双轮平衡车控制系统的设计

双轮平衡车控制系统的设计
摘要
随着时代的发展，人们生活质量的提高，双轮平衡车已经成为越来越流行的交通工具，目前双轮平衡车的发展已经成为未来交通工具发展的重要方向。

在实际使用中，双轮平衡车的反应速度，稳定性已是制衡双轮平衡车使用体验的最重要指标。

为双轮平衡车提供一种高效准确的运动控制系统成为了拓展其应用范围的前提。

本文是在基于嵌入式微处理器平台上，选择姿态传感器，设计了一种低成本、高性能、高准确性的双轮平衡车的控制系统。

本文首先从双轮平衡车的理论基础开始研究双轮平衡车的控制系统，依据现代受力分析和动能理论对车体进行数学建模，在数学模型的基础上设计合理的控制算法。

之后设计双轮平衡车机械结构，主要分为车轮、车架、电机等机械结构。

在设计平衡车硬件电路时，主要使用ARM结构的微处理器处理算法并且控制整体电路模块，使用高效的姿态传感器MPU6050采集车体的姿态信息，采用电机驱动芯片驱动电机。

最后编制双轮平衡车控制系统的程序，采用卡尔曼滤波算法对采集到的姿态信息进行抗干扰处理。

通过计算，主控制器输出PWM波驱动电机维持系统整体稳定并保持姿态平衡。

本次设计实现了抗干扰能力强和高效稳定的平衡车控制系统，该平衡车系统不仅平稳运行，并可以成功从不稳定状态恢复平衡，基本实现了基本功能。

本次设计可以使双轮平衡车这种交通工具更好的符合人们的日常需求。

关键词双轮平衡车；数学模型；PID控制；卡尔曼滤波
- I -
Design of the Control System of
DoubleWheel Balance Car
Abstract
With the development of the times,people's living standards gradually improve.Thedouble wheel balance car has become amore popular part in modern transportation field.The response speed and stability of the two double balancecars has gradually become an important index of check and balance the double wheel balance vehicle technical performance. For the two-wheel balancing car provides an efficient and accurate motion control system became the premise of expanding the scope of its applicationThis paper is based on embedded microcontroller processor platform,choice attitude sensor, designed a low cost, high performance, high accuracy ofthedouble wheel balancing car control system.
This paper begins with the theory of two wheel balancing car.According to modernforce analysis andenergy theory to design a mathematical model. According to the mathematical model todesign reasonable control algorithm. Second, design a Reasonable mechanical structure, including wheels, frame and motor. Now the most important thing is to design the hardware circuit. The ARM structure is used as the main control unit, it is mainly used for the operation and control of other units. Using an efficient attitude sensor to collect right attitude information, this paper select MPU6050 as the attitude sensor. Motor drive chip is used to drive two motors. Finally, this paper programs the two wheel balance control program. Filtering the collected information by Kaman filtering. After calculation, the main controller outputs the PWM wave to drive motor to maintain the overall balance of the car body.
The double wheel balance car has Strong anti-interference ability.The double wheel balance car can maintain body balance, it can quickly restore balance.It accords with basic conditionsand greatly improves the stability of the whole system. Achieve the basic function;the double wheel balance car meets the People's daily life.
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Keywords double wheel balance car; mathematic model; PID control; kalman filtering
- III -
目录
摘要 (I)
Abstract (II)
第一章绪论 (1)
1.1课题研究背景及意义 (1)
1.2国内外双轮平衡车的发展现状 (2)
1.3主要研究内容 (3)
第二章系统总体设计及技术介绍 (5)
2.1双轮平衡车总体设计方案 (5)
2.2双轮平衡车受力分析以及动力学模型 (6)
2.2.1双轮平衡车平衡的基本原理 (6)
2.2.2车轮受力分析 (7)
2.2.3车身受力分析 (9)
2.2.4系统动能分析 (11)
2.3PID控制算法 (16)
2.3.1 PID控制系统简介 (16)
2.3.2 PID控制算法原理 (16)
2.4卡尔曼滤波算法 (22)
2.4.1卡尔曼滤波简介 (22)
2.4.2卡尔曼滤波原理 (23)
2.4.3卡尔曼滤波实现 (24)
2.5本章小结 (25)
第三章系统硬件设计 (26)
3.1双轮平衡车系统结构设计 (26)
3.1.1平衡车机械机构设计 (26)
3.1.2平衡车控制系统硬件设计方案 (27)
3.2主控制器应用电路设计 (28)
3.2.1Stm32处理器简介 (28)
3.2.2主控制模块 (29)
3.3无线通信模块电路设计 (30)
3.3.1无线通信模块简介 (30)
3.3.2无线通信模块 (31)
3.4电源电路设计 (31)
3.5硬件中的抗干扰措施 (33)
3.6电机驱动电路设计 (33)
3.7姿态传感器模块 (36)
3.8本章总结 (38)
第四章系统软件设计 (39)
4.1软件设计总框图 (39)
4.2电机测速方法 (41)
4.2.1M法测速 (41)
4.2.2T法测速 (42)
4.3MPU6050通信程序 (42)
4.4通信程序的设计 (43)
4.5卡尔曼滤波程序设计 (44)
4.6PID算法程序设计 (46)
4.7本章小结 (47)
第五章双轮自平衡车测试 (48)
5.1双轮平衡车调试 (48)
5.2PID控制系统测试 (48)
5.3抗干扰试验 (50)
5.4本章小结 (52)
结论 (53)
参考文献 (54)
攻读硕士学位期间发表的学术成果 (57)
致谢 (58)
第一章绪论
1.1课题研究背景及意义
在当今世界，人们的交通方式的发展有着多样化的趋势，特别是时代的进步和发展，人们的交通工具已经不能只考虑速度、体积等方面，人们需要更可以用传感器反馈分析和智能控制和规划的自主交通工具[1]。

