一次函数与一次方程

一次函数与一次函数方程

一次函数是数学中的基本概念之一，它的研究在数学的初等代数中

占据重要地位。一次函数方程则是由一次函数构成的方程，它们在数

学建模、实际问题解决以及经济学等领域都有广泛的应用。本文将从

理论与实际应用两个方面来介绍一次函数以及一次函数方程的基本概

念和性质。

一、一次函数的定义与性质

一次函数是指函数的自变量的最高次数为1的函数，通常形式为

f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不等于0。一次函数的定义域是

实数集，值域也是实数集。一次函数通过两个点，可以确定一条直线，并且函数的图像是一条直线。直线的斜率体现了一次函数的性质，斜

率为a，表示直线的倾斜程度，斜率为正表示直线递增，斜率为负表示

直线递减。

二、一次函数方程的解的类型

一次函数方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知的实数。

一次函数方程的解可以分为三种情况：有唯一解、无解、无限多解。

当a不等于0时，方程有唯一解x = -b/a；当a等于0且b不等于0时，方程无解；当a等于0且b等于0时，方程有无限多解。

三、一次函数与实际应用

1. 经济学应用：一次函数可以用来描述供求关系、成本与产量关系、价格与销量关系等经济学中的基本问题。例如，通过一次函数可以建

模分析某个产品的销售价格与销量之间的关系，进而确定最大利润时

的价格和销量。

2. 物理学应用：一次函数可以应用于运动学中描述物体的运动情况。例如，通过一次函数可以建立起加速度、速度和位移之间的关系，从

而对物体的运动进行分析和预测。

3. 工程应用：一次函数可以应用于工程学中的线性规划问题。例如，在工程实践中，通过一次函数可以描述材料的成本与产量之间的关系，从而确定成本最小或产量最大的最优方案。

一次函数与一元一次方程

知识库

1．解关于x的方程kx+b=0能够转化为：函数y=kx+b的函数值为0，•求相应的自变量的值．从图象上看，相当于直线y=kx+b，确定它与x•轴的交点的横坐标．

2．在直角坐标系中，以方程kx-y+b=0•的解为坐标的点组成的图象确实是一次函数y=kx+b的图象．

魔法师

例：假设直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？

分析：〔1〕一次函数的图象与两条坐标轴围成的图形是直角三角形，•两条直角边的长分不是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值．〔2〕确定图象与两条坐标轴的交点坐标能够通过令x=0和y=0解方程求得．

解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分不交于点A、B．

令y=0得x=-6

k

；令x=0得y=6．

∴A〔-6

k

，0〕、B〔0，6〕

∴OA=|6

k

|、OA=│6│=6

∴S=1

2

OA·OB=

1

2

|-

6

k

|×6=24

∴│k│= 4

3

∴k=±

4

3

演兵场

☆我能选

1．直线y=3x+9与x轴的交点是〔〕

A．〔0，-3〕 B．〔-3，0〕 C．〔0，3〕 D．〔0，-3〕2．直线y=kx+3与x轴的交点是〔1，0〕，那么k的值是〔〕

A．3 B．2 C．-2 D．-3

3．直线y=kx+b与直线y=3x-1交于y轴同一点，那么b的值是〔〕

A．1 B．-1 C．1

3

D．-

1

3

4．直线AB∥x轴，且点A的坐标是〔-1，1〕，那么直线y=x与直线AB的交点是〔〕

A．〔1，1〕 B．〔-1，-1〕 C．〔1，-1〕 D．〔-1，1〕☆我能填

学案

校区年级学科八年级数学班级珍珠教师曹老师

例1如图，已知直线y=ax-b,则关于x 的方程ax-1=b 的解x=.

练习

1 .下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x-y=2的解的是()

A

．B ．C ．D ．

2 .已知关于x 的方程ax-5=7的解为x=1,则一次函数y=ax-12与x 轴交点的坐标为

例2.如图，函数y=ax+4和y=bx的图象相交于点A,则不等式ax+4<0的解集为,不等式bxNax+4的解集为.

练习

1.如图，函数y=kx+b（kW0）的图象经过点B（2,0）,与函数y=2x的图象交于点A,则不等式0<kx+b<2x的解集为（）

A.x>0

B.0<x<1

C.1<x<2

D.x>2

2.（易错）若函数y=kx-b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x-3）-b>0的解集为（）

A.x<2

B.x>2

C.x<5

D.x>5

例如图，已知函数和的图象交于点则根据图象可得，关于、的二元一次方程组的解是（A．B．C．D．

练习

1.已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5,-8）,则方程组的解是.

2.已知直线丫=2乂与丫=-乂+匕的交点（1,a）,试确定方程组的解为,b=.

