高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(二)导学案新人教A版必修4(20

2018版高中数学第二章平面向量2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（二）导学案新人教A版必修4
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2。

4.1 平面向量数量积的物理背景及其
含义(二）
学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式。

2。

会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明。

知识点一平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.
运算律实数乘法向量数量积判断正误
交换律ab＝ba a·b＝b·a正确
结合律（ab）c＝a（bc）（a·b)c＝a （b·c）
错误
分配律（a＋b）c＝ac＋
bc
(a＋b)·c
＝a·c＋
b·c
正确
消去律ab＝bc（b≠0)⇒a
＝c
a·b＝
b·c(b≠0)
⇒a＝c
错误
知识点二平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式,写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
多项式乘法向量数量积
（a＋b）2＝a2＋2ab
＋b2
(a＋b）2＝a2＋2a·b＋
b2
(a－b)2＝a2－2ab
＋b2
（a－b)2＝a2－2a·b
＋b2
（a＋b）(a－b)＝
a2－b2
(a＋b）·(a－b)＝a2
－b2
(a＋b＋c）2＝a2＋
b2＋
c2＋2ab＋2bc＋2ca
（a＋b＋c)2＝a2＋b2＋
c2＋
2a·b＋2b·c＋2c·a
类型一向量数量积的运算性质
例1 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0;②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b）c ＝a(b·c)；④a·［b(a·c）－c(a·b）]＝0,其中正确结论的序号是________。

答案④
解析因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0,故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0,但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线,故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b）]
＝(a·b）（a·c）－（a·c）（a·b)＝0，故④正确。

反思与感悟向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处。

例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0。

特别是向量的数量积不满足结合律。

跟踪训练1 设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行,给出以下说法:
①（a·b）·c－(c·a)·b＝0；
②(b·c）·a－(c·a)·b不与c垂直;
③（3a＋2b)·（3a－2b）＝9|a|2－4｜b｜2。

其中正确的是________.(填序号）
答案③
解析(a·b)·c表示与向量c共线的向量，(c·a)·b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；由[（b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0知,（b·c）·a－（c·a）·b与c 垂直，故②错误；向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确。

类型二平面向量数量积有关的参数问题
命题角度1 已知向量垂直求参数值
例2 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋（1－t）·b，且b⊥c，则t＝________。

答案2
解析由题意，将b·c＝［t a＋(1－t)b]·b整理，得t a·b＋(1－t）＝0,又a·b＝错误!，所以t＝2。

反思与感悟由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b⇔a·b＝0.
跟踪训练2 已知向量a＝（k，3)，b＝（1,4）,c＝(2,1)，且(2a－3b）⊥c,则实数k等于（) A.－错误! B.0 C.3 D。

错误!
答案C
解析因为a＝（k，3）,b＝(1,4），
所以2a－3b＝2(k，3)－3(1，4）＝（2k－3,－6)。

因为(2a－3b）⊥c,
所以（2a－3b）·c＝(2k－3,－6）·(2，1）
＝2(2k－3）－6＝0,
解得k＝3。

故选C.
命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例3 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角, 则k 的取值范围为________.
答案(0,1)∪(1，＋∞）
解析∵e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角,
∴（e1＋k e2）·(k e1＋e2)
＝k e错误!＋k e错误!＋(k2＋1)e1·e2
＝2k>0,∴k>0。

但当k＝1时,e1＋k e2＝k e1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去。

综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
反思与感悟由两向量夹角θ的取值范围,求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零
向量a ，b ，θ∈[0，错误!）⇔a ·b >0，θ∈(错误!，π]⇔a ·b <0。

跟踪训练3 设两个向量e 1，e 2满足｜e 1|＝2,｜e 2｜＝1，e 1,e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范围。

解 设向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为θ. 根据题意,得cos θ＝错误!<0， ∴（2t e 1＋7e 2）·(e 1＋t e 2)<0。

化简,得2t 2
＋15t ＋7〈0，解得－7<t 〈－错误!.
当θ＝π时，也有（2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角。

设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2），λ<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧
2t ＝λ，7＝λt ，λ〈0
∴错误!
∴实数t 的取值范围是（－7，－错误!）∪(－错误!，－错误!)。

1。

下面给出的关系式中正确的个数是( ）
①0·a ＝0;②a ·b ＝b ·a ；③a 2
＝｜a ｜2
;④|a ·b ｜≤a ·b ；⑤（a ·b ）2
＝a 2
·b 2
. A.1 B.2 C 。

