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高中数学教师竞赛作品《余弦定理》课件 新人教版必修5

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《余弦定理》课件八(21张PPT)(人教A版必修5)

《余弦定理》课件八(21张PPT)(人教A版必修5)
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
例4、 △ABC中，a 3, b 7, c 2求B，并判断 △ABC的形状。
24
小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
∴ AB= 13
3.定理的证明
A
B
C
证明： 在三角形ABC中，AB、BC、 CA的长分别为c,a,b.
AB AC CB
AB AB ( AC CB) ( AC CB)
2
2
AC 2AC CB CB

2
AC

2
AC

CB
c os (1800

C)

2
解斜三角形
余弦定理
1.创设问题情境
A
B
A
BCຫໍສະໝຸດ 600Ac
B
b
a
C
2.特殊到一般,发现定理
令∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.
A
B
D
C
看看答案
解: 过A作BC边上的高AD,则 AD=4sin600,CD=4cos600, BD=3－4cos600,

人教新课标版数学高二-必修5课件 余弦定理

人教新课标版数学高二-必修5课件 余弦定理

同理可证(2)b＝ccos A＋acos C； (3)c＝acos B＋bcos A.
名师点评
证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关 系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦 借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．
跟踪训练2 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：
探究点2 证明三角形中的恒等式
问题： 前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
由余弦定理得
a2＋c2－b2 b2＋c2－a2 a 2ac ＝b 2bc ，去分母得
a2＋c2－
b2＝b2＋c2－a2，化简得 a＝b.
由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12. ∵0<A<π，∴A＝π3. 又sin A＝2sin Bcos C.
∴由正弦、余弦定理，
a2＋b2－c2 a2＋b2－c2 得 a＝2b· 2ab ＝ a ， ∴b2＝c2，b＝c，
证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两 边的差异．
例2 在△ABC中，有 (1)a＝bcos C＋ccos B； (2)b＝ccos A＋acos C； (3)c＝acos B＋bcos A， 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
方法一 (1)由正弦定理，得 b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， ∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B ＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C) ＝2Rsin(B＋C) ＝2Rsin A＝a. 即a＝bcos C＋ccos B. 同理可证(2)b＝ccos A＋acos C； (3)c＝acos B＋bcos A.

人教版高中数学余弦定理(说课)(共20张PPT)教育课件

人教版高中数学余弦定理(说课)(共20张PPT)教育课件
人教版A版高中数学必修5
1.1.2余弦定理
第一章《解三角形》第二节课
玉林高中 饶蔼
人教版A版高中数学必修5
一.教材分析 二.学情分析 三.教学方法 四.教学过程
量化
激发
产生
掌握
提高
思维 能力
知识与技能：
通过探究 学会 掌握 两种表示 运用
过程与方法：
培养 特殊到一般 提升 解决几何问题
情感态度价值观：
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
知两边与夹角
例2：在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
知三边
练习1：在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
练习2：在△ABC中，已知a=7 cm，b=10 cm， c=6 cm ， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。

人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件

人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件

解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是

数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教版A必修5)

数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教版A必修5)
1.1.2余弦定理
鹿邑三高 史琳
2021/4/6
1
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变型： a 2 R sA i,b n 2 R sB i,c n 2 R sC in
a :b :c sA i:s n B i:s n C in
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 （2）已知两边和一边的对角。
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.
解：在AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61, B
C
∴ |a – b|＝√61.
b 120° O aA
2021/4/6
19
例 4：已知向量a、b夹角为120°， B
C
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、 b 120°
coB s a2c2b2 2ac
coC sa2 b2 c2 2ab
应用：已知三条边求角度．
2021/4/6
9
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就 可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
正弦定理可解决的几类问题: (1)已知两角和任,一 解边 三角;形 (2)已知两边和其中一角 边,解 对三角形 .
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：B2 C |A|2B |A|2 C 2 |A|A B|C cA os

人教版数学必修五1.1.2 余弦定理 课件 (共17张PPT)

人教版数学必修五1.1.2 余弦定理 课件 (共17张PPT)

