[K12学习]广东省揭阳市2016届高三数学第二次模拟试题 文(含解析)

5 揭阳市2019年高考二模数学(文科)试题参考答案 第1页（共5页）揭阳市2019高考二模数学 (文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.解析:11.由题意可知0312cos 60,,2a cPFx a c -∠=∴=+解得23c e a ==. 12.22()()f x x x ax b =-++的图像关于直线1x =-对称,且2x 重根0,所以2x ax b ++重根2-,22()(2)f x x x ∴=-+,所以()f x 的最大值是0.【或由对称性可知(2)(0)f f -=,得24a b =+,由题意可知'(1)0f -=,得324a b =+,解得4a b ==,得22()(2)f x x x =-+,可知()0f x ≤,所以()f x 的最大值是0.】15.显然球心O 在平面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心M,21,AC OM ===所以四棱锥S ABCD -的高的最大值为3,此时四棱锥S ABCD -体积的为21363⨯⨯=16.因为△ABD 为等边三角形.所以ADB ∠=60°, ADC ∠=120°.在△ADC 中,AC =,由余弦定理得:2222cos AC CD AD CD AD ADC =+-⋅⋅∠,2212CD AD CD AD =++⋅≥2CD AD CD AD ⋅+⋅,即4AD CD ⋅≤故1=sin 24S AD CD ADC AD CD ⋅⋅∠=⋅≤当且仅当=AD CD 时△ACD 面积S5 揭阳市2019年高考二模数学(文科)试题参考答案 第2页（共5页）PNM EF C 1B 1D 1A 1DCBA17.解:(1)由139,,a a a 成等比数列,可得2111(2)(8)a d a a d +=+且0d ≠,化简得1a d =---------------------------------------3分 由410S =可得1235a d +=由上解得11a d ==,1(1)1n a n n ∴=+-⋅=---------------------------------------------------6分 (2)由(1)知(1)2n n n S +=,------------------------------------------------------------------------------7分 12112()(1)1n S n n n n ==-++------------------------------------------------------------------------9分 ∴121111111122(1)2()2()2222311n S S S n n n +++=⋅-+⋅-++⋅-=-<++------------12分18.解:(1)设N 为11A B 的中点,连结MN,AN 、AC 、CM,则四边形MNAC 为所作图形；-------------------------------------2分易知MN 11//A C (或//EF ),四边形MNAC 为梯形,且12MN AC ==,-------------3分过M 作MP ⊥AC 于点P ,可得MC ==2ACMNPC -=得MP =分 所以梯形MNAC 的面积=12⨯+-----------------------------6分(2)证法1:在长方体中1111ABCD A B C D -,设11D B 交EF 于Q,连接DQ,则Q 为EF 的中点并且为11D B 的四等点,如图,114D Q =⨯=分由DE DF =得DQ EF ⊥,又1EF BB ⊥,EF ∴⊥平面11BB D D ,1EF D B ∴⊥-------------------------------------------------------------------10分 1111,2D Q D D D D DB ==11,D QD BD D ∴∠=∠111190QD B D QD DD B BD Q ∴∠+∠=∠+∠=︒, 1DQ DB ∴⊥1D B ∴⊥平面DEF --------------------------------------------------------------------------12分【证法2:设11D B 交EF 于Q,连接DQ,则Q 为EF 的中点,且为11D B 的四等分点,114D Q =⨯分BDB 1D 1Q5 揭阳市2019年高考二模数学(文科)试题参考答案 第3页（共5页）Q PNMEFC 1B 1D 1A 1DCBA由11111BB A B C D ⊥平面可知1BB EF ⊥, 又11B D EF ⊥,1111BB B D B =,EF ∴⊥平面11BB D D ,1EF D B ∴⊥---------------10分由11112D Q D D D D DB ==得11tan tan QDD D BD ∠=∠, 得11QDD D BD ∠=∠,1190QDB D BD QDB QDD ∴∠+∠=∠+∠=︒,1DQ D B ∴⊥,又DQEF Q =,1D B ∴⊥平面DEF ---------------------------------------------------------------12分】【其它解法请参照给分】19.解:(1)设1122(,),(,),M x y N x y 对24x y =求导得:=2xy '，------------------------------------1分故抛物线C 在点M 和N 处切线的斜率分别为12x 和22x ,又切线垂直, 12122x x ∴⋅=-,即124x x ⋅=-,----------------------------------------------------------------------------3分 把2440.y kx m C x kx m =+--=代入的方程得124.x x m ∴=--------------------------------5分故 1.m =---------------------------------------------------------------------------------------------------------6分(2)解:设()11,Mx y ,()22,N x y ,由抛物线定义可知11MFy =+,21NF y =+---------------8分由(1)和2m =知12128,4x x x x k =-+=所以()()()()()212121212113339MF NF y y kx kx k x x k x x ⋅=++=++=+++=249k +------11分所以当0k=时, MF NF ⋅取得最小值,且最小值为9.-----------------------------------------------------12分20.解:(1)每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；--------------------------------------------2分【或:由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6,所以每天包裹数量的平均数为1(506150625030350124506)26060⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=】 设中位数为x ,易知(200,300)x ∈,则0.00110020.005(200)0.5x ⨯⨯+⨯-=,解得x =260. 所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.-----------------------------------------4分 (2)由(1)可知平均每天的揽件数为260,利润为260531001000⨯-⨯=(元),所以该公司平均每天的利润有1000元.-------------------------------------------------7分5 揭阳市2019年高考二模数学(文科)试题参考答案 第4页（共5页）(3)设四件礼物分为二个包裹E 、F,因为礼物A 、C 、D 共重0.9 1.8 2.5 5.2++=(千克), 礼物B 、C 、D 共重1.3 1.8 2.5 5.6++=(千克),都超过5千克,------------------8分 故E 和F 的重量数分别有1.8 4.7和,2.5 4.0和,2.2 4.3和,2.7 3.8和,3.1 3.4和共5种, 对应的快递费分别为45、45、50,45,50(单位:元)------------------------------10分 故所求概率为35.----------------------------------------------------------------------------------12分 21.解:(Ⅰ)'()x af x x-=,----------------------------------------------------------------1分 当0a ≤时,'()0f x >,函数()f x 在定义域上递增,不满足条件； 当0a >时,函数()f x 在(0,)a 上递减,在(,)a +∞上递增,故()f x 在x a =取得极小值0,()ln 10f a a a a ∴=--=,-------------------------3分 令()ln 1p a a a a =--,()ln p a a '=-,所以()p a 在(0,1)单调递增, 在(1,)+∞单调递减,故()(1)0p a p ≤=,()0f a ∴=的解为1a =,故1a =.----------------------------------------------------------------------------------------------6分 (2)证法1:由222()11222t t t a a af e t e at t e t at >⇔-->⇔->+,---------------------7分 1a ≤,所以只需证当0t >时,2112t e t t ->+恒成立.----------------------------------9分令21()1,()1,2tt g t e t t g t e t '=---=-- 由(1)可知ln 10x x --≥,令t x e =得10te t --≥---------------------------------------11分∴ ()g t 在(0,)+∞上递增,故()(0)0g t g >=,所以命题得证.-------------------------12分【证法2:222()110222t t t a a af e t e at t e t at >⇔-->⇔--->, 设2()12t ag t e t at =---(0t >),则'()t g t e at a =--,则''()t g t e a =-,又01t e e >=,1a ≤,得''()0g t >, 所以'()g t 单调递增,得'()(0)10g t g a >=-≥, 所以()g t 单调递增,得()(0)0g t g >=,得证.】22.解:(1)因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,---------------------------------------------------1分5 揭阳市2019年高考二模数学(文科)试题参考答案 第5页（共5页）所以1C的极坐标方程为sin 0-=θθ,即3=πθ()R ρ∈,------------------3分2C 的极坐标方程为22cos 4sin 0--=ρρθρθ.----------------------------------------4分即2cos 4sin 0--=ρθθ------------------------------------------------------------------------5分 (2)3=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得11=+ρ-----------------------7分6=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得22=+ρ---------------------------------8分故OAB ∆的面积为((12sin 21264⨯+⨯+⨯=+π.------------------------10分 23.解:(1)1,0,0x y x y +=>>且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩-------------------------------------------2分 010111121()21222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩ 解得116x ≤<,所以不等式的解集为1[,1)6-----------------------------------5分 (2)解法1:1,x y +=且0,0x y >>, 2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x yy x=++59≥=.-------9分 当且仅当12x y ==时,取“=”.----------------------------------------------------10分 【解法2:1,x y +=且0,0x y >>,2222221111(1)(1)x y x y x y--∴--=⋅-------------------------------------------------------------------------6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xyxy +++=--------------------------------8分 21xy =+2219()2x y ≥+=+ 当且仅当12x y ==时,取“=”.---------------------------------------10分】。

2016年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝2i（1﹣i）（i为虚数单位），z的共轭复数为，则＝（）A．4i B．﹣4i C．4D．﹣42．（5分）已知集合A＝，B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（2，+∞）B．[1，2）C．（0，2）D．[1，2]3．（5分）已知向量，，，若（）与互相垂直，则k的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．（5分）已知命题p：∃x∈R，cos x＞sin x，命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或2D．46．（5分）已知函数f（x）＝，则f（log29）的值为（）A．9B．C．D．7．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，设{a n}的前n项和为S n，则S n＝（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）＝（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．9．（5分）若直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则实数m的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．310．（5分）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm11．（5分）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为（）A．B．8（π+1）C．4（2π+1）D．12．（5分）已知P是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，P A、PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，切点分别为A、B，若四边形P ACB的最小面积为2，则k的值为（）A．3B．2C．1D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为．14．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．15．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，记数列的前n项和为S n，则S2016的值为．16．（5分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰AB上的动点，则|+|的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且＝﹣．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若AB＝5，求AD的长．18．（12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg．已知当年产量低于450kg时，单位售价为12元/kg，当年产量不低于450kg时，单位售价为10元/kg．（Ⅰ）求图中a、b的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC ＝2，P A＝PB＝．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点D到平面APC的距离．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2＝y+1有公共弦AB（A 在B左边），AB＝2，C2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k（k≠0）的直线l 与C1、C2分别交于点M、N（均异于点A、B）．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（x＞2）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在实数a，使得f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，求a的取值范围．四.请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．（Ⅰ）若BC＝2，BD＝4，求AB的长；（Ⅱ）若AC＝3，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知椭圆C的普通方程为：．（Ⅰ）设y＝2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；（Ⅱ）设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣a|（a∈R，a＞0），（Ⅰ）若f（x）的最小值是﹣3，求a的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|f（x）|≤2的解集．2016年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝2i（1﹣i）（i为虚数单位），z的共轭复数为，则＝（）A．4i B．﹣4i C．4D．﹣4【解答】解：复数z＝2i（1﹣i）＝2i+2，∴z的共轭复数为＝2﹣2i，则＝2+2i+（2﹣2i）＝4．故选：C．2．（5分）已知集合A＝，B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（2，+∞）B．[1，2）C．（0，2）D．[1，2]【解答】解：集合A＝＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}＝[1，+∞），B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}＝{x|2x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜2}＝（0，2），∴A∩B＝[1，2）．故选：B．3．（5分）已知向量，，，若（）与互相垂直，则k的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：＝，∵（）与互相垂直，∴（）•＝k+3＝0，解得k＝﹣3．故选：A．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，cos x＞sin x，命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题【解答】解：命题p：∃x＝0∈R，cos x＞sin x，因此是真命题．命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，是假命题，取x＝时，+＝2，此时不成立，因此是假命题．则下列判断正确的是：命题p∧（￢q）是真命题．故选：D．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或2D．4【解答】解：双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，渐近线斜率是±，而夹角是60°，因为两直线关于x轴对称，所以和x轴夹角是30°或60°，即＝tan30°＝或tan60°＝，若＝，即a2＝b2，c2＝a2+b2＝a2，e2＝＝，e＝（负的舍去）；若＝，b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，e2＝4，即e＝2．所以e＝，或e＝2．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝，则f（log29）的值为（）A．9B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（log29）＝f（log29﹣3）＝÷23＝．故选：D．7．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，设{a n}的前n项和为S n，则S n＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，∴＝，由，得公差d＝1，∴a n＝n．∴．故选：C．8．（5分）函数f（x）＝（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选：C．9．（5分）若直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则实数m的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．3【解答】解：如图，在坐标平面内画出二元一次不等式x+y﹣3≤0，x﹣2y﹣3≥0所表示的平面区域，求出直线y＝2x与直线x﹣2y﹣3＝0的交点A（﹣1，﹣2），由图可知，要使直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则m≤﹣1．即实数m的最大值为﹣1．故选：B．10．（5分）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水＝V柱可得3×πr3+πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3．故选：C．11．（5分）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为（）A．B．8（π+1）C．4（2π+1）D．【解答】解：三视图对应的几何体是组合体，该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：＝．故选：A．12．（5分）已知P是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，P A、PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，切点分别为A、B，若四边形P ACB的最小面积为2，则k的值为（）A．3B．2C．1D．【解答】解：S四边形P ACB＝P A•AC＝P A＝∴当|CP|最小时，即CP⊥l时，四边形P ACB的面积最小，由四边形P ACB的最小面积，得，由点到直线的距离公式得：，∵k＞0，∴解得k＝2．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为60．【解答】解：∵样本容量为160，学生人数所占的比例为＝，∴应抽取学生人数为（3200﹣1000﹣1000）×＝60，故答案为6014．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值∵S＝﹣12+22﹣32+42＝10故答案为：1015．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，记数列的前n项和为S n，则S2016的值为．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣ax的导数为f′（x）＝2x﹣a，可得函数f（x）图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k＝f′（1）＝2﹣a，由切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，可得2﹣a＝3，解得a＝﹣1，即有f（x）＝x2+x＝x（x+1），故，则＝．故答案为：．16．（5分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰AB上的动点，则|+|的最小值为3．【解答】解：如图，以PC、PD为邻边作平行四边形PCQD，则＝，要使取最小值，只需取最小值，∵E为CD的中点，故当PE⊥AB时，取最小值，这时PE为梯形的中位线，即，故．故答案为：3．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且＝﹣．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若AB＝5，求AD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，即AB•AC＝15，∴；（Ⅱ）解法1：由AB＝5，得AC＝3，延长AD到E，使AD＝DE，连结BE，∵BD＝DC，∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°，且BE＝AC＝3，设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得：（2x）2＝AB2+BE2﹣2AB•BE cos∠ABE＝25+9﹣15＝19，解得，即AD的长为；解法2：由AB＝5，得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos∠BAC＝25+9+15＝49，得BC＝7，由正弦定理得：，得，∵0°＜∠ACD＜90°，∴，在△ADC中，，解得；解法3：由AB＝5，得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos∠BAC＝25+9+15＝49，得BC＝7，在△ABC中，，在△ADC中，由，解得．18．（12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg．已知当年产量低于450kg时，单位售价为12元/kg，当年产量不低于450kg时，单位售价为10元/kg．（Ⅰ）求图中a、b的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得到：100（a+0.0015+b+0.004）＝1，得100（a+b）＝0.45，（2分）由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15＝455，得300a+500b＝2.05，（4分）解得a＝0.0010，b＝0.0035．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）结合频率分布直方图知，当年产量为300kg时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg时，其年销售额为6000元，（8分）因为年产量为400kg的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，（9分）而年产量为500kg的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，（10分）故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4＝0.75，（12分）19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC ＝2，P A＝PB＝．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点D到平面APC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取AB得中点O，连接PO、CO，由P A＝PB＝，AB＝2知△P AB为等腰直角三角形，∴PO⊥AB，PO＝1，又AB＝BC＝2，∠ABC＝60°知△ABC为等边三角形，∴．又由PC＝2得PO2+CO2＝PC2，∴PO⊥CO，∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：设点D到平面APC的距离为h，由（Ⅰ）知△ADC是边长为2的等边三角形，△P AC为等腰三角形，由V D﹣P AC＝V P﹣ADC得，∵，，∴＝，即点D到平面APC的距离为．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2＝y+1有公共弦AB（A 在B左边），AB＝2，C2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k（k≠0）的直线l 与C1、C2分别交于点M、N（均异于点A、B）．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣1的顶点为（0，﹣1），即椭圆的下焦点为（0，﹣1），∴c＝1，由AB＝2，知x B＝1，代入抛物线得B（1，0），得b＝1，∴a2＝b2+c2＝2，∴C1的方程为．（Ⅱ）依题意知直线l的方程为y＝k（x﹣1），与联立消去y得：（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣2＝0，则，得，，由，得x2﹣kx+k﹣1＝0，由△＝k2﹣4（k﹣1）＝（k﹣2）2＞0，得k≠2，则x N•x B＝k﹣1，得x N＝k﹣1，y N＝k（k﹣2），∵点A在以MN为直径的圆外，即，∴，又A（﹣1，0），∴＝＝，解得k＜4，综上知k∈（﹣∞，0）∪（0，2）∪（2，4）．21．（12分）已知函数f（x）＝（x＞2）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在实数a，使得f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解法1：＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）记g（x）＝（x﹣2）﹣（x﹣1）ln（x﹣1）（x＞2），g'（x）＝﹣ln（x﹣1）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）即g（x）在（2，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（2）＝0从而f'（x）＜0，∴函数f（x）在（2，+∞）上的单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解法2：依题意得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）记（x≥2）则＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵x＞2∴g'（x）＜0，即函数g（x）在（2，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（2）＝0，从而得f'（x）＜0，∴函数f（x）在（2，+∞）上的单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）解法1：f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，等价于ln（x﹣1）＜a（x﹣2）对∀x∈（2，+∞）均成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由y＝ln（x﹣1）得，由此可得函数y＝ln（x﹣1）的图象在点（2，0）处的切线为y＝x﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（1）当a＜1时，在（2，+∞）上，直线y＝a（x﹣2）与函数y＝ln（x﹣1）的图象相交，不合题意；﹣﹣﹣（9分）（2）当a≥1时，在（2，+∞）上，直线y＝a（x﹣2）在函数y＝ln（x﹣1）的图象的上方，符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上得：要使f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解法2：f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，等价于ln（x﹣1）＜a（x﹣2）对∀x∈（2，+∞）均成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）记h（x）＝ln（x﹣1）﹣a（x﹣2），则＝＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）h（2）＝0，令h'（x）＝0得，，（1）当a≤0时，对∀x∈（2，+∞），h'（x）＞0，即函数h（x）在（2，+∞）单调递增，故h（x）＞h（2）＝0，即ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＞0，不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（2）当0＜a＜1时，对，h'（x）＞0，此时函数h（x）在上为增函数，即ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＞0，不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）当a≥1时，对∀x∈（2，+∞），有h'（x）＜0，函数h（x）在（2，+∞）单调递减，因此ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＜h（2）＝0，符合题意；综上得：要使f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）四.请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．（Ⅰ）若BC＝2，BD＝4，求AB的长；（Ⅱ）若AC＝3，求AE的长．【解答】解：（Ⅰ）由弦切角定理得∠BAC＝∠BDA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∠BAD＝∠BCA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以△BAC∽△BDA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以AB2＝BC•BD＝8，所以；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）连接EC，∵∠AEC＝∠AEB+∠BEC，∠ACE＝∠ABE＝∠BAD+∠ADB，∵∠AEB＝∠BAD，∠BAC＝∠BDA＝∠BEC，∴∠AEC＝∠ACE，∴AE＝AC＝3（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知椭圆C的普通方程为：．（Ⅰ）设y＝2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；（Ⅱ）设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）【解答】解：（Ⅰ）将y＝2t代入椭圆的普通方程得，于是得，∴椭圆C的参数方程为（t为参数）和（t为参数）．（Ⅱ）依题意知点A（3，0），B（0，2），设点P的坐标为（3cosθ，2sinθ），，则S四边形AOBP＝S△BPO+S△OP A＝＝，，当，即时，四边形AOBP面积取得最大值，其值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣a|（a∈R，a＞0），（Ⅰ）若f（x）的最小值是﹣3，求a的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|f（x）|≤2的解集．【解答】解：（Ⅰ）解法1：∵a＞0，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当﹣2≤x＜a时，﹣2﹣a≤f（x）＜a+2，∴当x∈R时，﹣2﹣a≤f（x）≤a+2﹣﹣﹣（4分）∴f（x）min＝﹣（a+2）＝﹣3，∴a＝1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解法2：∵||x+2|﹣|x﹣a||≤|（x+2）﹣（x﹣a）|＝a+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴|f（x）|≤a+2，f（x）min＝﹣（a+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又已知f（x）min＝﹣3，∴a＝1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）】（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（a＞0）当x＜﹣2时，f（x）＝﹣（a+2）＜﹣2，|f（x）|＞2，不等式|f（x）|≤2解集为空集﹣﹣﹣（6分）当x≥a时，f（x）＝a+2＞2，不等式|f（x）|≤2解集也为空集；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当﹣2≤x＜a时，|f（x）|≤2，即﹣2≤2x+2﹣a≤2⇒∵，，∴当﹣2≤x＜a时，|f（x）|≤2的解为﹣﹣﹣﹣﹣（9分）综上得所求不等式的解集为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。

