天津市南开中学2017-2018学年高三下学期第五次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2020届天津市南开中学2017级高三下学期第五次月考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.设集合{}11A x x =-<,{}1B x x =<,则() R B A 等于（ ） A. {}1x x ≥ B. {}01x x << C. {}12x x ≤< D. {}12x x <≤【答案】C【解析】解出集合A ,B ,然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】{}02A x x =<<,{}1B x x =<；{|1}R B x x ∴=≥； (){} 12R B A x x ∴⋂=≤<．故选：C ．2.“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（ ） A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 先由两直线垂直求出m 的值,再由充分条件与必要条件的概念,即可得出结果.【详解】因为直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直,则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ,即(2)(42)0+-=m m ,解得2m =-或12m =； 因此由“12m =”能推出“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”,反之不能推出,所以“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的充分非必要条件.故选B3.已知直线l m 、,平面αβ、,且,l m αβ⊥⊂,给出下列四个命题：（1）若//αβ,则l m ⊥ （2）若l m ⊥,则//αβ（3）若αβ⊥,则//l m （4）若//l m ,则αβ⊥其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】根据空间线线、线面和面面位置关系有关定理,对四个命题逐一分析,由此得出正确选项.【详解】对于命题（1）,由于,//l ααβ⊥,所以l β⊥,进而l m ⊥,故（1）正确.对于命题（2）,如图所示,,l m αβ⊥⊂,l m ⊥,但α与β相交,故（2）错误。

2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}2230A x x x =--，集合{}2|4B x Z x x =∈≤，则R A B ⋂=ð（ ）A. {}|03x x ≤≤B. {}0,1,2,3C. {}10,1,2,3-，D. {}1,2 【答案】B【解析】因为{}()()()2230={|(310},13,A x x x x x x =---+>=-∞-⋃+∞，{}(){}2|4{Z |40}0,1,2,3,4B x Z x x x x x =∈≤=∈-≤=，所以()1,3R A =-ð，{}0,1,2,3R A B ⋂=ð；故选B.点睛：在利用描述法表示集合时，要注意代表元素的限制条件，以免导致错误，如本题中{}(){}2Z|4{Z |40}0,1,2,3,4B x x x x x x =∈≤=∈-≤=表示符合不等式24x x ≤的整数解， {}()[]2R|4{|40}0,4B x x x x R x x =∈≤=∈-≤=表示符合不等式24x x ≤的实数解.2．设变量,x y 满足约束条件20{2360,3290x y x y x y -+≥+-≥+-≤则目标函数2z x y =-的最大值是（ ）A. -2B. 2C. -6D. 6 【答案】D【解析】将2z x y =-化为2y x z =-，作出可行域和目标函数基准直线2y x =，当直线2y x z =-向左上方平移时，直线2y x z =-在y 轴上的截距z -增大，即z 减小，由图象，得当直线2y x z =-过点()3,0A 时， z 取得最大值236⨯=；故选D.3．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】B【解析】试题分析：输入1=a ，则0=k ，1=b ； 进入循环体，21-=a ，否，1=k ，2-=a ，否，2=k ，1=a ，此时1==b a ，输出k ，则2=k ，选B. 【考点】算法与程序框图4．在6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中， 3x 项的系数为（ ）A. 540B. -540C. 20D. -20【答案】B 【解析】6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()()()6216123166313kk kkkk k k T C xx C x----+=⋅-=-⋅，令1233k -=，得3k =，则3x 项的系数为()333613540C -⋅=-；故选B.5．已知,m n 是两条互相垂直．．．．的直线， α是平面，则//n α是m α⊥的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】D【解析】若,//m n n α⊥，则,m α可能垂直、平行、在面内或相交，即n // α不是m⊥ α的充分条件，若,m n m α⊥⊥，则,n α可能平行、线在面内，即n // α不是m ⊥ α的必要条件，即n // α是m ⊥ α的既不充分也不必要条件；故选D.6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，， ,A B 为双曲线的左右顶点，若点M 在双曲线上，且满足ABM ∆为一个顶角为120︒的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ）A. =y x ±B. =yC. =2y x ±D. =y x ± 【答案】A【解析】由题意，设()()(),0,,0,,A a B a M x y -，则0tan 30{tan 60AM BM y k x ay k x a==+==-，则2221y x a=-，即双曲线的方程为222x y a -=，其渐近线方程为y x =±；故选A.7．设实数,,a b c 分别满足2322,log 1a a b b +==， 5log 1,c c =则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. a c b >> 【答案】C【解析】令()322f x x x =+-，则()322f x x x =+-在R 上单调递增，且()()012110f f ⋅=-⨯=-<，即()0,1a ∈，在同一坐标系中作出251,log ,log y y x y x x===的图象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；故选C.点睛：在涉及超越方程的求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本题中判定5log 1c c =的根的取值范围，就转化为1y x=和5log y x =的图象交点问题.8．若函数()|1|2x f x x -=+与()()31g x k x =-的图象恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. ()0,+∞ C. ()1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】显然，当1x =时，()3112x k x x -=-+成立，若函数()|1|2x f x x -=+与()()31g x k x =-的图象恰有两个公共点，则()3112x k x x -=-+有且只有一个不为1的根，当1x >时， ()3112x k x x -=-+可化为()3112x k x x -=-+，即()()2112x x k=-+，令()()()212h x x x =-+，则()()()3110h x x x =+->'在()1,+∞成立，即10k->，解得0k >；当1x <时，()3112x k x x -=-+可化为()3112x k x x --=-+，即()()2112x x k-=-+，令()()()212h x x x =-+，令()()()3110h x x x =+->'，则1x <-或1x >，则()()()212h x x x =-+在(),1-∞-单调递增，在()1,1-上单调递减，则()114h k-<-=， 解得14k <-，即实数k 的取值范围是()1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；故选C. 点睛：处理两函数图象的交点个数问题，往往将函数的零点、方程的解联系在一起进行处理，如本题中将问题转化为()3112x k x x -=-+的根的个数问题.二、填空题9．设i 为序数单位，则()211ii i+--=-__________． 【答案】1522i -+ 【解析】()()()()(2i)1i 2i 13151i 1i i 1i=i 1i (1i)1i 2222+++--=--=+-+-+--+. 10．已知抛物线的参数方程为22{2x pt y pt==（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若EF MF =，点M 横坐标为6，则p =__________．【答案】4【解析】参数方程为22{2x pt y pt==（t 为参数）的抛物线的标准方程为22y px =（如图所示），设(M ，因为EF MF =62p=+，截得4p =.点睛：在处理涉及抛物线的焦点弦或焦半径的大小时，往往利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.【答案】1π【解析】由三视图，可知该几何体是由两个共底面的正四棱锥组合而成的正八面体，其底面边长为1，四棱锥的高为2，则该几何体的体积为121323V =⨯⨯=，而该几何体的外接球的球心为底面的中心，半径为2，体积为324π3V =⨯=⎝⎭则这个几何体的体积与其外接球体积之比为121:πV V =.12．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a =__________． 【答案】3【解析】设等差数列的公差为()0d d ≠，则112141,2,46S a S a d S a d==+=+，因为124,,S S S 成等比数列，所以()()2111246a d a a d +=+，即()120d d a -=，解得12d a =，则211111123a a d a a a a a ++===. 13．函数()321f x x x x =-++在点(1，2)处的切线与函数()2g x x =围成的图形的面积等于__________． 【答案】43【解析】因为()321f x x x x =-++，所以()2321f x x x '=-+， ()12f '=，则函数()321f x x x x =-++在点(1，2)处的切线为()221y x -=-，即2y x =，作出草图（如图所示），则所求阴影部分的面积为()2223200142d |33S x x x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.14．已知O 是ABC ∆外接圆的圆心，若4560OA OB OC ++=，则co s C =__________．【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC ++=，所以456OA OB OC +=-，则222162540c o s 36R R R A O B R ++∠=，即8c o s A O B ∠=-，即()282cos 11C -=-，解得cos C =.三、解答题15．已知函数()()2f x xcosx cos x m m R =-+∈的图象过点,0.12M π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,.a b c 若cos cos 2cos ,c B b C a B +=求()f A 的取值范围.【答案】（Ⅰ）12m =; （Ⅱ）1,1]2-（. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和配角公式化简函数解析式，代点求m 值；（Ⅱ）利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，进而求出π3B =，再利用角A 的范围和三角函数的性质进行求解.试题解析：（Ⅰ）由()()111cos2sin 2262f x x x m x m π⎛⎫=-++=-+- ⎪⎝⎭ 因为点,012M π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以11sin 20,12622m m ππ⎛⎫⋅-+-== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）因为cos cos 2cos ,c B b C a B += 所以sin cos sin cos 2sin cos C B B C A B +=所以()sin 2sin cos ,B C A B +=即sin 2sin cos A A B = 又因为()0,,A π∈所以sin 0A ≠ ,所以1cos 2B = 又因为()0,,B π∈所以2,33B A C ππ=+=所以270,23666A A ππππ<<-<-<；令2623A A πππ-==，得()0,,3f A π⎛⎤∴↑ ⎥⎝⎦， ()2,,33f A ππ⎛⎫↓ ⎪⎝⎭， ()1210,1,2332f f f ππ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()1sin 2,162A f A π⎛⎫⎛⎤-∈-∴ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦的取值范围是1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦. 16．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级. 【答案】（Ⅰ）13; （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）一年中平均有120天的空气质量达到一级. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用频率来估计概率即可；（Ⅱ）利用超几何分布的概率公式进行求解，再列表得到分布列；（Ⅲ）利用二项分布的特点和期望公式进行判定. 试题解析：（Ⅰ）设B =这天空气质量为1级， ()51153P B == （Ⅱ）1553N M n ===，，， ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：()()35103150,1,2,3.k kC C P k k C ξ-===（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为,η则1360,3B η⎛⎫- ⎪⎝⎭， 13601203E η∴=⨯=（天） 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级.17．如图，直三棱柱111ABC A B C -中， 11,1,2AC BC AC BC AA D ⊥===是棱1AA 上的点， 1.DC BD ⊥（Ⅰ）求证： D 为1AA 中点；（Ⅱ）求直线1BC 与平面BDC 所成角正弦值大小；（Ⅲ）在ABC ∆边界及内部是否存在点M 使得1B M ⊥面,BDC 存在，说明M 位置，不存在，说明理由【答案】（Ⅰ）见解析; （2；（3）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用共线向量进行判定；（Ⅱ）求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用夹角公式进行求解；（Ⅲ）先根据题意设出点的坐标，再利用该直线的方向向量和平面的法向量平行进行求解.试题解析：（1）根据题意以1,,AC BC CC 所在直线为,,x y z 轴()()()()11,0,,0,0,2,0,1,0,0,1,2D h C B B ∴ ()()11,0,2,1,1,DC h BD h ∴=--=-()1201h h h ∴-+-=⇒= D ∴为1AA 中点. （2）()10,1,2BC =-设面BDC 法向量()1111,,n x y z =1111100{{00n CB x z y n CD ⋅=+=∴⇒=⋅=，设()1111,0,1x n =⇒=-11cos ,BC n ∴==（3）设(),,0,01,01,1M x y x y x y ≤≤≤≤+≤()()111,1,21,0,1B M x y B M BDC B M λ∴=--⊥∴=-2{10{112x x y x y λλ==⇒-=⇒⇒>=-=-M ∴不存在18．设椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点(),P a b 满足212PF F F =．(Ⅰ) 求椭圆的离心率e ；(Ⅱ) 设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，若直线2PF 与圆()(22116x y ++=相交于M ，N 两点，且58MN AB =，求椭圆的方程．【答案】(Ⅰ) 12e =(Ⅱ) 2211612x y +=【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用|PF 2|=|F 1F 2|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）先把直线PF 2与椭圆方程联立求出A ，B 两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程试题解析：(Ⅰ)设()1,0F c -，()2,0F c ． 因为212PF F F =2c =，222240a ac a c -+-=，由c e a =，有24220e e +-=，即2210e e +-=，1e =-（舍去）或12e =． 所以椭圆的离心率为12e =．(Ⅱ) 解．因为12e =，所以2a c =，b =．所以椭圆方程为2223412x y c +=．直线2PF 的斜率bk a c==-，则直线2PF 的方程为)y x c =-． ,A B 两点的坐标满足方程组)2223412,.x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理得2580x cx -=．则10x =，285x c =． 于是110,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 228,5.x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,B ．所以165AB c ==．于是528MN AB c ==．圆心()1,3-到直线2PF的距离d ==，因为22242MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()2232164c c ++=，即2712520c c +-=， 解得2607c =-<（舍去），或2c =．于是24a c==，b ==． 所以椭圆的方程为2211612x y +=． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质19．记{}1,2,100U = ，对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集,T 若T =∅，定义0T S =，若{}12,,,,k T t t t = 定义12k T t t t S a a a =++ 例如： {}1,3.66T =时，1366.r S a a a =++现设{}()•n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时,30T S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数()1100,k k ≤≤若{}1,2,,,T k ⊆ 求证： 1T k S a +<； （Ⅲ）对任意正整数()1100,k k ≤≤若{}1,2,T k = ，记数列1T S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和为H ，求证： 32H <【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈; （2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先由数列为等比数列和当{}2,4T =时, 30T S =求出1a ，再进一步求出数列的通项公式；（Ⅱ）利用等比数列的通项公式和前n 项和公式以及放缩法进行证明；（Ⅲ）利用裂项抵消法和放缩法进行证明. 试题解析：（1）由已知得1*13,n n a a n N -=⋅∈， 于是当{}2,4T =时， 2411132730.T S a a a a a =+=+=又30,T S =故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{}1*1,2,,,30,n n T k a n N -⊆=>∈ ，所以()11211333132k kk T k S a a a -≤+++=+++=-< . 因此， 1T k S a +＜. （3）1312kT k S a a -=++=()()()1123112313131k k k k T S ++-⇒==--- ()()1112311331313131k k k k k +++⋅⎛⎫<=- ⎪----⎝⎭1111111332882631312k k H +⎛⎫∴-+-++-< ⎪--⎝⎭ ＜法二： ()()111112123312310313331331k k k kk k k k k -----⋅-+-⋅+-==<---11311212313k T k k k T S a a S --=++=⇒=<- 111331213k H ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭∴<<-点睛：对于新定义型数列问题，首先要理解所给新定义和所学知识的联系，能准确利用所学知识解释新定义，是解决此类问题的关键. 20．已知函数32(),()ln f x x x b g x a x =-++=. （1）若()f x 在1[,1)2x ∈-上的最大值为38，求实数b 的值；（2）若对任意[1,]x e ∈，都有2()(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围； （3）在（1）的条件下，设(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由。

天津市南开中学2017-2018学年高三下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（）A．（，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（﹣，﹣）3．已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．1104．要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位5．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数6．在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．7．已知函数，把方程f（x）=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A．（n∈N*）B．a n=n（n﹣1）（n∈N*）C．a n=n﹣1（n∈N*）D．a n=2n﹣2（n∈N*）8．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[2，+∞）C．（0，3]D．（0，2]二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为．10．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，﹣1），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角B=．11．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前项和，则使得S n 达到最大值的是．12．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S10等于．13．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．14．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ．若=1，•=﹣，则λ+μ=．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．16．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．18．设{a n}为等比数列，a1=1，a2=3．（Ⅰ）求最小的自然数n，使a n≥2014；（Ⅱ）求和：．19．设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=ln（ax）﹣（a≠0）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有1+++…+≥ln（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．天津市南开中学2017-2018学年高三下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：正切函数的图象．专题：计算题．分析：根据当时成立判断是成立的充分条件，当tanθ=0时不成立，进而可判断是成立的不必要条件．解答：可知充分，当θ=0°时可知不必要．故选A点评：本题主要考查了充分、必要条件的判定．属基础题．2．已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（）A．（，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（﹣，﹣）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：设出要求的向量的坐标，根据向量之间的平行和垂直关系，写出两个关于x，y的方程，组成方程组，解方程组得到变量的值，即求出了向量的坐标．解答：解：设=（x，y），则+=（x+1，y+2），+=（3，﹣1）．∵（+）∥，⊥（+），∴2（y+2）=﹣3（x+1），3x﹣y=0．∴x=﹣，y=﹣，故选D点评：本题考查向量平行和垂直的充要条件，认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了形与数的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．3．已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110考点：等差数列的前n项和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出解答：解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3•a9，∵{a n}公差为﹣2，∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10==110故选D点评：本题是基础题，考查等差数列的前n项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．4．要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=sinx=cos（x﹣），再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由于函数y=sinx=cos（x﹣），故只需将函数的图象象右平移可得函数y=cos（x﹣）的图象，故选A．点评：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于中档题．5．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数考点：正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，且当x=时，f（x）取得最大值，代入可得，2sin（φ）=2，结合已知﹣π＜φ≤π可得φ=可得，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可解答：解：∵函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，∴f（x）=2sin（φ），∵当x=时，f（x）取得最大值，∴2sin（φ）=2，φ=+2kπ，∵﹣π＜φ≤π，∴φ=，∴，由可得函数的单调增区间：，由可得函数的单调减区间：，结合选项可知A正确，故选A．点评：本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式，还考查了函数y=Asin （ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间的求解，属于对基础知识的考查．6．在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．解答：解：∵∠ABC=，AB=，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5，∴AC=，则由正弦定理=得：sin∠BAC==．故选C点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．7．已知函数，把方程f（x）=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A．（n∈N*）B．a n=n（n﹣1）（n∈N*）C．a n=n﹣1（n∈N*）D．a n=2n﹣2（n∈N*）考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…其通项公式为a n=n﹣1．解答：解：若0＜x≤1，则﹣1＜x﹣1＜0，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，若1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1若2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2若3＜x≤4，则2＜x﹣1＜3，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3以此类推，若n＜x≤n+1（其中n∈N），则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，下面分析函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点很显然，它们有两个交点（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…其通项公式为a n=n﹣1；故选C．点评：本题考查数列的递推公式的合理运用，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．8．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[2，+∞）C．（0，3]D．（0，2]考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：利用函数图象对称的公式，求得f（x）=2﹣h（﹣x）=，由此可得g（x）=x+．然后对函数g（x）求导数，并讨论导数g'（x）在区间（0，2]恒小于或等于0，即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，∴f（x）=2﹣h（﹣x）=2﹣（）=由此可得=x+，对g（x）求导数，得g'（x）=1﹣∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，∴g'（x）=1﹣≤0在区间（0，2]恒成立，即≥1，可得x2≤a+1∴x2的最大值小于或等于a+1，即a+1≥4，a≥3故选A点评：本题用导数为工具讨论函数的单调性，着重考查了函数的单调性、函数图象的对称性质和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：用平方差公式分解要求的算式，用同角的三角函数关系整理，把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论．解答：解：sin4α﹣cos4α=sin2α﹣cos2α=2sin2α﹣1=﹣，故答案为：﹣．点评：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的．10．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，﹣1），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角B=．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的积化和差公式．专题：常规题型；压轴题．分析：由向量数量积的意义，有，进而可得A，再根据正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=sinC sinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得sinC=sin2C，可得C，由A、C的大小，可得答案．解答：解：根据题意，，由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，又由sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，化简可得，sinC=sin2C，则C=，则，故答案为．点评：本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．11．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前项和，则使得S n 达到最大值的是20．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列的通项公式表示出特设中的等式，联立求得a1和d，进而求得a20＞0，a21＜0，判断数列的前20项为正，故可知数列的前20项的和最大．解答：解：设等差数列公差为d，则有解得a1=39，d=﹣2∴a20=39﹣2×19=1＞0，a21=39﹣2×20=﹣1＜0∴数列的前20项为正，∴使得S n达到最大值的是20故答案为20点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是判断从数列的哪一项开始为负．12．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S10等于．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过裂项可得a n=（﹣），并项相消计算即可．解答：解：∵=（﹣），∴S10=[（1+++…++）﹣（+++…++）]=（1+﹣﹣）=•=，故答案为：．点评：本题考查求数列的和，注意解题方法的积累，属于基础题．13．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．考点：数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．解答：解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．14．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ．若=1，•=﹣，则λ+μ=．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．解答：解：由题意可得若•=（+）•（+），=•+•+•+•=2×2×cos120°+•μ+λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）=•=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为﹣15，0，15，30．；；；．…乙得分的分布列如下：X ﹣15 0 15 30P．…（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B．则，…．…故甲乙两人至少有一人入选的概率．…点评：本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．16．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2sin（2x﹣），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（II）根据x∈，得﹣≤2x﹣≤．再由正弦函数在区间[﹣，]上的图象与性质，可得f（x）在区间上的最大值为与最小值．解答：解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）∴f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1 =2sin2x﹣2cos2x=2sin（2x﹣）因此，f（x）的最小正周期T==π；（II）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤∴当x=0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x=时，sin（2x﹣）取得最大值1 由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=﹣2．点评：本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin（ωx+φ）的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题．17．已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用x的范围确定x﹣的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin （x﹣）的值，进而根据sinx=sin[（x﹣）+]利用两角和公式求得答案（2）利用x的范围和（1）中sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，进而根据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，最后代入正弦的两角和公式求得答案．解答：解：（1）因为x∈（，），所以x﹣∈（），sin（x﹣）==．sinx=sin[（x﹣）+]=sin（x﹣）cos+cos（x﹣）sin=×+×=．（2）因为x∈（，），故cosx=﹣=﹣=﹣．sin2x=2sinxcosx=﹣，cos2x=2cos2x﹣1=﹣．所以sin（2x+）=sin2xcos+cos2xsin=﹣．点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用．考查了学生基础知识的掌握和基本运算能力．18．设{a n}为等比数列，a1=1，a2=3．（Ⅰ）求最小的自然数n，使a n≥2014；（Ⅱ）求和：．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）根据题意确定出a n通项公式，即可确定出最小的自然数n的值；（Ⅱ）根据题意列举出T2n，以及﹣T2n，两数相减即可确定出T2n．解答：解：（Ⅰ）由已知条件得a n=1•（）n﹣1=3n﹣1，∵36＜2014＜37，∴使a n≥2014成立的最小自然数n=8；（Ⅱ）∵T2n=﹣+﹣…﹣①，﹣T2n=﹣+﹣+…﹣+②，∴①﹣②得：T2n=1﹣+﹣+…+﹣=﹣=，则T2n=．点评：此题考查了数列的求和，以及等比数列的通项公式，求和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．19．设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．考点：数列递推式；数列的概念及简单表示法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）依题意得S n+1=2S n+3n，由此可知S n+1﹣3n+1=2（S n﹣3n）．所以b n=S n﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由题设条件知S n=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，a n=S n﹣S n﹣1=，由此可以求得a的取值范围是[﹣9，+∞）．解答：解：（Ⅰ）依题意，S n+1﹣S n=a n+1=S n+3n，即S n+1=2S n+3n，由此得S n+1﹣3n+1=2S n+3n﹣3n+1=2（S n﹣3n）．因此，所求通项公式为b n=S n﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（Ⅱ）由①知S n=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n+（a﹣3）×2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）×2n﹣2=2×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2，a n+1﹣a n=4×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=，当n≥2时，⇔a≥﹣9．又a2=a1+3＞a1．综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．点评：本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．20．已知函数f（x）=ln（ax）﹣（a≠0）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有1+++…+≥ln（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与不等式的综合．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I）由题意知a≠0，先对函数求导，分a＞0，a＜0讨论函数的定义域及单调区间，从而确定最值．（II）当a=1时由（I）知函数f（x）的定义域（0，+∞），在（0，1）是减函数，[1，+∞）是增函数，从而有≥1﹣lnx=ln，分别把x=1，2，3…代入不等式相加可证（III）假设存在满足条件的直线与函数相切，根据导数的几何意义，求出切线方程，结合导数的知识推导．解答：（Ⅰ）解：由题意f′（x）=．当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，f min（x）=f（a）=lna2，无最大值．当a＜0时，函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），此时函数在（﹣∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，f min（x）=f（a）=lna2，无最大值．（Ⅱ）证明：取a=1，由（1）知f（x）=lnx﹣≥f（1）=0，故≥1﹣lnx=ln，取x=1，2，3，…，则1+++…+≥ln（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）解：假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x0，lnx0﹣），切线方程：y+1=（x﹣1），将点T坐标代入得：lnx0﹣=，即lnx0+﹣﹣1=0，①设g（x）=lnx+﹣﹣1，则g′（x）=．∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，故g（x）极大值=g（1）=1＞0，g（x）极小值=g（2）=ln2+＞0．又g（）=ln+12﹣16﹣1=﹣ln4﹣3＜0，注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在（，1）内有且仅有一根所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．点评：本题考查了导数的应用：利用导数研究函数单调区间及求最值问题，而对不等式的证明问题，主要是结合函数的单调性，对于存在性问题，通常是先假设存在，由假设出发进行推导，若推出矛盾，说明假设错误，即不存在，反之说明存在．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作天津南开中学2016届高三第五次月考数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题纸上。

答题时，务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8题，共40分。

一、选择题：（1）i 是虚数单位，复数7i34i+=- （A ）1i -（B ）1i -+ （C ）1731i 2525+（D ）1725i 77-+（2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数3z x y =+的最小值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）设2:320p x x -+>，21:02x q x ->-，则p 是q（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递减区间是（A ）()0,+¥（B ）(),0-¥（C ）()2,+¥ D ）(),(2,2,)¥--+?（5）阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16（6）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 若113,0,4m m m S S S -+=-==，则m =（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（7）在△ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC =，点P 为△ABC 内一点，若90BPC ∠=︒，1PB =，则PA =（A ）43-（B ）72（C ）7（D ）1 （8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF?，23CE CF?-，则l m ? k =0,S =1k <3 开始 结束是否 k =k +1 输出S S =S ×2k（第5题图）（A ）16（B ）23（C ）56（D ）7122015~2016年度南开中学高三第五次月考数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

南开中学高三数学模拟试卷(理科)参考答案一、选择题:二、填空题:三、解答题：15.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道 题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是2,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分，答错一•题(不答视为答错)得0分.(I) 求乙的得分X 的分布列和数学期望E(X )；(II) 规定：每个人至少得2()分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过 测试的概率.16.【解】设乙的得分为X, X 的可能值有0,10, 20,30 (1)分 ~\ cJ 1~ \ C/C? 9 玖X = 0)= —= —P{X = 10)= '・•=— C/20 C;20VvP(X = 20) == — Pjx = 30)=空=丄 ......................... 5 分 20 C/ 20VV乙得分的分布列为：1 99 £Y = 0x — +10x — +20x —20 20 20+ 30 x A = 1520所以乙得分的数学期望为15 ............................................ 8分⑵乙通过测试的概率为刃...................................... 9分甲通过测试的概率为刁+訂(尹；=善1A分1 212。

甲、乙都没通过测试的概率为(1 - 1) . (1 -—)=—2 125 125因此甲、乙两人中至少4人通过测试的概率为】-总=豈………“16.已知函数/(x) = 2A /3sin x cos x-2cos 2x + 1. (I )求函数/(兀)的最小正周期及单调递增区间；A(II)在\ABC 中，d,b,c 分别为角A 9B,C 所对的边，若/(y) = 2, fe = l, c = 2,求 a 的值. 16.解：(I ) fix)=羽 sin lx 一 cos 2x............. 2 分rr TT rr由 2k;r - - < 2x - - < 2心T + 二得,2 6 271x < kz + —(keZ h ........... 了分3rr故f(x)的单调超増区间为；后-二k7l6&分A jr jr(II) /(-) = 2,则2sin(A 一一) = 2 => sin(A 一一) = 1 ....................... 9 分 2 6 6 71 7T 2/r/. A-- = -+ 2kg A = — + 2kgk G Z ............. 10^ 6 2 3 乂0 v A <%,・•• A =互 ................. 11 分3a 2 =b 2 +c 2 -2hc cos A = 7 ..................... 12 分a =.................. 13 分17.如图，在三棱柱ABC-A.B, G 中，AA.C.C 是边t 为4的正方形，.平丄平面 AA|C]C, AB — 3 , BC = 5 .(I) 求证：AA 丄平面ABC ； (II) 求二面角A - BG- 的余弦值；(III) 证明:在线段BC X 存在点D ，使得AD 丄A.B , 并求竺的值. BC.解：(I )因为AAiCjC 为正方形，所以AA|丄AC.因为平面ABC 丄平面AA.CjC,且AAj 垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 】丄平面ABC. (II)由(I)知 AAI 丄AC, AAi 丄AB.由题知 AB=3, BC=5, AC=4,所以 AB 丄AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A —兀yz,则 B(0, 3, 0),A|(0, 0, 4),B ((0, 3, 4),C )(4, 0, 4), 设平面A 】BC]的法向量为n = (x,y,z),则＜ 皿3 = 0 n • A l C [ = 0 3y-4z = 0 4x = 0令 z = 3,则兀=0, y = 4,所以n - (0,4,3). 同理可得,平而BB,C 1的法向量为皿=(3,4,0).,所以cos(/z,m} = n m=—.由题知二面角Aj —BCj —Bj 为锐角,' '\n\\m\ 25 ...................................................所以二而角A| —BC| —B|的余弦值为一.25(III)设 D(x,y,z)是直线 BC1 ± 一点，且=所以 g-3,z) = 2(4,-3,4) •解得x = 42 f y = 3 — 3A f z = 4A.所以 而= (42,3 - 3入 4/1).由X5•丽=0,即9一252 = 0.解得2 = 2.125 9因为—6[0,1],所以在线段BC 】上存在点D,25使得AD 丄A|B.此时，丝=1BC, 252 218-如图’已知椭圆吟+斧1心＞。

