2015年上海市静安(青浦)区初三一模数学试卷和参考答案

B
A D C
O
（第6题图）
S 1
S 2
S 3
S 4静安区/青浦区2015年中考一模模数学试卷
（完成时间：100分钟
满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各式中与32)(a -相等的是（A ）5a ；
（B ）6a ；
（C ）5a -；
（D ）6a -．
2．下列方程中，有实数解的是
（A ）12-=-x ；（B ）x x -=-2；
（C ）024
2=--x x ；（D ）04
22
=--x x ．3．将抛物线2)1(-=x y 向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（A ）2)1(+=x y ；（B ）2)3(-=x y ；（C ）2)1(2+-=x y ；
（D ）2)1(2--=x y ．
4．如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是（A ）两条直角边成正比例；
（B ）两条直角边成反比例；
（C ）一条直角边与斜边成正比例；（D ）一条直角边与斜边成反比例．
5．在四边形ABCD 中，AB=AD ，AC 平分∠DAB ，AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是菱形，那么还需满足下列条件中的（A ）CD=CB ；
（B ）OB=OD ；
（C ）OA=OC ；
（D ）AC ⊥BD ．
6．如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=2AD ，如果对角线AC 与BD 相交于点O ，△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作S 1、S 2、S 3、S 4，那么下列结论中，不正确的是（A ）S 1=S 3；（B ）S 2=2S 4；
（C ）S 2=2S 1；
（D ）4231S S S S ⋅=⋅
．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：02
144
+-=
▲．
8．使代数式12-x 有意义的实数x 的取值范围为
▲
．
9．如果关于x 的方程032=+-m x x 有相等的实数根，那么m 的值为
▲
．
10．布袋中有两个红球和两个白球它们除了颜色外其他都相同，从中摸出两个球，那么“摸到一红一白两球”的概率为
▲
．
11．如果抛物线5)3(2-+=x a y 不经过第一象限，那么a 的取值范围是
▲
．
12．已知二次函数的图像经过点（1，3），对称轴为直线1-=x ，由此可知这个二次函数的图像一定经过除点（1，3）外的另一确定的点，这点的坐标是
▲
．
13．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ∶CD 应等于
▲
.
14．已知点G 是面积为27cm 2的△ABC 的重心，那么△AGC 的面积等于
▲
cm 2.
15．已知在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线．设BA a = ，BC b = ．那么AD
=
▲．（用
向量a 、b
的式子表示）；
16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 是AB 的中点，如果BC=3，CD=2，那么=∠DCB cos ▲
．
17．已知不等臂跷跷板AB 长为3米．当AB 的一端点A 碰到地面时（如图1），AB 与地面的夹角为30°；当AB 的另一端点B 碰到地面时（如图2），AB 与地面夹角的正弦值为3
1，那么跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离OH=
▲米
18．把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换，这个顶点称为T-变换中心，旋转角称为T-变换角，放大或缩小后的三角形与原三角形对应边的比称为T-变换比．已知△ABC 在直角坐标平面内，点A （0，-1），B （-3，2），C （0，2），将△ABC 进行T-变换，T-变换中心为点A ，T-变换角为60°，T-变换比为
3
2
，那么经过T-变换后点C 所对应的点的坐标为▲．
B
A C
E
D
（第13题图）
（第17题图1
）
（第17题图2）
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）
化简：2
21212222-+++
+--x x x
x x x x ，并求当3=x 时的值．20．（本题满分10分）
解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+.
022,
42
22y x y xy y x 21．（本题满分10分）
已知直线)0(>=m m x 与双曲线x
y 6
=和直线2--=x y 分别相交于点A 、B ，且AB=7，求m 的值．
22．（本题满分10分）
如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD ．小明在离旗杆下方的大楼底部E 点24米的点A 处放置一台测角仪，测角仪的高度AB 为1.5米，并在点B 处测得旗杆下端C 的仰角为40°，上端D 的仰角为45°，求旗杆CD 的长度．（结果精确到0.1米．
参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）
已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DE ∥BC ，交边AC 于点E ，延长DE 到点F ，使得EF=DE ，联结BF ，交边AC 于点G ，联结CF ．（1）求证：
CG
EG
AC AE =
；（2）如果FB FG CF ⋅=2，求证：DE BC CE CG ⋅=⋅．
A D
B
C F
E G
（第23题图）
（第22题图）
24．（本题满分12分，其中每小题各4分）
已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数bx ax y +=2的图像经过点（1,-3）和点（-1,5）．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图像向上平移，交y 轴于点C ，其纵坐标为m ，请用m 的代数式表示平移后函数图像顶点M 的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点P 的坐标为（2,3），CM 平分∠PCO ，求m 的值．
25．（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）
如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得∠ABE=∠CBP ．如果AB=2，BC=5，AP=x ，PM=y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP 的正切值；
（3）如果△EBC 是以∠EBC 为底角的等腰三角形，求AP 的长．
A
B
C
D
P
M
E
（第25题图）
O
x
y
12341
2345
-1-2
-3
-1-2-3（第24题图）
静安区/青浦区2015年中考一模模数学试卷
参考答案
一、选择题：
1．D ；2．C ；3．A ；4．B ；5．C ；6．B ．二、填空题：
7．
23；8．2
1≥
x ；9．
4
9；10．
32；11．a<-3；12．（-3,3）；
13．3
5；
14．9；15．b a 2
1+
-；16．4
3；
17
．
5
3；
18．（-3,0）．三、解答题：19．解：原式＝)
1)(2()
2()1()1)(1(2
-+++
-+-x x x x x x x ……………………………………………（4
分）＝
111-+
-+x x x x ＝1
1
2-+x x ．…………………………………………………（1+1分）当3=x 时，原式＝
2
3
37)
13)(13()13)(132(1
3132+=
+-++=
-+．………………（1+1+2分）20．解：由（2）得0)1)(2(=--y y x ,0102=-=-y y x 或,……………………………（4分）
原方程可化为⎩⎨
⎧==+⎩⎨⎧=-=+.1,
4,02,42222y y x y x y x …………………………………………（2分）解得原方程的解是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==
,552,5
5
411y x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-
=,552,55
422y x ⎪⎩⎪⎨⎧==,1333y x ⎪⎩⎪⎨
⎧=-=.
1,
333y x ……………（4分）
21．解：点A 、B 的坐标分别为（m
m 6
,）、（2,--m m ）．……………………………（2分）
7)2(6
=---m m
，…………………………………………………………………（3分）0652=+-m m ，……………………………………………………………………（2分）3,221==m m .………………………………………………………………………（2分）
经检验它们都是原方程的根，且符合题意，………………………………………（1分）所以m 的值为2或3.
