答案及评分标准
一，
填空（3分每空，共15分）
1．输出变量 2.变量的个数最少 3.⎥⎦⎤
⎢⎣⎡2001 4. 其状态空间最小实现为
u x x ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100001100010 ； u x y 2102
121
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡= 5. 0,021==x x
二，选择题（3分每题，共12分） 1.B 2.D 3.B 4.C
三，判断题（3分每题，共12分）
1.
2. √
3.
4. √
四，简答题（共23分）
1.（5分） 解 判定系统112
21223x x x x x x =-+⎧⎨=--⎩在原点的稳定性。
解 21
1
4523
I A λλλλλ+--=
=+++，两个特征根均具有负实部，
（3分） 系统大范围一致渐近稳定。（2分） 无大范围扣一分，无一致渐近扣一分。
2. （5分）11b ab b -⎛⎫
⎪--⎝⎭
能控性矩阵为 （2分）
1 rank 2
11det 1b ab b b ab b -⎛⎫
= ⎪--⎝⎭
-⎛⎫⇔ ⎪
--⎝⎭
210b ab =-+-≠ （5分）
3.（8分）在零初始条件下进行拉式变换得：
)()(2)()()(2)(3)(223S U S SU S U S S Y S SY S Y S S Y S ++=+++
1
231
2)()()(232+++++=
=∴S S S S S S U S Y S G （4分）
[]X
Y U X X 121100321100010.
=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=∴ （8分）
4.(5分)解：
[]B C
S G A SI --=1
现代控制理论试卷 1
一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打×
(1)用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。（）
(2)线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的能观性不变。（）
(3)若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。（）
(4)状态反馈不改变被控系统的能控性和能观测性。（）
(5)通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时能控和能观的。（）
二、（12分）已知系统
1001
010,(0)0
0121
x x x
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
==
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，求()
x t.
三、(12分) 考虑由下式确定的系统：
2
s+2
(s)=
43
W
s s
++
，求其状态空间实现的能
控标准型和对角线标准型。
四、（9分）已知系统[]
210
020,011
003
x x y
⎡⎤
⎢⎥
==
⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
，判定该系统是否完全能观？
五、(17分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性.
[]x
y u x x 11103211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
六、（17分）已知子系统
1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
求出串联后系统的状态模型和传递函数.
七、（15分）确定使系统2001020240021a x x u b -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
《现代控制理论》第一章习题解答
1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为：
x
Ax Bu y Cx Du
=+=+
线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵D A ，B ，C 和
中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，
而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。
D 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下:
传递函数模型（经典控制理论）
状态空间模型（现代控制理论） 仅适用于线性定常系统 适用于线性、非线性和时变系统
用于系统的外部描述 用于系统的内部描述
基于频域分析
基于时域分析
1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？
答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于阶传递函数
n 121210
1110
()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a −−−−−−++++=+++++""，
分别有
[]01
21012
1010
0000100000101n n n x
x u
a a a a y
b b b b x du
−−−⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥=+⎪⎢
⎥⎨⎢⎥⎪
⎢⎥⎪−−−−⎣⎦⎪=+⎪⎩"" ###%##"""⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⑴ 能控标准型：
现代控制理论习题
《现代控制理论》练习题
判断题
1. 由⼀个状态空间模型可以确定惟⼀⼀个传递函数。
3. 对⼀个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也⼀定是输出能控的。
4. 对系统Ax x
= ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是⼀致的。
5. 对⼀个系统，只能选取⼀组状态变量；
6. 由状态转移矩阵可以决定系统状态⽅程的系统矩阵，进⽽决定系统的动态特性；
7. 状态反馈不改变系统的能控性。
8. 若传递函数B A sI C s G 1)()(--=存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的；
9. 若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是⼤范围渐近稳定的；
10. 相⽐于经典控制理论，现代控制理论的⼀个显著优点是可以⽤时域法直接进⾏系统的分析和设计。
11. 传递函数的状态空间实现不唯⼀的⼀个主要原因是状态变量选取不唯⼀。
12. 状态变量是⽤于完全描述系统动态⾏为的⼀组变量，因此都是具有物理意义。
13. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。
14. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。
15. ⼀个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置⽆关。
16. 若⼀线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意⼀个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。
17. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。
18. 如果⼀个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。
现代控制理论试题与答案
现代控制理论
1.经典-现代控制区别:
经典控制理论中,对⼀个线性定常系统,可⽤常微分⽅程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输⼊联系起来;现代控制理论⽤状态空间法分析系统,系统的动态特性⽤状态变量构成的⼀阶微分⽅程组描述,不再局限于输⼊量,输出量,误差量,为提⾼系统性能提供了有⼒的⼯具.可以应⽤于⾮线性,时变系统,多输⼊-多输出系统以及随机过程.
