专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(练)-2020年高考数学(文)一轮复习讲练测

专题4.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用
1．（江苏省南京市六校联合体2018-2019学年联考）将函数sin 3y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
6
π
个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（ ）.
A ．sin 26y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．1
sin 26y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
C ．sin 22y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
D ．1
sin 2
2y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
【★答案★】B
【解析】sin 3y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
向右平移
6π
个单位长度得：sin sin 636y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 所有点横坐标变为原来2倍得：1
sin 2
6y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭，本题选B 。

2．（安徽省池州市2018-2019学年期末）若函数()2sin 314f x x π⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，将函数()f x 的图像向左
平移（ ）个单位后关于y 轴对称.
A ．
12
π B ．
4
π C ．
6
π D ．
2
π 【★答案★】A
【解析】由题意，将函数()2sin 314f x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
的图像向左平移12π
个单位后得到函数()2sin[3()]12cos3112
124
f x x x π
ππ
+
=+
++=+，此时可得函数2cos31y x =+图像关于y 轴对称，故选A 。

3．（山东省潍坊市2018-2019学年期中）若将函数cos 2y x =的图象向右平移12
π
个单位长度，则平移
后图象的对称轴为（ ）
A ．1,26
x k k Z π
π=
-∈ B ．1,26
x k k Z π
π=
+∈
C ．1,212
x k k Z π
π=
-∈ D ．1,212
x k k Z π
π=
+∈ 【★答案★】D
【解析】将函数cos2y x =的图象向右平移
12
π
个单位长度即可得
cos 2cos 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
根据余弦函数的对称轴方程可知
26
x k π
π-
=
解得1212
x k ππ=
+，k Z ∈ 所以选D 。

4．（山东省济宁市2018-2019学年期末）为得到函数2sin 36x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图象，只需把函数2cos y x =的图象上所有的点( )
A ．向左平移3π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13
倍(纵坐标不变) B ．向右平移3π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)
C ．向左平移3π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D ．向右平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
【★答案★】D
【解析】把函数222
y cosx sin
x π
==+（）
的图象上所有的点向右平移3
π
个单位长度，可得26
y sin x π
=+（） 的图象；再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变，可得函数2sin 36x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图象，故选D 。

5．（河北省张家口市2019届高三期末）先将函数2sin y x =-的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移4
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()y g x =的最小正周期为2π
B ．函数()y g x =的图象的一条对称轴为4
x π
=
C ．函数()y g x =的图象的一个对称中心为,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()y g x =函数为偶函数 【★答案★】D
【解析】先将函数2sin y x =-的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，得到2sin2y x =-，再把得到的图象向右平移
4π个单位长度，得到2sin 2cos22y x x π⎛
⎫=--= ⎪⎝
⎭，故
()cos2g x x =。

函数()cos2g x x =的最小正周期为π，故A 错误；将4
x π
=
代入函数()cos2g x x =中，
得到2cos 044g ππ⎛⎫==
⎪⎝⎭，故4x π=不是函数()g x 的一条对称轴，故B 错误；由于cos 12g ππ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
故,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
不是函数()g x 的一个对称中心，故C 错误；()()cos2g x x g x -==，()g x 是偶函数，D 正确。

6．（云南省玉溪一中2018-2019学年期末）将函数()()πcos 3f x x x ⎛
⎫=-∈ ⎪⎝
⎭R 图象上每个点的横坐标
缩短为原来的
1
2
倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移()0φφ>个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是（ ）
A ．
5π6
B ．π3
C ．5π12
D ．
2π3
【★答案★】D
【解析】将函数()()πcos 3f x x x ⎛⎫=-
∈ ⎪⎝
⎭R 图象上每个点的横坐标缩短为原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到πcos 23y x ⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭，再将所得图象向左平移()0φφ>个单位长度得到πcos 223y x φ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭，
令0x =时，πcos 0213φ⎛
⎫+-=± ⎪⎝
⎭，即()π2π3k k φ-=∈Z ，则1ππ26k φ=+，当1k =时，ππ2π263
φ=+=，故★答案★为D 。

7．（湖北省荆门市2018-2019学年期末）将函数()3sin 3f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象上的所有点的横坐标变为原来的
1
2
，纵坐标不变，再将所得图象向右平移()0m m >个单位后得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 【★答案★】B
【解析】将函数()π3sin 3f x x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭的图象上的所有点的横坐标变为原来的12， 纵坐标不变，可得π3sin 23y x ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象； 再将所得图象向右平移()0m m >个单位后， 可得π3sin 223y x m ⎛⎫
=--
⎪⎝
⎭
的图象． 因为所得到的图象关于原点对称，
所以π23m k π+
=，k Z ∈，即ππ26
k m =-， 则令1k =，可得m 的最小值为π
3
，故选B 。

8．（黑龙江省大庆铁人中学2018-2019学年期末）将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的
12
，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π
个单位后，得到函数()f x 的图象，那么所得图象的一条
对称轴方程为( )
A ．12
x π
=
B ．6
x π
=
C ．3
x π
=
D ．23
x π
=
【★答案★】A
【解析】将函数y sinx =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12
， 纵坐标不变，可得2y sin x =的图象； 再将所得图象向左平移
6π
个单位后，得到函数()23f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象， 令23
2
x k π
π
π+
=+
，求得,212
k x k Z ππ
=
+∈，
0k =时得图象的一条对称轴方程为12
x π
=
，故选A 。

9．（江西省吉安市2018-2019学年质量检测）若f （x ）=2sin2x 的最小正周期为T ，将函数f （x ）的图象向左平移
1
2
T ，所得图象对应的函数为（ ） A ．2sin2y x = B ．2sin2y x =- C ．2cos2y x =
D ．2cos2y x =-
【★答案★】B
【解析】由f （x ）=2sin2x 可得：此函数的最小正周期为T=22
π
π=， 将函数f （x ）的图象向左平移12
T ， 所得图象对应的函数为g （x ）=2sin2（x+
2
π
）=-2sin2x ，故选B 。

10．（广西百色市2019届高三调研）设函数()sin(2)6
f x x π
=+的图象为C ，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 的最小正周期是2π
B ．图象
C 关于直线6
x π
=
对称
C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移3
π
个单位长度得到 D ．函数()f x 在区间(,)122
ππ
-上是增函数 【★答案★】B
【解析】f （x ）的最小正周期为π,判断A 错误；当x=6π，函数f （x ）=sin （2×6π+6
π
）=1，∴选项B 正确；把()sin2g x x =的图象向左平移3π个单位，得到函数sin[2（x+3π）]=sin(2x+
()2)3
f x π
≠，∴选项C 不正确；由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，可得3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k ∈Z ，所以在,122ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上不恒为增函数，∴选项D 错误。

11．（云南师范大学附属中学2019届高三模拟）函数sin 23y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象向右平移
3
π
个单位后与函数()f x 的图象重合，则下列结论中错误的是（ ）
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()f x 的图象关于712
x π
=-
对称
C ．76
x π
=
是()f x 的一个零点 D ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递减 【★答案★】D
【解析】因为函数πy sin 2x 3⎛⎫=+
⎪⎝
⎭的图象向右平移π3
个单位后与函数()f x 的图象重合， ()πππf x sin 2x sin 2x 333⎡⎤⎛⎫⎛
⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
()f x ∴的一个周期为2π-，故A 正确；
()y f x =的对称轴满足：ππ
2x k π32
-
=+，k Z ∈， ∴当k 2=-时，()y f x =的图象关于7π
x 12
=-对称，故B 正确；
由()πf x sin 2x 03⎛⎫=-
= ⎪⎝
⎭，23
x k ππ-=得k ππx 26=+， 7π
x 6
∴=
是()f x 的一个零点，故C 正确； 当π5πx ,1212⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，
πππ2x ,322⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ()f x ∴在π5π,1212⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，故D 错误，故选D 。