22．解：过点B 的水平线交直线CD 于点H ．由题意，得BH=AE=24，∠CBH=40°，∠DBH=45°，
∴CH=24tan40°，DH=BH=24．……………………………………………………（6分）∴CD=24-24tan40°≈3.8．…………………………………………………………（3分）答：旗杆CD 的长度约为3.8米．…………………………………………………（1分）
23．证明：（1）∵DE ∥BC ，∴BC DE AC AE =，BC
EF
CG EG =
．…………………………（各2分）∵EF=DE ，∴
CG
EG
AC AE =
．…………………………………………………………（1分）（2）∵FB FG CF ⋅=2，∴FB
CF
CF FG =
．…………………………………………（1分）∵∠CFG=∠BFC ，∴△CFG ∽△BFC ．…………………………………………（1分）∴∠FCG=∠FBC ．…………………………………………………………………（1分）∵DE ∥BC ，∴∠FEC=∠ECB ．
∴△CEF ∽△BCG ．…………………………………………………………………（1分）
∴
CG
EF
BC CE =
．………………………………………………………………………（1分）而EF=DE ，∴CG
DE
BC CE =
．…………………………………………………………（1分）∴DE BC CE CG ⋅=⋅．……………………………………………………………（1分）
24．解：（1）∵二次函数bx ax y +=2的图像经过点（1,-3）和点（-1,5），
∴⎩⎨⎧-=+=-.5,3b a b a ………………………………………………………………………（1分）
解得⎩
⎨⎧-==.4,1b a …………………………………………………………………………（2分）
∴这个二次函数的解析式是x x y 42-=．………………………………………（1分）（2）∵将这个二次函数的图像向上平移，交y 轴于点C ，其纵坐标为m ，
∴这个二次函数的解析式是m x x y +-=42．……………………………………（1分）
4)2(422-+-=+-=m x m x x y ．………………………………………………（2分）
∴这个二次函数图像的顶点M 的坐标为（2，m–4）．…………………………（1分）（3）∵点P 的横坐标与顶点M 的横坐标都为2，∴PM ∥y 轴．………………（1分）∴∠PMC=∠OCM ．
∵CM 平分∠PCO ，∴∠PCM=∠OCM ．∴∠PMC=∠PCM ．
∴PC=PM ．…………………………………………………………………………（1分）∴222)7()3(2-=-+m m ．………………………………………………………（1分）解得m=
2
9
．…………………………………………………………………………（1分）25．解：（1）在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠APB=∠CBP ．∵∠ABE=∠CBP ，∴∠APB=∠ABE ．
∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△AMB ．…………………………………………………（1分）∴
AP
AB
AB AM =
．∵AB=2，AP=x ，PM=y ，∴
x y x 2
2=-．…………………………………………（1分）∴所求函数的解析式为x
x y 4
-=．………………………………………………（1分）
定义域为52≤<x ．…………………………………………………………………（1分）（2）∵AP=4，∴MP=3．…………………………………………………………（1分）
∵AP=4，AD=5，∴PD=1．∴
CD
PD
AP AB =
．∵∠A=∠D ，∴△ABP ∽△DPC ．∴∠APB=∠DCP ．
∵∠DPC+∠DCP=90°，∴∠DPC+∠APB=90°．
∴∠BPE=∠BPC=90°．……………………………………………………………（1分）∵AD ∥BC ，∴
BC MP
EC EP =
，即5
35=+EP EP ．解得52
3
=
EP ．……………………………………………………………………（1分）又∵AP=4，AB=2，∴52=BP ．∴4
3
tan ==
∠BP EP EBP ．……………………………………………………………（1分）另解：作MH ⊥BP ，垂足为点H ．
∵AP=4，∴MP=3．…………………………………………………………………（1分）∵AP=4，AB=2，∴52=BP ．
由△BPM 的面积，可得AB MP MH BP ⋅=⋅，即2352⨯=⋅MH ．解得55
3
=
MH ．…………………………………………………………………（1分）∵AM=1，AB=2，∴5=BM ．
∴55
4
=
BH ．………………………………………………………………………（1分）∴4
3
tan ==∠BH MH EBP ．…………………………………………………………（1分）
（3）（i ）当∠EBC=∠ECB 时，可得∠AMB=∠DPC ，△AMB ≌△DPC ．
∴AM=DP ．…………………………………………………………………………（1分）∴x+x-y=5，即54
=+
x
x ．…………………………………………………………（1分）解得x=4或x=1（不符合题意，舍去）．…………………………………………（1分）（ii ）当∠EBC=∠BEC 时，可得EC=BC=5，PE=PM=y ．………………………（1分）∴2222)5()5(+-=-x y ．
整理，得3x 2-10x-4=0．……………………………………………………………（1分）
解得
337
5+
=
x或
337
5-
=
x（不符合题意，舍去）．………………………（1分）
综上所述，AP的长为4或
337
5+
．。