集合第二课时

1.3 集合的基本运算（第二课时）（同步训练）一、选择题1.已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩∁N B等于()A．{1,5,7} B．{3,5,7}C．{1,3,9} D．{1,2,3}2.(多选)设全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，则()A．A∩B＝{0,1} B．∁U B＝{4}C．A∪B＝{0,1,3,4} D．集合A的真子集个数为83.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是()A．a≤2 B．a<1C．a≥2 D．a>24.图中的阴影部分表示的集合是()A．A∩(∁U B) B．B∩(∁U A)C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)5.设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为()A．3 B．4 C．5 D．66.(多选)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是()A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪∁R B＝{x|x≤－1或x＞2} D．A∩∁R B＝{x|2＜x≤3}7.M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N等于()A．M B．NC．I D．∅二、填空题8.已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________9.已知集合A＝{1,2，m}，集合B＝{1,2}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________10.已知全集U＝A∪B＝{1,2,3,4}，A＝{1,2,4}，A∩B＝{1}，则集合∁U B为________，集合B 共有________个子集．11.设全集U＝R，已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为________12.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________三、解答题13.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<1或x>2}，集合B＝{x|x<－3或x≥1}，求∁R A，∁R B，A∩B，A∪B．14.已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|4x＋p<0}，且B⊆∁U A，求实数p的取值范围．15.已知集合A＝{x|x2＋4ax－4a＋3＝0}，B＝{x|x2＋(a－1)x＋a2＝0}，C＝{x|x2＋2ax－2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．参考答案：一、选择题1.A2.AC3.C4.B5.B6.BD7.A二、填空题8.答案：{2,3,5,7}9.答案：510.答案：{2,4}，411.答案：{a|a>3}12.答案：{a|a≥2}解析：因为B＝{x|1<x<2}，所以∁R B＝{x|x≤1或x≥2}．又因为A∪(∁R B)＝R，A＝{x|x<a}，观察∁R B与A在数轴上表示的区间，如图所示．可得当a ≥2时，A ∪(∁R B)＝R.三、解答题13.解：如图，可知∁R A ＝{x|1≤x ≤2}，∁R B ＝{x|－3≤x<1}．所以A ∩B ＝{x|x<－3或x>2}，A ∪B ＝R.14.解：∁U A ＝{x|x<－1或x>2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－p 4. 因为B ⊆∁U A ，所以－p 4≤－1.所以p ≥4. 所以p 的取值范围是{p|p ≥4}．15.解：假设集合A 、B 、C 都是空集，当A ＝∅时，表示不存在x 使得x 2＋4ax －4a ＋3＝0成立，所以Δ＝16a 2－4(－4a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜12； 当B ＝∅时，同理Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，解得a ＞13或a ＜－1； 当C ＝∅时，同理Δ＝(2a)2＋8a ＜0，解得－2＜a ＜0.三者交集为－32＜a ＜－1，取反面即可得A ，B ，C 三个集合至少有一个集合不为空集， 所以a 的取值范围是a ≥－1或a ≤－32.。

第二课时 集合的表示【学习导航】知识网络学习要求1．集合的表示的常用方法：列举法、描述法； 2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用， 3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力. 【课堂互动】自学评价1. 集合的常用表示方法： （1）列举法将集合的元素一一列举出来，并____________________表示集合的方法叫列举法. 注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合的元素必须是明确的； ③各元素的出现无顺序； ④集合里的元素不能重复；⑤集合里的元素可以表示任何事物. （2）描述法将集合的所有元素都具有性质（ ）表示出来，写成_________的形式, 称之为描述法. 注意：①写清楚该集合中元素满足性质； ②不能出现未被说明的字母；③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”； ④所有描述的内容都要写在集合的括号内； ⑤用于描述的语句力求简明，准确. 思考:还有其它表示集合的方法吗？ 【答】文字描述法：是一种特殊的描述法，如：{正整数}，{三角形} 图示法（Venn 图）：用平面上封闭曲线的内部代集合. 2. 集合相等如果两个集合A ，B 所含的元素完全相同，___________________________________ 则称这两个集合相等，记为：_____________ 【精典范例】一、用集合的两种常用方法具体地表示 集合 例1．用列举法表示下列集合： （1）中国国旗的颜色的集合；集合的表示 描述法 列举法（2）单词mathematics中的字母的集合；（3）自然数中不大于10的质数的集合；（4）同时满足240121xx x+>⎧⎨+≥-⎩的整数解的集合；（5）由||||(,)a ba b Ra b+∈所确定的实数集合.