特别是近些年，随着低碳出行、行驶安全、交通通畅问题等成为了大众的关注点。

使用方便、低碳出行、可以有效解决在拥堵地段行驶的交通工具越来越受到人们的重视[2]。

双轮平衡车的发明，正是在需要解决这种问题的背景下被发明。

它的应用范围非常的广泛，行动轨迹灵动，使用的场合非常的广泛。

两轮平衡车也当今机器人仿生学的产物，它也是电子、材料、机械各种领域综合产物，平衡车快速灵活需要结合姿态检测和平衡控制[3]。

它的运动学模型可以简单看成一个倒立摆结构，但双轮平衡车在运动过程中的动能情况更加复杂[4]。

双轮平衡车是一种高度不平衡的系统，人们千百年来所使用的两轮运输工具有两种情况，一种是像自行车，摩托车这些两轮处于前后结构，在运动过程中控制左右保持平衡。

另一种像双轮平衡车这种水平放置结构需要第三个支撑点才能保持稳定[5]。

双轮平衡车正式为了解决在无法施加第三点时提供平衡系统，其特点是没有第三个支撑点，只依靠平行放置的两个轮胎保持稳定，依照倒立摆的原理达到动态平衡[6]。

目前双轮平衡车市场仍然是一个较为新兴的市场，虽然2001年美国已经有产品投放市场，但由于价格，路权，产品定位问题，并没有在美国形成主流。

目前国内相关法律法规还不够完善，代替现有交通工具还有很长的路要走[7]。

但近几年在中国平衡车又有了运动娱乐和室内代步工具的变种形式，发展的越来越好。

双轮平衡车的别名有为思维车、体感车等。

现今存在的平衡车产品主要用途是室内运输工具比如商场保安，学校警卫等；另外可以用作娱乐代步工具。

其共同点就是对行驶路面有严格要求。

路面必须保持平稳，而且大多数是人工路面。

因为频繁的振动会对电机产生大量的振动，从而干扰姿态信息的准确性。

这就大大限制了平衡车的使用范围。

随着双轮平衡车需求增长，平衡车的发展遇到了两个困难：一是其应用范
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围越来越广，所面临的干扰越来越复杂，需要在这些情况下提取有用信息。

