 解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中， 得cos θ＝32. ∵0≤θ≤π2，∴θ＝π6.∵T ＝π，且ω>0， ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)∵点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32， ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3.∵点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上， 且π2≤x 0≤π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. ∴4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6.∴x 0＝2π3或x 0＝3π4.(B 卷 能力素养提升) (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知cos θ tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限象 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角 解析：选C 若cos θtan θ<0，则cos θ>0，tan θ<0，或cos θ<0，tan θ>0. 当cos θ>0，tan θ<0时，角θ是第四象限角； 当cos θ<0，tan θ>0时，角θ是第三象限角．2．(陕西高考)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析：选B ∵T ＝2π|ω|＝2π2＝π，∴B 正确．3．函数y ＝cos x ·tan x 的值域是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．[－1,1] C ．(－1,1) D ．[－1,0]∪(0,1)解析：选C 化简得y ＝sin x ，由cos x ≠0，得sin x ≠±1.故得函数的值域(－1,1)． 4．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍解析：选B 根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B. 5．已知α＝5π8，则点P (sin α，tan α)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵π2<5π8<π，∴sin α>0，tan α<0，∴点P 在第四象限．6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象( ) A ．关于原点成中心对称 B ．关于y 轴成轴对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称 D ．关于直线x ＝π12成轴对称解析：选C 由形如y ＝A sin(ωx ＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，故函数的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称． 7．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )解析：选D 当π2<x <π时，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.8．已知角α的终边上一点的坐标为sin π6，cos π6，则角α的最小正值为( )A.11π6B.5π6 C.π3 D.π6解析：选C 由题意知，tan α＝cosπ6sin π6＝ 3.所以α的最小正值为π3.9．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8 B.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8 C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π8，2k π＋5π8 D.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(以上k ∈Z) 解析：选B 函数y ＝cos π4－2x ＝cos2x －π4，根据余弦函数的增区间是[2k π－π，2k π]，k∈Z ，得2k π－π≤2x －π4≤2k π，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故选B.10．函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的最大值是( ) A.14 B.34 C.15 D.154解析：选D y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13.∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，∴当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1，(1≤x ≤44，x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：91212．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．解析：y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得 f (x )＝sin [2(x －φ)]＝sin(2x －2φ)． 由f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝±1， ∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z)， ∴2φ＝－k π－π6，令k ＝－1，得2φ＝5π6，∴φ＝5π12或作出y ＝sin 2x 的图象观察易知φ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π4＝5π12. 答案：5π1213．