广东省揭阳市2013届高三数学第二次模拟试题文（揭阳二模，扫描版）揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考 数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题：BCDCB ABDBB 解析：2．由12(1)ai bi i +=-得1,12a b ⇒==||a bi ⇒+==,选C ， 3．设(,)B x y ，由3AB a =u u u r r 得1659x y +=⎧⎨-=⎩，所以选D4．函数()2sin()6f x x π=+，故其最小正周期为2π，故选C.6．由129m a a a a =+++L 得5(1)93637m d a d m -==⇒=，选A ． 7. 函数1()y f x =当x=0，x=3，x=6时无定义，故排除A 、C 、D ，选B. 8．依题意可知该几何体的直观图如右上图示，其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D.9．依题意知直线10ax by -+=过圆C 的圆心（-1,2），即 21a b +=，由1128a b ab =+≥⇒≤，故选B.10．令,x y u y v +==，则点(,)Q u v 满足01,0 2.u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，在uov 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，易得其面积为2.故选B.二．填空题：12a >(或1(,)2a ∈+∞)；13. {1，6，10，12}；14. cos sin 20ρθρθ+-=（或cos()4πρθ-=；15.3解析：11．依题意得3a =，则4tana π=4tan3π=。

揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh=．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C.231k A -∈ D.34A -∉ 2．已知复数1z i =+，则2(1)z z -=A. 2B. －2C. 22i -D. 22i --3．命题P ：“对2,12x R x x ∀∈+≥”的否定P ⌝为 A. 2,12x R x x ∃∈+> B.2,12x R x x ∃∈+≥ C. 2,12x R x x ∀∈+< D.2,12x R x x ∃∈+< 4．已知1sin()3πα+=，则cos 2α=A. 79B.89C. 79-D.95. 若01x y <<<，则下列不等式正确的是A ．44y x <B ．33>x y C ．44log log x y < D ．11()()44x y <侧视图6．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为 A ．43 B ．413 C ．49-D ．47．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm 的几何体的三视图，则侧视图中的h 为A. 5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm ⎪⎨⎧≤+-≤-+01205y x y x yA.8B.7C.6D.510．已知{1,2,3,4},{1,2,3}a b ∈∈，则关于x 的不等式222(1)0x a x b --+≥的解集为R 的概率为A.14B.12C. 23D. 34二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则2log (2)f 的值为 ． 12．以点(2,1)-为圆心且与直线3470x y +-=相切的圆的标准方程是 ．13．在△ABC 中，已知角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2(cos cos )c a B b A b -=，则sin sin AB = ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中，曲线(2c o s s i n )ρθθ-=与(cos 2sin )1ρθθ+=-的交点的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，点P 在圆O 的直径AB 的 延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD 的长为 ． 图3三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知函数()sin()6f x A x πω=+(00)A ω>>，的部分图象如图4示，其中M 1(,0)6-为图象与x 轴的交点，1(,2)3P 为图象的最高点．(1)求A 、ω的值；(2)若2()3f απ=，(,0)3πα∈-，求cos()3πα+的值． 图4 17．(本小题满分12分)某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129； 乙：133，107，120，113，121，116，126，109，129，127.（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出以上抽取的甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，求出这20个数据的众数，并判断哪个班的平均水平较高；（2）将这20名同学的成绩按下表分组，现从第一、二、三组中，采用分层抽样的方法抽取6名同学成绩作进一步的分析，求应从这三组中各抽取的人数．18．(本小题满分14分) 已知等比数列{}n a 满足：0n a >，15a =，n S 为其前n 项和，且13220S S S，，7成等差数列．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设51525log log log n n b a a a =+++，求数列{1n b }的前n 项和n T ．19．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均 为等边三角形，2AB =，90BAC ∠=°． （1）证明：SA BC ⊥； （2）求三棱锥S ABC -的体积． 图620．(本小题满分14分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1(F、2F ，P 为椭圆C 上任一点，12PF PF ⋅uuu r uuu r的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数()321(21)3(2)13f x x k x k k x =-++++，其中k 为实数.（1）当1k =-时，求函数()f x 在[0,6]上的最大值和最小值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 的导函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，求k 的取值范围.揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：CADAC ABCBD二、填空题：11. 1-；12.22(2)(1)1x y-++=；14.7)4π；15..三、解答题：16．解：（1）由1(,2)3P为图象的最高点知2A=，---------------------1分又点M1(,0)6-知函数()f x的最小正周期114()236T=+=，-----------------------3分∵2Tπω=∴ωπ=,-------------------------------------------------5分(2)由（1）知，()2sin()6 f x xππ=+由2()3fαπ=得1sin()63πα+=，----------------------------------------6分∵(,0)3πα∈- ∴666πππα-<+<----------------------------------------7分∴cos()63πα+===-------------------------9分 ∵cos()cos()366πππαα+=++cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+-+-------------11分 ∴cos()3πα+11332=-⨯=------------------------------------------------12分 17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：----4分这20个数据的众数为121，----------------------------------5分 乙班的平均水平较高；----------------------------------------7分 （2）由上数据知，这20人中分值落在第一组的有3人， 落在第二组的有6人，落在第三组的有9人，-------------9分故应从第一组中抽取的人数为：631369⨯=++，-------10分应从第二组中抽取的人数为：662369⨯=++，--------------------------------11分 应从第三组中抽取的人数为：693369⨯=++.-----------------------------------12分18．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∵13220,,7S S S 成等差数列，3122207.S S S ∴=+-----------------------------------2分即21111112()207()a a q a q a a a q ++=++，化简得225250q q --=，------4分 解得：5q =或52q =-------------------------------------------------------------------6分∵0n a >，∴52q =-不合舍去，∴111555n n nn a a q --==⨯=.-----------------------------------------7分(2)∵51525log log log n n b a a a =+++=1235125log ()log 5123nn a a a n ++++==++++---------------------9分(1)2n n +=，----------------------------------------------------------------------------10分∴1n b =211=2()(+11n n n n -+）----------------------------------------------------------------12分 ∴12111n n T b b b =+++111112[(1)()()]2231n n =-+-++-+122(1)11n n n =-=++.------------------------------------------14分19．解：（1）证明：取BC 中点D ，连结SD 、AD ，-----2分 ∵△SAB 与△SAC 均为等边三角形∴SB=SC=AB=AC=SA=2，∴SD BC ⊥,AD BC ⊥-----4分 又SDAD D =∴BC ⊥平面SAD ----------------------5分 ∵SA ⊂平面SAD∴SABC ⊥-------------------------------------------------7分（2）∵90BAC ∠=°，AB=AC ， ∴BC ==------------------------------------8分∵SB=AB ，SC=AC ，BC=BC，∴△SBC ≌△ABC ，∴90BSC ∠=，-------------------------9分∴12SD AD BC ===∵2224SD AD SA +== ∴SD AD ⊥---------------------11分又SD BC ⊥,BC AD D =∴SD ⊥平面ABC,------------------------------------------12分∴13P ABC ABC V S SD -∆=112232=⨯⨯⨯=分其它解法请参照给分.20.解：(1)设(,)P x y ,由1(F、2F 得1(,)PF x y =-u u u r, 2,)PF x y =-u u u r .∴212)PF PF x x y ⋅=-+u u u r u u u r 223x y =+-，---------------------2分 由22221x y a b +=得2222(1)x y b a =- ∴222122(1)3x PF PF x b a ⋅=+--uuu r uuu r 22233x b a =+-，------------------------4分∵220x a ≤≤，∴当22x a =，即x a =±时，12PF PF ⋅uuu r uuu r有最大值，即212max ()331PF PF b ⋅=+-=u u u r u u u r ，---------------------------------------6分 ∴21b =，2224a c b =+=，∴所求双曲线C 的方程为2214x y +=.------------------------------------7分其它解法请参照给分.（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=，------------------------------------------------------------8分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------① 又122814kmx x k +=-+--------------------10分由||||AD AE =可得2222112212121212(1)(1)()(2)()()0x y x y x x x x y y y y -+=-+⇒-+-+-+=121212122()0y y x x y y x x -⇒+-++=-212(1)()220k x x km ⇒+++-= 228(1)22014kmk km k ⇒-++-=+化简得2143k m k +=-------------②------------------------------------------12分 将②代入①得2221441()3k k k ++>化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得5k >或5k <-所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k的取值范围为(,)-∞⋃+∞．-------14分21.解：（1）当1k =-时，321()313f x x x x =+-+，---------------------------1分则2'()23f x x x =+-(1)(3)x x =-+，令'()0f x =，∵[0,6]x ∈ 得1,x =----------------------------------2分 且()f x 在[0,1]上单调递减，在[1,6]上单调递增，∵2(0)1,(1),(6)973f f f ==-=，∴()f x 在[0,6]上的最大值为97，最小值为23-.------------------------4分（2） ∵()2'2(21)3(2)f x x k x k k =-+++=(3)[(2)]x k x k --+，----------------5分当1k =时，2'()(3)0f x x =-≥，∴函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；---6分 当1k >时，32k k >+，由'()0f x >解得3x k >或2x k <+，由'()0f x <得23k x k +<<，∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+，递减区间为(2,3)k k +；----7分当1k <时，32k k <+，由'()0f x >解得2x k >+或3x k <，由'()0f x <得32k x k <<+，∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+；递减区间为(3,2)k k +.-----9分 （3）由()'(3)[(2)]0f x x k x k =--+=得122,3x k x k =+=，--------------------------------------------------10分 ①当12x x =时，有231k k k +=⇒=，此时123(0,6)x x ==∈，函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，∴1k =为所求；----------------------11分 ②当12x x >时，有231k k k +>⇒<，此时213x x <<，∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点， 得2103x x ≤<<，即3023k k ≤<+<，解得20k -<≤，-----------------12分 ③当12x x <时，有231k k k +<⇒>，此时213x x >>，∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点， 得1236x x <<≤，即3263k k <+<≤，解得24k ≤<，------------------13分综上得实数k 的取值范围为是：20k -<≤或1k =或24k ≤<.----------------14分。

揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数2()=ln(2)1f x x x x +--的定义域为 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）(0,2) （D ）[1,2]（2）已知复数21i z i=-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）2i （B ）2i - （C ）-2 （D ）2（3）已知向量3,1),(0,1),(3)a b c k ==-=r r r，若2a b -r r 与c r 共线，则k 的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 （4）已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是 （A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题 （5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为（A ）1415（B ）815 （C ）25 （D ）415（6）已知函数2log ,(0)()2,(0)x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则不等式()1f x >的解集为（A ）(2,)+∞（B ）(,0)-∞ （C ）(,0)(2,)-∞+∞U （D ）(0,2)（7）如图1，圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （A ）4cm （B ）3cm （C ）2cm （D ）1 cm（8）已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n的前n项和为nS，则2016S的值为（A）20152016（B）20162017（C）20142015（D）20172018（9）函数()(1cos)sinf x x x=+在[,]ππ-的图象的大致形状是（10）实数,x y满足条件20,40,3.x yx yx-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22yx的取值范围为（A）[4,)+∞（B）1[,2]3（C）[0,4]（D）1[,4]9（11）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为(A)20+2π (B) 206π+(C) 142π+ (D)16（12）在平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线2xy e-=交于不同的两点A、B，分别过A、B作x轴的垂线，与曲线lny x=交于点C、D，则直线CD的斜率为（A）3 （B）2 （C）1 （D）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．ABCDb年产量/kg0.0015450550350250650a频率/组距0.0040（13）某水稻品种的单株稻穗颗粒数X 服从正态分布2(200,10)N ，则(190)P X >=__________．(附：若Z～2(,)N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544.)(14)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60o，则该双曲线的离心率为 .(15)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (16)已知等差数列{}n a 满足18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 图3(17)（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=o，且152AB AC ⋅=-u u u r u u u r.(Ⅰ)求△ABC 的面积； (Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4(18)（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年， 根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图5所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平 均年产量为455kg . 当年产量低于450 kg 时，单位售价为 12元/ kg ，当年产量不低于450 kg 时，单位售价为10元/ kg . （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年 产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，求年销售额X （单位：元）的分布列； 图5 （Ⅲ）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o， AB=PC=2，2.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）设H 是PB 上的动点，求CH 与平面PAB 所成 最大角的正切值.图6（20）(本小题满分12分)已知椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b=>>的离心率为6，若动点A 在椭圆C 上，动点B在直线62ab y c ==上.（c 为椭圆的半焦距） （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若OA OB ⊥(O 为坐标原点)，试探究点O 到直线AB 的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.(21)（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()2x f x e ax =+，()g x 是()f x 的导函数， （Ⅰ）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00g x =； （Ⅱ）若存在实数,a b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC =2，BD =4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC =3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>，OPAB DC E图7(Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ) 求关于x 的不等式|()|2f x ≤的解集．揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 答案BCCDACBBADAC（7）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. (8)依题意知2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++， 201611111122320162017S =-+-++-L 12016120172017=-=． （9）由()12f π=可排除（C ）、(D)，由33()134f π=>可排除（B ）,故选(A). (10)设y k x =，则k 为可行域内的点与原点连线的斜率，易得123k ≤≤，故2149k ≤≤. （11）该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个14圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：211(41)2(41+21)320222πππ-⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+.(12)设直线l 的方程为(0)y kx k =>，且1122(,),(,)A x y B x y ，故121x kx e -=，222x kx e-=12221211,x x x e x e k k--⇒==，则122212121211ln()ln()ln ln x x CD e e x x k k k x x x x ----==-- 121211ln (2)ln ln (2)ln 1x e x e k k x x +----==-.二、填空题：ABCDE题号 13 14 15 16 答案0.8413233或2621解析：(13) (190)P X >=1()()0.52P X P X μσμσμσ>-=⋅-<<++0.8413=(16)由81358a a =得11135(7)8(12)61a d a d d a +=+⇒=-， 由1113(1)(1)()061n a a n d a n a =+-=+--≥1213n ⇒≤，所以，数列{}n a 前21项都是正数，以后各项为负数，故n S 取最大值时，n 的值为21. 三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,---2分 即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 152224ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯⨯=.-------5分(Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=o,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分 【解法2：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得35sin 532sin 714AB BACACD BC∠∠===，----------------------------------------9分 ∵090ACD <∠<oo∴211cos 1sin 14ACD ACD ∠=-∠=，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 解得192AD =.------------------------------------------------------12分】 【解法3：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分 在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得192AD =.-------------------------------------------------------12分】 （18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，----------------------------------------------1分 由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------3分 解得0.0010a =；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）依题意知X 的可能取值为3600、4800、5000、6000，-------------------6分 ∵(3600)0.1P X ==，(4800)0.4P X ==，(5000)0.35P X ==，(3600)0.15P X ==，∴X 的分布列为X 3600 4800 5000 6000 P0.10.40.350.15分（Ⅲ）∵一年的销售额不低于5000元的概率为0.35+0.15=0.5, -------------------9分5年中年销售额不低于5000元的年数1~(5,)2B ξ，∴5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为51551113(2)1(0)(1)1()()2216P P P C ξξξ≥=-=-==--⨯=.-----------------12分（19）解：(Ⅰ)证明：取AB 中点O ，连结PO 、CO ，----------1分 由PA=PB=2，AB=2，知△PAB 为等腰直角三角形， ∴PO=1，PO⊥AB，-----------------------------------2分 由AB=BC=2，60ABC ∠=o，知△ABC 为等边三角形， ∴3CO =，-------------------------------------3分由2PC =得222PO CO PC +=,∴PO⊥CO，-------------------------------------------------------4分 又AB CO O=I ，∴PO⊥平面ABC ，----------------------------------------------5分又PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ----------6分 （Ⅱ）解法1：如图，连结OH ，由（Ⅰ）知CO PO ⊥，CO AB ⊥ ∴C O⊥平面PAB ，CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角，-----------7分 在Rt △COH 中，∵tan OC CHO OH ∠=3OH=，-----------8分 要CHO ∠最大，只需OH 取最小值，而OH 的最小值即点O 到PB 的距离，这时OH PB ⊥，22OH =，-------------10分故当CHO ∠最大时，tan 6CHO ∠=.即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.------------------------------12分 【解法2：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABC ，CO AB ⊥，如图所示，以O 为原点，OC 、OB 、OP 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系， 则(3,0,0)C ，(0,1,0)B ，(0,0,1)P ，-----------------------------7分设点H 的坐标为(0,,)m n ，BH BP λ=u u u r u u u r，则(0,1,)(0,1,1)m n λ-=-，∴1,m n λλ=-=，即(0,1,)H λλ-，------8分则(3,1,)HC λλ=--u u u r ，(3,0,0)OC =u u u r为平面PAB 的法向量，设CH 与平面PAB 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||OC HC OC HC OC HC θ⋅=<>=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u u r 22333(1)()λλ=⨯+-+-23172()22λ=-+,------10分当12λ=时，sin θ取最大值，max 6(sin )7θ=，-------------------------11分 又(0,]2πθ∈，此时θ最大，tan 6θ=，即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.-----------------12分】 (20)解：(Ⅰ)依题意得：63c a =-----① 62ab c =--------②-------------1分 ①×②得1b =，---------------------------------------------------2分又2222223c a b a a -==，解得23a =---------------------------------3分 ∴所求椭圆C 的方程为2213x y +=.--------------------------4分 （Ⅱ）依题意知直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =， （1）若0k ≠，则直线OB 的方程为1y x k=-， 设(,),(,)A AB B A x y B x y ，则由222233113A AA A Ay kx x x k y =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，------------------------6分由2213262B B B B y x k k x y ⎧=-⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩，-------------------------------------------------------------------7分∵222223(1)||1|31AAA k OA x y k x k +=+=+=+--------------------------------8分 ∴222213(1)||1()|2BBB k OB x y x k +=+=+-=,-----------------------------9分设点O 到直线AB 的距离为d ，则22222222223(1)3(1)231)3121||3(1)||+||3(1)3(1)312AOB k k S k k d AB k OA OB k k k ∆++⋅++===+++++（.---------10分 (2)若0k =，则A 点的坐标为(3,0)或(3,0)，B 点的坐标为6(0,2， 这时，6321634d ==+，---------------------------------------------------------------------------11分综上得点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.-------------------------------------------------12分 【解法二：设A、B的坐标00(,)A x y 、6(,)2B t ，------------------------------------------5分由点A 在椭圆C 上和OA OB ⊥分别可得：220013x y +=和00602tx y +=，--------6分 设点O 到直线AB 的距离为d，则有||||||,OA OB AB d ⋅=⋅-------------------------------7分2222||||||OA OB AB d ∴⋅=⋅222222221||||||||||||||AB OA OB d OA OB OA OB +⇒==⋅⋅,-------------------8分2022********22222662000000006022220111111112||||3()()()x d OA OB x y x y x y x y t y x ∴=+=+=+=+⋅++++++220022220000323213()3(1)3x x x x y x ++===++--------------------------------------------------------------------11分 所以点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.--------------------------------------------------12分】 (21)（Ⅰ）证明：∵()()2x g x f x e ax '==+，()2x g x e a '=+，------------------------1分当0a >时，()0g x '>，∴函数()g x 在∞∞(-,+)上的单调递增，------------------------2分 又12g a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1210ae--<，()010g =>，------------------------------------------------------3分 ∴存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =；-----------------------------------------------4分（Ⅱ）解：（1）当0a <时，则当(,0)x ∈-∞时，()0g x >，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，且当x →-∞时，()f x →-∞，这与()f x b ≥矛盾；---------------------------5分 （2）当a =，由x e b≥，得b ≤，∴a b -≥；------------------------------------------6分（3）当0a >，由（Ⅰ）知当()0,x x ∈-∞时，()0g x <；当()0,x x ∈+∞时，()0g x >； 即()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，----------------------------------7分 ∴()()0min f x f x =，-----------------------------------------------------------------------------------8分其中0x 满足0020x e ax +=，故002x e a x =-且00x <，∵()f x b ≥恒成立，∴0()b f x ≤即020xb e ax -≥--，于是0020001122x xx a b a e ax e x ⎛⎫-≥--=-+- ⎪⎝⎭，------------------9分记1()(1)22xx h x e x =-+-，0x <，则()()221'()112x h x e x x x=-+，-----------------10分由'()0h x <得1x <-，即函数()h x 在(,1)-∞-上单调时递减，'()0h x >得10x -<<，即函数()h x 在(1,0)-上单调递增，∴min 1()(1)h x h e=-=-， 综上得a b -的最小值为1e-，此时01x =-．--------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分 所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分得AB BC BD AB=，----------------------------------------------------------------------------4分28AB BC BD =⋅=，22AB =；---------------------------------5分（Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分 ∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分 于是得231x t =±-，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C 的参数方程为231,2.x t y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）和231,2.x t y t ⎧⎪=--⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分 设点P的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分3sin 3cos 32sin()4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<-------------------------------------------9分当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AO BP 面积取得最大值，其值为32.--------10分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+---4分∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a =1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-， ∴a =1；-----------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集---6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2aa <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。

x 2ln( x 1)(x2) ( x1)ln( x 1)( Ⅰ )1 ： f '(x)x 1解析：解：解 法，(x2)2( x 1)(x 2)2----------- 2分记g(x) (x2)( x 1)ln( x （ x 2 ），g()'x n(l)1x0，----------3分1)即 g (x) 在 (2,) 上单调递减，∴ g(x) g (2) 0从而f ' x( ) ，∴ 函 数f ( x) 在 (2,)上 的单调 递减.----------------------------5分x 21)x ln( x【解法2：依题意得f '(x)12) 2，( x--------------------------------------------2分记 g (x)x 2 ln( x 1) （ x2 ）x1则g '(x)112 x，(x1)2x 1( x 1)2---------------------------------------------------------3分∵ x 2 ∴ g '( x)0 ，即函数 g( x) 在 (2,) 上单调递减，∴ g (x) g(2)0 ，从而得 f '( x) 0 ，∴函数f (x)在 (2,)上 的单调递减.--------------------------------------------------5分】( Ⅱ )解法 1： f (x) a 对 x (2, ) 均成立，等价于ln( x 1) a( x2)对 x (2,)均成立，-------------------------------------6分由 yln( x 1) 得 y '1 ，由此可得函数 y ln( x 1) 的图象在点（ 2,0 ）处的切线x1为y=x-2，------------------------------------------------------------------------------- ---------- 7分（ 1）当 a 1时，在 (2,) 上，直线 ya( x2) 与函数 y ln( x 1) 的图象相交，不合题意； ---9分（ 2）当 a1时，在 (2,) 上，直线 ya( x2) 在函数 y ln( x 1) 的图象的上方，符合题意 ---------------11分综上得：要 使f ( x) a对x(2,)均成 立 ，a[ 1 .------------------------------,12分【解法 2： f ( x) a 对 x (2,) 均成立，等价于ln( x 1) a( x2)对x (2,)均成立---------------------------------------5分记h( x) ln( x 1) a( x 2)， 则h '1 1 aa aa1-------a 6分xx ( x1 x ( x ))1x 1 ah(2)0，令 h '(x)0 得 x1 aa 1 20 a 1，a ，a（1）当 a 0 时，对 x (2,) ， h '( x) 0 ，即函数 h( x) 在 (2,) 单调递增，故 h(x) h(2) 0， 即l nx (1a ) x( ，不 符 合题 意；---------------------------8分（2）当 0a 1时，对x (2,1a) ， h '( x) 0 ，a此时函数 h( x) 在 (2,1a) 上为增函数， 即 ln( x 1) a(x2) 0 ，不符合题意； -----10a分（3）当 a 1 时，对 x (2,) ，有 h '( x) 0 ，函数 h( x) 在 (2,) 单调递减，因此 ln( x 1) a( x2)h(2) 0 ，符合题意；综上得：要使 f ( x)a 对 x (2,) 均成立， a[1, ) ． ------------------------12分】请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．(22)( 本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图 7 所示，⊙ O 和⊙ P 相交于 A, B 两点，过 A 作两圆的切线A分别交两圆于 C ， D 两点，连接 DB 并延长交⊙ O 于点 E ．OP( Ⅰ) 若 =2， =4，求 AB 的长；BC BDE( Ⅱ) 若 AC =3，求 AE 的长．B 解析 ：解：（Ⅰ）由弦切角定理得BACBDA ， ---------1分 CDBADBCA，图 7----------------------------------------------------2分所以BAC∽BDA，------------------------------------------------------------------3分得ABBC，BD AB----------------------------------------------------------------------------4分AB 2BC BD8， AB 2 2 ； ---------------------------------5 分（Ⅱ）连接EC ， ∵AEC A ，-----------------------------------------6 分ACEABEBADADB -------------------------------------------------7分∵ AEB BAD ， BACBDA = BEC ,----------------------8分∴AECACE ------------------------------------------------9分∴AE=AC=3. ----------------------------------------------------------------------- ---------10分(23)( 本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知椭圆 C 的普通方程为：x 2 y 29 1．4( Ⅰ) 设 y2t ，求椭圆 C 以 t 为参数的参数方程；( Ⅱ) 设 C 与 x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点 P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形 AOBP 面积的最大值． （其中 O 为坐标原点）解析 ：解：( Ⅰ) 将 y 2t 代入椭圆的普通方程得x 29(1分于是 得-----------------------------------------------------------------------------2 分2∴椭圆 C 的参数方程为x 3 1 t ,（ t 为参数）和4t 2) 9(1 t 2 ) ，------------14x3 1 t 2，2x3 1 t ,（ t 为参数） ---4y2t .y2t.分( Ⅱ)依题意知点 A(3,0)， B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分设 点 P 的坐标为(3cos,2sin )，(0) ---------------------------------------------6分2则S四边形AOBPS BPOSOPA1 2 3cos1 3 2sin ---------------------------228 分3sin3cos3 2 sin( )，(0 ) ----------------9 分42当 sin() 1 ，即 时，四边形 AOBP 面积取得最大值，其值为3 2 .------10 分44(24)( 本小题满分 10 分 ) 选修 45：不等式选讲已知 f ( x)| x 2 | | x a | (a R, a 0) ，( Ⅰ ) 若 f ( x) 的最小值是3 ，求 a 的值；11-----------------------------------------6 分ACEABEBADADB -------------------------------------------------7分∵ AEB BAD ， BACBDA = BEC ,----------------------8分∴AECACE ------------------------------------------------9分∴AE=AC=3. ----------------------------------------------------------------------- ---------10分(23)( 本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知椭圆 C 的普通方程为：x 2 y 29 1．4( Ⅰ) 设 y2t ，求椭圆 C 以 t 为参数的参数方程；( Ⅱ) 设 C 与 x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点 P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形 AOBP 面积的最大值． （其中 O 为坐标原点）解析 ：解：( Ⅰ) 将 y 2t 代入椭圆的普通方程得x 29(1分于是 得-----------------------------------------------------------------------------2 分2∴椭圆 C 的参数方程为x 3 1 t ,（ t 为参数）和4t 2) 9(1 t 2 ) ，------------14x3 1 t 2，2x3 1 t ,（ t 为参数） ---4y2t .y2t.分( Ⅱ)依题意知点 A(3,0)， B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分设 点 P 的坐标为(3cos,2sin )，(0) ---------------------------------------------6分2则S四边形AOBPS BPOSOPA1 2 3cos1 3 2sin ---------------------------228 分3sin3cos3 2 sin( )，(0 ) ----------------9 分42当 sin() 1 ，即 时，四边形 AOBP 面积取得最大值，其值为3 2 .------10 分44(24)( 本小题满分 10 分 ) 选修 45：不等式选讲已知 f ( x)| x 2 | | x a | (a R, a 0) ，( Ⅰ ) 若 f ( x) 的最小值是3 ，求 a 的值；11。

广东省揭阳市高三数学第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）(2017·鞍山模拟) 已知集合A={x|（x﹣3）（x+1）≤0}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）A . [﹣2，﹣1]B . [﹣1，2]C . [﹣1，1]D . [1，2]2. （2分）若复数满足，其中为虚数为单位，则=（）A . 1-B . 1+C . -1-D . -1+3. （2分）(2020·梧州模拟) 的展开式中的系数为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018高二上·重庆期中) 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是A . 相离B . 相交5. （2分）设其中实数满足，若的最大值为12，则的最小值为（）A .B .C .D .6. （2分）放在衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积与天数t的关系式为：V=a•e﹣kt ，若新丸经过50天后，体积变为 a，那么经过几天后，体积变为？（）A . 25天B . 50天C . 75天D . 100天7. （2分）已知，则（）A . 0.6B . 3.6C . 2.16D . 0.2168. （2分）已知a＞0，设函数f（x）= +x3（x∈[﹣a，a]）的最大值为M，最小值为N，则M+N的值为（）A . 2016D . 40289. （2分） (2019高一上·应县期中) 能够把圆 (圆心在坐标原点，半径为r的圆)的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ 是圆的“和谐函数”的是（）A . ①②③④B . ①②③⑤C . ①②④⑤D . ①③④⑤二、填空题 (共7题；共8分)10. （1分）(2018·鞍山模拟) 点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为________．11. （1分）(2017·新课标Ⅲ卷理) 设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=________12. （2分）(2016·浙江文) 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是________cm2 ，体积是________cm3 ．13. （1分） (2019高一下·嘉兴期中) 已知中，，，分别为角，，的对边且，，，则 ________.14. （1分） (2020高二下·奉化期中) 从5名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有________种.15. （1分） (2016高一下·苏州期中) 不等式的解是________．16. （1分）(2019·揭阳模拟) 已知△ABC中，，D是BC边上的一点，且△ABD为等边三角形，则△ACD面积S的最大值为________.三、解答题 (共6题；共42分)17. （2分） (2017高一上·珠海期末) 空间二直线a，b和二平面α，β，下列一定成立的命题是（）A . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥βB . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b∥βC . 若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥bD . 若α∥β，a⊥α，b⊂β，则a⊥b18. （10分）已知（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的集合；（2）求函数f（x）的单调减区间．19. （5分） (2015高二下·吕梁期中) 如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（Ⅰ）直线EF∥平面ACD；（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD．20. （5分）(2017·鞍山模拟) 已知函数f（x）=（x﹣1）lnx﹣（x﹣a）2（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1 ， x2 ，求证：x1+x2＞．21. （5分）(2018高二上·定远期中) 已知是定义在上的奇函数，当时，，且曲线在处的切线与直线平行．（Ⅰ）求的值及函数的解析式；（Ⅱ）若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围．22. （15分）(2018高二下·溧水期末) 设数列的前n项和为，已知，，数列是公差为的等差数列，n∈N*.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）求证： .参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共7题；共8分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共42分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、22-3、。

2016年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科)一、选择题：共12小题，每小题5分,共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合,B=｛x｜x2﹣2x＜0}，则A∩B=(）A．（0，2］ B．（0,2) C．(﹣∞，2］D．（2，+∞)2．复数在复平面上所对应的点位于(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设f（x）是定义在R上的函数，则“f (x）不是奇函数"的充要条件是（）A．∀x∈R,f（﹣x）≠﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．∃x0∈R,f（﹣x0）≠﹣f(x0) D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f(x0）4．若2cos(θ﹣）=3cosθ，则tanθ=(）A．B．C．﹣D．5．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了4次试验，收集数据如表所示，根据右表可得回归方程中的为9.4，据此可估计加工零件数为6时加工时间大约为(）零件数x（个） 2 3 4 5加工时间y（min）26 39 49 54A．63.6 min B．65.5 min C．67.7 min D．72。

0 min6．已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1）,则=（）A．1 B．2 C．5 D．107．记集合A=｛（x，y）｜x2+y2≤16}和集合B={（x,y｜）x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0｝表示的平面区域分别为Ω1，Ω2,若在区域Ω1内任取一点M（x,y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C．D．8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2+6x+5=0相切，且圆C的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．9．已知不等式组所表示的平面区域为D，直线l：y=3x+m不经过区域D，则实数m的取值范围是（）A．［﹣3,1］B．[﹣3，3］C．(﹣∞，﹣3)∪（1，+∞) D．(﹣∞，﹣3）∪（3,+∞）10．已知角φ的终边经过点P（1，1)，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=（）A．B．C．D．11．已知球O表面上有三个点A、B、C满足AB=BC=CA=3，球心O到平面ABC的距离等于球O半径的一半，则球O的表面积为（)A．4πB．8πC．12πD．16π12．在直角坐标平面上,已知点A（0，2），B（0，1)，D（t，0)(t＞0），M为线段AD上的动点,若|AM｜≤2|BM｜恒成立，则实数t的取值范围为（)A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．已知向量的夹角为，且，,则=．14．如图所示的流程图，输入正实数x后，若输出i=4,那么输入的x的取值范围是．15．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．16．已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

揭阳市2019高考二模数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.一、选择题解析：10.构造函数ln()xf xx=,则(3)f=,1()f ee=,ln(),30f fπππ==,由21ln'()xf xx-=知函数()f x在(0,)e上单调递增,在(,)e+∞上单调递减,所以当x e=时, ()f x有最大值,故选B11.由题意可知212212121424tan,cos cos(2)2cos1,,3525a cPF F PF x PF F PF Fc-∠=∴∠=∠=∠-=∴=解得1013cea==,选A.12.设(,),P m n1[,2]2m∈,则(,),Q m n--由223m nmam n1⎧+=⎪⎨⎪--=-⎩得233230,2m am am m m11+--=∴-=-令1tm=,则323a t t-=-,321[,2],()3,()332t p t t t p t t'∈=-=-,()p t∴在1[,1]2单调递减,在[1,2]单调递增,且111(),(1)2,(2)2,222,28p p p a=-=-=∴-≤-≤解得04a≤≤.15.由11461082836a da d+=⎧⎨+=⎩解得11,1a d==,1(1)1na n n∴=+-⋅=,(1)2nn nS+=23222,12(3)(4)7127nna n nS n n n n nn+===++++++由函数12()f x xx=+的单调性可知当3n=或4时,3nnaS+取得最大值17. 16.解析：显然球心O 在平面ABCD 的射影为AC 的中点M,则1,AC OM ==所以四棱锥S ABCD -的高的最大值为3,此时四棱锥S ABCD -体积的为1333⨯⨯=17解：(1)解法1：由1sin 2S ab C =和2a =得sin a C =,----------------2分又060C =且1b =, 3a ∴=；-------------------------------------------------------5分【解法2：由正弦定理sin sin a c A C =和1sin 2S bc A =得-------------------------------------2分由22sin sin sin a a A a A C A =⇒=⇒=-------------------------4分又060,C =且sin 0A ≠,3,a ∴=----------------------------------------------------------5分】 (2)解法1：由2222cos a b c bc A =+-和2sin a A =得-----------------------------7分22cos 2(sin cos cos sin )2sin()2666b c A A A A A bc +=+=+=+πππ----------------------9分22224c b c b bc +==--------------------------------------------------11分 2sin()2,6A ∴+=π又0,A <<π所以A 的值为3π.--------------------------------------12分【解法2：由1sin 2S bc A =和2a =得2sin a A =,又2222cos a b c bc A =+-,所以22sin 2cos A b c bc A=+-,---------7分两边除以2b 得2sin 1()2cosc c A A bb =+-⋅,-----------------------8分又2cb=得82(2A A =++,2cos A A =-,即2cos 2sin()6A A A π+=+,-------------10分得sin()16A π+=,又7666A πππ<+<,所以62A ππ+=,得 3A π=.------------12分】18.解：(1)证明：连接AC 交于BD 点O ,连接EO .因为ABCD 为矩形,所以O 为AC 的中点.又E 、F 分别为PC 的三等分点, E 为CF 的中点,所以AF ∥EO . -------------------------2分 因为EO ⊂平面BDE ,AF ⊄平面BDE ,所以//AF 平面EBD .--------------------------------------4分(2)以A 为原点,AD 、AB 、AP 的分别为,,x y z 轴方向建立空间直角坐标系,如图所示由条件可得()()()()1,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,1D B C P ,-------------------------------------------------5分2242241,,,,,3333333P E P C E ⎛⎫⎛⎫==-∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,----------------------------------------------------6分 CBADPE F O()1411,2,0,,,333DB DE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,()10,0,1n =为平面ABD 的一个法向量,-----8分设面BDE 的一个法向量为()2,,n x y z =,则2200n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即201410333x y x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩,取1y =,则2,2x z ==-, 所以()22,1,2n =-,-----------------------------------------10分1212122cos ,3||||n n n n n n ⋅-<>==⋅,所以二面角D AE C --的余弦值为23-.---------------------------------------------------------12分 19解(1)解法1：设()11,A x y ,()22,B x y ,2211224,4x y x y ==,------------------------------------1分显然12x x ≠,两式相减得1212124,1y y x x k x x -⋅=+∴=----------------------------------------------4分所以直线AB 的方程为2(2)y x -=-+.即0x y +=.------------------------------------------------5分 【解法2：设()11,Ax y ,()22,B x y ,显然直线l 有斜率,设l 的方程为(2)2y k x =++------------------------------------------------------------------------------1分联立方程2(2)24y k x x y=++⎧⎨=⎩,消去x 整理得()222414(1)0y k k y k -++++=由()212414y y k k +=++=解得1k =-(0k =明显不成立)--------------------------------------4分所以直线AB 的方程为2(2)y x -=-+.即0x y +=.----------------------------------------------------5分】【解法3：设()11,A x y ,()22,B x y ,显然直线l 有斜率,设l 的方程为(2)2y k x =++--------------1分联立方程2(2)24y k x x y=++⎧⎨=⎩,得248(1)0x kx k --+=,所以124x x k +=,又1222x x +=-,解得1k =-,--------------------------------------4分 所以直线AB 的方程为2(2)y x -=-+,即0x y +=.----------------------------------------------------5分】 (2)解法1：显然直线l 有斜率,设l 的方程为(2)2y k x =++----------------------------------------------5分设()11,Ax y ,()22,B x y ,由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,------------------------------6分 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++------------------------------------------------7分联立方程2(2)24y k x x y=++⎧⎨=⎩,消去x 整理得()222414(1)0y k k y k -++++=()21241y y k k ∴+=++,2124(1)y y k =+----------------------------------------------------------9分 所以()2212123918129842AF BF y y y y k k k ⎛⎫⋅=+++=++=++ ⎪⎝⎭所以当34k=-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.-----------------------------------------12分【解法2：由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,------------------------------6分所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++,-----------------------------------------------7分22121244x x y y =⋅,由(1)知128(1)x x k =-+,得2124(1)y y k =+, ()121244y y k x x +=+++()414k k =++,---------------------------------------------------------------9分 所以22398129842AF BF k k k ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当34k =-时,AF BF ⋅取得最小值,为92.------------------------------------------------12分】20解：(1)根据抽样调查数据知,样本中一等品和二等品共有：0.5+0.18+0.1210080⨯=（）(件)在样本中所占比例为80%,因此不能认为这种产品符合规定-------------------------------2分 (2)由频率分布直方图知,活动前样本的均值为0.02100.18200.50300.12400.16500.026032.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,活动后的均值为31,所以均值降低了1.8；-------------------------------------------------------4分 (3)由样品估计总体知,该企业随机抽取一件产品为一等品的概率为1,2二等品的概率为310, 三等品的概率为1,5--------------------------------------------------------------------------5分 随机变量X 的所有可能取值为240,270,300,330,360. -------------------------6分12111313(240),(270),552510525P X P X C ==⨯===⨯⨯=12113329(300),251010100P X C ==⨯⨯+⨯=12133111(330),(360).21010224P X C P X ==⨯⨯===⨯=所以的分布列为：--------------------------------------------------10分X 的数学期望132931240270300330360318.2525100104EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=---12分 21. 解：(1)()xf x e m '=-,若0m ≤,则()0f x '>,()f x 在(,)-∞+∞单调递增,所以()f x 无极值-----------------------------------------------2分若0m >,当ln x m >时,()0f x '>,当ln x m <时,()0f x '<,()f x 在(,ln )m -∞单调递减,在(ln ,)m +∞单调递增,所以()f x 的极小值为(ln ),f m 由(ln 1)11m m m -++=,解得1m = ------------------5分(2)方法1：令()(1)1ln(1)2xmg x e m x x =-++++(0x ≥)-------------------------------------6分 ()2(1)x m g x e m x '=-++,令()2(1)xm h x e m x =-++,222(1)()2(1)x x e m h x x +-'=+,令2()2(1)xp x x e m =+-, 显然()p x 在[0,)+∞单调递增,()(0)2p x p m ∴≥=-.---------------------------------------------8分 当2m ≤时,()0,p x ≥∴'()0h x ≥,∴()h x 在[0,)+∞单调递增,()(0)102mh x h ∴≥=-≥,即'()0g x ≥,∴()g x 在[0,)+∞单调递增, 所以()(0)20g x g m ≥=-≥,此时符合题意；-------------------------------------------------------10分 当2m >时,(0)0,p <∴0(0,),x ∃∈+∞使0()0p x =,故()p x 在0(0,)x 恒为负值,()h x 在0(0,)x 单调递减,此时()(0)102mh x h <=-<, 所以()g x 在0(0,)x 单调递减,所以()(0)20g x g m <=-<,此时不符合题意, 故所求m 的取值范围为(,2]-∞.--------------------------------------------12分 【方法2：把0x =代入不等式()ln(1)02mf x x ++≥得2m ≤,下面验证当2m ≤时, 不等式(1)1ln(1)02xme m x x -++++≥对0x ≥恒成立,--------------------------------------7分 令()(1)1ln(1)2xm g x e m x x =-++++---------------------------------------------------------------8分()2(1)x m g x e m x '=-++,令()2(1)xm h x e m x =-++,2()2(1)x m h x e x '=-+,当0x ≥时,22(1)1x +≥,又2m ≤, 212(1)m x ∴≤+,又1xe ≥,()0h x '∴≥,()h x 在(0,)+∞单调递增,--------------11分 ()(0)102mh x h ≥=-≥,所以()g x 在(0,)+∞单调递增, ()(0)20g x g m ∴≥=-≥,故所求m 的取值范围为(,2]-∞------------------------------12分】22.解：(1)因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,-------------------------------------------------------1分所以1C的极坐标方程为sin 0-=θθ,即3=πθ()R ρ∈,----------------------------3分2C 的极坐标方程为22cos 4sin 0--=ρρθρθ. ----------------------------------------------------4分即2cos 4sin 0--=ρθθ----------------------------------------------------------------------------------5分 (2)3=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得11=+ρ分6=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得22=ρ分故OAB ∆的面积为((12sin 21264⨯+⨯+⨯=+π.----------------------------------10分 23.(1)解：1,0,0x y x y +=>>且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩--------------------------------------------------------2分010111121()21222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩ 解得116x ≤<,所以不等式的解集为1[,1)6-------------------------------------------------5分 (2)解法1：1,x y +=且0,0x y >>,2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x yy x=++59≥=. ------9分 当且仅当12x y ==时,取“=”. ------------------------------------------------------------------10分 【解法2：1,x y +=且0,0x y >>,2222221111(1)(1)x y x y x y--∴--=⋅------------------------------------------------------------------6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xyxy +++=---------------------------8分 21xy =+2219()2x y ≥+=+ 当且仅当12x y ==时,取“=”. ----------------------------------10分】。