3.如图所示，函数y=ax+b和y=|x|的图象相交于（-1,1）,（2,2）两点.当y1>y2时，x的取值范围是

随堂训练

一.选择题

1.一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象如图所示，自变量为x时对应的函数值分别为y1,y

一次函数与方程

一次函数（也称为一元线性函数）是指函数的最高次数为一次的函数，通常以y=ax+b的形式表示，其中a和b为实数常数，且a不能为零。一次函数在数学中有着广泛的应用，并且与方程有着密切的联系。本文将探讨一次函数与方程的关系，以及它们在数学问题中的应用。

一. 一次函数的定义和特性

一次函数是一种形式简单、易于理解的函数。一次函数的定义域是

全体实数，值域也是全体实数。具体来说，一次函数的图像呈现直线，斜率为a，截距为b。当a大于零时，直线呈上升趋势；当a小于零时，直线呈下降趋势。

二. 一次方程的定义和解法

一次方程是一个未知数的一次多项式等于一个已知数的等式。一次

方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b为已知数，且a不能为零。解

一次方程的基本方法是移项和合并同类项。通过将未知数的系数相消，最终求得未知数的值。

三. 一次函数与方程的关系

一次函数与方程有着紧密的联系。一次函数的图像实际上是一次方

程的图解表示。通过一次函数的图像，我们可以确定一次方程的解的

个数和范围。具体而言，当一次函数的斜率为零时，即a=0，解是不存在的；当a大于零时，方程有无穷多个解；当a小于零时，方程也有无

穷多个解。这种对应关系使得我们可以通过一次函数的性质来分析和解决一次方程相关的问题。

四. 一次函数与方程的应用

一次函数与方程在数学和现实生活中都有广泛的应用。在数学中，一次函数和方程是解析几何、代数和微积分等课程的基础。在实际问题中，一次函数和方程可以用于描述和解决各种线性变化的情况。例如，在经济学中，一次函数可以用来描述成本、收入和利润之间的关系；在物理学中，一次函数可以用来描述速度、加速度和位移之间的关系。通过运用一次函数和方程，我们可以建立相应的模型，分析和预测实际问题中的各种情况。

一次函数与方程（组）、不等式的关系

1、一次函数与一元一次方程

直线与轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。

求直线与轴交点的横坐标，可令得方程，解得方程，是直线

与轴交点的横坐标。反之，由函数的图像也能求出对应的一元一次

方程的解。

2、一次函数与二元一次方程组

一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元

一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上。

3、一次函数与一元一次不等式

①、使得一次函数的函数值的自变量的取值范围，即求的解集；反之，求的解集，即求一次函数的函数值的自变量的取值范围。（此处常用图解法求一元一次不等式的解集）

②、用图像法求一元一次不等式（例子）的解集步骤：

、设：设，则求，即求一次函数的函数值的自变量的取值范围。、作：根据五点作图法，作出一次函数的图像

、求：求出一次函数与轴的交点坐标

、解：根据直角坐标系特点，轴上方，恒成立；反之，轴下方，恒成立，故求，即看图

《一次函数与方程的关系》教学设计

宁晋县第三中学平焕伟

一、教材分析

本节课是人教版数学教材八年级下册第十九章第二节六课时，函数和方程是初中数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。函数和方程联系密切。通过函数图像，可以直观的表示方程、方程组的解的含义。研究函数和方程之间的联系可以深化相关知识的理解，优化知识结构。建立这种联系的关键是建立一次函数与二元一次方程的联系。

二、学生分析

从心理特征来说，初二阶段学生观察力、记忆力、想象力进一步发展，但这一阶段学生好动、注意力易分散，教学中针对这一特点，计划采用直观生动形象的多媒体辅助教学，从而激发学生的兴趣。

从认知状况来说，学生已经学习过一次函数和方程方程组，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但没有建立这些知识之间的有效联系，不知道方程、方程组模型与函数模型的联系。

三、教学目标

1.知识与技能：认识一次函数与方程方程组之间的联系，会用函

数的观点解释方程的解的意义。

2.过程与方法:经历用函数图像表示方程的过程,进一步体会数形

结合思想。

3.情感态度与价值观:通过具体情境的探索、交流等数学活动培养

学生积极参与、勤于思考的好习惯和团结合作意识。

四、教学重点和难点

为了让学生对学习内容的领悟更深，掌握的程度更彻底，我根据学生的认知水平、认知能力以及教材的特点，确定以下重、难点：

重点：会用函数的观点解释方程的解的意义。

难点：把一次函数图像上点的坐标与方程、方程组的解建立联系。

五、教学方法

根据新课改的理念，使数学教育面向全体学生，人人在学习中都能有所收获，我将采用引导发现法、小组讨论法，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索，以调动学生求知欲，培养探索能力和创新意识。借助多媒体辅助教学，用数形结合的思想方法，从而突破难点。