2017年天津市南开中学高三理科下学期第五次月考数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合，集合，则A. B.C. D.2. 设变量，满足约束条件则目标函数的最大值是A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为A. B. C. D.4. 在的二项展开式中，项的系数为A. B. C. D.5. 已知，是两条互相垂直的直线，是平面，则是的条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要6. 已知双曲线，，为双曲线的左右顶点，若点在双曲线上，且满足为一个顶角为的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.7. 设实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为A. B. C. D.8. 若函数与的图象恰好有两个公共点，则实数的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 设为虚数单位，则．10. 已知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点横坐标为，则．11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为．12. 设是公差不为的等差数列的前项和，且，，成等比数列，则等于．13. 函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于．14. 已知是外接圆的圆心，若，则．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数的图象过点．（1）求的值；（2）在中，角，，的对边分别是、、．若，求的取值范围．16. 是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在微克立方米以下空气质量为一级；在微克立方米微克立方米之间空气质量为二级；在微克立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区年全年每天的监测数据中随机抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）从这天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（2）从这天的数据中任取天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列；（3）以这天的的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．17. 如图，直三棱柱中，，，是棱上的点，．（1）求证：为的中点；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在边界及内部是否存在点，使得面，若存在，说明的位置，若不存在，说明理由．18. 设椭圆的左、右焦点分别为，．点满足．（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于，两点，若直线与圆相交于，两点，且，求椭圆的方程．19. 记，对数列和的子集，若，定义；若，定义．例如：时，．现设是公比为的等比数列，且当时，．（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）对任意正整数，若，记数列的前项和为，求证：．20. 已知函数，．（1）若在上的最大值为，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）在（1）的条件下，设．对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形（为坐标原点），且此三角形斜边中点在轴上?请说明理由．答案第一部分1. C 【解析】根据题意，或，则或，则，，，则．2. D 【解析】约束条件不等式组表示的平面区域如图所示，当直线过点时，取得最大值，由可得，则在轴上截距最小，此时取得最大值．3. B 【解析】循环一次，，，；循环二次，，；循环三次，，．4. B 【解析】通项公式，令，解得．所以项的系数为．5. D【解析】若，则与可能平行，可能相交，故不一定成立，若，因为，则或，则必要性不成立，故是的既不充分也不必要条件．6. A 【解析】根据题意，双曲线，如图所示，，，过点作轴，垂足为，则，在中，，，即有，，故点的坐标为；将点的坐标代入双曲线方程可得：，化简可得：，即双曲线的方程为：，其双曲线的渐近线方程为：．7. C 【解析】因为，，，则，，所以．8. C 【解析】令得，显然为方程的一个解，当时，，令，所以，所以当时，，当时，，所以在，上单调递增，在，上单调递减，所以当时，取得最小值．作出的函数图象如图所示：或．实数的取值范围是．第二部分9.【解析】．10.【解析】根据题意，抛物线的参数方程为其普通方程为，为顶点在原点、开口向右、对称轴是轴的抛物线，其焦点坐标为，准线的方程为；则由抛物线的定义可得，再由，可得为等边三角形．设点的坐标为，则点的坐标为，把点的坐标代入抛物线的方程可得，即，再由，可得，而，解可得．11.【解析】由已知三视图得到几何体是两个底面边长为的正方形的四棱锥对底放置的几何体，所以其几何体体积为，其外接球的半径为，所以体积为，因此体积之比为．12.【解析】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得，即，解得，因为，所以．所以．13.【解析】因为为曲线上的点，设过点处的切线的斜率为，则，所以过点处的切线方程为：，即．所以与函数围成的图形如图：由得二曲线交点，，又，与直线，轴围成的区域的面积，所以与函数围成的图形的面积为：．14.【解析】由是外接圆的圆心，则，由，且．平方可得，解得：，由，则，则．第三部分15. （1）由已知，得由在的图象上，得解得．（2）由已知及正弦定理，得由两角和的正弦公式，得即由，得，则有．又由，得，从而．由，得从而因此，的取值范围是．16. （1）记“从这天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”为事件，则．（2）依据条件，服从超几何分布，其中，，，的可能值为，，，，其分布列为：，其中．（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为，一年中空气质量达到一级的天数为，则，所以（天），所以一年中平均有天的空气质量达到一级．17. （1）根据题意以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，设为，所以，，，，所以，，因为，所以，解得，即，所以为的中点．（2），，设面的法向量，则设，得，设直线与平面所成角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．（3）设，，，，所以，因为面，所以，所以解得因为，所以在边界及内部不存在点，使得面．18. （1）设，．由题得，即，整理得，得（舍），或，所以．（2）由（1）知，，可得椭圆方程为，直线方程为．，的坐标满足方程组消并整理得，解得，得方程组的解为不妨设，．所以，于是．圆心到直线的距离，因为，所以，整理得（舍）或．所以椭圆方程为．19. （1）由已知可得，于是当时，，解得，则，．（2），，，可得即．（3）证法一、由，可得则证法二、，由，可得，则．故．20. （1）由，得，令，得或列表如下：递减极小值递增极大值递减由，，所以，即最大值为，所以．（2）由，得．因为，所以，且等号不能同时取，所以，即，所以恒成立，即令，，求导得当时，，，，从而，所以在上为增函数，所以，所以．（3）存在．由条件，，假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，不妨设，则，且．因为是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，所以，所以，是否存在，等价于方程在且时是否有解．若时，方程为，化简得，此方程无解．若时，方程为，即，设，则，显然，当时，，即在上为增函数，所以的值域为，即，所以当时，方程总有解．所以对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．。