5千元至1万元的项目投资（占33%）1万元以上的项目投资5千元以下的项目投资（占46%）绝密★启用前揭阳市2019年高考二模数学(文科)本试卷共23题,共150分,共4页,考试结束后将本试卷和答题卡一并收回. 注意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|11M x x =-<<,{|N x y =,则MN =A.1|12N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭B.1|12N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭C.{}|01N x x =≤<D.1|12N x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭2.复数13ii +的共轭复数的虚部为 A.110 B.310 C.110- D.310-3.已知双曲线221mx y +=的一条渐近线方程为20x y +=,则m 的值为A.41-B.1-C.2-D.4- 4.通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如右的列联表,由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++得2250(2015105)8.33330202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 参照附表,得到的正确结论是 A .有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B .有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C .在犯错误的概率不超过0.1％的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D .在犯错误的概率不超过0.1％的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 5.某公司2018年在各个项目中总投资500万元,右图是几类项目的投资占比 情况,已知在1万元以上的项目投资中,少于3万元的项目投资占821,那么不少于3万元的项目投资共有A.56万元B.65万元C.91万元D.147万元6.已知1sin ,cos 11a aa a -==-++θθ,若θ是第二象限角,则tan θ的值为 A. 12- B. 2- C. 34- D. 43-7.已知βα,是平面,n m ,是直线,则下列命题中不正确．．．的是 A.若m ∥α⊥m n ,,则α⊥n B.若m ∥n =⋂βαα,,则m ∥n C.若⊥m βα⊥m ,,则α∥β D.若⊥m βα⊂m ,,则⊥αβ8.已知函数e 0()ln 0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，，，，则1[()]3f f 的是A.13 B.1eC.eD.3 9. 我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”,其内容为：“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,执行该程序框图,若输入20x =,则输出的结果为A.3B.4C.5D.610. 设函数()cos 2sin(2)2f x x x π=++,则下列结论错误．．的是 A.−2π为f (x )的一个周期 B.y =f (x )的图像关于直线x =2π对称 C.f (x )的一个零点为x =4πD.()f x 的最大值为211.设F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点,A 是椭圆E 的左顶点,P 为直线32ax =上一点,APF ∆是底角为030的等腰三角形,则椭圆E 的离心率为A.34B.23C.12D.1312.若函数()f x =22()x x ax b -++的图像关于直线1x =-对称,则()f x 的最大值是A.2-B.1-C.0D.1二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若x ,y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则32z x y =-的最小值为 .14.已知平面向量1(21,),(2,1)2a mb m =+-=,且∥,则实数m 的值为 .1D包裹件数0.0020.0010.005频率15.已知四棱锥S ABCD-的正方形,且四棱锥S ABCD-的顶点都在半径为2的球面上,则四棱锥S ABCD-体积的最大值为.16.已知△ABC中,AC=是BC边上的一点,且△ABD为等边三角形,则△ACD面积S的最大值为.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第23题为选考题,考生根据要求做答.17.(12分)已知等差数列{}n a的前n项和为n S,公差d不为零,若139,,a a a成等比数列,且410S=.(1)求数列{}n a的通项公式；(2)求证：121112nS S S+++<.18.(12分)已知如图,长方体1111ABCD AB C D-中,4AB BC==,1BB=,点E,F,M分别为11C D,11A D,11B C的中点,过点M的平面α与平面DEF平行,且与长方体的面相交,交线围成一个几何图形.(1)在图中画出这个几何图形,并求这个几何图形的面积(画图说出作法,不用说明理由)；(2)求证：1D B⊥平面DEF.19.(12分)已知抛物线2:4C x y=的焦点为F,直线(0)y kx m m=+>与抛物线C交于不同的两点,M N.(1)若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直,求m的值；(2)若2m=,求MF NF⋅的最小值.20.(12分)某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹,除收费10元之外,超过1kg的部分,每超出1kg(不足1kg,按1kg计算)需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示(同一组数据用该区间的中点值作代表).(1)求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人,每人每天工资100元,以样本估计总体,试估计该公司每天的利润有多少元？(3)小明打算将(0.9),(1.3),(1.8),(2.5)A kgB kgC kgD kg四件礼物随机分成两个包裹寄出,且每个包裹重量都不超过5kg,求他支付的快递费为45元的概率.21.(12分)已知函数()ln 1f x x a x =--.(1)若函数()f x 的极小值为0,求a 的值； (2)0t ∀>且1a ≤,求证：2()2t a f e t >. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)在直角坐标系xOy 中,直线1:C y ,圆()()222:125C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求12,C C 的极坐标方程; (2)若直线3C 的极坐标方程为()R 6=∈πθρ,设1C 与2C 的交点为,,O A 圆2C 与3C 的交点为,O B ,求OAB ∆的面积.23. [选修4-5：不等式选讲] (10分)已知正实数x , y 满足1x y +=. (1)解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； (2)证明：2211(1)(1)9x y --≥.揭阳市2019高考二模数学 (文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.解析：11.由题意可知0312cos 60,,2a cPFx a c -∠=∴=+解得23c e a ==. 12.22()()f x x x ax b =-++的图像关于直线1x =-对称,且2x 重根0,所以2x ax b ++重根2-,22()(2)f x x x ∴=-+,所以()f x 的最大值是0.【或由对称性可知(2)(0)f f -=,得24a b =+,由题意可知'(1)0f -=,得324a b =+,解得4a b ==,得22()(2)f x x x =-+,可知()0f x ≤,所以()f x 的最大值是0.】15.显然球心O 在平面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心M,21,AC OM ===所以四棱锥S ABCD -的高的最大值为3,此时四棱锥SABCD -体积的为21363⨯⨯=16.因为△ABD 为等边三角形.所以ADB ∠=60°, ADC ∠=120°.在△ADC 中,AC =由余弦定理得：2222cos AC CD AD CD AD ADC =+-⋅⋅∠,2212CD AD CD AD =++⋅≥2CD AD CD AD ⋅+⋅,即4AD CD ⋅≤故1=sin 2S AD CD ADC AD CD ⋅⋅∠=⋅≤当且仅当=AD CD 时△ACD 面积S17.解：(1)由139,,a a a 成等比数列,可得2111(2)(8)a d a a d +=+且0d ≠,化简得1a d =---------------------------------------3分 由410S =可得1235a d +=由上解得11a d ==,1(1)1n a n n ∴=+-⋅=---------------------------------------------------6分PNM EF C 1B 1D 1A 1DCBAQ PNMEFC 1B 1D 1A 1DCB A(2)由(1)知(1)2n n n S +=,------------------------------------------------------------------------------7分 12112()(1)1n S n n n n ==-++------------------------------------------------------------------------9分 ∴121111111122(1)2()2()2222311n S S S n n n +++=⋅-+⋅-++⋅-=-<++------------12分18.解：(1)设N 为11A B 的中点,连结MN,AN 、AC 、CM,则四边形MNAC 为所作图形；-------------------------------------2分易知MN 11//A C (或//EF ),四边形MNAC 为梯形,且12MN AC ==分过M 作MP ⊥AC 于点P ,可得MC ==2AC MNPC -=得MP =分 所以梯形MNAC 的面积=12⨯-----------------------------6分(2)证法1：在长方体中1111ABCD A B C D -,设11D B 交EF 于Q,连接DQ,则Q 为EF 的中点并且为11D B 的四等点,如图,114D Q =⨯分由DE DF =得DQ EF ⊥,又1EF BB ⊥,EF ∴⊥平面11BB D D ,1EF D B ∴⊥-------------------------------------------------------------------10分 1111,2D Q D D D D DB ==11,D QD BD D ∴∠=∠111190QD B D QD DD B BD Q ∴∠+∠=∠+∠=︒, 1DQ DB ∴⊥1D B ∴⊥平面DEF --------------------------------------------------------------------------12分【证法2：设11D B 交EF 于Q,连接DQ,则Q 为EF 的中点,且为11D B 的四等分点,114D Q =⨯分由11111BB A B C D ⊥平面可知1BB EF ⊥, 又11B D EF ⊥,1111BB B D B =,EF ∴⊥平面11BB D D ,1EF D B ∴⊥---------------10分由11112D Q D D D D DB ==得11tan tan QDD D BD ∠=∠, 得11QDD D BD ∠=∠,BDB 1D 1Q1190QDB D BD QDB QDD ∴∠+∠=∠+∠=︒,1DQ D B ∴⊥,又DQEF Q =,1D B ∴⊥平面DEF ---------------------------------------------------------------12分】【其它解法请参照给分】19.解：(1)设1122(,),(,),M x y N x y 对24x y =求导得：=2xy '，------------------------------------1分故抛物线C 在点M 和N 处切线的斜率分别为12x 和22x ,又切线垂直, 12122x x ∴⋅=-,即124x x ⋅=-,----------------------------------------------------------------------------3分 把2440.y kx m C x kx m =+--=代入的方程得124.x x m ∴=--------------------------------5分 故 1.m =---------------------------------------------------------------------------------------------------------6分(2)解：设()11,Mx y ,()22,N x y ,由抛物线定义可知11MFy =+,21NF y =+---------------8分由(1)和2m =知12128,4x x x x k =-+=所以()()()()()212121212113339MF NF y y kx kx k x x k x x ⋅=++=++=+++=249k +------11分所以当0k=时, MF NF ⋅取得最小值,且最小值为9.-----------------------------------------------------12分20.解：(1)每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；--------------------------------------------2分【或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6,所以每天包裹数量的平均数为1(506150625030350124506)26060⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=】 设中位数为x ,易知(200,300)x ∈,则0.00110020.005(200)0.5x ⨯⨯+⨯-=,解得x =260. 所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件. -----------------------------------------4分 (2)由(1)可知平均每天的揽件数为260,利润为260531001000⨯-⨯=(元),所以该公司平均每天的利润有1000元.-------------------------------------------------7分 (3)设四件礼物分为二个包裹E 、F,因为礼物A 、C 、D 共重0.9 1.8 2.5 5.2++=(千克), 礼物B 、C 、D 共重1.3 1.8 2.5 5.6++=(千克),都超过5千克,------------------8分 故E 和F 的重量数分别有1.8 4.7和,2.5 4.0和,2.2 4.3和,2.7 3.8和,3.1 3.4和共5种, 对应的快递费分别为45、45、50,45,50(单位：元)------------------------------10分 故所求概率为35.----------------------------------------------------------------------------------12分 21.解：(Ⅰ)'()x af x x-=,----------------------------------------------------------------1分 当0a ≤时,'()0f x >,函数()f x 在定义域上递增,不满足条件； 当0a >时,函数()f x 在(0,)a 上递减,在(,)a +∞上递增,故()f x 在x a =取得极小值0,()ln 10f a a a a ∴=--=,-------------------------3分令()ln 1p a a a a =--,()ln p a a '=-,所以()p a 在(0,1)单调递增, 在(1,)+∞单调递减,故()(1)0p a p ≤=,()0f a ∴=的解为1a =,故1a =.----------------------------------------------------------------------------------------------6分 (2)证法1：由222()11222t t t a a af e t e at t e t at >⇔-->⇔->+,---------------------7分 1a ≤,所以只需证当0t >时,2112t e t t ->+恒成立. ----------------------------------9分令21()1,()1,2tt g t e t t g t e t '=---=-- 由(1)可知ln 10x x --≥,令t x e =得10te t --≥---------------------------------------11分∴ ()g t 在(0,)+∞上递增,故()(0)0g t g >=,所以命题得证. -------------------------12分【证法2：222()110222t t t a a af e t e at t e t at >⇔-->⇔--->, 设2()12t a g t e t at =---(0t >),则'()t g t e at a =--, 则''()t g t e a =-,又01t e e >=,1a ≤,得''()0g t >, 所以'()g t 单调递增,得'()(0)10g t g a >=-≥, 所以()g t 单调递增,得()(0)0g t g >=,得证.】22.解：(1)因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,---------------------------------------------------1分所以1C的极坐标方程为sin 0-=θθ,即3=πθ()R ρ∈,------------------3分2C 的极坐标方程为22cos 4sin 0--=ρρθρθ. ----------------------------------------4分即2cos 4sin 0--=ρθθ------------------------------------------------------------------------5分 (2)3=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得11=+ρ-----------------------7分6=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得22=ρ---------------------------------8分故OAB ∆的面积为((12sin 21264⨯+⨯+⨯=+π.------------------------10分 23. 解：(1)1,0,0x y x y +=>>且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩-------------------------------------------2分010111121()21222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩ 解得116x ≤<,所以不等式的解集为1[,1)6-----------------------------------5分 (2)解法1：1,x y +=且0,0x y >>, 2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x yy x=++59≥=. -------9分 当且仅当12x y ==时,取“=”. ----------------------------------------------------10分 【解法2：1,x y +=且0,0x y >>,2222221111(1)(1)x y x y x y--∴--=⋅-------------------------------------------------------------------------6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xyxy +++=--------------------------------8分 21xy =+2219()2x y ≥+=+ 当且仅当12x y ==时,取“=”. ---------------------------------------10分】。

