湖北省武汉市甘棠中学2020年高二数学文上学期期末试卷含解析

湖北省武汉市甘棠中学2020年高二数学文上学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是（）A．0 B．1 C.
2 D．3
参考答案：
D
2. 在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与
塔底的俯角分别为、，则塔高为
A．B．
C．D．
参考答案：
C
3. 设是三个内角所对应的边，且，那么直线
与直线的位置关系
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.重合
参考答案：
B
略
4. 己知奇函数的导函数为，．当时，．若
，则实数a的取值范围是（）
A. (－∞,－1)
B. [－1,1]
C. (－∞,－1]∪[1,+∞)
D. [1,+∞)
参考答案：
D
【分析】
通过给出的不等式，可以联想导数的运算法则，再结合问题所给的形式，构造新函数，这样可以知道当时，函数的单调性，再判断函数的奇偶性，另一方面，利用奇函数的性质可以化简，这样可以得到与新函数的有关的不等式，利用的单调性、奇偶性可以求出实数的取值范围.
【详解】设所以当时，是增函数，因为是奇函数，所以有，
因此有，所以是偶函数，
而，
可以化为，
是偶函数，所以有，当时，是增函数，所以有，故本题选D.
【点睛】本题考查通过构造函数解不等式问题.考查了奇偶函数的性质.
5. 设a∈Z，且0≤a<13，若512 014＋a能被13整除，则a＝( )．
A．11 B．12 C．1
D．3
参考答案：
B
6. 某个命题与正整数有关。

若当n = k ( k∈N) 时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立。

现已知当n = 5时该命题不成立，那么可推
得（）
A、当n = 6时该命题不成立
B、当n = 6时该命题成立
C、当n = 4时该命题成立
D、当n = 4时该命题不成立
参考答案：
D
略
7. 若不等式＞在上有解,则的取值范围是（）
A． B. C． D．
参考答案：
C
8. 在R上定义运算⊙：，则满足的实数的取值范围为（）
A.（0，2）
B.（－2，1）
C.
D.（－1，2）
参考答案：
B
9. 已知，且，则（）
A．B．C．
D．
参考答案：
D
10. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则=（）
A.2
B.4
C.6
D.8
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为．
参考答案：
48
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】综合题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】由题意，长方体的长宽高分别为3，4，4，即可求出长方体的体积．
【解答】解：由题意，长方体的长宽高分别为3，4，4，
所以长方体的体积为3×4×4=48．
故答案为48．
【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．
12. 若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则a= ．参考答案：
2
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．
【分析】通过配方可知f（x）的最小值为2a﹣1，进而可知g（x）在x=1或x=﹣a取得最小值，且2a﹣1≥0，通过计算g（1）=2a﹣1、g（﹣a）=2a﹣1即得结论．
【解答】解：∵f（x）=x2+2x+2a=（x+1）2+2a﹣1，
∴f（x）的最小值为2a﹣1，
由题意知g（x）在x=1或x=﹣a取得最小值，且2a﹣1≥0，
将x=1或x=﹣a代入g（x），解得：a=2，
故答案为：2．
13. 已知直线与垂直，则的值是 .
参考答案：
1或4
略
14. 盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为__________.
参考答案：
【分析】
本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有种结果，从而得到答案。

【详解】由题可知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有种
结果，
所以根据等可能事件的概率得到
【点睛】本题考查等可能事件的概率，属于简单题。

15. 比较大小：将三数从小到大依次排列为．
参考答案：
b<a<c
略
16. 一个项数为偶数的等差数列，其奇数项之和为24，偶数项之和为30，最后一项比第一项大，则最后一项为．
参考答案：
12
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】根据等差数列的性质建立方程即可得到结论．
【解答】解：设等差数列{a n}项数为2n，
∵末项与首项的差为，
∴a2n﹣a1=（2n﹣1）d=，
∵S奇=24，S偶=30，
∴S偶﹣S奇=30﹣24=6=nd，
解得d=；n=4，即项数是8．
∵a1+a3+a5+a7=24，
∴4a1+12d=24．
∴．
∴a8==12．
故答案为：12．
17. 与双曲线﹣=1有共同的渐近线，且经过点A（，2）的双曲线的方程为．
参考答案：
=1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线有共同渐近线的特点设出双曲线的方程为﹣=λ（λ≠0），代入点A （，2），求出λ再化简即可．
【解答】解：设方程为﹣=λ（λ≠0），
代入点A（，2），可得=λ，
∴λ=﹣9，
∴双曲线的方程为=1．
故答案为：=1．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知小岛A的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？
参考答案：
在三角形ABC中：BC=30，∠B=30°，∠ACB=180°－45°=135°，
故∠A=15°
由正弦定理得： ,故
于是A到BC的直线距离是Acsin45°==，大于38海里，无触礁危险。

19. （本小题满分12分）
几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
参考答案：
解：(1) 证明：取BD的中点O，连接CO，EO.
由于CB＝CD，所以CO⊥BD，
又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC?平面EOC，
所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，
又O为BD的中点，所以BE＝DE.
(2)证法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，
因为M是AE的中点，所以MN∥BE.
又MN?平面BEC，BE?平面BEC，
所以MN∥平面BEC，
又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，
又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，
所以DN∥BC.
又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.
又DM?平面DMN，所以DM∥平面BEC.
证法二：
延长AD，BC交于点F，连接EF.
因为CB＝CD，∠BCD＝120°.
所以∠CBD＝30°.
因为△ABD为正三角形.
所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，
因此∠AFB＝30°，所以AB＝AF.
又AB＝AD，所以D为线段AF的中点.
连接DM，由点M是线段AE的中点，
因此DM∥EF.
又DM ?平面BEC，EF?平面BEC，
所以DM∥平面BEC.
20. 设函数
（1）若b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求对任意x∈R，f（x）＞0恒成立的概率．
（2）若b是从区间[0，8]（3）任取得一个数，c是从[0，6]任取的一个数，求函数f （x）的图象与x轴有交点的概率．
参考答案：
【考点】几何概型；等可能事件的概率．
【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，f（x）＞0要满足判别式小于0，列举出结果．
（2）利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．
【解答】解：（1）由点（b，c）组成的点共36tkh，
设A={任意x∈R，f（x）＞0恒成立}即△=b2﹣c2＜0，
∴b＜c，A中包含基本事件15个，
∴P（A）=；
（2）（b，c）所在的区域Ω={（b，c）|0≤b≤8，0≤c≤6}
若使函数f（x）的图象与x轴有交点，
则b≥c≥0．
∴事件B={（b，c）|b＞c，0≤b≤8，0≤c≤6}如图，
∴P（B）=．
21. 已知直线与椭圆交于两点，设线段的中点为，若直线的斜率为
，直线的斜率为，则等于
参考答案：
略
22. 我国古代数学家张邱建编《张邱建算经》中记有有趣的数学问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”你能用程序解决这个问题吗？
参考答案：
设鸡翁、母、雏各x、y、z只，则
由②，得z=100－x－
y，③
③代入①，得5x+3y+=100，
7x+4y=100. ④
求方程④的解，可由程序解之.
程序：x=1
y=1
WHILE x＜=14
WHILE y＜=25
IF 7*x+4*y=100 THEN
z=100－x－y
PRINT “鸡翁、母、雏的个数别为：”；x，y，z
END IF
y=y+1
WEND
x=x+1
y=1
WEND
END
(法二）实际上，该题可以不对方程组进行化简，通过设置多重循环的方式得以实现.由①、②可得x最大值为20，y最大值为33，z最大值为100，且z为3的倍数.程序如下：
x=1
y=1
z=3
WHILE x＜=20
WHILE y＜=33
WHILE z＜=100
IF 5*x+3*y+z3=100 AND
x+y+z=100 THEN
PRINT “鸡翁、母、雏的个数分别为：”；x、y、z END IF
z=z+3
WEND
y=y+1
z=3
WEND
x=x+1
y=1
WEND
END。