宇宙中的双星及多星问题

微专题27双星与多星问题【核心要点提示】(1)核心问题是“谁”提供向心力的问题．(2)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；(3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r ，以此列向心力方程进行求解．【微专题训练】【例题1】(2018·全国Ⅰ卷，20)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s 时，它们相距约400km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度BC[两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gm 1m 2l 2＝m 1ω2r 1①Gm 1m 2l 2＝m 2ω2r 2②l ＝r 1＋r 2③由①②③式得Gm 1＋m 2l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G，质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得v 1＝ωr 1④v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算．质量之积和各自自转的角速度无法求解．]【变式1】(2017·吉林长春调研)2016年2月12日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”。

双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星的周期为T ，a 、b 两颗星的距离为l ，a 、b 两颗星的轨道半径之差为Δr (a 星的轨道半径大于b 星的轨道半径)，则()A ．b 星的周期为l －Δrl ＋ΔrT B ．a 星的线速度大小为πl ＋Δr T C ．a 、b 两颗星的半径之比为l l －Δr D ．a 、b 两颗星的质量之比为l ＋Δr l －Δr[解析]a 、b 两颗星是围绕同一点运行的双星系统，故周期T 相同，选项A 错误；由r a －r b ＝Δr ，r a ＋r b ＝l ，得r a ＝l ＋Δr 2，r b ＝l －Δr 2，所以r a r b ＝l ＋Δrl －Δr ，选项C 错误；a 星的线速度v ＝2πr a T＝πl ＋Δr T，选项B 正确；由m a ω2r a ＝m b ω2r b ，得m a m b ＝r b r a ＝l －Δrl ＋Δr，选项D 错误。

万有引力应用二——双星及多星问题1、（多选）经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两颗星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为l ，质量之比约为m 1：m 2=3：2，则可知（ ）A ．m 1：m 2做圆周运动的线速度之比为2：3B ．m 1：m 2做圆周运动的角速度之比为1：1C ．m 1做圆周运动的半径为53l D ．m 2做圆周运动的半径为53l 答案及解析：.ABD解：双星围绕连线上的O 点做匀速圆周运动，彼此间万有引力提供圆周运动向心力，可知双星做圆周运动的周期和角速度相等．令星m 1的半径为r ，则星m 2的半径为l ﹣r则有：据万有引力提供圆周运动向心力有：即m 1r=m 2（l ﹣r ）又∵ ∴ 则星m 2的半径为，故C 错误，D 正确又因为v=rω可知，两星做圆周运动的线速度之比等于半径之比即：，所以A 正确．双星运动的角速度相同，故B 正确．故选：ABD ．2、(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是( )A ．这两颗恒星的质量必定相等B ．这两颗恒星的质量之和为4π2R 1＋R 23GT 2C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1D ．其中必有一颗恒星的质量为4π2R 1＋R 23GT 2BC [对m 1有：Gm 1m 2R 1＋R 22＝m 1R 14π2T 2，解得m 2＝4π2R 1R 1＋R 22GT2，同理可得m 1＝4π2R 2R 1＋R 22GT2，故两者质量不相等，故选项A 错误；将两者质量相加得m 1＋m 2＝4π2R 1＋R 23GT 2，故选项B 正确；m 1∶m 2＝R 2∶R 1，故选项C 正确；两者质量之和为4π2R 1＋R 23GT 2，则不可能其中一个的质量为4π2R 1＋R 23GT 2，故选项D 错误．]3、（单选）我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G ．由此可求出S 2的质量为（ ）A. B.C. D.答案及解析：D 解：设星体S 1和S 2的质量分别为m 1、m 2， 星体S 1做圆周运动的向心力由万有引力提供得：解得 m 2=，故D 正确、ABC 错误．故选：D ．4、(单选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，下列说法正确的是( ) A ．每颗星做圆周运动的角速度为3GmL 3B ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C ．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D ．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍C 任意两星间的万有引力F ＝G m 2L2，对任一星受力分析，如图所示．由图中几何关系和牛顿第二定律可得：3F ＝ma ＝mω2L 3，联立可得：ω＝3Gm L 3，a ＝ω2L 3＝3Gm L 2，选项A 、B 错误；由周期公式可得：T ＝2πω＝2πL 33Gm，当L 和m 都变为原来的2倍，则周期T ′＝2T ，选项C 正确；由速度公式可得：v ＝ωL 3＝GmL ，当L 和m 都变为原来的2倍，则线速度v ′＝v ，选项D 错误．]5、(多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图所示，四颗质量均为m 的星体位于正方形的顶点，正方形的边长为a ，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗都在同一平面内绕正方形对角线的交点O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，则( ) A ．每颗星做圆周运动的线速度大小为1＋24Gm aB ．每颗星做圆周运动的角速度大小为Gm 2a3 C ．每颗星做圆周运动的周期为2π2a3GmD ．每颗星做圆周运动的加速度与质量有关AD [由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r ＝22a ，每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：Gm 22a2＋2G m 2a 2cos45°＝m v 222a，解得v ＝1＋24Gma，角速度为ω＝vr ＝2＋22Gm a 3，周期为T ＝2πω＝2π2a34＋2Gm，加速度a ＝v 2r ＝22＋1Gm2a 2，故选项A 、D 正确，B 、C 错误．]珠”的奇观．假设火星和木星绕太阳做匀速圆周运动，周期分别是T 1和T 2，而且火星离太阳较近，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一平面内，若某一时刻火星和木星都在太阳的同一侧，三者在一条直线上排列，那么再经过多长的时间将第二次出现这种现象( )A.T 1＋T 22B.T 1T 2C.T 1T 2T 2－T 1D.T 21＋T 222C [根据万有引力提供向心力得：GMm r 2＝m 4π2r T 2，解得T ＝2πr 3GM，火星离太阳较近，即轨道半径小，所以周期小．设再经过时间t 将第二次出现这种现象，此为两个做匀速圆周运动的物体追及相遇的问题，虽然不在同一轨道上，但是当它们相遇时，运动较快的物体比运动较慢的物体多运行2π弧度．所以2πT 1t －2πT 2t ＝2π，解得t ＝T 1T 2T 2－T 1，选项C 正确．] 7、宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已知双星系统中星体1的质量为m ，星体2的质量为2m ，两星体相距为L ，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G .求该双星系统运动的周期． 2πLL3Gm解析 双星系统围绕两星体间连线上的某点做匀速圆周运动，设该点距星体1为R ，距星体2为r 对星体1，有G 2mm L 2＝m 4π2T 2R 对星体2，有G 2mm L 2＝2m 4π2T2r根据题意有R ＋r ＝L ，由以上各式解得T ＝2πLL 3Gm。

