杭州师范大学理学院2012-2013学年第一学期期末考试 《高等数学C 》试卷（A ）
3分，共15分） =+∞→x x e x sin lim 0 的第是1113113)(1>=<⎪⎩⎪⎨⎧--==x x x x x x f 一（可去） 类间断点 点处可导是指极限在函数0)(x x x f = 00)()(lim 0x x x f x f x x --→ 存在 内至少有在内可导，则上连续，在在的两个根，是方程),(0)(),(],[)(0)(,b a x f b a b a x f x f b ='= C e x dx x f x +=⎰22)(，则=)(x f )1(22x xe x + . 每小题3分，共15分） 的值为，则)2(),0(),2(0021)(f f f x x x x f x ->≤⎩⎨⎧+=（ B ） 1,0,1- （B ）4,1,1- 1,0,41 （D ）4,1,41 )(x f 的定义域为]1,0[，则函数)2(+x f 的定义域为（D ） ]0,1[- （B ）]1,0[ ]1,2[- （D ）]1,2[-- 为）上的函数，则，是定义在（)()(-)(x f x f x --∞+∞（ B ） （B ）奇函数 （D ）非负函数 )4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则)(x f '在),(∞-∞内有（ C ）个根 1 （B ）2
3 （D ）4
— 10. 若x x f 2)(='，且2)1(=f ，则=)(x f （ B ）
（A ）2x （B ）12+x
（C ）x 2 （D ）12+x
三．求下列极限（每小题5分，共15分） 11.)5(313)
2)(1)(1(lim 3分=++-∞→n n n n n
12.分）（分523
)3(3)3
(2
1lim 3sin 3cos 1lim 2
00=⋅=-→→x x x x x x x x 13. 分）（分51)3(cos sin lim cot lim 00==→→x x x x x x x
四．求下列导数或微分（每小题5分，共15分）
14. y x y '+=，求设)1ln(2 解：)5(122分x x
y +='
15. y e xy x y y y x '==+确定，求由方程设)(
解：分），（求导：方程两边对3)1(y e y x y x y x '+='++ 解得：分）（5y x y x e x y
e y ++--='
16. dy x y ，求设33)42(-=
解：分）（分5)42(18)2(232dx x x dx y dy -='=
五．解答题（共20分）
17.讨论⎩⎨⎧>≤=00
sin )(x x x x x f 在0=x 处的连续性与可导性（6分）。
解：分）（处连续在30)(),0(0
)(lim )(lim 00=∴===-+→→x x f f x f x f x x
—
分）（处可导在又60)(,10
)0()(lim 0)0()(lim 00=∴=--=---+
→→x x f x f x f x f x f x x
18.确定函数3
12x x y -=的单调区间（6分） 解：0)(2,
0)(22-,
0)(2-)3(,203122<'+∞<<>'<<<'-<<∞±==-='x f x x f x x f x x x y 时，当时，当时，当分，解得：令
分）（单调增加单调减少，，即6]2,2[),2[]2,(-+∞--∞
19.利用函数单调性证明：当0>x 时，x e x
+>1（8分）
解： ,
0)0()(6)(04,01)(20,1)(=>>>-='>--=f x f x f x e x f x x e x f x x 则分）（单调增加，时，即当分）
（而分）
（令
即有：分）（81x e x +>
六．求下列不定积分（每小题5分，共20分） 20. 分）（分51ln 2
1)111()2(1111222C x x x dx x x dx x x dx x x +++-=++-=++-=+⎰⎰⎰ 21. 分）（分）（53sin cos sin sin sin ⎰⎰
+==C e x d e dx e x x x x 22. ⎰⎰+-=--=-分）（分）（522)32(3)32()32(21)32(11
1010
C x x d x dx x 23.
分）（分）（分）
（5sin cos 4cos cos 2cos sin C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰
