高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第4讲 万有引力与航天练习(1)

配餐作业 万有引力与航天
A 组·基础巩固题
1．星系由很多绕中心做圆形轨道运行的恒星组成。

科学家研究星系的一个方法是测量恒星在星系中的运行速度v 和离星系中心的距离r 。

用v ∝r n
这样的关系来表达，科学家们特别关心指数n 。

若作用于恒星的引力主要来自星系中心的巨型黑洞，则n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－12 D.1
2
解析 由万有引力定律得G Mm r 2＝mv 2
r
，整理可得v ＝
GM r ，可知n ＝－1
2
，C 项正确。

答案 C
2．宇航员站在某一星球距离其表面h 高度处，以初速度v 0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t 后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，则该星球的质量为( ) A.2hR
2
Gt
2
B.
2hR
2
Gt
C.2hR Gt
2
D.Gt 22hR
2 解析 设该星球表面的重力加速度g ，小球在星球表面做平抛运动，h ＝12
gt 2。

设该星球的质
量为M ，在星球表面有mg ＝GMm R 2。

由以上两式得，该星球的质量为M ＝2hR
2
Gt
2，A 项正确。

答案 A
3．太空中进行开采矿产资源项目，必须建立“太空加油站”。

假设“太空加油站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致。

下列说法正确的是( ) A ．“太空加油站”运行的加速度等于其所在高度处的重力加速度 B ．“太空加油站”运行的速度大小等于同步卫星运行速度大小的10倍 C ．站在地球赤道上的人观察到“太空加油站”向西运动
D ．在“太空加油站”工作的宇航员因不受重力而在舱中悬浮或静止 解析 根据
GMm
r 2
＝mg ′＝ma ，知“太空加油站”运行的加速度等于其所在高度处的重力加速度，A 项正确；“太空加油站”绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则
有GMm r 2＝mv 2
r
，得v ＝GM r
＝GM
R ＋h
，“太空加油站”距地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的十分之一，但“太空加油站”距地球球心的距离不等于同步卫星距地球球心距离的十分之一，B 项错误；角速度ω＝
GM
r 3
，轨道半径越大，角速度越小，同步卫星和地球自转的角速度相同，所以“太空加油站”的角速度大于地球自转的角速度，所以站在地球赤道上的人观察到“太空加油站”向东运动，C 项错误；在“太空加油站”工作的宇航员只受重力作用，处于完全失重状态，靠万有引力提供向心力做圆周运动，D 项错误。

答案 A
4．如图为发射某卫星的示意图。

卫星在A 位置从椭圆轨道Ⅰ进入圆形轨道Ⅱ，B 位置在轨道Ⅰ上，C 位置在轨道Ⅱ上，D 为AB 的中点。

以下关于卫星的说法正确的是( )
A ．此卫星的发射速度一定等于7.9 km/s
B ．卫星从B 运动到D 和从D 运动到A 的时间相等
C ．卫星从B 到A 的过程中动能不断减小，从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需点火加速
D ．在轨道Ⅰ上经过A 位置处的加速度小于在轨道Ⅱ上经过C 处的加速度
解析 要发射卫星，卫星的发射速度大于第一宇宙速度7.9 km/s ，A 项错误；根据开普勒定律知，在椭圆轨道Ⅰ上，远地点A 的速度小于近地点B 的速度，故卫星从B 运动到D 和从D 运动到A 的时间不相等，B 项错误；远地点A 的速度小于近地点B 的速度，卫星从B 到A 的过程中动能不断减小，卫星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需点火加速才行，C 项正确；卫星在轨道Ⅰ上的A 位置及轨道Ⅱ上的C 位置，加速度均为a ＝GM
r
2，加速度大小相等，D 项错误。

答案 C
5．据《科技日报》报道，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括4颗海洋水色卫星、2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全部岛屿附近海域的监测。

设海陆雷达卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是海洋动力环境卫星的
n 倍，则在相同的时间内( )
A ．海陆雷达卫星到地球球心的连线扫过的面积是海洋动力环境卫星的n 倍
B ．海陆雷达卫星和海洋动力环境卫星到地球球心的连线扫过的面积相等
C ．海陆雷达卫星到地球球心的连线扫过的面积是海洋动力环境卫星的n 倍
D ．海陆雷达卫星到地球球心的连线扫过的面积是海洋动力环境卫星的1
n
倍
解析 根据G Mm r
2＝mr ω2
，计算得出ω＝GM r 3，扫过的面积为S ＝12lr ＝12r 2θ＝12
r 2
ωt ，因为轨道半径之比为n ，则角速度之比为1
n 3
，所以相同时间内扫过的面积之比为n ，所以
C 项正确，A 、B 、
D 项错误。

答案 C
6．2016年10月19日凌晨，“神舟十一号”载人飞船与“天宫二号”对接成功。

两者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，运行周期为T ，已知地球半径为R ，对接体距地面的高度为kR ，地球表面的重力加速度为g ，万有引力常量为G 。

下列说法正确的是( )
A ．对接前，飞船通过自身减速使轨道半径变大靠近“天宫二号”实现对接
B ．对接后，飞船的线速度大小为2πkR
T
C ．对接后，飞船的加速度大小为g
＋k
2
D ．地球的密度为
3π＋k
2
GT 2
解析 对接前飞船通过加速使轨道半径增大实现对接，A 项错误；对接后飞船的线速度v ＝2π
＋k R
T
，B 项错误；对接后飞船的加速度a ＝
R 2＋k
2
R
2g ＝g
＋k 2
，C 项正确；由万有引力提供向心力得G
Mm
＋k
2
R
2＝4π2m 1＋k R T 2
得M ＝4π
2
＋k
3R
3
GT
2
，地球的体积V
＝43πR 3
，地球的密度ρ＝M V ，联立解得ρ＝3π＋k
3
GT 2
，D 项错误。

答案 C
7．在赤道平面内绕地球做匀速圆周运动的三颗卫星m 1、m 2、m 3，它们的轨道半径分别为r 1、
r 2、r 3，且r 1＞r 2＞r 3，其中m 2为同步卫星，若三颗卫星在运动过程中受到的向心力大小相
等，则( )
A ．相同的时间内，m 1通过的路程最大
B ．三颗卫星中，m 3的质量最大
C ．三颗卫星中，m 3的速度最大
D ．m 1绕地球运动的周期小于24小时
解析 根据万有引力提供向心力可得G Mm r 2＝mv 2
r ，解得v ＝
GM
r
；由于r 1＞r 2＞r 3，故v 1＜v 2＜v 3，故m 3的速度最大，在相同的时间内，m 3通过的路程最大，A 项错误，C 项正确；由F 万＝
GMm
r 2
可得，在向心力大小相等的情况下，由于r 1＞r 2＞r 3，则m 1＞m 2＞m 3，B 项错误；据万有引力提供向心力得GMm r 2＝m 4π2
T
2r ，卫星运动的周期T ＝2πr
r
GM
，显然轨道半径越大，卫星运动的周期越大，故m 1的周期大于m 2的周期，而卫星2的周期为24小时，故m 1的周期大
于24小时，D 项错误。

答案 C
8．某网站报道，天文学家在距离地球127光年处发现了一个拥有7颗行星的“太阳系”，这些行星与其中央恒星之间遵循基本天体运行规律，和我们太阳系的规则相似。

这一星系的中央恒星名为“HD10180”。

分析显示，其中一个行星绕中央恒星“HD10180”的公转周期为584天，是地球绕太阳公转周期的1.6倍；与中央恒星“HD10180”的距离是2.3亿公里，等于太阳和地球之间平均距离的1.6倍，将行星与地球的公转轨道视为圆周。

该行星的质量是地球质量的25倍，半径是地球半径的16倍。

则下列说法正确的是( ) A ．恒星“HD10180”的质量与太阳的质量之比为58
B ．恒星“HD10180”的质量与太阳的质量之比为5
4
C ．该行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为3
4
D ．该行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为5
4
解析 设中央恒星质量为M 1，行星质量为m 1，绕恒星运转的轨道半径为r 1，周期为T 1，太阳质量为M 2，地球质量为m 2，地球绕太阳运转的轨道半径为r 2，周期为T 2。

对行星：G
M 1m 1
r 21
＝m 1r 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 12；对地球：G M 2m 2r 22＝m 2r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 22，联立解得M 1M 2＝T 22r 3
1T 21r 32＝85，AB 项错误；设该行星的第一
宇宙速度为v 1，行星半径为R 1，则有G m 1m R 21 ＝m v 21
R 1，解得v 1＝
Gm 1
R 1
，设地球的第一宇宙速度为v 2，地球半径为R 2，则有G m 2 m R 22 ＝m v 22
R 2
，解得v 2＝
Gm 2R 2，联立可得v 1v 2＝5
4
，C 项错误，D 项正确。

答案 D
B 组·能力提升题
9．假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A 和B ，半径分别为R A 和R B 。

这两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方(r 3
)与运行周期的平方(T 2
)的关系如图所示，T 0为卫星环绕行星表面运行的周期。

则( )
A ．行星A 的质量大于行星
B 的质量 B ．行星A 的密度小于行星B 的密度
C ．行星A 的第一宇宙速度小于行星B 的第一宇宙速度
D ．当两行星的卫星轨道半径相同时，行星A 的卫星向心加速度小于行星B 的卫星向心加速度
解析 根据GMm r 2＝m 4π2r T 2，可得M ＝4π2r 3
GT 2，r 3
＝GM 4π
2T 2，由图象可知，A 的斜率大，所以A 的
质量大，A 项正确；由图象可知当卫星在两行星表面运行时，周期相同，将M ＝ρV ＝ρ·43
πR
3
代入上式可知两行星密度相同，B 项错误；根据万有引力提供向心力，则GMm R 2＝mv 2
R
，所以v
＝
GM
R ＝43
πρGR 2
，行星A 的半径大，所以行星A 的第一宇宙速度也大，C 项错误；两卫星的轨道半径相同时，它们的向心加速度a ＝GM r
2，由于A 的质量大于B 的质量，所以行星
A 的卫星向心加速度大，D 项错误。

答案 A
10．(2018·日照校际联合期中考试)2017年6月15日，中国空间科学卫星“慧眼”被成功送入轨道，卫星轨道所处的空间存在极其稀薄的空气。

“慧眼”是我国首颗大型X 射线天文卫星，这意味着我国在X 射线空间观测方面具有国际先进的暗弱变源巡天能力、独特的多波段快速光观测能力等。

下列关于“慧眼”卫星的说法正确的是( ) A ．如果不加干预，“慧眼”卫星的动能可能会缓慢减小 B ．如果不加干预，“慧眼”卫星的轨道高度可能会缓慢降低 C ．“慧眼”卫星在轨道上处于失重状态，所以不受地球的引力作用
D ．由于技术的进步，“慧眼”卫星在轨道上运行的线速度可能会大于第一宇宙速度 解析 卫星轨道所处的空间存在极其稀薄的空气，如果不加干预，卫星的机械能减小，卫星
的轨道高度会缓慢降低，据G Mm r 2＝mv 2
r 可得v ＝
GM
r
，卫星的轨道高度降低，其线速度增大，卫星的动能增大，故A 项错误，B 项正确；卫星在轨道上，受到的地球引力产生向心加速度，处于失重状态，故C 项错误；据v ＝GM
r
得，卫星在轨道上运行的线速度小于第一宇宙速度，故D 项错误。

答案 B
【解题技巧】
双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度的大小相等，周期相等。

11. (2018·九江一中月考)2017年诺贝尔物理学奖授予美国科学家雷纳·韦斯、巴里·巴里什和基普·索恩，以表彰他们为“激光干涉引力波天文台”(LIGO)项目和发现引力波所做的贡献，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现。

在如图所示的脉冲双星系统中，A 、B 两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，已知恒星A 的质量为太阳质量的29倍，恒星B 的质量为太阳质量的36倍，两星之间的距离L ＝2×105
m ，太阳质量M ＝2×1030
kg ，万有引力常量G ＝6.67×10
－11
N·m 2/kg 2。

若两星在环绕过程中会
辐射出引力波，该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所
给信息估算该引力波频率的数量级是(
)
A ．102
Hz B ．104
Hz C ．106 Hz
D ．108
Hz
解析 A 、B 的周期相同，角速度相等，靠相互的引力提供向心力，G M A M B L 2＝M A r A 4π
2
T 2，①
G M A M B L 2＝M B r B 4π
2
T
2，② 有M A r A ＝M B r B ，r A ＋r B ＝L ，解得r A ＝M B
M A ＋M B
L ＝
3636＋29L ＝36
65
L ，由①得，T ＝4π2L 3
×
3665GM B
，
则f ＝1T
＝
GM B
4π2L 3
×
36
65
＝
6.67×10
－11
×36×2×1030
53×3665
≈1．6×102
Hz ，故选A 项。

