数学教学解题探究活动要追加四问(中小学数学)

数学解题教学探究活动应追加“四问”
董海涛
安徽省阜阳市第三中学（）
（作者简介：董海涛（1970---），男，中学高级教师，安徽省“高中数学骨干教师”，阜阳市首届“百名名师”，阜阳市“首届高中数学学科带头人”.曾在《中学数学教学参考》（上半月）、《数学教学》、《数学通报》、《数学通讯》（教师刊）、《中国数学教育》、《中小学数学》（高中）、《中学数学》、《中学数学教学》、《中学数学杂志》、《数学教学通讯》、《中学数学研究》等刊物发表论文40多篇.）
1 问题提出
高三复习如何打造高效课堂？专家、学者、一线教师都在积极探讨这个问题.不可否认，解题教学是高三数学课堂教学的主要形式，那么，解题教学如何高效？从放手让学生自主探究到由教师主导下的学生局部探究，已成为大家的共识，这样的微型探究，既体现了教师的主导作用，又保障了学生的主体地位.那么在学生汇报探究成果时，为了确保课堂教学的高效，教师有哪些工作要做？怎样做？
2 教学实录
近日，笔者在复习解三角形时，借助一道高考题，组织学生进行局部探究活动，在学生汇报探究成果环节中，经过笔者的追问和引导，对解法进行了拓展，对思维进行了深挖，对题目进行了变式，对能力进行了提升，收到了良好的效果，现将课堂实录整理如下.
题目：在ABC
∆中，已知
1
sin()1,sin
3
C A B
-==，求sin A的值
教师：这是2009年安徽高考理科卷第16题，很显然是一道在三角形中已知三角函数值求三角函数值的问题，请大家思考交流， 10分钟后汇报探究结果.（10分钟后）
学生1：我的解法是：由sin()1C A -=，且C A ππ-<-<，知2C A π-=.又C A B π++=，所以22B A π=+
.由sin B =13，得1s i n (2)23A π+=，即1c o s 23A =,即2112sin 3A -=
，所以sin 3
A = 教师：你是怎样想到这个解法的？
学生1：题目中有等量关系式，我想就可以考虑消元这种常规的化简手段，从而建立已知角与所求角的联系.
学生2：我也是这个思路，不过我还有一种解法：由2C A π-=，且C A B π+=-，所以42B A π=
-
，所以sin sin()sin )42222B B B A π=-=-，两边 平方，得21
1sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >
，所以sin A =
学生3：我的解法是：由1
sin 3B =，得1sin()3A C +=，又sin()1C A -= 即1sin cos cos sin 3sin cos cos sin 1A C A C C A C A ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩， 解方程组，得1sin cos 32cos sin 3A C A C ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 即2sin 3cos 1
cos 3sin C A C A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即224119cos 9sin A A +=， 解得21sin 3A =,
所以sin A =
教师：谈谈你的想法依据.
学生3：我想既然已知条件是两个等式，就可以考虑建立方程求解.
学生4：我也是利用方程思想解的：由
sin sin()sin()cos()2A B C B A A B π
=+=++=+，
得1sin cos cos sin sin sin 33A A B A B A A =-=
-
所以4
sin 33A A =，再由22sin cos 1A B +=,
解得sin A = 学生5：除此之外，我还有一种解法也是利用方程思想解的：由sin()1C A -=，得s i n ()A B A
π---=,即sin(2)1A B +=，所以sin 2cos cos 2sin 1A B A B +=，也就
是1
i n 2c o s 2133A A +=，利用
22sin 2cos 21A A +=,得2(3cos 21)0A -=，所以1cos 23A =
，故sin A = 教师：本题还有其他解法吗？
学生6：我还有！如图，在ABC ∆中，作CD ⊥BC,交AB 于D.由2C A π
=+，得A ACD ∠=∠, 所以2BDC A ∠=∠，记BDC α∠=，
则2A α=∠
在Rt BCD ∆中，因为1cos sin 3B α==，所以1
cos cos 23A α==
，解得sin A = 教师：很新颖！你是怎样想到的？
学生6：注意到2C A π
=+,我想对这个特殊的关系，应该有相应的
C A
几何解释，就想到了数形结合.
学生7：建构了这个图形之后，还可以这样解：设AD=x ，则
CD=x,BD=3x ，AB=4x,BC=，在ABC ∆中
sin sin BC AB A C =，即 4sin cos x A A =，所以tan 2A =，sin A = 学生8：针对这个图形，还可以这样解：在ABC ∆中，由余弦定理，
222168243AC x x x =+-⨯⨯⨯，化简得AC x =， 在ACD ∆中，
由正弦定理，
sin sin 2CD AC A A =，将AC x =代入，解得cos A =，所
以sin A = 教师：本题还有其他解法吗？（见没有学生响应）大家课后还可以就解法继续探究.下面思考本题可以进行哪些变式？
学生9：本题可以进行“数值变式”.比如将已知条件“sin()1C A -=”改为“sin()0C A -=”或“1sin()5C A -=”等.
学生10：本题可以进行“结构变式”.比如将本题改为：
（1）在ABC ∆中，已知53cos ,cos 135
A B =-
=，求sin C 值. （2）在ABC ∆中， 4,cos 35B A π==，求sin C 值 （同学们还提供了其他的变式，基本上大同小异，限于篇幅略去） 教师：下面请大家对这些解法和变式进行个人评价.