2.实现-描述
由描述系统输⼊-输出动态关系的运动⽅程式或传递函数,建⽴系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是⾮唯⼀的.
3.对偶原理
系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置
4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观⼦系统为渐近稳定
第⼀章控制系统的状态空间表达式
1.状态⽅程:由系统状态变量构成的⼀阶微分⽅程组
2.输出⽅程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式
3.状态空间表达式:状态⽅程和输出⽅程总合,构成对⼀个系统完整动态描述
4.友矩阵:主对⾓线上⽅元素均为1:最后⼀⾏元素可取任意值;其余元素均为0
5.⾮奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1A Tz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意⾮奇异阵(变换矩阵),空间表达式⾮唯⼀
6.同⼀系统,经⾮奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量
、〔10分,每小题1分〕试判断以下结论的正确性,若结论是正确的, 一
〔√〕1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数.
〔√〕2. 若系统的传递函数不存在零极点对消,则其任意的一个实现均为最小实现.
〔×〕 3. 对一个给定的状态空间模型,若它是状态能控的,则也一定是输出能控的.
〔√〕4. 对线性定常系统x = Ax ,其Lyapunov意义下的渐近稳定性和
矩阵A的特征值都具有负实部是一致的.
〔√〕5.一个不稳定的系统,若其状态彻底能控,则一定可以通过状态
反馈使其稳定.
〔×〕 6. 对一个系统,只能选取一组状态变量；
〔√〕7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性,与系统的输
入和输出无关；
〔×〕 8. 若传递函数G(s) = C(sI 一A)一1 B 存在零极相消,则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；
〔×〕9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的,则该
系统在任意平衡状态处都是稳定的；
〔×〕 10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性.
二、已知下图电路,以电源电压 u为输入量,求以电感中的电流和
电容中的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻 R2 上的电压为输
出量的输出方程.〔10 分〕
解：〔1〕由电路原理得：
二．〔10 分〕图为 R-L-C 电路,设u 为控制量,电感L 上的支路电流和 电容 C 上的电压x 为状态变量,电容 C 上的电压x 为输出量,试求： 网
2 2
络的状态方程和输出方程,并绘制状态变量图.
解：此电路没有纯电容回路,也没有纯电感电路,因有两个储能元件, 故有独立变量.
第一章习题答案
1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
1
1
K s K K p +s
K s K p 1
+s J 11s
K n 2
2s J K b -
++
-
+
-
)
(s θ)
(s U 图1-27系统方块结构图
解：系统的模拟结构图如下：
)
(s U )
(s θ--
-
+
++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图
1
K p
K K 1p
K K 1++
+p
K n K ⎰
⎰
⎰1
1J ⎰
2
J K b ⎰
⎰
-
1
x 2
x 3
x 4
x 5x 6x
系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p
p p p n p b
161116613153
461
514131
3322211
+--
=+-==++-
-
==
=∙∙
∙
∙∙∙
阿
令y s =)(θ，则1x y =
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
[]⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-----
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙
∙65432116543211111111
2654321000001000000
0000
0001001000000
000001
0x x x x x x y u
K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p
《现代控制理论参考答案》
第一章答案
1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图
解：系统的模拟结构图如下：
图1-30双输入--双输出系统模拟结构图
系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p
p p p n p b
161116613153
461
514131
3322211
+--
=+-==++-
-
==
=••
•
••
•
令y s =)(θ，则1x y =
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
[]⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-----
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••••
•65432116543211111111
2654321000001000000
00000001001000000
000001
0x x x x x x y u
K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p
p n
p
b
1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U
图1-28 电路图
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =
现代控制理论
1.经典-现代控制区别:
经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.
2.实现-描述
由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.
3.对偶原理
系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置
4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定
第一章控制系统的状态空间表达式
1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组
2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式
3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述
4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0
5.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一
6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量
地大《现代控制理论》在线作业一.FB20E2C8-F332
地大《现代控制理论》在线作业一
线性定常系统的特征值具有共轭复根，则经非奇异线性变换后，系统可转化为（）规范型。
A:对角
B:能控
C:共轭
D:约旦
答案：C
对于系统dx/dt=-x/(x+1),下列说法正确的是（）。
A:平衡点不是一致稳定的
B:平衡点不是渐近稳定的
C:平衡点不是一致渐近稳定的
D:平衡点是一直渐近稳定的
答案：C
线性变换能否改变系统的特征多项式和极点（）？
A:会改变
B:不会改变
C:二者无关
D:无法判断
答案：B
零输入响应渐近趋近原点的条件是（）。
A:∣λ1∣>1
B:∣λ1∣≤1
C:∣λ1∣≥1
D:∣λ1∣<1
答案：D
基于能量的稳定性理论是由（）构建的。
A:Lyapunov
B:Kalman
C:Routh
D:Nyquist
答案：A
存在共轭特征值的情况下，系统有振荡，特征值虚部越（），振荡越（）。A:小、缓慢
第一章习题：
1－1试求图1.27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1.27 系统结构图
1－2有电路如图1.28所示。以电压u （t ）为输入量，以求电感内的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2上的电压作为输出量的输出方程。
图1.28 电路图
1-3有机械系统如图1.29所示，M 1和M 2分别受外力f 1和f 2的作用。求以M 1和M 2的运动速度为输出的状态空间表达式。
图1.29 机械系统
1-6已知系统传递函数： （1）)
3)(1()1(10)(++-=
s s s s s W
（2）2
)
3)(2()1(6)(+++=s s s s s W
试求出系统的约当标准型的实现，并画出相应的模拟结构图。 1-7给定下列状态空间表达式：
)⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛3
2
13
2
1
.3.21.1,0,0210311032010x x x y u x x x x x x
（1） 画出其模拟结构图。 （2） 求系统的传递函数。 1-8求下列矩阵的特征矢量： （1）
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛---=21
12A
（2）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=5610A
（3）
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=67
12203
010A （4）⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=54
4101
121A
第二章习题：
2-3 已知矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-=45
2100
010
A 试用拉氏反变换法求At e 。（与例2-3，例2-7的结果验证）
2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。 （1）⎥⎦
现代控制理论1-8三习题库
信息工程学院现代控制理论课程习题清单
正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。
重点容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。要求熟练掌握通过
传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。
预习题
1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别？
2.状态、状态空间的概念？
3.状态方程规形式有何特点？
4.状态变量和状态矢量的定义？
5.怎样建立状态空间模型？
6.怎样从状态空间表达式求传递函数？
复习题
1.怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式
2.若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？
3.求下列矩阵的特征矢量
-
-
=
2
5
10
2
2
1-
1
A
4.（判断）状态变量的选取具有非惟一性。
5.（判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。
6.（判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输
出关系的系统，表达为状态空间描述。
7.（判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定
常系统中应用，也可以在时变系统中应用.
8.如果矩阵A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为
模态阵。
9.动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集
《现代控制理论参考答案》
第一章答案
1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图
解：系统的模拟结构图如下：
图1-30双输入--双输出系统模拟结构图
系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p
p p p n p b
161116613153
461
514131
3322211
+--
=+-==++-
-
==
=••
•
••
•
令y s =)(θ，则1x y =
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
[]⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-----
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••••
•65432116543211111111
2654321000001000000
00000001001000000
000001
0x x x x x x y u
K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p
p n
p
b
1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U
图1-28 电路图
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =
现代控制理论试题B 卷及答案
一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 12。…..
23
3118x x x x y x ==--=010080x ⎡⎢=⎢⎢-⎣分） 00⎣(5分)
解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，
时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完
全能控的，简称能控。…..….…….（3分）
2.
[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎤⎡⎤⎡110C 1分）
0140x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=-818
1881C U ……..…………..…….…….（1分） 1118
8P ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦……..………….…..…….…….（1分） ⎦
⎤⎢⎣⎡=43412P ……..………….…...…….…….（1分）
1314881148P -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦
