高中数学第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题课时跟踪训练含解析新人教A版必修

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简单的线性规划问题
［A组学业达标］
1．设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝y－2x的最小值为(）
A．－7B．－4
C．1 D．2
解析:可行域如图阴影部分（含边界)．
令z＝0,得直线l0：y－2x＝0,平移直线l0知，
当直线l过D点时，z取得最小值．
由错误!得D（5,3）．∴z min＝3－2×5＝－7。

答案:A
2．已知x，y满足约束条件错误!使z＝x＋ay(a＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（)
A．－3B．3C．－1D．1
解析：如图,作出可行域，作直线l：x＋ay＝0,要使目标函数z＝x＋ay(a＞
0)取得最小值的最优解有无数个,则将l向右上方平移后与直线x＋y＝5重
合，故a＝1，选D。

答案：D
3．设x，y满足约束条件{x≥0，，y≥x，，4x＋3y≤12，则错误!的最大
值是()
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：画出可行域如图阴影部分(含边界)，z＝错误!＝2错误!，错误!的几何意义是点M(－1,－1）与可行域内的点P(x，y)连线的斜率，当点P移动到点N(0，4）时,斜率最大，最大值为错误!＝5，
∴z max＝2×5＝10.故选D。

答案：D
4．若x,y满足约束条件错误!则z＝x2＋y2的最小值是(）
A．2 B． 5
C．4 D．5
解析:作出约束条件满足的可行域(如图所示),z＝x2＋y2表示平面区域内点M(x,y)到原点的距离的平方，由图象，得|OM|的最小值为|OA｜，即z＝x2＋y2的最小值为22＋12＝5。

答案:D
5．若变量x,y满足约束条件错误!且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝
（）A．9 B．3
C．－2 D．－错误!
解析：作出不等式组对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，平移直线y ＝－2x＋z，由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点A时,直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z 最小，即2x＋y＝－6，由错误!解得错误!即A(－2，－2）．又点A也在直线y＝k上，所以k ＝－2。

答案：C
6．若x,y满足约束条件错误!则z＝x＋2y的取值范围是________．
解析：如图，作出可行域，
作直线l:x＋2y＝0，
将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故z的取值范围为[2,6］．
答案:［2，6]
7．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，
则错误!目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域（图略）,易知当x＝4,y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．
答案：2 300
8．若实数x，y满足条件错误!则log2(2x＋y）的最大值为________．
解析：作出不等式组满足的可行域，如图阴影部分所示,令Z＝2x＋y，结合图形可知经过x＝1，x－y＋1＝0的交点A（1，2)时，Z有最大值4，此时z＝log2(2x＋y）的最大值为log24＝2。

答案:2
9．设x，y满足错误!求x＋y的取值范围．
解析：如图,z＝x＋y表示直线过可行域时，在y轴上的截距,当目标函数平移至过可行域A点时，z有最小值．联立错误!解得A(2，0)．
z最小值＝2,z无最大值,
∴x＋y∈[2，＋∞)．
10．已知变量x,y满足错误!
(1）设z＝错误!，求z的最小值;
（2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．
解析：不等式组错误!表示的可行域如图阴影部分所示．
由错误!
得A错误!；
由错误!得C（1,1）；
由错误!得B（5,2）．
(1)∵z＝错误!＝错误!，
∴z的最小值即为可行域中的点与原点O连线的斜率的最小值，
观察图形可知z min＝k OB＝错误!.
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域内的点到原点O的距离的平方，结合图形可知，z min＝|OC｜2＝2，z max＝|OB｜2＝29，∴2≤z≤29.
［B组能力提升]
11．已知O是坐标原点，点A（－1，1），若点M（x，y）为平面区域错误!上的一个动点，则错误!·错误!的取值范围是()
A．［－1,0］B．［0,1]
C．［0,2］D．［－1，2]
解析：作出可行域，如图所示,
因为错误!·错误!＝－x＋y。

所以设z＝－x＋y,作l0：x－y＝0，易知过点P(1,1)时，z有最小值，z min＝－1＋1＝0；
过点Q（0，2）时，z有最大值，
z max＝0＋2＝2,
所以错误!·错误!的取值范围是［0，2]．
答案:C
12．已知实数x，y满足条件错误!则z＝y－错误!x的最大值为（)
A．－错误!B．0
C。

错误!D．1
解析：作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分所示，
由z＝y－错误!x，得y＝错误!x＋z,由图可知y＝(错误!)x＋z的图象过点A时，z最大．
由错误!A(1,1)．
∴z max＝1－错误!＝错误!，故选C。

答案：C
13．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．将区域错误!中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB｜＝________。

解析:如图，不等式组表示的平面区域为△PMQ及其内部．
因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，又区域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成线段AB，所以｜AB｜＝|PQ｜。

由错误!解得P(－1,1），
由｛x＝2，，x＋y＝0，解得Q（2,－2）．
∴｜AB｜＝|PQ|＝错误!＝3错误!。

答案：3 2
14．实数x，y满足不等式组错误!则z＝|x＋2y－4｜的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
z＝｜x＋2y－4｜＝错误!·错误!，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的
错误!倍．
由错误!得B 点坐标为(7，9），显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.
答案:21
15．实系数方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一根在（0，1)之间,另一根在（1，2）之间，求b －2
a －1
的取值范围．
解析：令f (x ）＝x 2＋ax ＋2b ，则方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一根在（0,1)内，另一根在(1，2）内的问题转化为f (x )与x 轴的两交点分别位于（0,1）和(1,2)之间,由此可得： 错误!即错误!
由平面区域可知（a ，b ）所满足的条件是三角形区域(如图)内部，且A （－3，1），B （－1，0)．又b －2a －1的几何意义是过点（a ，b )与D （1,2)的直线斜率，则有错误!＝k AD ＜错误!＜k BD ＝1，
即错误!的范围是错误!。

16．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 救援物资的任务．该公司有8辆载重6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车,有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数：A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低? 解析：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据。

A 型车
B 型车 限量 车辆数 x y 10 运物吨数 24x 30y 180 费用
320x
504y
z
由表可知x ,y 且目标函数z ＝320x ＋504y .
作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分(含边界）所示．可知当直线z＝320x＋504y过A(7。

5,0)时,z最小，但A(7。

5,0)不是整点，继续向上平移直线z＝320x＋504y,可知点（8,0）是最优解．这时z min＝320×8＋504×0＝2 560（元)，即用8辆A型车，0辆B型车，成本费最低．所以公司每天调出A型卡车8辆时,花费成本最低。