【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 4.2 结构图教案 新人教A版选修1-2.

〖第二章框图〗之小船创作§1流程图(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)通过具体实例，认识流程图．(2)会用流程图表述简单的实际问题．2．过程与方法通过对流程图的学习，了解并把握运用流程图表述实际问题的方法．3．情感、态度与价值观通过学习，进一步体会数学图形语言的优越性，培养学生的逻辑思维能力，以及用框图清晰地表达和交流的能力．●重点难点重点：准确理解并绘制简单实际问题的流程图．难点：(1)抽象出流程图中的信息．(2)准确地绘制简单的流程图．对流程图的教学，需要在大量的实例中，引导学生通过操作、探索、模仿，掌握流程图的用法，体会流程图在表述问题中的优越性．在操作中探究，在探索中发现，在模仿中体验．(教师用书独具)●教学建议1．流程图描述的是一种解决问题的、操作性的、过程性的活动，针对这样的教学，应遵循“创设问题情境—提出问题—分析问题—解决问题”的原则，特别是创设的问题情境要真实，尽量是学生熟悉的．2．每一个操作性的过程性问题，都有自己的流程图，不同的问题有不同的流程图，因此在教学中就需要教师创设问题情境，引导学生去操作、探索、模仿．3．相同的背景下，根据不同的要求，可以画出不同形式的流程图．因此，在教学中，应培养学生创新意识和优化意识．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒分析问题⇒解决问题⇒应用示例与变式训练体验方法⇒归纳总结，深化认识课标解读1.通过具体实例，进一步认识算法框图，了解工序流程图(重点)．2．能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用(难点).【问题导思】家里来了客人，要沏茶喝水，当时的情况是：开水没有，茶壶和茶杯都要洗，茶叶有，完成每道工序所需时间如下表：工序洗茶壶、茶杯烧开水取茶叶沏茶时间3分钟12分钟1分钟1分钟3 12 1 1洗茶壶、茶杯―→烧开水―→取茶叶―→沏茶图a【提示】共需3＋12＋1＋1＝17(分钟)．2．若按图b所示的工序流程图操作，共需多少时间？图b【提示】共需12＋1＝13(分钟)．1．流程图的构成流程图是由一些图形符号和文字说明构成的图示．2．流程图的特点流程图是表述工作方式、工艺流程的一种常用手段，它的特点是直观清晰．3．画流程图的步骤第一步：确定主要步骤和顺序；第二步：补足其他步骤；第三步：用流程图表示．工艺流程图某药厂生产某产品的过程如下：(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装、包装；(2)提取环节经检验合格，进入下一工序，否则返回前处理；(3)包衣、颗粒分装两环节分别检验合格进入下一工序，否则为废品，画出生产该产品的工序流程图．【思路探究】按照画工艺流程图的三个步骤进行．【自主解答】工序流程图如图所示：要画工序流程图，首先要弄清整个过程要分多少道工序，其次是仔细考虑各道工序的先后顺序及相互关系、制约的程度；最后要考虑哪些工序可以平行进行，哪些工序可以交叉进行，把上述问题考虑清楚了，合理的工序流程图就可以画出来了．我们生活中用的纸杯从原材料(纸张)到商品(纸杯)主要经过四道工序：淋膜、印刷、模切、成型，首先用淋膜机给原纸淋膜PE(聚乙烯)，然后用分切机把已经淋膜好的纸分成矩形纸张(印刷后做纸杯壁用)和卷筒纸(纸杯底部用)，再将矩形纸印刷并切成扇形杯片，最后成型．请用流程图表示纸杯的加工过程．【解】由题意得流程图如图：材料准备(原纸)淋膜分切矩形纸张印刷并切割做杯壁粘合成品卷筒纸切割出杯底算法流程图某企业2012年的生产总值为200万元，技术创新后预计以后每年的生产总值将比上一年增加5%，问最早哪一年的年生产总值将超过300万元？画出解决该问题的算法流程图．【思路探究】若设第n年后该企业的生产总值为a，则a＝200(1＋0.05)n，此时为2012＋n年．【自主解答】算法流程图如图所示：法一法二画算法流程图时要使用标准的框图符号，框图一般按从上到下，从左到右的方向画，除判断框外，大多算法流程图的符号只有一个进入点和一个退出点．在本例条件下，试画出计算该厂2018年底资金总额的算法流程图．【解】算法流程图如图所示：流程图的实际应用考生参加某培训中心的考试需按以下程序进行：先进行考前咨询，若是新考生则需注册、编号、明确考试事宜、交费、考试、领取成绩单，最后发证；若不是新考生，需出示考生编号，直接到明确考试事宜阶段，以下同新考生程序，设计一个考试流程图．【思路探究】本题新考生与老考生的不同之处是新考生需注册、编号，而老考生只需出示考生编号即可，所以需用判断框判断是否为新考生，从而进行不同的选择，然后按事情的先后顺序完成．【自主解答】如图所示：流程图的画法、要求及遵循的原则(1)画法：一般要按照从左到右，从上到下的顺序来画．(2)要求：直观，流向明确，内容准确，易于操作即简捷、明了、高效．(3)遵循的原则：开始时工序流程图可以画得粗略，然后对每一框逐步细化．明天小强要参加班里组织的郊游活动，为了做好参加这次郊游的准备工作，他测算了如下数据：整理床铺、收拾携带物品8分钟，洗脸、刷牙7分钟，准备早点15分钟，煮牛奶8分钟(有双眼煤气灶可以利用)，吃早饭10分钟，查公交线路图5分钟，给出差在外的父亲发手机短信2分钟，走到公共汽车站10分钟，等公共汽车10分钟．小强粗略地计算了一下，总共需要75分钟，为了赶上7：50的公共汽车，小强决定6：30起床，但是他一下子睡到7：00！请你帮小强安排一下时间，画出一份郊游出行前的流程图，使他还能来得及参加此次郊游．【解】出行前流程图如下所示：审题不清，混淆变量致误如图2－1－1给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个算法框图，其中判断框内应填入的条件是( ) A．i＞10？B．i＜10?C．i＞20?D．i＜20?【错解】认为条件为i＜10或认为i＞20.【答案】B或C【错因分析】由于所计算的是10个数的和，误认为循环变量不会超过10，而选B；把循环变量i与累加变量混淆，而选C.【防范措施】本题中涉及算法框图中的循环结构，应先判断条件是否成立，不成立则执行循环体，所以判断框中要填跳出循环的条件，分清谁是循环变量，要循环多少次是求解的关键．【正解】S＝12＋14＋16＋…＋120，需执行10次循环体，所以i＞10时跳出循环，输出S的值，故选A.【答案】A1．流程图常常用来表示一些动态过程，即明确地表示了从开始到结束的全部步骤．常见的一个画法是：将一个工作或工程从头至尾依先后顺序分为若干工序，每一道工序用矩形框表示，并在该矩形框内注明此工序的名称或代号．两相邻工序之间用流程线相连，自顶向下，逐步细化．一般按照从左到右、从上到下的顺序来画．2．画流程图的步骤：在绘制流程图之前，要弄清实际问题的解决步骤和事物发展的过程．可以按以下步骤：(1)将实际问题的过程划分为若干个步骤；(2)理清各个步骤之间的顺序关系；(3)用简洁的语言表达各步骤；(4)绘制流程图，并检查是否符合实际问题．1．进入互联网时代，发电子邮件是必不可少的，一般而言，发电子邮件要分以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”，则正确的流程是( ) A．a→b→c→d→e→fB．a→c→d→f→e→bC．a→e→b→c→d→fD．b→a→c→d→f→e【解析】发电子邮件要以“打开电子信箱”开始，“点击发送邮件”结束，“点击‘写邮件’”应在“输入发送地址”、“输入主题”、“输入信件内容”之前，故选C.【答案】C2．图2－1－2所示算法框图能判断任意输入的整数x 的奇偶性．其中判断框内的条件是( )A．m＝0？B．x＝0?C．x＝1?D．m＝1?【解析】余数m＝1则输出“x是奇数”，否则输出“x 是偶数”．【答案】D3．阅读图2－1－3的算法框图，运行相应的程序，则输出i的值为________．图2－1－3【解析】由框图知，a＝1，i＝0；i＝1，a＝2；i＝2，a＝5；i＝3，a＝16；i＝4，a＝65>50；则输出i＝4.【答案】4图2－1－44．如图2－1－4，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线相连，连线上标注的数字表示某信息经过该段网线所需时间(单位：毫秒)，试求信息由结点A 传递到结点B所需的最短时间．【解】在A到B的所有连线中，以A→C→F→M→B的连接方式所用时间最短：1.5＋1.1＋1.0＋1.2＝4.8(毫秒).一、选择题1．如图2－1－5所示的工艺流程图，设备采购的下一道工序是( )图2－1－5A．设备安装 B．土建设计C．厂房土建 D．工程设计【解析】由流程图易看出设备采购的下一道工序是设备安装．【答案】A2．执行如图2－1－6所示的算法框图，输出的s值为( )图2－1－6A．－3 B．－12C.13D．2【解析】i＝1，s＝2－12＋1＝13；i＝2，s＝13－113＋1＝－12；i＝3，s＝－12－1－12＋1＝－3；i＝4，s＝－3－1－3＋1＝2.故选D.【答案】D3．图2－1－7是用函数解决实际问题的流程图，则矩形框中应填入( )图2－1－7A．整理数据、求函数表达式B．画散点图、进行模型修改C．画散点图、求函数表达式D．整理数据、进行模型修改【解析】根据用函数解决实际问题时的实际过程可知，选C.【答案】C4．如图2－1－8，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的网线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是( )图2－1－8A．26 B．24 C．20 D．19【解析】最大信息量是6＋8＋12＝26.【答案】A5．阅读如图2－1－9所示的算法框图，运行相应的程序，输出的结果是( )图2－1－9A．3 B．4 C．5 D．6【解析】S＝2 010，n＝0；S＝1 002，n＝1；S＝498，n＝2；S＝246，n＝3；S＝120，n＝4；S＝57，n＝5.【答案】C二、填空题6．清代画家郑板桥在描述自己的画竹经验时，曾说过：“江馆清秋，晨起看竹，烟光、日影、露气，皆浮动于疏枝密叶之间，胸中勃勃遂有画意．其实胸中之竹，并不是眼中之竹也，因而磨墨展纸，落笔倏变相，手中之竹又不是胸中之竹也．”如图是郑板桥竹画创作过程的简图．试将①眼中之竹，②画中之竹，③现实之竹，④脑中之竹填入框图中．――→审美选择 ――→加工改造 ――→形诸画卷【解析】 根据郑板桥的画竹过程填写．【答案】 ③①④②7．(2013·江苏高考)如图2－1－10是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________．图2－1－10【解析】 算法流程图执行过程如下：n ＝1，a ＝2，a ＜20；a ＝8，n ＝2，a ＜20；a ＝26，n ＝3，a ＞20.输出n ＝3.【答案】 38．(2013·南昌高二检测)如图2－1－11，若框图所给的程序运行的结果为S ＝156，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是________．图2－1－11【解析】 S ＝1，k ＝13；S ＝13，k ＝12；S ＝156，k ＝11.即输出S ＝156时，k ＝11，故应填入的条件是“k ≤11？”．【答案】 k ≤11?三、解答题9．设汽车托运重量为P (kg)的货物时，每千米的费用(单位：元)标准为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.2P ，P ≤20，0.3×20＋1.1×P －20，P ＞20.画出求行李托运D 千米时费用的框图．【解】10．某工厂加工某种零件的工序流程图如图2－1－12所示：图2－1－12按照这个工序流程图，一件成品至少经过几道加工和检验程序．【解】 由流程图可知加工零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工，每道工序完成都要对产品进行检验，粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工，返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品．由上可知一件成品至少要经过粗加工、检验、精加工、检验四道程序．11．某工厂装配一辆轿车的工序所花的时间及各工序的先后关系如下表所示：(1)试在已画出装配该轿车的工艺流程图上标上工序代号；(2)装配一辆轿车的最短时间是多少小时？图2－1－13【解】(1)(2)装配一辆轿车的最短时间是11＋5＋4＋12＋5＋3＝40(小时).(教师用书独具)如图所示的算法框图，则输出S＝( )A．105B．126C．136D．166【思路探究】本题将流程图和数列的有关知识进行整合，解题时应先观察流程图，弄清流向和循环次数，再用数列的求和公式求解．【自主解答】观察流程图可知S＝1＋3×1＋3×2＋…＋3×10＝1＋3×(1＋2＋ (10)＝166.【答案】D1．弄清流向和循环次数是解答本题的关键．2．解读流程图就是弄清流程图有哪些步骤及步骤依次进行的顺序．把上例的算法框图改为如下图所示框图，则输出的结果是________．【解析】T＝1，I＝3不满足条件；T＝3，I＝5，不满足条件；T＝15，I＝7，不满足条件；T＝105，I＝9，满足条件；输出T＝105.【答案】105§2结构图(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解结构图，能够绘制简单问题的结构图．(2)能根据所给的结构图，用语言描述结构图所包含的信息．2．过程与方法通过运用结构图梳理已学过的知识，来认识结构图的知识，熟悉绘制结构图的方法，进而体会它的作用．3．情感、态度与价值观通过学习结构图，感受结构图在交流中方便、简洁的特征和优越性，体会结构图在整理知识中的作用，提高数学思维和表达的能力．●重点难点重点：认识和绘制结构图．难点：对于一个问题中事物之间逻辑关系的理解．本节课通过三个典型例子来阐述结构图，教学中，要用好这三个例子，引导学生探究这三个例子，通过探究结构图的画法、解读及应用来认识结构图，领会结构图在实际中的应用．(教师用书独具)●教学建议1．在教学中，要引导学生探究例题中各事物之间的关系，这是绘制结构图的基础．2．在教学中，要突出结构图的层次性和直观性．3．引导学生运用结构图梳理已学过的知识，通过本节学习使学生养成一种良好的习惯——在学习一段知识之后，能主动地用结构图来梳理．●教学流程情境引入⇒知识建构：结构图的分类、画法、解读、应用⇒应用示例与变式训练，通过示例体会知识方法；通过训练深化对知识方法的认识⇒归纳提升课标解读1.通过实例了解结构图，能运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息(重点)．2．会画简单的结构图，结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用(难点).结构图1.结构图用来描述一些事物之间逻辑关系的框图，叫作结构图．2．结构图的分类常见的结构图有组织结构图、分类结构图和知识结构图.组织结构图某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，副校长A，B又各自管理教务处、教科室和保卫科、政教处、总务处，各科室区同管理和服务各班级．试画出该校的行政组织结构图．【思路探究】由题意知该组织结构图呈“树”形结构，注意要从“根”开始，然后逐次分级，直到“树梢”结束．【自主解答】该校的行政组织结构图如图所示：1．解答本题的关键是弄清上、下属关系．2．组织结构图一般都会呈“树”形结构，绘图时可采用从上到下或从左到右的顺序来绘图，并在绘制好后能纵观全局，对整个组织结构图进行必要的调整和美化，以保证最后绘制的结构图美观、简洁、明了．北京期货商会组织结构设置如下：(1)会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大会与会长办公会共同管辖理事会；(2)会长办公会下设会长，会长管理秘书长；(3)秘书长具体分管：秘书处、规范自律委员会、服务推广委员会、发展创新委员会．据以上信息绘制其组织结构图．【解】知识结构图画出《数学3(必修)》第二章“算法初步”的知识结构图．【思路探究】对于“算法初步”这一章来讲，主要有算法与程序框图、基本算法语句和中国古代算法案例三部分，每部分又可再细分．【自主解答】如图所示：算法初步算法的基本思想几种基本语句条件语句循环语句算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构循环结构变量与赋值1．本题的知识结构图是按照从左到右的方向画出的，也可对某部分再加以细分．2．知识结构图可采用树形或环形结构来反映各要素间的从属关系或逻辑关系，一般按照从上到下、从左到右的顺序画图．画出《数学1－2(选修)》第一章“统计案例”的知识结构图．【解】统计案例回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析独立性检验条件概率与独立事件独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用解读结构图如图2－2－1是某个公司领导机构的组织结构图，其中生产部的人数(经理不计在内，下同)是其他部门人数之和的3倍，业务部、采购部、质检部、人事部、财务部的人数之比是3∶2∶2∶1∶1，据图回答下列问题：图2－2－1(1)这个公司的最高领导人是________；(2)若受财物经理直接管理的员工有9人，则执行经理直接管理的员工有________人．【思路探究】组织结构图一般是一颗倒置的“树”形结构图，“树”的根层次最高，然后依次往下层次越低．【自主解答】由条件知采购部与财务部人数之和是9人，又两部门人数之比是2∶1，所以财务部有3人，采购部有6人，则人事部、质检部、业务部的人数分别是3人、6人、9人，所以生产部的人数是3×(3＋3＋6＋6＋9)＝81(人)，所以执行经理直接管理的员工有6＋9＋81＝96(人)，故填96.【答案】(1)总经理(2)96本题考查对组织结构图的认识以及简单的计算，求解关键首先会认识图，确定从属关系，再利用已知结合图进行计算．如图2－2－2为某集团组织结构图，请根据结构图回答下列问题．图2－2－2(1)人力资源部由谁直接管理？(2)董事长直接管理哪些人？【解】(1)董事长助理．(2)总裁与董事长助理．混淆知识结构图与顺序流程图致误试画出本册第三章“推理与证明”的知识结构图．【错解】如图所示：推理与证明↓归纳与类比↓归纳推理↓类比推理↓数学证明↓综合法与分析法↓综合法↓分析法↓反证法【错因分析】误把学习顺序的先后流程图作为知识结构图而出错．【防范措施】知识结构图应把握住“推理与证明”的各主要知识点的内在联系以及从属关系和逻辑上的先后关系，具有概括性，不能将其按学习顺序的先后作成顺序流程图．【正解】如图所示：1．结构图可以表达系统各要素之间的关系．2．知识结构图可以直观显示各知识点间的逻辑先后关系或从属关系；组织结构图表示各部门的从属或平行关系．绘制结构图的关键是“分清各要素之间的关系，逐步细化，画出图形．”1．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是( )A．流程图用来描述一个动态过程B．结构图是用来刻画系统结构的C．流程图中只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系D．结构图中只能用方向箭头表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系【解析】根据流程图和结构图的意义及画法可知A、B、C都对，故选D.【答案】D2．下面是“集合”的知识结构图，如果要加入“交集”，则应该放在( )集合含义与表示基本关系基本运算图2－2－3A．“集合”的下位B．“含义与表示”的下位C．“基本关系”的下位 D．“基本运算”的下位【解析】集合中的交集问题是集合运算的一种，故选D.【答案】D3．如图2－2－4所示是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有________．图2－2－4【解析】“计划”受影响的要素有政府行为，社会需求和策划部．【答案】34．请画出你所在班级班委的组织结构图．【解】班长副班长学习委员卫生委员体育委员纪律委员生活委员一、选择题1．下列结构图中要素之间表示从属关系的是( )A．频率→概率→应用B．平面向量→空间向量类比C．数列函数等差、等比数列特殊化D．推理合情推理演绎推理【解析】A，B，C都是逻辑关系，只有D是从属关系．【答案】D2．根据图2－2－5结构图，总经理的直接下属是( )总经理总工程师咨询部监理部信息部开发部专家办公室财务部后勤部编辑部图2－2－5A．总工程师和专家办公室B．开发部C．总工程师、专家办公室和开发部D．总工程师、专家办公室和七个部【解析】由结构图，注意“直接”一词，与“总经理”直接连线的是选项C.【答案】C3．如图2－2－6，等腰三角形可排在哪一个构成要素之后( )三角形锐角三角形①等边三角形钝角三角形②直角三角形③图2－2－6A．①B．②C．③D．都不对【解析】等腰三角形有可能为锐角三角形，也有可能为直角三角形，还有可能为钝角三角形．【答案】D4．下列结构图中，体现要素之间是先后逻辑关系的是( )A．指数函数定义图像与性质B．集合的基本运算并集补集交集C．整数指数幂有理数指数幂无理数指数幂D．实数指数幂无理数指数幂有理数指数幂【解析】A、B、D表示的是从属关系，只有C表示先后的逻辑关系．【答案】C5．在如图2－2－7所示的知识结构图中：图2－2－7“求简单函数的导数”的“上位”要素有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】共有“基本导数公式”、“函数四则运算求导法则”、“复合函数求导法则”3个．【答案】C二、填空题6．在平面几何中，四边形的分类关系可用以下框图2－2－8描述：图2－2－8则在①中应填入________，在②中应填入________．【解析】一组邻边相等的平行四边形是菱形，一条腰和底边垂直的梯形是直角梯形．【答案】菱形直角梯形7．实数系的结构图如图2－2－9所示，其中1,2,3三个框中的内容分别是________．图2－2－9【解析】根据实数的分类填写．【答案】有理数，整数，零8．下面结构图是________结构图，根据结构图可知，集合的基本运算是________，________，________.图2－2－10【解析】该结构图为知识结构图，集合的基本运算有并集、交集和补集．【答案】知识并集交集补集三、解答题9．据有关人士预测，我国的消费正由生存型消费转向质量型消费，城镇居民消费热点是商品住房、小轿车、新型食品、电子信息产品、服务消费和文化消费；农村消费热点是住房、家电，试设计表示消费情况的结构图．【解】消费—错误!)—城镇消费—错误!)))10．中央电视台少儿频道主持人鞠萍，是一名节水高手．在一期节目中，她谈到自己生活中的节水小窍门——做饭、淘米、洗菜的水留下来擦地或者浇花，洗衣服剩下的水留下冲卫生间．这样全家一个月节省消费10元多，一年下来就节省120多元．试用所学的框图知识表示她的节水过程．【解】如下图所示：自来水—错误!)11．某自动化仪表公司组织结构如下图，其中采购部的直接领导是谁？采购部的各个领导之间是怎样的一种隶属关系？图2－2－11【解】采购部的直接领导是副总经理(乙)，而副总经理(乙)又由总经理管理，总经理还需听从董事会的管理．(教师用书独具)在高中阶段，我们从各个领域学习了许多知识．在语言与文学领域，学习语文和外语；在数学领域学习数学；在人文与社会领域，学习思想政治、历史和地理；在科学领域，学习物理、化学和生物；在技术领域，学习通用技术和信息技术；在艺术领域学习音乐、美术和艺术；在体育和健康领域，学习体育等．试就此设计一个学习知识结构图．【思路探究】由各学科特点确定分类标准，要确保分类过程中分类标准的“唯一性”．【自主解答】如图所示：分类结构图的分法的关键是分类标准的确定，首先明确所涉及问题的范围，在此范围内选定分类标准，分类要做到不重不漏．画出平面内0＜θ≤180°范围内的角的分类的结构图．【解】结构图如下：角锐角0°<θ<90°直角θ＝90°平角θ＝180°钝角90°<θ<180°框图流程图算法流程图其他流程图工序流程图结构图知识结构图其他结构。

第二章解三角形§1正弦定理与余弦定理1．1 正弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过对任意三角形边长和角度的关系探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题．2．过程与方法让学生从已有的几何知识出发，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的能力．●重点难点重点：正弦定理的探索的证明及其应用．难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数．(教师用书独具)●教学建议已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数，此类问题有两个、一个、零个的情况，需要进行讨论，可做如下处理：在△ABC中，已知a，b和A时三角形解的情况：A为锐角A为钝角或直角图 像关系式 ①a ＝b sin A②a ≥b b sin A<a <b a <b sin Aa >ba ≤b解的个数 一解两解无解一解无解●教学流程创设问题情境，提出了2个问题⇒通过引导学生回答所提问题，理解正弦定理及三角形面积公式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用正弦定理解三角形问题⇒通过例2及变式训练，使学生掌握三角形面积公式的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握判断三角形的形状问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第32页)课标解读1.通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，了解其向量证法(难点)．2．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).正弦定理【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，试问a sin A ，b sin B ，csin C 的值相等吗？为什么？对于一般的三角形而言，a sin A ，b sin B ，csin C的值是否相等？【提示】 在Rt △ABC 中，∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c且C ＝90°， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.对一般的三角形而言，也相等． 语言表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等符号表示 asin A ＝bsin B ＝csin C比值的 含义a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R(其中R 为△ABC 的外接圆半径)变形(1)a ＝2R sin__A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C.作用 揭示了三角形边、角之间的数量关系三角形面积公式【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等吗？猜想一下在一般三角形中是否成立？【提示】 ∵C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝12ab sin C ，设边c 上的高为h ， 则sin B ＝ha ，sin A ＝h b，∴S △ABC ＝12hc ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，∴在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等．猜想在一般三角形中也成立．三角形ABC 的面积：S ＝12ab sin__C＝12bc sin__A ＝12ac sin__B ．(对应学生用书第32页)利用正弦定理解三角形在△ABC 中，(1)若A ＝45°，B ＝30°，a ＝2，求b ，c 与C ； (2)若B ＝30°，b ＝5，c ＝53，求A 、C 与a .【思路探究】 (1)已知A ，B ，如何求C ？在正弦定理中b ，c 分别怎样表示？ (2)已知B ，b ，c 运用正弦定理可先求出哪个量？ 【自主解答】 (1)由三角形内角和定理，得：C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 30°sin 45°＝2×1222＝2，sin 105°＝sin(60°＋45°)＝6＋24， c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 45°＝2×6＋2422＝3＋1. (2)∵b ＝5，c ＝53，B ＝30°， ∴c ·si n B <b <c ， ∴△ABC 有两解， 由正弦定理得：sin C ＝c sin B b ＝32， ∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，易得a ＝10； 当C ＝120°时，A ＝30°，此时a ＝b ＝5.1．