2020-2021学年数学北师大版选修2-3课时作业：1-4 简单计数问题 Word版含解析

课时作业4简单计数问题
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．5个人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是(D)
A．54B．45
C．5×4×3×2 D．5
解析：由题意知，只有一个人没有票，故共有5种不同的分法．
2．某次数学测验中学号为i(i＝1,2,3,4)的4名同学的考试成绩f(i)∈{86,87,88,89,90}且满足f(1)<f(2)≤f(3)<f(4)，则此4名同学的成绩的可能情况有(C)
A．5种B．120种C．15种D．10种
解析：当f(2)≠f(3)时，从五个数中任选四个从小到大排列对应学号为i(i＝1,2,3,4)的4名同学的考试成绩，共有C45＝5种方法；当f(2)＝f(3)时，从五个数中任选三个组成4名同学的考试成绩，共有C35＝10种方法，故共有10＋5＝15种方法．
3．将4个不同的小球全部放入A，B两个盒子中，每个盒子至少放1个小球，求不同的放置方法的种数．甲列式子：C14C13×22；乙列式子：C14＋C24＋C34；丙列式子：24－1；丁列式子：C24A22A22.其中列式正确的是(B) A．甲B．乙C．丙D．丁
解析：第一类：1个放A盒，3个放B盒，有C14种放置方法．
第二类：2个放A盒，2个放B盒，有C24种放置方法．
第三类：3个放A盒，1个放B盒，有C34种放置方法．
根据加法原理，共有C14＋C24＋C34种不同的放置方法，所以乙列式正确．4．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是(C)
A．72 B．96 C．108 D．144
解析：分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，
若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)
故共有72＋36＝108(个)．
5．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少一本，则不同的分法种数是(B)
A．480 B．240 C．120 D．96
解析：从5本书中任取两本有C25种取法，这两本为一堆，另外三本当成三堆，共四堆有四个学生拿，方法有A44种，
∴分法有C25A44＝240(种)．
6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是(B)
A．152 B．126 C．90 D．54
解析：先安排司机：若司机有一人，则共有C13C24A33＝108(种)方法，若司机有两人，此时共有C23A33＝18(种)方法，故共有126种不同的安排方案．7．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一道作答，选甲答对得100分，答错得－100分；选乙答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是(B)
A．48种B．36种C．24种D．18种
解析：本题是考查排列组合及相关分类的问题．
①设4人中两人答甲题，两人答乙题，且各题有1人答错，则有A44＝24(种)．
②设4人都答甲题或都答乙题，且两人答对，两人答错，则有2C24C22＝12(种)．
∴4位同学得总分为0分的不同情况有24＋12＝36(种)．故选B.
8.如图A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有(C)
A ．8种
B ．12种
C ．16种
D ．20种
解析：如图，构造三棱锥A －BCD ；四个顶点表示四个小岛，六条棱
表示连接任意两岛的桥梁．由题意，
只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法．这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法有C 36种，任取三条共面棱的不同取法有4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C 36－4＝16(种)．故不同的建桥方案共有16种．
二、填空题
9．某旅游团组织的旅游路线有省内和省外两种，且省内路线有4条，省外路线有5条，则参加该旅游团的游客的旅游方案有9种．
解析：游客的旅游方案分为两类：第一类：选省内路线，有4种方法，第二类：选省外路线，有5种方法，由分步加法计数原理知，游客的旅游方案有4＋5＝9(种)．
10．将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有480种(用数字作答)．
解析：A 、B 两个字母与C 的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占13，∴排法有23A 66＝480(种)．
11．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有10种．
解析：有两种满足题意的放法：
(1)1号盒子里放2个球，2号盒子里放2个球，有C24C22种放法；
(2)1号盒子里放1个球，2号盒子里放3个球，有C14C33种放法．
综上可得，不同的放球方法共有C24C22＋C14C33＝10种．
三、解答题
12．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？
(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；
(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．
解：(1)分三步完成：
第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；
第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；
第三步：把剩下的书给丙，有C22种方法．
∴共有不同的分法为C49C35C22＝1 260种．
(2)分两步完成：
第一步：按4本、3本、2本分成三组有C49C35C22种方法；
第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法．
∴共有C49C35C22A33＝7 560种．
13．有四个不同的数字1,4,5，x(x≠0)组成没有重复数字的所有的四位数的各位数字之和为288，求x的值．
解：因为1,4,5，x四个数字不同，排成的四位数中1在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A33个，所在的1的和共为4×A33＝24.
同理，排成的四位数中4在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A33个，所以，所在的4的和共为4×4×A33＝96.
所在的5的和共为5×4×A33＝120.
所在的x的和为x×4×A33＝24x.
即24x＋120＋96＋24＝288，解得：x＝2.
——能力提升类——
14．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是336(用数字作答)．
解析：由题意分类计数：若7个台阶上每一个台阶只站一人，则“3人站到7级的台阶上”有A37种不同的站法；若选用2个台阶，有一个台阶站2人，另一个站1人，则“3人站到7级的台阶上”有C13A27种不同的站法．
因此不同的站法种数是A37＋C13A27＝336.
15．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男3名，女2名；
(2)队长至少有1人参加；
(3)至少有1名女运动员；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
解：(1)C36×C24＝120(种)不同的选派方法．
(2)分为两类：仅1名队长参加和两人都参加：
共C12×C48＋C38＝196(种)不同的选派方法．
(3)全部选法中排除无女运动员的情况：
共C410－C56＝246(种)不同的选法．
(4)分三类：①仅女队长：C48；
②仅男队长：C48－C45；
③两名队长：C38；
∴共C48＋C48－C45＋C38＝191(种)不同的选派方法．
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