人大附中2021届高三数学试卷及答案

人大附中2020-2021学年度高三10月统一练习数学一、选择题1．已知集合{}1,0,1A =-，{}1B x x =∈<N ，则A B ⋂=（ ） A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}0D ．∅2．已知命题():0,P x ∃∈+∞，ln 0x x +<，则p ⌝为（ ） A ．()0,x ∀∈+∞，ln 0x x +< B ．()0,x ∃∉+∞，ln 0x x +< C ．()0,x ∀∈+∞，ln 0x x +≥D ．()0,x ∀∉+∞，ln 0x x +≥3．已知点52cos,16P π⎛⎫⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-4．已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8B ．8-C ．2D ．2-5．以下选项中，满足log log 2a b >的是（ ） A ．2a =，4b =B ．8a =，4b =C ．14a =，8b =D ．12a =，14b = 6．下列函数中，既是奇函数又在区间()1,1-内是增函数的是（ ） A ．()33f x x x =- B ．()sin f x x =C ．()1ln1xf x x-=+ D ．()e e x x f x -=+ 7．已知方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,+∞B ．(),0-∞C ．(],2-∞D ．[]2,0-8．已知a 是非零向量，m 为实数，则“a m =”是22a m =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知0a >，若函数()21,11,1x ax x x f x a x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足：当0x π≤<时，()sin f x x =；当x π≥时，()()2f x f x π=-．若方程()0f x x m -+=在区间[]0,5π上恰有3个不同的实根，则m 的所有可能取值集合是（ ）A ．40,3π⎡⎢⎣B ．40,3π⎛⎝C ．[)40,3,43πππ⎡⋃⎢⎣D ．()40,3,43πππ⎡⋃⎢⎣二、填空题 11．已知1cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=______． 12．在ABC △中，已知2a =，cos cos cos a b cA B C==，则ABC △的面积为______． 13．已知点()1,1P ，O 为坐标原点，点A ，B 分别在x 轴和y 轴，且满足PA PB ⊥，则()PA PB PO +⋅=______，PA PB +的最小值为______．14．已知函数()()e 1x f x a x =+-，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是______． 15．将函数sin y x =图象上各点横坐标变为原来的()10ωω>倍，再向左平移5π个单位，得到函数()f x 的图象．已知()f x 在[]0,2π上有且只有5个零点．在下列命题中： ①()f x 的图象关于点,05π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ②()f x 在()0,2π内恰有5个极值点； ③()f x 在区间0,5π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减； ④ω的取值范围是2530,1111⎡⎫⎪⎢⎣⎭．所有真命题的序号是______． 三、解答题16．在ABC △中，已知22cos a b c A +=． （1）求C ；（2）若5a =，7c =，求b17．已知函数()()22cos sin 0f x x x ωω=+>，若______，写出()f x 的最小正周期，并求函数()f x 在区间5,66ππ⎛⎤⎥⎝⎦内的最小值． 请从①1ω=，②2ω=这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．若选择多个条件分别作答，按第一个判分． 18．已知函数()11f x x =+，()1g x x =-．求证实数a 的取值范围： （1）任意()10,x a ∈，存在()20,x a ∈，使得()()12f x g x =成立； （2）存在[]12,,1x x a a ∈+，使得()()12f x g x <成立．19．研究表明，在一节课40分钟的数学课中，学生的注意力指数()f x 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示．当(]0,16x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(]10,40x ∈时，曲线是函数()0.8log y x a =+图象的一部分．（1）求函数()f x 的解析式；（2）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟，参考数据：541025=，553125=） 20．已知函数()()()()ln 11f x x a x a x =+-+-． （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；。

2021届北京市中国人民大学附属中学高三上学期数学统练(五)试题一、单选题1．已知集合{}sin ,0A x y x x π==<<，{}cos ,0B y y x x π==<<，则A B =（ ）A ．4π⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．2⎪⎪⎩⎭C ．,42π⎧⎫⎛⎪⎪⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭D ．以上答案都不对 【答案】D【分析】化简集合,A B ，再根据集合的交集运算求得结果.【详解】{}sin ,0A x y x x π==<<，集合A 的元素代表是x ，{}0A x x π∴=<< {}cos ,0B y y x x π==<<，集合B 的元素代表是y ，当0πx <<时，1cos 1x -<<，{}11B y y ∴=-<<{}01A B x x ∴⋂=<<故选：D【点睛】易错点睛：本题考查求三角函数的定义域与值域及集合的交集运算，利用描述法描述集合时一定注意集合的元素代表，考查学生的分析与转化能力，属于基础题. 2．已知向量(),1a t =，()1,2b =.若a b ⊥，则实数t 的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12-D ．12【答案】A【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t 的值.【详解】解：∵向量()1a t =，，()1,2b =，若a b ⊥，则20a b t ⋅=+=， ∴实数2t =-， 故选：A.【点睛】本题考查向量垂直的求参，重在计算，属基础题.3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ） A ．12y x =B ．1sin sin y x x=+C ．2log y x =D ．x x y e e -=-【答案】D【分析】12y x =为非奇非偶函数，可排除A ；通过举反例可知1sin sin y x x =+在()0,1上不是单调递增，可排除B ；2log y x =为偶函数，可排除C ；根据奇偶性定义和单调性的性质可验证D 正确.【详解】对于A ，函数12y x =的定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，故12y x =为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B ，函数1sin sin y x x=+的定义域为{}|,x x k k Z π≠∈，关于原点对称，利用正弦函数知1sin sin y x x =+为奇函数，又0164ππ<<<，当6x π=时，52y =；当4x π=时，52y =<，故不满足在区间(0,1)上单调递增，不符合题意； 对于C ，函数2log y x =的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又22log log x x -=，故 2log y x =为偶函数，不符合题意；对于D ，函数x xy e e -=-的定义域为R ，关于原点对称，又()x xx x e ee e ---=--，故xxy e e -=-为奇函数，又利用指数函数知xy e =在()0,1上单调递增，xy e -=在()0,1上单调递减，故x x y e e -=-在()0,1上单调递增，符合题意；.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查函数单调性和奇偶性的判断，解题的关键是熟悉奇偶函数的定义及单调函数定义，在判断函数奇偶性时一定先看函数的定义域是否关于原点对称，考查学生的逻辑推理能力与转化能力，属于基础题.4．已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（ ）A ．BC ．5D ．【答案】C【分析】首先求抛物线的焦点坐标，由双曲线方程可知24c a =+，求a 的值. 【详解】抛物线212y x =-的焦点是()3,0-，双曲线2214x y a -=中，24c a =+，由题意可知49a +=，解得：5a =.故选：C5．已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m R ∈，则满足条件的m 可以为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】C【分析】计算出a 、b 的范围，然后再逐项验证各选项中的m 的值是否满足12log a m b >>，由此可得出合适的选项.【详解】333log 3log 6log 9<<，即12a <<，555log 1log 4log 5<<，即01b <<，121log 38=，1212og 4l =，121log 12=，12log 10=，所以，满足12log a m b >>的m 可以为12.故选：C.6．圆22(3)(3)9x y -+-=上到直线34110x y +-=的距离等于1的点有（ ） A ．1个 B ．3个C ．2个D ．4个【答案】B【分析】由圆的方程找出圆心A 的坐标和半径r ＝3，然后由点到直线的距离公式求出圆心A 到已知直线的距离为2，由AE ﹣AD ＝DE ，即3﹣2＝1求出DE 的长，得到圆A 上的点到已知直线距离等于1的点有三个，如图，点D ，P 及Q 满足题意． 【详解】由圆的方程，得到圆心A 坐标为（3，3），半径AE ＝3， 则圆心（3，3）到直线3x +4y ﹣11＝0的距离为d 3343115⨯+⨯-==2，即AD ＝2，∴ED ＝1，即圆周上E 到已知直线的距离为1，同时存在P 和Q 也满足题意， ∴圆上的点到直线3x +4y ﹣11＝0的距离为1的点有3个． 故选B ．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．7．“3a =”是“直线1l ：2+60ax a y +=和直线2l ：(2)320a x ay a -++=平行”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用直线平行的条件和充分必要条件的定义判断可得选项.【详解】当3a =时，直线1l ：3+20x y +=和直线2l ：960x y ++=，此时直线1l 与直线2l 不平行，当直线1l ：2+60ax a y +=和直线2l ：(2)320a x ay a -++=平行时，()2302a a a a ⨯-⨯-=，解得5a =（0a =舍去）.“3a =”是“直线1l ：2+60ax a y +=和直线2l ：(2)320a x ay a -++=平行”的既不充分也不必要条件. 故选：D.8．已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()220f f f <-< B ．()()()022f f f <<- C ．()()()202f f f -<< D ．()()()202f f f <<-【答案】A【分析】依题意可求ω＝2，又当x 23π=时，函数f （x ）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f （x ）＝A sin （2x 6π+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．