已知两角与任一边解三角形，可先利用三角形内角和定理求第三个角，再利用正弦定理求出两未知边．2．已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，判断三角形解的个数，有以下两种方法： 法一 作图判断．作出已知角A ，边长b ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，与射线AB 的公共点(除去顶点A )的个数即为三角形解的个数．法二 根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ，当b sin A a >1时，无解；当b sin Aa＝1时，有一解；当b sin Aa<1时，如果a ≥b ，即A ≥B ，则B 一定为锐角，有一解；如果a <b ，即A <B ，有两解．本例(2)中，若B ＝60°，b ＝43，a ＝42，如何求解？ 【解】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得 sin A ＝a sin Bb ＝42sin 60°43＝22， 又a ＜b ，∴A ＝45°，C ＝180°－A －B ＝75°.∴c ＝b sin C sin B ＝43sin 75°sin 60°＝43×2＋6432＝2(2＋6)．三角形的面积问题在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．【思路探究】 (1)先寻找角A 、B 间的关系，再求sin A. (2)先由正弦定理求BC ，再代入三角形的面积公式求解． 【自主解答】 (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B ，0＜A ＜π4.故cos 2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63. 又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，BC ＝sin Asin BAC ＝32，又C ＝π2＋A ，∴sin C ＝cos A ＝63.所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A＝3 2.1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．2．三角形面积计算公式(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a 、h b 、h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．已知△ABC 中，AB →·AC →<0，S △ABC ＝154，|AB →|＝3，|AC →|＝5，则∠BAC ＝( ) A ．30° B ．120° C ．150° D ．30°或150° 【解析】 由S △ABC ＝154，得12×3×5sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又由AB →·AC →<0，得∠BAC >90°， ∴∠BAC ＝150°. 【答案】 C判断三角形的形状已知△ABC 中，b sin B ＝c sin C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．【思路探究】 利用正弦定理的变形(如a ＝2R sin A )，将条件中的角化为边，或将边化为角，从而进行判断．【自主解答】 法一 由b sin B ＝c sin C 得，2R sin 2B ＝2R sin 2C ， 即sin 2B ＝sin 2C. ∵0<B <π，0<C <π， ∴sin B >0，sin C >0. ∴sin B ＝sin C ，∴B ＝C.又sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，A ＝π－(B ＋C )＝π－2B ， ∴sin 22B ＝2sin 2B. 即4sin 2B ·cos 2B ＝2sin 2B. ∴cos 2B ＝12.由A ＝π－2B ∈(0，π)知，0<B <π2.∴cos B ＝22，∴B ＝π4，A ＝π2. 故△ABC 是等腰直角三角形．法二 由b sin B ＝c sin C 得：b ·2R sin B ＝c ·2R sin C ， ∴b 2＝c 2，b ＝c .由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得，(2R sin A )2＝(2R sin B )2＋(2R sin C )2， ∴a 2＝b 2＋c 2，结合b ＝c 知，△ABC 为等腰直角三角形．1．本题已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定．2．在正弦定理的推广中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 是边化角的主要工具．其他变形还有角化边，如sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，借助正弦定理可以进行三角形形状的判断，三角恒等式的证明．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状．【解】 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，由正弦定理a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)，得 4R 2sin 2A sinB cos B ＝4R 2sin 2B sin Acos A ，sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B. ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B. ∴A ＋B ＝π2或A －B ＝0.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(对应学生用书第34页)解三角形时忽视讨论致误在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求△ABC 的面积．【错解】 由正弦定理得： sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32， ∴B ＝60°.故C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°， 在Rt △ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6， 故S △ABC ＝12ab ＝12×23×6＝6 3.【错因分析】 上述解答错误之处在于在利用正弦定理求得sin B ＝32后直接得出B ＝60°，未对解的情况作出判断和讨论，从而导致丢解．【防范措施】 遇到已知两边及其中一边对角解三角形时一定要讨论． 【正解】 由正弦定理得， sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32. 由b ＝6，a ＝23知，b >a ，∴B >A ＝30°. ∴B ＝60°或120°.(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B ＝90°. ∴S △ABC ＝12ab ＝12×6×23＝6 3.(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝30°. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×23×sin 30°＝3 3.综合以上得△ABC 的面积为63或3 3.1．应用正弦定理可解决两类三角形问题：(1)已知三角形两角及一边；(2)已知两边及其中一边的对角． 2．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意分类讨论．3．正弦定理揭示了三角形中边、角之间的数量关系，可以借助三角形外接圆的半径，用边表示角或用角表示边，从而在解决有关问题时，可利用其“化边为角”或“化角为边”．(对应学生用书第34页)1．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin A D ．a cos B ＝b cos A 【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，∴a sin B ＝b sin A.【答案】 C2．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．4 3D ．4 5【解析】 由三角形内角和定理知B ＝180°－A －C ＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝8·sin 30°sin 45°＝4 2.【答案】 B3．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________．【解析】 根据正弦定理，a sin A ＝csin C，由3a ＝2c sin A ，得3sin A ＝2sin C sin A ， ∴sin C ＝32，而角C 是锐角，∴C ＝π3. 【答案】π34．在△ABC 中，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C. 【证明】 由正弦定理得a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ab ＝a b sin 2B ＋basin 2A＝sin A ·sin 2B sin B ＋sin B ·sin 2Asin A＝2(sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ) ＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，故原式成立．(对应学生用书第97页)一、选择题1．在△ABC 中，下列a 与b sin A 的关系正确的是( ) A ．a >b sin A B ．a ≥b sin A C ．a <b sin A D ．a ≤b sin A 【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以a ＝b sin Asin B，又因为sin B ∈(0，1]， 所以a ≥b sin A. 【答案】 B2．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 【解析】 ∵a sin B ＝102， ∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个． 【答案】 B3．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝45°，c ＝6，则△ABC 的面积为( ) A ．9＋3 3 B.9（6－2）2C.9＋332 D.9（6＋2）2【解析】 ∵A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝60°，b ＝c sin Bsin C＝6×2232＝26，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×26×6×6＋24＝9＋3 3.【答案】 A4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【解析】 ∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，故由正弦定理得，sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C )＋sin(A ＋B )， 化简得：cos A (sin B ＋sin C )＝0，又sin B ＋sin C ＞0， ∴cos A ＝0，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 【答案】 D5．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725 D.2425【解析】 由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ，所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B＝45.所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725. 【答案】 A 二、填空题6．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________． 【解析】 由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63.【答案】637．(2013·济南高二检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝180°，且A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝1×sin 60°3＝12， 又a <b ，∴A ＝30°.∴C ＝180°－(30°＋60°)＝90°.即sin C ＝1. 【答案】 18．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 【解析】 由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形，∴AB ＝2. 【答案】 2 三、解答题9．在△ABC 中，c ＝6，A ＝45°，a ＝2，求b 和B ，C. 【解】 ∵a sin A ＝csin C，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32. ∵c sin A ＜a ＜c ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1， ∴当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.10．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，判断此三角形的形状．【解】 由lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2， 得sin B ＝22，又B 为锐角， ∴B ＝45°，又a c ＝22，∴sin A sin C ＝22， ∴sin C ＝2sin A ＝2sin(135°－C )， ∴sin C ＝sin C ＋cos C ， ∴cos C ＝0，即C ＝90°， 故此三角形是等腰直角三角形．11．在△ABC 中，已知tan B ＝3，cos C ＝13，AC ＝36，求△ABC 的面积．【解】 设△ABC 中AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . 由tan B ＝3，得B ＝60°， ∴sin B ＝32，cos B ＝12. 又cos C ＝13，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223，由正弦定理得c ＝b sin Csin B ＝36×22332＝8.又∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝36＋23， ∴三角形面积S △ABC ＝12bc sin A ＝62＋8 3.(教师用书独具)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋12c ＝b ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．【思路探究】 (1)本题可考虑把边化为角，通过寻找三角形角与角之间的关系求解； (2)将周长表示为三角形某内角的函数，通过求函数的值域来求周长的取值范围． 【自主解答】 (1)由a cos C ＋12c ＝b 和正弦定理得，sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝23sin B ， c ＝a sin C sin A ＝23sin C ，则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )]＝1＋2(32sin B ＋12cos B )＝1＋2sin(B ＋π6)． ∵A ＝π3，∴B ∈(0，2π3)，∴B ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2，3]．利用正弦定理可以实现边、角互化(1)将边转化为角：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)将角转化为边：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R.已知△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1－c 2a ＝sin （B －C ）sin （B ＋C ），求cosA ＋C2的值．【解】 由正弦定理以及sin A ＝sin(B ＋C )，得： 1－sin C 2sin A ＝sin （B －C ）sin A， 整理得2sin A －sin C ＝2sin(B －C )， ∴4cos B sin C ＝sin C ， 又sin C ≠0， ∴cos B ＝14，∴1－2sin 2B 2＝14，sin B 2＝64， ∴cosA ＋C2＝cos π－B 2＝sin B 2＝64. 趣味材料中国南宋末年数学家秦九韶发现三斜求积公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积．“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积．”若以大斜记为a ，中斜记为b ，小斜记为c ，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：S ＝14[a 2c 2－（a 2＋c 2－b 22）2]，这里a >b >c .1．2 余弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握余弦定理的两种表示形式及余弦定理的向量方法；并会用余弦定理解决基本的解三角形问题．2．过程与方法利用向量数量积推出余弦定理并通过实践演算掌握运用余弦定理解决解三角形问题．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辨证统一．●重点难点重点：余弦定理的发现和证明过程及应用．难点：正、余弦定理与三角函数、三角恒等变换的综合问题．(教师用书独具)●教学建议探究和证明余弦定理的过程既是本节课的重点，也是本节课的难点．学生已具备了勾股定理的知识，即当C＝90°时，有c2＝a2＋b2，作为一般的情况，当C≠90°时，三角形的三边满足什么呢？学生一时很难找到思路．最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试用勾股定理去探究三角形的边角关系．用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合．因此教师在授课时可以适当点拨、启发．鼓励学生大胆的探索．在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加深学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，从而突破本节难重点．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题，结合勾股定理，理解余弦定理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握利用余弦定理解三角形问题⇒通过例2及互动探究，使学生掌握、判断三角形形状问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第35页)课标解读1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用(难点)． 2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).余弦定理【问题导思】图2－1－1如图2－1－1，在△ABC 中，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如果C ＝90°，如何求AB 边的长？当C ≠90°，如何用向量的数量积表示AB 边的长？【提示】 利用勾股定理求AB 的边长． |c |2＝c·c ＝(a －b )·(a －b )＝a 2－2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C. 余弦定理语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号表示a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C.推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.作用 实现三角形边与角的互化.(对应学生用书第35页)利用余弦定理解三角形(1)在△ABC 中，若a ＝1，b ＝1，C ＝120°求c ；(2)已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 各内角的度数． 【思路探究】 (1)直接利用余弦定理求解． (2)先根据比值设出各边的长，再利用余弦定理求解． 【自主解答】 (1)c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋1－2cos 120°＝3， ∴c ＝ 3.(2)∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， ∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6＋（3＋1）2－426（3＋1）＝22，∴A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋（3＋1）2－62×2×（3＋1）＝12，∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.1．本题(2)关键是根据已知条件设出三边，为使用余弦定理的推论求角创造条件． 2．余弦定理是刻画三角形两边及其夹角的余弦与第三边关系的定理．在余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的任意三个量，便可求得第四个量．(1)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π4，b ＝2，S △ABC＝2，求a .(2)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，求△ABC 中最大角的度数．【解】 (1)因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22c ＝22c ＝2，所以c ＝2 2.根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋8－2×2×22×22＝4，所以a ＝2. (2)∵a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，∴令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝13k (k ＞0)，由b ＜a ＜c ，知C 为△ABC 最大内角，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋3－132×2×3＝－32，又0°＜C ＜180°∴C ＝150°.判断三角形的形状在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．【思路探究】 可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．【自主解答】 法一 由正弦定理得sin C sin B ＝cb ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 法二 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B. 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°. 所以△ABC 为等边三角形．1．本题解法一利用了边的关系判断，解法二利用了角的关系判断．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．若将例题中的条件改为“△ABC 中，b ，c 是角B 、C 的对边，且cos 2A 2＝b ＋c 2c”，试判断△ABC 的形状．【解】 法一 ∵cos 2A 2＝1＋cos A2且cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝bc. 由正弦定理，得cos A ＝sin B sin C，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0. ∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二 同法一得cos A ＝b c.由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．正、余弦定理的综合应用在△ABC 中，C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b .【思路探究】 先根据正弦定理求出a ，c 的值，再利用余弦定理建立b 的方程求b . 【自主解答】 由正弦定理得c a ＝sin C sin A ＝sin 2A sin A ＝2cos A ＝32， 又a ＋c ＝10， ∴a ＝4，c ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2－9b ＋20＝0， 解得b ＝4或b ＝5. 当b ＝4时， ∵a ＝4，∴A ＝B ，又C ＝2A 且A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝45°与cos A ＝34矛盾，舍去，∴b ＝5.1．本题易忽视检验b ＝4的情况导致出错．2．余弦定理和正弦定理都是解三角形的重要工具，都可以实现三角形中的边角转化．在解决三角形中的综合问题时，要有意识地合理选择，一般情况下，如果条件中含有角的余弦或边的二次式，要考虑余弦定理；若条件中含有角的正弦或边的一次式，则考虑正弦定理．学习时应注意归纳总结正、余弦定理的应用技巧，如公式的正用、逆用以及变形用等，同时牢固掌握内角和定理的运用和三角变换的技巧．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B. 求证：A ＋B ＝120°.【证明】 由(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B 可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sinB.由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，∴a 24R 2＋b 24R 2－c 24R 2＝a 2R ·b2R， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°， ∴A ＋B ＝120°.(对应学生用书第37页)转化思想在三角形中的应用(12分)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】 可以把角转化为边，也可以把边转化为角来处理． 