配方法(三)拓展资源

专题03 “配方法”的八种应用（解析版）类型一 判断代数式的正负1．（2021 秋•牡丹江期末）已知x 为任意实数，则x ﹣1―14x 2的值（ ）A ．一定为负数B ．不可能为正数C ．一定为正数D ．可能为正数、负数或0思路引领：先提出负号，运用完全平方公式配方，根据平方的非负性即可作出判断．解：原式＝﹣[1﹣x +（12x ）2]＝﹣（1―12x ）2，∵（1―12x ）2≥0，∴﹣（1―12x ）2≤0，故选：B ．总结提升：本题考查了配方法的应用，平方的非负性，提出负号是解题的关键．4．（2022秋•朝阳区校级期中）求证：关于x 的方程（m 2﹣8m +17）x 2+2mx +1＝0，无论m 取何值，该方程都是一元二次方程．思路引领：根据一元二次方程的定义只要说明二次项系数不为零即可证明结论成立，根据配方法可以说明二次项系数不为零．证明：（m 2﹣8m +17）x 2+2mx +1＝0，∵m 2﹣8m +17＝（m ﹣4）2+1≥1，∴无论m 取何值，该方程都是一元二次方程．总结提升：本题考查一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确一元二次方程的定义．类型二 比较大小2．（2021•潍坊一模）已知M =75t ﹣2，N ＝t 2―35t （t 为任意实数），则M ，N 的大小关系为（ ）A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．不能确定思路引领：利用配方法把N ﹣M 的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可．解：∵N ﹣M ＝（t 2―35t ）﹣（75t ﹣2）＝t 2﹣2t +2＝（t ﹣1）2+1＞0，∴M ＜N ，故选：B．总结提升：本题考查的是配方法的应用和非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．3．（2020•浙江自主招生）在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标（x，y）的个数为 ．思路引领：已知不等式变形后，利用完全平方公式化简，根据x与y均为整数，确定出x与y的值，即可得到结果．解：由题设x2+y2≤2x+2y，得0≤（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，因为x，y均为整数，所以有(x―1)2=0(y―1)2=0或(x―1)2=0(y―1)2=1或(x―1)2=1(y―1)2=0或(x―1)2=1(y―1)2=1，解得：x=1y=1或x=1y=2或x=1y=0或x=0y=1或x=0y=0或x=0y=2或x=2y=1或x=2y=0或x=2y=2，以上共计9对（x，y）．故答案为：9．总结提升：此题考查了坐标与图形性质，配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．类型三配方变形5．（2019春•西湖区校级期中）如果ax2―2x+a9=（3x―13）2+m，那么a，m的值分别为（ ）A．3，0B．9，89C．9，13D．89，9思路引领：由（3x―13）2+m＝9x2﹣2x+19+m可知a＝9，m=89解：由ax2―2x+a9=（3x―13）2+m＝9x2﹣2x+19+m得：a＝9，19+m＝1所以：m=8 9故选：B．总结提升：本题主要考查完全平方公式在配方法中的应用．6．∵a2±2ab+b2＝（a±b）2，∴我们把形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．请解决下列问题：（1）代数式x2+6x+m中，当m＝ 时，代数式为完全平方式；（2）代数式x 2+mx +25中，当m ＝　±10　时，代数式为完全平方式；（3）代数式x 2+（m +2）x +（4m ﹣7）为完全平方式，求m 的值．思路引领：根据完全平方式的定义即可求解．解：（1）代数式x 2+6x +m 中，当m ＝9时，代数式为完全平方式；故答案为：9；（2）代数式x 2+mx +25中，当m ＝±10时，代数式为完全平方式；故答案为：±10；（3）∵代数式x 2+（m +2）x +（4m ﹣7）为完全平方式，∴|m +22|=4m ―7，∴m 2+4m +4＝16m ﹣28，m 2﹣12m +32＝0，m 2﹣12m +36＝4，∴（m ﹣6）2＝4，m ﹣6＝±2，m 1＝8，m 2＝4．总结提升：本题考查了完全平方式的定义，熟记完全平方公式是解答本题的关键．类型四 用配方法求代数式的最值7．（2014春•宜兴市校级期中）甲、乙两位同学对问题“求代数式y =x 2+1x 2的最小值”提出各自的想法．甲说：“可以利用已经学过的完全平方公式，把它配方成y =(x +1x)2―2，所以代数式的最小值为﹣2”．乙说：“我也用配方法，但我配成y =(x ―1x)2+2，最小值为2”．你认为（ ）A ．甲对B ．乙对C ．甲、乙都对D ．甲乙都不对思路引领：先用配方法得到y ＝（x ―1x ）2+2和y ＝（x ―1x ）2+2，再根据x 和1x一定同号判断出正确的解析式．解：因为x 和1x 一定同号，不可能出现x =―1x的情况．所以 x +1x≠0．所以乙正确．故选：B．总结提升：本题考查了配方法的应用．此题注意x和1x的关系：互为倒数，显然它们的平方和只有在都是1或﹣1时，有最小值．8．（2021秋•台江区期末）阅读材料：数学课上，老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1．当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1，因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1．通过阅读，解决下列问题：（1）代数式x2+10x﹣6的最小值为 ；（2）当x取何值时，代数式﹣x2+6x+8的值有最大值或最小值，并求出最大值或最小值；（3）试比较代数式4x2﹣2x与2x2+6x﹣9的大小，并说明理由．思路引领：（1）仿照阅读材料中的方法把代数式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；（2）代数式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质判断即可；（3）利用作差法列出关系式，配方后利用非负数的性质确定出大小即可．解：（1）x2+10x﹣6＝（x2+10x+25）﹣31＝（x+5）2﹣31，∵（x+5）2≥0，∴当x+5＝0，即x＝﹣5时，代数式最小值为﹣31；故答案为：﹣31；（2）﹣x2+6x+8＝﹣（x2﹣6x+9）+17＝﹣（x﹣3）2+17，∵（x﹣3）2≥0，∴﹣（x﹣3）2≤0，∴当x﹣3＝0，即x＝3时，代数式有最大值17；（3）∵（x﹣2）2≥0，∴（4x2﹣2x）﹣（2x2+6x﹣9）＝4x2﹣2x﹣2x2﹣6x+9＝2x2﹣8x+9＝2（x2﹣4x+4）+1＝2（x﹣2）2+1≥1＞0，∴4x2﹣2x＞2x2+6x﹣9．总结提升：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．（2021春•奉化区校级期末）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于？思路引领：根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．解：∵m﹣n2＝1，∴n2＝m﹣1，m≥1，则m2+2n2+4m﹣1＝m2+2m﹣2+4m﹣1＝m2+6m﹣3＝m2+6m+9﹣12＝（m+3）2﹣12，∵m≥1，∴（m+3）2﹣12≥4，即代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于4．总结提升：本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．10．（2020秋•句容市期中）已知x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，则m+n的最大值等于（ ）A．134B．4C．―154D．―134思路引领：根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0，即可求得n＝﹣m2﹣2m+3，然后代入所求的代数式，利用配方法m+n的最大值．解：∵x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，∴x＝m满足一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0，∴m2+2m+n﹣3＝0，∴n＝﹣m2﹣2m+3，∴m+n＝m﹣m2﹣2m+3＝﹣（m―12）2+134≤134，∴m+n的最大值为13 4，故选：A．