二是面临的任务也越来越复杂，双轮平衡车已经不能只在室内的平坦路面行驶，经常会在一些狭窄颠簸的路途中应用到平衡车，在这样的环境下如何快速灵活的保持稳定成为了双轮平衡车技术问题。

双轮平衡车就是在解决这些问题时不断发展。

本文着重对双轮平衡车的控制系统进行改进，当平衡车受外界因素干扰导致稳定环境被破坏时可以由控制系统平衡车体，力图完善双轮平衡车的性能。

1.2国内外双轮平衡车的发展现状
上世纪80年代，日本大阪电气通信大学教授山藤高桥经过多年的研究科研，发展出了现代双轮平衡车的理论概念[8]，在之后十几年时间里不断完善理论概念。

并且成功申请本国专利。

但是在处理器等微电子模块计算能力低下的时代背景下，收集有用的车体姿态信息的能力非常低下，且主控制器芯片性能不足，造价昂贵，所以即使拥有理论算法，但还是无法达到理想效果。

进入新世纪以来，在上世纪自平衡车的科研基础上，有不少西方学者和科学家在平衡车领域取得了实质性的发展，其中欧洲德国慕尼黑工业大学电子实验室制作了第一台以现代运动控制算法为理论基础的双轮机器人，此机器人已经有了现代双轮平衡车的雏型，使用了极点配置法对小车进行姿态计算[9]，小车已经可以初步完成在倾倒的前提下前进、后退和转向。

同年，英国爱丁堡大学物理实验室，开始了对双轮平衡小车智能化的改进。

该大学经过科研试验，设计出了一种不依靠操作人员指令依然能够进行自动转弯的小车，本次试验采用超声波传感器对车体的姿态进行测量，电脑根据车体传感器获取的姿态信息自行创造3D空间模型。

经过中央电脑的计算，该产品可以完成高精度的运动控制[10]。

但是该设计过于庞大，使用器材昂贵，并不适用于普通民用领域。

Segway是由美国发明家狄恩·卡门开发的已经商业化的双轮平衡车产品，开始研究后，卡门首先经过人体仿生学的研究，对灵长类生物自我平衡系统研究。

灵长类在失重的情况下，通常向失重方向施加一个力矩，比如向前迈步，这让卡门产生了平衡车的灵感[11]。

双轮平衡小车通过五个姿态传感器采集小车的角度和角速度等姿态信息，其中三个传感器出于工作状态，在发生模块失灵时其余两个可立刻启用保证工作顺畅，segway 的车体控制不像一般机动车一样为驾驶员提供方向盘和刹车装置等操作工具[12]，车体的操作是靠人体姿态的改变完
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成。

随着我国自经济腾飞之后科技水平也日新月异，平衡车的研究也成为国内科研工作者的研究热点，虽然我国是近几年才开始重视平衡车的理论研究，且技术较国外先进国家还有很多不足，但是经过多年的学习和探索，理论知识也不断完善，在此基础上几种产品也诞生出来。

2003年武汉科技大学采用几种姿态传感器采集角度，加速度等姿态信息，使用自行设计的先进控制算法，主控制器计算后发出PWM波驱动电机[13]，平衡车根据设计人员提供的操作杆进行转向的工作，还无法完成人体自身姿态控制小车。