【规范解答】 法一 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 得：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C.代入a cos A ＝b cos B ＝c cos C 中，得：2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ＝2R sin C cos C，4分即sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ．10分又∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴A ＝B ＝C. ∴△ABC 是等边三角形.12分 法二 由余弦定理得a ·2bcb 2＋c 2－a 2＝b ·2ac a 2＋c 2－b 2＝c ·2aba 2＋b 2－c 2，6分∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2. 得a 2＝b 2＝c 2，即a ＝b ＝c .10分∴△ABC 是等边三角形.12分转化也称化归，它是将未知的，陌生的，复杂的问题转为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题解决的数学思想．在解三角形时，若已知条件中含边角共存的关系式时，往往可利用正弦定理或余弦定理实现边角间的互化，从而发现各元素间的关系．1．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具，可解决以下两类问题：(1)已知两边及其夹角，求第三边和其他两角； (2)已知三边求三角．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系判断时，可利用正弦定理或余弦定理转化为边的关系作代数运算，也可转化角的关系，通过三角变换求解．(对应学生用书第37页)1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，C ＝120°，则c 为( ) A.41 B.61 C.41或61 D.21【解析】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝25＋16＋2×5×4×12＝61.∴c ＝61.【答案】 B2．在△ABC 中，若a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则△ABC 的最大角的度数为( ) A ．60° B ．90° C．120° D ．150° 【解析】 ∵c ＞a ＞b ，∴C 是最大角，由余弦定理得：cos C ＝（3＋1）2＋（3－1）2－（10）22×（3＋1）×（3－1）＝8－104＝－12.∴C ＝120°.【答案】 C3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【解析】 由正弦定理知a ∶b ∶c ＝5∶11∶13， 设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（5k ）2＋（11k ）2－（13k ）22×5k ×11k ＝－23110<0，∴C 为钝角．【答案】 C4．已知△ABC 的边长满足等式a 2－（b －c ）2bc ＝1时，求A.【解】 由a 2－（b －c ）2bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(对应学生用书第99页)一、选择题1．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2【解析】 在△ABC 中，易知B ＝30°，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4，∴b ＝2. 【答案】 A2．a 、b 、c 是△ABC 的三边，B ＝60°，那么a 2－ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定【解析】 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ， 所以a 2－ac ＋c 2－b 2＝(a 2＋c 2－ac )－b 2＝b 2－b 2＝0. 【答案】 C3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2【解析】 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， ∴6＝a 2＋2＋2a ，∴a ＝2或－22(舍去)． 【答案】 D4．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定【解】 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 24R 2＋b 24R 2＜c 24R2，∴a 2＋b 2＜c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19【解析】 由余弦定理的推论cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935，又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝5×7×(－1935)＝－19.【答案】 D 二、填空题6．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )，则A ＝________. 【解析】 由(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )得a 2－c 2＝b 2－bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝bc 与余弦定理b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， 比较知cos A ＝12，∴A ＝60°.【答案】 60°7．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________． 【解析】 ∵a 是最大边，∴A ＞π3，又a 2＜b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0，∴A ＜π2，故π3＜A ＜π2.【答案】 (π3，π2)8．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.【解析】 在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×(－14)，整理得15b －60＝0.∴b ＝4. 【答案】 4 三、解答题9．已知△ABC 的顶点为A (2，3)，B (3，－2)和C (0，0)，求∠AB C. 【解】 |AB |＝（3－2）2＋（－2－3）2＝26， |BC |＝（0－3）2＋[0－（－2）]2＝13， |CA |＝（2－0）2＋（3－0）2＝13， 由余弦定理得cos ∠ABC ＝（13）2＋（26）2－（13）22×13×26＝22，又∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π4.10．a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sinC －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B ·sin C.结合正弦定理得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0， 可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4. ∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a ＝3.(3)由(1)(2)知，a 2＋c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形．11．(2013·潍坊高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cosA ＝c ·cos A ＋a ·cos C ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【解】 (1)根据正弦定理2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒ 2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. (2)由余弦定理得：7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 代入b ＋c ＝4得bc ＝3，故△ABC 面积为S ＝12bc sin A ＝334.(教师用书独具)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C.【思路探究】 本题可考虑把边化为角，通过三角变换寻找等式左、右两边的联系． 【自主解答】 由余弦定理可知：a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B则a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc ·cos A ＋2ac ·cos B ， 整理得：a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c ， 又a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C， ∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .【解】 法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ， 由正弦定理，得b 2R ＝4cos A c2R，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理得b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4. 法二 由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ， ∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，①由正弦定理，得b c ＝sin Bsin C，又由已知得，sin Bsin C ＝4cos A ，∴b ＝4c cos A ．②由①②得b ＝4.§2三角形中的几何计算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握正、余弦定理解任意三角形的方法，体会正、余弦定理在平面几何计算与推理中的作用．2．过程与方法能过图形的观察、识别、分析、归纳来正确选择正、余弦定理．3．情感、态度与价值观通过本节课的探究，培养学生勇于探索、创新的学习习惯．●重点难点重点：利用正、余弦定理解决三角形中的几何计算．难点：将几何计算转化为解三角形问题．(教师用书独具)●教学建议通过例题的活动探究，要让学生结合图形理解题意，学会分析问题状态，确定合适的求解顺序，明确所用的定理．其次，在教学中还要让学生分析讨论，明确正、余弦定理各自实用的范围．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题理解三角形中的几何计算——长度、角度、面积等⇒通过例1及变式训练，使学生掌握与长度或角度有关的问题的计算⇒通过例2及变式训练，使学生掌握有关面积问题的处理⇒通过例3及变式训练，使学生进一步掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第38页)课标解读1.掌握正、余弦定理解任意三角形的方法(重点)．2．提高分析问题解决问题的能力(难点).三角形中的几何计算【问题导思】图2－2－1如图2－2－1，2011年8月，利比亚战争期间，北约为了准确分析战场形势，由位于相距32a的英法两军事基地C和D，测得卡扎菲的两支精锐部队分别位于A、B两处，且∠ADB＝∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.试问你能根据实例中测量的数据计算卡扎菲这支精锐部队的距离吗？【提示】在△BCD中用正弦定理求出BC，在△ABC中用余弦定理求AB的长．(对应学生用书第38页)与长度或角度有关的问题图2－2－2(2013·中山高二检测)在△ABC 中，已知B ＝30°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，(1)求∠ADC 的大小； (2)求AB 的长．【思路探究】 (1)在△ACD 中已知了AD 、AC 、DC ，可根据余弦定理求∠AD C. (2)在△ABD 中，可用正弦定理求A B.【自主解答】 (1)在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°.(2)由(1)知∠ADB ＝60°，在△ABD 中，AD ＝10，B ＝30°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 30°＝10×3212＝10 3.1．正弦、余弦定理是解三角形常用的两个重要定理，在使用时要根据题设条件，恰当选择定理，使求解更方便、简捷．2．解决此类问题要处理好两个方面：(1)找出已知某边长的三角形，从中筛选出可解三角形；(2)找要求线段所在的三角形，确定所需条件．图2－2－3如图2－2－3所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理，有cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝（23）22×2×23＝32， 则C ＝30°.在△ACD 中，由正弦定理，有ADsin C＝ACsin ∠ADC，∴AD ＝AC ·sin30°sin 45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2. 【答案】 2有关面积问题图2－2－4如图2－2－4所示，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132且AD ＝BD ，求△ABC的面积．【思路探究】 先由余弦定理建立方程求CD 的长，再在△ACD 中由正弦定理求sin C ，进而可求△ABC 的面积．【自主解答】 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝5－x . 在△CAD 中，由余弦定理可知 cos ∠CAD ＝（5－x ）2＋42－x 22×4×（5－x ）＝3132，解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理可知ADsin C＝CDsin ∠CAD，∴sin C ＝AD CD·1－cos 2∠CAD ＝41－（3132）2＝387.∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C＝12×4×5×387＝1547. 即△ABC 的面积为1547.1．本题求三角形面积容易考虑用12×底×高，但高不易求得，应灵活应用三角形面积公式．2．涉及三角形面积问题通常选用S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，这个公式中含有正弦值，可以和正弦定理建立关系，又由正弦值还可求出余弦值，这就可以与余弦定理建立关系，另外面积公式中有两边的乘积，在余弦定理中也有，所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换，关键是根据题中的条件选择正确的变换方向．图2－2－5如图2－2－5所示，△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，B ＝60°，∠ADC ＝150°，求AC 的长及△ABC 的面积．【解】 在△ABC 中，∠BAD ＝150°－60°＝90°， ∴AD ＝BD sin 60°＝2×32＝3， 在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ＝(3)2＋12－2×3×1×cos 150°＝7，∴AC ＝7.又∵AB ＝BD cos 60°＝1，∴S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×3×32＝34 3.正、余弦定理的综合应用。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.4 数乘向量课后知能检测 新人教B 版选修4-5一、选择题1．点C 在线段AB 上，且AC →＝35 AB →，则AC →等于( )A.23 BC →B.32 BC → C ．－23BC →D ．－32BC →【解析】 ∵AC →＝35AB →，∴BC →＝－25AB →，∴AC →＝－32BC →.【答案】 D 2．下面四个说法①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m (a －b )＝ma －mb ； ②对于实数m 、n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝ma －na ； ③对于实数m 和向量a 、b ，若ma ＝mb ，则a ＝b ； ④对于实数m 、n 和向量a ，若ma ＝na ，则m ＝n . 其中正确的个数是( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个 【解析】 由向量数乘运算律知①②均正确，对于③，若m ＝0，ma ＝mb 成立，此时a ，b 任意，未必有a ＝b ，故③错；对于④，若a ＝0，ma ＝na 成立，此时m ，n 任意，未必有m＝n ，故④错误．【答案】 C3．(2013·泉州高一检测)点P 满足向量OP →＝2OA →－OB →，则点P 与AB 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 延长线上 C ．点P 在线段AB 反向延长线上 D ．点P 在直线AB 外【解析】 ∵OP →＝2OA →－OB →，∴OP →－OA →＝OA →－OB →， ∴AP →＝BA →，∴点P 在线段AB 反向延长线上，故应选C. 【答案】 C4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23 B ．－23C.25D.13 【解析】 由题意知CD →＝CA →＋AD →， ① CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →. ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.【答案】 A图2－1－315．如图2－1－31所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则( )A.EF →＝12(a ＋b ＋c ＋d )B.EF →＝12(a －b ＋c －d )C.EF →＝12(c ＋d －a －b )D.EF →＝12(a ＋b －c －d )【解析】 如右图，连接OF ，OE .EF →＝OF →－OE →＝12(OC →＋OD →)－12(OA →＋OB →)＝12(c ＋d )－12(a＋b )．∴EF →＝12(c ＋d －a －b )．【答案】 C 二、填空题6．已知|a |＝6，b 与a 的方向相反，且|b |＝3，a ＝mb ，则实数m ＝__________. 【解析】|a ||b |＝63＝2， ∴|a |＝2|b |，又a 与b 的方向相反， ∴a ＝－2b ，∴m ＝－2. 【答案】 －27．(2013·黄冈高一检测)已知点M 是△ABC 的重心，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.【解析】 如图，AD →＝32AM →，而AB →＋AC →＝2AD →，故AB →＋AC →＝2×32AM →＝3AM →，∴m ＝3.【答案】 3图2－1－328.如图所示，O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面内不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．【解析】 设AB→|AB →|＝AD →，AC →|AC →|＝AE →，则AD →与AE →分别为单位向量，以它们为邻边作▱ADFE ，则它为菱形．∴AF 在∠BAC 的角平分线上．∴AP →＝OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)＝λAF →.∴AP →与AF →共线．∴点P 的轨迹一定过△ABC 的内心． 【答案】 内 三、解答题9．设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求(13a －b )－(a －23b )＋(2b －a )．【解】 原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j＝－53i －5j .10．(2013·宁德高一检测)在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，求MN →(用a ，b 表示)．【解】 法一 如图所示▱ABCD 中， 连接AC 交BD 于O 点， 则O 平分AC 和BD . ∵AN →＝3NC →， ∴NC →＝14AC →，∴N 为OC 的中点，又M 为BC 的中点， ∴MN 綊12BO ，∴MN →＝12BO →＝14BD →＝14(b －a )．法二 MN →＝AN →－AM →＝34AC →－12(AC →＋AB →)＝14AC →－12AB →＝14(a ＋b )－12a ＝14(b －a )． 11．如图所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，求证：λ＋μ＝1.图2－1－33【证明】 ∵点P 在直线AB 上， ∴AP →∥AB →， 设AP →＝xAB →，∵AP →＝OP →－OA →，AB →＝OB →－OA →， ∴OP →－OA →＝x (OB →－OA →)， ∴OP →＝(1－x )OA →＋xOB →. 又OP →＝λOA →＋μOB →， ∴λ＝1－x ，μ＝x ， ∴λ＋μ＝1.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第二讲 试验设计初步章末归纳提升 新人教A 版选修4-7正交表介绍正交表的特征正交试验设计正交试验的应用确定试验的因素和水平选择合适的正交表安排试验方案试验结果分析，选出最佳组合1.正交试验设计是用正交表安排多因素的试验设计和分析的一种方法，它可以帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的试验方案，应用正交试验设计安排试验，还可以把考察的因素进行排队，看哪些是主要因素，哪些是次要因素，从而抓住主要因素进一步试验，当主要因素较少时，可以转化成第一讲中的优选法得出最佳点．2．正交表的含义及特征(1)教材以L 4(23)为例讲解了正交表的含义.m (2)正交表的两个特征．①每列中不同的数字出现的次数相同；②将任意两列的同一行数字看成有序数对时，每种数对出现的次数相等． 这两个特征是判断一张表是否为正交表的依据． 3．试验结果的分析教材主要介绍了两种方式，直接对比法和直观分析法，并利用直观分析法分析了相关因素对试验结果影响的主次，为探寻试验的最佳方案，提供理论依据．为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最佳工艺条件．已知液化率＝果肉重量－液化后残渣重量果肉重量×100%.9出分析．【解】 ∵K 11＝41%，K 12＝13%，K 13＝46%，K 14＝89%，K 21＝87%，K 22＝82%， K 23＝71%，K 24＝46%，K 31＝61%， K 32＝94%，K 33＝72%，K 34＝54%，∴k 11≈13.7%，k 12≈4.3%，k 13≈15.3%，k 14≈29.7%，k 21≈29.0%，k 22≈27.3%， k 23≈23.7%，k 24≈15.3%，k 31≈20.3%， k 32≈31.3%，k 33≈24.0%，k 34≈18.0%，∴R 1＝max{k 11，k 21，k 31}－min{k 11，k 21，k 31}＝max{13.7%,29.0%,20.3%}－min{13.7%，29.0%，20.3%} ＝29.0%－13.7%＝15.3%. 同理可求R 2＝27.0%，R 3＝8.7%，R 4＝14.3%.所得结果列表如下：23312143综合检测(二) 第二讲 试验设计初步(时间80分钟，满分100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某次试验选取的正交表为L 16(45)，则需做的试验个数为( ) A ．10 B ．7 C ．8 D ．16【解析】 由正交表L 16(45)可知共需做16次试验． 【答案】 D2．在价格竞猜游戏中，为了最快猜中价格，最好使用( ) A ．0.618法 B ．分数法 C ．对分法 D ．盲人爬山法【解析】 结合实际的需要，最好做一次试验就明确试验下一步的方面，对分法恰好，满足此要求． 【答案】 C3．用0.618法寻找某试验的最优加入量时，若当前存优范围是[628,774]，好点是718，则此时要做试验的加入点值是( ) A.628＋7742B ．628＋0.618×(774－628)C ．628＋774－718D ．2×718－774【解析】 结合黄金分割法的原理：“加两头减中间”的方式可知，此时要做试验的加入点值为628＋774－718. 【答案】 C4．在区间[1,5]上不是单峰函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x C ．y ＝2xD ．y ＝ln x【解析】 y ＝x ，y ＝2x，y ＝ln x ，在[1,5]上均单调增加，都是单峰函数，函数y ＝sin x 在[1，π2]上单调递增，在[π2，5]上不是单调的．因此不满足单峰函数的定义．【答案】 A5．南海舰队在某海岛修建一个军事设施，需要大量加入了抗腐剂的特种混凝土预制件．该种混凝土预制件质量很受混凝土搅拌时间的影响，搅拌时间不同，混凝土预制件的强度也不同，根据生产经验，混凝土预制件的强度是搅拌时间的单峰函数．为了确定一个搅拌的标准时间，拟用分数法从12个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至少是( )A ．5次B ．6次C．7次 D．8次【解析】因为12＝13－1＝F6－1＝F5＋1－1，由分数法的最优性原理可知，至少做5次试验能找到其中的最佳点，故选A.【答案】 A6．有一多因素试验，其正交表试验如下：A．因素A B．因素BC．因素C D．不确定【解析】R A＝0.5，R B＝6.5，R C＝2.5.所以B为主要因素，然后是C，最后是A，故选B.【答案】 B7．下列说法中，不正确的是( )A．纵横对折法是在每一步确定好点后，都将试验的矩形区域舍弃一半B．爬山法中的步法常常采用“两头慢，中间快”的办法C．平行线法中，可以多次采用“平行线加速”求后续最佳点D．对分法的要点是每个试点都取在因素范围的中点【解析】由纵横对折法，爬山法、平行线法及对分法的意义，A、C、D是正确的；B是错误的，事实上，爬山法中往往采用的是“两头小，中间大”的办法．【答案】 B8．图2－1是某正交试验后，绘成的结果和因素关系图(已知结果越大越好)，则该试验的最佳组合为( )图2－1A ．(A 1，B 1，C 2) B ．(A 1，B 2，C 1) C ．(A 2，B 1，C 2)D ．(A 2，B 2，C 2)【解析】 由图可知对A 而言，k 21＞k 11，故A 2优于A 1，对B 而言，k 12＞k 22，故B 1优于B 2，对于C 而言k 13＜k 23，即C 2优于C 1，故最优组合为(A 2，B 1，C 2)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)9．某车床的走刀量(单位：mm/r)共有如下13级：0.3,0.33,0.35,0.40,0.45,0.48,0.50,0.55，0.60，0.65,0.71,0.81,0.91. 那么第一、二次的试点分别为________．【解析】 由题意知符合分数法的优选要求．第一次应选0.55做为试点，第二次应选0.45做为试点． 【答案】 0.55 0.4510．(2012·益阳模拟)某试验对象取值范围是[1,6]内的整数，采用分数法确定试点值，则第一个试点值可以为________． 【解析】 由分数法的原理可知，第一试点的值可以为x 1＝1＋35×(6－1)＝4或6－35×(6－1)＝3.【答案】 4或3(写出一个也正确)11．有一双因素优选试验，2≤x ≤4,10≤y ≤20.使用纵横对折法进行优选．分别对因素x 和y 进行了一次优选后，其新的存优范围的面积为__________．【解析】 由纵横对折法知对因素x 和y 进行了一次优选后得到两个好点，无论哪个好点的试验结果更优，其新的存优范围的面积为原存优范围面积的一半，即12×(4－2)×(20－10)＝10.【答案】 1012．下列正交表中：L 4(23)，L 8(27)，L 16(215)，L 9(34)，L 16(45)，L 27(313)属于三水平正交表的是________． 【解析】 L 9(34)，L 27(313)同为三水平正交表． 【答案】 L 9(34)，L 27(313)三、解答题(本大题共3小题，满分40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13．(本小题满分13分)(2012·长沙模拟)在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.8 k Ω，1.2 k Ω，1.8 k Ω，3 k Ω，3.5 k Ω，4 k Ω，5 k Ω等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻从小到大安排序号，则第2个试点选的电阻是多少k Ω？【解】 把阻值由小到大排列并编号 阻值 0.8 1.2 1.8 3 3.5 4 5 编号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)为方便使用分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成8格，∴第2试点为38处，即序号(3)的位置1.8 k Ω.14．(本小题满分13分)用对分法求方程x 2＋3x －2＝0的一个正根(精确度为0.1)【解】 令f (x )＝x 2＋3x －2，由f (0)＝－2＜0，f (1)＝2＞0可知以区间[0,1]为因素范围使用对分法 因为f (12)＝14＋32－2＜0，所以考虑区间[12，1]．因为f (34)＝916＋94－2＞0，所以考虑区间[12，34]．因为f (58)＝2564＋158－2＞0，所以考虑区间[12，58]．因为f (916)＞0，所以考虑区间[12，916]．又∵|916－12|＜0.1，所以方程x 2＋3x －2＝0的一个正根为[12，916]中的任意一个值，不妨取1732.15．(本小题满分14分)如果一个3因素2水平的正交试验结果如下表：【解】 k 11＝79＋652＝72，k 12＝79＋882＝83.5，k 13＝79＋812＝80，k 21＝88＋812＝84.5，k 22＝65＋812＝73，k 23＝65＋882＝76.5， ∴R 1＝84.5－72＝12.5，R 2＝83.5－73＝10.5，R 3＝80－76.5＝3.5. 其正交试验表如下表所示：由上表可知，该试验的最优组合为(211又∵R1＞R2＞R3，∴该试验的主要因素为A，B次之，C再次之．。

