高等数学(上) 第3版教学课件4-2换元积分法

其中 C = C1 ln a
（3）
令 x = a sin t
p
（ 0 < t < ），则
2
x2 a2 = a2 (sec2 t 1) = a tan t ，
dx = da sect = a sect tan tdt
代入原式得：
1 dx = a sec t tan t dt = sec tdt = ln sec t + tan t + C
x)
dx
=
sec 2 x + sec x tan x dx
sec x + tan x
=
1
d (sec x + tan x)
sec x + tan x
= ln sec x + tan x + C
类似地，有 （6） csc xdx = ln csc x cot x + C
例 6
求
x2
1
a2
dx
由
x
=
a
sin
t
得，
sin
t
=
x a
，
t
( p
p ,
)
22
于是
t = arcsin x a
为了求 cos t ，可根据 sin t = x
a
用勾股定理求出第三边，于是
cos t = x 2 a 2 a
作辅助三角形（如图），然后
x
a
t
a2 x2
将它们代入上述的积分结果中得：
a 2 x 2 dx = a 2 arcsin x + 1 x a 2 x 2 + C
x2 + a2
a sec t
根据 tan t = x ，做辅助三角形（ 如图）
a
x
于是
sec t =
x2 + a2 ，代入上述结果中得
a
a2 + x2
t
a
1 dx = ln x2 + a2
x2 + a2 a
+x a
+ C1
= ln x 2 + a 2 + x ln a + C1 = ln x 2 + a 2 + x + C
2
a2
（2） 根据（1）的经验，可令
x
=
a tant
（
p
2
<
t
<
p
2
），
则
x2 + a2 = a2 (tan2 t +1) = a sect ， dx = da tan t = a sec 2 tdt
代入原式得：
1 dx = a sec2 t dt = sec tdt = ln sec t + tan t + C
a2 x2 dx = a cos t ×a cos tdt = a2 cos 2 tdt
=
a2
1+
cos 2
2t
dt
=
a2 2
(t
+
1 2
sin
2t )
+
C
= 1 a2t + 1 a 2 sin t cos t + C 22
为了把变量 t 还原为 x ，必须求出 t ， sin t ， cos t ，
dx
=
1 a
1+
1 ( x)2
d
x a
=
1 a
arctan x a
+
C
a
a
（3）
tan
xdx
=
sin cos
x x
dx
=
1 cos
x
d
cos
x
=
ln
cos
x
+
C
同理（4） cot xdx = ln sin x + C
（5）
sec
xdx
=
sec x(sec x + tan sec x + tan x
解：
我们知道
x2
1 a2
=
1 2a
(
x
1
a
x
1 +
a
)
所以
x2
1
a2
dx
=
1 2a
(
x
1
a
x
1 +
)dx a
=
1 2a
[
x
1
a
d(x
a)
x
1 +
a
d(x
+
a)]
= 1 [ln x a ln x + a ] + C 2a
=
1 ln 2a
xa x+a
+C
例7 求下列不定积分
（1）
3+ x dx
x2 a2
a tan t
根据 sect = x 作辅助三角形 a
由图知 tan t = x 2 a 2
a
x
x2 a2
t
a
于是
1 dx = ln x +
x2 a2
a
x2 a2 a
+ C1
= ln x + x 2 a 2 ln a + C1 = ln x + x 2 a 2 + C
其中 C = C1 ln a
2
2
2
回代u = x 2 1 e x2 + C 2
例3
求
cos(ln x
x)
dx
解：
cos(lnx) x
dx凑微分1 2
cos(lnx)d
ln
x令ln
x
=
u
1 2
cosudu积分sinu
+
C
回代u = ln xsin(lnx) + C
凑微分基本公式：
1.
dx = 1 d(ax + b) a
3.
xndx = 1 dxn+1 n +1
《高等数学》
第二节 换元积分法
基础课教学部
第二节 换元积分法
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、思政小课堂
高等数学（下） 第3版
一、第一换元积分法
引例 求 e5xdx
分析：在基本积分公式中有
exdx = e x + C
那么是否也有
e5x dx = e5x + C
呢？
因为 (e5x + C) = 5e5x e5x 所以 e5x dx = e5x + C 是错误的。
x2
x
8. sin xdx = d cosx
10. sec2 xdx = d tan x
12. secx tan xdx = d secx
14.
1 dx = d arcsin x 1 x2
16.
f (x)dx = 1 d(af (x) + b) a
例 4 求下列不定积分：
（1） cos3 x sin xdx
（4）
cos5x sin
3xdx
=
1 2
(sin
8x
sin
2x)dx
=
1 16
sin 8xdx
+
1 4
sin
2xdx
= 1 cos8x 1 cos 2x + C
16
4
注：积分方法灵活多变，需要做大量的练习才能掌握好，另外， 一个不定积分若采取不同的方法，表面上可得不同的结果，计算中 要注意到这一点，看下面的例子。
小结：综上几个例子可以看出，第二换元法的主要目的就是 去根号，我们把第二换元法的几个常用类型归纳如下：
（1） 被积函数含 n ax + b 时，可令 n ax + b = t
（2） 被积函数含 （3） 被积函数含
a2
x2
时，可令 x
=
a sin t （ p
2
<
t
<
p
2
）
a2
+
x2时，可令x=at +1
1+ t
=
t3 6(
t2
+t
ln1 + t ) + C
32
回代t = 6 x 2 x 33 x + 66 x 6 ln(1 + 6 x ) + C
例11 求下列积分
（1）
a 2 x 2 dx （ a > 0 ） （2） 1 dx （ a > 0 ）
x2 + a2
（3）
1 dx
5.
1 = 2d x x
7. e xdx = dex
9. cosxdx = d sin x
11. csc2 xdx = d cot x
13. cscxcotxdx = d cscx
15.
1 1+ x2
dx
=
d
arc tan x
2.
xdx = 1 dx2 2
4.
1 dx = d ln x x
1
1
6.
dx = d
f (u)du = F(u) + C
当 u = j(x) 时，根据一阶微分形式的不变性，我们有：
f [j(x)]j(x)dx凑微分 f [j(x)]d[j(x)]令j（x）= u f (u)du
积分F（u）+ C回代u = j(x)F[j( X )] + C
用这个方法计算不定积分，就称为第一换元积分法，又称为 凑微分法，其中关键的一步就是凑微分。
我们尝试用用下面的方法：
e5x dx = 1 e5x 5dx = 1 e5x d5x令5x = u 1 eu du = 1 eu du
5
5
5
5
回代u = 5x 1 e5x + C 5
验证： (1 e5x + C) = e5x 5
1.定义：一般的，若 F(u) 是 f (u) 的原函数，即 F (u) = f (u) ，则
例1 求 (2x + 3)8 dx 。
解：
(2
x
+
3)8
dx凑微分
1 2
（2x
+
3）8d
(2
x
+
3)令2
x
+
3
=
u
1 2
u
8du
积分 1×1 u9 + C回代u = 2x + 3 1 (2x + 3)9 + C
29
18
例2 求 xex2 dx
解：
xe x2 dx凑微分 1 e x2 dx 2 令x 2 = u 1 eu du积分 1 eudu + C
x2 a2
（a > 0）
解： (1) 此积分的困难就在于含有根式 a 2 x2 ，我们联想
三角公式 1 sin 2 t = cos 2 t ，可用它来消除根号。
令
x
=
a
sin
t
（
p 2
<
t
<
p 2
），则有：
a 2 x 2 = a 2 a 2 sin 2 t = a cos t ， dx = da sin t = a cos tdt 代入原式得
例10
1 dx
x+3 x
解： 令 x = t 6 ，则 x = t 3 ， 3 x = t 2 ， dx = dt 6 = 6t 5dt ，
代入原式得：
1 dx = x+3 x
t3
1 t2
6t 5dt
=
6
t 3 dt t +1
= 6 (t 3 + 1) 1 dt = 6 (t 2 t + 1 1 )dt
1 ln 2 x
（3）
sin( x + 1)dx = 2 sin( x + 1)d ( x ) = 2 sin( x + 1)d ( x + 1) x
= 2 cos( x + 1) + C
（4）
1
e x
x2
dx
=
e
1 x
d
(
1
)
=
1
e x
+C
x
例5 计算下列不定积分
（1）
1 dx(a > 0) a2 x2
一个常数。
二、第二换元积分法
第一换元积分法是令 u = j (x) ，但对于有些不定积分来说，
则需要反用第一换元法，即令 x = j (t) ，把 t 作为新的积分变量，
此时，把第一换元积分法反过来就得到：
f
( x)dx令x
=
j(x)
1 2
f
[j(t)]j (t)dt积分F (t)
+
C回代t
=
j
1 (x)F[j
1 1+ ex
dx
=
(ex +1) 1+ ex
ex
dx
=
1dx
ex 1+ ex
dx
= x
1 1+ ex
d (ex
+ 1)
=
x
ln(e x
+ 1)
+
C
（3）
cos 2
xdx
=
1
+
cos 2
2
x
dx
=
1 2
dx
+
1 2
cos
2 xdx
=
1x+ 2
1 4
cos
2xd
2x
= 1 x + 1 sin 2x + C 24
（3）
sin( x + 1)dx
x
（2）
1 dx x 1 ln 2 x
1
（4）
ex x2
dx
解：
（1） cos3 x sin xdx = cos3 xd cos x = 1 cos4 x + C 4
（2）
1 dx = 1 d ln x = arcsin(ln x) + C
x 1 ln 2 x
例 8 求 sin x cos xdx
解一：
sin
x
cos
xdx
=
sin
xd
sin
x
=
1 2
sin
2
x
+
C
解二：
sin
x
cos
xdx
=
cos
xd
cos
x
=
1 2
cos 2
x
+
C
解三：
sin
x
cos
xdx
=
1 2
sin
2xdx
=
1 4
sin
2xdx
=
1 4
cos
2x
+
C
可以验证，这三个结果都是正确的，三个原函数之间彼此只差
9 x2
（2）
1 1 + e x dx