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用锐角三角函数解决问题课件

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锐角三角函数课件

锐角三角函数课件
$sin 30^circ = frac{1}{2}$
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中，锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中，锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ)， k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度，例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长， 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中，一个锐角为 30°，邻边长为3，求对边长。
题目2
在直角三角形中，已知一个锐角 为45°，斜边长为5，求邻边长。
题目3
已知直角三角形中，一个锐角为 60°，对边长为6，求斜边长。
答案与解析
01

华师大版数学九年级上册24.第1课时锐角三角函数的定义及关系应用同步课件

华师大版数学九年级上册24.第1课时锐角三角函数的定义及关系应用同步课件

BC . AC
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A
＝∠A'＝α，那么
BC AB
与
B'C' 有什么关系．能解释一下吗？
A' B'
B1 B
A
C
A1
C1
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
BC B'C '
AB A' B '
解： AB BC2 AC2 289 17，
A
sin A BC 8 , AB 17
cos A AC 15 , AB 17
tan A BC 8 . AC 15
B
8
C 15
┐
随堂演练
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
则sinA的值是( C )
A.
3 4
B.4
3
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角 (注意数形结合，构造直角三角形). 2.sinA、 cosA是一个比值（数值）. 3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
例题讲授 例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC＝15， BC＝8.试求出∠A的三个三角函数值.
BC AB
B'C ' A' B '
A
这就是说，在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定
时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也
是一个固定值．
A1
B C

沪科版九上数学第23章解直角三角形训练：利用锐角三角函数模型解决实际问题的四种类型习题课件

沪科版九上数学第23章解直角三角形训练：利用锐角三角函数模型解决实际问题的四种类型习题课件

解：过点 C，D 分别作 CE⊥PB，DF⊥PB，垂足分别为点 E，F， 如图，则有 AB＝CE＝DF，EF＝CD＝42 m.
在 Rt△ PCE 中，PE＝CE×tan32.3°≈0.63CE， 在 Rt△ PDF 中，PF＝DF×tan55.7°≈1.47CE. ∵PF＝PE＋EF， ∴1.47CE≈0.63CE＋42，∴AB＝CE≈50 m.
5．如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从 M 到 N 的走向为南 偏东 30°.在 M 的南偏东 60°方向上有一点 A，以 A 为圆心，500 m 为 半径的圆形区域为居民区，取 MN 上另一点 B，测得 BA 的方向为南 偏东 75°，已知 MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水 路线是否会穿过居民区？（参考数据： 3≈1.73）
2．[中考·合肥瑶海区三模]停车难已成为城市病之一，主要表 现在居住区停车位不足、停车资源结构性失衡、中心城区 供需差距大等等.如图是的车与墙平行停放的平面示 意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知 小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时， 车门是否会碰到墙？请说明理由. （参考数据：sin40°≈0.64， cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
第23章 解直角三角形
利用锐角三角函数模型解决实际问题四种类型
提示：点击 进入习题
1 450 m 2 不会
方法技能专题练（六） 训练3
5 不会 6 25.98米
3 (1)不穿过；(2)25天
7 12.16米
4 20 2海里
答案显示
1．[中考·南通]如图，沿 AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山 的另一边同时施工，从 AC 上的一点 B 取∠ABD＝120°，BD＝520 m， ∠D＝30°，那么另一边开挖点 E 离 D 多远正好使 A，C，E 三点在一直 线上.（ 3取 1.732，结果取整数） 解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，∴∠E＝90°. 在 Rt△ BDE 中，cosD＝DBDE， ∴DE＝BD·cos30°＝520× 23＝260 3≈450(m)． 答：点 E 离 D 450 m 时正好使 A，C，E 三点在一直线上．

【中考数学考点复习】第六节 锐角三角函数及其应用 课件(共33张PPT)

【中考数学考点复习】第六节 锐角三角函数及其应用 课件(共33张PPT)