2tanα 1-tan2α
06:37:52
创设情境 兴趣导入
引例 2009年10月，内蒙古交通设计研究院有限责任公司在设
计丹锡高速赤峰二道井子段（K166+280～K166+570）时,为保护
夏家店文化文物，需要挖掘隧道，勘测人员将隧道口A和B定位在 山的两侧(如图）,在平地上选择适合测量的点C ，如果∠C=60°,
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦 定理．
06:37:52
动脑思考 探索新知
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和 减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍. 即 2 2 2 a b c 2bc cos A
b a c 2ac cos B
c a b 2ab cos C
第一章
三角公式及应用
1.2.1 余弦定理
授课班级：14普教 授课教师：郭清山 2016年11月6日
06:37:52
知识积累 复习巩固
1、正弦二倍角公式 sin2α= 2sinαcosα
2、余弦二倍角公式 cos2α-sin2α cos2α= 2cos2α-1 1-2sin2α 3、正切二倍角公式 tan2α=
约为12.12m.
D B
A
06:37:52
归纳总结 理论升华
余弦定理的内容是什么？
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
夜半偶句
余弦定理考夹角，两边平方和求好； 减去倍乘抠塞角，三边平方见分晓。
分析 这是已知三角形 ∠A=44°25′， 的三边，求其它元 素的问题，可以直 ∠B=101°32′， 接应用余弦定理变 ∠C=180°-∠A-∠B=34°3′. 形公式1.22． 查表或计算器可得

人教版高中数学课件-高中数学必修五课件：1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)

人教版高中数学课件-高中数学必修五课件：1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)
∴－ 2cosC＝ 1， ∴cosC＝ － ， ∴ C＝
5．在△ABC 中： (1)a＝1，b＝1，C＝120°，求 c； (2)a＝3，b＝4，c＝ 37，求最大角； (3)a∶b∶c＝1∶ 3∶2，求 A、B、C. 解：(1)由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋12－2×1×1×(－12)＝3，∴c＝ 3； (2)显然 C 角最大， ∴cosC＝a2＋2ba2b－c2＝322＋×432×－437＝－12，∴C＝120°；
∴边 a 是△ABC 中的最大边，则角 A 是最大内角． ∵cosA＝b2＋2cb2c－a2＝－12，
∴sinA＝
3 2.
∴△ABC
的最大内角的正弦值是
3 2.
[点评] 本题中比例系数k的引入是解题的关键．
迁移变式2 在△ABC中，已知a＝7，b＝3， c＝5，求最大角和sinC.
解：∵a>c>b， ∴A 为最大角， 由余弦定理的推论得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×532×－572＝－12. 又∵0°<A<180°， ∴A＝120°， ∴sinA＝sin120°＝ 23，
由正弦定理sianA＝sincC得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
[分析] 本题主要考查了余弦定理及大边对 大角等平面几何性质，要求出最大内角的 正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出 边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求 出余弦值，再求正弦值．

人教版高中数学必修5课件：1.1.2余弦定理(说课)(共20张PPT)

人教版高中数学必修5课件：1.1.2余弦定理(说课)(共20张PPT)

角形
5.学生练习
人教版A版高中数学必修5
玉林高中 饶蔼
通过探究 学会 掌握 两种表示 运用
过程与方法：
培养 特殊到一般 提升 解决几何问题
情感态度价值观：
数学来源于生活 学习热情 合作能力
一.教材分析
重点
发现与证明 及基本应用
难点
几何法证明 应用思路
二.学情分析
知识起点
正弦定理 知两角与任一边 知两边与对应角
经验起点
几何问题 建立直角坐标系
向量知识
问题1 问题2 问题3 问题4
问题5
对“冷艳”的数学进行“火热”的思考
突出重点
亮点： 基于教材 高于教材 培养思维能力 拓展思维空间
突破难点
例题讲解，解决问题
例1：在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41°，解三 角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
知两边与夹角
例2：在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
三角形的形状具有什么特点？ 强化能力
探究题：小组课后学习P8的《探究与发现》，小组探究“知两 边与对应角”题型的解的情况问题。
拓展思维
板书设计
1.余弦定理
2.证明方法: (1)几何法; (2)向量法； (3)坐标法；
1.1.2余弦定理
3.例题讲解
4.小结
(1)已知三边求任意角;
(2)已知两边、一角解三
三.教学方法
问题 导学
小组 探究
总结 反思
构建
学生 主体
四.教学过程
一 • 创设情境，引入课题 6分钟 二 • 合作探究，证明定理 20分钟 三 • 例题讲解，解决问题 6分钟 四 • 牛刀小试，学以致用 4分钟 五 • 课堂小结，回顾反思 3分钟 六 • 布置作业，巩固升华 1分钟
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2
2
2 AC
2
CB cos( 180 0
C) CB
2
c a b 2ab cosC
定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减
去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cosC
c a b 2ab cosC
2 2 2
余 弦 定 理
证明：以CB所在的直线为X轴， 过C点垂直于CB的直线为Y轴，建 立如图所示的坐标系，则A、B、 C三点的坐标分别为：
A(b cosC, b sin C ), B(a,0), C (0,0)
AB (b cos C a ) (b sin C 0)
2 2 2 2 2 2 2
b cos C 2ab cos C a b sin C
2
a b 2ab cos C
2 2
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
余 弦 定 理
当角C为锐角时 证明：过A作AD CB交CB于D 在Rt ADC 中 A
b
a D
平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。 2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的 问题： （1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其 他两个角。
c b a
2 2
2
思考题：若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a, CA=b,求AB边c. A
解： AB AC CB
b
C
c a
B
AB AB ( AC CB)( AC CB)
AC AC 2 AC CB CB CB
AB
2
2
AC
2 2 2
b c a cos A 2bc a2 c2 b2 cos B 2bc
2 2 2
余弦定理可以解决以下两 类有关三角形的问题： （1）已知三边求三个角； （2）已知两边和它们的夹 角，求第三边和其他两个 角。
a2 b2 c2 cosC 2ab
余 弦 定 理
A
证明：以CB所在的直线为X轴，
2 2 2
定理的应用
例.已知b=8,c=3,A=600求a.
解：
∵a2=b2+c2－2bccosA
=64+9－2×8×3cos600
=49
a=7
变式练习：
1Байду номын сангаас已知:a=7,b=8,c=3,求A.
2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断 此三角形的形状.
课堂小结：
1、定理：三角形任何一边的平方等于其他两边
余弦定理
1、向量的数量积：
a b a b cos
A
b C a c B
2、勾股定理：
a b c
2 2
2
证明： AB
AC CB
AB AB ( AC CB)( AC CB)
AC AC 2 AC CB CB CB 2 2 2 AB AC CB
c
B
AD AC sin C, CD AC cosC C
在
RtABD 2 BD 2 AB 2 AD
( AC sin C ) 2 (CB CD) 2 AC 2 sin 2 C CB 2 2CB AC cos C AC 2 cos2 C AC 2 CB 2 2CB AC cosC
过C点垂直于CB的直线为Y轴，建 立如图所示的坐标系，则A、B、 C三点的坐标分别为：
b
C
c a
B
A(b cosC, b sin C ), B(a,0), C (0,0)
AB ( a b cos C ) (b sin C 0)
2 2 2 2 2 2 2 2
b cos C 2ab cos C a b sin C a 2 b 2 2ab cos C
中
c a b 2ab cosC
2 2 2
余 弦 定 理
当角C为钝角时 证明：过A作AD CB交BC的延长线于D 在Rt ACD 中
AD AC sin(180 C ) AC sin C CD AC cos( C ) AC cos C 180
在
RtABD AB AD
2
中
2
A
c b
BD 2
D
( AC sin C ) 2 (CB CD) 2 AC 2 CB 2 2CB AC cosC
AC 2 sin 2 C CB 2 2CB AC cos C AC cos2 C
C
a 2
B
c a b 2ab cosC

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