【详解】解：依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0， ∴ω2ππ==2．又∵当x 23π=时，函数f （x ）取得最小值， ∴223π⨯+φ＝2k π32π+，k ∈Z ，可解得：φ＝2k π6π+，k ∈Z ，∴f （x ）＝A sin （2x +2k π6π+）＝A sin （2x 6π+）． ∴f （﹣2）＝A sin （﹣46π+）＝A sin （6π-4+2π）＞0．f （2）＝A sin （46π+）＜0，f （0）＝A sin 6π=A sin 56π＞0，又∵326ππ-＞4+2π562ππ＞＞，而f （x ）＝A sin x 在区间（2π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选A ．【解析】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.9． 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2 B ．52C ．3D ．32【答案】A 【解析】()2200{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()11111120f a c f b +∴=+≥≥+=+='当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为 10．某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a ，b ，c （a b c >>，且a ，b ，*c ∈N ）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）A ．每场比赛的第一名得分a 为4B ．甲至少有一场比赛获得第二名C ．乙在四场比赛中没有获得过第二名D ．丙至少有一场比赛获得第三名 【答案】C【分析】根据四场比赛总得分，结合a ，b ，c 满足的条件，可求出a ，b ，c ，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决. 【详解】∵甲最后得分为16分， ∴4a >，接下来以乙为主要研究对象，①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则38a b +=，则384b a =-<，而*b ∈N ，则1b =，又*c ∈N ，a b c >>，此时不合题意；②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，则28a b c ++=，则284b c a +=-<，由a b c >>，且a ，b ，*c ∈N 可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意； ③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，则28a b c ++=，则284b c a +=-<，由a b c >>，且a ，b ，*c ∈N 可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意； ④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，则38a c +=，此时显然5a =，1c =， 则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共35116⨯+=分，乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5318+⨯=分， 丙的得分情况为4场第二名，则48b =，即2b =，此时符合题意. 综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名. 故选：C.【点睛】本题考查了学生的逻辑推理能力和阅读理解能力，属于中档题.二、填空题11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为______． 【答案】1-【分析】根据复数除法运算化简复数，进而得结果【详解】()()()()2211112211112i i i i i ii i i i i -⋅---+-====-++⋅-- 故答案为：1-【点睛】易错点睛：本题考查了复数的实部和虚部，在解题时一般利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算，化简为a bi +的形式，b 就是这个复数的虚部，一定要注意符号，考查学生的运算求解能力，属于易错题.12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为______．【分析】作出图形，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，计算出1AF ，再利用椭圆的定义可得出关于a 、c 的等式，进而可求得椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==，由勾股定理可得1AF ==，由椭圆的定义可得122AF AF a +=52c c a +=，所以，该椭圆的离心率为()()251512515151c e a ====++-. 故答案为：512. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.13．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上且同时满足：①12F F P 是等腰三角形； ②12F F P 是钝角三角形； ③线段12F F 为12F F P 的腰； ④椭圆C 上恰好有4个不同的点P ． 则椭圆C 的离心率的取值范围是______． 【答案】1213⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由已知12F F P 是以12F F 为腰的等腰三角形，即点P 在以1F 为圆心，2c 为半径的圆上，结合圆与椭圆有两个交点，及12PF F ∠为钝角，结合余弦定理建立关于,a c的不等式，解不等式即可求得结果.【详解】如图，根据椭圆的对称性知，点P 及关于x 轴，y 轴，原点对称的其它3点，即为椭圆C 满足条件的4个不同的点．根据题意可知12F F P 是以12F F ，1F P 为两腰的等腰三角形，故1122F F F P c ==，即点P 在以1F 为圆心，12F F 为半径的圆上，由题知以1F 为圆心，2c 为半径的圆与椭圆有两个交点，即可存在两个满足条件的等腰12F F P ，此时必有11F P AF >，即2c a c >-，即3a c <，所以离心率13e >； 又12PF F ∠为钝角，则12os 0c PF F <∠，利用余弦定理知2221122||||||F P F F F P <+，即222(2)(2)(22)c c a c <+-，整理得2220c ac a +-<，两边同除以2a 得，2210e e +-<，解得：021e <<-综上，可知椭圆C 的离心率的取值范围是1213e <<- 故答案为：1,213⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的基本性质，及椭圆离心率的取值范围，解题关键是找到关于,a c 的不等关系，本题中12F F P 是以12F F 为腰的等腰三角形，结合圆与椭圆有两个交点，及12PF F ∠为钝角，建立关于,a c 的不等式，解不等式求得结果，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．14．已知集合{}22(,)(cos )(sin )4,0P x y x y θθθπ=-+-=≤≤．由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论：①“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为()0,1 ； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+④白色“水滴”图形的面积是1136π 其中正确的有______． 【答案】②④【分析】①方程()()22cos sin 4x y θθ-+-=中，令0x =求得y 的取值范围，得出最高点的坐标；②利用参数法求出点M 到原点的距离d ，求出最大值； ③求出知最高点C 与最低点D 的距离CD ；④计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成． 【详解】对于①，方程()()22cos sin 4x y θθ-+-=中， 令0x =，得222cos 2sin sin 4y y θθθ+-+=， 所以32sin y yθ=-，其中[]0,θπ∈， 所以[]sin 0,1θ∈， 所以[]30,2y y-∈， 解得3,13,3y ⎡⎤⎡⎤∈--⎣⎦⎣⎦；所以点(3A ，点()0,1B -，点()0,3C ，点(0,3D ，所以①错误； 对于②，由()()22cos sin 4x y θθ-+-=，设2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩，则点M 到原点的距离为d===当αθ=时，()cos1αθ-=，d取得最大值为3，所以②正确；对于③，由①知最高点为()0,3C，最低点为(0,D，所以3CD=+③不正确；对于④，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；计算它的面积是212111+2+1222326S S S Sπππ⎛==⨯⨯+⨯+⨯=-⎝弓形半圆所以④正确；综上知，正确的命题序号是②④．故答案为：②④．【点睛】关键点点睛：本题的关键，一是求出,,,A B C D四点坐标，正确判断①③，将方程写成圆的参数方程形式，再利用两点间距离判断③，对于④，两个弓形，分别是以“水滴”与x轴的交点为圆心，半径为2的圆所在的弓形.三、双空题15．数列{}n a的前n项和为n S，且11a=，12n na S+=，1,2,3,n=⋅⋅⋅．则3a=______；234+1na a a a+++⋅⋅⋅+=______.【答案】6 31n-【分析】由已知当2n≥时，12n na S-=，结合已知条件知13nnaa+=，验证1n=时不满足，得到数列{}n a的通项公式为21,123,2n nnan-=⎧=⎨⨯≥⎩，进而求得36a=，再利用等比数列求和公式可求得234+1na a a a+++⋅⋅⋅+.【详解】由12n na S+=知，当2n≥时，12n na S-=两式作差得：11222n n n n na a S S a+--=-=，即13n na a+=，即13nnaa+=；又11a=，2122a S==，不符合上式，故数列{}n a去掉第一项是公比为3的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩ 所以当3n =时，36a =12+1234+13232313132311n n n n na a a a a a ---⨯⨯-+++⋅⋅⋅+====----故答案为：6，31n -【点睛】方法点睛：本题考查求数列的通项公式及等比数列求和公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由n a 与n S 的关系求通项公式，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，一定要验证当1n =时是否满足；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于易错题.四、解答题16．已知2()sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2. 【分析】（1）首先根据三角函数恒等变换得到()1sin 22f x x =-，再求其单调减区间即可.（2）首先根据02A f ⎛⎫=⎪⎝⎭得到1sin 2A =，cos 2A =，根据余弦定理和基本不等式得到2bc ≤，再求面积的最大值即可. 【详解】（1）由题意1cos 2111112()sin 2sin 2sin 2sin 2222222x f x x x x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-=-+=-． 由322222k x k ππππ+≤≤+，得3()44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间是3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． （2）因为1()sin 022=-=Af A ，所以1sin 2A =，由题意A 是锐角，所以cos A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，可得2212c c b b c =+≥，所以2≤=bc b c =时成立．