返回目录
第1题图
第六节 锐角三角函数及其应用
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改编条件：题干改变“测量点的高度”；“两个非特殊角”改为“两个 特殊角” 2．(2020 贺州)如图，小丽站在电子显示屏正前方 5 m 远的 A1 处看“防溺 水六不准”，她看显示屏顶端 B 的仰角为 60°，显示屏底端 C 的仰角为 45°，已知小丽的眼睛与地面距离 AA1＝1.6 m， 3．求电子显示屏高 BC 的值．(结果保留一位小数． 4．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
第 6 题图
第六节 锐角三角函数及其应用
解：如解图，延长 BC 交 MN 于点 F， 由题意得 AD＝BE＝3.5 米，AB＝DE＝FN＝1.6 米，
在 Rt△MFE 中，∠MEF＝45°，∴MF＝EF，
在 Rt△MFB 中，∠MBF＝33°，
∴MF＝BF·tan33°＝(MF＋3.5)·tan33°，
第六节 锐角三角函数及其应用
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3. ．如图，为测量电视塔观景台 A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔 附近一建筑物楼顶 D 处测得塔 A 处的仰角为 45°，塔底部 B 处的俯角为 22°.已知建筑物的高 CD 约为 61 米，请计算观景台的高 AB 的值．(结果 精确到 1 米，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
形的边角 1. 三边关系：a2＋b2＝c2
关系
2. 两锐角关系：∠A＋∠B＝90° 3. 边角关系：sinA＝cosB＝ a ；cosA＝sinB＝ b；
tanA＝
a
c
；tanB＝
b
c
图②用
返回思维导图
返回目录
1.仰角、俯角：如图③，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 锐角三角 所成的锐角称为__仰__角____，当从高处观测低处的目标时，视线与水平 函数的实 线所成的锐角称为___俯__角___ 际应用 2．坡度(坡比)、坡角：如图④，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡

人教版九年级下册数学《解直角三角形应用举例》锐角三角函数研讨复习说课教学课件

人教版九年级下册数学《解直角三角形应用举例》锐角三角函数研讨复习说课教学课件

学以致用
如图水坝的横断面是梯形，迎水坡的坡角∠B＝30°，背
水坡的坡度为1: 2 (坡面的铅直高度DF与水平宽度AF的
比)，坝高CE(DF)是45米，求AF、BE的长，迎水坡BC的长，
以及BC的坡度.
AF=45 2 m BE=45 3
BC=90m
= 1: 3
知识点二：坡度、坡角的实际应用
角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课堂小结
1.坡度：我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度 l 的比
叫坡度（或叫坡比）用字母 i 表示：
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
D.500
米
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
探索新知
例 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔
80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯
课件
课件
课件
课件
课件
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个人简历：课件/jianli/
课件
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手抄报：课件/shouchaobao/
典例讲评
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡
AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i' =1:2.5,求坝底宽AD和斜坡AB
的长.
(精确到0.1m，tan18°26′ ≈0.3333，sin18°26′≈0.3162)
课件
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《锐角三角函数》课件

《锐角三角函数》课件
锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数图像与性质
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02

冀教版九年级数学上册《锐角三角函数的计算》PPT精品课件

冀教版九年级数学上册《锐角三角函数的计算》PPT精品课件

9
8
1
观察计算的结果,当α增大时,角α的正弦值、余弦值、正切值怎样变化?
正弦值随着角度的增大（或减ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
知识讲解
2.已知一个锐角三角函数的值求锐角的度数
例2 用计算器求下列各锐角的度数:(结果精确到1″) (1)已知cosα=0.5237,求锐角α; (2)已知tanβ=1.6480,求锐角β.
知识讲解
(2)在计算器开机状态下,按键顺序为
2ndF tan-1 1 . 6 4 显示结果为58.750 786 43. 即β≈58.750 786 43°.
80=
再继续按键: 2ndF
DEG
显示结果为58□45□2.83.
即β≈58°45‘ 3″.
知识讲解
例3 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.
2.已知 sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（ A ）
A．32°
B．58°
C．68°
D．以上结论都不对
3.用计算器验证，下列各式中正确的是（ D ） A．sin18°24′+sin35°26′=sin45° B．sin65°54′-sin35°54′=sin30° C．2sin15°30′=sin31° D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
2.求cos72°的值． 第一步：按计算器 cos 键，
第二步：输入角度值72， 第三步：输入 键， 屏幕显示结果为0.309 016 994.
即cos 72°=0.309 016 994.