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·cos 5π2＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫32π－α·sin(π－α)的值为________． 解析：∵tan(π－α)＝2，∴tan α＝－2， ∴原式＝－2sin α·(－sin α)＋(－cos α)·sin α ＝2sin 2α－sin αcos α＝2sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α1＋tan 2α＝2×(－2)2－(－2)1＋(－2)2＝105＝2.答案：214．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则ω＝________，θ＝________.解析：由已知T ＝π，∴ω＝2，θ＝k π＋π2(k ∈Z)．答案：2π2三、解答题(本题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)∵sin A ＋cos A ＝15①，∴①式两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225.(2)由(1)sin A cos A ＝－1225，且A ∈(0，π)，可得sin A >0，cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75 ②，∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A＝－43.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋2·sin2x －π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)画出函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象． 解：(1)函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝1时，f (x )取得最大值1＋ 2. (2)由(1)知：故函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象如图所示．17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3sin ωx ＋π6，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．(1)求f (0)； (2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求sin α的值． 解：(1)由题设可知f (0)＝3sin π6＝32.(2)∵f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (3)由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35.∴sin α＝±1－cos 2α＝±45.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，且ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值；(2)若方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围． 解：(1)由图象易知A ＝1，函数f (x )的周期为 T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π6－2π3＝2π，∴ω＝1.∵π－2π3＝π3，∴此函数的图象是由y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度得到的，故φ＝π3.(2)由(1)知函数解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ∴方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，53π与y ＝a 有两个交点．当x ＝0时，f (x )＝32， ∴a ∈⎝⎛⎭⎫32，1时，y ＝a 与y ＝f (x )有两个交点； 当x ＝53π时，f (x )＝0，∴a ∈(－1,0)时，y ＝a 与y ＝f (x )也有两个交点， 故所求a ∈⎝⎛⎭⎫32，1∪(－1,0)．。

阶段质量检测（一）A 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(0，－1)解析：选B x ＝1×cos π＝－1，y ＝1×sin π＝0，即直角坐标是(－1,0)．2．已知曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，Q (2，π)，则有( )A ．P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上B ．P ，Q 都不在曲线C 上C ．P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上D ．P ，Q 都在曲线C 上解析：选C 当θ＝π2时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点P 不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos 2π＝2，故点Q 在曲线上．3．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是( )A.⎩⎨⎧x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎨⎧x ′＝3xy ′＝12y C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x ′y ＝2y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y解析：选B 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy 代入y ＝sin x ，得μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx ，与y ＝2sin 3x 比较，得μ＝12，λ＝3，即变换公式为⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标为( )A ．