2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．240 C．276 D．3002．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个：①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．②④3．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A．2 B．1 C．D．5．已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．26．已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x2=2py （p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A．x2=y B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y7．抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．8．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题0分，共30分．）015春•天津校级月考）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n+1（n∈N*），且a1=1，则通项公式a n=．1015春•天津校级月考）圆心在直线x﹣2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（﹣2，0）、B （﹣4，0），则圆C的方程为．1015春•天津校级月考）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•=．1015春•天津校级月考）已知cos（x﹣）=﹣，则cosx+cos（x﹣）=．1015春•天津校级月考）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有三个公共点，则实数c的取值范围是．1015春•天津校级月考）点F是椭圆E：的左焦点，过点F且倾斜角是锐角的直线l与椭圆E交于A、B两点，若△AOB的面积为，则直线l的斜率是．三、解答题：（15-18每小题0分，19-20每小题0分，共80分．）1015春•天津校级月考）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．1013•铁岭模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA 成等差数列，（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求2sin2A+cos（A﹣C）的范围．1014•东莞二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．1014•河北区三模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．1014•天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．2013•和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（﹣4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求•的取值范围．2014-2015学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．240 C．276 D．300考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；下部是棱长为6的正方体，所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，即：5×6×6+4××4=240．故选B．点评：本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力．2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个：①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．②④考点：的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假．解答：解：①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，如图，则α与β不一定垂直，故①为假；②若m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则α∥β；故②为真；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故③为真；④若m∥α，n∥β，m∥n，如图，则α与β可能相交，故④为假．故选B．点评：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．3．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．4．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A．2 B．1 C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解：不等式组表示的区域如图，当M取得点A（3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．5．已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，F2F1=2c，AF1=c，AF2=c，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=c﹣c=2a，变形可得离心率的值．解答：解：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，由焦距的意义可知F2F1=2c，AF1=c，由勾股定理可知AF2=c，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=2a，即c﹣c=2a，变形可得双曲线的离心率==+1故选：C．点评：本题考查双曲线的性质，涉及直角三角形的性质，属中档题．6．已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x2=2py （p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A．x2=y B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．解答：解：∵双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，∴c=2a，即=4，∴，双曲线的一条渐近线方程为：．抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，∴2=，∵，∴p=8．∴抛物线C2的方程为x2=16y．故选：D．点评：本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．7．抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x 取直线与抛物线交点M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p 的关系，把M 点的坐标代入直线方程即可求得p 的值．解答： 解：由，得x 2=2py （p ＞0），所以抛物线的焦点坐标为F （）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M （），则C 1在点M 处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M 点得M （）把M 点代入①得：．解得p=．故选：D ．点评： 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．8．已知椭圆E ：的右焦点为F （3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．点评：熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．二、填空题：（每小题0分，共30分．）015春•天津校级月考）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n+1（n∈N*），且a1=1，则通项公式a n=．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过a n+1=S n+1﹣S n，可得该数列从第2项起的公比为，进而可得结论．解答：解：∵S n=2a n+1（n∈N*），∴S n+1=2a n+2，两式相减得：a n+1=2a n+2﹣2a n+1，整理得：=，又∵a1=1，∴a1+a2=2a2，即a2=，∴，故答案为：．点评：本题考查求数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．1015春•天津校级月考）圆心在直线x﹣2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（﹣2，0）、B （﹣4，0），则圆C的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=5．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由条件求得圆心的坐标为C（﹣3，2），半径r=|AC|=，从而得到圆C的方程．解答：解析：直线AB的中垂线方程为x=﹣3，代入直线x﹣2y+7=0，得y=2，故圆心的坐标为C（﹣3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=，∴圆C的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x+3）2+（y﹣2）2=5点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．1015春•天津校级月考）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•= 1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得||=||=2，且与的夹角∠BAD=60°，用与作基底表示要求的向量，由数量积的运算可得．解答：解：由题意可得||=||=2，且与的夹角∠BAD=60°，由向量的运算可得=+=+，=﹣，∴•=（+）•（﹣）=﹣﹣=22﹣×2×2×﹣×22=1故答案为：1点评：本题考查平面向量的数量积，涉及平面向量基本定理，属基础题．1015春•天津校级月考）已知cos（x﹣）=﹣，则cosx+cos（x﹣）=﹣1．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由和差角的三角函数公式可得cosx+cos（x﹣）=cosx+cosx+sinx=cos（x﹣），代入已知数据可得．解答：解：∵cos（x﹣）=﹣，∴cosx+cos（x﹣）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x﹣）=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．1015春•天津校级月考）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有三个公共点，则实数c的取值范围是（﹣2，2）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：由题意，根据根的存在性定理知，只需使函数f（x）的极大值与极小值符号相反即可．解答：解：令f′（x）=3x2﹣3=0解得，x=1或x=﹣1，∵函数f（x）=x3﹣3x+c的图象与x轴恰好有三个不同的公共点，∴f（1）f（﹣1）＜0，即（c﹣2）（c+2）＜0，则﹣2＜c＜2，故答案为：（﹣2，2）．点评：本题考查了函数的图象与性质，利用导数求极值及根的存在性定理．1015春•天津校级月考）点F是椭圆E：的左焦点，过点F且倾斜角是锐角的直线l与椭圆E交于A、B两点，若△AOB的面积为，则直线l的斜率是．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆的a，b，c，求得F的坐标，设直线AB：x=my﹣4，（m＞0），代入椭圆方程，可得（25+9m2）y2﹣72my﹣81=0，运用韦达定理，由△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|=，两边平方，化简整理，解方程即可得到m，进而得到直线l的斜率．解答：解：椭圆E：的a=5，b=3，c=4，则F（﹣4，0），设直线AB：x=my﹣4，（m＞0），代入椭圆方程，可得（25+9m2）y2﹣72my﹣81=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2=，y1y2=，则|y1﹣y2|2=（y1+y2）2﹣4y1y2=（）2﹣4•=，则△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|=，两边平方可得，16•=81，解得m=，即有直线l的斜率为，故答案为：．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题：（15-18每小题0分，19-20每小题0分，共80分．）1015春•天津校级月考）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，利用古典概型的概率公式求解即可．（Ⅱ）X的取值可能是2，3，4，5，分别分别求出概率得到分布列，然后求解期望即可．解答：解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的取值为2，3，4，5．=，=，=，=．所以X的分布列为X 2 3 4 5PX的数学期望EX=2×+3×+4×=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查计算能力．1013•铁岭模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA 成等差数列，（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求2sin2A+cos（A﹣C）的范围．考点：正弦定理；等差数列；三角函数的定义域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据等差数列的性质可知acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sinB=2sinBcosB，求得cosB，进而求得B．（Ⅱ）先利用二倍角公式对原式进行化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的单调性求得2sin2A+cos（A﹣C）的范围．解答：解：（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，即：sin（A+C）=sinB，∴sinB=2sinBcosB，又在△ABC中，sinB≠0，∴，∵0＜B＜π，∴；（Ⅱ）∵，∴∴==，∵，∴∴2sin2A+cos（A﹣C）的范围是．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键就是利用了正弦定理把边的问题转化成了角的问题，利用三角函数的特殊性质求得答案．1014•东莞二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；（II）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．（III）假设在线段AB上，存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，然后以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空间向量的坐标运算求出a值，即可得出结论．解答：证明：（Ⅰ）连结AC∩BD=F，ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点．∴在△CPA中，EF∥PA…（2分）且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD…（4分）（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩面ABCD=ADABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD所以CD⊥平面PAD．∴CD⊥PA…（6分）又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=90°即PA⊥PDCD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC∴PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC．…..（9分）（Ⅲ）如图，取AD的中点O，连结OP，OF．∵PA=PD，∴PO⊥AD．∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．∵PA=PD=AD，∴PA⊥PD，OP=OA=1．以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有A（1，0，0），F（0，1，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1）．若在AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，连结PG，DG设G（1，a，0）（0≤a≤2）．由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为=（1，0，﹣1）．设平面PGD的法向量为=（x，y，z）．∵=（1，0，1），=（﹣2，﹣a，0），∴由，=0可得，令x=1，则y=﹣，z=﹣1，故=（1，﹣，﹣1），∴cos==，解得，a=．所以，在线段AB上存在点G（1，，0），使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为．…（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用及二面角的平面角及求法，考查逻辑推理能力．1014•河北区三模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=﹣1，f（1）=，进而可得方程，化为一般式即可；（Ⅱ）可得x=为函数的临界点，分≤1，1＜＜e，，三种情形来讨论，可得最值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，不合题意，当1＜a＜e2时，需，解之可得a的范围．解答：解：（I）当a=2时，f（x）=，f′（x）=x﹣，∴f′（1）=﹣1，f（1）=，故f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）化为一般式可得2x+2y﹣3=0…..（3分）（Ⅱ）求导数可得f′（x）=x﹣=由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=，①若≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，因此，f（x）在区间[1，e]的最小值为f（1）=．②若1＜＜e，即1＜a＜e2，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（）=，③若，即a≥e2在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，因此，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=．综上，当0＜a≤1时，f min（x）=；当1＜a＜e2时，f min（x）=；当a≥e2时，f min（x）=．…．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则即，此时，e＜a＜．所以，a的取值范围为（e，）…..（13分）点评：本题考查利用导数研究函数的切线，涉及函数的零点和闭区间的最值，属中档题．1014•天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．由此能证明{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．从而求出a n=．（2）由（1）知=（n+1）•（）n，利用错位相减法能求出T n=3﹣．再用数学归纳法能证明n∈N*且n≥3时，T n＞．（3）由a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn可求得c n，对任意n∈N+，都有c n+1＞c n即c n+1﹣c n＞0恒成立，整理可得（﹣1）n﹣1•λ＜（）n﹣1，分n为奇数、偶数两种情况讨论，分离出参数λ后转化为函数最值即可解决．解答：（1）证明：在S n=﹣a n﹣+2（n∈N*）中，令n=1，得S1=﹣a1﹣1+2=a1，解得a1=，当n≥2时，S n﹣1=﹣a n﹣1﹣（）n﹣2+2，∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n+a n﹣1+（）n﹣1，∴2a n=a n﹣1+（）n﹣1，即2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．∵b n=2n a n，∴b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1，又b1=2a1=1，∴{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，∴a n=．（2）证明：∵，∴=（n+1）•（）n，∴T n=2×+3×（）2+…+（n+1）×（）n，①=2×（）2+3×（）3+…+（n+1）×（）n+1，②①﹣②，得：=1+=1+﹣（n+1）•（）n+1=，∴T n=3﹣．∴T n﹣=3﹣=，∴确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．下面用数学归纳法证明n∈N*且n≥3时，T n＞．①当n=3时，23＞2×3+1，成立②假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立，则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1，∴当n=k+1时，也成立．于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立∴n∈N*且n≥3时，T n＞．（3）由，得=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，∴c n+1﹣c n=[3n+1+（﹣1）n•λ•2n+1]﹣[3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n]=2•3n﹣3λ（﹣1）n﹣1•2n＞0，∴，①当n=2k﹣1，k=1，2，3，…时，①式即为λ＜，②依题意，②式对k=1，2，3…都成立，∴λ＜1，当n=2k，k=1，2，3，…时，①式即为③，依题意，③式对k=1，2，3…都成立，∴，∴，又λ≠0，∴存在整数λ=﹣1，使得对任意n∈N*有c n+1＞c n．点评：本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识，考查恒成立问题，考查转化思想，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．2013•和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（﹣4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求•的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由抛物线x2=4得焦点．设椭圆方程为．由题意可得，再利用及a2=b2+c2即可得出；（2）由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系．设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，﹣y1）．直线BE的方程为．把y1，y2分别用x1，x2表示，在代入直线BE的方程即可得出；（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及判别式，再利用向量的数量积，即可得出其其中范围．当过点M的直线斜率不存在时，比较简单．解答：（1）解：由抛物线x2=4得焦点．设椭圆方程为．由题意可得，解得，∴椭圆的方程为．（2）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），联立，消去y得到（4k2+3）x2+32k2x+64k2﹣12=0 ①设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，﹣y1）．直线BE的方程为．令y=0，则，把y1=k（x1+4），y2=k（x2+4）代入上式并整理得．②由①得，，将其代入②并整理得．∴直线BE与x轴相交于定点M（﹣1，0）．（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，联立得（4m2+3）x2+8m2x+4m2﹣12=0，则△=（8m2）2﹣4（4m2+3）（4m2﹣12）=144（m2+1）＞0．∴，，∴=m2（x3x4+x3+x4+1）=﹣．∴=x3x4+y3y4==﹣．由m2≥0得．当过点M的直线斜率不存在时，直线ST的方程为x=﹣1，，，此时，，∴•的取值范围为．点评：本题综合考查了椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、直线过定点问题、向量相等及其数量积等基础知识及基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．。