锐角三角函数— 应用举例优质课件

锐角三角函数— 应用举例优质课件
第
二
十
八
第二十八章 锐角三角函数
章
锐 角 三 角 函 数
锐角三角函数专题— 应用举例 2012年6月16日18时37分21秒，神舟九号飞船在酒泉卫星发射中心
点火发射升空.2012年6月18日11时左右转入自主控制飞行，14时左右与 天宫一号实施自动交会对接，这是中国实施的首次 载人空间交会对接.并于2012年6月29日10点03分安 全返回.神舟九号飞船于2012年6月16日发射，这也 是载人航天飞船首次在夏季发射.
锐角三角函数专题— 应用举例
解：如图，在RtAPC中,
PC PA cos(90o 65o)=80 cos 25o 72.505.
在RtBPC中,B=34o,
Q sin B PC , PB
PB
PC sin B
72.505 sin 34o
13（ 0 n
mile）.
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile.
发奋忘食，乐以忘优，不知老之将至。Leabharlann 锐角三角函数专题— 应用举例
小结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: （1）先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）检验答案是否符合实际问题．
发奋忘食，乐以忘优，不知老之将至。
锐角三角函数专题— 应用举例
分析：（1）什么是仰角、俯角？
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角是仰角；视线在水平线下方的角是俯角.
（2）如何根据题意构造几何图形？ （3）怎样求出BC的长？
发奋忘食，乐以忘优，不知老之将至。

九年级数学《锐角三角函数》课件

九年级数学《锐角三角函数》课件

h
A
α
l
C
展示评讲
坡比（坡度）：坡面的竖直高度h与水平长 B
度l的比叫做坡面的~ 即：i h
l
i h:l
h
A
l
C
正切：如图，在Rt∆ABC中，我们把锐角A
的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即
B
tan
A
A的对边 A的邻边
BC AC
a b
ha
注意：tanA还可以写成tan∠A或A α tanα或tan∠BAC或tan∠1
锐角三角函数
引入新课
汽车爬坡能力是衡量汽车性 能的一个重要标志，很明显， 若汽车所爬坡面越陡，汽车 爬坡能力越强. 即：坡角越大，坡面就越陡.
B
h
A αl
C
学习目标
1、理解并掌握正切的定义，明确角 与线段的比的关系； 2、会利用正切的定义求任意一个锐 角的正切值； 3、利用坡度和坡比的概念解决实际 问题。
自学思考
1、水平长度一定时，坡角与什么因素有关呢？
竖直高度越大，坡面越陡，坡角越大
2、竖直高度一定时，坡角与什么因素有关呢？
水平长度越小，坡面越陡，坡角越大
3、水平长度与竖直高度都不同时，坡角与什么因素有关呢？
竖直高度与水平长度的比值越大，坡面越 陡，坡角越大
展示评讲 三角函数：在直角三角形中
B
lb
C
当堂检测
1、(25分)在∆ABC中，AC=5，BC=4，AB=3，则tanA= ，
tanB=
.
2、(25分)在∆ABC中，∠C=90度，AB=2BC，则
tanA= ，
tanB=
.
ห้องสมุดไป่ตู้
3、(25分)如3 图1所示为某拦水坝的横截面，迎水坡AB的