学生11：学生1和学生2解法的本质是消元，消去角C 最终沟通了所求角A 和已知角B 之间的联系，体现了化归与转化的思想；学生3、学生4、学生5解法的实质是方程思想的应用，也是建立已
知角与未知角的联系；学生6、学生7、学生8巧妙地利用了数形结合，解法新颖，值得称赞.（学生笑）
学生12：我不完全认同学生11的评价.前五种解法是解决这类问题的通性通法，应给予更多的关注；后三种解法虽然新奇，但不是解决这类问题的通性通法，不应过度追求，变式题中你还能用这种解法吗？（学生频频点头）
教师：两位同学谈的都很好.前5种解法充分地说明了消元是一种重要的代数化简手段，而解方程是求值问题的有效方法，后三种解法虽不是通性通法，但能从数字之中看出图形，实在难得！同时也说明了，在解三角形中，正弦定理和余弦定理是有力的武器！
3 案例反思
在数学教学解题探究活动中，教师如何引导、组织，才能使探究活动“不放羊”、“不强牵”，从而保证课堂教学的有效与高效？在教学实践中，笔者尝试进行追加“四问”，经过近三年的坚持，收到了较好的效果，现与同行交流.
3.1本题还有其他解法吗
这个问题实际上是引导学生进行一题多解.在解题教学探究活动中，通过一题多解，可以发散学生思维，沟通知识的纵横联系，建构知识网络，以达到融会贯通的目的.教学实践中，有这么一个现象：学生在某一章某一节的学习中，知识掌握的很好，解题能力也很强，即使是一个背景隐藏较深的问题，也能迅速利用本章本节所学知识很快攻克，因为只需要专注本章本节所学内容，所以思维、方法的指向
性很明确，一般能很快找到解题的突破点.还是这道题，如果放在一次综合性考试的试卷中，学生往往不知从何下手，找不到解题突破点，究其原因，就是知识间的联系网络没有建立起来.殊不知一种解法不行再换一种试试，条条大道通罗马嘛！教学实践中发现，为结果而教是当前解题教学十分普遍的现象，有些老师一堂课讲了十多道例题，一题一解，呈现答案，解完了事，课堂教学似乎就是为了解出更多的题目，这样做的后果必然造成学生的思路狭窄，知识分割，无法形成有机的整体，考场上遇到背景较生疏的问题，就束手无策了.
3.2你是怎样想到这个解法的
解题教学探究活动中不能仅仅将解法呈现给学生.五彩缤纷的解法固然让学生惊叹，让学生欣赏到数学的魅力，但如果不挖掘出精彩解法背后的东西来，可能带给学生的恰恰是消极的影响，那就是对自己的不自信，进而放弃对数学的学习：别人太聪明了，我再努力也是白费功夫.数学教学重结果更重过程，没有过程就没有思想，思想在过程之中.解题教学探究活动中要经常追问“为什么”、“你是怎样想到这个解法的”、“你这样做的依据是什么”……，让学生自己说出他的思考过程，暴露思维的心路历程，只有这样，其他学生才不至于把那些美妙的智慧结晶当做“魔术师帽子里跳出来的兔子”.让学生启发学生，让学生说服学生，比老师苦口婆心地交代多少遍都有用.数学是思维科学，数学教学是思维的教学，只有学生的思维参与到教学中去了，课堂高效问题才能真正落到实处.章建跃老师说的好：“学生的思维展开程度和参与水平是衡量教学有效性的核心指标”［2］.
3.3本题还有其他的变式吗
变式教学是我国传统数学解题教学有效的训练手段，它对培养学生的逻辑思辨能力、创新意识、发散思维具有不可代替的作用.新课改是在继承基础上的扬弃，是在批判中的吸收，新课改不批斥传统教学中的精华.相对于一题多解，变式教学承担着多题一解的角色.通过改变题目数值、改变题目结构、增删题目条件等变式手段，不仅可以让学生对原题有更本质的认识，同时也让他们的思维更敏捷更发散更优化.在变式中，有时删减或改变某个条件，可能会导致无法求解或求解很复杂的情况，这不可怕，只要学生积极参与、热情思考，调动了思维，这比静止地接受教师的成果，有意义的多，结果并不那么重要，重要的是经历了火热的思考过程！
3.4你是怎样评价这些解法与变式的
以往的解题教学探究活动中，往往是由教师给出解法“优劣”的评判，但这种做法不符合课改理念，也摆脱不了教师凌驾于学生之上的嫌疑，同时还有说教的味道，再说学生的认识与教师的认识也未必同步.对学生探究成果的评价有谁来做？学生评价学生！他在评价别人的长处时，自己也吸收了他人的优点；他在评判别人的不足时，自己也会在此警醒；他在要求别人书写工整、表达规范时，自然也学会了如何规范答题……，一句话，自己教育自己是最好的教育.当然，学生评价时，也会有不到位、不恰当的时候，这时，教师要发挥主导作用了，在最恰当的时候给予最恰当的补充是高效课堂的标志之一.不和学生争抢话语权，“学生力所能及的事让学生自己去做是教学的
一条重要原则”［3］，也是课堂教学追求的境界.“数学教学不是告诉教学，需要学生亲自参与，饭要自己吃，觉要自己睡”［4］，唯此，才能避免“这个问题我都讲n遍了，你怎么还不会”的尴尬.
数学教学解题探究活动要通过追加“四问”，通过教师“提好问题”（“提——好问题”以及“提好——问题”［4］）挖掘探究结果形成背后的过程，暴露学生思维的心路历程，才能从假懂走向真懂，从模糊走向清晰，从驯化走向教化，保证解题教学真正做到高效优效！
参考文献
1.董海涛.三角形中的三角函数求值问题［J］.中学数学教学参考（上旬刊），2009,11
2.章建跃.数学概念的理解与教学［J］. 中学数学教学参考（上旬刊），2010,11
3.陶维林.从“把时间还给学生”说起［J］.数学通讯（下半月），2011，7
4.陶维林.解析几何教学要突出坐标法思想［J］.数学通报，2011,9。