2020版高考数学(文)大一轮复习练习：第十二章 不等式选讲 第60讲

课时达标 第60讲
1．已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.
证明 (a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2.因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0.又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0.于是(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.
2．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－ab ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 3－3abc . 证明 欲证2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2－ab ≤3⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b ＋c 3－3abc ， 只需证a ＋b －2ab ≤a ＋b ＋c －33abc ，
即证c ＋2ab ≥33abc .因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，
所以c ＋2ab ＝c ＋ab ＋ab ≥33c ·ab ·ab ＝33abc ，
所以c ＋2ab ≥33abc 成立，故原不等式成立．
3．(2019·南京盐城联考)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c .求证：a 2b ＋c －a ＋b 2
c ＋a －b ＋c 2
a ＋
b －c
≥a ＋b ＋c . 证明 因为⎝⎛⎭
⎫a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2
a ＋
b －
c [(b ＋c －a )＋(c ＋a －b )＋(a ＋b －c )]≥(a ＋b ＋c )2，又a ＋b ＋c ＞0，所以a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2
a ＋
b －
c ≥a ＋b ＋c ，当且仅当b ＋c －a a ＝c ＋a －b b ＝a ＋b －c c
时，等号成立． 4．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b
＝2 2. (1)求a 2＋b 2的最小值；
(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．
解析 (1)由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当a ＝b ＝22时，等号成立．故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当a ＝b ＝22
时，等号成立．所以a 2＋b 2的最小值是1.
(2)由(a －b )2≥4(ab )3得⎝⎛⎭⎫1a －1b 2≥4ab ，即⎝⎛⎭
⎫1a ＋1b 2－ 4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab ≤2.又a ，b 为正实数，有ab ＋1ab ≥2，所以ab ＋1ab
＝2，所以ab ＝1.
5．(2019·哈尔滨三中检测)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝2.
(1)求证：ab ＋bc ＋ac ≤43
； (2)若a ，b ，c 都小于1，求a 2＋b 2＋c 2的取值范围．
解析 (1)证明：因为a ＋b ＋c ＝2，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝4，所以8＝2a 2＋2b 2＋2c 2＋4ab ＋4bc ＋4ca ≥6ab ＋6bc ＋6ac ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，所以ab ＋bc
＋ac ≤43
. (2)因为a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝4，所以4≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2
＝3(a 2＋b 2＋c 2)，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2≥43
.因为0＜a ＜1，所以a ＞a 2.同理b ＞b 2，c ＞c 2.所以a 2＋b 2＋c 2＜a ＋b ＋c ＝2，所以43
≤a 2＋b 2＋c 2＜2，所以a 2＋b 2＋c 2的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，2.
6．已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|.
(1)求f (x )的最小值m ；
(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c
≥3. 解析 (1)当x ＜－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)；当－1≤x ＜2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3,6)；当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)．综上，f (x )的最小值m ＝3.
(2)证明：因为a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3，所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c
＋(a ＋b ＋c )＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫c 2b ＋b ＋⎝⎛⎭⎫a 2c ＋c ≥2⎝⎛⎭
⎫b 2
a ·a ＋c 2
b ·b ＋a 2
c ·c ＝2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ，即b 2a ＋c 2b ＋a 2
c
≥3.
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