《锐角三角函数的计算》PPT课件教学课件

《锐角三角函数的计算》PPT课件教学课件
(3)csoinsαα＝tan α
第二十四章 解一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.复习一元二次方程的根的判别式和求根公式. 2.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点) 3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题.（难点）
导入新课
知识回顾 问题1 一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？
A．tan 26°＜cos 27°＜sin 28° B．tan 26°＜sin 28°＜cos 27° C．sin 28°＜tan 26°＜cos 27° D．cos 27°＜sin 28°＜tan 26°
4．(3 分)在△ABC 中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，
则∠C＝_4__5_°____，sin A＋cos B＋tan C≈__1_3_4_6___．
12．(8分)已知三角函数值，求锐角(精确到1″)． (1)已知sin α＝0.5018，求锐角α；
(1)30°7′9″
(2)已知tan θ＝5，求锐角θ.
(2)78°41′24″
【易错盘点】
【例】计算：sin 248°＋sin 242°－tan 44°·tan 45°·tan 46°＝________．
b2 (b2 4ac) 4a2
4ac 4a2 c
a
拓广探索 韦达定理的两个重要推论： 推论1：如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-p，x1·x2=q.
推论2：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项 系数为1）是x2-（x1+x2）·x+x1·x2=0
二 一元二次方程根与系数关系的应用

锐角三角函数的简单应用(共10张PPT)

锐角三角函数的简单应用(共10张PPT)
分析：判断A市是否受到影响，只要求出A市到沙尘暴的行进路线的最短距离，看其是否大于
400km即可．如果要判断影响时间，则可以以A为圆心，画出一个半径为300km的圆，设该圆与行进路
线交于两点D、E，求出DE的长度，即可以算出影响时间．
解：过点A作BC的垂线(如图2)，
在Rt△ABC中， ∵∠B＝300，AB＝400km， ∴AC＝200km＜300km， 因此，A市将受到沙尘暴的影响． 以A为圆心，300km为半径画圆， 交BC于点D、E，在Rt△ACD中，
分析：过点C作AB的垂线，构造两个直角三角形， 根据已知条件来解直角三角形。
例5、如图，海岛A四周20海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见 岛A在北偏西，航行24海里后到C处，见岛A在北偏西，货轮继续向西航行，有无触礁 危险？
分析：过点A作BC的垂线AD，比较线段AD
A
的长与20的大小关系，求线段AD的长是利用两 个直角三角形来解决。
分析：这道题实际上是要比较线段CD与线段AD+2.6×6+1.4=20，根据解直角三角形求
出AD的长；过点B作CD的垂线BE，ED=AB，BE=AD，解直
B
角三角形求线段CE的长。若线段CD大于线段AD，则说明小
明家的住宅楼需要拆迁；若线段CD小于线段AD，则说明小明
∵AD＝300km， AC＝200km ∴CD＝100 km，∴DE＝200 km,
这样，A市受到5 沙尘暴的影响时间为5
11(h) 200 5
40
评析：本题需要综合运用三角函数及圆的相关知识解题．
例7、如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶CD宽是5m，坝高DE为20m，斜坡的 坡度为 1： ,斜坡的坡度为 53：6，建造这样的大坝1000需要多少m3的土？ (结果保留根 号)

浙教版数学九年级下册 1.1 锐角三角函数 课件(共25张PPT)

浙教版数学九年级下册 1.1 锐角三角函数 课件(共25张PPT)

观察以上计算结果,你发现了什么?
sinA=cosB ，cosA=sinB (∠A+∠B=90）
tanA·tanB=1
(∠A+∠B=90）
B
c
a
┌
A
b
C
sin A a cos A b tan A a
c
c
b
sin B b cos B a
c
c
tan B b a
如图，在△ABC中，若AB=5，BC=3，则下列结论正确
锐角A，A′的余弦值的关系为（ ） A
A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定 2．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，
且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（ C）
3 A．4
4 B．3
C．4 5
3
D．
5
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，
是关于锐角α的三角函数。
AB AB AC
B
A
C
锐角α的正弦，余弦和正切统称∠α的三角函数.
比值 BC 叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.
AB
BC
比值 AC
即sinα= AB
叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.
AB
即cosα= AC
AB 比值 叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.
b，c，则下列各项中正确的是（ ） B
A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 2 ，则tanB等于（ ）
C

《锐角三角函数》PPT教学课件(第2课时)

《锐角三角函数》PPT教学课件(第2课时)

1
∠ 的对边 ＝
＝ .

