水力学--水静力学 ppt课件

改写成全微分的形式就是液体平衡微分方程
dp = (Xdx Ydy Zdz)
就是说，静水压强的的分布规律完全是由单位
质量力决定的。
第二章 水静力学
由于密度可视为常数，式子（XdxYdy Zdz)
也是函数U（x,y,z)的全微分即：
dU = XdxYdy Zdz
则函数U（x,y,z)的全微分为：
dU = U dx U dy U dz
x
y
z
由此得： X = U ,Y = U , Z = U
x
y
z
满足上式的函数U（x,y,z)称为力函数或力的势 函数，具有这种势函数的质量力称为有势的力。
A(x,y,z)
M dz
N
dy
dx O
X
Y 在平衡液体中，取一块平行六面微元体 （其他形状也可，但六面体方便）
第二章 水静力学
Z
A点的压强为一函数p（x,y,z)
A(x,y,z) N
M dz
M点的压强？ 坐标M (x 1 dx, y, z)
2
dy
O
dx
泰勒级数展开式为：
X Y
pM
=
p x
第一式中
Δz
n
Pn cos( n, x) = pn • DA•cos( n, x) O Δy
y
=
pn
•1 2
Dy • Dz
Δx
x
式中，(n, x),(n, y),(n:, z)斜面法线与三个坐标方向的夹角
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第二章 水静力学
Z D Pn
代入第一式
Px A Py
P P F x
n cos(n, x)
Z D Pn Px A Py
D
V=
1
6
Dx
•
Dy
•Dz
C
O B Pz X
Y
总质量力在三个坐标方向的投影为
Fx
=1 6

•
Dx • Dy
• Dz X
Fy
=
1 6

•
Dx • Dy
• Dz Y
Fz
=1 6

•
Dx • Dy
• Dz
Z
考虑四面体在三个坐标方向的力平衡，则
z
DPx DPn cos(n, x) Fx = 0 DPy DPn cos(n, y) Fy = 0 DPz DPn cos(n, z) Fz = 0
1 dx, 2
y, z
=
px,
y, z
p x
1 2
dx

1 2
2 p x2


1 dx2 2


1 n!
n p xn


1 2
n
dx
运用泰勒级数将p(x,y,z)展开，并忽略二阶以上 微量
第二章 水静力学
则：M点压强为：
公式 p = DP 平均压强
DA
p = lim DP DA 0 DA
单位：N/m2 （Pa）
点压强
二、静水压强的特性
第一特性：静水压强垂直于作用面，并指 向作用面。
第二章 水静力学
证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体
P Ⅰ
N
AB
Ⅱ τ
N P
Pn
静水压强的方向与作用面的内法线方向重合， 静水压强是一种 压应力
Z
p = P ( dx p) = p 1 p dx
A(x,y,z) N
M dz
M
2 x
2 x
dy
N点压强为：
O
dx
X
p N
=P
dx 2
p x
= p+1 2
p dx x
Y
六面体左右两面的表面力为：
( p 1 p dx)dydz 2 x
( p 1 p dx)dydz 2 x
这样我们可以得到：
p x
=
p y
=
p z
=
p n
上式表明任一点的静水压强 p是
各向等值的，与作用面的方位无
关。第二特性得到证明
Z D Pn Px A Py C
O B Pz X
Y
第二章 水静力学
§2-2 液体的平衡微分方程及 其积分
液体处于平衡状态时，作用于液体上 的各种力及其坐标间的微分关系
第二章 水静力学 Z
第二章 水静力学
Z
另外作用在微小六面体上的质
量力在X轴向的分量为：
A(x,y,z) N
M dz
dy
X • dxdydz
O
dx
X
Y
根据平衡条件上述各力在X轴上的投影应为
零，即：
(
p
1 2
p x
dx)dydz

(p

1 2
p x
dx)dydz
X
•
dxdydz
=
0
整理得：
X
1
p x
=0
同理，在x,y方向上可得：
第二章 水静力学
X
1
p x
=
0
Y
1
p y
=
0
Z 1
p z
=
0
上式为液体平衡微分方程。
Z
A(x,y,z) N
M dz
dy
O
dx
X
Y
它表明：液体处于平衡状态时，对于单位质量液
体来说，质量力分量（X，Y，Z）和表面力的分
量（1
p
x
1
p y
Δy
y
Δx
1 2
pz Δx Δy
x
从静止液体中任取一微元四面体，考虑其受力平衡 7
z
ΔPy＝ 左侧面压力
1 2
py Δx Δz
Δz
Δy O Δx
ΔPx＝ 后侧面压力
1 2
px Δy Δz
pn ΔAn ΔPn＝ 斜面压力
y
1 2
pz Δx Δy
x
ΔPz＝ 底面压力
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第二章 水静力学
四面体的体积D V为
第二章 水静力学
第二特性：某一点静水压强的大小与作用面的 方位无关。
pc
h
pc
c
c
pc
图 静水压强方向示意
p1
A
p2
p1 = p2
证明 如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可
任一点静水压强大小与受压面方向无关
pz ?
py
px
z
1 2
px Δy Δz
Δz
pn ΔAn
1 2
py Δx Δz
O
1

p
z
）是对应相等的。
又称欧拉平衡微分方程
第二章 水静力学
将X
1
p x
=
0
Y
1
p y
=
0
Z 1

p z
=
0
依次乘以dx,dy,dz后相加得：
1

(
p xdxp源自ydyp z
dz)
=
Xdx
Ydy

Zdz
因为 ( p dx p dy p dz) 是P(x,y,z)的全微分 x y z
x = 0 则： O B
C Pz
X
1 2
Dy Dz
px

1 Dy Dz 2
pn

1 6
Dx Dy DzY
X
=
0
整理后,有
px

pn

1 DxX
3
=
0
当四面体无限缩小到A点时，Dx 0 因此：
p x
=
p n
同理，我们可以推出：
p y
=
p n
和
p z
=
p n
第二章 水静力学
第二章 水静力学
第二章 水静力学
§2-1静水压强及其特性 §2-2液体的平衡微分方程 §2-3重力作用下静水压强的分布规律 §2-4测量压强的仪器 §2-5重力和惯性力联合作用下液体的相对平衡 §2-6作用在平面壁上的静水总压力 §2-7作用在曲面壁上的静水总压力
§2-1 静水压强及其特性
一、压强的定义： 单位面积上所受的压力