〖第1章立体几何初步〗之小船创作1．1空间几何体1．1.1 棱柱、棱锥和棱台(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解棱柱、棱锥、棱台的概念．(2) 认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(3) 能根据几何结构特征对现实生活中的简单物体进行描述．2．过程与方法(1)让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征．(2)让学生在观察、讨论、归纳、概括中获取知识．3．情感、态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力和抽象概括能力．●重点难点重点：棱柱、棱锥和棱台及多面体的概念和画法．难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括．重难点突破：以学生熟知的现实世界中几何体为切入点，教师通过提供丰富的实物模型引导学生对观察到的实物进行分类，考虑到棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括既是本节教学的重点又是本节教学的难点，教师可利用采用多媒体辅助教学法，利用多媒体演示，让学生通过观察比较，从而发现规律，概括出几何体的结构特征，突破难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是立体几何的入门教学，是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生逐步形成空间想象能力．由于本节知识具有概念多，感知性强等特点，教学时建议采用启导法和多媒体辅助教学法．引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，多角度、多层次地揭示空间图形的本质．按照从整体到局部、由具体到抽象的原则，让学生认识棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征，进而通过空间图形，培养和发展学生的空间想象能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：棱柱、棱锥和棱台分别具有怎样的结构特征？⇒引导学生观察棱柱、棱锥和棱台的相关图片得出空间几何体的定义．⇒通过引导学生回答所提问题掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征．⇒通过例3及其变式训练，引导学生掌握棱柱、棱锥、棱台的画法，进—步认知三种几何体．⇒通过例2及其互动探究，引导学生应用概念判别几何体，加深对棱柱结构特征的认识．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握棱柱、棱锥和棱台的概念及结构特征．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．(见学生用书第1页)课标解读1.直观了解棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(重点) 2．能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．(难点、易错点)棱柱1．仔细观察下面的几何体，如果把它们看作是由一个平面图形平移而形成的，它们分别是由什么平面图形平移而成的？【提示】(1)是由三角形平移而成的；(2)是由矩形平移而成的；(3)是由五边形平移而成的．2．上述几何体中，除了平移前后的平面，其余各面都是什么四边形？【提示】平行四边形．1．棱柱的定义、表示及相关概念定义图形及表示相关概念由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体记作：棱柱ABCD－A′B′C′D′底面：平移起止位置的两个面；侧面：多边形的边平移所形成的面；侧棱：相邻侧面的公共边2.棱柱的分类及共同特征(1)分类：底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别为三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)共同特征：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．棱锥、棱台1．如图，棱柱的一个底面收缩为一点时，可得到怎样的图形？【提示】2．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个什么几何体？【提示】棱锥和棱台．1．棱锥(1)定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．(2)相关概念及表示：图1－1－1该四棱锥可记作S－ABCD.(3)棱锥的共同特征：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．2．棱台(1)定义：棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．(2)相关名称及表示图1－1－2记作：棱台ABCD－A′B′C′D′多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．(见学生用书第2页)棱柱、棱锥、棱台的结构特征根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．【思路探究】【自主解答】(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底面，其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面．根据形成几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型，通过演示进行准确判断．下列说法中正确的有________．①一个棱柱至少有五个面②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台③棱台的侧面是等腰梯形④棱柱的侧面是平行四边形．【解析】因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱，有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故填①④.【答案】①④空间几何体的判断图1－1－3如图1－1－3所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？并指出底面．如果不是，请说明理由．【思路探究】根据棱柱的定义或棱柱的结构特征进行判断．【自主解答】是棱柱，并且是四棱柱．因为它可以看成由四边形ADD1A1沿AB方向平移至四边形BCC1B1形成的几何体，符合棱柱的定义．(2)截面BCFE右边的部分是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1与△CFC1是底面．截面BCFE左边的部分是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．1．解答本题的关键是正确掌握棱柱的几何特征，本题易出现认为所分两部分的几何体，一个是棱柱，一个是棱台的错误．2．在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置，如此题，底面也可放在前后位置．用一个平面去截本例中的长方体，能截出三棱锥吗？【解】可以截出三棱锥，如图所示，三棱锥D1－ACD 便符合题意．棱柱、棱锥、棱台的画法画一个三棱柱和一个四棱台．【思路探究】(2)画一个四棱锥→画四棱台【自主解答】①画三棱柱可分以下三步完成：第一步：画上底面——画一个三角形；第二步：画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；第三步：画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点(如图所示)．②画四棱台可分以下三步完成：第一步：画一个四棱锥；第二步：在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步：将多余的线段擦去(如图所示)．1．在画立体图形时，被遮挡的线画成虚线，可以增加立体感．2．由于棱台的侧棱延长线交于一点，因此画棱台时，要先画棱锥，再截得棱台．画一个六面体(1)使它是一个四棱柱；(2)使它是五棱锥．【解】如图(1)(2)所示．(见学生用书第3页)棱柱、棱锥、棱台的概念理解不清致误如图1－1－4甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？甲乙丙图1－1－4【错解】图甲有两个面ABC和A2B2C2平行，其余各面都是平行四边形，所以甲图的几何体是棱柱；图乙因一面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，所以图乙的几何体是棱锥；图丙是棱台．【错因分析】上述解答过程都运用了“以偏概全”的思想，都是根据相应概念的某一结论去判断几何体，判断的依据不充分．【防范措施】判断一个几何体是否为棱柱、棱锥、棱台，应按照几何体的定义，抓住几何体的本质特征，严防“以偏概全”．【正解】图甲这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内．所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．1．在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱台、三棱锥为例)．2．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的特点，其次要有一定的空间想象能力.(见学生用书第3页)1．四棱柱共有______个顶点，________个面，________条棱．【答案】8 6 122．三棱锥是________面体．【解析】因为三棱锥有四个面，故三棱锥是四面体．【答案】四3．如图1－1－5所示的几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．图1－1－5【解析】由棱柱、棱锥和棱台的定义知，①③④符合棱柱的定义，⑥符合棱锥的定义，②是一个三棱柱被截去了一段，⑤符合棱台的定义．故①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．【答案】①③④⑥⑤4．如图1－1－6，已知△ABC.(1)如果认为△ABC是水平放置的三角形，试以它为底画一个三棱柱；(2)如果认为△ABC是竖直放置的三角形，试以它为底再画一个三棱柱．图1－1－6【解】(1)如图①所示．(2)如图②所示．(见学生用书第79页)一、填空题1．正方体是________棱柱，是________面体．【解析】因为正方体的底面是正方形，故正方体是四棱柱，六面体．【答案】四六2．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为________．图1－1－7【解析】结合棱锥的定义可知①不符合其定义，故填①.【答案】①图1－1－83．如图1－1－8，棱柱ABCD－A1B1C1D1可以由矩形________平移得到．(填序号)①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1【解析】结合棱柱的定义可知，棱柱ABCD－A1B1C1D1可由矩形ABCD或A1B1BA或A1B1C1D1平移得到．【答案】①②③4．(2013·辽宁实验中学检测)下列判断正确的是________．(填序号)(1)棱柱中只能有两个面可以互相平行(2)底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱(3)底面是正六边形的棱台是正六棱台(4)底面是正方形的四棱锥是正四棱锥【解析】(1)不正确，如正方体有三对对面相互平行．(2)正确．(3)(4)不正确．其中正四棱锥除了底面是正方形外，还要求顶点在底面的射影是底面的中心，同样(3)也如此．【答案】(2)5．下面描述中，是棱柱的结构特征的有________．①有一对面互相平行②侧面都是四边形③每相邻两个侧面的公共边都互相平行④所有侧棱都交于一点【解析】由棱柱的定义知①②③是它的结构特征，④不是棱柱的结构特征，因为棱柱的侧棱均平行．【答案】①②③6．(2013·内蒙古检测)下列说法正确的有________．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．④棱台各侧棱的延长线交于一点．【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知，④正确．【答案】④7．给出下列几个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④将一个正方形沿不同方向平移得到的几何体都是正方体．其中真命题是________【解析】①②均为真命题；对于③，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故③也是真命题；对于④，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的几何体才是正方体，故④不正确．故填①②③.【答案】①②③8．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是________棱锥．(从“三”、“四”、“五”、“六”中选)．【解析】若满足条件的棱锥是六棱锥，则它的六个侧面都是正三角形，侧面的顶角都是60°，其和为360°，则顶点在底面内，与棱锥的定义相矛盾．【答案】六二、解答题9．判断如图1－1－9所示的几何体是不是棱台，并说明理由．图1－1－9【解】(1)侧棱延长后不交于一点，故不是棱台．(2)上、下底面不平行，故不是棱台．(3)由棱台的定义可知，是棱台．10．如图1－1－10，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图(1)(2)(3)三种形状．(阴影部分)请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面．图1－1－10【解】(1)是四棱柱，底面是四边形EFGH和四边形ABCD；(2)是四棱柱，底面是四边形ABFE和四边形DCGH；(3)是三棱柱，底面是△EBF和△HCG.图1－1－1111．如图1－1－11，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．【解】∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱．在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE＝2；在BB1上取点F，使BF＝2；连结C1E，EF，C1F，则过点C1、E、F 的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC－EFC1，其侧棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1－EA1B1F，如图．(教师用书独具)画出如图所示的几何体的表面展开图．【思路点拨】以一个面为依托，其他各面沿侧棱展开．【规范解答】表面展开图如图所示：多面体表面展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是________．【解析】将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体．【答案】③1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)会用语言概述圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．(2)直观了解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征．(3)能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型．2．过程与方法(1)让学生通过直观感知空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征．(2)让学生通过直观感知空间物体，认识简单的组合体的结构特征，归纳简单组合体的基本构成形式．3．情感态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力，培养学习教学应用意识．●重点难点重点与难点：圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征．重难点突破：以丰富的实物模型为切入点，通过让学生观察、分析实物体，抽象概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组体体的结构特征，突出圆锥与圆台间的内在联系，进而在观察思考中形成旋转体的概念，突破重点的同时化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是上节知识延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生进一步了解空间几何体中圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．由于本节知识具有概念多、感知性强等特点，教学时，建议采用引导法和多媒体辅助教学法，引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，通过整体观察，直观感知，引导学生多角度、多层次地揭示圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．在此基础上，再通过让学生说一说，举一举等方式，明确简单组合体的结构特征，最终达到通过空间图形培养和发展学生的空间想象能力的目的．●教学流程创设问题情境，引出问题：圆柱、圆锥、圆台及球是如何定义的？⇒通过引导学生回答所提问题理解圆柱、圆锥、圆台及球的形成过程，把握圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征，形体旋转体的概念．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握旋转体的结构特征，掌握旋转体的有关概念．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握简单组合体的结构特征．⇒结合旋转体的结构特征及平面几何知识，完成例3及其变式训练，初步培养学生解决与立体几何知识相关运算的步骤及方法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正．(见学生用书第4页)课标解读1.直观了解柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征．(重点) 2．了解复杂几何体的组成情况，学会分析并掌握它们是由哪些简单几何体组合而成．(重点、难点)圆柱、圆锥、圆台和球【问题导思】1．如图，将矩形ABCD绕其边AB所在的直线旋转一周得到一个什么几何体？【提示】圆柱．2．仔细观察以下三个几何体，分析它们分别是由什么平面图形旋转而成的？【提示】图(1)是直角三角形绕其一直角边旋转而成的；图(2)是直角梯形绕其垂直于底边的腰所在的直线旋转而成的；图(3)是半圆绕着它直径所在的直线旋转而成的．定义图形表示圆柱将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做圆柱记作：圆柱OO′圆锥将直角三角形绕着它的一直角边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做圆锥记作：圆锥SO圆台将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周形成的几何体叫做圆台记作：圆台OO′球将半圆面绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的几何体叫球记作：球O旋转面与旋转体1.旋转面的定义一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面．2．旋转体的定义封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．3．旋转面与旋转体的图示图1－1－12(见学生用书第4页)旋转体的概念下列叙述错误的有__________．①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．【思路探究】根据旋转体的特征判断各命题的对错．【解析】以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边为旋转轴旋转得到的几何体为两个同底的圆锥连在一起的几何体，如图(1)，故①错；以直角梯形垂直于底边的一腰为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰为旋转轴旋转得到的几何体为一个圆台一侧挖去一个同上底的圆锥，另一侧补上一个同下底的圆锥，如图(2)，故②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，而不是圆，故③错；用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故④错．【答案】①②③④1．准确掌握圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．要注意定义中的关键字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决．2．旋转体的形状关键是看平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转所得的旋转体不同．给出以下四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．上述命题中正确的是________．【解析】①不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱的旋转轴平行；②符合圆锥母线的定义，正确；③不正确，结合圆台母线的定义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一点，而从圆台上、下底面圆周上各取一点，其连线未必满足这一条；④正确，符合圆柱母线的性质．【答案】②④旋转体的形成与分解如图1－1－13所示，画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体，并说出这些几何体是由哪些旋转体组合而成的．图1－1－13【思路探究】过图(1)(2)中的顶点D、C分别向旋转轴引垂线，即可得到旋转后的图形．【自主解答】如图所示，(1)是由圆锥、圆柱组合而成的，(2)是由圆柱中间挖去一个圆锥组合而成的．对于不规则平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形作适当的分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆周)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．图1－1－14(2013·连云港检测)如图1－1－14，梯形ABCD中，AD ∥BC，且AD＜BC，∠B和∠C均为锐角，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．【解】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．有关旋转体的计算一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【思路探究】画出轴截面，依据相似三角形求解．【自主解答】(1)如图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，作AM⊥BC于M，延长BA，CD交于S.由已知得上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm，∴圆台的高AM＝122－5－22＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由△SAO1∽△SBO，得l－12l＝25，解得l＝20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.1．本题在求解过程中，通过轴截面实现了空间运算平面几何化的思想，其优点是轴截面较直观得反映了圆台的母线长、高及上、下底面半径间的关系．2．解有关圆柱、圆锥、圆台的计算问题时常常利用它们的轴截面．(2013·南通检测)把一个圆锥截成圆台，已知圆台上下底面的半径之比为1∶4，母线长为9；则圆锥的母线长是________．【解析】设该圆锥的轴截面如图所示，由平面几何知识可知，O′B′OB ＝CB′CB∴14＝CB′CB′＋9∴CB′＝3，∴BC＝3＋9＝12.即圆锥的母线长为12.【答案】12(见学生用书第6页)分割法判断旋转体的构成图1－1－15(14分)已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图1－1－15所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．【思路点拨】以直角梯形的不同边所在直线为轴旋。