所以11sin 24ABC S bc A bc ==≤△，ABC ． 17．设函数2()e 3x f x m x =-+，其中m R ∈．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）极小值(1)2h -=-，极大值(1)2h =；（Ⅱ）4132e em -<<或36e m = 【分析】（Ⅰ）根据偶函数定义列方程，解得0m =.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数()23e xx g x -=，[]2,4x ∈-，利用导数研究()g x 单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的m 的取值范围．【详解】（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=， 即()22e 3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立， 所以0m =. 此时()()33h x xf x x x ==-+，则()233h x x =-'+.由()0h x '=，解得1x =±. 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递减，在()1,1-上单调递增. 所以()h x 有极小值()12h -=-，()h x 有极大值()12h =.（Ⅱ）由()2e 30xf x m x =-+=，得23exx m -=. 所以“()f x 在区间[]2,4-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线()23e x x g x -=，[]2,4x ∈-有且只有两个公共点”. 对函数()g x 求导，得()223e xx x g x -++'=.由()0g x '=，解得11x =-，23x =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在()2,1--，()3,4上单调递减，在()1,3-上单调递增. 又因为()22e g -=，()12e g -=-，()()3632e g g =<-，()()41341e g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线()23e xx g x -=，[]2,4x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e e m -<<或36em =时，函数()f x 在区间[]2,4-上有两个零点. 【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.18．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>经过两点(1,2P，(Q .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB FE ⋅的最大值.【答案】（Ⅰ）2212x y +=（Ⅱ）最大值为1【分析】（Ⅰ）将,P Q 坐标代入椭圆方程可解得,a b ，进而得到结果；（Ⅱ）设直线l 方程为1x ty =+，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由弦长公式表示出AB ；利用垂径定理可表示出FE ，从而将AB FE ⋅表示为关于t 的函数，利用基本不等式可求得最大值.【详解】（Ⅰ）椭圆:C ()222210x y a b a b +=>>过点P ⎛ ⎝⎭，()Q221112a ab ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩，解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=（Ⅱ）由题易知直线l 的斜率不为0，可设l ：1x ty =+由22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222210t y ty ++-=，则()222442880t t t ∆=++=+> 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222ty y t -+=+，12212y y t -=+又12AB y y =-，以FP为直径的圆的圆心坐标为⎛ ⎝⎭，半径为4r = 故圆心到直线l的距离为d ==∴FE ===∴12AB FE y y ⋅=-=====211t +≥ ()221121t t ∴++≥+，即()221114121t t ≤++++1AB FE ∴⋅≤=（当且仅当22111t t +=+，即0t =时取等号） 当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE ⋅=AB FE ∴⋅的最大值为1【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、最值问题的求解；解决最值问题的关键是能够将所求量表示为关于某一变量的函数，进而利用函数中的最值求解方法求得最值.19．设函数()e cos x f x x =，()g x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明：()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明：200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）构造函数()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭，结合导函数的符号求解函数()h x 的最小值即可证得题中的结论；（Ⅱ）令2n n y x n π=-，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.【详解】（Ⅰ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．依题意有()e (cos sin )xg x x x =-，从而'()2e sin xg x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'()0g x <，故 ''''()()()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n xn x =．记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ． 因为()()20e 1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），所以0n y y ≥．由（I ）知当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， 因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<=⎪⎝⎭．又由（I ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭， 故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e o e e s n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x πππππ------=-≤-=<--≤．所以，20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-．【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.。

人大附中2020-2021学年度高三12月统一练习数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）B （3）C （4）B（5） D （6）C（7）A（8）D（9）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）240（12）(,[22,)-∞-+∞ （13）11112()(,)(,)22222-- （1432（15）①②③注：第14题第一空3分，第二空2分；第15题不全对得3分，选④得0分． 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以BC AD ∥．…………… 1分 又因为AD PBC ⊄平面，BC PBC ⊂平面， 所以AD PBC ∥平面．…………… 2分 又因为AD ADE ⊂平面，ADE PBC l =平面平面，所以AD l ∥．…………… 3分 又因为AD ABCD ⊂平面，l ABCD ⊄平面， 所以l ABCD ∥平面．…………… 4分（Ⅱ）因为四边形ABCD 是正方形，P A ⏊平面ABCD ，AB AD ABCD ⊂，平面，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． …………… 5分 建立空间直角坐标系A xyz -，如图．不妨设正方形ABCD 的边长为1，设0AP a =>，则(0 0 0)A ，，，(1 1 0)C ，，，(0 1 0)D ，，，(0 0 )P a ，，，因为点E 是线段PC 的中点，所以11( )222E a，，． 所以(1 )1PC a =-，，，(0 1 0)AD =，，，11( )222a AE =，，． …………… 7分 因为1AE BC ==1，所以a =，所以(11 PC =，11( 22AE =，．…………… 8分设平面ADE 的法向量为()x y z =，，n ，则00AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n即011022y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩．， 令1z =，则x =．于是( 1)=n ．……………10分所以2cos PC PC PC⋅-〈〉===，n n n ……………12分 所以直线PC 与平面ADE……………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）设0CD a =>．因为224BC AB AD CD ===， 所以422BC a AB a AD a ===，，． 所以3AC AD DC a =+=．…………… 2分在ABC △中，222222249161cos 2412AB AC BC a a a A AB AC a +-+-===-⋅．…………… 5分 （Ⅱ）所以A ∠为钝角，sinA…………… 7分 又因为ABC △的面积为1sin 2AB AC A ⋅⋅=，所以23a =所以2a =或2-（舍）．……………10分所以BD =……………13分（18）（共14分）解：法一 选择条件①．…………… 1分（Ⅰ）因为123n n a a +=+，*n ∈N ，所以132(3)n n a a ++=+．…………… 3分又因为11a =，所以{3}n a +是首项为134a +=，公比为2的等比数列． 所以1134(2)2n n n a -++=⋅=，123n n a +=-，*n ∈N ．…………… 7分（Ⅱ）假设数列{}n a 中存在三项i j k a a a ，，成等差数列，不妨设i j k a a a ≤≤．所以2i k j a a a +=，即11123232(23)i k j +++-+-=⋅-，1222i k j ++=．……………10分因为21112220n n n n n a a ++++-=-=>， 所以{}n a 为递增数列，i j k <<．所以1122k i j i --++=，与12 2k i j i --+，均为偶数矛盾． 所以假设不成立，结论得证．……………14分法二 选择条件③．…………… 1分（Ⅰ）因为11n n a S +=+，211n n a S ++=+，*n ∈N ，所以2111n n n n n a a S S a ++++-=-=． …………… 3分 所以212n n a a ++=，*n ∈N ．又因为11a =，21111122a S a a =+=+==， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列． 所以12n n a -=，*n ∈N ．…………… 7分（Ⅱ）假设数列{}n a 中存在三项i j k a a a ，，成等差数列，不妨设i j k a a a ≤≤．所以2i k j a a a +=，即111222(2)i k j ---+=⋅，1222i k j ++=．