（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N }分析：先求出集合的元素，再用列举法表示.【解】（1）{红，黄}；（2）{m，a，t，h，e，i，c，s }；（3）{2，3，5，7 }；（4）{-1，0，1，2}；（5）{-2，0，2}；（6）{(0，8)，(2，5)，(4，2)}点评:（1）用列举法表示集合的步骤为：①求出集合中的元素②把这些元素写在花括号内（2）用列举法表示集合的优点是元素一目了然；缺点是不易看出元素所具有的属性. 例2．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使2xyx-=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；（5）图中阴影部分内点的集合；-12-11oyx分析：用描述法表示来集合，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.【解】（1）{x|x=3k，k∈Z}（2）{x|x≤2且x≠0 }（3）∅（4）{(x,y)| y=-x2+3x-6}（5）{(x,y)| 0201x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 或0201x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 点评: 用描述法表示集合时，注意确定和简化集合的元素所具有的共同特性.追踪训练一1.用列举法表示下列集合： (1) {x|x 2+x+1=0}(2){x|x 为不大于15的正约数} (3) {x|x 为不大于10的正偶数} (4){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z} 2. 用描述法表示下列集合： (1) 奇数的集合； (2)正偶数的集合； (3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合； . 3. 下列集合表示法正确的是 (1) {1，2，2}； (2) {Ф}；(3) {全体有理数}；(4) 方程组31420x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合为{2，4}；（5）不等式x 2-5>0的解集为{x 2-5>0}.例3．已知A={a|6,3N a Z a∈∈-}，试用列举法表示集合A ． 分析：用列举法表示的集合，要认清集合的实质，集合中的元素究竟满足哪些条件． 【解】当a=2时，666332N a ==∈-- 当a=1时，663331N a ==∈-- 当a=0时，662330N a ==∈-- 当a=-1时，66331N a =∉-+ 当a=-2时，6635N a =∉- 当a=-3时，66136N a ==∈- ∴ A={2，1，0，-3}点评:本题实际上是要求满足6被3-a 整除的整数a 的值，若将题目改为63Z a∈-， 则集合A={-3，0，1，2，4，5，6，9}. 二、有关集合相等方面的问题例4．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a 2,b 2}，且Q=P ，求1+a 2+b 2的值．分析：含字母的两个集合相等，并不意味着 按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性.【解】分两种情况讨论： ① 221001a a a a b b b b ⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或⇒1+a 2+b 2=2 ②220101a ba ab b b a ⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或 这与集合的性质矛盾， ∴ 1+a 2+b 2=2追踪训练1．集合A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1}, C={y|x =234y +}，这三个集合的关系？ 2．已知A={x|12,6N x N x∈∈-}，试用列举法表示集合A ． 思维点拔：例5． 已知集合B={x|212x ax +=-}有唯一元素，用列举法表示a 的值构成的集合A . 点拔：本题集合B={x|212x ax +=-}有唯一元素，同学们习惯上将分式方程去分母，转化为一元二次方程的判别式为0，事实上当a=2±时，也能满足唯一元素，但方程已不是一元二次方程，而是一元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论 . 【解】当x 2-2≠0时，x+a=x 2+a⊿=0⇒a=-94，此时，x=12，符合题意，当a=2时，x=21+，符合题意， 当a=-2时，x=12-，也符合题意，∴ A={94-，2，-2}第2课集合的表示分层训练1．由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（）A．{x|-3<x<11,x∈Q}B．{x|-3<x<11 }C．{x|-3<x<11,x=2k,k∈N}D．{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}2．坐标轴上的点的集合可表示为（）A．{(x,y)|x=0,y=0；或x≠0,y=0}B．{(x,y)|x2+y2=0}C．{(x,y)|xy=0}D．{(x,y)|x2+y2≠0}3．下列四个关系式中，正确的是（）A．a∈{a,b} B．{a}≤{a,b}C．a∉{a} D．a≤{a,b}4．下列表示同一个集合的是（）A．M={(1,2)}，N={(2,1)}B．M={1,2}，N={2,1}C．M={y|y=x-1，x∈R}，N={y|y=x-1，x∈N}D．M={(x,y)|112yx-=-}，N={(x,y)|y-1=x-2}5．集合P={x|x=2k，k∈Z}，Q={x|x=2k+1，k∈Z}，R={x|x=4k+1，k∈N}，a∈P，b∈Q，则有（）A．(a+b)∈P B．(a+b)∈QC．(a+b)∈RD．(a+b)不属于P、Q、R中的任意一个6．集合{x|x∈N*,x<5}的另一种表示法是____________________________7．用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？①由所有非负奇数组成的集合；②平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；③所有周长等于10cm的三角形组成的集合；④方程x2+x+1=0的实数根组成的集合．8．已知集合M={a，a+d，a+2d}，N={a，aq，aq2}，其中a≠0，M=N，求q的值．9．