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k 所求充要条件是： 5 k ,即 ，k Z 2 5 10
解：f ( x)为偶函数
三、练习
ex2、已知f ( x) 2 cos( x ) 5的最小正周期不大于 4 3 2，求正整数k的最小值．
3 2 2 ex1 、 求函数 y 3 cos( 2 x) cos x sin x的 2 (1)周期； (2)单调减区间； (3)最值． k
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@qq.com
第六章 三角比
一、性质总结
三角函数 定义域 值 域 奇偶性 周期性 单调性 最 值
例2、已知函数 f ( x) a sin x b cos x, (ab 0)的最大值 是2，且 f ( ) 3，求 f ( )． 6 3
解：f ( x) a b sin( x )
2 2
其中sin
b a b
2 2
， cos
a a b
2 2
ex3、已知f ( ) a sin b cos，若f ( ) 2， 4 且f ( )最大值为 10，求f ( )表达式．
ex4、求y sin x cos x sin x cos x的最值． ex5、求函数y cos x 3 sin x，x ， 的值域． 2 2
又k Z
k 1或2或3
k 1或 2或 3
例4、 已知函数f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x) sin(x )(x R)，其中 R 是待定常数，求 (1) f ( x)为奇函数的充要条件； ( ２ ) f ( x)为偶函数的充要条件．
k，k Z 解： (1) f ( x)为奇函数的充要条件是： k ，k Z (2) f ( x)为偶函数的充要条件是： 2 练习：求函数 f ( x) 3 sin(2 x 5 )的图像关于y轴对称 的充要条件．
例3、若函数 y 2 sin( kx )，k 0的最小正周期为 T， 3 1 5 T ( ， )，求整数 k的值． 2 2
2 2 1 5 解： T ( ，) k k 2 2 1 2 5 2 k 4 2 k 4 2 k 2 5 2 5
当x 2k 时, ymax 1 当x 2k时, y 1 max 2 1 当x 2k 3 时, y 1 当x 2k 时, y min min 2
二、例题举隅
2
3 例1、求函数 y cos x sin x 3 cos( 2 x) 1的 2 (1)周期； (2)单调减区间； (3)最值．
， [0， 2 )
a 2 b2 2 a 3 a 0 (舍) 或 1 3 b2 b 1 f a b 3 2 6 2 3 1 2 f ( x) 3 sin x cos x f 3 2 2 3
解：y cos 2 x 3 sin 2 x 1 2 sin( 2 x) 1 6 2 (1)T 2 sin( 2 x ) 1 2 6 (2)由2k 2 x 2k k x k 2 6 2 6 3 所求单调减区间是[k ，k ]，k Z 6 3 (3)当2 x 2k ,即x k (k Z )时，ymax 3 6 2 6 当2 x 2k ,即x k (k Z )时，ymin 1 6 2 3 求三角函数的单调区间、周期、最值时，先将函数 转化成y A sin( x ) B或y A cos(x ) B 的形式，再进行求解．
ysin x
y cosx
y[1,1] 偶函数 T 2
R
y[1,1] 奇函数 T 2
R
k Z
在[2k ， 2k ]上递增 在[2k ， 2k ]上递增 2 2 在[2k ， 2k 3 ]上递减 在[2k， 2k ]上递减 2 2
2
解：y cos 2 x 3 sin 2 x 1 2 cos( 2 x ) 1 3 2 (1)T 2 (2)由2k 2 x 2k k x k 3 6 3 所求单调减区间是[k ，k ]，k Z 6 3 (3)当2 x 2k ,即x k (k Z )时，ymax 3 3 6 当2 x 2k ,即x k (k Z )时，ymin 1 3 3