x 2＋(y ＋2)2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋y 2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝4解析：选B 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，故化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝4y ，即(y －2)2＋x 2＝4.5.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π2，5，则此长方体的体积为( )A ．100B ．120C ．160D ．240解析：选B 由长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)，C 1⎝⎛⎭⎪⎫6，π2，5，可知|OA |＝4，|OC |＝6，|OO 1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120.6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B 设P 点的坐标为(x ，y )，∵|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]．即(x －2)2＋y 2＝4.故P 点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π. 7．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( )A ．2B ．6C ．2 3D ．215解析：选C 圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2＋y 2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝42－22＝12＝2 3.8．极坐标方程θ＝π3，θ＝23π和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )A.163π B.83π C.43π D.23π 解析：选B 三条曲线围成一个扇形，半径为4，圆心角为2π3－π3＝π3. ∴扇形面积为：12×4×π3×4＝8π3.9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3关于( )A ．θ＝π3轴对称B ．θ＝5π6轴对称C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3中心对称 D ．极点中心对称解析：选B ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3可化为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π6，可知此曲线是以⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6为圆心的圆，故圆关于θ＝5π6对称．10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2的最近距离等于( )A.2－1B.5－1 C ．1D. 2解析：选A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0,1)，则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心的距离减去半径，即2－1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．(陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，解得l ＝ 3.答案： 312．点A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，92，3，则它的球坐标为________． 解析：r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋32＝6.cos φ＝36＝12，∴φ＝π3.tan θ＝92332＝3，∴θ＝π3.∴它的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π3 13．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线l ：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．解析：由直线l 的方程可知直线l 过点(1,0)且与极轴垂直，设A ′是点A 关于l 的对称点，则四边形OBA ′A 是正方形，∠BOA ′＝π4，且OA ′＝22，故A ′的极坐标可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4 14．已知直线l 的方程为y ＝x ＋1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径 ρ＝________.解析：直线l 的方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(1,2)．故该点的极径ρ＝x 2＋y 2＝ 5.答案： 5三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y2后的图形．(1)x 2－y 2＝1；(2)x 29＋y28＝1.解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y2得错误! ①(1)将①代入x 2－y 2＝1得9x ′2－4y ′2＝1， 因此，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y2后，双曲线x 2－y 2＝1变成双曲线9x ′2－4y ′2＝1，如图(1)所示． (2)将①代入x 29＋y 28＝1得x ′2＋y ′22＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y2后，椭圆x 29＋y 28＝1变成椭圆x ′2＋y ′22＝1，如图(2)所示．