一次函数与一元一次方程之间的关系

1. 概述

一次函数与一元一次方程是初等数学中的重要概念，它们之间存在着密切的通联。通过研究一次函数与一元一次方程之间的关系，可以帮助我们更好地理解数学概念，提升解决实际问题的能力。

2. 一次函数的定义

一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数且a不等于零。一次函数的图像是一条直线，因此也称为线性函数。一次函数的特点是经过点（0，b），斜率为a。

3. 一元一次方程的定义

一元一次方程是指形式为ax+b=0的方程，其中a和b是已知常数且a不等于零。一元一次方程的解是使得等式成立的未知数的值。

4. 一次函数与一元一次方程的关系

一次函数与一元一次方程之间有着密切的通联。通过一次函数的表达式y=ax+b，我们可以得到一元一次方程ax+b=0。而通过一元一次方程ax+b=0，我们也可以得到一次函数的表达式y=ax+b。

5. 一次函数的斜率与一元一次方程的解

一次函数的斜率a代表了直线的倾斜程度，而一元一次方程的解x

就是使得方程成立的值。通过一次函数的斜率a，我们可以判断直线的走势，而通过一元一次方程的解x，我们可以得到使得等式成立的值。

6. 一次函数的图像与一元一次方程的解

一次函数的图像是一条直线，而一元一次方程的解对应了直线与x 轴的交点。通过一次函数的图像，我们可以直观地看出直线与x轴的交点坐标，而通过一元一次方程的解，我们可以计算出交点的具体数值。

7. 解一元一次方程画一次函数的图像

通过解一元一次方程来画一次函数的图像是一种常见的方法。首先根据一元一次方程ax+b=0，求出未知数x的值，然后将这些值代入一次函数的表达式y=ax+b，得到对应的y值，最后用这些点画出一次函数的图像。

一元一次方程、一次函数、二元一次方程组等之间的关系

1. 一元一次方程与一次函数的关系：

例如：

（1）方程320x +=的解为x= ，一次函数32y x =+与x 轴的交点坐标 。

（2）已知一次函数(0)y kx b k =+≠图像与x 轴的交点坐标为（4,0），那么方程0kx b +=的解为x= 。

2. 一元一次不等式与一次函数的关系：

(0)0(0)y kx b k kx b =+≠⎫⎬+><⎭

解一元一次不等式可以看作：当一次函数值y 大（小）与0时，求自变量x 的取值范围。

例如：

（1）已知3y x b =+与x 轴的交点为（4,0），求不等式30x b +≥的解集 。

（2）已知-y x b =+与x 轴的交点坐标为（4,0），求不等式-0x b +≤的解集 。

（3）已知0kx b +>的解集为x>4，则一次函数与x 轴的交点坐标为 ，k 0（大小关系）。

3. 一次函数与二元一次方程组的关系：

（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数

a c y x

b b

=-+的图象相同. （2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数的图象的交点. 例如：

（1）已知二元一次方程335x y x y +=-=与有一组公共解21x y =⎧⎨=⎩

，那么一次函数335y x y x =-=-与的图像交点坐标为 。

（2）如图所示，已知函数y ax b y kx c =+=+和的图像交于点P ，则根据图像可

知，关于x,y的二元一次方程组

y ax b

y kx c

13.3 一次函数与一次方程、一次不等式

安徽省利辛县巩店学区王店中学丁保付

教课目的：

1.使学生领悟一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系。

2. 指引学生经历研究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，领会数

形联合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，累积数学活动经验。经过自主研究、小

组合作等活动，锻炼学生的自学能力、归纳归纳的能力，增强学生间的合作意识。

3. 经过对一次函数、一次方程与一元一次不等式内在关系的研究，指引学生认识事物部分与

整体的辩证一致关系，培育学生用联系的看法对待数学识题的意识。

教材剖析：

函数、方程、不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。以前，学生已经从数的角度认识一次方程和一次不等式，从形的角度认识了一次函数和数轴表示不等式的解集。而本节课经过函数图像动向的变化和点的对应来研究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。经过本节课的研究，学生不单能加深对函数、方程（组）、不等式的理解，而且能在函数的看法下将三者一致同来，感觉数学的一致美，增强知识间横向与纵向的交融贯通。一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系属于事实性知识；学生在研究三