2
斜边
A
可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管.
C
知识讲解
1.正弦
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计
算∠A的对边与斜边的比
A
BC
AB
，你能得出什么结论？
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°
时，不管这个直角三角形的大小如何，这
数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA各是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦
、余弦和正切,记号中习惯省去“∠”；
3.sinA,cosA,tanA分别是一个比值.注意比的顺序,且在直角
三角形中sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角
切比3，分子根号别忘添.
30°，45°，60°角的正切值可以看成是 3， 9 ， 27.
当A、B为锐角时，
若A≠B，则
sinA≠sinB，
cosA≠cosB，
tanA≠tanB.
知识讲解
注意
1.从函数角度理解∠A的锐角三角函数：把∠A看成自
变量，其取值范围是0°<∠A<90°，sinA，cosA，
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,
那么∠ A 的对边与斜边的比、邻
边与斜边的比都是一个定值.
B
斜
边
A
∠A的邻边
∠A的对边
┌
C
知识讲解
归纳：
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜
边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.

26.1 锐角三角函数 - 第1课时课件(共19张PPT)

26.1 锐角三角函数 - 第1课时课件(共19张PPT)
提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
3.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性质可知，∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ DM=1BN=DM=1.tan∠AND=tan∠DNC= .
知识点 正切的概念
新知探究
思考
在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 是确定的.
发现
正切
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA ，即
在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）如图（1），∠A=30°，求tanA，tanB的值．（2）如图（2），∠A=45°，求tanA的值．
例1
例题示范
随堂演练
1.在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3.那么下列各式正确的是（ ）A.tanA= B.tanA=CtanC= DtanC=
课堂小结
正切
定义
对边与邻边的比
表示方法
有关计算
与锐角的大小有关，与三角形边的长短无关
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
A
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
C
3. 如图， P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3，4），则tan α = .
第 二十六章 解直角三角形

用锐角三角函数解决问题

用锐角三角函数解决问题

利用正切定理求解问题
总结词
正切定理是指在三角形中，任意两边之比等于对应角的 正切之比。利用正切定理可以解决一些与角度和边长有 关的问题。
详细描述
在任意三角形ABC中，正切定理表示为$\frac{a}{tan A} = \frac{b}{tan B} = \frac{c}{tan C}$。利用这个定 理，我们可以推导出一些有用的结论，比如三角形的面 积公式为$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A$
03
用锐角三角函数解决实际问题
测量距离的问题
总结词
利用锐角三角函数，可以解决一些难以直接测量的距离问题 。
详细描述
通过构建直角三角形，利用已知的边长和角度，计算出需要 测量的距离。例如，在野外考察时，可以利用三角函数计算 出两点之间的距离。
测量高度的问题
总结词
锐角三角函数可以帮助我们解决高度测量问题。
04
特殊情况下锐角三角函数的运用
等边三角形中的三角函数
等边三角形三边：任意一边的长度与 高的比值等于正弦值
余弦定理：任意一边的长度与 邻边的长度之比等于余弦值
等腰三角形中的三角函数
等腰三角形两腰相等，两个底角相等，顶角对着的边为底边 正弦定理：任意一边的长度与高的比值等于正弦值
回归实际问题
将求解出的未知数代回原表达式中， 得到实际问题的解。
对于多解的情况，需要根据实际问题的特 征进行分析和取舍。
将所得结果进行实际应用，验证所 得解是否符合实际问题要求。
THANK YOU.
01
02
正弦函数性质
定义域：[-π/2, π/2] 或 [0, π]
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变一变:如图,飞机在一定高度上飞行,先在A 处测得正前方某小岛C的俯角为30°,航行 10km后,在B处测得该小岛的俯角为60°.求飞 机的高度。 D A B
C
B
A
C
如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每 个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固 定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅 的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m 时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级 踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便? (参考数据：sin78°≈0.98， cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.)
F
你能计算出该船正东方向暗礁带的宽度吗?
练习1：A、B两镇相距60km，小山C在A镇的 北偏东60°方向，在B镇的北偏西30°方向．经 探测，发现小山C周围20km的圆形区域内储有 大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房 修路．现计划修筑连接A、B两镇的一条笔直的 公路，试分析这条公路是否会经过该区域？
45° 30°
36
B D
数学活动室
怎样测量停留在空中的气球高度呢？
仪器：卷尺，测角仪
明明设计了这样一个方案： 先站在地面上某点处观测气球,测得仰角为27°, 然后他向气球方向前进了50m,此时观测气球,测 得仰角为40°.若明明的眼睛离地面1.6m, 如何 计算气球的高度呢？
C
A
B
D
sin 27°≈ 0.45,cos 27° ≈ 0.89, tan 27 ° ≈0.51 sin 40°≈ 0.64,cos 40° ≈ 0.77, tan 40 ° ≈0.84
问题2：大海中某小岛A的周围22km范围内有暗 礁. 一海轮在该岛的南偏西55°方向的B处,由西 向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的 C处.如果该海轮继续向东行驶,会有触礁的危险 吗? (精确到0.1km).
北
tan 25°≈ 0.47 西 tan 55°≈1.43
B C
A
E D 南
北
C
60