2．2.1 综合法和分析法第1课时综合法及其应用(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能结合学过的数学实，了解直接证明的基本方法：综合法．了解综合法的思维过程、特点．2．过程与方法会用综合法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．情感、态度与价值观通过学生参与，激发学生学习数学的兴趣，端正学生严谨治学的态度，提高其思维论证能力．●重点难点重点：掌握综合法的思维过程、特点及其解题步骤，会用综合法证明数学问题．难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，应用综合法证明较复杂的数学问题．综合法是从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后得出所要证明问题．所以分析解读已知条件、挖掘隐含条件是解决问题的关键因素，在教学过程中指导学生正确审题，合理应用已知条件可达到事半功倍的效果．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采取探究式教学方法，教师主要作用在“引导”“点拨”，让学生自主思考综合法的证明特点，总结解题步骤，对于不同类型的问题如何思考、如何推理，教师应给出必要的指导．另外应注意引导学生学会分析和利用已知条件，阐明如何挖掘题目的隐含条件，如何联想与所证问题有关的定理、公理、公式等．证明过程中要注意每一步证明的充分性，注重由因导果推理方式的思路引领．在解答每一个例证前，最好先引导学生分析出思维路线图．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识直接证明的方法之一——综合法． 让学生自主完成填一填，使学生进一步了解综合法的证明格式、步骤、作用等． 引导学生分析例题1的已知条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善．完成变式训练． 学生分组探究例题2解法，总结用综合法证明立体几何问题的规律方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正． 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法． 学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导． 让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法，老师组织解法展示．引导学生总结解题规律．【问题导思】阅读下列证明过程，回答问题．已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：2x＋2y≥2 2.证明：因为x＋y＝1，所以2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y＝22，故2x ＋2y≥22成立． 1．本题的条件和结论是什么？【提示】 条件：x ＋y ＝1，结论2x＋2y≥2 2. 2．本题的证明顺序是什么？【提示】 从已知条件利用基本不等式到待证结论． 1．综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：a ＋b≥4.【思路探究】 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法，即可得出结论．【自主解答】 法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ＞0(当且仅当a ＝b 时，取等号)． 又0＜ab ≤12，0＜ab ≤14，∴1ab ≥4，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.法二 ∵a ，b 是正数， ∴a ＋b ≥2ab ＞0， 1a ＋1b≥21ab＞0(当且仅当a ＝b 时，上两式取等号)．∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2b a ·ab＝4(当且仅当a ＝b 时，取等号)．1．解答本题时，关键是灵活运用条件a ＋b ＝1. 2．综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件，组织过程．把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．(2013·新乡高二检测)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －bb＋a ＋b －cc＞3. 【证明】 左边＝(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(a c ＋c a)－3， 因为a ，b ，c 为不全相等的正实数， 所以b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2， 且上述三式的等号不能同时成立，所以(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(a c ＋c a)－3＞6－3＝3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＞3.111111111A 1B 1，AB 的中点．图2－2－1求证：(1)C1M⊥平面AA1B1B.(2)A1B⊥AM.(3)平面AC1M∥平面B1NC.【思路探究】(1)由B1C1＝A1C1，M为A1B1的中点可知C1M⊥A1B1，再根据C1M⊥A1A即可得证．(2)要证A1B⊥AM，可转化为证明A1B⊥平面AC1M.(3)要证面面平行，应转化证明线面平行．【自主解答】(1)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1＝A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1.又∵C1M⊥A1A，A1A∩A1B1＝A1，A1A，A1B1⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥平面AA1B1B.(2)∵A1B⊂平面AA1B1B，由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，∴A1B⊥C1M.又A1B⊥AC1，AC1，C1M⊂平面AC1M，AC1∩C1M＝C1，∴A1B⊥平面AC1M.又∵AM⊂平面AC1M，∴A1B⊥AM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AM∥B1N，AM⊄平面B1NC，B1N⊂平面B1NC，∴AM∥平面B1NC.又C1M∥CN，CN⊂平面B1NC，C1M⊄平面B1NC，∴C1M∥平面B1NC.又∵C1M∩AM＝M，C1M，AM⊂平面AC1M，∴平面AC1M∥平面B1NC.平行与垂直关系的转化：本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面平行或垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互转化，如：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊥c ⇒a ⊥c ，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊥α⇒a ⊥α，⎭⎪⎬⎪⎫α∥ββ⊥γ⇒α⊥γ等．其中线面平行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A 1B ⊥平面AC 1M 来证明A 1B ⊥AM ；本例(3)中，通过证明AM ∥平面B 1NC ，C 1M ∥平面B 1NC ，来证明平面AC 1M ∥平面B 1NC .将本例条件“B 1C 1＝A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点”改为“AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点”，求证：(1)B 1C ∥平面A 1BD .(2)B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.【证明】 (1)如图，连接AB 1. 令AB 1∩A 1B ＝O ， 则O 为AB 1的中点． 连接OD ，∵D 为AC 的中点， ∴在△ACB 1中，有OD ∥B 1C . 又∵OD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)∵AB ＝B 1B ，三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴四边形ABB 1A 1为正方形． ∴A 1B ⊥AB 1，又∵AC 1⊥平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ， ∴AC 1⊥A 1B .又∵AC 1⊂平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，AC 1∩AB 1＝A ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1. 又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1， ∴A 1B ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊥平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴A 1A ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B ⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B ＝A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.n n n n 且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列．【思路探究】 通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键．【自主解答】 (1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3得 (3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3.两式相减得(3＋m )a n ＋1＝2ma n (m ≠－3)， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3，且a 1＝1， ∴{a n }是等比数列． (2)b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3， ∴n ≥2，n ∈N *时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1⇒1b n －1b n －1＝13.∴数列{1b n }为首项为1，公差为13的等差数列．1．综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件． 2．综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”．综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等．设数列{a n }的每一项都不为0，证明：数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 【证明】 必要性： 设等差数列{a n }的公差为d . 若d ＝0，则所述等式显然成立； 若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d (a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1)＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a n －1a n ＋1)]＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝1d ·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1.充分性： 依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得 1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－na 1a n ＋1， 两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得：a 1＝na n －(n －1)a n ＋1.④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )，即2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以数列{a n }为等差数列． 命题得证.综合法的简单应用(12分)在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列． 求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .【思路点拨】 利用二倍角公式及余弦定理，将三角形角的问题转化为边的问题进行证明．【规范解答】 ∵左边＝a 1＋cos C 2＋c 1－cos A2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A )4分 ＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc )8分 ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2＝b ＋b 2＝32b ＝右边， ∴a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .12分通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，也可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则．1．综合法证题是从条件出发，由因导果，从已知看可知，逐步推出未知．2．综合法适用的范围：(1)定义明确的题型，如证明函数单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等．(2)已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．1．设P ＝1log 211＋1log 311＋1log 411＋1log 511，则( )A ．0<P <1B ．1<P <2C ．2<P <3D ．3<P <4【解析】 P ＝log 112＋log 113＋log 114＋log 115 ＝log 11120,1＝log 1111<log 11120<log 11121＝2， 即1<P <2. 【答案】 B2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝bsin B ，∴sin A >sin B ，若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .【答案】 C3．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 【解析】 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ， 又∵c b＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b . 【答案】 a >c >b4．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝x ，x ∈R ，数列{a n }，{b n }满足条件：a 1＝1，a n ＝f (b n )＝g (b n ＋1)，n ∈N *.求证：数列{b n ＋1}为等比数列． 【证明】 由题意得2b n ＋1＝b n ＋1， ∴b n ＋1＋1＝2b n ＋2＝2(b n ＋1)， ∴b n ＋1＋1b n ＋1＝2， 又∵a 1＝2b 1＋1＝1， ∴b 1＝0，b 1＋1＝1≠0. 故数列{b n ＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列.一、选择题1．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<ab <1【解析】 ∵a ≠b ，∴a 2＋b 2>2ab ，即a 2＋b 22>ab ，可排除A 、D. 又a 2＋b 22＝a 2＋b 24＋a 2＋b 24>a 2＋b 24＋2ab 4＝a ＋b 24＝1.故B 正确． 【答案】 B2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面【解析】 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．【答案】 B3．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y【解析】 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y2<y ，故选D. 【答案】 D4．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b【解析】 f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a＝－f (a )＝－b . 【答案】 B5．已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．有无数条，不一定在平面α内 C ．只有一条，且在平面α内 D ．有无数条，一定在平面α内【解析】 由直线l 与点P 可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内．【答案】 C 二、填空题6.3－2________2－1.(填“＞”或“＜”) 【解析】 ∵13－2＝3＋23－2 3＋2 ＝3＋2， 12－1＝2＋1 2－1 2＋1＝2＋1，显然3＋2＞2＋1，∴3－2＜2－1. 【答案】 ＜ 7．已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝________. 【解析】 ∵sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴cos x ＝－45， ∴tan x ＝－12，∴tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x ＝－3.【答案】 －38．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________．(用序号及“⇒”表示)【解析】 ∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2. ∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25. ∴|α＋β|>5. 【答案】 ①③⇒② 三、解答题9．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．【证明】 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .① 因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．10．设a >0，f (x )＝e xa ＋ae x 在R 上满足f (x )＝f (－x )，(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数．【解】 (1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即exa ＋a e x ＝1a ex ＋a e x， 所以(a －1a )(e x －1e x )＝0对一切x ∈R 成立．由此可得a －1a＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1. (2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)(1e x 1＋x 2－1)＝(e x 2－e x 1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2.由x 1>0，x 2>0，得x 1＋x 2>0， e x 2－e x 1>0,1－e x 1＋x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．11．如图2－2－2，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.图2－2－2(1)求证：B1B∥平面D1AC；(2)求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1.【证明】(1)设AC∩BD＝E，连接D1E，∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.∴B1D1∥BE，∵B1D1＝BE＝2，∴四边形B1D1EB是平行四边形，所以B1B∥D1E.又因为B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，所以B1B∥平面D1AC(2)侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1.∵下底ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.(教师用书独具)图1是由菱形BCDE和△ABC组成的五边形，其中P为AB的中点，现沿BC将菱形BCDE 折起，使得AD＝AB，得到如图2所示的几何体．图1 图2证明：(1)AD∥平面PCE；(2)平面ABD⊥平面ACE.【思路探究】(1)由于P为AB的中点，故可考虑借助三角形的中位线定理证明；(2)要证平面ABD⊥平面ACE，可证明BD⊥平面ACE.【自主解答】(1)如图，设菱形BCDE的两条对角线交于点Q，连接AQ，PQ.在△ABD中，Q为BD的中点，P为AB的中点，则AD∥PQ.又∵PQ⊂平面PCE，AD⊄平面PCE，∴AD∥平面PCE.(2)∵四边形BCDE为菱形，∴BD⊥CE，且BQ＝DQ.又在△ABD中，AB＝AD，BQ＝DQ，∴AQ⊥BD.又AQ ∩CE ＝Q ， ∴BD ⊥平面ACE .又BD ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面ACE .要正确解答本题，关键是要明确折叠前后的图形之间的关系．设a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 【证明】 ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 、b ∈R ＋， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2， ∴a 2＋b 2≥ a ＋b22，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )， c 2＋a 2≥22(c ＋a )， ∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(2a ＋2b ＋2c ) ＝2(a ＋b ＋c )．(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号) 故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．。