设A={2，3，a 2+2a-3}，B={2，|a+3|}，已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的取值．拓展延伸：10．集合A={x|x=a+b 2，a 、b ∈Z}，x 1∈A ，x 2∈A ，求证：x 1x 2∈A11．下面三个集合：①{x|y=x 2+3x-2}，②{y| y=x 2+3x-2}，③{(x,y)| y=x 2+3x-2}． （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的区别在哪里？第2课 集合的表示1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．{1,2,3,4}7．解： ①{x|x=2k+1，k ∈N}②{(x,y)|x<0，y<0} ③{周长为10cm 的三角形}④∅8．解：分两种情况讨论：①22a d aq a d aq +=⎧⎨+=⎩⇒ a+aq 2-2aq=0， ∵ a ≠0， ∴ q 2-2q+1=0，即q=1，但q=1时，N 中的三个元素均相等，此时无解．②2220,2a d aq aq aq a a d aq ⎧+=⇒--=⎨+=⎩ ∵ a ≠0， ∴ 2q 2-q-1=0又q ≠1，∴ 12q =- ，∴当M=N 时，12 q=-9．解：∵5∈A ∴a2+2a-3=5即a=2或a=-4当a=2时，A={2，3，5}，B={2，5}，与题意矛盾；当a=-4时，A={2，3，5}，B={2,1}，满足题意，∴a=-4 10．证明：∵x1∈A，x2∈A∴设x1=a1+b12，x2=a2+b22∴x1x2=( a1+b12)( a2+b22)=(a1a2++2b1b2)+(a1b2+a2b1)2∈A∴x1x2∈A11．答：（1）是互不相同的集合．（2）①{x|y=x2+3x-2}=R，②{y| y=x2+3x-2}={y|y≥1}③{(x,y)| y=x2++3x-2}={点P是抛物线y=x2+3x-2上的点}。

§1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标：l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；(5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰当选择.三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学思路(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.（二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会常任理事国；(4)所有的正方形；(5)海南省在20XX 年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；(7)方程2560x x -+=的所有实数根； (8)不等式30x ->的所有解；(9)国兴中学20XX 年9月入学的高一学生的全体.2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示.(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)大于3小于11的偶数；(2)我国的小河流.让学生充分发表自己的建解.3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题，让学生思考(1)如果用A 表示高—(3)班全体学生组成的集合，用a 表示高一(3)班的一位同学，b 是高一(4)班的一位同学，那么,a b 与集合A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈.如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.(2)如果用A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A 的关系分别是什么?请用数学符号分别表示．(3)让学生完成教材第6页练习第1题.5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A 组第1题.6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：(1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。

1.1.1 集合的表示（第二课时）●三维目标1．知识与技能(1)掌握集合的表示方法——列举法和描述法；(2)能进行自然语言与集合语言间的相互转换．2．过程与方法(1)教学时不仅要关注集合的基本知识的学习，同时还要关注学生抽象概括能力的培养；(2)教学过程中应努力培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力，训练学生分析问题和处理问题的能力．3．情感、态度与价值观培养数学的特有文化——简洁精练，体会从感性到理性的思维过程．●重点难点重点：用集合语言(描述法)表达数学对象或数学内容．难点：集合表示法的恰当选择．(1)重点的突破：以教材中的思考为切入点，让学生感知列举法表示集合不足的同时，顺其自然的引出集合的另一种方法——描述法，然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式，必要时可通过题组训练，让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各种疑点，教师给予适当点拨，从而化难为易；(2)难点的解决：本节课不仅要让学生学习两种表示法，同时还要让学生体会如何恰当选择表示法表示集合．为此，可通过实例多角度启发学生关注知识间的联系与区别，并借助两种方法表示集合的优缺点总结出表示法选择的规律——在元素不太多的情况下，宜采用列举法；在元素较多时，宜采用描述法表示．设集合M是小于5的自然数构成的集合，集合M中的元素能一一列举出来吗？【提示】能.0,1,2,3,4.列举法的定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.1．“绝对值小于2的实数”构成的集合，能用列举法表示吗？【提示】不能．2．设x为该集合的元素，x有何特征？【提示】|x|<2.3．如何表示该集合？【提示】 {x ∈R ||x |<2}1.定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫描述法． 2．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.