3 D 。

4 答案 C
解析 ①②③正确,④错误，⑤错误，（a ·b ）2
＝(｜a ||b ｜·cos θ）2
＝a 2
·b 2
cos 2
θ,故选C.
2.已知｜a |＝1，|b |＝错误!，且(a ＋b )与a 垂直,则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B。

30° C.135° D.45° 答案 C
解析 ∵（a ＋b )·a ＝a 2
＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2
＝－1，
∴cos〈a ，b 〉＝错误!＝错误!＝－错误!. ∴〈a ，b 〉＝135°。

3。

已知平面向量a ，b 满足｜a ｜＝3，|b ｜＝2,a 与b 的夹角为60°,若（a －m b ）⊥a ，则实数m 的值为( )
A.1
B.0
C.2
D.3
答案D
解析由题意得（a－m b）·a＝0，a2＝m a·b,
∴m＝错误!＝错误!＝错误!＝3，故选D.
4.已知正三角形ABC的边长为1，设错误!＝c，错误!＝a，错误!＝b，那么a·b＋b·c＋c·a的值是( ）
A.错误!B。

错误!
C.－错误!D。

－错误!
答案C
解析∵a＋b＋c＝0，∴（a＋b＋c）2＝0，
即｜a|2＋｜b|2＋｜c|2＋2（a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴3＋2(a·b＋b·c＋c·a）＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－错误!。

5.已知｜a｜＝2，｜b|＝1，（2a－3b）·(2a＋b)＝9。

(1)求a与b之间的夹角θ；
（2）求向量a在a＋b上的投影。

解（1）∵(2a－3b）·（2a＋b）＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9,
∴a·b＝1，
∴cos θ＝错误!＝错误!。

又∵θ∈［0，π]，∴θ＝错误!。

(2)|a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝7，即|a＋b｜＝7。

设a与a＋b的夹角为α，则向量a在a＋b上的投影为
｜a｜cos α＝｜a|×错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.
1.数量积对结合律不一定成立,因为(a·b)·c＝|a|｜b｜·cos〈a，b>·c是一个与c共线的向量,而(a·c）·b＝|a|｜c|cos〈a，c>·b是一个与b共线的向量,若b与c不共线，则两者不相等。

2.在实数中，若ab＝0，则a＝0或b＝0,但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cos θ有可能为0.
3.在实数中,若ab＝bc,b≠0，则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0⇏a＝c。

课时作业
一、选择题
1。

已知|a｜＝1，｜b|＝1,｜c｜＝2，a与b的夹角为90°,b与c的夹角为45°，则a·（b·c）的化简结果是（）
A.0
B.a C。

b D.c
答案B
解析b·c＝｜b｜|c|cos 45°＝1。

∴a·（b·c）＝a。

2。

已知向量a，b满足a·b＝0,|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b｜等于（）
A.0 B。

2错误! C.4 D。

8
答案B
解析｜2a－b｜2＝（2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b｜2＝4×1－4×0＋4＝8，∴｜2a－b|＝2错误!。

3。

已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )
A.错误!B。

－错误!
C。

±3
2
D.1
答案A
解析∵（3a＋2b）·(λa－b)＝3λa2＋（2λ－3)a·b－2b2
＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝错误!。

4.设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角θ的余弦值是（）A。

错误! B.错误! C.错误! D。

错误!
答案D
解析∵｜3e1＋4e2｜2＝9e错误!＋24e1·e2＋16e错误!＝9＋24×错误!＋16＝37，∴|3e1＋4e2|＝错误!.
又∵(3e1＋4e2)·e1＝3e错误!＋4e1·e2＝3＋4×错误!＝5，
∴cos θ＝
3e1＋4e2·e1
｜3e1＋4e2|｜e1|
＝
5
37
＝错误!.
5.已知非零向量m,n满足4｜m｜＝3｜n｜，cos〈m，n〉＝错误!。

若n⊥(t m＋n),则实数t的
值为( )
A。

4 B。

－4 C.错误! D.－错误!
答案B
解析∵n⊥(t m＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，即t m·n＋n2＝0，∴t|m｜｜n|cos<m，n〉＋|n|2＝0,由已知得t×错误!|n｜2×错误!＋｜n｜2＝0，解得t＝－4，故选B。

6。

设向量a与b满足｜a|＝2，b在a方向上的投影为1.若存在实数λ,使得a与a－λb垂直,则λ等于（)
A.错误!
B.1
C.2
D.3
答案C
解析∵b在a上的投影为1，｜a｜＝2，
∴a·b＝2×1＝2，
又∵a⊥（a－λb)，∴a·（a－λb）＝0,
∴λa·b＝｜a|2，故2λ＝4，λ＝2，故选C。