模块学习评价(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D.45【解析】 ∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝＋25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.【答案】 D2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t, 则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为( )A ．0.41B ．2C ．0.3D ．0.2 【解析】Δs Δt ＝3＋2×2.1－3－2×22.1－2＝0.20.1＝2. 【答案】 B3．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2B ．2e 2C ．e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1,0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e22.【答案】 D4．若复数z 满足3－3i ＝z (－23i)，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝3－3i －23i ＝3i ＋323＝12＋32i ，其对应点在第一象限．【答案】 A5．(2013·浙江高考)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则该函数的图象是( )图1【解析】 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．【答案】 B6．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2D ．a ≤13【解析】 由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A7.⎠⎛0π|cos x |d x 等于( )A ．－2B ．0C ．2D ．1【解析】 ∵|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0≤x ≤π2，－cos x ，π2≤x ≤π，＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＋(－sin x )⎪⎪⎪⎪ππ2＝1＋1＝2. 【答案】 C8．(2013·宁波高二检测)函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于( )A ．ln 2－1B ．ln 2＋1C ．ln 2D ．2ln 2【解析】 因为函数y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，又函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，所以1x ＝12，即x ＝2，所以切点P (2，ln 2)，所以ln 2＝1＋a ，即a ＝ln 2－1.【答案】 A9．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a【解析】 因为(x －1)f ′(x )>0，所以当x >1，f ′(x )>0，即函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上是增函数，又f (x )＝f (2－x )，所以a ＝f (0)＝f (2)，b ＝f (12)＝f (32)，所以c >a >b .【答案】 B10．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A ．1B ．2k＋1 C ．2k－1D ．2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋……＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k项．【答案】 D11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】 四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R 的三棱锥，从而有13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝V .即(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ＝3V .∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】 C12．(2013·辽宁高考)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【解析】 由题意知f ′(x )＝e xx3－2fx x＝e x －2x 2f xx3.令g (x )＝e x －2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x－2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x－2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x－2e xx＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g xx 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．(2013·西安高二检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】 第i 个等式左边为1到i ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(i ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21214．(2013·江苏高考)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．【解析】 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋－2＝5.【答案】 515．如果复数1，a ＋i,3＋a 2i (a ∈R )成等比数列，那么a 的值为________． 【解析】 由题意知，(a ＋i )2＝1×(3＋a 2i)，即a 2－1＋2a i ＝3＋a 2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，2a ＝a 2，解得a ＝2.【答案】 216．(2013·佛山高二检测)若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝2ax ＋1x，∵f (x )存在垂直于y 轴的切线．∴f ′(x )＝0有解，即2ax ＋1x＝0有解，∴a ＝－12x 2，∴a ∈(－∞，0)【答案】 (－∞，0)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z 满足：|z |＝1＋3i －z ，求＋2＋22z的值．【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，而|z |＝1＋3i －z ， 即a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，z ＝－4＋3i ，＋2＋22z＝－7＋－4＋＝24＋7i4－3i＝3＋4i. 18．(本小题满分12分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·nn －2n ＋2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明． 【解】 推测S n ＝n ＋2－1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下： (1)当n ＝1时，S 1＝＋2－1＋＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立， 即S k ＝k ＋2－1k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋k ＋＝2k ＋2k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2k ＋2－k ＋2k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＝k ＋＋1]2－1k ＋＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．19．(本小题满分12分)函数f (x )＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5在(－∞，－1)和(32，＋∞)单调递增，在(－1，32)单调递减．(1)求函数的解析式；(2)求f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f ′(x )＝12x 2＋2ax ＋b ，且由题意可知 －1，32是f ′(x )＝0的两个实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋32＝－2a 12，－32＝b12.解得a ＝－3，b ＝－18， ∴f (x )＝4x 3－3x 2－18x ＋5.(2)由(1)得f ′(x )＝6(2x －3)(x ＋1)，当x ∈[32，2]时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈[－1，32]时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，又f (－1)＝16，f (32)＝－614，f (2)＝－11.故f (x )max ＝16，f (x )min ＝－614. 20．(本小题满分12分)(1)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2.(2)在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【解】 (1)如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2， 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD ＝AB 2＋AC 2AB ·AC ＝1AB ＋1AC . ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2.(2)猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想在四面体A －BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE＝1AB ＋1AF .易知在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2， ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．21．(本小题满分12分)(2013·南京高二检测)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x，求函数g (x )的极值．【解】 (1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ， 因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×(－32)＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. (2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x， 从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x.令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数；当x ∈(0,3)时，g ′(x )>0，故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数．从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3. 22．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． 【解】 由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以函数f(x f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1<b，所以存在x1∈(－2b,0)，x2∈(0,2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中化学 2.1.1 原子核外电子运动课后知能检测苏教版选修31．下列叙述中，不属于核外电子特点的是( )A．质量很小B．运动范围很小C．运动速率很快 D．有确定的运动轨道【解析】核外电子的质量很小，仅为质子质量的1/1836，在直径为10－10 m的空间内做高速运动，所以不能准确地测定电子在某一时刻所处的位置及运动速率，也不能描绘出它的运动轨道，即没有确定的运动轨道。

【答案】 D2．(2013·邯郸高二质检)下列电子层中，有f原子轨道的是( )A．K B．L C．M D．N【解析】电子层中的原子轨道个数等于该电子层的序数，要出现f原子轨道，电子层数最少为4层。

【答案】 D3．下列有关电子云和原子轨道的说法正确的是( )A．电子云图中，小点密集表示该处的电子多B．原子轨道表示原子核外电子运动的轨迹C．3p轨道和2p轨道都呈纺锤形，3p轨道比2p轨道数目多D．多电子原子中电子离核的平均距离4s＞3s＞2s【解析】不管2p或3p或任何其他电子层的p轨道，总是3个互相垂直的轨道，所以C 项错误；电子层序数大，则它的各种轨道伸展程度都变大，即电子运动离核平均距离就远，D项正确。

【答案】 D4．观察2pz轨道电子云示意图(如图所示)判断，下列说法中错误的是( )A．2pz轨道上的电子在空间出现的概率分布呈z轴对称B．点密集的地方表明电子出现的机会多C．电子先沿z轴正半轴运动，然后沿其负半轴运动D．2pz轨道的形状为两个椭圆面【解析】观察2pz轨道电子云示意图发现，处于2pz轨道上的电子在空间出现的概率分布相对于z轴对称，电子主要在xy平面的上、下方出现，A项正确。

电子云中的小点疏密程度代表电子出现的概率大小，所以点密集的地方表明电子出现的机会多，B正确。

在图中，电子出现的概率分布关于z轴对称，电子云并不是电子的真实运动轨迹，C错误。

2pz轨道电子云形状为两个椭圆球，而不是面，D错误。

〖4.2结构图〗之小船创作(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过已学过的教学实例与生活实例，了解结构图的含义；会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．2．过程与方法通过模仿、操作、探索，经历运用知识结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息的过程，掌握结构图的画法，能画出常见的简单结构图．3．情感、态度与价值观结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用，培养学生的合作意识和团队精神．●重点难点重点：(1)引导学生树立把知识归类的意识，从而使其认知结构不断的得以优化．(2)用结构图梳理已经学过的知识、整理收集到的资料信息．难点：结构图的应用．运用结构图梳理已经学过的知识、整理收集到的资料信息．(教师用书独具)●教学建议建议本节教学采取自学指导法教学，让学生在自学教材的基础上，通过小组研讨认识总结结构图的特征、作用，学会用结构图梳理已经学过的知识、整理收集到的资料信息的方法．教师应引导学生体会结构图中含从属关系时的外在特征，总结结构图的种类、形状及应用方法．让学生注意区分结构图与流程图的区别与联系．抓住本节课的教学时机，让学生把前面学过的重要知识，利用结构图进行知识梳理，形成所学知识的整体观念，在脑海中建立起科学合理的知识网络结构图．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生了解结构图的作用、画法、类型及如何应用结构图解梳理知识、整理信息．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉结构图的有关概念．引导学生分析例题1中各构成要素间的从属关系，探讨选择何种图形方式画出结构图．学生自主探究，教师指导完善．让学生回顾复习《必修3》第一章的内容，自己选择图形方式画出知识结构图，同学之间进行交流，然后修改完善．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和画图方法．学生自主完成例题2变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．通过易错辨析总结画图时易出现的错误及防范措施．由学生分组探究例题2中组织结构图的画法，引导学生去总结画组织结构图的步骤，及其应用方法．课标解读1.读画结构图．(重、难点)2．结构图中各元素间的关系．(难点)3．结构图与流程图的区别．(易混点) 结构图的概念【问题导思】在高中数学教材中，每一章最后“小结”部分都有一个“本章知识结构图”．这种图是流程图吗？【提示】不是．结构图是一种描述系统结构的图示，一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成，各要素之间是从属关系或逻辑先后关系．结构图分类除了常见的知识结构图，还有哪些常见结构图？【提示】还有学校各部门的组织结构图等．(1)按功能分类结构图知识结构图描述知识各部分间的关系组织结构图表示一个组织或部门的构成(2)按结构图形状分类，可分为“环”形结构图和“树”形结构图.知识结构图在生物体中，细胞由细胞膜、细胞核、细胞质构成，而细胞核由核膜、染色质、核仁、核孔四部分构成．试画出细胞的结构图．【思路探究】确定构成要素间的从属关系→选择“树”形图或“环”形图表达该关系【自主解答】细胞细胞膜细胞质细胞核核仁核孔染色质核膜1．绘制结构图的一般步骤与绘制流程图类似，具体如下：2．在结构图中会出现“树”形结构，也会出现一些“环”形结构．一般来说，包含从属关系的结构图呈“树”形结构，包含逻辑先后关系的结构图则可能呈“环”形结构．试画出《数学必修3》“算法初步”一章的知识结构图．【解】知识结构图如图所示．算法程序框图算法语句算法案例辗转相除法与更相减损术进位制秦九韶算法组织结构图某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，两名副校长又各自管理教务处、教科室和保卫科、政教处、总务处，各科室共同管理和服务各班级．试画出该校的行政组织结构图．【思路探究】理清各部门的关系，按从上到下、从左到右的顺序画出组织结构图即可．【自主解答】该校的行政组织结构图如图所示．校长副校长教务处教科室副校长政教处保卫科总务处校长办公室各班级绘制组织结构图要将上一组部门的每一个部门一一列举出来，再把它们对应的下属部门一一列出，这样的组织结构图是“树”形结构．如图4－2－1为某集团组织结构图，请根据该图分析财务部和人力资源部的隶属关系．图4－2－1【解】由组织结构图可分析得：财务部直属总裁管理，而总裁又由董事长管理，董事长服从董事会管理；人力资源部由董事长助理直接管理，董事长助理由董事长管理，董事长又服从董事会管理，董事会是最高的管理部门.识图不清致误某期货商会组织结构图如图4－2－2所示．图4－2－2其中理事会的上一级是________．【错解】会长办公会【错因分析】本题中会员代表大会是期货商会最高权力机构，其余机构应从属于该机构，而理事会是被会员代表大会与会长办公会共同领导，这一点易被混淆．【防范措施】解读结构图，分析各要素间的逻辑或从属关系时，可按画结构图的顺序去浏览分析：下位要素与上位要素间，同一要素的下位要素间等往往是从属或并列关系，有箭头的连线往往揭示逻辑关系．【正解】会长办公会和会员代表大会1．结构图可以表达系统各要素之间的关系．2．知识结构图可以直观显示各知识点间的逻辑先后关系或从属关系；组织结构图表示各部门的从属或平行关系．绘制结构图的关键是“分清各要素之间的关系，逐步细化，画出图形．”1．用来刻画系统结构的框图是( )A．流程图B．结构图C．网络图D．程序框图【解析】结合结构图的定义可知，B正确．【答案】B2．根据下边的结构图，总经理的直接下属是( )总经理总工程师咨询部监理部信息部专家办公室财务部后勤部编辑部开发部图4－2－3A．总工程师和专家办公室B．开发部C．总工程师、专家办公室和开发部D．总工程师、专家办公室和所有七个部【解析】结合组织结构图间的从属关系可知，总经理的直接下属是总工程师、专家办公室及开发部．【答案】C3．用结构图描述四种命题的关系，如图4－2－4所示，图4－2－4其中表示互逆关系的是__________，表示互否关系的是________．【解析】根据四种命题的关系可知，互逆关系的是①③，互否关系的是②④.【答案】①③②④4．画出我们已学过的数系结构图．【解】结构图如下图所示．复数实数有理数整数自然数负整数分数无理数正无理数负无理数虚数纯虚数非纯虚数一、选择题1．在结构图中，常在表示逻辑先后关系时出现的结构是( )A．“树”形结构B．“环”形结构C．“网”形结构D．“菱”形结构【解析】结合结构图的分类可知，“环”形结构可表示逻辑先后关系．【答案】B2．下列框图中不是结构图的是( )A．整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂B．随机事件→频率→概率C．买票→候车→检票→上车D．对数函数定义图象与性质【解析】C不是结构图，因其是动态的有时间先后之分．【答案】C3．如图4－2－5是《选修1－2》第二章“推理与证明”的知识结构图，不是证明方法的是( )推理与证明推理合情推理归纳推理类比推理演绎推理证明直接证明综合法分析法间接证明反证法图4－2－5A．类比B．综合法C．反证法D．分析法【解析】据推理的相关知识及结构图知，类比不是证明方法．故选A.【答案】A4．如图4－2－6所示是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应放在( )集合集合的表示集合的概念集合的运算基本关系基本运算图4－2－6A．“集合的概念”的“下位”B．“集合的表示”的“下位”C．“基本关系”的“下位”D．“基本运算”的“下位”【解析】因为子集是集合的基本关系之一，故应把子集放在基本关系的“下位”．【答案】C5．(2013·烟台高二检测)把平面内两条直线的位置关系填入结构图4－2－7中的M，N，E，F处，顺序较为恰当的是( )两直线位置关系MNEF图4－2－7①平行②垂直③相交④斜交A．①②③④B．①④②③C．①③②④D．②①③④【解析】平面内两直线位置关系有平行、相交，其中相交包含垂直与斜交，故选C.【答案】C二、填空题6．在平面几何中，特殊四边形的分类关系可用以下框图描述：图4－2－8则在①中应填入________；在②中应填入________．【解析】结合①的条件可知：有一组邻边相等的平行四边形为菱形，故①处应填菱形．结合②的条件可知：两腰相等的梯形叫等腰梯形，故②处应填等腰梯形．【答案】菱形等腰梯形7．如图4－2－9所示：图4－2－9则“函数的应用”包括的主要内容有：________.【解析】由结构图的从属关系可知函数的应用包括函数与方程和函数模型及其应用．【答案】函数与方程、函数模型及其应用8．某公司的组织结构是：总经理之下设计行经理、人事经理和财务经理，执行经理领导生产经理、物料经理、品质管理经理和工程经理，生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．如图4－2－10所示是这家公司的组织结构图，则a，b，c，d处应该填入的分别是________．总经理执行经理b工程师技术员a线长cd计划员仓库管理员人事经理财务经理图4－2－10【答案】生产经理，工程经理，品质管理经理，物料经理三、解答题9．为了进一步加强温州商人的凝聚力和核心价值观，温州商人组建了温州期货商会组织．温州期货商会组织结构如下：①会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大会与会长办公会共同管辖理事会；②会长办公会下设会长，会长管理秘书长；③秘书长分管秘书处、自律委员会、推广委员会．根据以上信息绘制出其组织结构图．【解】会员代表大会监事会会长办公会会长秘书长秘书处自律委员会推广委员会理事会10．某大学的学校组织结构图如图4－2－11所示，由图回答下列问题：图4－2－11(1)学生工作处的“下位”要素是什么？(2)学生工作处与其“下位”要素是什么关系？【解】(1)由图可知学生工作处的“下位”要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．(2)学生工作处与其“下位”要素的关系是从属关系．11．如图4－2－12是某生态农场物质循环利用的结构图，请用语言描述此框图所包含的内容．图4－2－12【解】该农场的猪场、鸡场、鸭场的猪粪、鸡粪、鸭粪以及果园中的植物残体均作为沼气池原料投入沼气池，其产生的能源可作生活能源、鸭场育雏能源和鸡场增温能源；产生的沼液进入鱼塘；沼渣作果园底肥，还用于蚯蚓养殖；沼渣沼液亦可用来种植蘑菇、饲养生猪．另外，猪场的粪便、鸡场的鸡粪、蘑菇房的菌床废物可用来养殖蚯蚓，果园可提供蚯蚓养殖的空间．同时，蚯蚓养殖给果园增加了土壤肥力，给鸡场提供了饲料．鸭场的粪便被鱼塘再度利用，同时鱼塘又给鸭饲养提供空间，鱼塘又可灌溉果园．鸡场鸡粪既可作蘑菇房原料，又可被猪场再利用.(教师用书独具)阅读下面文字，然后按所获信息画出树形结构图．1890年，英国物理学家J.J.汤姆生对阴极射线进行了一系列实验研究．直到1897年，他根据阴极射线在电场和磁场中偏转断定它的本质是带负电的粒子流，这种粒子流的组成成分就是后来我们所知道的电子．随着对电子的认识，他提出了一种正负电荷在原子内的存在模型——枣糕模型．但在1909年，英籍物理学家卢瑟福用α粒子散射实验，推翻了汤姆生最初的“枣糕模型”，从而确定了卢瑟福的核式结构模型．随着科技的发展，人们又知道质子与中子组成了原子核，原子核间的作用力可以放出巨大的能量，这就是我们所熟悉的核能．随着我们所学知识的增长，微观世界的更多奥秘正等待我们去探索，去发现．【思路探究】这是一道信息题，我们在阅读时应注意文中的相关知识点与相关人物．按事件的发展过程来确定结构图的层次关系，把握好了这条线，题目就简单了．【自主解答】结构图如图所示：汤姆生发现电子汤姆生枣糕模型原子模型卢瑟福核式结构模型α粒子散射实验电子原子核质子核力核能中子当人们需要对收集到的资料进行整理时，也可以画出结构图表示整理的结果．与已学过的知识不同，收集到的资料可能是我们不熟悉的内容，或者资料本身不具有明确的体系结构(例如其中包含哪些相互关联的要素，彼此之间是什么关系，等等)．因此，往往需要先对资料进行分析归纳等，才能画出合理的结构图．这种结构图是人们有条理地思考和交流思想的工具．根据图中所示动物的分类结构图，理解图中各元素的从属关系，并设计一个结构图表示这些关系．属科目纲门界对应下面六类错误!脊索动物门……动物界【解】如图所示：框图流程图工序流程图其他流程图程序框图结构图组织结构图其他结构图知识结构图。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 4.2.（2+3）圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用课时训练新人教版必修2一、选择题1．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( ) A．内切B．相交C．外切D．相离【解析】两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．【答案】 B2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为( )A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0【解析】圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1,2)．线段AB 的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．【答案】 A3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9【解析】设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则x－52＋y＋72＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x－52＋y＋72＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.【答案】 D4．(2013·济南高一检测)过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A ．y ＝3xB ．y ＝－3xC ．y ＝33x D ．y ＝－33x【解析】 因为圆心为(－2,0)，半径为1，由图可知直线的斜率为r4－r2＝33，所以直线方程为y ＝33x . 【答案】 C5．(2013·黄冈高二检测)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．[1－2，3]C ．[－1,1＋22]D ．[1－22，3]【解析】 数形结合，利用图形进行分析．由y ＝3－4x －x 2得(x －2)2＋(y －3)2＝4(0≤x ≤4,1≤y ≤3)，它表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示，|2－3＋b |12＋12＝2，得b ＝1－22，故选D.【答案】 D 二、填空题6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0相外切，则a ＝________.【解析】 圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0的圆心为(a,0)，半径为1，由题意可知|a |＝3，∴a ＝±3.【答案】 ±37．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.【答案】 (－1,0)和(0，－1)8．点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．【解析】 若两圆相交或相切，则最小值为0；若两圆外离，则最小值为|C 1C 2|－r 1－r 2. (x －4)2＋(y －2)2＝9的圆心为C 1(4,2)，半径r 1＝3. (x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C 2(－2，－1)，半径r 2＝2. 又|C 1C 2|＝35，显然两圆相离， 所以|PQ |的最小值为35－5. 【答案】 35－5 三、解答题9．已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)试用几何法证明两圆相交； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．【解】 (1)证明：将两圆方程配方，化为标准方程：C 1(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10.则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径长r 1＝52； 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径长r 2＝10. 又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10，∴r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2.故两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0. (3)两圆方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，①②两式相减得x ＝2y －4，③ 把③代入②得y 2－2y ＝0， 解得y ＝0或y ＝2.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.故两圆交点坐标为(－4,0)和(0,2)． 因此，两圆的公共弦长为－4－02＋0－22＝2 5.10．已知P (－1,2)为圆x 2＋y 2＝8内一定点． (1)求过点P 且被圆所截得的弦最短的直线方程；(2)求过点P 且被圆所截得的弦最长的直线方程． 【解】 已知圆心C (0,0)，半径r ＝2 2.(1)当弦与PC 垂直时，过点P 且被圆所截得的弦最短． 因为k PC ＝2－1＝－2，所以k ＝12，因此所求的直线方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.(2)当弦过圆心C 时，过点P 且被圆所截得的弦最长． 因为k PC ＝－2，所以所求的直线方程为y －2＝－2(x ＋1)， 即2x ＋y ＝0.11．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？【解】 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x 7＋y 4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心(0,0)到航线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|28|42＋72＝2865，而半径长r ＝3，∵d >r ，∴直线与圆相离．故这艘轮船不改变航线，不会受到台风的影响.。