16．(本小题满分12分)如果点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点C 的极坐标．解：对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直角坐标为(2，2)，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4的直角坐标为(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |， ∴AC ―→·BC―→＝0， 即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0， ∴x 2＋y 2＝4.①又|AC ―→|2＝|BC―→|2， 于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2， ∴y ＝－x ，代入①，得x 2＝2， 解得x ＝±2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)， ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4， ∴点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.17．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程， 得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ， 即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2.18．(本小题满分12分)在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q 是曲线ρ＝12cos θ－π6上的动点，试求|PQ |的最大值．解：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，∴ρ2＝12ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36.∴|PQ |max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.19．(本小题满分12分)已知线段BB ′＝4，直线l 垂直平分BB ′，交BB ′于点O ，在属于l 并且以O 为起点的同一射线上取两点P 、P ′，使OP ·OP ′＝9，建立适当的坐标系，求直线BP 与直线B ′P ′的交点M 的轨迹方程．解：以O 为原点，BB ′为y 轴，l 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则B (0,2)，B ′(0，－2)，设P (a,0)(a ≠0)，则由OP ·OP ′＝9，得P ′(9a ，0)，直线BP 的方程为x a ＋y2＝1，直线B ′P ′的方程为x 9a＋y－2＝1，即l BP ：2x ＋ay －2a ＝0，l B ′P ′：2ax －9y －18＝0. 设M (x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋ay －2a ＝0，2ax －9y －18＝0，解得⎩⎨⎧x ＝18a a 2＋9，y ＝2a 2－18a 2＋9(a 为参数)．消去a ，可得4x 2＋9y 2＝36(x ≠0)，所以点M 的轨迹是焦点在x 轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B ，B ′)．20．(本小题满分12分)已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.。

阶段质量检测(一) B 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图，AD ∥EF ∥BC ，GH ∥AB ，则图中与△BOC 相似的三角形有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 根据相似三角形的预备定理可得 △OEF ∽△OAD ，△CHG ∽△CBO ，△OAD ∽△OBC .2.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于点E ，则下列结论正确的是( )A ．△AED ∽△ACB B ．△AEB ∽△ACDC ．△BAE ∽△ACED ．△AEC ∽△DAC解析：选C ∵D 为BC 的中点，∠CAB ＝90°， ∴AD ＝BD ，∴∠DAB ＝∠DBA ， ∴∠C ＝∠BAE ，又∵∠E ＝∠E ， ∴△BAE ∽△ACE .3．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y 那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增加后减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数解析：选D 连接AR ，∵E 、F 分别为AP 、PR 的中点， ∴EF 是△APR 的中位线， ∴EF ＝12AR ，∵当P 在BC 上由B 向C 运动时， 点R 在CD 上固定不变，故选D.4．如图，G 点是△ABC 的重心，GE ∥BC ，那么AB 是BE 的( ) A ．3倍 B ．6倍 C ．2倍D ．4倍解析：选A ∵G 是△ABC 的重心， ∴GC ＝2DG ，∵GE ∥BC ，∴BE ＝2ED .∴BE ＝23BD ，即BD ＝32BE .∵AB ＝2BD ，∴AB ＝2×32BE ＝3BE .5．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3.则△ACD 与△CBD 的相似比为( )A ．2∶3B ．4∶9 C.6∶3D ．不确定解析：选C 如右图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，即CD AD ＝BDCD. 又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD .又∵AD ∶BD ＝2∶3，令AD ＝2x ， BD ＝3x (x >0)．∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x . 易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD ＝2x 6x ＝63.6.如右图，过梯形ABCD 的腰AD 的中点E 的直线EF 平行于底边，交BC 于F ，若AE 的长是BF 的长的23，则FC 是ED 的________倍．( )A.23B.32 C ．1 D.12解析：选B ∵AB ∥EF ∥DC ，且AE ＝DE ， ∴BF ＝FC .又∵AE ＝23BF ，∴FC ＝32ED .7.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AD AC ＝13，AE ＝BE ，则有( )A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD解析：选B 直接法，注意到∠A ＝∠C ＝60°，可设AD ＝a ， 则AC ＝3a ，而AB ＝AC ＝BC ＝3a .所以AE ＝BE ＝32a .所以AD AE ＝a 32a ＝23.又CD BC ＝2a 3a ＝23，所以AD AE ＝CD CB， ∠A ＝∠C ＝60°， 故△AED ∽△CBD ，选B.8．等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形D ．等腰梯形解析：选B 连接梯形各边中点，可得平行四边形，由于等腰梯形的对角线相等，所以平行四边形的各边相等，由此可以判定此四边形必定为菱形．9．如图，锐角三角形ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中与△ODB 相似的三角形的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴△ODB ，△ABE ，△ADC ，△OCE 都是直角三角形． 又∵∠DBO ＝∠EBA ，∠A ＝∠A ，∠DOB ＝∠EOC ， ∴△ODB ∽△AEB ∽△ADC ，△ODB ∽△OEC ， ∴与△ODB 相似的三角形有3个．10.如图所示，将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转60°至AB ′C ′D ′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积为( )A ．4B ．2－ 3C ．2＋ 3D.3－1解析：选B 如图，过B ′点作EF ∥BC ， 分别交AB 、DC 于E 、F ，连接AK . 由基本图形知，Rt △KFB ′∽Rt △B ′EA . 在Rt △AB ′E 中，∠EAB ′＝60°，AB ′＝1，∴B ′E ＝32. ∴KB ′AB ′＝B ′F AE ＝1－B ′EAE ＝1－3212＝2－ 3∴KB ′＝2－ 3.又∵Rt △AB ′K ≌Rt △ADK ，∴S AB ′KD ＝2S △AB ′K ＝AB ′×KB ′＝2－ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，在▱ABCD 中，BC ＝24，E 、F 为BD 的三等分点，则BM ＝________，DN ＝________.解析：BM AD ＝BE ED ＝12， ∴BM ＝12BC ＝12，DN BM ＝DF FB ＝12，∴DN ＝12BM ＝6.答案：12 612．如图，已知在△ABC 中，AD ∶DC ＝1∶1，E 为BD 的中点，AE 延长线交BC 于F ，则BF 与FC 的比值为____________．解析：过D 作DG 平行于BC ，交AF 于点G ，再根据平行线等分线段定理即可解决．答案：1213．如图，等边△DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于H ，BC ＝4 cm ，AH ＝2 cm ，则△DEF 的边长为________cm.解析：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC .又∵AH ⊥BC ，DE ∥BC ， ∴AG ⊥DE ， ∴DE BC ＝AG AH， 设DE ＝x ，则GH ＝32x ，AG ＝AH －GH ＝2－32x . ∴x4＝2－32x 2.解得：x ＝23－2(cm)． 答案：23－214．(湖北高考)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO 的值为________．解析：连接AC ，BC ，则AC ⊥BC . ∵AB ＝3AD ，∴AD ＝13AB ，BD ＝23AB ，OD ＝16AB .又AB 是圆O 的直径，OC 是圆O 的半径， ∴OC ＝12AB .在△ABC 中，根据射影定理有：CD 2＝AD ·BD ＝29AB 2.在△OCD 中，根据射影 定理有：OD 2＝OE ·OC ， CD 2＝CE ·OC ，可得OE ＝118AB ，CE ＝49AB ，∴CEEO ＝8. 答案：8三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，M 是AD 上一点，BM ，CM 的延长线分别交AC ，AB 于F ，E .求证：EF ∥BC .证明：法一：延长AD 至G ，使DG ＝MD ，连接BG ，CG . ∵BD ＝DC ，MD ＝DG ， ∴四边形BGCM 为平行四边形． ∴EC ∥BG ，FB ∥CG . ∴AE AB ＝AM AG ，AF AC ＝AM AG . ∴AE AB ＝AF AC . ∴EF ∥BC .法二：过点A 作BC 的平行线， 与BF ，CE 的延长线分别交于G ，H . ∵AH ∥DC ，AG ∥BD ， ∴AH DC ＝AM MD ，AG BD ＝AM MD . ∴AH DC ＝AG BD . ∵BD ＝DC ， ∴AH ＝AG . ∵HG ∥BC ，∴AE EB ＝AH BC ，AF FC ＝AG BC . ∵AH ＝AG ， ∴AE EB ＝AF FC . ∴EF ∥BC .16．(本小题满分12分)如图所示，已知边长为12的正三角形ABC ，DE ∥BC ，S △BCD ∶S △BAC ＝4∶9，求EC 的长．解：如图，过D 作DF ⊥BC ，过A 作AG ⊥BC ， S △BCD ＝12BC ·DF ，S △BAC ＝12BC ·AG .因为S △BCD ∶S △BAC ＝4∶9， 所以DF ∶AG ＝4∶9. 因为△BDF ∽△BAG ，所以BD ∶BA ＝DF ∶AG ＝4∶9. 