2016-2017学年高三数学配套习题：第三章 数系的扩充与复数的引入3.3 Word版含解析

明目标、知重点 1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
1．复数的几何意义
任何一个复数z ＝a ＋b i 和复平面内Z (a ，b )一一对应，和以原点为起点，以Z (a ，b )为终点的向量OZ →
一一对应． 2．复数的模
设z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2. 3．复平面中两点的距离
两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
[情境导学]
我们知道实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，实数可用数轴上的点来表示，那么复数的几何意义是什么呢？ 探究点一 复数与复平面内的点
思考1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
答 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应．
小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．显
然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 思考2 判断下列命题的真假：
①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．
答 根据实轴的定义，x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此①③是真命题；根据虚轴的定义，y 轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i 对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题；对于非纯虚数z ＝a ＋b i ，由于a ≠0，所以它对应的点Z (a ，b )不会落在虚轴上，但当b ＝0时，z 所对应的点在实轴上，故⑤是假命题．
例 1在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．
解 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0. 解得m ＝2或m ＝－1.
(2)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－m －2<0
m 2－3m ＋2>0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1<m <2
m >2或m <1
， ∴－1<m <1.
(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2， 故m ＝2.
反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对
应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)对应的点在x 轴上方；
(2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上．
解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，
所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方． (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1或m ＝－52，所以当m ＝1或m ＝－5
2时，
复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 探究点二 复数与向量
思考1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？
答 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．
思考2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？
答 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模就是向量OZ →
＝(a ，b )的模，记作|z |或|a ＋b i|. |z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2可以表示点Z (a ，b )到原点的距离． 例 2已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围． 解 方法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )， ∴|z |＝
32＋a 2，
由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．
方法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，
由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合．
由图可知：－7<a <7.
反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题． 跟踪训练2 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－1
2－2i 的模，并比较它们的大小．
解 |z 1|＝
32＋42＝5，|z 2|＝
(－12)2＋(－2)2＝32
. ∵5>3
2
，∴|z 1|>|z 2|.
探究点三 复数加减法的几何意义
思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？
答 如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则有OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→
＝(c ，d )，由向量加法的几何意义OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1→＋OZ 2→
与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？
答 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1→
对应复数z 1－z 2.
例3 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求：
(1)AO →
表示的复数； (2)对角线CA →
表示的复数； (3)对角线OB →
表示的复数．
解 (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →
表示的复数为－3－2i.
(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以对角线CA →
表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线OB →＝OA →＋OC →，所以对角线OB →
表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．
跟踪训练 3已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|. 解 方法一 设z 1＝a ＋b i ， z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，① (a －c )2＋(b －d )2＝1.② 由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2
＝
a 2＋c 2＋
b 2＋d 2＋2a
c ＋2b
d ＝ 3.
方法二 设O 为坐标原点，
z 1、z 2、z 1＋z 2对应的复数分别为A 、B 、C .
∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，
∴△OAB 是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长， ∴|z 1＋z 2|＝|OC | ＝
|OA |2＋|AC |2－2|OA ||AC |cos 120°＝ 3.
方法三 ∵|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2) ∴|z 1＋z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)－|z 1－z 2|2 ＝2(12＋12)－12＝3. ∴|z 1＋z 2|＝ 3.
1．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________． 答案 9
解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上， ∴m －3＝2m ，解之得m ＝9.
2．已知复数(2k 2－3k －2)＋(k 2－k )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭
⎫－1
2，0∪(1,2) 解析 ∵复数对应的点在第二象限， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
2k 2－3k －2<0，k 2－k >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
－12<k <2，k <0或k >1.
∴k 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫－1
2，0∪(1,2)． 3．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →
对应的复数是________．
→＝(3,1)，
解析∵P(－1,0)，Q(2,1)，∴PQ
→对应的复数为3＋i.
∴PQ
4．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
答案 1
解析由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离．∴|z－1|min＝1.