互动探究：类型1 用列举法表示集合例1 用列举法表示下列集合：(1)方程x 2－1＝0的解构成的集合；(2)由单词“book”的字母构成的集合；(3)由所有正整数构成的集合；(4)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合．【思路探究】 先分别求出满足要求的所有元素，然后用列举法表示集合．【自主解答】 (1)方程x 2－1＝0的解为－1,1，所求集合为{－1,1}；(2)单词“book”有三个互不相同的字母，分别为“b”、“o”、“k”，所求集合为{b ，o ，k}；(3)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}；(4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，所求集合为{}1，1.规律方法1．用列举法表示集合，要分清是数集还是点集，如本例(1)是数集，本例(4)是点集．2．使用列举法表示集合时应注意以下几点：(1)在元素个数较少或有(无)限但有规律时用列举法表示集合，如集合：{1,2,3}，{1,2,3，…，100}，{1,2,3，…}等．(2)“{}”表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；元素无顺序，满足无序性．变式训练用列举法表示下列集合．(1)我国现有直辖市的全体．(2)绝对值小于3的整数集合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝－23x ＋43的解集． 【解】 (1){北京，上海，天津，重庆}； (2){－2，－1,0,1,2}；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1，y ＝－23x ＋43的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝75，y ＝25， 所求集合为72,55⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.例(1)不等式3x －2≥0的解构成的集合；(2)偶数集；(3)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合．【思路探究】 找准集合的代表元素→说明元素满足的条件→用描述法表示相应集合【自主解答】 (1)A ＝{x |3x －2≥0}或A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥23； (2)B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }；(3){(x ，y )|x >0，y >0，且x ，y ∈R }．规律方法1．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素．2．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围，如本例(2)．互动探究把本例(2)换成“{2,4,6,8,10}”如何求解？【解】 该集合用描述法表示为B ＝{x |x ＝2k,1≤k ≤5且k ∈Z }.例(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集；(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合；(3)所有的正方形；(4)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．【思路探究】 依据集合中元素的个数，选择适当的方法表示集合．【自主解答】 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}；(2)集合的代表元素是数x ，集合用描述法表示为{x |x ＝3k ＋2，k ∈N 且x <1000}；(3)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}，简写为{正方形}；(4)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．规律方法1．本例(1)在集合的表示时，常因不明白方程组解的含义，导致出现以下两种错误表示：{4，－2}和{x ＝4，y ＝－2}．2．当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示．对一些元素有规律的无限集，也可以用列举法表示，如正偶数集也可写成{2,4,6,8,10，…}．变式训练有下面六种表示方法：①{x ＝－1，y ＝2}；②错误!； ③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{x ，y |x ＝－1或y ＝2}．其中能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________，(把所有正确的序号都填在横线上)【解析】 ∵方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2， ∴该方程组的解集应为点集，其正确形式是②⑤.【答案】 ②⑤思想方法技巧分类讨论思想在集合表示法中的应用典例 (12分)集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .【思路点拨】 明确集合A 的含义→对k 加以讨论→求出k 值→写出集合A【规范解答】 (1)当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0，x＝2.2分此时集合A＝{2}.4分(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根.6分只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.8分此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意.10分综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}.12分1．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．2．本题因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏．3．集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．小结：1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个多用描述法．2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么．。

