新课标八年级数学竞赛讲座：第二十二讲 直角三角形的再发现

导学案：直角三角形的证明一、知识预热1.请定义直角三角形。

2.挑战：请设计一个数学实验，验证对于任意直角三角形ABC，通过勾股定理可以求出直角边的长度关系。

二、教学目标1.理解直角三角形的定义。

2.掌握通过勾股定理证明直角三角形的方法。

三、自主探究1.设定三条边长分别为a、b、c的三角形ABC，其中∠C=90°。

请尝试给出勾股定理的表达式。

2.请根据上述表达式，尝试给出直角边的长度关系。

3.设一些直角三角形的边长分别为3、4、5、请尝试用勾股定理证明该三角形是直角三角形。

四、实践探究1.设一些直角三角形的两个直角边的长度为a、b，斜边的长度为c。

请根据上述的讨论，尽可能多地列出其他可以求出直角三角形的条件。

2.请结合以上讨论，找到三角形的两条边长和一个角度就唯一确定一个三角形的规律。

五、归纳总结1.请总结直角三角形的定义。

2.请总结通过勾股定理证明直角三角形的方法。

六、课后拓展1.设一些直角三角形的斜边长为10，一个直角边长为6、请尝试求出另一个直角边的长度。

2.请发散思维，尝试设计一个数学问题，要求通过已知的两个边长和一个角度来确定一个三角形的全部元素。

导学案参考答案：一、知识预热1.直角三角形是指其中一个角为90°的三角形。

2.挑战题略。

二、教学目标1.直角三角形是指其中一个角为直角的三角形。

2.通过勾股定理可证明直角三角形的存在。

三、自主探究1.根据直角三角形的定义，可以得到a²+b²=c²。

2.根据上述表达式，可以得到直角边的长度关系：a²=c²-b²或b²=c²-a²。

3.对于边长分别为3、4、5的三角形，代入勾股定理的表达式可以得到：3²+4²=5²9+16=2525=25所以该三角形满足勾股定理，是直角三角形。

四、实践探究1.其他可以求出直角三角形的条件有：已知两个直角边的长度和斜边的长度，已知一个直角边的长度和斜边的长度，已知直角边的长度和一个锐角的大小。

直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理与其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理与其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。

三、角平分线的性质定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵是∠的平分线，F是上一点，且⊥于点C，⊥于点D，∴＝.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.图42.关于三角形三条角平分线的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果、、分别是△的内角∠、∠、∠的平分线，那么：①、、相交于一点I；②若、、分别垂直于、、于点D、E、F，则＝＝.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.四、勾股定理的证明与应用１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222+=a b c勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b =，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baED CBA斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 与222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理与其逆定理的应用勾股定理与其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

