广州市高二数学学业水平测试题

广州市高二年级学生学业水平
数学测试
本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟. 参考公式：锥体的体积公式：1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高， 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合
题目要求的． 1.函数(
)f x =
( )
A ．[)1,-+∞
B ．(],1-∞-
C ．[)1,+∞
D ．(],1-∞
2.集合{a,b,c}的子集个数是( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
3.已知数列{}n a 满足111,n n a a a n +==+，则3a 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.经过点（3,0）且与直线250x y +-=平行的直线方程为（ ） A. 230x y --= B. 230x y +-= C. 260x y --= D. 260x y +-=
5. 函数sin 2y x =的一个单调区间是（ ）
A ．,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦ B ．,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦
C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
6.做一个体积为32m 3，高为2m 的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为
（ ）
A. 64m 2
B. 48m 2
C. 32m 2
D. 16m 2
7. 已知变量x y ,满足约束条件201010x y x y y ⎧--≥⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩,,.则目标函数
2z y x =-的最小值为（ ）
A ．5-
B ．4-
C ．3-
D ．2-
8.如图1所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是 （ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 9.关于x 的不等式2
2
20x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()(),12,-∞-+∞ B.（-1,2）
C. ()
1,1,2⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
D. （-1,12） 10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是（0,0,0），（1,1,0），（1,0,1），（0,0,a ） (a <0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz
平面为投影面，得到正视图的面积为2，则该四面体的体积是（ ） A.13 B. 12 C. 1 D. 32
图1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
11.在△ABC 中，∠ABC=450，AC=2，BC=1，则sin ∠BAC 的值为 . 12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶
图表示（图2），则该赛季发挥更稳定的运动员是 .（填
“甲”或“乙”） 13.已知向量(1,2),(3,4),AB AC ==则BC = . 14.已知[x]表示不超过实数x 的最大整数，g(x)=[x]，0x 是函数
()21
log f x x x
=-
的零点，则g(0x )的值等于 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.（本小题满分12分）
某中学高一年级新生有1000名，从这些新生中随机抽取100名学生作为样本测量其身高（单位：cm ），
（1）试估计高一年级新生中身高在[)175,180上的学生人数；
（2）从样本中身高在区间[)170,180上的女生中任选2名，求恰好有一名身高在区间[)175,180上的概率. 8 0 4 6 3 1 2 5 3 6 8 2 5 4
3 8 9 3 1 6 1 6 7 9
4 4 9 1
5 0
乙甲图2
已知函数()sin cos ,6f x x x x R π⎛⎫
=-+∈ ⎪⎝
⎭
. （1）求(0)f 的值；
（2）若α是第四象限角，且1
33
f πα⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，求tan α的值.
17. （本小题满分14分）
如图3，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是A 1D 1,A 1A 的中点。

（1）求证：1//BC 平面CEF ；
（2）在棱11A B 上是否存在点G ，使得EG CE ⊥？若存在，求1AG 的长度；若不存在，说明理由。

图3
C
A
A 1
C 1
F
,已知直线:l y kx =与圆()2
2
1:11C x y -+=相交于A,B 两点，圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切
于点(M 。

（1）求k 的值； （2）求AB 的长； （3）求圆2C 的方程。

19. （本小题满分14分）
设数列{}n a 是等比数列，对任意*
n N ∈，()12335...21n n T a a a n a =++++-，已知11T =，27T =。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求使得()1260n n T T +<+成立的最大正整数n 的值。

（2）()()2112335...2113252...212n n n T a a a n a n -=++++-=+⨯+⨯++-⨯。

①
20. （本小题满分14分）
已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2
.f x x x =-
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求函数()f x 在区间[],1a a +上的最大值。

广州市高二年级学生学业水平数学测试答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合
题目要求的．
1. A DCDA BA CB B
10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz
-中的坐标分别是（0,0,0），（1,1,0），（1,0,1），（0,0,a）(a<0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，得到正视图的面积为2，则该四面体的体积是（）
A.
1
3
B.
1
2
C. 1
D.
3
2
3解：∵
11
1,
n n
a a a n
+
==+，∴令n=1，
111
a a
+
=+
n=2，
212
2224
a a
+
=+=+=.
解：关于x的不等式22
20
x ax a
+->
以()2
120
f a a
=+->，220
a a
--<，
10.解：这个四面体是图中的O-MNP，又以xOz
视图是如图阴影的四边形ONQP，它的面积为2
()
11
1112,
22
a
⨯⨯+⨯⨯-=解得3
a=-。