天津市南开中学2017-2018学年高三下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（）A．（，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（﹣，﹣）3．已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．1104．要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位5．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数6．在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．7．已知函数，把方程f（x）=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A．（n∈N*）B．a n=n（n﹣1）（n∈N*）C．a n=n﹣1（n∈N*）D．a n=2n﹣2（n∈N*）8．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[2，+∞）C．（0，3]D．（0，2]二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为．10．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，﹣1），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角B=．11．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前项和，则使得S n 达到最大值的是．12．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S10等于．13．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．14．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ．若=1，•=﹣，则λ+μ=．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．16．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．18．设{a n}为等比数列，a1=1，a2=3．（Ⅰ）求最小的自然数n，使a n≥2014；（Ⅱ）求和：．19．设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=ln（ax）﹣（a≠0）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有1+++…+≥ln（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．天津市南开中学2017-2018学年高三下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：正切函数的图象．专题：计算题．分析：根据当时成立判断是成立的充分条件，当tanθ=0时不成立，进而可判断是成立的不必要条件．解答：可知充分，当θ=0°时可知不必要．故选A点评：本题主要考查了充分、必要条件的判定．属基础题．2．已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（）A．（，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（﹣，﹣）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：设出要求的向量的坐标，根据向量之间的平行和垂直关系，写出两个关于x，y的方程，组成方程组，解方程组得到变量的值，即求出了向量的坐标．解答：解：设=（x，y），则+=（x+1，y+2），+=（3，﹣1）．∵（+）∥，⊥（+），∴2（y+2）=﹣3（x+1），3x﹣y=0．∴x=﹣，y=﹣，故选D点评：本题考查向量平行和垂直的充要条件，认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了形与数的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．3．已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110考点：等差数列的前n项和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出解答：解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3•a9，∵{a n}公差为﹣2，∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10==110故选D点评：本题是基础题，考查等差数列的前n项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．4．要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=sinx=cos（x﹣），再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由于函数y=sinx=cos（x﹣），故只需将函数的图象象右平移可得函数y=cos（x﹣）的图象，故选A．点评：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于中档题．5．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数考点：正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，且当x=时，f（x）取得最大值，代入可得，2sin（φ）=2，结合已知﹣π＜φ≤π可得φ=可得，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可解答：解：∵函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，∴f（x）=2sin（φ），∵当x=时，f（x）取得最大值，∴2sin（φ）=2，φ=+2kπ，∵﹣π＜φ≤π，∴φ=，∴，由可得函数的单调增区间：，由可得函数的单调减区间：，结合选项可知A正确，故选A．点评：本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式，还考查了函数y=Asin （ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间的求解，属于对基础知识的考查．6．在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．解答：解：∵∠ABC=，AB=，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5，∴AC=，则由正弦定理=得：sin∠BAC==．故选C点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．7．已知函数，把方程f（x）=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A．（n∈N*）B．a n=n（n﹣1）（n∈N*）C．a n=n﹣1（n∈N*）D．a n=2n﹣2（n∈N*）考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…其通项公式为a n=n﹣1．解答：解：若0＜x≤1，则﹣1＜x﹣1＜0，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，若1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1若2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2若3＜x≤4，则2＜x﹣1＜3，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3以此类推，若n＜x≤n+1（其中n∈N），则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，下面分析函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点很显然，它们有两个交点（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…其通项公式为a n=n﹣1；故选C．点评：本题考查数列的递推公式的合理运用，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．8．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[2，+∞）C．（0，3]D．（0，2]考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：利用函数图象对称的公式，求得f（x）=2﹣h（﹣x）=，由此可得g（x）=x+．然后对函数g（x）求导数，并讨论导数g'（x）在区间（0，2]恒小于或等于0，即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，∴f（x）=2﹣h（﹣x）=2﹣（）=由此可得=x+，对g（x）求导数，得g'（x）=1﹣∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，∴g'（x）=1﹣≤0在区间（0，2]恒成立，即≥1，可得x2≤a+1∴x2的最大值小于或等于a+1，即a+1≥4，a≥3故选A点评：本题用导数为工具讨论函数的单调性，着重考查了函数的单调性、函数图象的对称性质和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：用平方差公式分解要求的算式，用同角的三角函数关系整理，把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论．解答：解：sin4α﹣cos4α=sin2α﹣cos2α=2sin2α﹣1=﹣，故答案为：﹣．点评：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的．10．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，﹣1），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角B=．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的积化和差公式．专题：常规题型；压轴题．分析：由向量数量积的意义，有，进而可得A，再根据正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=sinC sinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得sinC=sin2C，可得C，由A、C的大小，可得答案．解答：解：根据题意，，由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，又由sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，化简可得，sinC=sin2C，则C=，则，故答案为．点评：本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．11．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前项和，则使得S n 达到最大值的是20．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列的通项公式表示出特设中的等式，联立求得a1和d，进而求得a20＞0，a21＜0，判断数列的前20项为正，故可知数列的前20项的和最大．解答：解：设等差数列公差为d，则有解得a1=39，d=﹣2∴a20=39﹣2×19=1＞0，a21=39﹣2×20=﹣1＜0∴数列的前20项为正，∴使得S n达到最大值的是20故答案为20点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是判断从数列的哪一项开始为负．12．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S10等于．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过裂项可得a n=（﹣），并项相消计算即可．解答：解：∵=（﹣），∴S10=[（1+++…++）﹣（+++…++）]=（1+﹣﹣）=•=，故答案为：．点评：本题考查求数列的和，注意解题方法的积累，属于基础题．13．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．考点：数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．解答：解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．14．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ．若=1，•=﹣，则λ+μ=．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．解答：解：由题意可得若•=（+）•（+），=•+•+•+•=2×2×cos120°+•μ+λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）=•=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为﹣15，0，15，30．；；；．…乙得分的分布列如下：X ﹣15 0 15 30P．…（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B．则，…．…故甲乙两人至少有一人入选的概率．…点评：本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．16．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2sin（2x﹣），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（II）根据x∈，得﹣≤2x﹣≤．再由正弦函数在区间[﹣，]上的图象与性质，可得f（x）在区间上的最大值为与最小值．解答：解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）∴f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1 =2sin2x﹣2cos2x=2sin（2x﹣）因此，f（x）的最小正周期T==π；（II）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤∴当x=0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x=时，sin（2x﹣）取得最大值1 由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=﹣2．点评：本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin（ωx+φ）的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题．17．已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用x的范围确定x﹣的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin （x﹣）的值，进而根据sinx=sin[（x﹣）+]利用两角和公式求得答案（2）利用x的范围和（1）中sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，进而根据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，最后代入正弦的两角和公式求得答案．解答：解：（1）因为x∈（，），所以x﹣∈（），sin（x﹣）==．sinx=sin[（x﹣）+]=sin（x﹣）cos+cos（x﹣）sin=×+×=．（2）因为x∈（，），故cosx=﹣=﹣=﹣．sin2x=2sinxcosx=﹣，cos2x=2cos2x﹣1=﹣．所以sin（2x+）=sin2xcos+cos2xsin=﹣．点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用．考查了学生基础知识的掌握和基本运算能力．18．设{a n}为等比数列，a1=1，a2=3．（Ⅰ）求最小的自然数n，使a n≥2014；（Ⅱ）求和：．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）根据题意确定出a n通项公式，即可确定出最小的自然数n的值；（Ⅱ）根据题意列举出T2n，以及﹣T2n，两数相减即可确定出T2n．解答：解：（Ⅰ）由已知条件得a n=1•（）n﹣1=3n﹣1，∵36＜2014＜37，∴使a n≥2014成立的最小自然数n=8；（Ⅱ）∵T2n=﹣+﹣…﹣①，﹣T2n=﹣+﹣+…﹣+②，∴①﹣②得：T2n=1﹣+﹣+…+﹣=﹣=，则T2n=．点评：此题考查了数列的求和，以及等比数列的通项公式，求和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．19．设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．考点：数列递推式；数列的概念及简单表示法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）依题意得S n+1=2S n+3n，由此可知S n+1﹣3n+1=2（S n﹣3n）．所以b n=S n﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由题设条件知S n=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，a n=S n﹣S n﹣1=，由此可以求得a的取值范围是[﹣9，+∞）．解答：解：（Ⅰ）依题意，S n+1﹣S n=a n+1=S n+3n，即S n+1=2S n+3n，由此得S n+1﹣3n+1=2S n+3n﹣3n+1=2（S n﹣3n）．因此，所求通项公式为b n=S n﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（Ⅱ）由①知S n=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n+（a﹣3）×2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）×2n﹣2=2×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2，a n+1﹣a n=4×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=，当n≥2时，⇔a≥﹣9．又a2=a1+3＞a1．综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．点评：本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．20．已知函数f（x）=ln（ax）﹣（a≠0）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有1+++…+≥ln（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与不等式的综合．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I）由题意知a≠0，先对函数求导，分a＞0，a＜0讨论函数的定义域及单调区间，从而确定最值．（II）当a=1时由（I）知函数f（x）的定义域（0，+∞），在（0，1）是减函数，[1，+∞）是增函数，从而有≥1﹣lnx=ln，分别把x=1，2，3…代入不等式相加可证（III）假设存在满足条件的直线与函数相切，根据导数的几何意义，求出切线方程，结合导数的知识推导．解答：（Ⅰ）解：由题意f′（x）=．当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，f min（x）=f（a）=lna2，无最大值．当a＜0时，函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），此时函数在（﹣∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，f min（x）=f（a）=lna2，无最大值．（Ⅱ）证明：取a=1，由（1）知f（x）=lnx﹣≥f（1）=0，故≥1﹣lnx=ln，取x=1，2，3，…，则1+++…+≥ln（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）解：假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x0，lnx0﹣），切线方程：y+1=（x﹣1），将点T坐标代入得：lnx0﹣=，即lnx0+﹣﹣1=0，①设g（x）=lnx+﹣﹣1，则g′（x）=．∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，故g（x）极大值=g（1）=1＞0，g（x）极小值=g（2）=ln2+＞0．又g（）=ln+12﹣16﹣1=﹣ln4﹣3＜0，注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在（，1）内有且仅有一根所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．点评：本题考查了导数的应用：利用导数研究函数单调区间及求最值问题，而对不等式的证明问题，主要是结合函数的单调性，对于存在性问题，通常是先假设存在，由假设出发进行推导，若推出矛盾，说明假设错误，即不存在，反之说明存在．。

2018年天津市高三下学期第五次月考理数试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知：,则：，.本题选择C选项.2. 若，满足条件则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D3. 已知命题：，；命题：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B点睛：(1)在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题．(2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变．(3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例．(4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．4. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C5. 在等差数列中，，设数列的前项和为，则（）A. 18B. 99C. 198D. 297【答案】C【解析】解析：因，故，应选答案C。

6. 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆：相切，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设切点为M,则EM∥PF1,又,所以|PF1|=4r=b,所以|PF2|=2a+b,因此b2+(2a+b)2=4c2，所以b=2a，所以渐近线方程为y=±2x.本题选择D选项.7. 设函数，若方程有12个不同的根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．8. 已知圆为的内切圆，，，，过圆心的直线交圆于，两点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D代入圆的方程可得，即有，则有，由1+k2⩾1可得，则有；同理当k>0时,求得综上可得,的取值范围是.本题选择D选项.第Ⅱ卷二、填空题（共6个小题，将答案填在答题纸上）9. 用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为__________．【答案】900考点：本题主要考查分层抽样。

天津市2017届高三数学下学期第五次月考试题 理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若全集U R =，集合{}|124x A x =<<，{}|20B x x =-≥，则()U A B =I ð（ ） A ．{}|12x x <<B ．{}|01x x <≤C ．{}|01x x <<D ．{}|12x x ≤<2.若x ，y 满足条件20,40,2,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2-3.已知命题p ：26x k ππ≠+，k Z ∈；命题q ：1sin 2x ≠，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．175.在等差数列{}n a 中，36954a a a ++=，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11S =（ ） A ．18B ．99C ．198D ．2976.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆E ：222()216c b x y -+=相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ．3y x =±D ．2y x =±7.设函数321()33f x x x x =+-，若方程2|()||()|10f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为（ ） A ．10(,2)3-- B ．(,2)-∞- C ．34215t -<<- D ．(1,2)- 8.已知圆O 为Rt ABC ∆的内切圆，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，过圆心O 的直线l 交圆O 于P ，Q 两点，则BP CQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围是（ ）A ．(7,1)-B ．[]0,1C ．[]7,0-D ．[]7,1-第Ⅱ卷二、填空题（共6个小题，将答案填在答题纸上）9.用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 ． 10.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于 3cm ．11.在7(3)x -的展开式中，5x 的系数是 （结果用数值表示）．12.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为32S c =，则ab 的最小值为 ． 13.若不等式222()x y cx y x -≤-对任意满足0x y >>的实数x ，y 恒成立，则实数c 的最大值为 ．14.设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E ，若||2||CF AF =，且ACE ∆的面积为32，则p 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数()4cos sin()(0)6f x x x πωωω=->的最小正周期是π．（Ⅰ）求函数()f x 在区间(0,)x π∈的单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 16.某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中男生的人数． （Ⅰ）请列出X 的分布列并求数学期望；（Ⅱ）根据所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，1BC =，2AB =，2PC PD ==，E 为PA 中点．（Ⅰ）求证：//PC 平面BED ； （Ⅱ）求二面角A PC D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM AC ⊥？若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由．18.对于数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1(1)n n n S n S a n +-+=++，111a b ==，132n n b b +=+，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2()(1)n n n a n c n b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19.已知1(3,0)F -，2(3,0)F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，OAB ∆的面积为1，OG sOA tOB =+u u u r u u u r u u u r（s ，t R ∈），当点G 在椭圆C 上运动时，试问22s t +是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出22s t +的取值范围． 20.已知函数ln()()x a f x x-=． （Ⅰ）若1a =-，证明：函数()f x 是(0,)+∞上的减函数；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值； （Ⅲ）若0x >，证明：ln(1)1x x xx e +>-（其中 2.71828e =…是自然对数的底数）．天津一中2017届高三年级五月考数学试卷（理科）答案一、选择题1-5:CDBCC 6-8:DCD 二、填空题9.900 10.6 1.5π+ 11.189 12.12 13.4 三、解答题15.解：（Ⅰ）函数()4cos sin()6f x x x πωω=-14cos sin cos )22x x x ωωω=-2cos 2cos 11x x x ωωω=-+-2cos 21x x ωω=--2sin(2)16x πω=--．且()f x 的最小正周期是22ππω=，所以1ω=，从而()2sin(2)16f x x π=--．令222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得63k x k ππππ-+≤≤+（k Z ∈）， 所以函数()f x 在(0,)x π∈上的单调递增区间为(0,]3π和5(,)6ππ．（Ⅱ）当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以72,61212x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，2sin(2)262x π⎤-∈⎥⎣⎦，所以当2612x ππ-=，即8x π=时，()f x 取得最小值１，当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值12-；所以()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-. 16.解：（Ⅰ）依题意得，随机变量X 服从超几何分布，随机变量X 表示其中男生的人数，X 可能取得值为0,1,2,3,4，464410()k k C C P X k C -⋅==，0,1,2,3,4.k =∴X 的分布列为：（Ⅱ）由分布列可知至少选3名男生， 即8119(3)(3)(4)211442P X P X P X ≥==+==+=． 17.（Ⅰ）证明：设AC 与BD 的交点为F ，连接EF . 因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点， 在PAC ∆中，由已知E 为PA 中点， 所以//EF PC ，又EF ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ， 所以//PC 平面BED .（Ⅱ）解：取CD 中点O ，连接PO . 因为PCD ∆是等腰三角形，O 为CD 的中点， 所以PO CD ⊥，又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， 因为PO ⊂平面PCD ，PO CD ⊥， 所以PO ⊥平面ABCD ． 取AB 中点G ，连接OG ， 由题设知四边形ABCD 为矩形， 所以OF CD ⊥， 所以PO OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(0,1,0)D -，(1,1,0)B ，(0,0,0)O ，(1,0,0)G .(1,2,0)AC =-u u u r ，(0,1,1)PC =-u u u r.设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则0,0,n AC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r即20,0.x y y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，则1y =，2x =，所以(2,1,1)n =r. 平面PCD 的法向量为(1,0,0)OG =u u u r，设n r ，OG u u u r 的夹角为α，所以6cos α=.由图可知二面角A PC D --为锐角， 所以二面角A PC B --的余弦值为6. （Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在[]0,1λ∈使得PM PC λ=u u u u r u u u r． 因此点(0,,1)M λλ-，(1,1,1)BM λλ=---u u u u r ，(1,2,0)AC =-u u u r．由0BM AC ⋅=u u u u r u u u r ，即12λ=．因为[]10,12λ=∈，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥，此时12PM PC λ==．18.解：（Ⅰ）由1(1)n n n S n S a n +-+=++， ∴121n n n S S a n +-=++，∴121n n a a n +-=+， ∴21111a a -=⨯+，32221a a -=⨯+，43231a a -=⨯+，…12(1)1n n a a n --=-+，以上各式相加可得：12[123(1)](1)n a a n n -=⨯++++-+-…， ∴2(11)(1)2(1)12n n n a n n +--=⨯+-+=，∴2n a n =，∵132n n b b +=+，即113(1)n n b b ++=+， ∵112b +=，∴数列{}1n b +是以2为首项，3为公比的等比数列，∴1123n n b -+=⨯， 即1231n n b -=⨯-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2112()2(1)1(1)(2311)3n n n n n a n n n c n b n --+++===+⨯-+， ∴12012123413333n n n n T c c c -+=+++=++++……， 231234133333n n n T +=++++...， ∴2312111112333333n n n n T -+=+++++- (1113321313)nn n -+=+--525223nn +=-⨯， ∴11525443n n n T -+=-⨯， ∴数列{}n c 的前n 项和11525443n n n T -+=-⨯． 19.解：（Ⅰ）由题意得c =当P 为短轴端点时，12PF F ∆面积取得最大值122b c ⋅⋅= 解得1b =，2a ==，即有椭圆的方程为2214x y +=． （Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2244x y +=，可得222(14)8440k x kmx m +++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，即有122814kmx x k+=-+，21224414m x x k -=+，1||||sin 2OAB S OA OB AOB ∆=⋅∠==12211||2x y x y =- 12211|()()|2x kx m x kx m =+-+121|()|2m x x =-1||12m ==， 化简可得22142k m +=．设(,)G x y ，由OG sOA tOB =+u u u r u u u r u u u r，可得12x sx tx =+，12y sy ty =+．又因为点G 在椭圆C 上，所以有221212()4()4sx tx sy ty +++=， 整理可得：22222211221212(4)(4)2(4)4s x y t x y st x x y y +++++=， 即为2212124()2(4)4s t st x x y y +++=．由1222x x m =-，124k x x m+=-， 可得121244()()y y kx m kx m =++2212124()k x x km x x m ⎡⎤=+++⎣⎦22222424(2)4()42k k km m m m m=⋅-+-+=-， 可得121240x x y y +=，即有221s t +=为定值．20.解：（Ⅰ）当1a =-时，函数()f x 的定义域是(1,0)(0,)-+∞U ，所以2ln(1)1'()xx x f x x -++=， 令()ln(1)1xg x x x =-++，只需证：0x >时，()0g x ≤． 又2211'()0(1)1(1)xg x x x x =-=-<+++， 故()g x 在(0,)+∞上为减函数，所以()(0)ln10g x g <=-=，所以'()0f x <，函数()f x 是(0,)+∞上的减函数．（Ⅱ）由题意知，1'()|1x f x ==，且2ln()'()xx a x a f x x---=，所以1'(1)ln(1)11f a a =--=-，即有ln(1)01aa a --=-，令()ln(1)1at a a a=---，1a <，则211'()0(1)1t a a a=+>--，故()t a 是(,1)-∞上的增函数，又(0)0t =，因此0是()t a 的唯一零点， 即方程ln(1)01aa a--=-有唯一实根0，所以0a =． （Ⅲ）因为ln 11x x x x e e e =--ln(11)1x xe e -+=-， 故原不等式等价于ln(1)ln(11)1x x x e x e +-+>-， 由（Ⅰ）知，当1a =-时，ln(1)()x f x x+=是(0,)+∞上的减函数， 故要证原不等式成立，只需证明：当0x >时，1xx e <-，令()1xh x e x =--，则'()10xh x e =->，()h x 在(0,)+∞上的增函数，所以()(0)0h x h >=，即1xx e <-，故()(1)xf x f e >-，即ln(1)ln(11)11x x xx e xx e e +-+>=--．。

天津南开中学2016届高三第五次月考数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题纸上。

答题时，务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8题，共40分。

一、选择题：（1）i 是虚数单位，复数7i34i+=- （A ）1i -（B ）1i -+ （C ）1731i 2525+（D ）1725i 77-+（2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数3z x y =+的最小值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）设2:320p x x -+>，21:02x q x ->-，则p 是q（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递减区间是（A ）()0,+¥（B ）(),0-¥（C ）()2,+¥ D ）(),(2,2,)¥--+?（5）阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为开始（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16（6）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 若113,0,4m m m S S S -+=-==，则m =（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（7）在△ABC 中，90ABC ∠=︒，AB =，2BC =，点P 为△ABC 内一点，若90BPC ∠=︒，1PB =，则PA =（A）4（B（C（D ）1 （8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?o ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF?u u u r u u u r，23CE CF?-u u u r u u u r ，则l m ? （A ）16（B ）23（C ）56（D ）7122015~2016年度南开中学高三第五次月考数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