[呈重点、现规律]
1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．
2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.
一、基础过关
1．复数z＝3＋i3对应的点在复平面第________象限．
答案四
解析z＝3＋i3＝3－i，
∴z对应点Z(3，－1)在第四象限．
2．当0<m<1时，z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点位于第________象限．
答案四
解析∵0<m<1，∴m＋1>0，－1<m－1<0，
故对应的点在第四象限内．
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C 对应的复数是________．
解析 A (6,5)，B (－2,3)，∵C 为AB 的中点，∴C (2,4)， ∴点C 对应的复数为2＋4i.
4．复数|z －2－i|＝1代表的曲线为________________________________________________． 答案 以(2,1)为圆心，1为半径的圆
5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z ＝__________. 答案 －1＋3i
解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，
解得a ＝±1，故a ＝－1， 所以z ＝－1＋3i.
6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________． 答案 2<k <6或－6<k <－2 解析 ∵z 位于第三象限，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
k 2
－6<0，4－k 2
<0， ∴2<k <6或－6<k <－2.
7．(1)已知向量OZ →与实轴正向的夹角为45°，向量OZ →对应的复数z 的模为1，求z . (2)若z ＋|z |＝2，求复数z . 解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． ∵OZ →
与x 轴正向的夹角为45°，|z |＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
b a
＝1a 2
＋b 2
＝1a >0
或⎩⎪⎨⎪⎧
b
a
＝－1a 2
＋b 2
＝1a >0
，
∴⎩⎨
⎧
a ＝22
b ＝22
或⎩⎨
⎧
a ＝2
2b ＝－2
2
.
∴z ＝
22＋22i 或z ＝22－2
2
i. (2)∵z ＋|z |＝2，∴z ＝2－|z |∈R ， ∴当z ≥0时，|z |＝z ，∴z ＝1， 当z <0时，无解，∴z ＝1. 二、能力提升
8．已知|z 1|＝3，|z 2|＝2，|z 1＋z 2|＝22，则|z 1－z 2|＝________. 答案
2
解析 ∵|z 1＋z 2|＝22， 即|OZ 1→＋OZ 2→
|＝2 2. ∴OZ 1→2＋2OZ 1→·OZ 2→＋OZ →22＝8. ∴2OZ 1→·OZ 2→＝8－3－2＝3. ∴|z 1－z 2|2＝OZ 1→2－2OZ 1→·OZ 2→＋OZ 2→2 ＝3－3＋2＝2. ∴|z 1－z 2|＝ 2.
9．复数1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为________． 答案 －2cos α2
解析 |1＋cos α＋isin α|＝(1＋cos α)2＋sin 2 α
＝
2(1＋cos α)＝
4cos 2 α2＝2|cos α2
|，
∵π<α<2π，∴π2<α
2<π，
∴cos α
2
<0，
∴|1＋cos α＋isin α|＝－2cos α
2
.
10．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－4
5，2 解析 根据模的定义得(x －1)2＋(2x －1)2<10，
∴5x 2－6x －8<0， ∴(5x ＋4)(x －2)<0， ∴－4
5
<x <2.
11.实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点： (1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．
解 (1)要使点位于第四象限，须⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－8m ＋15>0
m 2＋3m －28<0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m <3或m >5
－7<m <4
，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－8m ＋15<0m 2
＋3m －28＝0
，∴⎩⎨⎧
3<m <5
m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.
12.已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →
与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .
解 根据题意可画图形如图所示：
2 3 设点Z 的坐标为(a ，b )，
∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，
∴a ＝－1，b ＝3，
即点Z 的坐标为(－1，3)，
∴z ＝－1＋3i.
三、探究与拓展
13．试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数． 解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为 a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝0，2ab ＝0⇒⎩⎪⎨
⎪⎧ a ＝±2，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝±3，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝±1， 即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i.
故方程在复数集上的解共有6个．。