四面体的体积是（M-OPN）(△OPN是底面，MQ是高
=
1
111
111
332
ODA
S OD
⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=
11
311
32
⨯⨯⨯⨯
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分
11.
4
.
12. 乙.
13.（2,2）.
14 1 .
14解：函数()2
1
log
f x x
x
=-的零点
x是方程
22
11
log0,log
x x
x x
-==
即的解，即函数
2
log
y x
=
交点的横坐标。

画出函数
2
1
log,
y x y
x
==
与
大整数，g(
x)=[
x]=1.
三、解答题：本大题共6小题，满分80
15.解（1）∵样本中身高在[)
175,180
∴估计高一年级新生中身高在[)
175,180
（2）样本中身高在区间[)
170,180上的女生有100（
[)
175,180上的女生有100×0.01=1人，记为5.
从这5人中选2人有10种不同选法。

其中恰好有一名身高在区间[)
175,180上有4中，
所以恰好有一名身高在区间[)
175,180上的概率
是
42
105
P==。

16. 解（1）11(0)sin cos01622f π⎛⎫
=-
+=-+= ⎪⎝⎭
， （2）∵1sin cos 3633f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+++=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
即111
cos cos cos 2
2223ααααα++-==
， 又α
是第四象限角，所以sin sin tan cos αααα
====-
17. 证明：（1）连接AD 1，∵AB //C 1D 1,∴ABC 1D 1是平行四边形，所以11//BC AD ，又E,F 分别是A 1D 1,A 1A
的中点，所以1//EF AD ，
所以1//BC EF ，又BC 1在平面CEF 外，EF 在平面CEF 内，所以1//BC 平面CEF 。

（2）设在棱11A B 上是否存在点G ，使得EG CE ⊥，记1AG =x ， 以A 1为坐标原点，A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴建立坐标系，则C 1（1,1）
，E(0，1
2
),G(x,0),若1EG C E ⊥，则11EG C E
k k ⨯=-，1111
221,104
x x -
⨯=-=--，当
1
AG =1
4
时，有1EG C E ⊥。

又CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，EG 在平面A 1B 1C 1D 1内，所以CC 1⊥EG ，又CC 1与1C E
相交于点C 1，
CC 1与1C E 都在平面1CC E 内， 所以EG ⊥平面
1CC E ，又CE 在平面1CC E 内，所以EG CE ⊥。

所以当1
AG =1
4
时，有EG CE ⊥。

18. 解：（1）直线:l y kx =
经过点(M
，所以
3,k k ==。

（2）圆()22
1:11C x y -+=的圆心为C 1（1,0），半径为1，
直线:,0l y x =
=， 点C 1（1,0）到直线l 的距离等于1
2
d =
，所以AB ==
（3）方法1：过点M 作与直线l 垂直的直线/
l ，它的方程
是)3y x =-
，即y =+
设圆2C 的圆心2
C (,a +，又C 1（1,0），圆
2C 与圆1C 相外切，且与直线l
相切于点(M 。

所以1221C C MC =+,
1=+
4a =或0a =，
D 1
A 1
B 1
E
G
图3
A
B
A 1
C 1
D
对应的圆心（4,0），半径为2；圆心（
0,，半径为6；
所以圆2C 的方程为()2
2
44x y -+=
或(2
236x y +-=。

方法2：设圆2C 的方程为()()()2
2
2
0x a y b r r -+-=>
则12221C C r MC r l MC
⎧=+⎪=⎨⎪⊥⎩
，即
1 (1)
........(2)1......................(3)33r r b a =+=⨯
=--⎩
，
由（3）解得b =+2）得到
r =再把b
和r 代入（1
1
解得14a =或20a =，对应的圆心（4,0），半径为2；圆心（0,，半径为
6；
所以圆2C 的方程为()2
2
44x y -+=或(2
236x y +-=。