……………10分因为1112220n n n n n a a --+-=-=>， 所以{}n a 为递增数列，i j k <<．所以1122k i j i --++=，与12 2k i j i --+，均为偶数矛盾． 所以假设不成立，结论得证．……………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为21()(1)ln 2f x x a x a x =-++，0x >． 所以(1)()()1a x x a f x x a x x--'=--+=．因为()f x 在区间(1)+∞，上单调递增， 所以对1x ∀>，(1)()()0x x a f x x--'=≥，即0x a ->． 所以1a ≤．当1a ≤时，对1x ∀>，(1)()()0x x a f x x--'=>， 所以()f x 在区间(1)+∞，上单调递增． 所以a 的取值范围是( 1]-∞，．…………… 4分（Ⅱ）① 当0a ≤时，令()0f x '=，得()1x a =舍或，② 当01a <<时，令()0f x '=，得1x a =或，③ 当1a =时，对0x ∀>，(1)()0x f x x-'=≥（当且仅当1x =时取等号）， 所以()f x 在区间(0)+∞，上单调递增． ④ 当1a >时，令()0f x '=，得1x a =或，当1a =时，1不是极值点； 当1a >或1a <时，1是极值点．……………12分（Ⅲ）存在，满足条件的实数a 的个数为2．……………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）依题意，222224110c a a b a b c a b c ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪>⎩，，，，，解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22182x y +=． …………… 5分（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，(0)M t ，，0t ≠，则(0)N t -，．因为(2 1)P ，，所以直线PM 方程为12t y x t -=+-． 联立2218212x y t y x t ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩-，，得22[(1)2]80x t x t +---=，…………… 7分即222(22)4(1)480t t x t t x t -+--+-=，22(2)[(22)24]0x t t x t --+-+=， 所以2122422t x t t -=-+，221221244222222t t t t y t t t t t ---+-=⋅+=--+-+． 同理2222422t x t t -=++，2224222t t y t t ---=++．……………11分猜想：直线AB 过定点(0)Q u ，，其中u 待定．证明：因为11()QA x y u -，，22()QB x y u -，， 1221222222222222334434 ()()244224422424()22222222222216(2)8(2)448(2)(2)4x y u x y u t t t t t t t t u t t t t t t t t t t t t t t u t t t t u t t t ---------+---=⋅-⋅---+++++-+-+++---=-++-+-=+． 所以当2u =-时，QA QB ∥恒成立．所以直线AB 即直线l 过定点(02)Q -，．……………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）① 因为(1)(2)1r r ==，4222n ==， 所以(1)(2)2n r r =<． 所以表①的“尖点”的个数为0．…………… 2分② 因为(1)(2)3r r ==，4222n ==，(1)(4)1c c ==，(2)(3)2c c ==，2122m ==，所以(1)(2)2n r r =≥，(1)(4)2m c c =≤，(2)(3)2m c c =>， 所以表②的“尖点”为(1 1)，，(1 4)，，(2 1)，，(2 4)，共4个．…………… 4分（Ⅱ）由题知，2m =，设21n k =+，*k ∈N ． （1）当(1)(2)2nr r <，时，数表A 的“尖点”的个数为0； （2）当(1)(2)22n n r r ≥<，时，或当(1)(2)22n nr r <≥，时，数表A 的“尖点”的个数小于或等于n ； （3）当(1)(2)2nr r ≥，时，(1)(2)1r r k ≥+，． 所以(1)(2)(21)(1)(2)22c c c k r r k ++⋅⋅⋅++=+≥+． 因此，(1)(2) (21)c c c k ⋅⋅⋅+，，，中，至多有2k 项不超过1． 所以数表A 的“尖点”的个数不超过4k ，即22n -．…………… 9分构造实例如下：令101 2112 2j j k a j k k k =⎧=⎨=++⎩，，，…，，，，，…，，211 2012 2j j k a j k k k =⎧=⎨=++⎩，，，…，，，，，…，，121n n a a ==，即数表A 为：则(1)(2)12r r k ==+>，(1)(2)(1)12c c c n ==⋅⋅⋅=-==，()22m c n =>．所以此数表的“尖点”的个数为2(1)22n n -=-． ……………10分（Ⅲ）不妨设(1)(2) ()2n r r r u ≤⋅⋅⋅，，，，0(1)(2) ()2nr u r u r m ≤++⋅⋅⋅<，，，， 0(1)(2) ()2m c c c v ≤⋅⋅⋅≤，，，，(1)(2) ()2mc v c v c n m <++⋅⋅⋅≤，，，， u m ≤，v n ≤，u v ∈N ，，m n ，均为偶数．11()()mni j S r i c j ====∈∑∑N ．① 依题意2mnuv =，所以2m u m ≤≤，2n v n ≤≤． 所以1()24mi n mn S r i u ==≥⋅≥∑，13()()224n j m mv mnS c j v m n v mn ==≤⋅+⋅-=-≤∑． 因此，344mn mn S ≤≤，S ∈N ． ……………13分②（1）当1 2 2m i =⋅⋅⋅，，，，1 2 2nj =⋅⋅⋅，，，时，令1ij a =，当1 2 22m mi m =++⋅⋅⋅，，，，1 2 j n =⋅⋅⋅，，，时，令0ij a =， 则2m u =，v n =，2mn uv =．此时，S 可为42mn mn S S ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭N 中任一元．……………14分（2）当1 2 2m i =⋅⋅⋅，，，，1 2 2nj =⋅⋅⋅，，，时，令0ij a =，当12 i m =⋅⋅⋅，，，，1 2 22n nj n =++⋅⋅⋅，，，时，令1ij a =， 则u m =，2n v =，2mn uv =．此时，S 可为324mn mn S S ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭N 中任一元．……………15分综上所述，S 的取值范围为344mn mn S S ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭N ．。

北京市中国人民大学附属中学2021届高三数学开学复习质量检测试题（含解析）一、选择题1.设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（ ）．A. 1C. 2D. 【答案】B 【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 2.已知全集U =R ，若集合{}2|0=-<A x x x ，则UA（ ）．A. {|0x x ≤或}1x ≥B. {|0x x <或}1x >C. {}1|0x x <<D. {}|1x x ≥【答案】A 【解析】分析：先解一元二次不等式得集合A ，再根据补集定义得结果. 详解：∵集合{}{}2|0|01A x x x x x =-<=<<，∴{|0Ux A x =≤或1}x ≥，故选A ．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3.命题p ：∀x>0，1x e >，则p ⌝是 A. ∃00x ≤，01x e ≤ B. ∃00x >，01x e ≤ C. ∀0x >，1x e ≤ D. ∀0x ≤，1x e ≤【答案】A【解析】试题分析：p ⌝是00,1xx e ∃>≤考点：本题考查命题的否定点评：全称命题的否定将任意改为存在，否定结论4.若a ， b 是两个非零的平面向量，则“||a b =”是“()()0a b a b +⋅-=”的（ ）． A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()220a b a b ab +⋅-=-=，得a b =，所以是充要条件，故选C.5.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】结合指数、对数及三角函数的性质判断大小即可【详解】1ln 02a =<，11sin sin ,262b π=<=10,2b ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，121222c -==>=，1,12c ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故a b c <<，故选：A【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数、三角函数的性质比大小，熟记基本函数的图象特点是关键，属于基础题6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）A. 最长棱的棱长为6B. 最长棱的棱长为3C. 侧面四个三角形都是直角三角形D. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 【答案】C 【解析】【详解】本题考查空间几何体的三视图和线线垂直，根据四棱锥的三视图，可得到四棱锥的直观图S ABCD -（如图所示）：由图可知，2SA AD ==，1AB BC ==，SA ⊥面ABCD ，AD ⊥面SAB ，AD BC ∥， 所以Rt SAB ，Rt SAD ，Rt SBC △中，5SB =6SC =，22SD =2CD =，所以222SC CD SD +=，所以SCD 是直角三角形，所以最长的棱长是2，侧面都是直角三角形． 本题选择C 选项.点睛：1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． 2．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线； (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．7.已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】画图可知四个零点分别为－1和3，1e和e ，但注意到f (x )的定义域为x >0，故选C.8.已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ∠=，则实数m 的取值范围是（ ）A. (4,8)B. (4,)+∞C. (0,4)D. (8,)+∞【答案】B 【解析】试题分析：设200(,)4y Q y ，由90OQP ∠=得0OQ PQ ⋅=，即222000()044y y m y -⋅+=，显然00y ≠，因此2044y m =-，所以40m ->，即4m >．选B ．考点：向量的垂直，圆锥曲线的存在性问题． 二、填空题9.双曲线22:14x C y -=的离心率是 ；渐近线方程是 ．512y x =± 【解析】试题分析：222224,15a b c a b ==∴=+=，所以离心率e=5c a =，渐近线方程为12b y x x a =±=±, 考点：本题考查双曲线的标准方程，离心率，渐近线点评：有双曲线的标准方程得到，a,b,c 求出离心率，渐近线方程 10.若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q ，则35a a +=_____.【答案】20. 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出． 【详解】223513()2520a a q a a +=+=⨯=， 故答案为：20．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．11.在△ABC 中，3a =，13b =，60B =，则c = ；△ABC 的面积为_______． 