因为AB ＝12， 所以CE ＝BD ＝163.17．(本小题满分12分)如图所示，在四边形ABCD 中，求证：AC ·BD ≤AB ·CD ＋AD ·BC .证明：如图所示．取点E 使∠BAE ＝∠CAD ，∠ABE ＝∠ACD ， 连接AE ，BE ，DE ， 则△ABE ∽△ACD . ∴AB AC ＝AEAD ，① AB AC ＝BE CD .②由①及∠BAC ＝∠EAD ，得△BAC ∽△EAD . ∴BC ED ＝AC AD.③ 由②得BE ＝AB ·CDAC ，由③得ED ＝BC ·ADAC . 由于BE ＋ED ≥BD ， ∴AB ·CD AC ＋BC ·ADAC ≥BD . ∴AB ·CD ＋BC ·AD ≥AC ·BD .18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AE 是∠CAB 的角平分线，CD 与AE 相交于点F ，EG ⊥AB 于G .求证：EG 2＝FD ·EB .证明：因为∠ACE ＝90°，CD ⊥AB ，所以∠CAE ＋∠AEC ＝90°，∠FAD ＋∠AFD ＝90°. 因为∠AFD ＝∠CFE ， 所以∠FAD ＋∠CFE ＝90°. 又因为∠CAE ＝∠FAD ， 所以∠AEC ＝∠CFE . 所以CF ＝CE .因为AE 是∠CAB 的平分线，EG ⊥AB ，EC ⊥AC ， 所以EC ＝EG ，CF ＝EG .因为∠B ＋∠CAB ＝90°，∠ACF ＋∠CAB ＝90°， 所以∠ACF ＝∠B . 因为∠CAF ＝∠BAE ， 所以△AFC ∽△AEB ，AF AE ＝CF EB . 因为CD ⊥AB ，EG ⊥AB ， 所以Rt △ADF ∽Rt △AGE . 所以AF AE ＝FD EG .所以CF EB ＝FD EG .所以CF ·EG ＝FD ·EB ， 即EG 2＝FD ·EB .。

( 时间 90 分钟，满分 120 分 )一、选择题 ( 本大题共 10 个小题，每题5 分，共 50 分 )1．已知角 θ 的终边过点 (4 ，－ 3) ，则 cos( π－ θ) ＝ ()4 4A. 5B ．－ 5 33C. 5D ．－ 54分析：∵ r ＝ 5，∴ cos( π－ θ ) ＝－ cos θ＝－ 5. 答案： B3π2．函数 y ＝ sin 3x ＋ 4 的图像的一条对称轴是( )ππA ． x ＝－ 12B ． x ＝－ 4π5πC ． x ＝ 8D ． x ＝－ 43πππk π分析：令 3x ＋ 4 ＝ 2 ＋k π，得 x ＝－ 12＋ 3 ( k ∈ Z) ．π当 k ＝0 时， x ＝－ 12. 答案： Asin π ， ≤2 011 ，＝ ()3．设 f ( x ) ＝3xx 则 f (2 012)fx － 4 ， x >2 011 ，11A. 2B ．－ 23 3C.2D ．－ 2分析： f (2 012) ＝ f (2 008) ＝ sin 2 008π＝ sin 4π 3 668π＋34ππ3＝ sin 3 ＝－ sin 3 ＝－ 2 .答案： D4．若 cos α＋2sinα＝－ 5，则 tan α＝ ( )1 A. B ． 221C ．－ 2D ．－ 2分析：将已知等式两边平方得cos 2α＋4sin 2α＋ 4sin αcos α＝ 5(cos 2α＋ sin 2α) ，化简得sin 2α－ 4sin αcos α＋ 4cos 2α＝ 0，即 (sin α－ 2cos α) 2＝ 0，故 tan α＝ 2.答案： B5．y＝cos x·tan x 的值域是()A． ( －1,0) ∪ (0,1) B ．[ － 1,1]C． ( －1,1) D ． [ － 1,0) ∪ (0,1)sin x分析： y＝cos x·tan x＝cos x·cos x＝sin x，π且 x≠kπ＋2， k∈Z，故函数值域为( － 1,1) ．答案： C6．已知a是实数，则函数 f ( x)＝1＋ a sin ax 的图像不行能是()分析：当 a＝0时， f ( x)＝1，图像即为C；当 0<a<1 时，函数f ( x) 的最大值为1＋a<2，2π且最小正周期为T＝a>2π，图像即为A；当a>1 时，函数f ( x) 的最大值为a＋ 1>2，且最2π小正周期为 T＝a<2π，图像即为 B.答案： D7．将函数ππy＝sin(2 x＋)的图像经过如何的平移后所得的图像对于点( －，0)中心3 12对称()A．向左平移π个单位 B ．向左平移π个单位12 6ππC．向右平移12个单位 D ．向右平移 6个单位分析：函数 y ＝sin(2 x ＋ πk π π， k ∈ Z ，此中离 ( －π 3 ) 的图像的对称中心为 ( 2 － 6，0) 12， π π 0) 近来的对称中心为 ( － 6 ，0) ，故函数图像只要向右平移12个单位即可．答案： Cπ π8．函数 f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋ φ )( A >0， ω>0，－ 2 ≤ φ≤ 2 ) 的图像 以下图，则 f (1) ＝ ()A. 2B ． 1＋ 2 C ．2＋ 2D ．2 2ππ分析：由函数 f ( x ) 的图像可知： A ＝ 2，T ＝ 8，φ ＝ 0，进而得 ω＝ 4 ，f ( x ) ＝ 2sin4 x ，π得 f (1) ＝ 2sin 4 ＝ 2.答案： Asin θ9．已知 tan θ＝ 2，则 sin 3θ＋ cos 3θ＝ ()10 9 A. B. 9 779C. 10D. 10sin θsin θ sin 2θ＋ cos 2θ分析：sin 3θ＋ cos 3θ＝sin 3θ＋cos 3θtan 3θ＋ tan θ 8＋ 2 10＝ tan 3θ＋ 1 ＝ 8＋1＝9 . 答案： A10．以下说法正确的选项是()πx >cos xA ．在 (0 ， 2 ) 内， sinB ．函数 y ＝ 2sin( x ＋ π ) 的图像的一条对称轴是 x ＝ 4π55πC ．函数 y ＝ 1＋ tan 2x 的最大值为 ππ πD ．函数 y ＝ sin 2 x 的图像能够由函数 y ＝ sin(2 x － 4 ) 的图像向右平移 8 个单位获得ππ 分析：对于 A ，联合 (0 ， ) 内 y ＝ sinx ，y ＝cos x 的图像知， 当 x ∈ (0 ， ) 时，cos x >sin24π π ππx ， x ＝ 4 时， sin x ＝ cos x ， x ∈ ( 4 ， 2 ) 时， sin x >cos x ，故 A 错误；对于 B ，令 x ＋ 5 ＝π42k π＋ 2 ，k ∈ Z ，明显当 x ＝5π 时，找不到整数 k 使上式建立， 故 B 错误；对于 C ，因为 tan x ≥0，2ππ∴1＋ tan x ≥1，∴ y ＝ 1＋ tan 2x ≤π，∴函数 y ＝ 1＋tan 2x 的最大值为 π， C 正确；对于 D ，πy ＝ sin(2 x － 4 )答案： C向右平移 个 π π π 单位8 y ＝ sin[2( x － ) － ] ＝ sin(2 x － ) ＝－ cos 2x ，故 D 错误．8 42二、填空题 ( 本大题有 4 个小题，每题5 分，共 20 分)α3παα11．(2011 ·纲领全国卷 ) 已知 ∈( π，2 ) ， tan ＝ 2，则 cos ＝________.sin α分析：依题意得 tan α＝cos α＝2，sin 2α＋ cos 2 α＝ 1，21由此解得 cos α＝5；3π5又 α∈( π，2 ) ，所以 cos α＝－ 5 .5答案：－512．若 θ∈ [0 ，π ) ，且 cos θ(sin θ＋cos θ) ＝1，则 θ＝ ________.分析：由 cos θ(sinθ ＋ cos θ) ＝ 1? sin θ·cos θ＝ 1－ cos 2θ ＝ sin 2θ ? sinθ(sin θ－ cos θ) ＝0?sin θ＝ 0或 sin θ－ cos θ＝ 0，又∵ θ∈[0 ，π ) ，∴ θ＝ 0π 或 4 .π答案：0或413．已知函数 f ( x ) ＝ π x3sink 的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰幸亏圆x 2＋y 2＝ k 2 上，则 f ( x ) 的最小正周期为 ________．2π| k |分析： T ＝ π ＝ 2| k |. 由题意知， 3在圆上，2k2∴ k ＋ 3＝k 2，∴ | k | ＝ 2，∴ T ＝ 4.4答案： 4ππ14．函数f ( x) ＝ 2sin( ωx＋3 ) ，又f ( α) ＝－ 2，f ( β) ＝ 0，且 | α－β| 的最小值为 2，则正数ω＝________.分析：由题意得T π， T＝2π，ω＝1.＝4 2答案： 1三、解答题 ( 本大题共有 4 个小题，共 50 分)15． ( 本小题满分12 分 ) 若 sin αcos α <0，sin αtan α<0，且1－ sin α1＋ sin α＋1＋ sin α1－ sin α＝ 2 2，求 tan α.解：∵ sin α cos α<0，sin αtanα<0，∴α 是第二象限角，∴1－ sin α1＋ sin α1＋ sin α＋1－ sin α1－ sin α 2 1＋ sin α 2 ＝＋1－ sin 2α1－sin 2α2 2＝|cos α|＝－cosα＝22.∴ cos α＝－2，22则 sin α＝2 ， tan α＝－1.π a16． ( 本小题满分12 分 ) 已知函数f ( x) ＝a sin(2 ωx＋6 ) ＋2＋b( x∈ R，a>0，ω>0) 的7 3最小正周期为π，函数 f ( x)的最大值是4，最小值是4.(1)求ω、a、b的值；(2)指出 f ( x)的单一递加区间．解： (1) 由函数最小正周期为π，2π得2ω＝π，∴ω＝1，又 f ( x)的最大值是7 34，最小值是4，a＋a ＋ b＝7， 1则2 4解得a＝2，a3－a＋2＋ b＝4，b＝1.(2) 由 (1) 知， f ( x ) ＝ 1x ＋ π 52sin(2 6 ) ＋ 4 ，π π π当 2k π－ 2 ≤2x ＋ 6 ≤2k π＋ 2 ( k ∈Z) ，π π 即 k π－≤ x ≤ k π＋( k ∈ Z) 时，36f ( x ) 单一递加，π ， k π＋ π∴ f ( x ) 的单一递加区间为 [ k π－]( k ∈ Z) ．3 617( 本小题满分 12 )已知函数 f ( x ) ＝ A sin( ωx φ)A >0，ω>0 ， | φ|< π的图像． 分＋ 2在 y 轴上的截距为 1，它在 y 轴右边的第一个最大值点和最小值点分别为 ( x 2) 和( x ＋3π，0,－ 2) ．(1) 求 f ( x ) 的分析式；(2) 将 y ＝ f ( x ) 的图像上全部点的横坐标缩短到本来的13倍，纵坐标不变，而后再将所得的图像沿 x 轴向右平移 πy ＝g ( x ) 的图像，写出函数 y ＝ g ( x ) 的分析式，3 个单位，获得函数 并用“五点法”作出y ＝ ( ) 在长度为一个周期的闭区间上的图像．g x解：(1) ∵f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋φ) 在 y 轴上的截距为1，最大值为 2，∴ A ＝ 2,1 ＝ 2sin φ，∴sin φ＝1.2π π又∵ | φ |< ，∴φ＝ .26∵两相邻的最大值点和最小值点分别为 ( x 0, 2) 和 ( x 0＋3π，－ 2) ，2π2π1∴ T ＝ 2[( x 0＋3π) － x 0] ＝6π，∴ ω＝ T ＝ 6π ＝ 3.x π∴函数的分析式为 f ( x ) ＝2sin＋6.3(2) 将 y ＝ f ( x ) 的图像上全部点的横坐标缩短到本来的1倍，纵坐标不变，得函数的分析 3πππ π π式为 y ＝ 2sin x ＋ 6，再向右平移 3 个单位后，得 g ( x ) ＝ 2sin x － 3 ＋ 6 ＝2sin x － 6 .列表以下：ππ3πx － 6 02π2 2ππ 2π 7π5π13πx63636( )0 2 0－20g x描点并连线，得g ( x ) 在一个周期的闭区间上的图像以以下图．18 ． ( 本 小 题 满 分14 分 ) 如 图 ， 函 数 y ＝ 2cos( ωx ＋θ) ( x ∈ R ，ω>0，π0≤ θ≤ 2 的图像与 y 轴交于点 (0 ， 3) ，且该函数的最小正周期为 π.(1) 求 θ 和 ω 的值；(2) 已知点π ，0 ，点是该函数图像上一点， 点 (， 0)是的中点， 当0＝3 A 2 P PA y ，Q x y2πx 0∈2 ，π 时，求 x 0 的值．解： (1) 把 (0 ， 3) 代入 y ＝ 2cos( ωx ＋ θ) 中，3得 cos θ＝ 2 .π π ∵0≤ θ ≤，∴ θ＝.262π2π∵ T ＝π，且 ω>0，∴ ω＝ T ＝ π ＝ 2.π3(2) ∵点 A 2 ， 0 ， Q ( x 0， y 0) 是 PA 的中点， y 0＝ 2 ，π∴点 P 的坐标为 2x 0－ 2 ， 3 .2 ＋ππ∵点 P 在 y ＝ 2cos x 6的图像上，且 2 ≤ x ≤π， ∴4x 0－5π3 7π5π 19π cos 6 ＝，且≤40－≤6.26 x 6∴ 4 0－5π＝11π，或 4 x 0－5π＝ 13π .x6 6 6 62π3π∴ x 0＝ 3 ，或 x 0＝ 4 .。