哈尔滨工程大学随后也在双轮平衡车领域有了实质性进展，该设计首次采用红外传感器进行车体姿态的获取。

本次设计所采用的平衡算法才用国际新型算法，并且进行优化改进，小车通过两片埃特梅尔公司的微处理器作为主控制器，材料廉价有民用价值[14]。

2003 年，我国台湾的台湾交通大学设计了一种新型双轮平衡车，这种平衡车采用模糊控制算法计算PWM参数。

在运行过程中，采用了模糊控制算法计算出PWM波驱动电机。

本次设计放弃了操作杆设计，人体可以运用自身进行车体控制[15]，该设计需要在相对简单的环境下形式，进入户外容易被外界噪声干扰。

2008年，我国电动车生产厂家日江开发出一种自主设计研发并已经生产的平衡车产品，这款双轮平衡车可以让操作者以坐姿操作，它最大承载量是两人，取名 Chegway 平衡车[16]。

1.3主要研究内容
本课题主要是对载人平衡车的设计和开发。

通过结合过去的研究经验以及多种相关技术资料，设计一种控制方案，使小车可以平稳运行。

本设计需要完成以下几方面的内容。

1.对双轮平衡车系统的结构分析并熟悉其工作流程，建立双轮平衡车受力模型，并根据受力模型分析状态惯量。

针对数学模型提出系统总设计方案并根据设计要求确定方案选择。

2.完成系统控制方案算法的研究验证，使用MATLAB软件仿真控制方案，试验算法参数对控制系统的影响。

设计一套适合本系统运用的数字滤波算法，
3.对平衡车控制系统的硬件设计和选择，设计合理硬件，主要包括：嵌入式处理器外围电路，姿态传感器信息获取模块，无线通信模块，电机驱动模块，
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以及电源模块。

4.完成对双轮平衡车控制系统软件设计。

系统软件主要包括，主控制系统流程，运动车姿态采集，无线通信数据交互等。

5.完成系统抗干扰实验和在不稳定时的维持平衡实验，验证设计目标符合要求。

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第二章系统总体设计及技术介绍
2.1双轮平衡车总体设计方案
在对系统进行总体设计之前需通过数学建模为双轮平衡车提供理论基础，为了能够系统的分析小车的平衡原理，深入分析小车的系统动能需小车的动能模型，并且为了了解双轮平衡车各个部分的受力情况，所以必须进行受力分析，求出各种参数的相互关系，为后续的系统运行提供方案。

所以本文首要就是建立双轮平衡车的数学模型。

在对平衡车建立了具体的数学模型之后，选择牛顿力学分析和系统动能分析。

为接下来的软件程序编写提供方案。

由于数学模型的简化可能造成模型的不精确，本文将采用拉格朗日方程的数学模型对双轮平衡车建模。

双轮平衡车本质是不稳定的平衡，需要电机产生合适的力矩来来控制小车，维持平衡的环境。

设计一种控制器方案，使其可以让双轮平衡车系统可以在非稳态状态下迅速回到稳态。

根据国内外平衡车技术的发展现状，经过详尽的需求分析和市场调研，结合现有的电子元器件和传感器技术指标，并考虑实际可行性。

拟定系统的设计要求以及技术指标如下：
1.车身重量及车轮重量
车轮重量为2kg至2.5kg，车身重量为10kg。

用户可以根据实际需求调整车体重量但不可过重导致影响运行灵敏度
2.倾斜角度
车身倾斜角度最大不能超过15度，保证在15度以内可以维持平稳
3.最大时速
使小车的时速在0到15km/h。

在此范围内可以正常运行。

4.工作环境
工作环境温度范围-10℃-+60℃。

根据双轮平衡车在颠簸情况下电机和机械组件频繁碰撞，但在工作时姿态传感器需要实时获取平衡车姿态信息，姿态传感器对震荡产生的噪声非常敏感所以获取的信息大多数时是不准确的。

针对这种情况，本文采用一种滤波算法优化数据采集使控制算法可以更准确的控制电机，使双轮平衡车适应存在干扰
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的环境，因为复杂环境下噪声频域复杂多变，本设计采用现代数字滤波技术卡尔曼滤波来提升控制系统的抗干扰能力[17]。

2.2双轮平衡车受力分析以及动力学模型
2.2.1双轮平衡车平衡的基本原理
在研究设计控制系统的时候要结合相关的领域的知识，主要是机械和动力学的研究是小车控制系统的理论基础。