2．3.1 抛物线及其标准方程(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线．2．过程与方法掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．●重点、难点重点：(1)抛物线的定义及焦点、准线；(2)抛物线的四种标准方程和p的几何意义．难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．以多媒体课件为依托，课件可增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生积极思维，能够在动态演示过程中突出教学重点，化解教学难点．(教师用书独具)●教学建议本节课主要采用启发引导法．在整个教学过程中，引导学生观察、分析、归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，培养学生学习的兴趣，也充分体现了以教师为主导，学生为主体的教学理念．同时，采用多媒体辅助教学，借助多媒体快捷、形象、生动的辅助作用，突出知识的形成过程，符合学生的认识规律，也可以增加趣味．本节课从引入课题开始，尽可能让学生参与知识的产生及形成过程，充分发挥学生的主体作用，使学生全方位地参与问题结论的得出，教师只起到点拨作用．这样做增加了学生的参与机会，提高了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体．●教学流程创设问题情境，引出问题；抛物线上的点应满足什么条件？⇒引导学生结合二次函数图象，比较、分析导出抛物线的定义以及焦点和准线的概念.⇒类比椭圆、双曲线标准方程的导出过程，推导抛物线的四种标准方程.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握抛物线的概念的理解与应用.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握求抛物线标准方程的方法.⇒在学会求抛物线标准方程的前提下，完成例3及其变式训练，从而解决抛物线的实际应用问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第36页)我们知道，二次函数的图象是抛物线，那么抛物线上的点应满足什么条件呢？【提示】抛物线上的点满足到定点的距离等于它到定直线的距离．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．【问题导思】抛物线的定义中，l 能经过点F 吗？为什么？【提示】 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线.1．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？【提示】 根据抛物线的几何特征，可以取经过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，以F 到l 的垂线段的中垂线为y 轴建系．2．抛物线的标准方程只有一种形式吗？ 【提示】 有四种形式． 四种不同标准形式的抛物线方程(对应学生用书第36页)0，则焦点到准线的距离是( )A ．4B ．8C ．13D ．16(2)若点P 到定点F (4,0)的距离比它到定直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝－16x B ．y 2＝－32x C ．y 2＝16x D ．y 2＝16x 或y ＝0(x＜0)【思路探究】 (1)由抛物线的定义，点A 到焦点的距离与什么相等？(2)点P 到F 的距离比它到定直线x ＋5＝0的距离小1，那么点P 到F 的距离与它到哪条直线的距离相等？【自主解答】 (1)由题意6＋p2＝10，∴p ＝8.(2)因为点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，所以点P 到F (4,0)的距离与到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x .【答案】 (1)B (2)C1．根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷．2．抛物线标准方程中的p 的几何意义是：焦点到准线的距离．3．对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题．(1)抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则A 点到抛物线焦点的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5(2)若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x【解析】 (1)由抛物线的定义，点A 到焦点的距离等于它到准线的距离，而A 到准线的距离为4＋p2＝4＋1＝5.(2)由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x ＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x .【答案】 (1)D (2)A(1)过点M(－6,6)．(2)焦点在直线l：3x－2y－6＝0上．【思路探究】(1)过点M(－6,6)的抛物线的开口方向有几种情况？(2)直线l：3x－2y －6＝0上有无数个点，哪些点是抛物线的焦点？【自主解答】(1)由于点M(－6,6)在第二象限，∴过M的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p＞0)，将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x；若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴p2＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程是y2＝8x.②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F(0，－3)，∴p2＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.1．只有当抛物线的顶点在原点，焦点在x轴或y轴上时，其方程才是标准形式，抛物线的标准方程有四种情况．2．尽管抛物线的标准方程有四种，但方程中都只有一个待定系数，求标准方程时仍遵循先定位后定量的原则，同时要运用好参数p 的几何意义．3．有时可以设标准方程的统一形式，以避免讨论，如焦点在x 轴上，开口不确定的抛物线可设方程为y 2＝2ax (a ≠0)，解出a 值的正负后，开口方向也自然确定了．若把本例题目改为： (1)过点(1,2)．(2)焦点在直线x －2y －4＝0上． 试求抛物线的标准方程．【解】 (1)点(1,2)在第一象限，分两种情形： 当抛物线焦点在x 轴上时，设其方程为y 2＝2px (p >0)， 则22＝2p ·1，解得p ＝2， 抛物线标准方程为y 2＝4x ；当抛物线焦点在y 轴上时，设其方程为x 2＝2py (p >0)， 则12＝2p ·2，解得p ＝14，抛物线标准方程为x 2＝12y .(2)令方程x －2y －4＝0的x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4. ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)， 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8， 这时抛物线标准方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p ＝4，这时抛物线标准方程为x 2＝－8y .线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．图2－3－1(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?【思路探究】 (1)如图所示数据，你能求出抛物线的方程吗？ (2)车辆限制高度是什么意思？由题意该求哪些量？ 【自主解答】 如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y .(2)设车辆高h ，则|DB |＝h ＋0.5，故D (3.5，h －6.5)， 代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．1．解答抛物线的实际应用问题的关键是“建模”，即通过题意分析，把实际问题转化为数学模型解决．2．解决抛物线实际应用题的步骤： (1)建：建立适当的坐标系； (2)设：设出合适的抛物线标准方程； (3)算：通过计算求出抛物线标准方程； (4)求：求出所要求出的量；(5)还：还原到实际问题中，从而解决实际问题．某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽8 m ，一木船宽4 m ，高2 m ，载货后木船露在水面上的部分高为34 m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【解】 以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y 轴，建立如下图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意知，点A (4，－5)在抛物线x 2＝－2py (p ＞0)上．所以16＝－2p ×(－5)，2p ＝165.所以抛物线方程为x 2＝－165y (－4≤x ≤4)．设水面上涨船面两侧与抛物线拱桥接触于B 、B ′时，船开始不能通航． 设B (2，y )，由于22＝－165×y ，所以y ＝－54.所以水面与抛物线拱顶相距|y |＋34＝2(m)．答：水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m 时，船开始不能通航.(对应学生用书第39页)忽略对抛物线方程中系数的讨论致误设抛物线y 2＝ax 的准线与直线x －2＝0的距离为5，求抛物线的方程． 【错解】 由抛物线方程y 2＝ax 得准线方程为x ＝－a4.又准线与直线x －2＝0的距离为5，∴准线方程为x ＝－3，∴－a4＝－3，∴a ＝12.∴抛物线的方程为y 2＝12x .【错因分析】 产生错解的原因是对抛物线方程y 2＝ax 中的系数a 的理解不全面，只认为a ＞0，而忽视了a ＜0的情况．【防范措施】 求解抛物线方程中涉及系数问题时，要充分考虑各种情况，以免因遗漏致误．【正解】 由抛物线方程y 2＝ax ，得准线方程为x ＝－a4，∵准线与直线x －2＝0的距离为5，∴准线方程为x ＝－3或x ＝7， ∵当a ＞0时，有x ＝－a 4＝－3，解得a ＝12，∴抛物线方程为y 2＝12x ；∵当a ＜0时，有x ＝－a4＝7，解得a ＝－28，∴抛物线方程为y 2＝－28x .综上所述，所求抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－28x .1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系在解题时，若能灵活运用，会带来很大的方便．2．求抛物线的标准方程时，由于其标准形式有四种且极易混淆，解题时一定要做到数形结合，再按照“先定形”再“定量”的程序求解.(对应学生用书第39页)1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)【解析】 由y 2＝－8x ，得2p ＝8，∴p2＝2.从而抛物线的焦点为(－2,0)． 【答案】 B2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x【解析】 由准线x ＝－2及顶点在原点， ∴焦点F (2,0)，p ＝4. ∴抛物线的方程为y 2＝8x . 【答案】 B3．若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．线段 C ．直线D ．射线【解析】 由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是抛物线． 【答案】 A4．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．【解】 设焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，M 点到准线的距离为d .则d ＝|MF |＝10，即9＋p2＝10.∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x ， 将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6).(对应学生用书第99页)一、选择题1．(2013·济南高二检测)若动点P 与定点F (1,1)和直线3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【解析】 由于点F (1,1)在直线3x ＋y －4＝0上，故满足条件的动点P 的轨迹是一条直线．【答案】 D2．(2013·新乡高二检测)设动点C 到点M (0,3)的距离比点C 到直线y ＝0的距离大1，则动点C 的轨迹是( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆【解析】 由题意，点C 到M (0,3)的距离等于点C 到直线y ＝－1的距离，所以点C 的轨迹是抛物线．【答案】 A3．抛物线y 2＝4px (p ＞0)上一点M 到焦点的距离为a ，则M 到y 轴的距离为( ) A ．a －p B ．a ＋p C ．a －p2D ．a ＋2p【解析】 y 2＝4px 的准线方程为x ＝－p ， 设M 点坐标为(x 1，y 1)，则x 1＋p ＝a ， ∴x 1＝a －p . 【答案】 A4．(2013·东营高二检测)若抛物线的焦点恰巧是椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝－4x B ．y 2＝4x C ．y 2＝－8xD ．y 2＝8x【解析】 椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝8x .【答案】 D5．(2013·洛阳高二检测)已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一动点，F 为焦点，定点P (3,1)，则|MP |＋|MF |的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 如图所示，过点P 作PN 垂直于准线x ＝－1于点N ，交抛物线于点M ，∴|MN |＝|MF |，此时|MP |＋|MF |取得最小值，最小值为x p ＋p2＝3＋1＝4.【答案】 B 二、填空题6．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是________． 【解析】 由y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线为x ＝－1， ∴焦点到准线的距离为2. 【答案】 27．(2013·三明高二检测)以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________．【解析】 由x 24－y 25＝1知a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9，双曲线右焦点为(3,0)， 依题意，抛物线的焦点F (3,0)，p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝12x . 【答案】 y 2＝12x8．(2012·陕西高考)如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图2－3－2【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py 得p ＝1.∴x 2＝－2y .当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y 得x 20＝6， ∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m.【答案】 2 6 三、解答题9．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程． (1)准线方程为y ＝－1； (2)焦点到准线的距离是4.【解】 (1)准线为y ＝－1，所以p2＝1，即p ＝2，所以抛物线标准方程为x 2＝4y .(2)p ＝4，所以抛物线标准方程有四种形式：y 2＝8x ，y 2＝－8x ，x 2＝8y ，x 2＝－8y . 10．抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且|AF |＝5，求抛物线的标准方程．【解】 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以当m ＞0时，点A 在第四象限，抛物线的方程可设为y 2＝2px (p ＞0)， 设点A 到准线的距离为d ， 则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3 2＝2pm ，p2＋m ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12.所以抛物线的方程为y 2＝2x 或y 2＝18x ，当m ＜0时，点A 在第三象限，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p ＞0)， 设A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2－m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3 2＝－2pm ，p2－m ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝－92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝－12.所以抛物线的方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－2x或y2＝－18x或y2＝2x或y2＝18x.11．已知抛物线x2＝4y，点P是此抛物线上一动点，点A坐标为(12,6)，求点P到点A 的距离与到x轴距离之和的最小值．【解】将x＝12代入x2＝4y，得y＝36＞6，所以A点在抛物线外部．抛物线焦点F(0,1)，准线l：y＝－1.过P作PB⊥l于点B，交x轴于点C，则|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PB|－1|＝|PA|＋|PF|－1，由图可知，当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|最小．∴|PA|＋|PF|的最小值为|FA|＝13.故|PA|＋|PC|的最小值为12.(教师用书独具)如图所示，动圆P与定圆C：(x－1)2＋y2＝1外切且与y轴相切，求圆心P的轨迹．【解】设P(x，y)，动圆P的半径为r.∵两圆外切，∴PC＝r＋1.又圆P与y轴相切，∴r＝|x|(x≠0)，即 x－1 2＋y2＝|x|＋1，整理得y2＝2(|x|＋x)．当x＞0时，得y2＝4x；当x＜0时，得y＝0.∴点P的轨迹方程是y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)，表示一条抛物线(除去顶点)或x轴的负半轴．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝2，且点P与圆心A的距离等于点P到直线l的距离，求点P的轨迹方程．【解】依题意可知，P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线且p＝4，∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第二讲 参数方程章末归纳提升 新人教A 版选修4-4参数方程—错误!)—圆锥曲线的参数方程—错误!)—直线的参数方程—参数t 的几何意义及应用—渐开线与摆线—错误!)))一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式．在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x＋y 的最大值和最小值．【解】 ∵椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．故设动点P (3cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)． 因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2(sin π3cos φ＋cos π3sin φ)＝2sin(φ＋π3)．∴当φ＝π6时，S 取得最大值2.当φ＝7π时，S 取得最小值－2.在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点，(1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长．【解】 将直线l 的参数方程代入圆的方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0.(1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1·t 2＝9. 故|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3. (2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上，则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上．但一定要注意，利用参数表示曲线的方程时，要充分考虑到参数的取值范围．(2013·三门峡质检)如图2－1，已知直线l 过点P (2，0)，斜率为43，直线l和抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：图2－1(1)P 、M 两点间的距离|PM |； (2)线段AB 的长|AB |.【解】 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线的倾斜角为α，tan α＝43，sin α＝45，cos α＝35，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t y ＝45t(t 为参数)．∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得8t 2－15t －50＝0，则Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0.设这个二次方程的两个根分别为t 1、t 2，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得|PM |＝|t 1＋t 22|＝1516.(2)|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝5873.因此线段AB 的长为5873.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)， 设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得 x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ， y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ， 所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. (2)由直角坐标与极坐标关系得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)，知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆， 因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为 |0－0＋1|12＋－2＝12＝22， 所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程 . (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0,4)的直线的斜率k 为参数．【解】 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ.∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ.因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (2)设M (x ，y )是曲线4x 2＋y 2＝16上异于A 的任一点，则y －4x＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k 4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2，易知A (0,4)也适合此方程．另有一点⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2－164＋k2，(k 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.综合检测(二)第二讲 参数方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·周口质检)下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)上的是( )A ．(－1,2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3,2)【解析】 直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0， 因此点(－3,2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 【答案】 D2．