绝密★启用前揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数23()=ln(2)1xf x x x x +--的定义域为 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）(0,2) （D ）[1,2] （2）已知复数21i z i=-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）2i （B ）2i - （C ）-2 （D ）2（3）已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ==-=，若2a b -与c 共线，则k 的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 （4）已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是 （A ）命题p q ∨是假命题（B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题 （5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为（A ）1415（B ）815 （C ）25 （D ）415（6）已知函数2log ,(0)()2,(0)x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则不等式()1f x >的解集为（A ）(2,)+∞（B ）(,0)-∞ （C ）(,0)(2,)-∞+∞ （D ）(0,2)（7）如图1，圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （A ）4cm （B ）3cm （C ）2cm （D ）1 cm（8）已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 （A ）20152016 （B ）20162017 （C ）20142015 （D ）20172018（9）函数()(1cos )sin f x x x =+在[,]ππ-的图象的大致形状是（10）实数,x y 满足条件20,40,3.x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22y x 的取值范围为（A ）[4,)+∞ （B ）1[,2]3 （C ）[0,4] （D ）1[,4]9（11）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为(A)20+2π (B) 206π+ (C) 142π+ (D)16（12）在平面直角坐标系中，过原点O 的直线l 与曲线2x y e-=交于不同的两点A 、B ，分别过A 、B 作x 轴的垂线，与曲线ln y x =交于点C 、D ，则直线CD 的斜率为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）12ABCDb年产量/kg0.0015450550350250650a频率/组距0.0040第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）某水稻品种的单株稻穗颗粒数X 服从正态分布2(200,10)N ，则(190)P X >=__________． (附：若Z ～2(,)N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544.)(14)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60，则该双曲线的离心率为 .(15)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (16)已知等差数列{}n a 满足18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 图3(17)（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=，且152AB AC ⋅=-.(Ⅰ)求△ABC 的面积； (Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4(18)（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年， 根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图5所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平 均年产量为455kg . 当年产量低于450 kg 时，单位售价为 12元/ kg ，当年产量不低于450 kg 时，单位售价为10元/ kg . （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年 产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，求年销售额X （单位：元）的分布列； 图5 （Ⅲ）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=， AB=PC=2，PA=PB=2.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）设H 是PB 上的动点，求CH 与平面PAB 所成 最大角的正切值.图6（20）(本小题满分12分)已知椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率为63，若动点A 在椭圆C 上，动点B 在直线62ab y c ==上.（c 为椭圆的半焦距） （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若OA OB ⊥(O 为坐标原点)，试探究点O 到直线AB 的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.(21)（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()2x f x e ax =+，()g x 是()f x 的导函数， （Ⅰ）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00g x =； （Ⅱ）若存在实数,a b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC =2，BD =4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC =3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）OPAB DC E图7(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>， (Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ) 求关于x 的不等式|()|2f x ≤的解集．揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCCDACBBADAC解析：（6）如右图，易得所求不等式的解集为(,0)(2,)-∞+∞，（7）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. (8)依题意知2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++， 201611111122320162017S =-+-++-12016120172017=-=． （9）由()12f π=可排除（C ）、(D)，由33()134f π=>可排除（B ）,故选(A).(10)设y k x =，则k 为可行域内的点与原点连线的斜率，易得123k ≤≤，故2149k ≤≤.（11）该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个14圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：211(41)2(41+21)320222πππ-⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+.(12)设直线l 的方程为(0)y kx k =>，且1122(,),(,)A x y B x y ，故121x kx e -=，222x kx e-=12221211,x x x e x e k k--⇒==，则122212121211ln()ln()ln ln x x CD e e x x k k k x x x x ----==-- 121211ln (2)ln ln (2)ln 1x e x e k k x x +----==-.ABCDE二、填空题：题号 131415 16 答案0.8413233或2621解析：(13) (190)P X >=1()()0.52P X P X μσμσμσ>-=⋅-<<++0.8413=(16)由81358a a =得11135(7)8(12)61a d a d d a +=+⇒=-， 由1113(1)(1)()061n a a n d a n a =+-=+--≥1213n ⇒≤， 所以，数列{}n a 前21项都是正数，以后各项为负数，故n S 取最大值时，n 的值为21.三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,---2分 即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 152224ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯⨯=.-------5分 (Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分 解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分 【解法2：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得35sin 532sin 714AB BAC ACD BC ⨯∠∠===，----------------------------------------9分 ∵090ACD <∠< ∴211cos 1sin 14ACD ACD ∠=-∠=，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得192AD =.------------------------------------------------------12分】 【解法3：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分 在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 解得192AD =.-------------------------------------------------------12分】 （18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，----------------------------------------------1分 由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------3分 解得0.0010a =；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）依题意知X 的可能取值为3600、4800、5000、6000，-------------------6分∵(3600)0.1P X ==，(4800)0.4P X ==，(5000)0.35P X ==，(3600)0.15P X ==， ∴X 的分布列为X 3600 4800 5000 6000 P0.10.40.350.15-------------------------8分（Ⅲ）∵一年的销售额不低于5000元的概率为0.35+0.15=0.5, -------------------9分 5年中年销售额不低于5000元的年数1~(5,)2B ξ，∴5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为51551113(2)1(0)(1)1()()2216P P P C ξξξ≥=-=-==--⨯=.-----------------12分（19）解：(Ⅰ)证明：取AB 中点O ，连结PO 、CO ，----------1分 由PA=PB=2，AB=2，知△PAB 为等腰直角三角形， ∴PO=1，PO ⊥AB ，-----------------------------------2分 由AB=BC=2，60ABC ∠=，知△ABC 为等边三角形， ∴3CO =，-------------------------------------3分由2PC =得222PO CO PC +=,∴PO ⊥CO ，-------------------------------------------------------4分 又ABCO O =，∴PO ⊥平面ABC ，----------------------------------------------5分又PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ----------6分（Ⅱ）解法1：如图，连结OH ，由（Ⅰ）知CO PO ⊥，CO AB ⊥ ∴CO ⊥平面PAB ，CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角，-----------7分在Rt △COH 中，∵tan OC CHO OH ∠=3OH=，-----------8分 要CHO ∠最大，只需OH 取最小值，而OH 的最小值即点O 到PB 的距离，这时OH PB ⊥，22OH =，-------------10分 故当CHO ∠最大时，tan 6CHO ∠=.即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.------------------------------12分 【解法2：由（Ⅰ）知PO ⊥平面ABC ，CO AB ⊥，如图所示，以O 为原点，OC 、OB 、OP 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系， 则(3,0,0)C ，(0,1,0)B ，(0,0,1)P ，-----------------------------7分 设点H 的坐标为(0,,)m n ，BH BP λ=，则(0,1,)(0,1,1)m n λ-=-，∴1,m n λλ=-=，即(0,1,)H λλ-，------8分 则(3,1,)HC λλ=--，(3,0,0)OC =为平面PAB 的法向量， 设CH 与平面PAB 所成的角为θ， 则||sin |cos ,|||||OC HC OC HC OC HC θ⋅=<>=⋅22333(1)()λλ=⨯+-+-23172()22λ=-+,------10分当12λ=时，sin θ取最大值，max 6(sin )7θ=，-------------------------11分 又(0,]2πθ∈，此时θ最大，tan 6θ=，即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.-----------------12分】 (20)解：(Ⅰ)依题意得：63c a =-----① 62ab c =--------②-------------1分 ①×②得1b =，---------------------------------------------------2分又2222223c a b a a -==，解得23a =---------------------------------3分 ∴所求椭圆C 的方程为2213x y +=.--------------------------4分 （Ⅱ）依题意知直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =， （1）若0k ≠，则直线OB 的方程为1y x k=-，设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则由222233113A AA A A y kx x x k y =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，------------------------6分 由2213262B B B B y x k k x y ⎧=-⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩，-------------------------------------------------------------------7分 ∵222223(1)||1||31AAA k OA x y k x k +=+=+=+，--------------------------------8分∴222213(1)||1()||2BBB k OB x y x k +=+=+-=,-----------------------------9分设点O 到直线AB 的距离为d ，则22222222223(1)3(1)2||||31)312==1||3(1)||+||3(1)3(1)312AOB k k S OA OB k k d AB k OA OB k k k ∆++⋅⋅++===+++++（.---------10分 (2)若0k =，则A 点的坐标为(3,0)-或(3,0)，B 点的坐标为6(0,)2， 这时，6321634d ⋅==+，---------------------------------------------------------------------------11分 综上得点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.-------------------------------------------------12分 【解法二：设A 、B 的坐标00(,)A x y 、6(,)2B t ，------------------------------------------5分 由点A 在椭圆C 上和OA OB ⊥分别可得：220013x y +=和00602tx y +=，--------6分 设点O 到直线AB 的距离为d ，则有||||||,OA OB AB d ⋅=⋅-------------------------------7分2222||||||OA OB AB d ∴⋅=⋅222222221||||||||||||||AB OA OB d OA OB OA OB +⇒==⋅⋅,-------------------8分 2022********2222266200000000602222111111112||||3()()()x d OA OB x y x y x y x y t y x ∴=+=+=+=+⋅++++++220022220000323213()3(1)3x x x x y x ++===++--------------------------------------------------------------------11分所以点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.--------------------------------------------------12分】(21)（Ⅰ）证明：∵()()2x g x f x e ax '==+，()2x g x e a '=+，------------------------1分当0a >时，()0g x '>，∴函数()g x 在∞∞(-,+)上的单调递增，------------------------2分 又12g a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1210a e --<，()010g =>，------------------------------------------------------3分 ∴存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =；-----------------------------------------------4分 （Ⅱ）解：（1）当0a <时，则当(,0)x ∈-∞时，()0g x >，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，且当x →-∞时，()f x →-∞，这与()f x b ≥矛盾；---------------------------5分（2）当0a =，由x e b ≥，得0b ≤，∴0a b -≥；------------------------------------------6分（3）当0a >，由（Ⅰ）知当()0,x x ∈-∞时，()0g x <；当()0,x x ∈+∞时，()0g x >；即()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，----------------------------------7分∴()()0min f x f x =，-----------------------------------------------------------------------------------8分其中0x 满足0020x e ax +=，故002x e a x =-且00x <， ∵()f x b ≥恒成立，∴0()b f x ≤即020x b e ax -≥--，于是0020001122x x x a b a e ax e x ⎛⎫-≥--=-+- ⎪⎝⎭，------------------9分 记1()(1)22x x h x e x =-+-，0x <，则()()221'()112x h x e x x x=-+，-----------------10分 由'()0h x <得1x <-，即函数()h x 在(,1)-∞-上单调时递减，'()0h x >得10x -<<，即函数()h x 在(1,0)-上单调递增， ∴min 1()(1)h x h e=-=-，综上得a b -的最小值为1e-，此时01x =-．--------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分 得AB BC BD AB=，----------------------------------------------------------------------------4分 28AB BC BD =⋅=，22AB =；---------------------------------5分（Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分 于是得231x t =±-，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C 的参数方程为231,2.x t y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）和231,2.x t y t ⎧⎪=--⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分 设点P 的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分 则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分 3sin 3cos 32sin()4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<-------------------------------------------9分 当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP 面积取得最大值，其值为32.--------10分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+---4分 ∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a =1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分 ∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-， ∴a =1；-----------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集---6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分 当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2a a <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分 综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。

广东省揭阳市高三数学二模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）若是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角2. （2分）已知集合,则等于（）A . {-1,0,1}B . {1}C . {-1,1}D . {0,1}3. （2分）(2016·浦城模拟) 已知复数z= ，则在复平面上所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分） (2019高二下·中山期末) “ ”是“ ”（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2015高二下·伊宁期中) 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高一上·洛阳期末) 函数y=lnx与y=﹣2x+6的图象有交点P（x0 ， y0），若x0∈（k，k+1），则整数k的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）函数f(x)=2x+(x>0)有（）A . 最大值8B . 最小值8C . 最大值4D . 最小值48. （2分） (2017高三上·唐山期末) 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A .B .C .D .二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分）(2020·日照模拟) 某商场一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况的统计如折线图所示，则下列说法正确的是（）A . 2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B . 支出最高值与支出最低值的比是C . 第三季度平均收入为60万元D . 利润最高的月份是2月份10. （3分）(2020·聊城模拟) 若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是（）A . C的渐近线上的点到距离的最小值为4B . C的离心率为C . C上的点到距离的最小值为2D . 过F的最短的弦长为11. （3分）(2020·济宁模拟) 已知函数，现给出下列四个命题，其中正确的是（）A . 函数的最小正周期为B . 函数的最大值为1C . 函数在上单调递增D . 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为12. （3分） (2020高一下·如东期末) 如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、的中点，平面，，，，则（）A . 三棱锥的体积为B . 平面截三棱锥所得的截面面积为C . 点与点到平面的距离相等D . 直线与直线垂直三、填空题 (共3题；共3分)13. （1分），则n=________．14. （1分） (2019高三上·雷州期末) 三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则三棱锥外接球的表面积等于________.15. （1分）(2020·兴平模拟) 已知函数的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则________.四、双空题 (共1题；共1分)16. （1分） (2017高二上·静海期末) 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是________．五、解答题 (共6题；共61分)17. （1分）设函数，其中 .已知 .（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.18. （10分）(2019·揭阳模拟) 已知数列的前n项和为，且满足， .（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的前n项和为，且，，求数列的前项和．19. （10分）(2018·凯里模拟) 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，，，点为中点，与交于点 .（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20. （10分）(2018高三上·沈阳期末) 在平面直角坐标系中，点，圆，以动点P为圆心的圆经过点，且圆P与圆内切.（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；（Ⅱ）若直线l过点，且与曲线E交于两点，则在x轴上是否存在一点，使得x轴平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.21. （15分）(2017·淮北模拟) 为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：与教育有关与教育无关合计男301040女35540合计651580（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？参考公式：（n=a+b+c+d）．附表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.023 6.635（2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（3）以（2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X，求X的数学期望E（X）．22. （15分） (2019高三上·日照期中) 己知函数．（1）证明：当恒成立；（2）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、多选题 (共4题；共12分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、四、双空题 (共1题；共1分) 16-1、五、解答题 (共6题；共61分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

2015-2016学年广东省揭阳三中高三（上）第二次月考数学试卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合M=｛1，2，3}，N={x|log2x＞1），则M∩N=（）A．｛3} B．{2，3｝C．{1，3} D．{1，2，3｝2．设f（x）是R上的任意函数,则下列叙述正确的是(）A．f（x）f（﹣x)是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数C．f(x）﹣f(﹣x）是偶函数D．f（x）+f（﹣x)是偶函数3．下列各式错误的是（）A．30。

8＞30。

7B．log0.50.4＞log0..50。

6C．0.75﹣0.1＜0.750。

1D．lg1.6＞lg1.44．设集合M=｛x｜﹣1≤x＜2｝，N=｛x｜x﹣k≤0}，若M∩N≠∅,则k的取值范围是（)A．（﹣∞，2]B．［﹣1,+∞）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，2］5．若f（x）是奇函数,且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点,则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（﹣x)e x﹣1 B．y=f（x)e﹣x+1 C．y=f（x）e x+1 D．y=f（x）e x﹣16．函数的单调递减区间为（)A．（﹣∞，+∞）B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3］D．［3，+∞）7．如图的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图象．已知n分别取±2,四个值,与曲线c1、c2、c3、c4相应的n依次为(）A．B．C．D．8．函数f(x）=4lnx﹣x2的大致图象是（)A．B．C． D．9．下列有关命题的说法中错误的是（)A．若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题B．“x=1"是“x≥1”的充分不必要条件C．“”的必要不充分条件是“”D．若命题p：“∃实数x使x2≥0"，则命题¬p为“对于∀x∈R都有x2＜0”10．如图所示，单位圆中的长为x，f（x）表示弧与弦AB所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f （x)的图象是（)A．B．C．D．11．函数的零点x0属于区间(）A．B．C．D．12．设命题p:函数y=lg（x2+2x﹣c）的定义域为R，命题q：函数y=lg(x2+2x﹣c）的值域为R，若命题p、q有且仅有一个正确,则c的取值范围为()A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．[﹣1，+∞) D．R二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分,把答案填在题中横线上。

广东省揭阳市2016届高三第二次模拟考试语文试题本试卷分第1卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。

共10页，满分为150分。

考试时间150分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卷一并交回。

第1卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1~3题。

世界上有过宗族性的血缘组织的民族不乏其例，但像中华早期文明社会中所见的宗族组织与政治权利同构的情形，却属罕见。

古代中华文明中，宗庙所在地成为聚落的中心，政治身份的世袭和宗主身份的传递相合，成为商、周文明社会国家的突出特点。

政治身份与宗法身份的合一，或政治身份依赖于宗法身份，发展出一种治家与治国融为一体的政治形态和传统。

中国古代从西周到春秋的社会，其基本特点就是宗法性社会。

这里所说的“宗法性社会”是一个描述性的概念，并无褒贬之意，乃是指以亲属关系为其结构、以亲属关系的原理和准则调节社会的一种社会类型。

在宗法社会中，一切社会关系都家族化了，宗法关系即是政治关系，政治关系即是宗法关系。

故政治关系以及其他社会关系，都依照宗法的亲属关系来规范。

这样一种社会，在性质上近于梁漱溟所说的“伦理本位的社会”。

伦理关系的特点是在伦理关系中有等差、有秩序，同时又有情义、有情分。

因此，在这种关系的社会中，主导的原则不是法律而是情义，重义务而不重权利。

梁漱溟认为中国伦理本位的社会是脱胎于古宗法社会而来，是不错的。

从早期中国文化的演进来看，夏、商、周的文化模式有所差别，但三代以来也发展着一种连续性的气质，这种气质以黄河中下游文化为总体背景，在历史进程中经由王朝对周边方国的统合力增强而逐渐形成。