方法3：当圆2C 在直线l 的下方时，过点M 作与直线l 垂直的直线/
l ，过 1C 作直线l 的平行线与直线/
l 相交于点P
，设圆2C 的半径为r 。

∵C 1（1,0），圆2C
与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点
(M
，∴
OM =
12AB C P MN OM ==-
==
,222112C P C M PM C M C N r =-=-=
-， 121C C r =+，在直角三角形1C 2C P 中，()
2
2
2
1122r r ⎛⎛⎫+=+- ⎪
⎝
⎭⎝⎭，解得r=2. 在直角三角形OM 2C 中，
24OC =
=，∴cos ∠MO 2C =
∴∠MO 2C =300，又直线l 的倾斜角为300，所以2C 在x 轴正半轴上，得2C （4,0），
所以圆2C 的方程为()2
2
44x y -+=。

同理，当圆2C 在直线l 的上方时，过点M 作与直线l 垂直的直线/l ，过 1C 作直线l 的平行线与直线/
l 相交于点P
，设圆2C 的半径为r 。

∵C 1（1,0），圆2C
与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点(
M
，∴
OM = 12AB C P MN OM ==-
==
,222112C P C M PM C M C N r =+=+=
+， 121C C r =+，在直角三角形1C 2C P 中，()2
2
2
1122r r ⎛⎛⎫
+=++ ⎪
⎝
⎭⎝⎭，解得r=6.
在直角三角形OM 2C 中，2OC ==cos ∠MO 2C 12
=,∴∠MO
2C =600，又直线l
的倾斜角为300，所以2
C 在y 轴正半轴上，得2C （0,，所以圆2C 的方程为(2
2
36x y +-=。

19. （2）()()2
1
12335...2113252 (212)
n n n T a a a n a n -=++++-=+⨯+⨯++-⨯。

①
①-②: ()()1
231
42221222222 (22)
212121212
n n n
n n T n n ---⨯⨯-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=+--⨯-
()3223n n =-⨯-，所以()2323n n T n =-⨯+。

【这是错位相减法】 【求和n T 的方法2（裂项相消法．．．．．+．待定系数法．．．．．
）】令()1212n n --⨯=()()()()()()1111222122n n n n a n b an b a n b an b ---++⨯-+⨯=++⨯-+⨯
()()11222222n n an a b an b an a b --=++--⨯=++⨯，比较系数得到a=2,2a+b=-1,解得a=2,b=-5. 所以()()()()()111212232252252232n n n n n n n n n n ----⨯=-⨯--⨯=--⨯+-⨯， 所以()()2112335...2113252...212n n n T a a a n a n -=++++-=+⨯+⨯++-⨯
()()11223341312121212323252...252232n n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯+-⨯+⨯++--⨯+-⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()3232n n =+-⨯。

又()1260n n T T +<+，即()()1
21232232360n n n n +⎡⎤-⨯+<-⨯++⎣⎦
，2
2123n +<， 又42
522
64123,2128123++=<=>，
所以，使得()1260n n T T +<+成立的最大正整数n 的值是4.
20. 解：（1）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在f(-x)=-f(x)中，令
又当0x >时，()2f x x x =-，
所以当0x <时，0x ->，()()()
22.f x f x x x x x =--=---=+
函数()f x 的解析式是()22,00,
0.,0x x x f x x x x x ⎧->⎪
==⎨⎪+<⎩
即()22
,0
,0
x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩ （2）画出函数()22
,0
,0
x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩的图像，分别是11,22
x x =-=，又区间[],1a a +长度为1，所以当a<-1时，最大值为f(a)=2
a a +,当-1≤a<-12时，-12≤a+1<12
，函数()f x f(a+1)=()()22
11a a a a +-+=--,当-12≤a ≤12，12≤a+1≤32，函数()f x 的最大值为1124
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
当a ≥12时，a+1≥32
，()2
.f x x x =-函数()f x 的最大值为f(a)=2a a -,所以，函数()f x 在区间[]
,1a a +上的最大值()222
,1
1,12111
,4
221,2
a a a a a a g a a a a a ⎧+<-⎪
⎪---≤<-⎪⎪
=⎨-≤≤⎪
⎪⎪->⎪⎩当当当当 x。