天津一中2017-2018高三年级五月考数学试卷（理）一、选择题：1.已知集合{1,2,3,4}A =，{|32,}B y y x x A ==-∈，则A B ⋂=（ ） A ．{1} B ．{4} C ．{13}， D ．{14}，2.已知实数x ，y 满足不等式组310300x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最小值是（ ）A．2 B ．92C ．3D ．9 3.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）AB．0 D． 4.已知数列{}n a 是等差数列，m ，p ，q 为正整数，则“2p q m +=”是“2p q m a a a +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知圆C：22210x y x ++++=与双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．43D6.设0ω>，函数2cos()5y x πω=+的图象向右平移5π个单位长度后与函数2sin()5y x πω=+图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．12B ．32C ．52D ．727.设定义在R 上的函数()f x ，满足()1f x >，()3y f x =-为奇函数，且()'()1f x f x +>，则不等式ln(()1)ln 2f x x ->-的解集为（ ）A ．()1,+∞B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．()(),00,-∞⋃+∞D ．()0,+∞ 8.将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）A ．180B ．192C ．204D ．264 二、填空题：9.设复数z 满足)3i z i ⋅=，则z = ．10.已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是 ．11.在极坐标系中，直线l ：4cos()106πρθ-+=与圆C ：2sin ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为 ．12.如图，在ABC ∆中，已知3BAC π∠=，2AB =，3AC =，2DC BD =，3AE ED =，则BE AC ⋅= ．13.已知点(,)P x y 在椭圆222133x y +=上运动，则22121x y ++最小值是 ．14.已知函数2()f x x a a x=--+，a R ∈，若方程()1f x =有且只有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：15.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.16.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 3b A ac +=.（1）求cos B ；（2）如图，D 为ABC ∆外一点，若在平面四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，BC =AB 的长.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为等边三角形，AD CD ⊥，//AD BC ，且22AD BC ==，CD =，PB =E 为AD 中点.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若线段PC 上存在点Q ，使得二面角Q BE C --的大小为30，求CQCP的值； （3）在（2）的条件下，求点C 到平面QEB 的距离.18.已知数列{}n a 中，11a =，11,33,n n na n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数.（1）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ，并求满足0n S >的所有正整数n .19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点与其短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，点3(1,)2D 在椭圆上，直线y kx m =+与椭圆交于A ，P 两点，与x 轴，y 轴分别交于点N ，M ，且P M M N =，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B . （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得点N 平分线段11A B ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由.20.已知函数()(ln 1)f x x x k =--，k R ∈. （1）当1x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求实数k 的取值范围； （3）若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：212kx x e ⋅<.参考答案一、选择题1-5: DBAAB 6-8: CDC二、填空题9. 1+ 10. 1011.212.3413.9514.11,222⎛⎛⎫-+-∞⋃⎪⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题15.（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P，11651110101C CPC C=-⋅，解出即可.（2）顾客抽奖1次视为3次独立重复试验，判断出13,5X B⎛⎫⎪⎝⎭，求出概率，得到X的分布列，然后求出数学期望和方差.解析：（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P，11651110103071110010C CPC C=-⋅=-=.（2）设该顾客在一次抽奖中或一等奖的概率为1P，115411110102011005CCPC C=⋅==，13,5X B⎛⎫⎪⎝⎭. ()334645125P X C⎛⎫===⎪⎝⎭，()2131448155125P X C⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()2231412255125P X C⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()3331135125P X C⎛⎫===⎪⎝⎭，故X的分布列为数学期望355EX=⨯=.16.解：（1）在ABC∆中，由正弦定理得sin cos sin B A A C =，又()C A B π=-+，所以sin cos sin()B A A A B =+，故sin cos 3B A A +sin cos cos sin A B A B =+，所以sin cos sin 3A B A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，故cos B =. （2）∵2D B ∠=∠，∴21cos 2cos 13D B =-=-， 又在ACD ∆中，1AD =，3CD =，∴由余弦定理可得2222cos AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅11923()123=+-⨯⨯-=，∴AC =在ABC ∆中，BC =AC =cos 3B =， ∴由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即212623AB AB =+-⋅，化简得260AB --=，解得AB =故AB 的长为17.试题解析：（1）证明：连接PE ，BE ，∵PAD ∆是等边三角形，E 为AD 中点，∴PE AD ⊥，又∵2AD =，∴PE =，1DE =，∴//DE BC ，且DE BC =，∴四边形BEDC 为矩形，∴BE CD ==BE AD ⊥，∴222BE PE PB +=，∴PE BE ⊥，又∵AD BE E ⋂=，∴PE ⊥平面ABCD ，又∵PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD .（2）如图建系，(P，()B，()C -，()0,0,0E，()EB =，设(),CQ CP λλ==，(01)λ<<，∴BQ BC CQ =+()()1,0,0,λ=-+()1,λ=-，设平面EBQ 的法向量为(),,m x y z =，∴()010x y z λ=-=⎪⎩， ∴()3,0,1m λλ=-，平面EBC 的法向量不妨设为()0,0,1n =， ∴cos303m n m nλ⋅==， ∴28210λλ+-=，∴14λ=或12-（舍）， ∴14CQ CP =.（3）3142CB m h m⋅===. 18.解：（1）设232n n b a =-， 因为2122122133(21)3223322n n n n n n a n a b b a a +++++--==--2213(6)(21)3232n n a n n a -++-=-2211132332n n a a -==-，所以数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列. （2）由（1）得12311263n n n b a -⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭1123n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，由2211(21)3n n a a n -=+-，得21233(21)n n a a n -=--111156232n n -⎛⎫=-⋅-+⎪⎝⎭， 所以1212111233n n n n a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1692693nn n ⎛⎫-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭，21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++21112333n⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦6(12)9n n -++⋅⋅⋅++111332113n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-⋅-(1)692n n n +-⋅+211363nn n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭213(1)23nn ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 显然当*n N ∈时，2{S }n 单调递减， 又当1n =时，2703S =>，当2n =时，4809S =-<，所以当2n ≥时，20n S <； 2122n n n S S a -=-231536232nn n ⎛⎫=⋅--+ ⎪⎝⎭，同理，当且仅当1n =时，210n S ->， 综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2.19.（1）由题意知b c=b =，224ac =，223b c =，即2222143x y c c +=，∵31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，∴22914143c c +=，21c =，24a =，23b =，所以椭圆C 方程为22143x y +=. （2）存在. 设()0,M m ，,0m N k ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵DM MN =， ∴,2m P m k ⎛⎫⎪⎝⎭，,2m Q m k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ， 22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()2223484120k x kmx m +++-=① ∴12834m km x k k +=-+，21241234m m x k k -⋅=+，()230QM m m k k m k--==--， 联立223143y k m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()222336244120k x kmx m +-+-=②∴222248336112m km kmx k k k +==++， ∴12m m x x k k +++228811234km kmk k =-++， ∴122288211234km km mx x k k k+=--++， 若N 平分线段11A B ，则22288211234m km km mk k k k-=--++， 即228811234km km k k =++，2211234k k +=+，∴12k =±， ∵214k =，把①，②代入，得237m =，7m =±，所以直线l的方程为127y x =±或127y x =-±. 20.（1）1'()ln 1ln f x x x k x k x=⋅+--=-，①0k ≤时，因为1x >，所以'()ln 0f x x k =->，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无单调递减区间，无极值； ②当0k >时，令ln 0x k -=，解得kx e =， 当1k x e <<时，'()0f x <；当kx e >，'()0f x >.所以函数()f x 的单调递减区间是(1,)ke ，单调递增区间是(,)ke +∞，在区间(1,)+∞上的极小值为()(1)k k kf e k k e e =--=-，无极大值. （2）由题意，()4ln 0f x x -<，即问题转化为(4)ln (1)0x x k x --+<对于2[,]x e e ∈恒成立，即(4)ln 1x x k x -+>对于2[,]x e e ∈恒成立， 令(4)ln ()x x g x x -=，则24ln 4'()x x g x x+-=， 令()4ln 4t x x x =+-，2[,]x e e ∈，则4'()10t x x=+>，所以()t x 在区间2[,]e e 上单调递增，故min ()()440t x t e e e ==-+=>，故'()0g x >，所以()g x 在区间2[,]e e 上单调递增，函数2max 28()()2g x g e e==-. 要使(4)ln 1x x k x -+>对于2[,]x e e ∈恒成立，只要max 1()k g x +>， 所以2812k e +>-，即实数k 的取值范围为28(1,)e-+∞.（3）证法1：因为12()()f x f x =，由（1）知，函数()f x 在区间(0,)ke 上单调递减，在区间(,)ke +∞上单调递增，且1()0k f e+=.不妨设12x x <，则1120k k x e x e +<<<<，要证212kx x e <，只要证221k e x x <，即证221k ke e x x <<.因为()f x 在区间(,)ke +∞上单调递增，所以221()()ke f x f x <，又12()()f x f x =，即证211()()ke f x f x <，构造函数2()()()k e h x f x f x =-22(ln 1)(ln 1)k ke e x k x k x x=-----， 即()ln (1)h x x x k x =-+2ln 1()k x k e x x -+-，(0,)k x e ∈. '()ln 1(1)h x x k =+-+2221ln 1()k x k e x x--=+222()(ln )k x e x k x -=-， 因为(0,)k x e ∈，所以ln 0x k -<，22k x e <，即'()0h x >，所以函数()h x 在区间(0,)k e 上单调递增，故()()k h x h e <， 而2()()()0kk kk e h e f e f e =-=，故()0h x <， 所以211()()k e f x f x <，即2211()()()ke f x f x f x =<，所以212k x x e <成立. 证法2：要证212k x x e <成立，只要证：12ln ln 2x x k +<.因为12x x ≠，且12()()f x f x =，所以1122(ln 1)(ln 1)x k x x k x --=--，即1122ln ln x x x x -12(1)()k x x =+-，11212122ln ln ln ln x x x x x x x x -+-12(1)()k x x =+-， 即112122()ln ln x x x x x x -+12(1)()k x x =+-， 122112ln1ln x x x k x x x +=+-，同理112212ln 1ln x x x k x x x +=+-， 从而122ln ln k x x =+1121221212lnln 2x x x x x x x x x x ++---， 要证12ln ln 2x x k +<，只要证1121221212lnln 20x x x x x x x x x x +->--， 令不妨设12x x <，则1201x t x <=<，即证ln ln 20111t t t t+->--，即证(1)ln 21t t t +>-， 即证1ln 21t t t -<+对(0,1)t ∈恒成立， 设1()ln 2(01)1t h t t t t -=-<<+，22214(1)'()0(1)(1)t h t t t t t -=-=>++， 所以()h t 在(0,1)t ∈单调递增，()(1)0h t h <=，得证，所以212k x x e<.。