直角三角形（基础）【学习目标】1．认识直角三角形 , 学会用符号和字母表示直角三角形．2．掌握直角三角形两个锐角互余的性质, 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形 .3.掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用 .4.领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．【要点梳理】要点一、直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形 . 直角三角形表示方法： Rt△. 如下图，可以记作“Rt △ABC” .要点诠释：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是 90° . 直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质 .要点二、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余 . 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .要点诠释：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形 .含有 30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且 30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半 .要点三、直角三角形判定两个角互余的三角形是直角三角形 .在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形如图：已知： CD为 AB 的中线，且 CD=AD=B，D求证△ ABC是直角三角形．证明：∵ AD=CD，∴∠ A=∠ 1．同理∠ 2=∠ B．∵∠ 2+∠B+∠ A+∠1=180°，即 2（∠ 1+∠2）=180°，∴∠ 1+∠ 2=90°，即：∠ ACB=90°，∴△ ABC是直角三角形．【典型例题】类型一、直角三角形性质的应用1、如图，在△ ACB 中，∠ ACB=90゜， CD⊥AB 于 D．（1）求证：∠ ACD=∠ B；（2）若 AF平分∠ CAB分别交 CD、 BC于 E、F，求证：∠ CEF=∠CFE．【思路点拨】（ 1）由于∠ ACD与∠B都是∠ BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠ CFA=90°﹣∠ CAF，∠AED=90°﹣∠ DAE，再根据角平分线的定义得出∠ CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠ CEF=∠CFE．【答案与解析】证明：（1）∵∠ ACB=90゜，CD⊥AB 于 D，∴∠ACD+∠BCD=9°0 ，∠ B+∠BCD=9°0 ，∴∠ ACD=∠ B；（2）在 Rt△AFC中，∠ CFA=90°﹣∠ CAF，同理在 Rt△AED中，∠ AED=90°﹣∠ DAE．又∵AF 平分∠ CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠ CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．【总结升华】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．举一反三：【变式】如图，在△ ABC中，∠ACB=90°，CD是 AB边上的高线，图中与∠ A互余的角有（）A． 0 个B． 1 个C． 2 个D． 3 个类型二、含有 30°的直角三角形2、如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， BC=6，求 AB的长．【思路点拨】根据直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半，得出 AB 与 BC 的数量关系．【答案与解析】解：∵∠C=90°，∠ A=30 °， BC=6，∴ AB=2BC=12 ．【总结升华】本题考查了含 30°的直角三角形．含 30°的直角三角形中，斜边等于30°角的对边的 2 倍.3、如图，测量旗杆 AB的高度时，先在地面上选择一点 C，使∠ACB=15°．然后朝着旗杆方向前进到点 D，测得∠ ADB=30°，量得 CD=13m，求旗杆AB的高．【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ CAD，再根据等 角对等 边的性质 可得 AD=CD ，然后根 据直角 三角形 30°角 所对的直角边 等于斜边的一半解答即可．【答案与解析】解： ∵ ∠ ACB=15°， ∠ ADB=30°，∴ ∠ CAD=∠ ADB-∠ ACB=30 ° -15 °=15 °，即△CAD 为等腰三 角形，∴ AD=CD=13 ，在 △ ADB 中 ， ∵ AB ⊥ DB ， ∠ ADB=30 ∴ AB= 11AD= × 13=6.5(m) ．22 总结升华】 本题考查了直角三角形 30°角 所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质， 熟记性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图，△ ABC 中， AB=AC ，∠ BAC=12°0 ，AD ⊥AC 交 BC 于点 D ，求证： BC=3AD ．【答案】证明：在△ ABC 中，∵AB=AC ，∠ BAC=12°0 ， ∴∠B=∠C=30°， 又∵AD ⊥AC ，∴∠ DAC=9°0 ，∵∠C=30°∴CD=2A ，D ∠ BAD=∠B=30°，∴AD=D ，B ∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+=2A3ADD ．类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、（2016?石景山区一模）如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90°， CD 是 AB 边上的中线， DE ⊥ AB 于点 D，交AC 于点 E ．求证：∠ AED=∠ DCB ．【思路点拨】 首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 CD= AB=DB ，由等边 对等角得到∠ B=∠ DCB ．再根据直角三角形两锐角互余得出∠ A+∠AED=90°，∠A+∠B=90°，那么根据同角的余角相等得出∠ B=∠ AED，等量代换即可得出∠ AED=∠ DCB．【答案与解析】证明：∵在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， CD是 AB边上的中线，∴CD= AB=DB，∴∠ B=∠ DCB．∵DE⊥ AB于点 D，∴∠ A+∠AED=90°，∵∠ A+∠B=90°，∴∠ B=∠ AED，∴∠ AED=∠DCB．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，余角的性质．5、如图，直角三角形 ABC 中，O是 BC 中点且 BD ⊥ CD ，试说明 AO 与 OD 的关系．1 DO= BC ，即 可推出答 案．2 【答案与解析】 解 ： AO=DO ，理由是： ∵ ∠ BAC=90°， O 为 BC 中点， 1 ∴ AO= BC ， 2∵ BD ⊥ CD ，∠ BDC=90∵ O 为 BC 中 点 ，1∴ DO= BC ，2∴ AO=DO.总结升华】 本题考查了 直角三 角形斜边上中 线性质的 应用， 题目比 较典型， 难度不大．举一反三：【变式】如 图 ，在 Rt △ABC 中，∠ ACB=90°， CD 是 AB 边 上的中线，将 △ADC沿 AC 边所在的直线折叠 ， 使 点 D 落 在 点 E 处 ， 得 四 边形 ABCE ． 求 证 ： EC ∥ AB ．答案】证明： ∵ CD 是 AB 边 上的中 线，且 ∠ ACB=90°， ∴ CD=AD ． ∴ ∠ CAD=∠ ACD ．又 ∵△ACE 是 由△ADC 沿 AC 边所 在的直 线折叠而成的， ∴ ∠ ECA=∠ ACD ．∴ ∠ ECA=∠ CAD ．∴ EC ∥ AB ．思路点拨】 根据直 角三角 形斜边 上中 线等于斜边的 一半得 出AO BC ， 同理。

直角三角形的再发现第二十二讲直角三角形的再发现直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的结论．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则有：1．同一三角形中三边的平方关系：AB2=AC2+BC2，AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2．2．角的相等关系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD．3．线段的等积式：由面积得AC×BC=AB×CD；由△ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB．以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知识．注直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是：一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中．例题求解【例1】等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长5cm，一动点P在底边上从B向C以0．25cm／秒的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为． (江苏省常州市中考题)思路点拨为求BP需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动态过程．【例2】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，则AE的长为( )A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青岛市中考题) 思路点拨从题设条件及基本图形入手，先建立AB、AD的等式．【例3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DB为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°．(1)求证：BD×BC＝BG×BE；(2)求证：AG⊥B E；(3)若E为AC的中点，求EF：FD的值．（盐城市中考题）思路点拨发现图形中特殊三角形、基本图形、线段之间的关系是解本例的基础．(1)证明△GBD∽△CBE；(2)证明△ABG∽EBA；(3)利用相似三角形，把求的值转化为求其他线段的比值．【例4】如图，H、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BH=BQ，过B作HC的垂线，垂足为P．求证：DP⊥PQ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨因∠BPQ+∠QPC=90°，要证DP⊥PQ，即证∠QPC+∠DPC=90°，只需证∠BPQ=∠DPC，只要证明△BPQ∽△CPD即可．注题设条件有中点，图形中有与直角三角形相关的基本图形，给我们以丰富的联想，单独应用或组合应用可推出许多结论．因此，读者应不拘泥于给出的思路点拨，多角度探索与思考，寻找更多更好的解法，以培养我们发散思的能力．【例5】已知△ABC中，BCAC，CH是AB边上的高，且满足，试探讨∠A与∠B的关系，井加以证明． (武汉市选拔赛试题)思路点拨由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A与∠B的关系，解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件．注构造逆命题是提出问题的一个常用方法，本例是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题，读者你能提出新的问题吗?并加以证明．学力训练1．如图，已知正方形ABCD的边长是1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当BQ= 时，三角形ADP与三角形QCP相似．(云南省中考题)2．如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，DF⊥CB 于E，若BE=6，CE=4，则AD= ．3．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，BC=2 ，AC=4，过AC的中点O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F，则EF= ． (重庆市竞赛题)4．P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有( )A．1条 B． 2条 C．3条 D．4条(2001年安徽省中考题)5．在△ABC中，AD是高，且A D2=BD×CD，那么∠BAC的度数是( )A．小于90° B．等于90° C．大于90° D．不确定6．如图，矩形ABCD中，AB= ，BC=3，AE⊥BD于E，则EC=( )A． B． C． D．．如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥ AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G，求证：AG2＝AF×FC．8．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G．求证；(1)AB=BH；(2)AB2=GA×HE． (青岛市中考题) 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE×AD=16，AB(1)求证：CE=EF；(2)求EG的长．(河南省中考题)10．如图，直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AC⊥BD，已知，则 = ．(江苏省竞赛题)．如图，在Rt△ABC中，两条直角边AB、AC的长分别为l厘米、2厘米，那么直角的角平分线的长度等于厘米．12．如图，点D、E分别在△ABC的边AC和BC上，∠C＝90°，DE∥AB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的长为．( “我爱数学”初中数学夏令营试题)13．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，若AD= AC，CE= BC，则∠1与∠2的大小关系是( )A．∠1∠2 B．∠1∠2 C．∠1=∠2 D．无法确定(天津市竞赛题)14．如图，△ABC中，CD⊥AB交AB于点D，有下列条件：①∠A=∠BCD；②∠A+∠BCD=∠ADC；③ ；④BC2=BD×BA．其中，一定能判断△ABC是直角三角形的共有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 (2003年河南省竞赛题)．如图，在直角梯形ABCD中， AB=7，AD=2，DC=3，如果边AD上的点P使得以P，A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE∥BC交AC于点E，DF∥ AC交BC于点F．求证：(1)四边形CEDF是正方形；(2)CD2=AE×BF．(山东省竞赛题)17．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，已知Rt△ABC的三边长都是整数，且BD=113，求Rt△BCD 与Rt△ACD的周长之比．(全国初中数学联赛题 )．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC边于D，求证：．(昆明市竞赛题)．如图，已知边长为a的正方形ABCD，在AB、AD上分别取点P、S，连结PS，将Rt△SAP 绕正方形中心O旋转180°得Rt△QCR，从而得四边形PQRS．试判断四边形PQRS能否变化成矩形?若能，设PA= x，SA=y ，请说明x 、y具有什么关系时，四边形PQRS是矩形；若不能，请说明理由．(山东省济南市中考题)20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°(1)当点D在斜边AB内时，求证：；(2)当点D与点A重合时，(1)中的等式是否存在?请说明理由；(3)当点D在BA的延长线上时，(1)中的等式是否存在?请说明理由．(全国初中数学竞赛题)。