第二课时集合的表示方法课标要求素养要求1.掌握集合的常用表示方法：列举法和描述法.2.学会选择合适的方法表示集合，理解集合的相等、有限集、无限集等概念. 在集合表示方法的选择中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养.自主梳理1.集合的常用表示方法(1)列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内.用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关.(2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式.其中x为集合的代表元素.p(x)指元素x具有的性质.2.为了直观地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图.3.含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集，不含任何元素的集合称为空集，记作∅.4.如果两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等.描述法的几点说明①竖线前写清代表元素的符号，竖线后用简明、准确的语言描述元素的共同特征.②同一个集合可以有不同的表述形式，如{x|x≥0}，{y|y≥0}，{y|y＝x2，x∈R}表示同一个集合.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}.(×)提示 集合中的元素不能重复，是互异的. (2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.(×) 提示 (1，2)是集合中的元素.(3)集合{x |y ＝x －1}与{(x ，y )|y ＝x －1}相等.(×) 提示 两集合的代表元素不同. (4)列举法不可以表示无限集.(×)提示 列举法可以表示有限集，也可以表示无限集.若集合中元素个数较多或无限多，但呈现一定的规律性，在不致发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.2.(多选题)实数1是下面哪一个集合中的元素( ) A.{x |x ＝|x |}B.{x ∈N |－1＜x ＜1}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －1x ＋1≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R |x ＋1x －1≤0 答案 AC解析 A 中，x ＝1满足x ＝|x |； B 中，x ＝1不满足－1＜x ＜1； C 中，x ＝1满足x －1x ＋1≤0；D 中，x ＝1不满足x ＋1x －1≤0.3.用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A.{1，1} B.{1}C.{x ＝1}D.{x 2－2x ＋1＝0}答案 B解析 方程x 2－2x ＋1＝0的解为x 1＝x 2＝1，故集合{x |x 2－2x ＋1＝0}用列举法表示为{1}.4.设a ，b 为实数，已知M ＝{1，2}，N ＝{a ，b }且M ＝N ，则a ，b 的值为________. 答案 ⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1解析 由M ＝N ，知M 与N 中的元素完全相同，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.题型一列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；(4)由所有正整数构成的集合.解(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}.(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}.(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}.思维升华用列举法表示集合应注意的两点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. 【训练1】用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合C.解(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，所以B＝{－3，3}.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以一次函数y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋5的交点为(1，3)， 所以C ＝{(1，3)}. 题型二 描述法表示集合【例2】 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}.(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }.(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}. 思维升华 利用描述法表示集合应关注三点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x |x <1}不能写成{x <1}，且要分清是点集还是数集.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表示方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号，即{x |x ＝2k ，k ∈Z }. (3)不能出现未被说明的字母.【训练2】 试用描述法表示下列集合. (1)方程x 2－2＝0的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数y ＝x 2－2图象上的所有点组成的集合.解(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2－2＝0}.(2)设大于10且小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20，故用描述法表示为{x∈Z|10<x<20}.(3)二次函数y＝x2－2图象上的所有的点用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－2}.题型三集合表示方法的综合应用【例3】已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.解①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；②当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x ＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意.综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}.思维升华(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.【训练3】已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，求集合B.解∵A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}，∴方程x2＋px＋q＝x有两个相等实根x＝2，由根与系数关系得⎩⎪⎨⎪⎧－（p －1）＝2＋2，q ＝2×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝4.∴B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}＝{x |x 2－6x ＋5＝0}＝{1，5}.1.掌握2种方法——列举法和描述法表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法.一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法. 2.注意1个易错点——点集与数集的区别处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集.一、选择题1.下列各组集合中表示同一集合的是( ) A.M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B.M ＝{3，2}，N ＝{2，3}C.M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D.M ＝{3，2}，N ＝{(3，2)} 答案 B解析 由于集合中的元素具有无序性，故{3，2}＝{2，3}. 2.方程组⎩⎨⎧x －y ＝3，2x ＋y ＝6的解集是( )A.{x ＝3，y ＝0}B.{3}C.{(3，0)}D.{(x ，y )|(3，0)}答案 C解析 方程组解的形式是有序实数对，故可排除A ，B ，而D 中的用描述法表示集合的形式不正确，排除D. 3.集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A.方程y ＝2x －1 B.点(x ，y )C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合 答案 D解析 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D. 4.(多选题)下列说法中不正确的是( ) A.集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法表示为{－1，0，1} B.实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R } C.方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解组成的集合为{x ＝1，y ＝2}D.方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝0的所有解组成的集合为{(2，－3)} 答案 ABC解析 对于A ，由x 3＝x ，即x (x 2－1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.因为－1∉N ，所以集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法表示应为{0，1}.对于B ，集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R ”表示所有的实数构成的集合，所以实数集正确的表示应为{x |x 为实数}或R . 对于C ，方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解是有序实数对，而集合{x ＝1，y ＝2}表示两个等式组成的集合，方程组的解组成的集合正确的表示应为{(1，2)}或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. 对于D ，由(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，得x －2＝0，y ＋3＝0，解得x ＝2，y ＝－3，故集合为{(2，－3)}.5.对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是()A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}C.{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D.{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}答案 D解析对于x＝4s－3，当s依次取1，2，3，4，5时，恰好对应的x的值为1，5，9，13，17.二、填空题6.集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为________.答案{1，2，3，4}解析{x∈N*|x－3<2}＝{x∈N*|x<5}＝{1，2，3，4}.7.由能被2整除的正整数组成的集合，用描述法可表示为________________.答案{x|x＝2n，n∈N*}解析正整数中所有的偶数均能被2整除.8.已知集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.答案{0，1}解析∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.∴B＝{0，1}.三、解答题9.用适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集.(1)大于1且小于70的正整数构成的集合；(2)方程x2－x＋2＝0的实数解构成的集合.解(1)设大于1且小于70的正整数构成的集合为A，则可用描述法表示为A＝{x|1<x<70，x∈N*}.A是有限集.(2)设方程x 2－x ＋2＝0的实数解构成的集合为B ， 因为Δ＝1－8＝－7<0，所以该方程无实数解，即集合B 中不存在任何元素， 所以B ＝∅.B 是有限集.10.