北
30
60km

A
B
练习2：气象局发出预报:如图, 沙尘暴在A市 的正东方向400km的B处以40km/h的速度向北偏 西600的方向转移,距沙尘暴中心300km的范围内 将受到影响,A市是否受到这次沙尘暴的影响? 如果受到影响,将持续多长时间?
北 北
西
60°
A B
请你试一试： 升国旗时,某同学站在离旗杆底部24m处行 注目礼,当国旗升至旗杆顶端时,该同学视线的 仰角恰为30°,若双眼离地面1.5m,求旗杆的高 度.
视线
O
仰角 俯角 视线
水平线
1、当从低处观测高处的目标时,视线与水平线 所成的锐角称为仰角. 2、当从高处观测低处的目标时,视线与水平线 所成的锐角称为俯角.
问题1:如图，AB和CD是同一地面上的两座相距 36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼 顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼 CD的高。 C 若已知楼CD高为30+10 3 米，其他条件不变，你 能求出两楼之间的距离 BD吗？ A
l.78m
参考数据： sin78°≈0.98 cos78°≈0.21 tan78°≈4.70
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习：为改善楼梯的安全性能,准备将楼梯的 倾斜角由60°调整为45 °.已知调整后的楼 梯比原来多占地4米,求楼梯的高度. D
A
B
C
问题2:如图,飞机在距地面9km高空上飞行,先 在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°,飞行 一段距离后，在B处测得该小岛的俯角为60°. 求飞机的飞行距离。
如图,在平面上,过观察点O作 一条水平线(向右为东)和一条铅 垂线(向上为北),则从O点出发的 视线与铅垂线所成的锐角,叫做 西 观测的方位角(方向角）.
北
30° 45° 45°
O 南
东
例如,图中“北偏东30°”是一个方位角;
又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直 角的平分线,此时的方位角为“北偏西45°”.
问题1：如图,在一笔直的海岸线上有A,B两个 观测站,A在B的正西方向,AB=2km,从A测得船C在 北偏东60°的方向,从B测得船C在北偏西45°的 方向.求船C离海岸线的距离.
C
60° 45°
A
2km D
B
如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里处有 暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东 航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度的 方向, 继续行驶20分钟后, 到达B处又测得 灯塔P在它的北偏东45度方向. 问客轮不改变 方向继续前进有无触礁的危险?