答案 A
12. (多选)如图所示，有甲、乙两颗卫星分别在不同的轨道围绕一个半径为R 、表面重力加速度为g 的行星运动，卫星甲、卫星乙各自所在的轨道平面相互垂直，卫星甲的轨道为圆，距离行星表面的高度为R ，
卫星乙的轨道为椭圆，M 、N 两点的连线为其椭圆轨道的长轴且M 、
N 两点间的距离为4R 。

则以下说法正确的是( )
A ．卫星甲的线速度大小为2gR
B ．卫星乙运行的周期为4π
2R
g
C ．卫星乙沿椭圆轨道运行经过M 点时的速度大于卫星甲沿圆轨道运行的速度
D ．卫星乙沿椭圆轨道运行经过N 点时的加速度小于卫星甲沿圆轨道运行的加速度 解析 卫星甲绕中心天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，可计算出卫星甲环绕中心天体运动的线速度大小为v ＝gR
2
，A 项错误；同理可计算出卫星甲环绕的周期为T 甲＝
4π
2R
g
，由卫星乙椭圆轨道的半长轴等于卫星甲圆轨道的半径，根据开普勒第三定律可
知，卫星乙运行的周期和卫星甲运行的周期相等，则T 乙＝T 甲＝4π
2R
g
，B 项正确；卫
星乙沿椭圆轨道经过M 点时的速度大于沿轨道半径为M 至行星中心距离的圆轨道的卫星的线速度，而轨道半径为M 至行星中心距离的圆轨道的卫星的线速度大于卫星甲在圆轨道上的线速度，C 项正确；卫星运行时只受万有引力，向心加速度a ＝GM
r
2，r 越大，a 越小，D 项正确。

答案 BCD
13.石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖。

用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在21世纪实现。

科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换。

(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h 1的同步轨道站，求轨道站内质量为m 1的货物相对地心运动的动能。

设地球自转角速度为ω，地球半径为R 。

(2)当电梯仓停在距地面高度h 2＝4R 的站点时，求仓内质量m 2＝50 kg 的人对水平地板的压力大小。

地面附近重力加速度g 取10 m/s 2
，地球自转角速度ω＝7.3×10－5
rad/s ，地球半径R ＝6.4×103
km 。

解析 (1)设货物相对地心的距离为r 1，线速度为v 1，则r 1＝R ＋h 1， ①
v 1＝r 1ω， ②
货物相对地心的动能为
E k ＝1
2m 1v 21， ③
联立①②③得
E k ＝12
m 1ω2(R ＋h 1)2。

④
(2)设地球质量为M ，人相对地心的距离为r 2，向心加速度为a n ，受地球的万有引力为F ，则
r 2＝R ＋h 2， ⑤ a n ＝ω2r 2， ⑥
F ＝
G m 2M
r 22， ⑦
g ＝GM
R
2， ⑧
设水平地板对人的支持力大小为N ，人对水平地板的压力大小为N ′，则
F －N ＝m 2a n ， ⑨ N ′＝N ， ⑩
联立⑤～⑩式并代入数据得
N ′＝11.5 N 。

⑪
答案 (1)12m 1ω2(R ＋h 1)2
(2)11.5 N
14.如图所示，A 是地球的同步卫星。

另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h 。

已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地心。

(1)求卫星B 的运行周期。

(2)如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 解析 (1)由万有引力定律和向心力公式得
卫星B ：G
Mm
R ＋h
2
＝m
4π
2
T 2B
(R ＋h )，
地球表面上：G Mm R
2＝mg ， 联立解得T B ＝2π
R ＋h 3
gR 2。

(2)由题意得(ωB －ω0)t ＝2π 由ωB ＝2π
T B
，
解得t ＝
2π
gR 2R ＋h
3
－ω0。

答案 (1)2π
R ＋h 3
gR 2
(2)
2π
gR 2R ＋h
3
－ω0。