双星与多星问题 【1 】双星模子1.模子构建在天体活动中,将两颗彼此相距较近,且在互相之间万有引力感化下绕两者连线上的某点做周期雷同的匀速圆周活动的行星称为双星.2.模子前提①两颗星彼此相距较近.②两颗星靠互相之间的万有引力做匀速圆周活动.③两颗星绕同一圆心做圆周活动.3.模子特色如图所示为质量分离是m 1和m 2的两颗相距较近的恒星.它们间的距离为L .此双星问题的特色是：(1)两星的运行轨道为齐心圆,圆心是它们之间连线上的某一点.(2)两星的向心力大小相等,由它们间的万有引力供给.(3)两星的活动周期.角速度雷同.(4)两星的活动半径之和等于它们间的距离,即r 1＋r 2＝L .4. 双星问题的处理办法双星间的万有引力供给了它们做圆周活动的向心力,即 Gm 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2. 5. 双星问题的两个结论(1)活动半径：m 1r 1＝m 2r 2,即某恒星的活动半径与其质量成反比.(2)质量之和：因为ω＝2πT ,r 1＋r 2＝L ,所以两恒星的质量之和m 1＋m 2＝4π2L 3GT 2.【示例1】2016年2月11日,美国科学家宣告探测到引力波,证实了爱因斯坦100年前的猜测,填补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺掉的“拼图”.双星的活动是产生引力波的起源之一,假设宇宙中有一双星体系由a .b 两颗星体构成,这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力感化下做匀速圆周活动,测得a 星的周期为T ,a .b 两颗星的距离为l ,a .b 两颗星的轨道半径之差为Δr (a 星的轨道半径大于b 星的轨道半径),则( )A.b 星的周期为l －Δr l ＋ΔrT B.a 星的线速度大小为π(l ＋Δr )T C.a .b 两颗星的半径之比为l l －Δr D.a .b 两颗星的质量之比为l ＋Δr l －Δr纪律总结解答双星问题应留意“两等”“两不等”(1)双星问题的“两等”：①它们的角速度相等.②双星做匀速圆周活动的向心力由它们之间的万有引力供给,即它们受到的向心力大小老是相等的.(2)“两不等”：①双星做匀速圆周活动的圆心是它们连线上的一点,所以双星做匀速圆周活动的半径与双星间的距离是不相等的,它们的轨道半径之和才等于它们间的距离.②由m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2知因为m 1与m 2一般不相等,故r 1与r 2一般也不相等.【示例2】经长期不雅测,人们在宇宙中已经发明了“双星体系”,“双星体系”由两颗相距较近的恒星构成,每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离,并且双星系同一般远离其他天体.两颗星球构成的双星m 1.m 2,在互相之间的万有引力感化下,绕连线上的O 点做周期雷同的匀速圆周活动．现测得两颗星之间的距离为L ,质量之比为m 1∶m 2＝3∶2.则可知( )A ．m 1与m 2做圆周活动的角速度之比为2∶3B ．m 1与m 2做圆周活动的线速度之比为3∶2C ．m 1做圆周活动的半径为25L D ．m 2做圆周活动的半径为25L【示例3】2015年4月,科学家经由过程欧航局天文千里镜在一个河外星系中,发明了一对互相环绕扭转的超大质量双黑洞体系,如图所示.这也是天文学家初次在正常星系中发明超大质量双黑洞.这对验证宇宙学与星系演变模子.广义相对论在极端前提下的顺应性等都具有十分主要的意义.我国本岁尾也将发射全球功效最强的暗物资探测卫星.若图中双黑洞的质量分离为M 1和M 2,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周活动.依据所学常识,下列选项准确的是( )A ．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M 2∶M 1B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1C．双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2D．双黑洞的向心加快度之比a1∶a2＝M1∶M2【示例4】宇宙间消失一些离其他恒星较远的三星体系,个中有一种三星体系如图所示,三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个极点,三角形边长为L,疏忽其他星体对它们的引力感化,三星在同一平面内绕三角形中间O做匀速圆周活动,引力常量为G,下列说法准确的是()A.每颗星做圆周活动的角速度为3GmL3动的加快度与三星的质量无关C.若距离L和每颗星的质量m都变成本来的2倍,则周期变成本来的2倍L和每颗星的质量m都变成本来的2倍,则线速度变成本来的4倍【示例5】(多选)宇宙间消失一个离其他星体遥远的体系,个中有一种体系如图所示,四颗质量均为m的星体位于正方形的极点,正方形的边长为a,疏忽其他星体对它们的引力感化,每颗星体都在同一平面内绕正方形对角线的交点O做匀速圆周活动,引力常量为G,则()(1＋2 4)GmaGm2a32a3Gm的加快度与质量m有关【示例6】两个星球构成双星,它们在互相之间的万有引力感化下绕连线上某点做周期雷同的匀速圆周活动.现测得两星中间的距离为R,其活动周期为T,求两星的总质量.【示例7】由三颗星体构成的体系,疏忽其它星体对它们的感化,消失着一种活动情势;三颗星体在互相之间的万有引力感化下,分离位于等边三角形的三个极点上,绕某一配合的圆心O在三角形地点的平面内做雷同角速度的圆周活动(图示为A.B.C三颗星体质量不雷同时的一般情形)．若A星体质量为2m.B.C两星体的质量均为m,三角形的边长为a, 求：(1)A星体所受合力大小F A;(2)B星体所受合力大小F B;(3)C星体的轨道半径R C;(4)三星体做圆周活动的周期T.1. (多选)宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,只受到彼此之间的万有引力感化互相绕转,称之为双星体系.在浩瀚的银河系中,多半恒星都是双星体系.设某双星体系A.B绕其连线上的O点做匀速圆周活动,如图4所示.若AO>OB,则()A. 星球A的质量必定大于星球B的质量B. 星球A的线速度必定大于星球B的线速度C. 双星间距离必定,双星的质量越大,其迁移转变周期越大D. 双星的质量必定,双星之间的距离越大,其迁移转变周期越大2. 双星体系由两颗恒星构成,两恒星在互相引力的感化下,分离环绕其连线上的某一点做周期雷同的匀速圆周活动.研讨发明,双星体系演变进程中,两星的总质量.距离和周期均可能产生变更.若某双星体系中两星做圆周活动的周期为T,经由一段时光演变后,两星总质量变成本来的k倍,两星之间的距离变成本来的n倍,则此时圆周活动的周期为()A. n3k2T B.n3k T C.n2k T D.nk T3. 文学家将相距较近.仅在彼此的引力感化下运行的两颗恒星称为双星.双星体系在银河系中很广泛.应用双星体系中两颗恒星的活动特点可推算出它们的总质量.已知某双星体系中两颗恒星环绕它们连线上的某一固定点分离做匀速圆周活动,周期均为T,两颗恒星之间的距离为r,试推算这个双星体系的总质量.(万有引力常量为G)4. 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周活动而不会因万有引力的感化吸引到一路.(1)试证实它们的轨道半径之比.线速度之比都等于质量的反比.(2)设两者的质量分离为m1和m2,两者相距L,试写出它们角速度的表达式.。