平衡车在没有运行时可以看作成一种类似倒立摆的结构，该结构本身就是非稳态结构。

车体在运行时，一点倾斜会被传感器迅速捕捉，捕捉的车体角度信息提供给主控制器，主控制器经过计算驱动电机，产生反方向的平衡措施，致使系统可以防止摔倒。

当车体运平稳时，平衡车可以平衡小幅度车身倾斜，如果平衡车需要实现前进时，可以在车体顶端施加一个向前的力，车体顶端向前偏移，姿态传感器此时开始工作，车体的角度变化会产生角度信息，控制器受到信息后驱动电机，转动产生相应的力矩保持车体平衡，从而实现前进。

车体受到的倾角改变越剧烈，双轮平衡车的加速度越快。

以此类推，前进后退和静止都是在这种流程下保持稳定。

保证平衡车的稳定运行。

影响小车反应速度的因素有：倾斜角度、车体重量、转动惯量、半径，车轮摩擦系数等。

为保持动态平衡，重心应该保持在车体正上方。

在双轮平衡小车还没有工作的时候，车体和车轮有可能产生姿态变动，此时车轮相对保持姿态不变，这时一瞬间车轮成为一个相对独立的系统；当其开始正常运行时，双轮平衡车有多种可能的倾角方向，只要信息正确采集并传达给主控制器，小车可以正常工作。

1.前倾状态：此时车体顶部向前，车身会于地面造成锐角倾角，电机驱动车轮向前滚动。

2.静止状态：此时车体与地面成垂直状态，则小车将保持动态平衡静止状态。

3.后仰状态：此时车体顶部向后，车身会于地面造成钝角倾角，电机驱动车轮向后滚动。

如上文所述，双轮平衡车虽然看似比较复杂，但核心系统模型类似一个倒立摆结构。

双轮平衡车结构是由车体硬件机械结构和车轮及驱动结构构成。

整个车体
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不仅受各种地面支撑力和摩擦力等外力作用，也有电机扭力传动，轴承震动等内力作用。

对双轮平衡车科学的建模方式可以对其分成车身和车轮两部分，最后根据两部分的各种情况分析出系统的状态方程。

2.2.2 车轮受力分析
双轮平衡车拥有两个轮胎，两个轮胎分别进行动力学受力分析，但一般情况下，我们只需对一个轮胎进行分析。

r 表示车轮半径，H 表示车体对车轮作用力，f H 表示车轮与地面摩擦力，w I 表示车轮惯量，w θ表示这轮旋转角度其双轮平衡车的受力分析如图2-1。

图2-1车轮受力分析图 Fig.2-1 Wheel force diagram
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根据牛顿力学三定律可知x F Ma =∑，w M 是车轮的质量，可知水平X 轴方向上其合力
M x H
H w f
=- (2-1)
由于在Y 轴方向上保持零角度偏移，因此，围绕轴承的受力分析得到
f
I C H r ωωθ=- (2-2) 从直流伺服电机的全部动态模型中，可以得到车轮输出转矩C 为
=m e m
a m m k k k d C I V dt R R ωωθ-=+ (2-3) 将以上两式(2-2)，(2-3)代入，可以得到
=
m e m f a m m k k k I H V R R r r
ωωωθθ-+- (2-4) 再将其代入（2-1）中就得到车轮的受力等式：
=m e m a
m m k k k I M x V H R R r r
ωωωωθ-+-- (2-5) 由于存在角速度w θ 和角加速度w
θ 和存在以下关系 r x
ωθ= (2-6) r x ω
θ= (2-7)
将式（2-6）和（2-7）代入得
22(+
)=m e m
a m m I k k k M x x V H r R r R r
ωω-+- (2-8) 从以上公式中可得车轮加速度x 和车轮当前速度x 的在车轮受电机阻力、摩
擦力和车身对车轮作用力的情况下的关系。