12．（四川省成都石室中学2019届高三模拟）将函数()3sin 22f x x x =+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
6
π
个单位长度后，得到函数()g x 的图像，已知()g x 分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，则12x x +的最小值为（ ）
A ．
3
π B ．
23
π C ．π
D ．
43
π 【★答案★】B
【解析】因为函数()13sin2cos2226f x x x x x x π⎫⎛
⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
，
将()f x 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得6y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象；
再向左平移
6π个单位，得到函数()3g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象．
已知()g x 分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，123
2
x k π
π
π∴+
=+
k Z ∈，
223
2
x n π
π
π+
=-
n Z ∈．
则122223x x k n πππ+=+-，故当0k n +=时，12x x +取得最小值为23
π
， 故选B 。

13．（湖南省株洲市2019届高三质量检测）已知函数()sin2f x x x =，给出下列四个结论： ①函数()f x 的最小正周期是π ②函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是减函数 ③函数()f x 的图像关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 ④函数()f x 的图像可由函数2sin2y x =的图像向左平移3
π
个单位得到 其中正确结论的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【★答案★】B
【解析】()sin22sin 23f x x x x π⎛⎫
==+
⎪⎝
⎭
①因为ω＝2，则f （x ）的最小正周期T ＝π，结论正确． ②当,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，[]20,3x ππ+∈ ，y=sin x 在[]0,π上不是单调函数，结论错误．
③因为f （
3π）＝0，则函数f （x ）图象的一个对称中心为,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
结论正确． ④函数f （x ）的图象可由函数y ＝sin2x 的图象向左平移6
π
个单位得到．结论错误． 故正确结论有①③，故选B.
14．（河北省示范性高中2019届高三联考）函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω）的部分
图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3
π
个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()g x 为奇函数
B ．函数()g x 为偶函数
C ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6
x k k Z π
π=+∈
D ．函数()g x 的单调递增区间为5[,]()1212
k k k Z ππ
ππ-++∈ 【★答案★】D
【解析】由函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>）的部分图象. 可知3A =
由35341234
T πππ
⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，得=T π 所以22=
==2T ππ
ωπ
代入点5,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭得533sin 212πϕ⎛⎫=⨯
+ ⎪⎝⎭
解得23
k π
ϕπ=-
，取0k =，得3
π
ϕ=-
可得()3sin 23f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
， 将函数()f x 的图象向左平移3
π
个单位长度 得()3sin 23sin 2333y g x x x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫==+
-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
的图象， 由函数解析式可以验证只有()g x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
正确.
故选D 。

15．（山东省郓城一中2019届高三模拟）函数sin 26y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（ ）
A ．向右平移3
π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6
π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移
6π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12
，横坐标不变得到 【★答案★】D
【解析】由cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
将它的图象向左平移
6
π
个单位， 可得函数2sin 22sin 2666y x x πππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=+
-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎝⎭的图象， 再将上述图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到：sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图象.
故选D 。

16．（广东省2019届天河区普通高中毕业班综合测试）若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2
π
ϕ<
图象的一个对称中心为(
3
π
，0)，其相邻一条对称轴方程为712
x π
=
，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )
A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度 C ．向左平移
6
π
个单位长度 D ．向右平移
12
π
个单位长度
【★答案★】B
【解析】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+
(其中0A >，)2π
ϕ<
的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 可得1A =，
1274123
πππω⋅=-，
解得：2ω=．
再根据五点法作图可得23
π
ϕπ⋅+=，
可得：3
π
ϕ=
，
可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
故把()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向左平移
12
π
个单位长度， 可得sin 2cos23
6y x x π
π⎛⎫
=+
+
= ⎪⎝
⎭
的图象，故选B 。

17．（山西省晋城市2019届高三模拟）函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω）的部分图象如图所示、将函数()f x 的图象向左平移
3
π
个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()g x 为奇函数
B ．函数()g x 的单调递增区间为5,()12
12k k k Z π
πππ
⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
C ．函数()g x 为偶函数
D ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6
x k k Z π
π=+∈
【★答案★】B
【解析】由函数()()sin f x A x ωϕ=+的图像可知函数()f x 的周期为π、过点5312，π⎛⎫
⎪⎝⎭
、最大值为3， 所以A 3=,2T π
πω=
=，ω2=，553sin 231212f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()23k k Z πϕπ=-+∈， 所以取0k =时，函数()f x 的解析式为()3sin 23f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，
将函数()f x 的图像向左平移
3π个单位长度得()3sin 23sin 2333g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
当()2222
3
2k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈时，即()5,1212x k k k Z ππππ⎡⎤
∈-
++∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()g x 单调递增，故选B 。

18．（河南省郑州市2019年高三第二次质量检测）将函数()2sin f x x =的图象向左平移
6
π
个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象，下面四个结论正确的是（ ）
A ．函数()g x 在区间2[0,
]3
π
上为增函数 B ．将函数()g x 的图象向右平移6
π
个单位后得到的图象关于原点对称 C ．点(
,0)3
π
是函数()g x 图象的一个对称中心
D ．函数()g x 在[,2]ππ上的最大值为1 【★答案★】A
【解析】由函数f （x ）＝2sin x 的图象先向左平移
6π
个单位，可得y ＝2sin （x 6
π+）的图象；然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y ＝g （x ）＝2sin （
12x 6π+）的图象。

2x 0,3π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，12x ,662πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时g （x ）＝2sin （12
x 6π+）是单调递增的，故A 正确；函数()g x 的图象向右平移6π
个单位后得到y ＝
2sin （
12x 12
π+）不是奇函数，不满足关于原点对称，故B 错误；将x=3π
代入函数()g x 解析式中，得到
2sin （
1 236ππ⨯+）=2sin 3π
0≠；故点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
不是函数()g x 图象的一个对称中心，故C 错误；当
[]
x ,2ππ∈时，1
2
x 27,636πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，D 错误；故选A 。

19．（四川省南充市2019届高三模拟）已知函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0A ＞＞ω)在6
x π
=处取得最
小值,则（ ）
A ．()6
f x π
+一定是奇函数 B ．()6
f x π
+一定是偶函数
C ．(-
)6
f x π
一定是奇函数
D ．(-
)6
f x π
一定是偶函数
【★答案★】B
【解析】因为函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）在x ＝
6
π
处取得最小值，即函数f （x ）关于直线x ＝6π对称，由三角函数图象的平移变换得：将函数f （x ）的图象向左平移6
π
个单位后其图象关于直
线x ＝0对称，即对应的函数f （x+6
π
）为偶函数，故选B 。

20．（江西省南昌市外国语学校2019届高三模拟）将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向左平移
4π
ω
个单位得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于直线x ω=对称且在区间(),ωω-内单调递增，则ω的值为（ ）
A ．
π
B ．
32
π
C ．
4
π D ．
32
π 【★答案★】A
【解析】由题意得()sin 44g x sin x x ππωωω⎛⎫⎛
⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭, 因为函数()g x 的图象关于直线x ω=对称且在区间(),ωω-内单调递增， 所以()()2
22224
2
2
4
4
2
k k Z m m m Z π
π
π
π
π
π
ωππωωπ+
=
+∈-+≤-+
+
≤
+∈，，
，，,
因此0k ≥，222
k m k m π
ππππ≤
-≤，，从而02022
m m π
ππ≤
-≤，,即04
m π
≤≤
，
所以00?m k π
ω===，， ，故选A 。

1.【2019年高考天津卷】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将
()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为
()
g x ．若
()
g x 的最
小正周期为2π，且2
4g π⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则
38f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭（ ）
A ．2-
B ．2-
C
D ．2
【★答案★】C
【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；
又12π
()sin ,2π,
122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，
又π
()4g =2A =，
∴()2sin 2f x x =
，
3π
(
)8f =故选C 。

2. (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π
3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单位长度，
得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个单位长
度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单位长度，
得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个单位长度，
得到曲线C 2
【★答案★】D
【解析】易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π
12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π
2＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确。

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