7。

若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－错误!b，则向量a与c的夹角为（)
A.0 B。

错误! C。

错误! D.错误!
答案D
解析∵a·c＝a·错误!
＝a·a－错误!·（a·b)＝a·a－a·a＝0.
∴a⊥c。

故选D.
8.如图，在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD＝60°，E为BC的中点，则错误!·错误!等于（）
A。

－3 B。

0 C。

－1 D。

1
答案C
二、填空题
9.已知平面内三个向量a,b,c满足|a｜＝｜b|＝1，|c|＝错误!,且a＋b＋c＝0,则向量a，b夹角的大小是________。

答案错误!
解析∵a＋b＝－c,∴（a＋b）2＝c2，
即|a｜2＋2a·b＋｜b|2＝｜c｜2，
∴1＋2a·b＋1＝3，a·b＝1 2，
则cos<a，b>＝错误!＝错误!，
又∵〈a，b>∈[0，π］,∴〈a,b〉＝错误!.
10.已知向量a，b满足|a｜＝2，｜b|＝1，且对一切实数x,｜a＋x b|≥｜a＋b｜恒成立，则a，b的夹角的大小为________.
答案错误!
解析由题意可知，|a＋x b|2≥|a＋b|2，
即a2＋2a·b·x＋b2·x2≥a2＋2a·b＋b2，
设a与b的夹角为θ，
则4＋4cos θ·x＋x2≥4＋4cos θ＋1，
即x2＋4cos θ·x－1－4cos θ≥0，
因为对一切实数x,｜a＋x b|≥｜a＋b|恒成立，
所以Δ＝（4cos θ)2＋4（1＋4cos θ)≤0，
即(2cos θ＋1）2≤0，
所以2cos θ＋1＝0,cos θ＝－错误!.
又因为θ∈[0，π],所以θ＝错误!.
11。

已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则错误!＝________.答案错误!
解析∵a⊥b,∴a·b＝0,
(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，
|a＋2b｜＝错误!＝错误!，
｜a－2b|＝错误!＝错误!，
∴a2－4b2＝错误!·错误!·cos 120°,
化简得错误!a2－2b2＝0，
所以错误!＝错误!.
12.设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0,(a－b）⊥c,a⊥b，若|a|＝1，则|a｜2＋|b｜2＋｜c|2的值是________.
答案4
解析方法一由a＋b＋c＝0,得c＝－a－b。

又（a－b)·c＝0，
∴（a－b)·(－a－b)＝0,
即a2＝b2。

则c2＝（a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴｜a|2＋|b｜2＋｜c|2＝4.
方法二如图，作错误!＝错误!＝a。

错误!＝b,则错误!＝c,
∵a⊥b，∴AB⊥BC,
又∵a－b＝错误!－错误!＝错误!,
（a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形,
∵｜a｜＝1，∴｜b｜＝1，｜c|＝错误!,∴|a｜2＋|b｜2＋|c｜2＝4。

13。

已知向量a，b的夹角为45°，且｜a｜＝4，（错误!a＋b)·（2a－3b)＝12，则|b|＝________;b 在a方向上的投影等于________。

答案错误!1
解析(错误!a＋b)·(2a－3b）＝a2＋错误!a·b－3b2＝12，即3|b｜2－错误!|b｜－4＝0，
解得|b|＝错误!（舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos 45°＝错误!×错误!＝1.
三、解答题
14.已知|a｜＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1。

（1）求a与b的夹角θ；
（2)求(a－2b)·b；
(3）当λ为何值时,向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解（1）∵|a|＝2|b|＝2，∴｜a｜＝2，|b|＝1。

又∵向量a在向量b方向上的投影为|a｜cos θ＝－1，
∴a·b＝｜a｜|b|cos θ＝－1.
又∵｜a|＝2，｜b|＝1，∴cos θ＝－错误!，
2018版高中数学第二章平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（二）导学案新人教A版必修4 又∵θ∈[0，π］，∴θ＝错误!.
（2）(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
（3）∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b）·（a－3b）＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝错误!。

四、探究与拓展
15.已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝错误!｜a
－b｜成立?若存在,求出θ.
解假设存在满足条件的θ，
∵|a＋b｜＝错误!|a－b|，∴(a＋b）2＝3（a－b）2，
∴｜a|2＋2a·b＋|b｜2＝3(｜a｜2－2a·b＋|b｜2），
∴|a｜2－4a·b＋｜b｜2＝0，
∴|a|2－4|a|｜b｜cos θ＋｜b｜2＝0，
∴错误!
解得cos θ∈错误!。

又∵θ∈［0，π］，∴θ∈错误!。

11 / 1111。