【答案】，【解析】 由余弦定理，得，解得；由三角形的面积公式，得.考点：余弦定理、三角形的面积公式.12.已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 ______.【答案】22111()()339x y ++-= 【解析】试题分析： 设圆心坐标为（a,2a+1）,圆与两坐标轴相切，所以a=-(2a+1),13a ∴=-，所以圆心为11(,)33-，半径13，所以圆的标准方程为22111()()339x y ++-=,考点：本题考查圆的标准方程点评：圆心在直线上，设圆心坐标为一个未知数，又因为圆与两坐标轴相切，所以圆心互为相反数，半径为圆心坐标的绝对值13.已知函数()sin a x x f x =-的一条对称轴为6x π=-，()()120f x fx +=，且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，则12x x +的最小值为______. 【答案】23π 【解析】 【分析】分析式子特点可知，当6x π=-时，函数应该取到最值，将6x π=-代入()sin a x x f x =-再结合辅助角公式可先求得a ，结合()()120f x f x +=分析可知，()()2112,,,x y y x 两点关于对称中心对称，求出12x x +的通式，即可求解 【详解】()()sin ,tan f aa x x x x ϕϕ=-=+=-，由题可知 sin 666f a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪ ⎪⎝=⎝-⎭⎭⎝⎭，化简可得2a =，则 ()4sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()120,f x f x +=且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，()()1122,,,x y x y ∴关于对称中心对称，故有1233,2x x k k Z πππ-+-=∈，解得1222,3x x k k Z ππ+=+∈，当0k =时，12x x +的最小值为23π，故答案：23π【点睛】本题考查由三角函数图像性质求参数，三角函数对称轴与对称中心的应用，属于中档题14.函数()x xf ae e x b -=+（,a R b R ++∈∈），已知()f x 的最小值为4，则点(),a b 到直线20x y +-=距离的最小值为______.【解析】分析】可采用基本不等式求得ab，再结合点到直线距离公式即可求解【详解】由题知,a Rb R++∈∈，则()4x xae bef x-=≥=+，当且仅当x xae be-=时取到，则4ab=，点(),a b到直线20x y+=距离d=≥===，mind∴=【点睛】本题考查基本不等式、点到直线距离公式的应用，数学中的转化思想，属于中档题三、解答题15.设函数()()()()22sin cosf x x x xωωω=⋅-+0>ω）的图象上相邻最高（1）求函数()f x的周期及ω的值；（2）求函数()f x的单调递增区间. 【答案】（1）12,2Tπω==；（2）52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先将表达式结合降幂公式化简，即可求得周期和最值，结合相邻最高点与最低点的距离ω及周期；（2）结合整体法和三角函数图像的性质即可求得；【详解】（1）()()()()22sin cosf x x xxωωω=⋅-=sin222sin23x x xπωωω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则2A=，22Tππωω==，图象上相邻最高点与最=12,2Tπω==；（2）()2sin22sin33f xx xππω⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎝=⎭⎭，令2,2,322x k k k Zπππππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，由三角函数的性质求参数，求复合型三角函数的单调区间，属于中档题16.某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生、理化历、史地政其中，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政，现采用分层抽样的方法从中抽出6人，调查他们每天完成作业的时间.（1）应从这三个组合中分别抽取多少人？（2）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内.现从这6人中随机抽取3人进行座谈.用X表示抽取的3人中每天完成作业所需时间在3小时以上的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）3；2；1（2）分布列见详解；EX=2【解析】【分析】（1）按照分层抽样按比例分配的原则进行计算即可；（2）可明确X的取值有1，2，3，再结合超几何分布求出对应的概率，列出分布列，再求解数学期望即可；【详解】（1）由题知，选择史地政的人数为：4824168--=人，故选择理化生、理化历、史地政的人数比为：3:2:1，故从这三个组合中应抽取理化生的人数为：3636⨯=人；抽取理化历的人数为：2626⨯=人；抽取理化历的人数为：1616⨯=人；（2）由题可知X的取值有1，2，3，()124236115C CP XC===；()214236325CC P X C ===；()304236135C C P X C ===； 故随机变量X 的分布列为：X 1 2 3P15 35 151311232555EX =⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查分层抽样的求法，超几何公式的运用，离散型随机变量的分布列与期望的求法，属于中档题17.在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥，M 为PD 的中点，过A ，B ，M 的平面与PC 交于N.23DC =，2DA PD ==，1AB =，120PDC ∠=.（1）求证：N 为PC 中点； （2）求证：AD ⊥平面PCD ；（3）T 为PB 中点，求二面角T AC B --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45° 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质可得AB MN ∥，又由M 为PD 的中点，即可求证N 为PC 中点；（2）利用面面垂直的性质，可过点D 作DH DC ⊥,可证DH AD ⊥，再结合线面垂直的判定定理即可求证；（3）采用建系法以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角T AC B --的大小 【详解】（1）//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，//AB ∴平面PCD ，由线面平行的性质可得，//AB MN ， 又//AB CD ，//MN CD ∴，M 为PD 的中点，N ∴为PC 的中点；（2）过点D 作DH DC ⊥交PC 与点H ，又平面ABCD ⊥平面PCD ，交线为CD ，故DH ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，DH AD ∴⊥， 又AD PC ⊥，PCDH H =，∴AD ⊥平面PCD ；（3）由（2）可知AD ⊥平面PCD ，AD CD ∴⊥，故以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，如图：求得(()()()0,3,2,0,0,0,23,0,2,1,0P A C B -，T 为PB 的中点，故3T ⎛ ⎝⎭，3AT ⎛=- ⎝⎭，()223,0AC =-，， 可设平面ABC 的法向量为()10,0,1n =，平面TAC 的法向量为()2,,n x y z =，故有222230302n AC x y n AT x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x =得1,2y z ==，则()23,1,2n =，故1212122cos ,2122n n n n n n ⋅===⨯⋅，故二面角T AC B --的大小为45° 【点睛】本题考查线面平行性质，面面垂直性质，面面垂直平判定定理的应用，建系法求解二面角的大小，属于中档题 18.已知函数()3215132f x x x a x =-+-． （Ⅰ）当6a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的单调区间； （Ⅱ）求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．【答案】（1）单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出导函数()2'56f x x x =-+，解二次不等式即可得到单调区间；（2）当0a <时，对x 分类讨论，结合极值概念，即可得到结果. 【详解】（1）当6,0a x =>时，()32156132f x x x x =-+- 所以()()()2'5623f x x x x x =-+=--， 令()'0,f x =得2x =，或3x =.当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,+∞上的单调递增区间是()0,2，()3,+∞，单调递减区间是()2,3. (2)当0a <时， 若0x <，则()3215132f x x x ax =---，所以()()2'55f x x x a x x a =--=--因为0,0x a <<，所以()'0f x > 若0x >，则()3215132f x x x ax =-+-， 所以()2'5f x x x a =-+ 令()'0,f x = 2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x <不妨设20x >，所以当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值.【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想．19.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为原点，点P 为椭圆C 上不同于A 、B 的任一点，若直线PA 与PB 的斜率之积为34-，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 点不在坐标轴上，直线PA ，PB 交y 轴于M ，N 两点，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切.切点为T ，问切线长OT 是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为3 【解析】【分析】（1）由斜率之积可求得a ，b 的关系，将31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入可再得a ，b 的关系，解出a ，b 的值，即可求出椭圆的方程；（2）由（1）得A ，B 的坐标，设(,)P m n ，满足椭圆的方程，得直线AP ，BP ，求出M ，N 的坐标，再用圆中切割线定理得切线长的值．【详解】（1）设(,)P x y ，由题意得(,0)A a -，(,0)B a ，222AP BPy y y k k x a x a x a ∴⋅=⋅=+--， ∴22234y x a =--而22221x y a b+=得：2234b a =①， 又过22319(1,)124a b∴+=②，所以由①②得：24a =，23b =；所以椭圆C 的方程：22143x y +=；（2）由（1）得：(2,0)A -，(2,0)B 设(,)P m n ，22143m n +=，则直线的方程:(2)2n PA y x m =++，令0x =，则22n y m =+，所以M 的坐标2(0,)2nm +， 直线PB 的方程：(2)2n y x m =--，令0x =，2n y m -=-，所以坐标2(0,)2nN m --，OT ON OTN OMT OM OT ∆∆∴=∽（圆的切割线定理），再联立22143m n +=，2224||||||34n OT ON OM m ∴===-【点睛】本题考查椭圆上过对称点直线的两点和椭圆上一点的斜率之积的证明，可当作结论作为记忆：两对称点为()()1111,,,,A x y B x y --椭圆上一点为(),P x y ，则有22PA PBb k k a⋅=-；也考查了过定点的直线是否存在满足一定条件定值的证明，合理的转化，利用几何关系转化至关重要，属于难题20.定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？ （2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯{1，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈ 【解析】 【分析】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，即可得出P 是“减0集”，同理可得P 不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=，对x ，y 分类讨论即可得出．（3）存在“减1集” A ．{1}A ≠．假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈． 因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得所有的A ．【详解】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集” 同理，*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”． （2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=， 则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集” （3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素． 假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉． 假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈． 因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈． 因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得：{1A =，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈， 以及A 的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯ 【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题。

2021届北京市中国人民大学附属中学高三考前热身练习数学试题一、单选题1．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}(,)B x y y x =|=，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．(){}0,0C ．(){}1,1D ．()(){}0,0,1,1【答案】D【分析】由题意可知，两集合的交集是两函数图像的交点，所以求出交点坐标即可【详解】解：由2y x y x ⎧=⎨=⎩，得00x y ==⎧⎨⎩，或11x y =⎧⎨=⎩，所以A B =()(){}0,0,1,1，故选：D2．已在i 为虚数单位，则复数21iz i=+的共轭复数z = A ．1i - B ．1i +C ．1i -+D ．1i --【答案】A 【详解】因为()()()211111i i z i i -==++-，所以1z i =-，应选答案A ．3．将函数cos 26y x π=-（）的图象向左平移(0)ϕϕπ<<的单位后，得到函数cos(2)3y x π=+的图象，则ϕ等于A ．3πB ．6πC ．2π D ．4π 【答案】D【分析】将函数cos 26y x π=-（）的图象向左平移(0)ϕϕπ<<的单位后，得到函数cos[2()]cos 2266y x x ππϕϕ=+-=+-（）,所以2=2,63k k z ππϕπ-+∈，解之即得解.【详解】将函数cos 26y x π=-（）的图象向左平移(0)ϕϕπ<<的单位后，得到函数cos[2()]cos 2266y x x ππϕϕ=+-=+-（）,所以2=2,63k k z ππϕπ-+∈，因为0ϕπ<<，所以k=0时，=4πϕ.故选D【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．在等边ABC 中，1AB =，D 为AB 边的中点，则AC DA ⋅的值为（ ） A ．34B ．14C ．14-D ．34-【答案】C【分析】先求出向量的夹角，再利用向量数量积的定义，即可得到答案； 【详解】,120AC DA <>=，D 为AB 边的中点，1AB =，∴1||2DA =， ∴111||||cos1201()224AC DA AC DA ⋅==⨯⨯-=-，故选：C.5．某三棱锥的三视图如图所示.已如网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥的体积为（ ）A ．43B ．423C ．83D ．823【答案】A【分析】如图，根据三视图可得直观图，根据所给数据直接求体积即可.【详解】如图，根据三视图可得直观图，底面ABC 为等腰直角三角形，高2h =， 所以11142223323P ABC ABCV S h -=⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=，故选：A6．设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭则“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的（ ） A ．充分不必要件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】在11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭的前提条件下，由()f x x α=的图像经过()1,1--，则α的值为11,3-，，反之当()f x x α=为奇函数时，则α的值为11,3-，，从而可得答案. 【详解】由11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，由()f x x α=的图像经过()1,1--，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=为奇函数. 又当()f x x α=为奇函数时，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=的图象经过()1,1--.所以“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的充要条件故选：C7．已知圆C 经过点()1,0-和()1,0，且与直线1y x =-只有一个公共点，则圆心C 的坐标为（ ） A ．()0,0B ．()0,1C ．()0,1-D ．()0,1或()0,1-【答案】B【分析】根据条件可得圆心一定在y 轴上，设圆心为()0b ，，再根据题意圆与直线1y x =-相切，则圆心到直线的距离等于半径可得答案.【详解】由圆C 经过点()1,0-和()1,0，则圆心一定在y 轴上，设圆心为()0b ， 由圆与直线1y x =-只有一个公共点，即圆与直线1y x =-相切.由圆的半径为r ==.所以圆心到直线的距离d ==，解得1b =故选：B8．在ABC ∆中，a =3A π=，则ABC ∆的最大周长是（）A ．B ．C ．3D ．4【答案】B【分析】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-变形为含b c +的式子，利用均值不等式求解.【详解】由余弦定理知，2222cos a b c bc A =+-, 即()233bc b c =+-，故()223332b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时等号成立解得()212b c +≤，又b c a +>=b c <+≤故周长a b c ++≤ 故选：B【点睛】关键点点睛：由余弦定理建立方程后，需要根据所求问题合理变形是解题的关键，变形后利用均值不等式求最值，属于中档题.9．聚光式太阳灶（如图1）广泛应用于我国西部农村地区.其轴截面图（如图2）中，点F 为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点A 与焦点F关于其外沿所在的平面对称.已知A 、F 两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径（外沿所在圆的直径）大约为（ ）A ．1.2米B ．1.4米C ．1.6米D ．1.8米【答案】B【分析】将抛物线置于一个坐标系中，使得抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，根据所给数据求得抛物线方程，带入中点横坐标14x =即可得解. 【详解】建立坐标系，使得抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上， 由A 、F 两点间的距离为0.5米， 设抛物线方程为22y px =， 则0.52p=，所以1p =，所以22y x =，由AF 中点横坐标为14，即14x =，212y =，所以y =，所以弦长 1.414BC =≈， 最大口径就是BC 的长， 故选：B10．黎曼函数()R x 是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，()R x 在[]0,1上的定义为：当q x p =（p q >，且p ，q 为互质的正整数）时，()1R x p=；当0x =或1x =或x 为()0,1内的无理数时，()0R x =.已知a ，b ，[]0,1a b +∈，则（ ）注：p ，q 为互质的正整数()p q >，即qp为已约分的最简真分数. A ．()R x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．()()()R a b R a R b ⋅≥⋅C ．()()()R a b R a R b +≥+D ．以上选项都不对【答案】B【分析】设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数） ，B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，然后对A 选项，根据黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义分析即可求解；对B 、C 选项：分①a A ∈，b A ∈；②a B ∈，b B ∈；③a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a B b A∈⎧⎨∈⎩分析讨论即可．【详解】解：设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数），B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，对A 选项：由题意，()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，其中p 是大于等于2的正整数，故选项A 错误；对B 、C 选项：①当a A ∈，b A ∈，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅； ②当a B ∈，b B ∈，则()()()R a b R a R b +=+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅＝0；③当a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a B b A ∈⎧⎨∈⎩，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅，所以选项B 正确，选项C 、D 错误， 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义去分析.二、填空题11．为了解某班同学的100m 成绩，体育老师抽取了6名男生和5名女生进行了测试，结果绘制成茎叶图如图所示.记这6名男生，5名女生测试成绩的中位数分别为a ，b ，则a ，b 的大小关系为________.【答案】a b <【分析】根据茎叶图中的数据分别得出这6名男生，5名女生测试成绩的中位数，从而得出答案.【详解】根据茎叶图中的数据可得这6名男生测试成绩的中位数87a = 5名女生测试成绩的中位数88b = 所以a b < 故答案为：a b <12．若对任意x ∈R ，()cos sin x x ϕ-=恒成立，则常数ϕ的一个取值为________. 【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈的任何一个值均可） 【分析】由诱导公式三和诱导公式五可推导结果. 【详解】解：由诱导公式可知：当2ϕπ=时，有cos cos sin 22x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2π. 13．已知双曲线()2222:10,0a x y C a bb >->=的右焦点为F ，两条渐近线分别为1l 和2l ，若点F 关于1l 的对称点恰好在2l 上，则双曲线C 的离心率为________. 【答案】2 【分析】设12:,:b bl y x l y x a a==-，(c,0)F ，求出F 关于直线1l 的对称点代入2l ，联立方程消元即可求解. 【详解】由题意可知：12:,:b bl y x l y x a a==-，(c,0)F ，设F 关于直线1l 的对称点为00(,)P x y ，则00000001022by x a y bx c ay x cb a ⎧=-⎪⎪-⎪⨯=-⎨-⎪⎪++=⨯⎪⎩，消去00,x y ，得223b a =224c a ∴=，即2c a =，2ce a==. 故答案为：214．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：①这8个数列有可能均为等差数列； ②这8个数列中最多有3个等比数列；③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5； ④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列. 其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②③【分析】①. 由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中可判断；②. 由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9，从而可判断；③由2519283746⨯=+=+=+=+，可判断；④举反例即可判断. 【详解】①. 如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列，故①正确.②. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9.由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上. 所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故②正确③. 若三个数,,a b c 成等差数列，则2b a c =+.根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数b 相同. 则只能是5b = 由2519283746⨯=+=+=+=+则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为1,5,92,5,83,5,74,5,6；；；时满足条件;中心数为其他数时，不满足条件.故③正确.④. 若第一行为1,2,4；第一列为1,3,9，满足第一行、第一列均为等比数列.第二行为3,5,7，第二列为258，，，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故④不正确 故答案为：①②③三、双空题15．若()6x a +的展开式中4x 项的系数是60，则a 的值为________，常数项为________. 【答案】2± 64【分析】由()6x a +的展开式的通项公式616rrrr T a C x-+=，令2r，根据条件可得a 的值，令6r =可得常数项【详解】()6x a +的展开式的通项公式为66166rrr r r rr T C xa a C x --+==，0,1,2,6r =令2r，可得22436T a C x = 所以22261560a C a ==解得2a =±令6r =，可得()6676264T C =±=故答案为：2±， 64四、解答题16．如图，在三棱锥S ABC -中，侧面ASB ⊥底面ABC ，SA AB ⊥，AB BC ⊥，SA AB BC ==.（I ）求证：SB BC ⊥（II ）求直线SB 与AC 所成角的大小；（III ）若E 为棱SC 的中点，求二面角E AB C --的大小. 【答案】（1）证明见解析； （2）60； （3）45.【分析】（1）因为侧面ASB ⊥底面ABC 且AB BC ⊥，证得BC ⊥平面SAB ，进而证得SB BC ⊥；（2）以A 为原点，以,,AB AD AS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求得向量,SB AC ，结合向量的夹角公式，即可求解；（3）由（2）中的空间直角坐标系，分别求得平面EAB 和平面ABC 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）因为侧面ASB ⊥底面ABC 且AB BC ⊥， 又由平面ASB平面ABC AB =，且AB ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面SAB ，又由AB ⊂平面SAB ，所以SB BC ⊥.（2）过点C 作//CD AB ，过点D 作//AD BC ，CD 与AD 交于点O ，可得BA AD ⊥， 以A 为原点，以,,AB AD AS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设SA AB BC a ===，则(0,0,0),(0,0,),(,0,0),(,,0)A S a B a C a a ， 可得(,0,),(,,0)SB a a AC a a =-=，所以21cos ,222SB ACa SB AC a a SB AC⋅===⨯⋅，所以SB 与AC 所成的角为60.（3）由（2）中的空间直角坐标系，可得(,,),(,,),(,0,0)222222a a a a a aE AE AB a ==， 设平面EAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则11110222a a a n AE x y z n AB ax ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令11z =，可得10,1x y ==-，所以1(0,1,1)n =-， 又由平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)n =， 所以12121212cos ,22n n n n n n ⋅===⋅， 由图象可得二面角E AB C --为锐角，所以二面角为45.【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，，已知11a =，515S =. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列{}n b 唯一确定，求n b .条件①：21n an T =-； 条件②：2nn n a T b n=-； 条件③：1n n n T T a +=+. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）n a n = ，（2）答案见解析.【分析】(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的前n 项和可得5a ，从而得出公式，可得出答案.(2). 若选条件①可得21nn T =-，根据1111n n n T n b T t n -=⎧=⎨->⎩可得答案；若条件②可得21n n T b =-，由n b 与n T 的递推关系可得答案；若条件③可得1n n T T n +-=，由于1b 的值未知，故满足条件的数列{}n b 不唯一. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d . 由()1555521a a S +⨯==，则156aa +=，所以5165a a =-=所以514145a a d d =+=+=，所以1d =所以()1111n a a n d n n =+-=+-=，所以n a n = （2）若选条件①. 则2121n a nn T =-=- 当1n =时，111b T ==当2n ≥时，()11121212nn n n n n b T T ---=-=---= ，当1n =时也满足.所以选条件①使得数列{}n b 唯一确定，且12n n b -=若选条件②. 由221nn n n a T b b n=-=- 当1n =时，1121b b =-，得11b =当2n ≥时，由21n n T b =-，有1121n n T b --=- 两式相减可得：122n n n b b b -=-，即12n n b b -=所以{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12n n b -=所以选条件②使得数列{}n b 唯一确定，且12n n b -=若条件③. 由1n n n n T T a T n +=+=+，即1n n T T n +-= 当1n =时，2121T T b -== 当2n =时，3232T T b -==由11n n n T T b n ++-==，但1b 值未知，所以满足条件③的数列{}n b 不唯一.18．某工厂每天生产1000箱某型号口罩，每箱300个，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa 的为合格品，否则为不合格品，不可出厂销售.生产过程中随机抽取了20个口罩进行检测，其吸气阻力值（单位：pa ）如下表所示：（1）从样本中随机抽取1个口罩，求其为不合格品的概率； （2）从样本中随机抽取3个口罩，求其中含有不合格品的概率；（3）已知每个口罩的检测费用为0.05元.按有关规定，该型号口罩出厂前，工厂要对每一个口罩进行吸气阻力检测，为督促工厂执行此规定，每天生产的口罩出厂后，质检部门将随机抽取100箱，每箱抽3个口罩进行检测，每检测出一个不合格品，罚款500元.这个处罚标准是否合理？说明理由. 【答案】（1）110； （2）2795； （3）不合理，理由见解析. 【分析】（1）根据图表中的数据，得到合格品18个，不合格品有2个，即可求解； （2）由（1）知合格品18个，不合格品有2个，利用组合数公式，即可求得含有不合格品的概率；（3）根据题意，分别求得检测费用和100箱的罚钱总额，比较即可得到结论. 【详解】（1）由题意，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa 的为合格品，否则为不合格品，根据图表中的数据，可得合格品18个，不合格品有2个，所以从样本中随机抽取1个口罩，其不合格品的概率为12120110C P C ==. （2）由（1）知样本中合格品18个，不合格品有2个，所以从中随机抽取3个，其中含有不合格品的概率为12212182183202795C C C C P C +==. （3）由题意，总检测费用为10003000.0515000⨯⨯=元，每箱检测出不合格品的概率为110p =， 每箱检测出1个不合格品的概率为112311243()(1)10101000C -=，每箱检测出2个不合格品的概率为22131127()(1)10101000C -=，每箱检测出3个不合格品的概率为33311()101000C =，则每箱罚钱的期望为：()24327150010001500150100010001000E X =⨯+⨯+⨯=， 所以100箱罚钱的期望值为：150********⨯=元，所以罚钱的期望值与检测的费用相等，所以不合理，罚钱的金额应大于检测费用. 19．已知函数()22xf x e x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）是否存在()12,0,2x x ∈，使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直？说明理由.（参考数据： 2.72e ≈，ln 20.69≈） 【答案】（I ）1y x =+（II ）存在，理由见解析.【分析】（1）求在0x =处的函数值和导数值，点斜式求切线方程即可；（2）令()()'4x g x f x e x ==-，若存在两点()12,0,2x x ∈，()f x 在这两点处的切线互相垂直，则存在()12,0,2x x ∈，()()121g x g x ⋅=-.求()g x 在()0,2上的值域，即可判断是否存在.【详解】解：（1）()'4xf x e x =-，()'01f =，()01f =，则切线方程为：()110y x -=-，即1y x =+. （2）令()()'4xg x f x e x ==-，若存在()12,0,2x x ∈，使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直，则存在()12,0,2x x ∈，()()121g x g x ⋅=-.()'4x g x e =-，令()'0g x =，解得：()ln 40,2x =∈.所以()g x 在()0,ln 4上单调递减，在()ln 4,2上单调递增.()01g =，()ln444ln4 1.42g =-≈-，()2280.6016g e =-≈-故()[)1.42,1g x ∈-，所以存在()12,0,2x x ∈，使得()()121g x g x ⋅=-，例如()()1265,56g x g x =-=.【点睛】思路点睛：若存在在两点处的切线垂直，则存在在两点处的导数值乘积为-1，求导研究函数的值域，即可判断是否存在函数值相乘为-1.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过如下四个点中的三个点：()11,1P ，()20,1P ，3P ⎛- ⎝⎭，4P ⎛ ⎝⎭. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过原点的直线与椭图C 交于A ，B 两点（A ，B 不是精圆C 的顶点）.点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴交于点E .过点A 作x 轴的垂线，垂足为点M ，直线BM 与直线AE 相交于点N ，求证：AMN 为等腰三角形.【答案】（1）2214x y += （2）证明见解析.【分析】（I ）由222211134a b a b +>+判断出椭圆过点23,P P ，4P ，将其坐标代入椭圆方程可得答案.（II ）设()()1122,,,A x y D x y ，则()11,B x y --,设直线AD 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，由韦达定理求出直线BD 的斜率，得出直线BD 的方程，进而得出点E 坐标，从而得出直线AE 的方程,再求出BM 的方程，然后联立可得点N 的坐标，从而可证.【详解】（I ）由222211134a b a b+>+，所以()11,1P 与3P 和4P 不可能同时再椭圆上.又31,2P ⎛- ⎝⎭，41,2P ⎛ ⎝⎭两点关于y 轴对称，所以椭圆过点23,P P ，4P由椭圆过()20,1P ，则1b = 椭圆过3P ，4P ，则2221313144a b a +=+=，解得2a = 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=（II ）设()()1122,,,A x y D x y ，则()11,B x y -- 设直线AD 的方程为y kx m =+，则0k ≠，且111AB y k x k==- 由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()2221+48440k x kmx m ++-= 所以122814km x x k -+=+，()212122282221414k m my y k x x m m k k-+=++=+=++ 所以直线BD 的斜率为121121144BD y y y k x x k x +==-=+则直线BD 的方程为：()11114y y y x x x +=+，令0y =，可得13E x x =，即点()13,0E x 所以11111032AE y y k x x x -==--，则直线AE 的方程为：()11132yy x x x =--又点()1,0M x ，所以()()1111102BM y yk x x x --==--所以直线BM 的方程为: ()1112y y x x x =- 由()()111111322y y x x x y y x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得12x x =，则12y y =，即112,2y N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 设线段AM 的中点为H ，则11,2y H x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以//NH x 轴，又AM x ⊥轴，即NH AM ⊥,且H 为AM 中点. 所以在AMN 中，AN NM =，即AMN 为等腰三角形.【点睛】关键点睛：本题考查根据点在椭圆上求椭圆方程和考查直线与椭圆位置关系的应用，解答本题的关键是设直线AD 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，由韦达定理求出114BD y k x =，得出直线BD 的方程()11114y y y x x x +=+，进而得出点()13,0E x ，从而得出直线AE 的方程,再求出BM 的方程，然后联立可得点112,2y N x ⎛⎫⎪⎝⎭，属于难题 21．已知{}1,2,,S n =，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（I ）若5n =，{}1,2,5A =，12A A =∅，求T ；（II ）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅？说明理由；（III ）若5A =，对于任意的A ，都存在T ，使得12A A =∅，求n 的最小值.【答案】（I ）{}1,3T =，或{}2,4T =，或{}3,5T =；（II ）不一定存在，见解析；（III ）11.【分析】（I ）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，12t t ，相差2，由此可求得T ；（II ）当{}1,2,57A =，时，211514523716725752-=-=-=-=-=-=，，，，，，则12t t ，相差不可能1，2，3，4，5，6，可得结论.（III ）因为2510C =，故集合A 中的元素的差的绝对值至多有10种，可得n 的最小值.【详解】（I ）若12A A =∅，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则1212++t a t b A A =≠∅，，又5n =，{}1,2,5A =，211523514-=-=-=，，，则12t t ，相差2， 所以{}1,3T =，或{}2,4T =，或{}3,5T =； （II ）不一定存在，当{}1,2,57A =，时，211514523716725752-=-=-=-=-=-=，，，，，，则12t t ，相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}121234567T t t =⊂，，，，，，，矛盾，故不都存在T . （III ）因为2510C =，故集合A 中的元素的差的绝对值至多有10种，当12n ≥时，结论都成立；当11n =时，不存在A S ⊂，5A =，使得A 中任意两个元素差不同，所以当11n =时，结论成立；当10n =时，若{}1,3,6910A =，，，则不存在T ，所以n 的最小值为11. 【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义，解决此类问题的关键在于准确理解集合的新定义，紧扣定义解决问题.。

中国人民大学附属中学2021届高三第三次模拟试题数学（文）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合{}1Px x =>，{}20Q x x x =->，则下列结论正确的是A ．P Q =B ．P Q R =C ．P QD ．Q P2.设a R ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的是A ．cos 2y x =B ．2log y x =C ．31y x =+D ．2x xe e y --=4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为A ．1321 B ．2113C ．813D ．138 5.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A ．13+B ．122+是 否开始输出结束侧视图主视图111C ．23+D ．226.函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为A ．13,,44k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．132,2,44k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．13,,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．132,2,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭7.已知4枝百合与2枝玫瑰的价格之和大于16元，而3枝百合与3枝玫瑰的价格之和小于15元，那么2枝百合和3枝玫瑰的价格比较结果是 A.2枝百合的价格高B.3枝玫瑰的价格高C.价格相同D.不确定8.已知某学习小组有四位同学甲、乙、丙、丁，再某天的某个时段，他们每人各复习一门课程，一人在复习数学，一人在复习语文，一人在复习历史，另一人在复习地理。

若下面4个说法都是正确的；甲不在复习数学，也不在复习语文； 乙不在复习地理，也不在复习数学； 丙不在复习历史，也不在复习地理； 丁不在复习语文，也不在复习数学 根据以上信息可以判断 A.甲在复习地理B.乙在复习历史C.丙在复习语文D.丁在复习地理二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.9.若()()123i i a bi ++-=+（,a b R ∈，i 是虚数单位），则a =______；b =________10.向量,3OA AB OA ⊥=,则OA OB ⋅=__________11.抛物线()220y px p =>上的点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =________12.若直线3450x y -+=与圆()2220x y rr +=>相交于,A B 两点，且120AOB ∠=︒（O xy5414O 1为坐标原点），则r =______13.将函数()sin f x x =的图像上所有的点沿向量()1,3平移，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数为__________ 14.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是______________（写出所有正确命题的序号） 直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =；直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+ 直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x = 直线:1l y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线:ln C y x =三、解答题：本题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足1211,3b b ==，11n n n n a b b nb +++=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项的和.16.（本小题满分13分）已知函数()22sin 22sin ,6f x x x x R π⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）记ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,1,32B f b c ⎛⎫===⎪⎝⎭a 的值17. （本小题满分13分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元） 0 1000 2000 3000 4000 车辆数（辆） 500130100150120（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.18.（本小题满分14分）在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形，D E 、分别是线段BC ，1CC 的中点。