总结提升：本题主要考查了一元二次方程的解的定义，注意配方法在解题过程中的应用．类型五配方法在多元二次方程中的应用11．（2017秋•蓬溪县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，则△ABC的形状是（ ）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．无法确定思路引领：先分解因式，即可得出a＝b，根据等腰三角形的判定得出即可．解：a2﹣b2+ac﹣bc＝0，（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）＝0，（a﹣b）（a+b+c）＝0，∵a、b、c是三角形的三边，∴a+b+c≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形，故选：C．总结提升：本题考查等腰三角形的判定和分解因式，能正确分解因式是解此题的关键．12．已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣4c＝﹣7，c2﹣6a＝﹣14，则a+b+c的值是（ ）A．2B．3C．4D．5思路引领：将已知三个等式的左右分别相加，然后根据配方法将a2+6b+b2+8c+c2+2a转化为偶次方的和的形式（a+1）2+（b+3）2+（c+4）2＝0；最后根据非负数的性质解答即可．解：∵a2+2b＝7，b2﹣4c＝﹣7，c2﹣6a＝﹣14，∴a2+2b+b2﹣4c+c2﹣6a＝﹣14，∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0，即（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣2）2＝0，∵（a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0，（c﹣2）2≥0，∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣2＝0，∴a＝3，b＝﹣1，c＝2，∴a+b+c＝3+（﹣1）+2＝4．故选：C．总结提升：本题考查了配方法的应用、非负数的性质，解题的关键是根据完全平方和公式将代数式转化为偶次方的和的形式，求出a，b，c的值．13．（2020秋•犍为县期末）已知实数x、y、z满足：（x+z）2﹣4（x﹣y）（y+z）＝0，下列式子一定成立的是（ ）A．x+y﹣z＝0B．x+y+2z＝0C．y﹣z﹣2x＝0D．﹣z+x﹣2y＝0思路引领：先将原式展开，然后重组后配方得到（x﹣z﹣2y）2＝0，从而得到正确的选项．解：根据题意∵（x+z）2﹣4（x﹣y）（y+z）＝0，∴x2+z2+2xz﹣4xy﹣4xz+4y2+4yz＝0，∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4y2+4yz＝0，∴（x﹣z）2﹣4y（x﹣z）+4y2＝0，∴（x﹣z﹣2y）2＝0，∴x﹣z﹣2y＝0．故选：D．总结提升：考查了因式分解的应用，解题的关键是能够将原式进行适当的变形，难度不大．14．（2022秋•鼓楼区校级月考）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为（ ）A．1B．2C．3D．4思路引领：根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．解：依题意得：3x―y=3a2―6a+9 x+y=a2+6a―9，解得x=a2y=6a―9，∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3＝0，解得a＝3．故选：C．总结提升：本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．15．（2020•蜀山区校级模拟）已知a﹣b＝2，ab+2b﹣c2+2c＝0，当b≥0，﹣2≤c＜1时，整数a的值是 ．思路引领：由a﹣b＝2，得出a＝b+2，进一步代入ab+2b﹣c2+2c＝0，进一步利用完全平方公式得到（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3＝0，再根据已知条件得到b的值，进一步求得整数a的值即可．解：∵a﹣b＝2，∴a＝b+2，∴ab+2b﹣c2+2c＝b（b+2）+2b﹣c2+2c＝b2+4b﹣（c2﹣2c）＝（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3＝0，∵b≥0，﹣2≤c＜1，∴4≤（b+2）2≤12，∵a是整数，∴b＝0或1，∴a＝2或3．故答案为：2或3．总结提升：此题考查配方法的运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．类型六用配方法分解因式16．（2022春•吉安期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式．分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）4x4+y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．思路引领：（1）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；（2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．解：（1）原式＝4x4+y4+4x2y2﹣4x2y2＝（2x2+y2）2﹣4x2y2＝（2x2+y2+2xy）（2x2+y2﹣2xy）；（2）原式＝x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab＝（x﹣a）2﹣（a+b）2＝（x+b）（x﹣2a﹣b）．总结提升：此题考查了因式分解﹣配方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．类型七用配方法化简二次根式17．化简：（5―1）2+29―45的结果是 ．思路引领：利用完全平方公式以及二次根式的性质化简求出即可．解：（5―1）2+29―45＝5+1﹣25+2(5―2)2＝6﹣25+2（5―2）＝6﹣25+25―4＝2．故答案为：2．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．类型八配方法与根的判别式综合运用18．（2020•黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则ba= 思路引领：由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．解：∵方程有实根，∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b=―1 2，所以ba=―12．故答案为―1 2．总结提升：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力．19．如果关于x的方程（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）＝0（其中a，b，c均为正数）有两个相等的实数根，证明：以a，b，c为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．思路引领：首先整理方程得出3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）＝0，进一步利用根的判别式等于0，得出a、b、c的关系判断即可．证明：原方程可以整理成3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）＝0，∵方程有两个相等的实数根，∴[2（a+b+c）]2﹣4×3×（ab+bc+ac）＝0，整理得：4a2+4b2+4c2﹣4ab﹣4bc﹣4ac＝02（a﹣b）2+2（b﹣c）2+2（a﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴三角形为等边三角形．总结提升：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根，关键是根据判别式和已知条件求出a，b，c的关系．。

《一元二次方程的解法-配方法》教学目标：1．理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．通过用配方法解一元二次方程，把一元二次方程化为一元一次方程的过程，体会转化的数学思想．重点与难点重点：用配方法解一元二次方程的步骤．难点：探究用配方法求解一元二次方程的步骤．教学方法：自主学习与合作探究相结合教学流程一、预习效果检测：1．发放检测卷，检测课前预习效果．〔1〕用开平方法解一元二次方程，须将方程化为的形式．〔2〕叫配方法．〔3〕配方的过程是将方程两边同时加上，左边化为，右边是一个数，然后用法求解．〔4〕用配方法解方程：x2+4x=-3〔一生板演〕〔5〕填空：1〕x2+6x+_____=〔x+3〕22〕x2+8x+_____=〔x+___〕23〕x2-16x+_____=〔〕24〕x2-5x+______=_________2．学生答题，教师板书课题．环节设计：该环节，既能考察学生的课前延伸情况，又能考查各类学生的自主学习能力，激发了学生的学习热情．学生答复预习检测结果，纠正反应〔包括板演的题目〕．针对预习存在的问题，展示下一段学习的目标，并针对目标进行有的放矢的训练．目标：〔1〕理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程．〔2〕通过用配方法解一元二次方程，把一元二次方程化为一元一次方程的过程，体会转化的数学思想．二、课内进行探究〔一〕合作探究困惑问题1、由预习检测出现的问题，设计探究习题．〔1〕在以下式子中填上适当的数，使等式成立，x 2-6x + =x 2+16x + =〔2〕用配方法解一元二次方程：x 2-3x =-2 t 2+8=6t2、小组自主学习与合作探究以上题目．环节设计：本环节学生带着问题去学习，要解决疑难问题，就需要合作探究，既掀起了学习的高潮，又培养了学生学习的兴趣．〔二〕精讲解疑点拨1、教师总结规律：对于x 2+px ，再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式．即222()()22p p x px x ++=+．方程的左边配方后，如果右边是一个非负数，就可用直接开平方法解方程．2、师生共同总结配方法的思路：当一元二次方程的二次项系数为1时，在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方式，从而把原方程转化为能由平方根的意义求解的方程，这种解法叫配方法．象下面的例题〔投影〕3、例：用配方法解方程y 2+4y -6=0解：移项，得：y 2+4y =6配方，得：y 2+4y +4=4+6〔y +2〕2=10开平方，得：y +2=1021+-=∴x 1022--=x〔三〕适时稳固强化1、屏幕展示训练题〔1〕填空配方x 2-bx +〔 〕=〔x - 〕 2; x 2-〔m +n 〕x +〔 〕=〔x - 〕 2．2、用配方法解以下方程．x 2-6x +4=0x 2+5x -6=03、学生总结反思一：左边的常数项是一次项系数一半的平方．〔四〕拓展延伸应用解方程x 2+2mx +2=0，并指出m 2取什么值时，这个方程有解．探讨以上问题，学生分析思路知识梳理小结1、大屏幕投影问题．〔1〕本节课学习了哪些知识，运用了怎样的学习方式和途径？〔2〕你认为学习的效果如何？你还有什么困惑和见解？2、学生答复总结发言．设计特点：让学生评课与总结，发挥学生的主体地位，增强学生的民主参与意识．有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法那么，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。

因式分解配方法因式分解是一种将复杂的代数式分解为简单的乘积形式的方法。

它在代数学和数学中都是非常重要的。

在本文中，我们将详细介绍因式分解的配方法。

一、因式分解的概念因式分解是将一个代数式表示为多个因式的乘积形式。

这个过程可以被看作是代数式的拆解。

因式分解的简化形式可以大大简化计算的过程，并帮助我们更好地理解和分析代数式的性质。

二、配方法的基本原理配方法也称为配方，是一种利用两个数的乘积等于一个给定的数，并将给定的代数式表示为这两个数的和或差的平方的形式的方法。

通常，配方法的步骤如下：1.首先，观察代数式中是否有一些特定的形式。

这些特定的形式通常是两个单项式的乘积，其中一个单项式是平方的形式。

2.然后，根据观察到的特定形式选择相应的配方法。

3.运用配方法将代数式分解为两个因式的乘积形式。

这些因式通常是两个单项式的和或差。

4.最后，将分解后的代数式进行检验和整理，以确保分解的正确性。

三、配方法的应用举例下面我们通过几个例子来说明配方法的应用。

例1：将代数式x^2+6x+9进行因式分解。

首先，观察到x^2+6x+9是一个完全平方，可以写成(x+3)^2的形式。

因此，代数式可以分解为(x+3)(x+3)。

例2：将代数式x^2-13x+36进行因式分解。

观察到36可以分解为6*6，而13可以写成2*6+1的形式。

因此，代数式可以分解为(x-2)(x-6)。

例3：将代数式x^2+2x-35进行因式分解。

观察到35可以分解为5*7，而2可以写成5-3的形式。

因此，代数式可以分解为(x+7)(x-5)。

例4：将代数式x^2-10x+25进行因式分解。

观察到25可以写成5^2的形式，且10可以写成5*2的形式。

因此，代数式可以分解为(x-5)(x-5)。

通过这些例子，我们可以看到配方法的应用是非常灵活和多样的，我们需要根据具体的代数式结构选择相应的配方法。

在实践中，我们可以通过观察和试验来找到合适的配方法。

四、进一步拓展配方法不仅适用于简单的二次方程的因式分解，还可以应用于更复杂的代数式的因式分解。

北师大版数学九年级上册2.2.1《配方法》教案一. 教材分析《配方法》是北师大版数学九年级上册第2.2.1节的内容，主要介绍了配方法的原理和应用。

配方法是一种重要的数学方法，通过对一个代数式进行配方，可以简化计算，解决一些代数方程问题。

本节课的内容是学生进一步学习代数知识的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了代数基础知识，对于解决一些简单的代数问题已经有了一定的经验。

但是，对于配方法的理解和应用还不够熟练，需要通过本节课的学习来进一步巩固和提高。

学生在学习过程中需要教师引导他们发现配方法的原理，并通过实际问题来应用配方法解决问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解配方法的原理，掌握配方法的基本步骤，能够运用配方法解决一些简单的代数问题。

2.过程与方法目标：通过学生的自主探索和合作交流，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。

四. 教学重难点1.重点：配方法的原理和应用。

2.难点：如何引导学生发现配方法的原理，并能够灵活运用配方法解决问题。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提出问题，引导学生思考和探索，发现配方法的原理。

2.合作交流法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力和沟通能力。

3.实践操作法：学生通过实际问题来应用配方法，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、多媒体教具等。

2.教学素材：配方法的例题和练习题。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题来引入配方法的概念，例如：解方程x^2 - 5x + 6 = 0。

引导学生思考如何解决这个问题。

呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，介绍配方法的原理和步骤。

引导学生发现配方法的关键是将方程左边的代数式写成完全平方的形式，即(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。

第八章一元二次方程２．用配方法解一元二次方程（3）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。

学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。

二、教学任务分析在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。

这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。

第一环节复习回顾活动内容：回顾配方法解一元二次方程的基本步骤。

活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。

实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x2-6x-40=0移项，得x2-6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32即（x-3）2=49开平方，得x-3 =±7即x-3=7或x-3=-7所以x1=10,x2=-4学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，掌握了每一步的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。

配方法的拓展与应用浙江省永康市永康中学（321300） 程红妹配方法，在数学上是指将代数式通过凑配等手段，得到完全平方形式，再利用诸如完全平方项是非负数这一性质达到增加题目条件等目的的一种数学方法，同一个式子可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式.配方的对象也具有多样性,数、字母、式、函数关系等都可以进行配方.配方法在解题中有广泛的应用，它可用于无理式证明、化简、求代数式的值、解方程、解不等式、求最值、证明条件等式等。

新规程标准提出通过学习使学生能够获得基本的数学思想方法，浙教版八（下）数学学习了用配方法解一元二次方程，配方法作为一种常用的数学方法，针对浙八(下）内容，我对配方法的应用进行了一些拓展。

1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。

例1、求二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围分析:根据二次根式的定义，必须被开方数大于等于零，再观察被开方数可以发现可以利用配方法求得。

解：2)1(2)12(32222+-=++-=+-a a a a a因为无论a 取何值，都有0)1(2≥-a 。

所以a 的取值范围是全体实数。

点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解.2．配方法在化简二次根式中的应用在二次根式的化简中，也经常使用配方法。

例2、化简526- 分析：题中含有两个根号，化简比较困难，但根据题目的结构特征，可以发现526-可以写成2)15(1525-=+-,从而使题目得到化简。

解：15)15(152)5(1525526222+=+=++=++=-点评:b a 2+的题型,一般可以转化为y x y x +=+2)(（其中⎩⎨⎧==+b xy a y x ）来化简。

3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。

《配方法》教案教学目标(一)教学知识点1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程.2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤.(二)能力训练要求1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法.2．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程.3．能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤.(三)情感与价值观要求通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力.教学重点用配方法求解一元二次方程.教学难点理解配方法.教学方法讲练结合法.教学过程回顾与复习1：我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.用配方法解一元二次方程的方法的助手：平方根的意义：如果x2=a，那么x=±a.完全平方式：式子a2±2ab＋b2叫完全平方式，且a2±2ab＋b2=(a±b)2回顾与复习2：用配方法解一元二次方程的步骤：移项：把常数项移到方程的右边；配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；求解：解一元一次方程；定解：写出原方程的解.随堂练习：用配方法解下列方程：1.x 2－2=02.x 2＋4x =23.3x 2＋8x －3=0这个方程与前2个方程不一样的是二次项系数不是1，而是3.基本思想是：如果能转化成前2个方程的形式，则方程即可解决.你想到了什么办法？例、解方程：3x 2＋8x －3=0解：3x 2＋8x －3=0 x 2＋38x －1=0 1.化1：把二次项系数化为1； x 2＋38x =1 2.移项：把常数项移到方程的右边； x 2＋38x ＋(34)2=1＋(34)2 3.配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方； (x ＋34)2=(35)2 4.变形：方程左边分解因式，右边合并同类项； x ＋34=±35 5.开方：根据平方根的意义，方程两边开平方； x ＋34=35 或 x ＋34=－35 6.求解：解一元一次方程； 所以x 1==31， x 2=－3 7.定解：写出原方程的解. 心动不如行动：用配方法解下列方程1．3x 2－9x ＋2=02．2x 2＋6=7x做一做：一个小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间t (s)满足关系： h =15t －5t 2，小球何时能达到10m 高？解：根据题意，得：15t －5t 2=10即t 2－3t =－2t 2－3t ＋(23)2=－2＋(23)2 (t －23)2=41 即t －23=21 或t －23=－21 所以t 1=2， t 2=1答：在1s 时，小球达到10m ；至最高点后下落，在2s 时其高度又为10m.小结与拓展本节复习了哪些旧知识呢？继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法”的理解运用：平方根的意义：如果x 2=a ，那么x =±a .完全平方式：式子 a 2±2ab ＋b 2叫完全平方式，且a 2±2ab ＋b 2=(a ±b )2 本节课又学会了哪些新知识呢？用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤：化1：把二次项系数化为1；移项：把常数项移到方程的右边；配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；求解：解一元一次方程；定解：写出原方程的解.用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题(即列一元二次方程解应用题).。

邑方几何
在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：
“今有邑方不知大小，各中开门。

出北门二十步有木。

出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。

问邑方几何。

”
题目大意是：有一方城，四边正中各有一门，距北门20步处有一树木。

出南门南行14步，再转向西行1775步，刚好看到树木。

求方城边长。

A
D H G
E K F
B C
图中HA=20步，KC=14步，CB=1775步，求FG
设FG=x
根据题意，Rt ∆AHD ∽Rt ∆ACB
因此有
BC
DH AC AH = 即17755.0142020x x =++ x 2+34x-71000=0
解得x 1=250, x 2=-284(不合，舍去)
所以方城的边长为250步。

从上面可以看到其实此题是一个可化为一元二次方程的分式方程的求解问题。

解可化为一元二次方程的分式方程的方法，与解可化为一元一次方程的分式
方程的方法是相同的。

通常是先去分母化为一元二次方程，然后再解出原方程的根。

下面是大数学家欧拉的《代数引论》里的一个有趣的题目，你能解决吗？
两个农妇共带100个鸡蛋上市。

两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同。

第一个农妇对第二个农妇说：“如果咱们两人的鸡蛋交换，我可以卖15个克罗索（德国古代的一种货币）。

”第二个农妇答道：“可是如果咱们俩的鸡蛋交换，我就只能卖得20/3个克罗索。

”试问：这两个农妇各带了多少个鸡蛋?。

配方法的拓展与解析配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

配方法的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ；a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab 。

配方法在数学的教与学中有着广泛的应用。

在初中阶段它主要适用于：一元二次方程、二次函数、二次代数式的讨论与求解。

经过几年的教学实践发现：很多情况下用配方法解一元二次方程或者求二次函数的顶点坐标要比用公式法简单实用。

在应用配方法解一元二次方程（ax 2+bx+c=0）时有两种做法：一种是先移走常数项，然后方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1，再两边同时加上一次项系数（除以二次项系数后的）一半的平方，把原方程化成(x ＋m)2=n(n ≥0)的形式，再两边同时开方，把一元二次方程转化为一元一次方程。

典型例题：2x 2+6x-3=0解法1：移项得：2x 2+6x=3两边同时除以2得：2332=+x x 两边同时加2)23(得:4923)23(322+=++x x 所以：415)23(2=+x 开方得：21523=+x 或21523-=+x 解得：2153,215321--=+-=x x另一种方法是先移走常数项，然后通过“凑”与“配”进行配方。

解法2：移项得：2x 2+6x=3原方程变为：222)223(3)223(22322)2(+=+∙∙+x x 即原方程化为：430)2232(2=+x 两边同时开方得：2302232=+x 或2302232-=+x 解得：2153,215321--=+-=x x 与用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标时，要把二次项和一次项看作一个整体，提出（而不是除以）二次项的系数，再进行配方，但配方时与解一元二次方程的配方有所不同。

考点03 配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类1，配方法的应用的方法技巧（1）比较大小：配方法不但可以解一元二次方程，而且能求代数式的最值，还能用于比较代数式的大小.用配方法比较代数式的大小，主要是用作差法将代数式作差后得到的新代数式配方，根据新代数式与0的关系确定代数式的大小（2）求最值：用配方法求代数式的最值是将代数式配方为完全平方式与常数的和的形式，根据完全平方式的非负性确定代数式的最值；（3）未知系数的取值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（4）用配方法构造“非负数之和”解决问题：通过配完全平方式，利用“非负性”解决问题。

2，根的判别式的应用的方法【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.（2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。

（3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。

（4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。

3，根与系数的关系方法根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba ，x1x2=ca．考点1比较大小考点2求最值考点3未知系数的取值考点4用配方法构造“非负数之和”解决问题考点5判断根的情况考点6求字母的值或取值范围考点7与三角形结合考点8与一次函数结合考点9 根与系数的关系求变形式子考点1 利用配方法比较大小【详解】（1）224622x x x -+=-+（），所以当2x =时，代数式246x x -+有最小值，这个最值为2，故答案为：2-；2；2；小；2；（2）2123x x ---（）222x x =-+2110x =-+（）＞则2123x x --＞．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．2．（2022秋·七年级单元测试）我们知道20a ≥，所以代数式2a 的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用()2222a ab b a b ±+=±来求一些多项式的最小值．例如，求263x x ++的最小值问题．解：∵()2226369636x x x x x ++=++-=+-，又∵()230x +≥，∴()2366x +-≥-，∴263x x ++的最小值为6-．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：()2245____________x x x -+=+；(2)求224x x +的最小值．(3)比较代数式：21x -与23x -的大小．【答案】(1)2-，1(2)2-(3)21>23x x --【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．（2）先配方，再求最值．（3）作差后配方比较大小即可．【详解】（1）解：22245441(2)1x x x x x -+=-++=-+．（2）222242(211)2(1)2x x x x x +=++-=+-，故答案为：2,2-（2）解：221612611x x x x --+=-+2692x x =-++()232x =-+()30,x -³Q()23220,x \-+³>21612.x x \->-（3）解：()222323x x x x -++=--+()22113x x =--+-+()214x =--+ ()210,x --£Q ()2144,x \--+£ ∴223x x -++的最大值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握“配方法的步骤与非负数的性质”是解本题的关键．考点2利用配方法求最值【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；（2）先配方，再求最值；（3）作差后配方比较大小．【详解】（1）解：()2224644222x x x x x +=-++=-+-故当20x -=，即2x =时，代数式246x x -+最小值为2；（2）∵224250x x y y -+++=，则2244210x x y y -++++=，∴()()22210x y -++=，即20x -=，10y +=，∴2x =，1y =-，∴211x y +=-=；（3）()()2221232211x x x x x ---=-+=-+，∵()210x -≥，∴()2110x -+>，∴2123x x ->-．【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： ²43a a ++．解：原式：²441(2)²1(21)(21)(3)(1)a a a a a a a =++-=+-=+++-=++②2246M a a =-+， 利用配方法求M 的最小值．解：2²462(²21)622(1)²4M a a a a a =-+=-++-=-+222(1)02(1)44a a -≥∴-+≥，，∴当1a =时，M 有最小值4．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解²412x x --；(2)若 2441M x x =+-， 求M 的最小值．【答案】(1)(6)(2)x x -+考点3 利用配方法未知系数的取值∴2a =，1b =，∴1a b -=，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟练一元二次方程的解法是解题的关键．10．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（ ）A ．10-B ．10C ．3-D ．9【答案】B【分析】利用配方法将方程2610x x --=配成2()x m n -=，然后求出n 的值即可．【详解】∵2610x x --=，∴261x x -=，∴26919x x -+=+，即2(3)10x -=， 10n ∴=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n -的值为（ ）A ．6-B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】由2630x x ++=，配方可得()236x +=，进而可得m n ，的值，然后代入m n -，计算求解即可．【详解】解：∵2630x x ++=，∴2696x x ++=，∴()236x +=，∴3m =，6n =，∴3m n -=-，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出m n ，的值．考点4 用配方法构造“非负数之和”解决问题∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8＜c＜13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．14．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知2248200++-+=，那么y x=（）x y x yA．－16B．16C．－8D．8【答案】B【分析】利用配方法把已知条件变形为（x+2）2+（y-4）2=0，再根据非负数的性质得x+2=0，y-4=0，即可求出x与y的值，进一步代入求得答案即可．【详解】∵x2+4x+y2-8y+20=0，∴x2+4x+4+y2-8y+16=0，∴（x+2）2+（y-4）2=0，∴x+2=0，y-4=0，∴x=-2，y=4，∴x y=16．故选B.【点睛】此题考查配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．15．（2023春·山东淄博·八年级统考期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+9的值（）A．总不小于4B．总不小于9C．可为任何实数D．可能为负数【答案】A【分析】要把代数式x2+y2+2x-4y+9进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围即可．【详解】x2+y2+2x-4y+9=（x2+2x+1）+（y2-4y+4）+4=（x+1）2+（y-2）2+4，∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，∴（x+1）2+（y-2）2+4≥4，考点5 利用根的判别式判断根的情况根．20．（2023·全国·九年级假期作业）若1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，那么方程220ax bx ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有一个根是=1x -C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根【答案】B【分析】先将1x =代入220(0)ax bx a -+=≠中得到20a b -+=，再根据一元二次方程根的判别式进行求解即可得出结论．【详解】解：∵1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，∴20a b -+=，即2b a =+，对于方程220ax bx ++=，∵242b a ∆=-⨯()228a a =+-()220a =-≥，∴方程220ax bx ++=有两个实数根，故选项A 、C 、D 错误，不符合题意；当=1x -时，2220ax bx a b ++=-+= ，即=1x -是方程220ax bx ++=的一个根，故选项B 正确，符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握一元二次方程20ax bx c ++=根的情况与根的判别式24b ac ∆=-的关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．考点6 利用根的判别式求字母的值或取值范围故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆＞时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当0∆＜时，方程无实数根．24．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）已知关于x 的一元二次方程()21210k x x --+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．21k k ≤-≠且B ．21k k ≤≠且C ．21k k ≥-≠且D ．2k ≥【答案】B【分析】根据方程有两个实数根，得出0∆≥且10k -≠，求出k 的取值范围，即可得出答案．【详解】解：由题意知，24441840b ac k k ∆=-=--=-≥（），且10k -≠，解得：2k ≤，且1k ≠，则k 的取值范围是2k ≤，且1k ≠，故选：B ．【点睛】此题考查了根的判别式，（1）一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；②0∆=⇔方程有两个相等的实数根；③0∆⇔＜方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．考点7 利用根的判别式与三角形结合【详解】（1）证明：2(2)42k k∆=+-⨯2448k k k=++-2(2)0k =-≥所以此方程总有实根．（2）解：①若b c =，则此方程有两个相等实根此时20k -=，则2k =，原方程为：2440x x -+=，122x x ==，∴另外两边长为2和2，②若a c =，则1a =是方程2(2)20x k x k -++=的根，∴21(2)20k k -++=，∴1k =，原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．26．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）若方程（c 2＋a 2）x ＋2（b 2-c 2）x ＋c 2-b 2=0有两个相等的实数根，且a ，b ，c 是三角形ABC 的三边，证明此三角形是等腰三角形．【答案】见解析【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b 、c 的关系即可．【详解】解:Δ=[2（b 2-c 2）]2-4（c 2+a 2）（c 2-b 2）=4（b 2-c 2）（b 2-c 2+a 2+c 2）=4（b+c ）（b-c ）（b 2+a 2）．∵方程有两个相等实根．∴Δ= 0，即4（b+c ）（b-c ）（b 2+a 2）=0．∵a ，b ，c 是三角形的三边，∴b+c≠0，a 2+b 2≠0，只有b-c=0，解得b=c ．出判别式的值的情况，从而得到关于a、b、c及k的等式是解题的关键．28．（2011秋·江苏无锡·九年级统考期中）已知关于x的方程22a x bx c x-+++=有两个相等的实数(1)2(1)0根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．【答案】【详解】考点：根的判别式；勾股定理的逆定理．分析：先把方程变为一般式：（c-a）x2+2bx+a+c=0，由方程有两个相等的实数根，得到△=0，即△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，则有b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2，根据勾股定理的逆定理可以证明以a、b、c 为三边的三角形是直角三角形．解答：证明：a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0去括号，整理为一般形式为：（c-a）x2+2bx+a+c=0，∵关于x的一元二次方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根．∴△=0，即△=△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，∴b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2．∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式和勾股定理的逆定理等知识．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考点8 利用根的判别式与一次函数结合【分析】根据一元二次方程2210mx x --=无实数根得0m ≠且2(2)4(1)0m ∆=--⨯-<，即可得1m <-，又∵20b =>，可得一次函数2y mx =+的图象经过一、二、四象限，即可得．【详解】解：∵一元二次方程2210mx x --=无实数根，∴0m ≠且2(2)4(1)0m ∆=--⨯-<，440m +<，44m <-，1m <-，又∵20b =>，∴一次函数2y mx =+的图象经过一、二、四象限，∴一次函数2y mx =+的图象不经过第三象限，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．30．（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程2240x x --=有两个实数根a ，b ，那么一次函数(1)y ab x a b =-++的图象一定不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据根与系数的关系即可求出ab 与a b +的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由根与系数的关系可知：2a b +=，4ab =-，∴15ab -=∴一次函数解析式为：52y x =+，故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．31．（2020秋·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程2210x x kb ++=-没有实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先根据一元二次方程没有实数根确定k ，b 的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程2210x x kb ++=-没有实数根，∴()4410kb ∆=-+<，解得：0kb >，即k b 、同号，当00k b >>，时，一次函数y kx b =+的图象过一，二，三象限，当00k b <<，时，一次函数y kx b =+的图象过二，三，四象限，故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式及一次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k ，b 的取值范围，难度不大．32．（2023·安徽合肥·统考二模）关于x 的一元二次方程2210mx x --=无实数根，则一次函数y mx m =-的图像不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，求得m 的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．【详解】解：∵一元二次方程2210mx x --=无实数根∴224(2)4(1)0b ac m ∆=-=--⨯⨯-<，解得1m <-，由一次函数y mx m =-可得0k m =<，0b m =->，∴一次函数y mx m =-过一、二、四象限，不过第三象限，故选：C【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．考点9 利用根与系数的关系求变形式子。