06 双星与多星—万有引力与航天双星与三星及四星，是天体物理的重要而奇特的现象。

对于天体物理学家来说，双星和三星及四星是能提供最多信息的天体，从双星可以得到比单个恒星更多的信息和恒星演化的秘密。

在浩瀚的银河系中，我们发现的半数以上的恒星都是双星体，它们之所以有时被误认为单个恒星，是因为构成双星的两颗恒星相距得太近了，它们绕共同的质量中心作圆形轨迹运动，以至于我们很难分辨它们，这其中包括著名的第一亮星天狼星。

双星与多星模型，有以下规律：1.变中有不变（1）变：双星系统、三星系统、四星系统物理模型是不同的，不同的是：双星系统是两颗星，相互的万有引力等于各自做圆周运动的向心力；三星系统是三颗星，或者在同一条直线上，两端的两颗星围绕之间的星做圆周运动，则两端的两颗星所受另外两颗星的万有引力的合力等于该星做圆周运动的向心力，或者三颗星在等边三角形的三个顶点位置，都围绕三角形中心做圆周运动，则每一颗星所受另外两颗星的万有引力的合力等于该星做圆周运动的向心力，四星系统也有两种形式，或者是三颗星在等边三角形的三个顶点位置，都围绕处于三角形中心的第四颗星做圆周运动，则每一颗星所受另外三颗星的万有引力的合力等于该星做圆周运动的向心力，或者是四颗星在正方形的四个顶点位置，都围绕正方形的中心做圆周运动，则每一颗星所受另外三颗星的万有引力的合力等于该星做圆周运动的向心力，（2）不变：做题的关键都是：做圆周运动的星所受其他星的万有引力的合力等于向心力。

2.不变中有变（1）都是三星系统，两种形式也不同，两种形式的不同处在于前者是同一直线上的两个力求合力，后者是不同直线上的两个力（两个力夹角为600）求合力。

都是四星系统，两种形式也不同，两种形式的不同处在于前者是互成600的两个力的合力与第三个力求合力，后者是三个互成角度的力求合力。

（2）都是三角形模型，三星系统的三角形的中心没有星，只是三颗星做圆周运动的圆心，所以求合力是二力合成；四星系统的三角形的中心还有一颗星，它对其他三颗星也有万有引力，所以求合力是三力合成。

双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。

双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。

双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。

双星系统在银河系中很普遍。

利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。

（引力常量为G ）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。

根据题意有21ωω=①r r r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G1211221r w m rm m = ③G1221221r w m rm m =④联立以上各式解得2121m m rm r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221== ⑥联立③⑤⑥式解得322214r GT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A 的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？ （G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2，m s =2.0×1030 kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。

宇宙中的双星及多星问题 一、双星问题双星系统具有如下特点：(1)它们以相互间的万有引力来提供向心力。

(2)它们共同绕它们连线上某点做圆周运动。

(3)它们 的周 期、角速度相 同。

例题1：天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量．〔引力常量为G 〕例题2：双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．假设某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为〔 〕A T k n 23B T k n 3C T k n 2D T kn 二、三星问题三星问题有两种情况：第一种情况三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星〔静止不动〕在同一半径为R 的圆轨道上运行，周期相同；第二种情况三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，三颗星运行周期相同。

1、第一种情况：例题3：宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m 的小星体和一个质量为M 的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r ．关于该三星系统的说法中正确的选项是〔 〕A ．在稳定运行的情况下，大星体提供两小星体做圆周运动的向心力B ．在稳定运行的情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧2、第二种情况：例题4：宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统．其中有一种三星系统如下图，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，三角形边长为R．忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G．则〔〕三、四星问题1、第一种情况：四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动。

双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

双星、多星系统问题宇宙中不存在孤立的天体，常见的情况是两个或多个天体组成一个相对独立的系统。

高中物理中常常处理一些相对简单的天体系统，其中最简单的是双星系统，相对复杂的有三星、四星系统等。

一、稳定双星系统1、基本模型如图2-14-1所示，质量分别为m 1、m 2的两个天体在万有引力的相互作用下，绕着二者连线上的某个点（公共圆心O ）以相同的角速度做圆周运动，构成一个稳定的双星系统。

在这个系统中，两天体的运动存在如下三个基本关系：（1）向心力大小相同：2212n 1n L m m GF F ==；（2）速度大小相同：ωωω==21；（3）轨道半径之和等于两天体的间距：L r r =+21。

2、基本结论（1）轨道半径关系：2211r m r m =由牛顿第二定律，有天体1：121221r m L m Gm ω=，天体2：222221r m Lm Gm ω=；两式联立，有2211r m r m =，即两天体的轨道半径与各自的质量成反比，质量大的天体轨道半径小，质量小的天体轨道半径大；联立L r r =+21，可得L m m m r 2121+=，L m m m r 2112+=。

（2）系统的周期：)(π2213m m G L T +=把L m m m r 2121+=代入121221r m L m m G ω=，可得321)(Lm m G +=ω，则双星系统的周期为)(π2π2213m m G L T +==ω；即两天体间距越小，总质量越大，系统的周期越小，角速度越大。

（3）线速度关系：2211v m v m =，且Lm m G L v v )(2121+==+ω在2211r m r m =式两边乘以共同的角速度ω，得2211r m r m ωω=，也就是2211v m v m =，即两天体的线速度大小与各自的质量成反比，质量大的天体线速度小，质量小的天体线速度大。

联立321)(Lm m G +=ω,2211r v r v ωω==，，L r r =+21，可得两天体的线速度大小之和为：L m m G L v v v )(2121+==+=ω。

双星三星四星问题双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

高中物理双星和多星问题一、选择题1. 如图，“食双星”是指在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食（像月亮挡住太阳）而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星．在地球上通过望远镜观察这种双星，视线与双星轨道共面．已知两颗恒星A、B间距为d，运动周期为T，万有A.4π2d3GT2引力常量为G，则可推算出双星的总质量为（）B.π2d2GT2C.2π2d2GT2D.π2d3GT22. 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起，如图所示，某双星系统中A、B 两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比r A:r B=1:2，则两颗天体的（） A.质量之比m A:m B=2:1B.角速度之比ωA:ωB=1:2C.线速度大小之比v A:v B=2:1D.向心力大小之比F A:F B=2:13. 人类已直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前的某一时刻，他们相距L，绕二者连线上的某点每秒转动n圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为G，结合牛顿力学知识可算出这一时刻两颗中子星的质量之和为（）A.4π2n2L3G B.8π2n2L3GC.G4π2n2L3D.G8πn2L34. 2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星A和B合并前它们相距L，绕二者连线上的某点每秒转动n圈．合并前将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，A和B的质量之比为k，并且它们各自的运动都看做是匀速圆周运动，下列说法中正确的是（）A.中子星A和B的运动周期均为nB.中子星A和B的角速度大小之比为1:1C.中子星A和B的向心力大小之比为1kD.中子星A和B的线速度大小之和为πnL5. 月球与地球质量之比约为1:80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，他们都围绕地球与月球连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动线速度大小之比约为（）A.1:6400B.1:80C.80:1D.6400:16. 2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做质量均匀分布的球体，且合并前两颗中子星的质量均保持不变．估算一下，当两颗中子星相距100km 时，绕二者连线上的某点每秒转动（ ） A.6圈B.24圈C.48圈D.96圈7. 银河系的恒量中大约有四分之一是双星，某双星由质量分别为M 和m(M >m) 的两个星体构成，两星体在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动，若该双星运行的周期为T ，引力常量为G ，不考虑其他星体的影响，则两星体之间的距离为（ ） A.√GT 2(M+m)4π23B.√GT 2(M−m)4π23C.√GT 24π2(M+m)3 D.√GT 24π2(M−m)38. 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为（ ） A.√nkTB.√n 2kT C.√n 3kT D.√n 3k 2T二、 多选题9. 引力波探测于2017年获得诺贝尔物理学奖．双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P 、Q 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P 星的周期为T ，P 、Q 两颗星的距离为L ，P 、Q 两颗星的轨道半径之差为Δr(P 星的轨道半径大于Q 星的轨道半径），万有引力常量为G ，则（ ）A.Q 、P 两颗星的质量之和为4π2l 3GT 2B.P 、Q 两颗星的运动半径之比为ll−Δr C.P 、Q 两颗星的线速度大小之差为2πΔr TD.P 、Q 两颗星的质量之比为l−Δrl+Δr10. 双星系统如图所示，已知恒星A 、B 间的距离恒为L ，恒星A 和恒星B 的总质量为4M ，恒星A 与恒星B 的转动半径之比为3:1，引力常量为G ，下列说法正确的是（ ） A.恒星的角速度为√GM4L 3 B.恒星A 的质量为MC.恒星A 与恒星B 的向心力大小之比为1:1D.恒星A 与恒星B 的线速度大小之比为1:4参考答案一、选择题1.A解：设A、B两天体的轨道半径分别为r1、r2，两者做圆周运动的周期都为T，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可得Gm A m Bd2=m A(2πT)2r1，Gm A m Bd2=m B(2πT)2r2，其中d=r1+r2，解得M=m A+m B=4π2d3GT2．故选A．2.A解：双星都绕O点做匀速圆周运动，两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω，对A星：G m A m BL2=m Aω2r A，对B星：G m A m BL2=m Bω2r B，故m A:m B=r B:r A=2:1，角速度之比ωA:ωB=1:1，由v=ωr得线速度大小之比v A:v B=r A:r B=1:2，向心力大小之比F A:F B=1:1，故A正确，BCD错误．故选A．3.A解：设两颗星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，根据万有引力提供向心力可知：G m1m2L2=m14π2T2r1=m24π2T2r2，解得质量之和m1+m2=4π2L3GT2，而周期T=1n ，联立解得m1+m2=4π2n2L3G，故A正确．故选：A．4.B解：A．A、B两颗星的周期均为T=1n，故A错误；B．A、B两颗星的周期相同，所以角速度之比为1:1，故B正确；C．因为两星之间的万有引力提供向心力，所以两星的向心力相同，故C错误；D．两星的向心力相同，根据F向=mω2r得，m1ω2r1=m2ω2r2，即m1r1=m2r2，A、B质量之比为k，故r1r2=1k，其中r1+r2=L、v=ωr，解得A和B的线速度大小之和为2πnL，故D错误．故选B．5.C解：月球和地球绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等，且月球和地球和O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期，因此有：mω2r =Mω2R ， 又由于v =ωr ， 所以v 月v 地=M m =801．故选C ．6.D 解：设两颗星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，相距L ＝400km ， 根据万有引力提供向心力可知：Gm 1m 2L 2=m 1r 1ω12， Gm 1m 2L 2=m 2r 2ω12，r 1+r 2＝L ， 联立可得：r1r 2=m 2m 1，合并前两颗中子星的质量均保持不变，则它们的轨道半径的比值不变；当两颗中子星相距：L ′＝100km =L4时，r 1′=14r 1，由于：Gm 1m 2L ′2=m 1r 1′ω22，则可得：ω2＝8ω1，开始时两颗星绕二者连线上的某点每秒转动12圈，角速度增大为8倍后，则两颗星绕二者连线上的某点每秒转动的速度增大为8倍，为每秒96圈，故ABC 错误，D 正确． 故选D ．7.A 解：设星体S 1和S 2的质量分别为M 、m ，两星间距离为L ， 星体S 1做圆周运动的向心力由万有引力提供得：GMm L 2=Mω2r 1， 星体S 2做圆周运动的向心力由万有引力提供得：GMm L 2=mω2r 2，r 1+r 2=L ， 联立解得：L =√GT 2(M+m)4π3．故选：A ．8.C 解：设m 1的轨道半径为R 1，m 2的轨道半径为R 2，两星之间的距离为L ，由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同，由向心力公式可得： 对m 1:G m 1m 2L 2=m 14π2T 2R 1， 对m 2:Gm 1m 2L 2=m 24π2T 2R 2，又因为R 1+R 2=L ，m 1+m 2=M ， 联立可得：T =2π√L 3GM ，所以当两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，圆周运动的周期为：T ′=2π√(nL)3GkM =√n 3k T ． 故选C ．二、多选题9.A,C,D解：ABD．双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以Q星的周期为T，根据题意可知，r P+r Q=l，r P−r Q=Δr，解得：r P=l+Δr 2，r Q=l−Δr2，则P、Q两颗星的运动半径之比为l+Δrl−Δr，根据G m p m Ql2=m pω2r P=m Qω2r Q，可得m P=ω2r Q l2G ，m Q=ω2r P l2G，则质量和为：m P+m Q=ω2r Q l2G +ω2r P l2G=4π2l2GT2(r Q+r P)=4π2l2GT2，质量比为：m Pm Q=r Qr P=l−Δrl+Δr，故AD正确，B错误；C．P星的线速度大小v P=2πr PT =π(l+Δr)T，Q星的线速度大小v Q=2πr QT=π(l−Δr)T，则PQ两颗星的线速度大小之差为Δv=2πΔrT，故C正确．故选ACD．10.B,C解：B．设恒星A的质量为m A、运动的半径为r A，恒星B的质量为m B，运动的半径为r B，由于双星的角速度相同，故有Gm A m BL2=m Aω2r A=m Bω2r B，解得m A r A=m B r B，即m A=M，选项B正确；A．r A=34L，代入Gm A m BL2=m Aω2r A，解得ω=√4GML3，选项A错误；C．恒星A与恒星B的向心力都由万有引力提供，且都为Gm A m BL2，选项C正确；D．由于双星的角速度相同，恒星A与恒星B的线速度之比为半径之比，即为3:1，选项D错误．故选BC．。

高考重点难点热点快速突破1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω 21r 1，Gm 1m 2L2＝m 2ω 22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L (3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1. 2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图3甲所示)．②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O ，外围三颗星绕O 做匀速圆周运动(如图丁所示)．典例分析【例1】 (多选)(2017年昆明模拟)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是( )A ．这两颗恒星的质量必定相等B ．这两颗恒星的质量之和为4π2R 1＋R 23GT 2C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1D ．其中必有一颗恒星的质量为4π2R 1＋R 23GT 2【答案】 BC【例2】：2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现．在如图所示的双星系统中，A、B两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，已知恒星A的质量为太阳质量的29倍，恒星B的质量为太阳质量的36倍，两星之间的距离L＝2×105 m，太阳质量M＝2×1030 kg，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，π2＝10.若两星在环绕过程中会辐射出引力波，该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是( )A．102 Hz B．104 Hz C．106 Hz D．108 Hz【答案】 A【例3】：．经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当成孤立系统来处理．现根据对某一双星系统的测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．(1)计算出该双星系统的运动周期T；(2)若该实验中观测到的运动周期为T 观测，且T 观测∶T ＝1∶N (N >1)．为了理解T 观测与T 的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质．若不考虑其他暗物质的影响，根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．【答案】 (1)πL2L GM (2)3N －1M2πL3 【解析】 (1)双星均绕它们连线的中点做圆周运动，万有引力提供向心力，则G M 2L 2＝M ⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2·L 2，解得T ＝πL2L GM.【例4】：由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A 星体质量为2m 、B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：(1)A 星体所受合力大小F A ； (2)B 星体所受合力大小F B ； (3)C 星体的轨道半径R C ； (4)三星体做圆周运动的周期T .【答案 】 (1)23G m 2a 2 (2)7G m 2a 2 (3)74a (4)πa 3Gm【解析】(1)由万有引力定律，A 星体所受B 、C 星体引力大小为F BA ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a2＝F CA方向如图所示则合力大小为F A ＝F BA ·cos 30°＋F CA ·cos 30°＝23G m 2a2(3)由于m A ＝2m ，m B ＝m C ＝m通过分析可知，圆心O 在BC 的中垂线AD 的中点 则R C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝74a (4)三星体运动周期相同，对C 星体，由F C ＝F B ＝7G m 2a 2＝m (2πT)2R C ，可得T ＝πa 3Gm. 专题练习1：宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，万有引力常量为G ，则( )A ．每颗星做圆周运动的线速度为 Gm RB ．每颗星做圆周运动的角速度为 3GmR 3C ．每颗星做圆周运动的周期为2πR 33GmD ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 【答案】 ABC【解析】由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径r ＝R2cos 30°＝33R .由牛顿第二定律得Gm 2R 2·2cos 30°＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma ，可解得v ＝GmR，ω＝ 3GmR 3，T ＝2πR 33Gm ，a ＝3GmR2，故A 、B 、C 均正确，D 错误． 2.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法错误的是( )A ． 四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ． 四颗星的轨道半径均为C ． 四颗星表面的重力加速度均为D ． 四颗星的周期均为2πa【答案】B3.宇宙中存在一些离其他恒星较远，由质量相等的三个星体组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在的一种形式是三个星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示．设每个星体的质量均为m，相邻的两个星体之间的距离为L，引力常量为G，则( )A．该圆形轨道的半径为3 2 LB．每个星体的运行周期均为3πL3 2GmC．每个星体做圆周运动的线速度均为Gm LD．每个星体做圆周运动的加速度均与星体的质量无关【答案】：C4．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化，若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A.n 3k 2B.n 3k T C.n 2kT D.n kT 【答案】：B【解析】：设m 1的轨道半径为r 1，m 2的轨道半径为r 2，由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同，两星之间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力，即Gm 1m 2r 1＋r 22＝m 1r 1⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2，Gm 1m 2r 1＋r 22＝m 2r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，可得T ＝2πr 1＋r 23G m 1＋m 2，故当两恒星总质量变为原来的k倍，两星间距变为原来的n 倍时，圆周运动的周期变为n 3kT ，B 正确． 5．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2.则可知( )A ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为2∶3B ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2C ．m 1做圆周运动的半径为r 1＝25LD ．m 2做圆周运动的半径为r 2＝25L【答案：】C6. (多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统P、Q绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若PO>OQ，则( )A．星球P的质量一定大于Q的质量B．星球P的线速度一定大于Q的线速度C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大【答案】BD7. (多选)宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕两球心连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( ) A．双星相互间的万有引力不变B．双星做圆周运动的角速度均增大C．双星做圆周运动的速度均减小D．双星做圆周运动的半径均增大【答案】CD【解析】双星间的距离在不断缓慢增加，由万有引力定律，F＝G，知万有引力减小，A错误；根据万有引力提供向心力得G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，可知m1r1＝m2r2，知轨道半径比等于质量之反比，双星间的距离变大，则双星的轨道半径都变大，B 错误，D 正确；根据G＝m 1v 1ω＝m 2v 2ω，可得线速度减小，C 正确8. (多选)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，两星总质量为M ，两星之间的距离为r ，两星质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的轨道半径分别为r 1、r 2，则下列关系式中正确的是( )A ． M ＝B ． r 1＝rC ． T ＝2πD ． ＝【答案】AC【解析】由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：对m 1：＝m 1ω2r 1① 对m 2：＝m 2ω2r 2②；由①②式可得：m 1r 1＝m 2r 2 ，即＝，D 错误．r 1＋r 2＝r ，得：r 1＝r ＝r ，B 错误．将ω＝，r 1＝r 代入①式，可得：＝m 1·r，得：T ＝2π，M ＝，A 、C 正确．9．宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T 1；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T 2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．试求两种形式下，星体运动的周期之比T 1T 2.【答案】T 1T 2＝6＋634＋2【解析】：对于第一种形式，一个星体在其它三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径为：r1＝22a.。

微专题25 双星与多星问题【核心要点提示】(1)核心问题是“谁”提供向心力的问题．(2)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；(3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r ，以此列向心力方程进行求解．【微专题训练】“双星体系”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星球之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图1所示，相距为L 的A 、B 两恒星绕共同的圆心O 做圆周运动，A 、B 的质量分别为m 1、m 2，周期均为T .若有间距也为L 的双星C 、D ，C 、D 的质量分别为A 、B 的两倍，则( )A ．A 、B 运动的轨道半径之比为m 1m 2B ．A 、B 运动的速率之比为m 1m 2C ．C 运动的速率为A 的2倍D ．C 、D 运动的周期均为22T 【解析】对于双星A 、B ，有G m 1m 2L 2＝m 1(2πT )2r 1＝m 2(2πT )2r 2，r 1＋r 2＝L ，得r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，T ＝2πL L G m 1＋m 2，A 、B 运动的轨道半径之比为r 1r 2＝m 2m 1，A 错误；由v＝2πr T 得，A 、B 运动的速率之比为v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1，B 错误；C 、D 运动的周期T ′＝2πL L G 2m 1＋2m 2＝22T ，D 正确；C 的轨道半径r 1′＝2m 22m 1＋2m 2L ＝r 1，C 运动的速率为v 1′＝2πr 1′T ′＝2v 1，C 错误．【答案】D(2013·山东理综)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.n 3k 2T B.n 3kT C.n 2kT D.n kT 【解析】双星靠彼此的引力提供向心力，则有 G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2 G m 1m 2L 2＝m 2r 24π2T 2 并且r 1＋r 2＝L 解得T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)当两星总质量变为原来的k 倍，两星之间距离变为原来的n 倍时 T ′＝2πn 3L 3Gk (m 1＋m 2)＝n 3k·T 故选项B 正确． 【答案】B(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G .关于四星系统，下列说法正确的是( )A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为a2C ．四颗星表面的重力加速度均为GmR 2D ．四颗星的周期均为2πa2a(4＋2)Gm【解析】其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a ，故A 正确，B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G mm ′R 2＝m ′g ，解得g ＝GmR2，故C 正确；由万有引力定律和向心力公式得Gm 2(2a )2＋2Gm 2a 2＝m 4π2T 2·2a2，T ＝2πa2a(4＋2)Gm，故D正确． 【答案】ACD(2016·河南省郑州市高三月考)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m 的小星体和一个质量为M 的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r 。

专题六 天体运动的几类热点问题 考点一 双星与多星模型 1.双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。

如图所示。

(2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即2121112Gm m =m ωr L ,2122222ω=Gm m m r L 。

②两颗星的 相同，即12=T T ，12ωω=。

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为 。

④两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成 ，即1221=m r m r 。

⑤双星的运动周期 。

⑥双星的总质量 。

2.多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的 相同。

(2)常见的三星模型①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行（如图甲所示）。

②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示）。

(3)常见的四星模型①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（如图丙所示）。

②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O ，外围三颗星绕O 做匀速圆周运动（如图丁所示）。

题型一 双星模型(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。

根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s 时，它们相距约400km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。

将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A .质量之积B .质量之和C .速率之和D .各自的自转角速度题型二 三星模型 (2023·湖北黄冈中学三模)(多选)如图所示，质量相等的三颗星组成为三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略。

设每颗星体的质量均为m ，三颗星分别位于边长为r 的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动。

物理迷你专题：双星、三星、四星等问题1.两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量.2.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。

研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。

若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为T kn A 23. T k n B 3. T k n C 2. T k n D .3.如右图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间的距离为L 。

已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。

引力常数为G 。

（1）求两星球做圆周运动的周期：（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期为T 1。

但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T 2。

已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和7.35×1022kg 。

求T 2与T 1两者平方之比。

（结果保留3位小数）4.经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。

一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理.现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.（1）试计算该双星系统的运动周期T计算；（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算=1：N（N＞1）.为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质.作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质.若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度.5.宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m，万有引力常量为G．（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？6.由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A 星体质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求： （1）A 星体所受合力大小F A ； （2）B 星体所受合力大小F B ； （3）C 星体的轨道半径R C ；（4）三星体做圆周运动的周期T ．7.宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T 1；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T 2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动。

双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。

双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。

双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。

双星系统在银河系中很普遍。

利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。

（引力常量为G ）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。

根据题意有21ωω=①r r r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G1211221r w m rm m = ③G1221221r w m rm m =④联立以上各式解得2121m m rm r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221== ⑥联立③⑤⑥式解得322214r GT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A 的速率v=×105 m/s ，运行周期T=π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？ （G=×10-11 N·m 2/kg 2，m s =×1030 kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。

天体运动的双星和多星问题解析作者：孙年坤来源：《理科考试研究·高中》2014年第06期一、双星问题两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星.双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容.现就对于双星天体系统问题的解题方法做简要分析.（1）由于双星和该固定点O总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同.（2）由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等. （3）要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系,两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期相等，角速度相等，所以线速度与两子星的轨道半径成正比. （4）要明确两子星圆周运动的动力学关系.设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L;M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得:GM1M2L2=M1v21r1=M1r1w21G=M1M2L2=M2v22r2=M2r2w22例1两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是().A.它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比.B.它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比.C.它们做圆周运动的半径与其质量成正比.D.它们做圆周运动的半径与其质量成反比.解析两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等.由v=rω得线速度与两子星圆周运动的半径成正比.因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，对M1有 GM1M2L2=M1v21r1=M1r1w21①对M2有 GM1M2L2=M2v22r2=M2r2w22②联立①②得M1r1w1=M2r2w2所以它们的轨道半径与它们的质量成反比.而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也成反比.正确答案选BD.例2用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.（1）计算该双星系统的运动周期T计算.（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算=1：N (N>1)，为了解释T 观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体边线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质。