个一次之间关系的过程中，需要在函数运动变化的看法下，经历运用分类、类比，数形联合

的思想方法，归纳出解一次方程和不等式的问题，实质上是求函数的零点和非零点的问

题，这

些认知策略能有效地帮助学生累积数学活动经验，掌握学习方法，提升学习效率，所以，这些数学思想方法是元认知知识。

本节课将“三个一次” 问题在函数的看法下来集中认识，这类用整体的看法办理问题的方法

一次函数与一次方程

一次函数与一次方程是代数学中的重要概念。它们在数学问题的解

决中起着关键作用，不仅在数学领域有广泛应用，也在其他领域如物

理学、经济学等中扮演着不可或缺的角色。本文将从一次函数和一次

方程的定义、特点以及应用等方面进行论述。

一、一次函数的定义和特点

一次函数是指函数表达式中最高次项为一次幂的函数，其一般形式

可以表示为：

f(x) = ax + b

其中，a、b为实数常数，且a≠0。在这个函数表达式中，x是自变量，代表函数的输入值，而f(x)则是因变量，表示函数的输出值。

一次函数的特点有以下几个方面：

1. 函数图像为一条直线：一次函数的图像为一条直线，并且这条直

线通过平面直角坐标系中的一点。直线的斜率决定了线的倾斜程度，

斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负则表示直线向下倾斜。

2. 与y轴的交点：一次函数与y轴的交点称为y轴截距，其在函数

表达式中为常数项b。通过计算y轴截距可以确定直线在y轴上的位置。

3. 变化率的度量：一次函数的斜率a也称为变化率，表示函数输出

值f(x)随自变量变化x的速率。当斜率为正时，输出值随自变量的增加

而增加；当斜率为负时，输出值随自变量的增加而减少。

二、一次方程的定义和解法

一次方程是指方程中最高次项为一次幂的方程，其一般形式可以表示为：

ax + b = 0

其中，a、b为实数常数，且a≠0。在解一次方程时，需要找到使得方程等式成立的未知数值。

一次方程的解法步骤如下：

1. 移项：将方程中的一次项和常数项分别移到方程的两侧，使得方程变为ax = -b的形式。

2. 化简：如果方程中的系数a不为1，则可以通过除以a来化简方程，使得方程的一次项系数为1。

一元一次方程与一次函数的关系

一次方程与一次函数的关系:

1. 什么是一次方程：

一次方程是以一次未知数为未知量表示的方程，一般其本身的形式为

ax+b=0。

2. 什么是一次函数：

一次函数是一类在给定区间上连续可微的函数，它的图像恒过原点，

具有一个明确的切线，如函数y=mx+n (m≠0) 就是一次函数。

3. 一次方程与一次函数之间的关系：

一次方程 alx+b=0 的解就是一次函数 y=–l/ax+b，而一次函数 y=mx+b

的参数 m、b 由一次方程的未知量 a、b 决定。因此一次方程与一次函

数之间是紧密联系的，它们具有对应性。从解析角度看，一次方程的

解可以求出一次函数，而一次函数也可以求得一次方程的解，它们是

相互转换的。

4. 一次方程与一次函数所体现的思想

一次方程是一类特定的数学问题，其思想体现在把未知量用关系表示

出来，而一次函数又是对其解析解形式的图形描述，表示它们之间的

联系，整个思想是给出未知的空间条件，根据空间的几何特性和联系，

一次方程可以把未知量用一条直线表示，而一次函数又给出了该直线的数学公式和几何表示形式。

一次函数和一元一次方程的关系

一次函数和一元一次方程：

1. 一次函数是指在定义域内满足一次顺序导数为常数的函数，即函数

y=f(x) 在定义域 D 上满足 y'=k=常数，这里 k 称为函数 f 的一次导数，f 称为一次函数。

2. 一元一次方程是指由一元一次未知函数和常数之间的关系形成的方程，即 y=ax+b，这里 y 是一个未知函数，a 和 b 是常数，我们需要求

出 y 的值，该方程的解是 y 的值。

3. 一次函数和一元一次方程之间的关系是：由一次函数所描述的函数

和一元一次方程的系数 a 和 b 是一一对应的。一次函数表示为 y=kx+b，一元一次方程表示为 y=ax+b，这里的 k 就等于一元一次方程中的 a，b 是一元一次方程中的 b，即一次函数和一元一次方程的系数是相等的。

4. 一次函数和一元一次方程都可以表示实际中的某种物理关系，而其

中的系数对应了关系的特化表达，通过对系数的变化，可以直观地表

示物理关系的变化。比如，当一次函数 k 值变大，表示某种物理关系

加强，变小则表示物理关系减弱，所以一次函数和一元一次方程都可

以用来表示实际问题。

5. 一次函数和一元一次方程可以用来解决实际中的问题。对于一元一次方程，可以通过解方程的方法求解出 y 的取值范围。而一次函数的求解则比较简单，可以直接计算得到系数，然后将其代入函数中求出函数值等。因此，一次函数和一元一次方程都可以用来帮助我们解决实际问题。