在实际试验中车轮惯量最大不能超过2.4×10-5kgm 2，如果超过则会造成系统平衡无法维持。

通过对加速度和速度的带入求解，便可以求得相对应车轮惯性。

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2.2.3 车身受力分析
车身受力分析是分析工作的主要内容和难点。

在双轮平衡车中车身受内外各种力的影响，设计车体控制系统就是要让车体每种受力保持一定，从而形成一种合力使双轮平衡车稳定向前。

m R 表示电机阻抗，a V 表示输入电压，p M 表示车身重量，p I 表示车体惯量，P 表示车轮对电机的反作用力，C 表示电机给车轮的转动力矩。

在计算动量前，先对车体进行受力分析，具体分析车体模型在受力后的情况。

如下图2-2。

l θ
θ
图2-2车身受力分析图 Fig.2-2 Body force diagram
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根据牛顿力学定律可以分析出水平方向的合力为
2cos sin x
p p p
F
M x H M l M l θθθθ==-+∑ (2-9) 由上图可知其垂直于车身的合力为
cos cos sin sin xp
p p p F
M x H p M g M l θθθθθ
==+--∑ (2-10) 绕车身质心运动的合力为
cos sin p Hl pl I θθθ
--= (2-11) 通过（2-10）和（2-11）可得以下关系
2sin cos p p p p
I M gl M l M lx θθθθ++=- (2-12) 将其进行整理可得
2+)sin cos p p p p
I M l M gl M lx θθθ+=- （(2-13) 通过（2-12）和（2-13）可以得到以下关系
222
(++)cos +sin m e m
p a p p m m I k k k M M x x V M l M l r R r R r ωωθθθθ-=+- (2-14) 将其整理可得
222(+
+)+cos sin m e
m p p p a
m m I k k k M M x x M l M l V r R r R r
ωωθθθθ+-= (2-15) 将（2-13）和（2-15）联立得
2+)sin cos p p p p
I M l M gl M lx θθθ+=- （(2-16) 222(+
+)+cos sin m e
m p p p a
m m I k k k M M x x M l M l V r R r R r
ωωθθθθ+-= (2-17) 在这个建模过程中，车体与Y 轴方向上的角度φ，关系满足=+θπφ，由此可得。

2
cos 1,sin ,0d dt θθθφ⎛⎫
=-=-= ⎪⎝⎭
(2-18)
将模型线性化可得如下公式
- 11 -
()
22
=()
p p p p p
p M l
M gl x I M l I
M l
φ
φ+
++ (2-19)
222
2=
p m e m
a p m p p M l k k k x x V I I I M M R r M M M M r r r ωωω
ωωωφ-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(2-20)
其中：
()2
2eq p
p p p I Q M I M l M I r ωω⎡⎤⎛⎫=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
(2-21) 上述状态方程表述的是系统的受力数学模型，通过检测求得电机电阻，电机转矩和反电动势等输入信号的具体参数，得到车轮位移，车轮速度等。

代入系统状态方程，得到车身动能模型为接下来的运动控制建模提供理论依据。

但仅仅从牛顿力学角度分析不足以完整反应像小车这样的时变复杂系统，为了更好的控制小车，需要得到系统能量方程。

2.2.4 系统动能分析
拉格朗日动能分析法是现代控制理论处理运动系统的一种分析方案，它可以从能量学角度对运动系统建模，可以更全面的分析系统受力情况[18]。

本文采用拉格朗日的系统动能和势能进行全面的分析，并对系统的速度和能量进行数学建模，在取得相对应的数学模型后，使用数学模型进行相应的控制算法计算。

l V 表示转动速度，车轮半径为R ，围绕质心角θ的转动惯量为J θ，以及相应的J φ。

电机质量r m
设转动动能为1T 围绕XY 平面的动能为2T ，轮胎的转动动能是3T 和传动动能是4T 车轮在垂直水平面轴线的动能是5T 。

由于电动车的质心在虚轴I 上，222w θφ=+代表转动角度可以合成一起的合成角度，据公式得
211
=2
T J ω(2-22)
其中J 为车体在转动和倾斜相结合的转动惯量
()()()cos 2=
sin 22
2
xz
J J J J J
φ
φθ
θαθα++-(2-23)
首先车身是左右一致的镜像结构，所以xz J =0，车体围绕垂直水面的轴的转动惯
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量为J φ。

=arctan ,J 0xz θαθφ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(2-24)
222=+ωθφ(2-25)
22
22
cos 212sin 12θααθφ
=-=-+(2-26) 由于上公式得
2
2
1=+
22
J J T φθφθ(2-27) 从而计算三个坐标动能x V 是速度在X 轴上的分速度，y V 是在Y 轴上的分速度，z V 是Z 轴上的分速度。

()()()
222222221211
=22
x y z x y y z T m V V V m V V V V ++=+++(2-28)
22311
=22l l r r T m V m V +(2-29)
22411
=22
l l r r T J J θθ+(2-30)
()2225111
==22
r T J m m f φφφ+(2-31)
总动量等于各个分量的求和。

12345=++++T T T T T T (2-32)
在广义坐标下，平动动能和各个方向上的合力息息相关，总动能是各种分
动能息息相关，双轮平衡车的姿态信息主要是各种倾角的速度以及加速度信息，根据以上分析，左右两车轮和车体角度的偏移量有：
()=,,T
l r x θθθ(2-33)
在用转动角度来描述质点所在当时的姿态信息，每一刻车体的姿态相对都是唯一的，每个质点相互对立，以转动角度为广义坐标，求以此为坐标的广义力。

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1=l l Q Q M θ=
2=r r Q Q M θ= (2-34)
3=sin l r Q Q mgl M M θθ=--
将系统的三个坐标参数代入式（2-32）中，化简得
()()()()()222
222222
2
2
2222222
2sin 111=cos sin 242211111222248
l r l r l l l r r r l l r r l r l r
R L T m L R L mR f J R m R J J m m R f φθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫-⎛⎫+---++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭-++++++-(2-35)
用拉格朗日方法对三个自由度的系统表达式如下：
(),1,2,3k k k
d T
T
Q k dt q q ⎛⎫∂∂-== ⎪∂∂⎝⎭(2-36) k q 是系统的广义坐标，k Q 是在此坐标下的广义力，从而得到系统的运动方程是：
111l l l
d T T d T T
Q M dt q q dt θθ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-
=⇒-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭(2-37) 代入车体模型得：
()2
22222222
sin 114444l l l l l r J R R L M R m m R J m m R f f φθθ⎡⎤⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
()2
2222222
sin 114444r l r J R R L R m m m R f f φθθ⎡⎤⎛⎫+++++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
(2-38) ()
()
2222
2sin cos sin cos 4242l r
l r m R L J R LR LRm f f φ
θθθθθθθθθθθ⎛⎫-- ⎪+-++ ⎪⎝
⎭
之后将k 分别取2，3计算出相应公式。

由以上公式观察中我们知道，双轮平衡车的数学一直处于相对不稳定状态，在没有平衡措施等时候，很大可能会失去平衡，因此姿态偏斜不能超过限度，过大的倾角会造成系统的倾斜破坏稳定环境，所以我们的角度最大不能超过15度。

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对符合条件的数学模型进行线性化，将条件代入公式得
()2
2222
11444l l l l l r J R M R m m R J m m R f φθ⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()2
22
1114442
r l r J R Rm m m R LRm f φθθ⎡⎤+--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2-39) ()2
222211444r r r r l r J R M R m m R J m m R f φθ⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()2
22
1114442
l l r J R Rm m m R LRm f φθθ⎡⎤+--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2-40) 矩阵的形式表现在以下表现：
()()()()2222
222
2
222
22
2
2
2
2
111
11
4
44444211111
444444
211
22
l l l r l r l r r r l r J R J R R m m R J m m R Rm m m R mLR f f J R J R Rm m m R R m m R J m m R mLR f f mLR
mLR mL J φφφφθ⎡⎤+++++--+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--++++++⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
+⎢
⎥⎣
⎦
00000000l l l r r r
l r M M mgl M M θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(2-41)
本次实验采用的是相同厂家生产的相同规格的电机，所以我们假定两个电机的环境相同，将它们的转动常数m K 和电动势参数e K 视为相同。