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q (－2,23)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )A.π3B.23πC.43πD.53π 【解析】 ∵点Q (－2,23)在圆上， ∴⎩⎨⎧－2＝4cos θ，23＝4sin θ且0≤θ<2π， ∴θ＝23π.【答案】 B3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)的斜率为( )A ．2B ．－2 C.32 D ．－32【解析】 直线的普通方程为2x ＋y －8＝0，∴斜率k ＝－2. 【答案】 B4．已知O 为原点，当θ＝－π6时，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直线OA 的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】 当θ＝－π6时，x ＝332，y ＝－92，∴k OA ＝tan α＝yx＝－3，且0≤α<π，因此α＝23π.【答案】 C5．已知A (4sin θ，6cos θ)，B (－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 【解析】 设线段AB 的中点为M (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3sin θ＋3cos θ(θ为参数)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12sin θ，3x －2y ＝－12cos θ.∴(3x ＋2y )2＋(3x －2y )2＝144，整理得x 28＋y 218＝1，表示椭圆．【答案】 C6．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )A.74 B.73 C.72 D.75【解析】 椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ，的标准方程为x 29＋y 216＝1，∴e ＝74.故选A. 【答案】 A 7．点P (4,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝4t (t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．4C ．4 2D ．8【解析】 将参数方程化为普通方程y 2＝16x ，则点P (4,0)是其焦点．根据抛物线定义，曲线上任一点到焦点的距离最小的点是顶点(0,0)，故最小距离为4.【答案】 B8．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3 D ．－π6或－5π6【解析】 直线的普通方程为y ＝tan α·x ，圆的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4，由于直线与圆相切，则|4sin α|sin 2α＋cos 2α＝2，即|sin α|＝12. ∴tan α＝±33，∴α＝π6或5π6.故选A. 【答案】 A9．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θθ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ.消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)，化简得 2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意， Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0. 解之得2－2<b <2＋ 2. 【答案】 D10．实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．2B ．4 C.92 D ．5【解析】 由3x 2＋2y 2＝6x ，得3(x －1)2＋2y 2＝3，令x ＝1＋cos θ，y ＝62sin θ，代入x 2＋y 2，得x 2＋y 2＝(1＋cos θ)2＋32sin 2θ＝－12(cos θ－2)2＋92∴当cos θ＝1时，(x 2＋y 2)max ＝4. 【答案】 B11．(2013·新乡模拟)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝cos 2π4－θ2(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点(－1，12)D ．抛物线的一部分，且过点(1，12)【解析】 由y ＝cos 2(π4－θ2)＝1＋π2－θ2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ 得x 2－1＝sin θ，∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y . 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D. 【答案】 D 12．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋ 3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋ 3【解析】 将直线l 参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ′y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，得t ′2＋4(2＋3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′、t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2＋3)，t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2＋3)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φ，y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________．【解析】 化参数方程为普通方程，得y 2－x 2＝1.故其渐近线为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 【答案】 x ±y ＝014．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ，(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．【解析】 消参数θ得曲线C 1的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1，将ρ＝1化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，两圆的圆心距为5，故|AB |的最小值为5－1－1＝3.【答案】 315．(2013·焦作调研)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，且0≤α≤π)，与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φy ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.【解析】将参数方程化为普通方程，直线y ＝x ·tan α，圆(x －4)2＋y 2＝4，如右图所示，sin α＝24＝12，则α＝π6或5π6.【答案】 π6或5π616．(2013·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．【解析】 由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由ρsin(θ＋π4)＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m .又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，则得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a ＝23，故椭圆C 的离心率为e ＝63. 【答案】63三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．(1)求圆心和半径；(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π3，求点M 的坐标．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(0≤θ<2π)，平方得x 2＋y 2＝4，∴圆心O (0,0)，半径r ＝2.(2)当θ＝53π时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－ 3.∴点M 的坐标为(1，－3)．18．(本小题满分12分)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．(1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )是曲线C 上的动点，求2x ＋y 的取值范围．【解】 (1)由C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝3sin φ，得∴(x4)2＋(y3)2＝1即x 216＋y 29＝1.(2)2x ＋y ＝8cos φ＋3sin φ＝73sin(φ＋θ)，(θ由tan θ＝83确定)．∴2x ＋y ∈[－73，73]．∴2x ＋y 的取值范围是[－73，73]．19．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 (1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ得x 2＋y 2＝16.∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t 代入x 2＋y 2＝16，整理，得t 2＋33t －9＝0.设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9. |AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝37.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2 B 1的面积．【解】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为x ′＋2x x ′－x2＝25.21．(本小题满分12分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．22．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2)与曲线x 216＋y 212＝1交于A ，B 两点．(1)写出直线l 的一般方程及直线l 通过的定点P 的坐标； (2)求|PA |·|PB |的最大值．【解】 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2)，∴yx －2＝t sin αt cos α＝tan α， ∴直线l 的普通方程为x tan α－y －2tan α＝0. 直线l 通过的定点P 的坐标为(2,0)．(2)∵l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α，椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，右焦点坐标为P (2,0)，∴3(2＋t cos α)2＋4(t sin α)2－48＝0，即(3＋sin 2α)t 2＋12cos α·t －36＝0. ∵直线l 过椭圆的右焦点， ∴直线l 恒与椭圆有两个交点，∴t 1·t 2＝－363＋sin 2α， 由直线参数方程t 的几何意义，∴|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝363＋sin 2α， ∵0≤α<π，且α≠π2，则0≤sin 2α<1，因此|PA |·|PB |的最大值为12.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第一讲 坐标系章末归纳提升 新人教A 版选修4-4公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λy ′＝μy μ时，一定要分清变换前后的新旧坐标．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程．【解】 设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′， ∴y ′＝x ′为所求直线l ′的方程． 因此变换后直线l ′的方程为x －y ＝0.件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式f (ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程．求圆心为C (3，π6)，半径为3的圆的极坐标方程．【解】 如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)，则|OP |＝ρ，∠POA ＝|θ－π6|，|OA |＝2×3＝6.在Rt △POA 中，|OP |＝|OA |cos ∠POA ，则ρ＝6cos(θ－π6)，即圆的极坐标方程为 ρ＝6cos(θ－π6)．已知定点A (a,0)，动点P 对极点O 和点A 的张角∠OPA ＝π3.在OP 的延长线上取点Q ，使|PQ |＝|PA |.当P 在极轴上方运动时，求点Q 的轨迹的极坐标方程．【解】 设Q ，P 的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，则θ＝θ1.在△POA 中，ρ1＝a sinπ3·sin(2π3－θ)，|PA |＝a sin θsinπ3.又|OQ |＝|OP |＋|PA |，∴ρ＝2a cos(π3－θ)．坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程．为了研究问题的方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程．它们之间的互化关系为：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．【解】 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x .即x 2＋y 2－4x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－2.即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2，－2)，故过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x .化抽象为具体，化一般为特殊．如本章中直角坐标与极坐标，直角坐标方程与极坐标方程，都是这种思想的体现．当ρ≥0,0≤θ<2π时，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化就是等价转化．已知极坐标方程C 1：ρ＝10，C 2：ρsin(θ－π3)＝6，(1)化C 1、C 2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状； (2)求C 1、C 2交点间的距离．【解】 (1)由C 1：ρ＝10，得ρ2＝100， ∴x 2＋y 2＝100，所以C 1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆．由C 2：ρsin(θ－π3)＝6，得ρ(12sin θ－32cos θ)＝6. ∴y －3x ＝12，即3x －y ＋12＝0. 所以C 2表示直线．(2)由于圆心(0,0)到直线3x －y ＋12＝0的距离为d ＝1232＋－2＝6<r ＝10， 所以直线l 被圆截得的弦长|C 1C 2|＝2r 2－d 2＝2102－62＝16.综合检测(一)第一讲 坐标系(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 后得到的曲线方程为( )A ．y ＝3sin xB ．y ＝3sin 2xC ．y ＝3sin 12xD ．y ＝13sin 2x【解析】 由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′.∴变换后的曲线方程为y ＝3sin x . 【答案】 A 2．有相距1 400 m 的A 、B 两个观察站，在A 站听到爆炸声的时间比在B 站听到时间早4 s ．已知当时声音速度为340 m/s ，则爆炸点所在的曲线为( )A ．双曲线B ．直线C ．椭圆D ．抛物线【解析】 设爆炸点为P ，则|PB |－|PA |＝4×340<1 400 m，∴P 点在以A 、B 为焦点的双曲线上．【答案】 A3．在极坐标系中，点(ρ，θ)与(－ρ，π－θ)的位置关系为( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线θ＝π2(ρ∈R )对称【解析】 取ρ＝1，θ＝π4，可知关于极轴所在直线对称．【答案】 A4．在极坐标系中，点A (2，π6)与B (2，－π6)之间的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 由A (2，π6)与B (2，－π6)，知∠AOB ＝π3，∴△AOB 为等边三角形．因此|AB |＝2. 【答案】 B5．(2013·新乡质检)极坐标方程4ρ·sin 2θ2＝5表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【解析】 由4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2x 2＋y2－2x ＝5，化简得y 2＝5x ＋254.∴该方程表示抛物线． 【答案】 D6．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x ＋2y ＝1， ∴直线x ＋2y ＝1，不过第三象限． 【答案】 C7．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( )A ．(22，3π4，π6)B ．(22，π4，π6)C ．(22，π4，π3)D ．(22，3π4，π3)【解析】 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则⎩⎨⎧3＝r sin φcos θ，1＝r sin φsin θ，－2＝r cos φ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22，φ＝3π4，θ＝π6.【答案】 A8．极坐标系中，直线2ρsin(θ＋π4)＝2＋2，与圆ρ＝2sin θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能【解析】 直线2ρsin(θ＋π4)＝2＋2与圆ρ＝2sin θ的直角坐标方程分别为x ＋y ＝2＋1，x 2＋(y －1)2＝1，圆心C (0,1)到直线x ＋y －(2＋1)＝0的距离为d ＝|1－2＋2＝1，又r ＝1，所以直线与圆相切．【答案】 B9．若点P 的柱坐标为(2，π6，3)，则P 到直线Oy 的距离为( )A ．1B ．2 C. 3 D. 6【解析】 由于点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )＝(2，π6，3)，故点P 在平面xOy 内的射影Q 到直线Oy 的距离为ρcos π6＝3，可得P 到直线Oy 的距离为 6.【答案】 D10．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( )A.22B. 2 C ．2 D ．2 2【解析】 圆ρ＝4cos θ的圆心C (2,0)， 如右图，|OC |＝2， 在Rt △COD 中，∠ODC ＝π2，∠COD ＝π4，∴|CD |＝ 2.即圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为 2. 【答案】 B11．设正弦曲线C 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝3y后得到曲线方程为y ＝sin x ，则正弦曲线C 的周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 【解析】 由伸缩变换知3y ＝sin 12x ，∴y ＝13sin 12x .∴T ＝2π12＝4π.【答案】 D12．极坐标方程ρ＝2sin(θ＋π4)的图形是( )【解析】 法一 圆ρ＝2sin(θ＋π4)是把圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方向旋转π4而得，圆心的极坐标为(1，π4)，故选C.法二 圆ρ＝2sin(θ＋π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，圆心为(22，22)，半径为1，故选C. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．极坐标系中，ρ≥0，过点(1,0)倾斜角为π2的射线的极坐标方程为________．【解析】 设(ρ，θ)是射线上任意一点，则ρcos θ＝1，且0≤θ<π2.【答案】 ρcos θ＝1,0≤θ<π214．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为(4，π3)，则|CP |＝________.【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3.【答案】 2 315．(2012·湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.【答案】2216．(2012·陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12，圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1，∴弦长为2×12－122＝ 3.【答案】 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝2y代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1， 即(x －52)2＋(y ＋3)2＝14，故曲线C 是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆．18．(本小题满分12分)(2013·洛阳模拟)已知直线的极坐标方程ρsin(θ＋π4)＝22，求极点到直线的距离．【解】 ∵ρsin(θ＋π4)＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1， 即直角坐标方程为x ＋y ＝1. 又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22.19．(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程；(2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程．【解】 (1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM ＝θ－1， 作CK ⊥OM 于K ，则ρ＝|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转π2得到圆D ：ρ＝2cos(θ－1－π2)，即ρ＝－2sin(1－θ)．图120．(本小题满分12分)如图1，正方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P 的柱坐标．【解】 设点C 的柱坐标为(ρ1，θ，z 1)，则ρ1＝|OC |＝3，θ1＝∠COA ＝π2，z 1＝0，∴C 的柱坐标为(3，π2，0)；设点B ′的柱坐标为(ρ2，θ2，z 2)，则ρ2＝|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋32＝32，θ2＝∠BOA ＝π4，z 2＝3，∴B ′的柱坐标为(32，π4，3)；如图，取OB 的中点E ，连接PE ，设点P 的柱坐标为(ρ3，θ3，z 3)，则ρ3＝|OE |＝12|OB |＝322，θ3＝∠AOE ＝π4，z 3＝3，点P 的柱坐标为(322，π4，3)．21．(本小题满分12分)某一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后返回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍，已知A 、B 两地的距离为10 km ，顾客选择A 或B 地购买这种商品的标准是：运费和价格的总费用较低，求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购贷地点？【解】 以A 、B 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．∵|AB |＝10，∴A (－5,0)，B (5,0)．设某地P 的坐标为(x ，y )，且P 地居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费为3a 元/km ，则B 地的运费为a 元/km ，∵P 地居民购货总费用满足条件：价格＋A 地运费≤价格＋B 地运费， 即有3a x ＋2＋y 2≤a x －2＋y 2， ∵a >0， ∴3x ＋2＋y 2≤x －2＋y 2，两边平方，得9(x ＋5)2＋9y 2≤(x －5)2＋y 2，即(x ＋254)2＋y 2≤(154)2，∴以点C (－254，0)为圆心，154为半径的圆是两地购货的分界线，圆C 内的居民从A 地购货，圆C 外的居民从B 地购货，圆C 上的居民可从A 、B 两地之一购货．22．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin(θ－π4)＝2交于不同的两点A ，B . (1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程．【解】 (1)法一 ∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4.又∵ρsin(θ－π4)＝2，∴y ＝x ＋2.∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－222＝2 2. 法二 设A (ρ，θ1)，B (ρ，θ2)，θ1，θ2∈[0,2π)，则sin(θ1－π4)＝22，sin(θ2－π4)＝22，∵θ1，θ2∈[0,2π)，∴|θ1－θ2|＝π2，即∠AOB ＝π2，又|OA |＝|OB |＝2，∴|AB |＝2 2.(2)法一 ∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，即ρcos(θ＋π4)＝22.法二 设点P (ρ，θ)为直线l 上任一点，因为直线AB 与极轴成π4的角，则∠PCO ＝3π4或∠PCO ＝π4，当∠PCO ＝3π4时在△POC 中，|OP |＝ρ，|OC |＝1，∠POC ＝θ，∠PCO ＝3π4，∠OPC ＝π4－θ，由正弦定理可知：1π4－θ＝ρsin π4，即ρsin(π4－θ)＝22，即直线l 的极坐标方程为：ρsin(π4－θ)＝22.同理，当∠PCO ＝π4极坐标方程也为ρsin(π4－θ)＝22.当P 为点C 时显然满足ρsin(π4－θ)＝22.综上，所求直线l 的极坐标方程为ρsin(π4－θ)＝22.。