2016年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（0，2） C．（﹣∞，2]D．（2，+∞）2．复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设f（x）是定义在R上的函数，则“f （x）不是奇函数”的充要条件是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）4．若2cos（θ﹣）=3cosθ，则tanθ=（）A．B．C．﹣D．5．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，收集数据如表所示，根据右表可得回归方程中的为9.4，据此可估计加工零件数为6时加工时间大约为（）A．63.6 min B．65.5 min C．67.7 min D．72.0 min6．已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1），则=（）A．1 B．2 C．5 D．107．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y|）x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C．D．8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2+6x+5=0相切，且圆C的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．9．已知不等式组所表示的平面区域为D，直线l：y=3x+m不经过区域D，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）10．已知角φ的终边经过点P（1，1），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=（）A．B．C．D．11．已知球O表面上有三个点A、B、C满足AB=BC=CA=3，球心O到平面ABC的距离等于球O半径的一半，则球O的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π12．在直角坐标平面上，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0），M为线段AD上的动点，若|AM|≤2|BM|恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．已知向量的夹角为，且，，则=．14．如图所示的流程图，输入正实数x后，若输出i=4，那么输入的x的取值范围是．15．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．16．已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=1+2log32a n，求证：．18．某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图3所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意，（Ⅰ）根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得K2=3.7781，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“满意与否”与“性别”有关？附：（Ⅱ）估计用户对该公司的产品“满意”的概率；（Ⅲ）该公司为对客户做进一步的调查，从上述对其产品满意的用户中再随机选取2人，求这两人都是男用户或都是女用户的概率．19．如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，E为线段AD的中点，F是BE的中点，将△ABE 沿直线BE翻折成△A′BE，使得A′F⊥CD，（Ⅰ）求证：平面A′BE⊥平面BCDE；（Ⅱ）若四棱锥A′﹣BCDE的体积为，求点F到平面A′DE的距离．20．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的焦距为2，且点在C1上．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C1切于A点，与抛物线C2：x2=2y切于B点，求直线l的方程和线段AB的长．21．已知函数f（x）=+x﹣2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有不等式（x﹣1）（e﹣x﹣x）+2lnx＜恒成立．选修4-1：几何证明选讲22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（Ⅰ）当∠PEC=60°时，求∠PDF的度数；（Ⅱ）求PE•PF的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知参数方程为（t为参数）的直线l经过椭圆的左焦点F1，且交y轴正半轴于点C，与椭圆交于两点A、B（点A位于点C上方）．（I）求点C对应的参数t C（用θ表示）；（Ⅱ）若|F1B|=|AC|，求直线l的倾斜角θ的值．选修4-5：不等式选讲24．设a∈R，f（x）=|x﹣a|+（1﹣a）x．（I）解关于a的不等式f（2）＜0；（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．2016年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（0，2） C．（﹣∞，2]D．（2，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】分别求出集合A和B，利用交运算法则能求出集合A∩B．【解答】解：∵={x|x≤2}，B={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，则A∩B=（0，2），故选：B．【点评】本题考查集合的交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次方程的应用．2．复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z所对应点的坐标得答案．【解答】解：=，∴复数在复平面上所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设f（x）是定义在R上的函数，则“f （x）不是奇函数”的充要条件是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，进行判断即可．【解答】解：f （x）不是奇函数，则等价为∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）不成立，即∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0），故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据含有量词的命题的否定进行判断是解决本题的关键．4．若2cos（θ﹣）=3cosθ，则tanθ=（）A．B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】先由余弦加法定理得到，再由同角三角函数关系式能求出tanθ．【解答】解：∵2cos（θ﹣）=3cosθ，∴2cosθcos+2sin=3cosθ，∴，∴tanθ==．故选：D．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．5．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，收集数据如表所示，根据右表可得回归方程中的为9.4，据此可估计加工零件数为6时加工时间大约为（）A．63.6 min B．65.5 min C．67.7 min D．72.0 min【考点】线性回归方程．【专题】计算题；对应思想；待定系数法；概率与统计．【分析】根据表中数据，计算出、，代人方程中，求出的值并写出回归直线方程，计算x=6时的值即可．【解答】解：根据表中数据，计算=×（2+3+4+5）=3.5，=×（26+39+49+54）=42，又中的=9.4，∴=42﹣9.4×3.4=9.1，∴回归直线方程为=9.4x+9.1；当x=6时，=9.4×6+9.1=65.5（min）．故选：B．【点评】本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，是基础题目．6．已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1），则=（）A．1 B．2 C．5 D．10【考点】函数的周期性．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由已知中函数f（x）是周期为2的奇函数，可得==﹣，进而结合对数的运算性质，可得答案．【解答】解：∵当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1），=lg又∵函数f（x）是周期为2的奇函数，∴==﹣=﹣lg，∴=lg18﹣lg=1g10=1，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，对数的运算性质，难度中档．7．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y|）x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】数形结合；概率与统计．【分析】根据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求M落在区域Ω2内的概率，只要求A、B所表示区域的面积，然后代入概率公式P=，计算即可得答案．【解答】解：根据题意可得集合A={（x，y）|x2+y2≤16}所表示的区域即为如图所表示的圆及内部的平面区域，面积为16π，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域即为图中的Rt△AOB，S△AOB=×4×4=8，根据几何概率的计算公式可得P==，故选A．【点评】本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2+6x+5=0相切，且圆C的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意易得圆心和半径，可得c值，再由直线和圆相切可得bc的关系可得b值，再由a2=c2﹣b2可得a值，可得双曲线方程．【解答】解：∵圆C：x2+y2+6x+5=0可化为（x+3）2+y2=4，即圆的圆心C（﹣3，0），半径r=2，∵圆C的圆心是双曲线的一个焦点，∴c=3，∵双曲线=1的渐近线y=x即bx﹣ay=0与圆C相切，∴=2，即=2，解得b==2，∴a2=c2﹣b2=9﹣4=5，∴双曲线的方程为﹣=1，故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及直线和圆的位置关系，属中档题．9．已知不等式组所表示的平面区域为D，直线l：y=3x+m不经过区域D，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；数形结合；数形结合法；不等式．【分析】由题意作平面区域，求取两个临界值，结合图象求解即可．【解答】解：由题意作平面区域如下，，当直线l过点A（1，0）时，m=﹣3；当直线l过点B（﹣1，0）时，m=3；结合图象可知，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），故选：D．【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用．10．已知角φ的终边经过点P（1，1），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得φ可取，再由函数图象和周期公式可得ω=3，代值计算可得．【解答】解：∵角φ的终边经过点P（1，1），∴φ可取，又∵函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期为，故=，解得ω=3，∴=sin（3×+）=sin=，故选：B．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，涉及三角函数的周期公式，属基础题．11．已知球O表面上有三个点A、B、C满足AB=BC=CA=3，球心O到平面ABC的距离等于球O半径的一半，则球O的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积．【专题】方程思想；数形结合法；立体几何．【分析】由正弦定理可得截面圆的半径，进而由勾股定理可得球的半径和截面圆半径的关系，解方程代入球的表面积公式可得．【解答】解：由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O′，设截面圆O′的半径为r，由正弦定理可得2r=，解得r=，设球O的半径为R，∵球心O到平面ABC的距离等于球O半径的一半，∴由勾股定理可得r2+（）2=R2，解得R2=r2=4，∴球O的表面积S=4πR2=16π，故选：D．【点评】本题考查球的表面积公式，涉及勾股定理和正弦定理，属中档题．12．在直角坐标平面上，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0），M为线段AD上的动点，若|AM|≤2|BM|恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】两点间距离公式的应用．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】结合|AM|≤2|BM|恒成立可得x2+（y﹣2）2≤4[x2+（y﹣1）2]，代入y=，问题转化为：（3t2+12）x2﹣16tx+4t2≥0恒成立，根据二次函数的性质求出t的最小值即可．【解答】解：设M（x，y），则由A、M、D三点共线可得=，整理可得y=，由两点间的距离公式，结合|AM|≤2|BM|恒成立可得x2+（y﹣2）2≤4[x2+（y﹣1）2]，整理可得3x2+3y2﹣4y≥0，代入y=，化简可得（3t2+12）x2﹣16tx+4t2≥0恒成立，∵3t2+12＞0，由二次函数的性质可得△=（﹣16t）2﹣4（3t2+12）•4t2≤0，整理可得3t4﹣4t2≥0，即t2≥，解得t≥，或t≤﹣（因为t＞0，故舍去）故正实数t的最小值是：，故选：A．【点评】本题考查了三点共线问题，考查两点间的距离公式，考查二次函数的性质是，是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．已知向量的夹角为，且，，则=6．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】运用向量的数量积的定义可得•=||•||cos=﹣2，再由向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：向量的夹角为，且，，可得•=||•||cos=2•（﹣）=﹣2，则=2﹣2•=2﹣2•（﹣2）=6．故答案为：6．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．14．如图所示的流程图，输入正实数x后，若输出i=4，那么输入的x的取值范围是．【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输出的x=a，当i=0时，应满足进行循环的条件，i=1，j=10+a；当i=1时，应满足进行循环的条件，i=2，j=10+2a；当i=2时，应满足进行循环的条件，i=3，j=10+3a；当i=3时，应满足进行循环的条件，i=4，j=10+4a；当i=4时，应不满足进行循环的条件，故10+3a＜19，且10+4a≥19，解得：，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．15．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是48．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；综合法；立体几何．【分析】由已知三视图和还原几何体，代入四棱锥的体积公式计算可得．【解答】解：由三视图可知原几何体如图所示，可看作以直角梯形ABDE为底面，BC为高的四棱锥，由三棱锥的体积公式可得V=××（2+6）×6×6=48，故答案为：48．【点评】本题考查三视图和几何体的体积的关系，还原几何体是解决问题的关键，属基础题．16．已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值2．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由条件利用等差数列的定义求得B=，再利用三角形的面积公式求得ac=4，再利用余弦定理，基本不等式即可求得AC边的最小值．【解答】解：△ABC中，A、B、C成等差数列，故2B=A+C，故B=，A+C=．∵△ABC的面积为•ac•sinB=ac=，∴ac=4，∴AC2=b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，（当且仅当a=c时等号成立）∴AC边的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题主要考查等差数列的定义，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=1+2log32a n，求证：．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）由题意结合a n和S n的关系可得数列{a n}为等比数列，由等比数列的通项公式可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）和对数的运算可得b n=2n﹣1，由裂项相消法求和可证不等式．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣，当n=1时，，即，解得；当n≥2时，由可得，两式相减可得2a n=3a n﹣3a n，变形可得，﹣1∴数列{a n}是以为首项，3为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得；（Ⅱ）证明：∵b n=1+2log32a n=2n﹣1，∴，∴=【点评】本题考查数列的递推公式和裂项相消法求和，涉及等比数列的判定和通项公式，属中档题．18．某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图3所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意，（Ⅰ）根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得K2=3.7781，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“满意与否”与“性别”有关？附：（Ⅱ）估计用户对该公司的产品“满意”的概率；（Ⅲ）该公司为对客户做进一步的调查，从上述对其产品满意的用户中再随机选取2人，求这两人都是男用户或都是女用户的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【专题】数形结合；数学模型法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图，填写2×2列联表，计算出K2的值，对照数表得出结论；（Ⅱ）利用频率值估计概率即可；（Ⅲ）用列举法计算基本事件数，求出对应的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图，填写2×2列联表，如下；计算K2=≈3.7781，﹣﹣﹣﹣∵K2≈3.7781＜3.84 1，∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别”有关；﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）因样本20人中，对该公司产品满意的有6人，故估计用户对该公司的产品“满意”的概率为，﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅰ）知，对该公司产品满意的用户有6人，其中男用户4人，女用户2人，设男用户分别为a，b，c，d；女用户分别为e，f，﹣﹣﹣﹣从中任选两人，记事件A为“选取的两个人都是男用户或都是女用户”，则总的基本事件为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15个，﹣﹣﹣﹣而事件A包含的基本事件为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），（e，f）共7个，故P（A）=．﹣﹣【点评】本题主要考查茎叶图与对立性检验的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．19．如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，E为线段AD的中点，F是BE的中点，将△ABE 沿直线BE翻折成△A′BE，使得A′F⊥CD，（Ⅰ）求证：平面A′BE⊥平面BCDE；（Ⅱ）若四棱锥A′﹣BCDE的体积为，求点F到平面A′DE的距离．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）由A′F⊥BE，A′F⊥CD可得A′F⊥平面BCDE，于是平面A′BE⊥平面BCDE；（II）根据四棱锥体积列方程解出A′B，利用三棱锥A′﹣DEF的体积使用等积法求出点F到平面A′DE的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵BC=2AB，E为线段AD的中点，∴AB=AE，AF⊥BE，故在四棱锥A'﹣BCDE中，A′F⊥BE又∵A′F⊥CD，且BE、CD为相交直线，∴A′F⊥平面BCDE，又A′F⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE；解：（Ⅱ）设A′B=x，则BC=2x，CD=DE=x，在等腰直角△A′BE中，，；由（Ⅰ）知A′F是四棱锥A′﹣BCDE的高，故，整理得x3=8，∴x=2，连结DF，在△DEF中，由余弦定理可求得，于是，∴cos∠A′ED==﹣，∴sin∠A′ED=．∴S△A′DE==；设点F到平面A′DE的距离为d，因，由V F ﹣A'DE =V A'﹣FED．∴点F 到平面A ′DE 的距离为．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．20．在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且点在C 1上．（Ⅰ）求C 1的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 1切于A 点，与抛物线C 2：x 2=2y 切于B 点，求直线l 的方程和线段AB 的长．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=，a=，由a ，b ，c 的关系可得b=1，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）依题意可知直线l 存在斜率，设直线l ：y=kx+m ，代入椭圆方程和抛物线的方程，运用判别式为0，解得k ，m ，再由两点的距离公式可得AB 的长．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，故椭圆C 1的方程为：；（Ⅱ）依题意可知直线l 存在斜率，设直线l ：y=kx+m ，由（3+k 2）x 2+2kmx+m 2﹣3=0①∴直线l与椭圆C1相切②，由x2﹣2kx﹣2m=0③∴直线l与抛物线相切…④，由②、④消去k得：m2+2m﹣3=0，解得m=﹣3或m=1，由②知m2≥3，故m=1不合舍去，由m=﹣3得，∴直线l的方程为，当直线l为时，由①易得，由③易得，此时|AB|=；当直线l为时，由图形的对称性可得|AB|=．综上得直线l的方程为或，线段|AB|=．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线与椭圆相切、与抛物线相切的条件：判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=+x﹣2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有不等式（x﹣1）（e﹣x﹣x）+2lnx＜恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；构造法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求导数解不等式可得函数的单调性，可得最小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论可得知，变形可得不等式左边≤（x﹣1）e﹣x+2x﹣x2﹣，构造函数F（x）=（x﹣1）e﹣x+2x﹣x2﹣，导数法判单调性求最值可证不等式．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+x﹣2lnx，x＞0，∴，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）在单调递减，在（1，+∞）在单调递增，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，故，记=则，当0＜x＜2时，F′（x）＞0，当x＞2时，F′（x）＜0，∴F（x）在（0，2）在单调递增，在（2，+∞）在单调递减，∴，∴，故原命题得证．【点评】本题考查导数法研究函数的最值和证明不等式，合理构造函数来证明不等式是解决问题的关键，属难题．选修4-1：几何证明选讲22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（Ⅰ）当∠PEC=60°时，求∠PDF的度数；（Ⅱ）求PE•PF的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】数形结合；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）连结BC，依题意知，∠CAB+∠CBA=∠EAP+∠PEC，继而可得∠CBA=∠PEC，又∠PEC=60°，于是可得∠PDF=∠CBA=∠PEC=60°；（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知∠PDF=∠PEC，利用D、C、E、F四点共圆PE•PF=PC•PD，及割线定理可得PC•PD=PB•PA=24，于是可得答案；解法2：由∠PEC=∠PDF，∠EPC=∠DPF可得△PEC～△PDF，从而可得PE•PF=PC•PD，再结合PC、PA都是圆O的割线，得到PC•PD=PB•PA=24，从而可求得PE•PF的值．【解答】解：（Ⅰ）连结BC，∵AB是圆O的直径，∴则∠ACB=90°，﹣﹣﹣﹣﹣又∠APF=90°，∠CAB+∠CBA=∠EAP+∠PEC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴∠CBA=∠PEC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵∠PEC=60°∴∠PDF=∠CBA=∠PEC=60°；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知∠PDF=∠PEC，∴D、C、E、F四点共圆，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴PE•PF=PC•PD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵PC、PA都是圆O的割线，∴PC•PD=PB•PA=24，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴PE•PF=24．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法2：∵∠PEC=∠PDF，∠EPC=∠DPF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴△PEC～△PDF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴即PE•PF=PC•PD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵PC、PA都是圆O的割线，∴PC•PD=PB•PA=24﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴PE•PF=24．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查与圆有关的线段的求法，考查相似三角形与割线定理的应用，解题时要认真审题，注意圆的简单性质、三角形相似的性质的合理运用，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知参数方程为（t为参数）的直线l经过椭圆的左焦点F1，且交y轴正半轴于点C，与椭圆交于两点A、B（点A位于点C上方）．（I）求点C对应的参数t C（用θ表示）；（Ⅱ）若|F1B|=|AC|，求直线l的倾斜角θ的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆方程，求出焦点坐标，利用，在直线l的参数方程中，令x=0，求解即可．（Ⅱ）解法1：把代入椭圆方程，设点A、B对应的参数为t A、t B，由|F1B|=|AC|结合参数t的几何意义得：t A+t B=t C，求解即可．解法2：设A、B两点的横坐标分别为x A、x B，将直线l的普通方程代入椭圆方程利用韦达定理，以及|F1B|=|AC|，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在椭圆中，∵a2=3，b2=1，∴，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故，在直线l的参数方程中，令x=0，解得；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解法1：把代入椭圆方程，并整理得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设点A、B对应的参数为t A、t B，由|F1B|=|AC|结合参数t的几何意义得：t A+t B=t C，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，依题意知，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法2：设A、B两点的横坐标分别为x A、x B，将直线l的普通方程代入椭圆方程并整理得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，解得，依题意知，得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力．选修4-5：不等式选讲24．设a∈R，f（x）=|x﹣a|+（1﹣a）x．（I）解关于a的不等式f（2）＜0；（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（I）解法1：通过分类讨论，将f（2）=|2﹣a|+2（1﹣a）中的绝对值符号去掉，再分段解f（2）＜0，最后取并即可；解法2：由f（2）＜0，得|2﹣a|+2（1﹣a）＜0，即|a﹣2|＜2（a﹣1），利用绝对值的几何意义，可得﹣2（a﹣1）＜a﹣2＜2（a﹣1），解之即可；（Ⅱ）依题意，f（x）≥0恒成立⇒，解之即可．【解答】解：（I）解法1：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣不等式f（2）＜0等价于或者，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得a＞2或，即，∴所求不等式的解集为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法2：由f（2）＜0，得|2﹣a|+2（1﹣a）＜0，即|a﹣2|＜2（a﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2（a﹣1）＜a﹣2＜2（a﹣1），解得，解集为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为f（x）≥0恒成立，故有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得0≤a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查分段函数的应用，考查等价转化思想与函数恒成立问题，突出考查运算求解能力，属于中档题．。

揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}A x x x =-≤，{0,1,2,3}B =，则AB =(A) {12}， (B) {012}，， (C) {1} (D) {123}，， 2．已知复数z 满足(21)2z i +=，则z = (A)12i --(B) 12i -+ (C) 12i --(D)12i - 3．已知向量(1,2),(1,1)a b =-=-，则()a b a -⋅=(A) 8 (B)5 (C) 4 (D) 4- 4．若方程()20f x -=在区间(0,)+∞有解，则函数()y f x =的图象可能是5．在等差数列{}n a 中，已知35710132,9,a a a a a +=++=则此数列的公差为 (A)31 (B)3 (C) 12(D) 16 6．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数a ，则不等式ln(31)0a -<成立的概率是 (A)12(B)23(C)31 (D)147．抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是(A) 12 (B)32 (C) 1 (D) 38．函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=--+的最大值和最小正周期分别为(A)1,2π (B) 1,π (C) 1,22π (D)1,2π9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，图1是描 述汽车价值变化的算法流程图，则当4n =时，最后输出的S 为 (A)9.6 (B)7.68 (C)6.144 (D)4.9152 10．已知棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1 D 1在一半球底面上，且A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为(A)(B)(C)(D) 11．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若20FP FQ +=，则||QF =(A)3 (B)4 (C)6 (D)812．若关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解,则实数m 的取值范围为(A) 4m >或4m <- (B)45m << (C)48m << (D)5m >或4m =第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13． 已知121(),(,1);4()log ,[1,).xx f x x x ⎧∈-∞⎪⎪=⎨⎪∈+∞⎪⎩，则((2))f f -= ．14．设变量x ，y 满足约束条件222y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为 ．15．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截 去部分的几何体的表面积为 ． 16．数列{}n a 的通项公式(1)2cos()n n n a n n π=-⋅+⋅，其前n 项和为n S ，则10S 等于 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）i =1输入S =15否i =i +1开始结束输出Si >n ？S ＝S (1-20%)是图1C 1BCx时间（分钟）0.003608040201000.002频率/组距0.025图4已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C sin cos A a C =. （I ）求C 的值；（II ）若c =，b =ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”， 若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”； （Ⅲ）设,m n 表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的时间，且已知,[40,60)[80,100]m n ∈⋃，求事件“||20m n ->”的概率. 19．（本小题满分12分）如图4，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的 等边三角形，D 为AB 中点．(Ⅰ)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)若四边形CB B 1C 1是正方形，且1A D =求多面体11CAC BD 的体积. 20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴的长为4（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数(1)()ln ,b x f x a x x+=+ 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 2.y = （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）当0x >且1x ≠时，求证：(1)ln ().1x xf x x +>-22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图5，四边形ABCD 内接于，过点A 作的切线EP 交CB 的延长线于P ，已知025PAB ∠=．图3（I ）若BC 是⊙O 的直径，求D ∠的大小； (II ）若025DAE ∠=，求证：2DA DC BP =⋅． 23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为2cos 324sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4ρ=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求AOB ∠的值. 24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知函数()|2|f x x =-.（Ⅰ）解不等式()(1)2f x f x ++≤；（Ⅱ）若0a <,求证：()()(2).f ax af x f a -≥揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：BCADAC DBCACD 解析：9.依题意知，设汽车x 年后的价值为S ,则15(120%)xS =-，结合程序 框图易得当4n =时，415(120%) 6.144S =-=．10. 设半球的半径为r ，依题意可得 2222r +=，解得r =所以此半球的体积为323r π=.11. 如右图，根据已知条件结合抛物线的定义易得：|'|||2|'|||3FF PF QQ PQ ==|'|6QQ ⇒=.12. 令sin ,x u =则(0,1]u ∈，关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解等价于方程2()410f u u mu =-+=在(0,1]上有唯一解2160,0.8m m ⎧∆=-=⎪⇔⎨>⎪⎩或(1)50f m =-<，解得4m =或5m >.[或方程图5x=-2y 2=8xyxOF 'Q 'F (2,0)QP2()410f u u mu =-+=在(0,1]上有唯一解等价于直线y m =与关于u 的函数14y u u=+，(0,1]u ∈图象有唯一交点，结合图象易得．二、填空题：13.4-；14. -8；15.54+16.687．解析：15.依题意知该几何体如右图示：则被截去部分的几何体的表面积为22365424⨯+=+16.21010(2)(2)(2)S =-+-++-cos 2cos 210cos10πππ++++102[1(2)]5687.1(2)---=+=--三、解答题：17．解：（I ）∵A 、C 为ABC ∆的内角，sin cos A a C =知sin 0,cos 0A C ≠≠，结合正弦定理可得：sin sin a Ac C==------------------------------------------------------------3分⇒tan C =,-----------------------------------------------------------------4分∵0C π<< ∴6C π=.--------------------------------------------------------5分（II ）解法1：∵c =，b =由余弦定理得：227122a a =+-⨯，----------------------------------------7分整理得： 220a a +-= 解得：1a =或2a =-（不合舍去）--------------------------9分∴1a =，由1sin 2ABC S ab C ∆=得ABC ∆的面积11122ABC S ∆=⨯⨯=．--------------------------------------12分EC A 1DA【解法2：由c =结合正弦定理得：sin A C==---------------------6分∵a c <， ∴A C <, ∴cos A ==,-----------------------------7分∴sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+sin cos cossin A C A C =+=11421427⨯+=----------------------------9分由正弦定理得：sin 1sin b Aa B==，-------------------------------------------------10分∴ABC ∆的面积11122ABC S ∆=⨯⨯=．------------------------------------12分】18.解：（1）由20(0.0020.00320.025)1x ⨯+⨯++=得0.017x =；-------------------2分（Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为20(0.0020.003)0.1⨯+=，--------------------3分不少于1小时的频数为12000.1120⨯=，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；------5分（Ⅲ）由直方图知，成绩在[40,60)的人数为50200.0033⨯⨯=人，设为,,A B C ；------6分成绩在[80,100] 的人数为50200.0022⨯⨯=人，设为,x y .---------------------------7分若,[40,60)m n ∈时，有,,AB AC BC 三种情况；若,[80,100]m n ∈时，只有xy 一种情况；-------------------------------------------8分若,m n 分别在[40,60),[80,100]内时，则有,,,,,Ax Ay Bx By Cx Cy 共有6种情况.所以基本事件总数为10种，------------------------------------------------------------------10分 事件“||20m n ->”所包含的基本事件个数有6种.∴P（||20m n ->）=63.105=----------------------------------------------------12分19.（I)证法1：连结AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ， 则E 为AC 1中点，-------------------------------2分 ∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1，------------------4分 ∵BC 1Ë平面A 1CD ，DE Ì平面A 1CD ，------------5分D 1B 1C 1A 1DCBAEHB 1C 1A 1DCBA∴BC 1∥平面A 1CD . -----------------------------6分 【证法2：取11A B 中点1D ，连结1BD 和11C D ，-----1分 ∵BD 平行且等于11A D ∴四边形BD 11A D 为平行四边形 ∴11//A D BD -----------------------------------2分 ∵1A D ⊂平面1ACD ，1BD ⊄平面1ACD ∴1//BD 平面1ACD ,------------------------------3分 同理可得11//C D 平面1ACD ------------------------4分 ∵1111BD C D D = ∴平面1ACD //平面11BD C 又∵1BC ⊂平面11BD C∴BC 1∥平面A 1CD. -------------------------------6分】 (Ⅱ)222115AD +A A =A D =1,A A AD \^-------------------------------------7分又111,//B B BC B B A A ^ 1A A BC \^， 又AD BC B = 1A A \^面ABC -------------------------------------------9分（法一）∴所求多面体的体积V =1111111ABC A B C A ACD B A B C V V V ----------------------------10分111111133ABC ACD A B C AA S AA S BB S ∆∆∆=⨯-⋅⨯-⋅⨯112ABC AA S ∆=⋅⨯2112222=⋅⋅=即所求多面体11CAC BD分 【（法二）过点1A 作111A H B C ⊥于H ，∵平面11BB C C ⊥平面111A B C 且平面11BB C C 平面111A B C 11B C =∴1A H ⊥平面11BB C C ,----------------------------------------------------------10分∴所求多面体的体积V =1111A ACD A ACC V V --+1111133BCD BCC S AA S A H ∆∆=⋅+⋅11114243232=⨯⨯+⨯⨯.------------------------------------------12分】20.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b+=>>--------------------------------1分由题意22224a b c a c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2,a b =-----------------------------------------4分所以，椭圆的方程为22142y x +=．-------------------------------------------------5分（Ⅱ）由椭圆的方程22142y x +=，得(1P ．-------------------------------------6分由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PA 的斜率为k ，则PA的直线方程为(1)y k x =-．--------------------------------------------7分由22(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得：222(2)2))40k x k k x k +++-=．-------------8分设A (x A , y A )，B (x B , y B )，则22212A A k x x k--=⋅=+，-------------------------------9分同理可得B x =----------------------------------------------------10分则22B A x x k -=+，28(1)(1)2B A B Ak y y k x k x k -=----=+． 所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-----------------------------------12分21.解：（Ⅰ）∵2(),a bf x x x'=-----------------------------------------------------1分由直线2y =的斜率为0，且过点(1,2)(1)ln ()1x x f x x +>-得(1)2,1(1),2f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩即1,0,b a b =⎧⎨-=⎩------------------------------------------------------3分解得1, 1.a b ==-----------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）当1x >时，不等式(1)ln 1()2ln 0.1x x f x x x x x+>⇔-->---------------------------6分当01x <<时，不等式(1)ln 1()2ln 0.1x x f x x x x x+>⇔--<------------------------------7分令22211221()2ln ,()1,x x g x x x g x x x x x -+'=--=+-=∴当0x >时，()0,g x '≥ 所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增，------------------------9分当1x >时，()(1)0,g x g >=故(1)ln ()1x xf x x +>-成立------------------------------10分当01x <<时，()(1)0,g x g <=故(1)ln ()1x xf x x +>-也成立-------------------------11分所以当0x >且1x ≠时，不等式 总成立----------------------------12分 22.解：（I ）EP 与⊙O 相切于点A ，025ACB PAB ∴∠=∠=，-----------------------1分又BC 是⊙O 的直径，065ABC ∴∠=----------------------------------------------3分四边形ABCD 内接一于⊙O，0180ABC D ∴∠+∠=0115.D ∴∠=-------------------------------------------------------------------5分 （II ）025,DAE ∠=,,ACD PAB D PBA ∴∠=∠∠=∠.ADCPBA ∴∆∆---------------------------------------------------------------7分.DA DCBP BA∴=-------------------------------------------------------------------8分又,DA BA =2.DA DC BP ∴=⋅--------------------------------------------------10分23.解：（I ）直线l 40y +-=，------------------------------------2分曲线C 的直角坐标系方程为2216.x y +=--------------------------------------------4分（II ）⊙C 的圆心（0，0）到直线40l y +-=的距离2,d ==------------------------------------------------------------6分 ∴121cos ,242AOB ∠== --------------------------------------------------------8分 ∵10,22AOB π<∠< 1,23AOB π∴∠=故23AOB π∠=．-----------------------------------------------10分24.解：（I ）由题意，得()(1)|1||2|f x f x x x ++=-+-，因此只须解不等式|1||2|2x x -+-≤ ---------------------------------------------1分当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即112x ≤≤；------------------------------------2分当12x <≤时，原不式等价于1≤2，即12x <≤；------------------------------------3分当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即522x <≤.--------------------------------------4分综上,原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. -------------------------------------------5 分（II ）由题意得()()22f ax af x ax a x -=---------------------------------------6- 11 - 分 =2222ax a ax ax a ax -+-≥-+----------------------------------------------8分22(2).a f a =-=--------------------------------------------------------------9分所以()()(2)f ax af x f a -≥成立．------------------------------------------------10分。

揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知复数2(1)z i i =-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）4i （B ）4i - （C ）4（D ）4-答案：C解析：复数2(1)z i i =-＝2＋2i ，22z i =-，所以，z z +=4。

（2）已知集合2{|{|ln(2)}A x y B x y x x ====-，则A B =（A ）(2,)+∞ （B ）[1,2) （C ）(0,2) （D ）[1,2]答案：B解析：集合A ＝{}|1x x ≥，B ＝{}|02x x <<，故AB =[1,2)（3）已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 答案：A解析：2a b -＝，因为2a b -与c k ＋0，所以，k ＝－3 （4）已知命题:,cos sin p x R x x ∃∈>，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题答案：D 解析：当x ＝6π时，cos sin x x >成立，所以，命题p 是真命题；当2x π=时，1sin 2sin x x +=，故q 是假命题，从而有()p q ∧⌝是真命题。

【关键字】成绩绝密★启用前揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试试题数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域为A. B. C. D.2．若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=A．B．C．D．3．已知点A和向量=（2,3），若，则点B的坐标为A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5，14)4．设函数，则函数的最小正周期为A. B. C. D.5．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为A. B. C. D.6．在等差数列中，首项公差，若，则的值为A．37 B．．20 D．197．设定义在[-1，7]上的函数的图象如图（1）示，则关于函数的单调区间表述正确的是图（1）A.在[-1,1]上单调递减B.在单调递减，在上单调递加；C.在[5,7]上单调递减D.在[3, 5]上单调递加8. 一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图(2)示，则该几何体的体积为A.7B.C.D. 图（2）俯视图9.若直线平分圆的周长，则的取值范围是 A. B. C.D.图（5）MN F D CBA E 10．已知点满足则点构成的图形的面积为A. 1B. . 3 D. 4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（9－13题）11．若点在函数的图象上，则的值为 ．12．已知函数．若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围为 . 13．对于集合M ，定义函数对于两个集合A ，B ，定义集合. 已知，，则用列举法写出集合的结果为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O 为极点，直线过圆C ：的圆心C ，且与直线OC 垂直，则直线的极坐标方程为 ．15．(几何证明选讲选做题) 如图（3）示，是半圆周上的两 个三等分点，直径，，垂足为，与 相交于点，则的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数，（1）求函数的定义域；（2）设是第四象限的角，且，求的值． 17. （本小题满分12分）某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试， 规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90 分以下(不包括90分)的则被淘汰．现有100人参加测试，测试成绩的频率分布直方图如图（4）. 图（4）(1)求获得参赛资格的人数；(2)根据频率分布直方图，估算这100名学生 测试的平均成绩；(3)现在成绩[110,130)、[130,150] （单位：分） 的同学中采用分层抽样机抽取5人，按成绩从低到高编号为12345,,,,A A A A A ，从这5人中任选2人，求至少有1人的成绩在[130,150]的概率． 18．（本小题满分14分）数列{}n a 中，13a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （1）求c 的值；（2）求{}n a 的通项公式．19．（本小题满分14分）如图（5），已知三棱柱BCF-ADE 的侧面CFED 与ABFE 都是边长 为1的正方形，M 、N 两点分别在AF 和CE 上，且AM=EN ． （1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；（2）求证： MN//平面BCF ；（3）若点N 为EC 的中点，点P 为EF 上的动点，试求PA+PN 的最小值．20. （本小题满分14分）如图(6)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为l ，焦点为F 圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点作倾斜角 为3π的直线t ，交l 于点A ，交圆M 于点B,且||||2AO OB ==． （1）求圆M 和抛物线C 的方程；（2）试探究抛物线C 上是否存在两点Q P ,关于直线()():10m y k x k =-≠对称？若存在，求出直线m 21．（本小题满分14分）已知0a >，函数2()ln f x ax x =-. （1）求()f x 的单调区间； （2）当18a =时，证明：方程2()(3f x f =在区间（2，+∞）上有唯一解； （3）若存在均属于区间[1，3]的,αβ且1βα-≥，使()f α=()f β， 证明：ln 3ln 2ln 253a -≤≤． 揭阳市 高中毕业班高考第二次模拟考 数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题：BCDCB ABDBB 解析：2．由12(1)ai bi i +=-得1,12a b ⇒==||2a bi ⇒+==,选C ， 3．设(,)B x y ，由3AB a =得1659x y +=⎧⎨-=⎩，所以选D4．函数()2sin(6f x x π=+，故其最小正周期为2π，故选C.6．由129m a a a a =+++得5(1)93637m d a d m -==⇒=，选A ．7. 函数1()y f x =当x=0，x=3，x=6时无定义，故排除A 、C 、D ，选B.8．依题意可知该几何体的直观图如右上图示，其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D. 9．依题意知直线10ax by -+=过圆C 的圆心（-1,2），即 21a b +=，由1128a b ab =+≥⇒≤，故选B. 10．令,x y u y v +==，则点(,)Q u v 满足01,0 2.u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，在uov 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，易得其面积为2.故选B.二．填空题：12a >(或1(,)2a ∈+∞)；13. {1，6，10，12}；14. cos sin 20ρθρθ+-=（或cos()4πρθ-=；15.3解析：11．依题意得3a =，则4tana π=4tan 3π=。