那么两轮所加的电动势分别为,l r U U 。

(
)m l e l
l m
K U K M R θ-=
(2-42)
- 15 -
(
)m r e r
r m
K U K M R θ-=
(2-43)
取状态向量()l
r x θθθθ=
得
()()()()2222
222
2
222
22
2
2
2
2111
11
04
44444211111
0444444
211
02200
1l l l r l r l r r r l r J R J R R m m R J m m R Rm m m R mLR f f J R J R Rm m m R R m m R J m m R mLR f f mLR
mLR mL J φφφφθ
⎡⎤+++++--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--++++++⎢
⎥⎢⎥⎢⎥+⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦
000000000001000e m m m m l l
e m m l r r m m r e m e m m m m m m
m K K K R R K K K U R R U K K K K K K mgL R R R R θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(2-44) 将双轮平衡车的角度数学模型带入到车轮和车体的受力分析模型中，结合速度，加速度和小车倾角角度和倾角角加速度相结合的数学模型。

()()222
2222201
0000=0001000p p m e
p p p m m eq
eq m eq
a
p m p p p m e m eq m eq
eq I M l k k M gl I M l k x x R r Q Q R r Q x x V I M lk M gl M M M lk k r R rQ R r Q Q ωωφφφφ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥
-+⎢⎥+⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥++⎣⎦
⎣⎦⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
10000
00100a x x y V φφ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
(2-45)
在以上动能模型进行计算时加入一个初始条件，使加速度x
，速度x ，角度
- 16 -
φ，角加速度φ
成为一个参数，代表在此时双轮平衡车的一个动能现状，在此状态下有速度和牵引力以及角度抖动，模拟一种小车的状态。

通过上述方程可以得到在加速度和倾斜角度在不超过一定限度下，系统可以通过自身调节达成平稳运行。

可以将初始条件逐渐增大，观察系统对角度的要求在不大于15度时可以平稳运行。

双轮平衡车是在一级倒立摆上发展起来的。

但是双轮平衡小车在倒立摆系统上又有了更加复杂的变化。

一级倒立摆只能在静止系统中对小车有参考价值，只需考虑受力情况，而无需考虑动能情况。

但我们的实际要求的主要问题是在运动变化过程中都要保持车体的稳定运行。

对于这种常常变化的运动不稳定系统，为了使其正常工作，在建立数学模型的基础上，本文需要现代运动控制方法使小车平衡。

2.3 PID 控制算法
2.3.1 PID 控制系统简介
运动控制是一个新的控制领域分支；PID 控制在车辆控制领域有着重要意义，PID 控制简单易用，有对信息的准确性要求并不高、适应各种复杂环境、鲁棒性强等优点[19]。

广泛应用于需要对温度、压力、流量、液位等工艺变量进行规律控制的车辆控制系统当中。

其基本思想是调节比例参数、积分参数、微分参数构成控制器。

PID 算法经过多年的总结和发展，已经是双轮平衡车中必不可少的组成部分[20]。

2.3.2PID 控制算法原理
PID 控制是比例，积分，微分控制的简称。

偏差的比例系数，积分时间，微分参数的组合算式为：
()()()()01t p D I de t u t K e t e t dt T T dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰(2-46)
p K 为比例系数，I T 为积分时间，D T 为微分时间。

在现代PID 控制应用中，由
于引进了计算机的原因，采样周期一般都很短，远远低于小车模拟期间的反应时间，所以参数一定要在合理范围内。

基本结构可由图2-3表示。