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例3 区域D是由抛物线y=x2及直线y=x所围，随机变量 (X,Y)服从区域D上的均匀分布。试求随机变量X,Y 的联合密度函数和X,Y的边缘密度函数. y 解: 区域D的面积
A dx dy
0 x2
1
x
1 1 2 1 3 x x 3 0 6 2
1
y=x
D
于是随机变量(X,Y)的联合密度函数
§3 .2
边缘分布
边缘分布函数
边缘分布律
边缘概率密度
1பைடு நூலகம்
边缘分布
一、边缘分布函数
1. 定义
称二维随机变量(X,Y)关于分量X(Y)的分布为二元
随机变量(X,Y)关于X（关于Y）的边缘分布 边缘分布也称为边沿分布或边际分布．
2
边缘分布
2.已知联合分布函数求边缘分布函数
设二维随机变量X,Y的联合分布函数为F(x,y),则 分量X的分布函数为 FX(x)= P{X≤x} = P{X≤x,Y<+∞} = F(x,+∞)
Y X x1
y1 p11
p21
y2
p12 p22
… … … … …
yj
p1 j
x2
p2 j
… … … … …
pi
p1
p2
xi
pi1
pi 2
pij
pi
p j
p1
p2
p j
8
边缘分布
例2
从1,2,3,4这四个数中随机取出一个，记为X，
再从1到X中随机地取出一个数，记为Y，试求(X,Y）
所以，X 的边缘密度函数为
0 f X x x xe x0 x0
x
16
边缘分布
(3) 当y>0 时，
fY y f x， y dx
xe y f x, y 0
y
0 x y , 其它.
yx
1 2 y xe dx y e 2 0
6 f x， y 0
y=x2 o 1 随机变量(X,Y) 服从区域D上的 均匀分布
x， y D x， y D
12
边缘分布
(2)随机变量X的边缘密度函数为 当 0<x<1 时,
f X x f x， y dy
6 f x， y 0
同理,分量Y的分布函数为
FY(y)= P{Y≤y} = P{X <+∞ ,Y≤y} = F(+∞,y)
3
边缘分布
例1 设二维随机变量X,Y的联合分布函数为
x y F x， y A B arctan C arctan 2 3 x ， y
x
f ( x, y )dxdy 1
15
边缘分布
(2) 当x>0 时，
f X x f x， y dy
x
xe y f x, y 0
y
0 x y , 其它.
yx
xe y dy xe x
1 y arctan 2 3
y ,
5
边缘分布
二、已知联合分布律求边缘分布律
设离散型随机变量X, Y的联合分布律为
P{Xi=xi,Yj=yj}= pij
j 1 i 1
(i,j=1,2,…) 二维随机变量(X,Y)
则 称 pij ( i 1,2,) ( pij ( j 1,2,) )
x， y D x， y D
y y=x y=x2 o
1 x
6dy 6 x 6 x 2
x
2
x
所以,
6 x x 2 f X x 0
0 x 1, 其它.
13
边缘分布
同理,随机变量Y的边缘密度函数为 当 0<y<1 时,
fY y f x， y dx
6 f x， y 0
x， y D x， y D
6dx 6 y 6 y
y
y
y
所以,
6 f X x
yy 0
xy
o
0 y 1, 其它.
x y
1 x
参见P66 例题2
14
边缘分布
例4 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为
e
2 2 1
x
y
2 2
fY y
1 2 2
y 2 2
e
2 2 2
这表明，X ~ N 1，
2 1
,
Y ~ N 2，
18
边缘分布
结论1 二维正态分布的边缘分布是一维正态分布. 结论2 上述两个边缘分布中的参数与二维正态分布 即:若(X,Y)~N(μ 1, μ 2, σ12,σ 22,ρ) ,则有
y
y
所以，Y 的边缘密度函数为
0 f X x 1 2 y 2 y e y0 y0
x
17
边缘分布
说明
设二维连续型随机变量(X,Y)服从参数为
μ 1, μ 2, σ12,σ 22,ρ的二维正态分布。 以证明 可
X与Y的边缘密度函数为
fX x
1 2 1
x 1 2
说明：边缘分布可由联合分布唯一确定，反之不然， 即：不能由边缘分布确定联合分布。
19
边缘分布
作业 P85 5，9，10（1）
20
cxe y f x, y 0 0 x y , 其它.
y
试求: (1)常数c ; (2)X与Y的边缘密度函数. 解: (1)由密度函数的性质,得
yx
1
c 2 y 0 y e dy c 2
所以, c=1. 略讲
y y cxe dxdy 0 0
pi
1 4 1 4 1 4 1 4
参见P65 例题1
10
边缘分布
三、已知联合密度函数求边缘密度函数
二维连续型随机变量X,Y的联合密度函数为f(x,y), 求随机变量X的边缘密度函数为fX(x). 由 FX(x)= P{X≤x} =F (x,+∞)
f X x f x， y dy
的参数ρ无关. 2 ) , 2 X ~ N ( 1 , 1 Y ~ N ( 2 , 2 ) . 结论3 若(X1,Y1)~N(μ 1, μ 2, σ12,σ 22,ρ1) ,
(X2,Y2)~N(μ 1, μ 2, σ12,σ 22,ρ2) ,(其中ρ1≠ ρ2)
则(X1,Y1)与(X2,Y2) 不同分布,但X1与 X2的分布相同, Y1与 Y2的分布相同.
f u， y dy du
x
同理,由 FY(y)= P{Y≤y} =F (+∞,
ff x， y dx du udx y) y fY x，
y
11
边缘分布
X(Y)的边缘分布律.
j 1
记为: pi
( p j )
i 1
既有: pi pij ( i 1,2,) ( p j pij ( j 1,2,) )
6
边缘分布
离散型随机变量的边缘分布函数
设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
P{Xi=xi,Yj=yj}=pij (i,j=1,2,…) 利用几何图形进行解释
A 1
试求 (1)常数A,B,C;
,B 2
,C 2 2
4
边缘分布
1 x y F ( x , y ) 2 arctan arctan 2 2 3 2 x ， y
(2) X的边缘分布函数FX(x)= F(x,+∞)
其边缘分布函数记为:FX(x) 和 FY(y) ，则有
FX x P X x , Y pij
x i x j 1
FY y P X ,Y y pij
y j y i 1
7
边缘分布
X 以及Y 的边缘分布律也可以由 下表表示
1 x y lim 2 arctan 同理,Y的边缘分布函数FY(y)= F(+∞,y)arctan y 2 2 3 1 x 2 y 1 2 xarctan arctan lim x arctan x , 2 2 2 3 2 2
(2)X和Y的边缘分布函数。 F(+∞,+∞)=1; 解:(1)由分布函数的性质有, F(x,-∞)=0; F(-∞, y)=0; 1 A B C
2 2 x 0 A B arctan C 2 2 y 0 A C arctan B 3 2
的联合分布律与X和Y的边缘分布律. 解: X和Y的可能取值是1,2,3,4;且X≥Y 当i<j时, pij=P{X=xi,Y=yj}=0; 由乘法公式有 当i≥j时, pij = P{X=xi,Y=yj}
P X i PY j X i
1 1 1 4 i 4i
9
边缘分布
再由 pi pij 和p j pij