用指定的方法表示下列集合[(1)(2)用列举法，(3)(4)用描述法]： (1)M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *}； (2)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝8的解构成的集合；(3)大于3的全体偶数构成的集合； (4)平面直角坐标系中，x 轴上的所有点. 解 (1)由x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，所以M ＝{(1，3)，(2，2)，(3，1)}. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝8得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.所以所求集合为{(3，－2)}.(3)所求集合为{x |x ＝2k ，k >1，且k ∈N *}. (4)所求集合为{(x ，y )|y ＝0，x ∈R }.11.集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ∈Z ，86－x ∈N 用列举法表示为( )A.{－2}B.{－2，2}C.{－2，2，4}D.{－2，2，4，5}答案 D解析 因为x ∈Z ，86－x∈N ，所以6－x ＝1，2，4，8.此时x ＝5，4，2，－2，即A ＝{5，4，2，－2}.12.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A ＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集________(答案不唯一).答案 不是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12 解析 由于2的倒数12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集.若一个元素a ∈A ，则1a ∈A .若集合中有三个元素，故必有一个元素a ＝1a ，即a ＝±1，故可取的集合有⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，3，13等. 13.下列三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？解 (1)不是.(2)集合A ＝{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ，所以{x |y ＝x 2＋1}＝R ，即A ＝R ，可以认为集合A 表示函数y ＝x 2＋1中自变量的取值范围；集合B ＝{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}，可以认为集合B 表示函数y ＝x 2＋1中因变量的取值范围. 集合C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，是满足y ＝x 2＋1的数对.可以认为集合C 是由坐标平面内函数y ＝x 2＋1图象上的点(x ，y )构成的.14.已知集合S 满足若a ∈S ，则11－a∈S ，请解答下列问题. (1)求证：若a ∈S ，则1－1a ∈S ；(2)在集合S 中，元素能否只有一个？若能，把它求出来，若不能，请说明理由.(1)证明由题意可知a≠1且a≠0，由11－a∈S，得1 1－11－a∈S，即1 1－11－a ＝1－a1－a－1＝1－1a∈S.∴若a∈S，则1－1a∈S.(2)解集合S中的元素不能只有一个.理由如下：令a＝11－a，即a2－a＋1＝0.∵Δ＝(－1)2－4＜0，∴此方程无实数解，∴a≠11－a.因此集合S中不可能只有一个元素.。

1.1.3 集合的基本运算（第二课时）(胡琦)一、教学目标（一）核心素养通过这节课的学习，理解全集与补集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用Venn图表达集合的运算，体会直观想象对理解抽象概念的作用，培养学生的应用意识与创新意识．（二）学习目标1．理解集合全集的概念．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3．能使用Venn图表达集合的关系及运算．（三）学习重点1．全集与补集的概念．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义．（四）学习难点1．会求给定子集的补集．2．对Venn图表达集合的关系及运算的正确使用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第10页至第11页．（2）练一练：全集的定义：如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看成一个全集，全集通常用符号U表示．补集的三种语言：①文字语言：设U是一个集合，A是U的一个子集(即A⊆U)，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集．②符号语言：C A＝{x|x∈U，且x∉A}．U③图形语言：2．预习自测（1）设U={1，2，3}，A ={2，3}，求U C A ＝（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{2，3}D ．{1，2，3}【答案】A ．（2）设U={1，2，3，4}，A ={2，3}，B ={3，4，5}，求()U C A B I ＝（ ）A ．{1，2，3}B ．{4，5}C ．{1，2，4}D ．{1，4，5}，【答案】C ．（3）设U={1，2，3，4，5}，A ={2，3}，B ={3，4，5}，求()U C A B U ＝（ ）A ．{1，2}B ．{4，5}C ．{1}D ．{4，5}， 【答案】C ． (二)课堂设计1．知识回顾（1）元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ．（2）集合间的基本关系：如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B ；若集合A 与集合B 的元素是一样的，称集合A 与集合B 相等；若集合A 是集合B 的子集，且集合A 不等于集合B ，则集合A 是集合B 的真子集； 把不含任何元素的集合叫做空集．（3）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集，记为A ∪B ；由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记为A ∩B ．。