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磁场高斯定理 安培环路定理

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磁场的高斯定理和安培环路定理

磁场的高斯定理和安培环路定理
L
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.

12磁场的高斯定理和安培环路定理解读

12磁场的高斯定理和安培环路定理解读

穿过一面元的磁通量：
d m BdS BdS cos B dS 式中：dS dSn ˆ 称为面元矢量。 ˆ 为法线方向单位矢量。 n
4
2.穿过某一曲面的磁通量
m d m B dS
d m
B
BdS cos
dS
ˆ n
S
3.穿过闭合曲面的磁通量
m d m B dS
规定：取闭合面外法线方向为正向。 磁力线穿出闭合面为正通量， 磁力线穿入闭合面为负通量。


2
B

磁通量单位：韦伯，Wb


2
ˆ n
Байду номын сангаас
B
5
3.磁场中的高斯定理 定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于 0。
dB
dB ' dB' '
dl '
p
d
dl ' '
l
c
B
结果
o j
2
o
方向如图所示。
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
15
例5 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示， 其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求： （1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度；（2）通过 螺线管截面的磁通量。 I
解：在管内作环路半径为 r的圆环 ，
环路内电流代数和为： I NI
rR
o R1
2
当 r >> ( R2 – R1) 时N n 为沿轴向线圈密度；
0 NI B 2r 0 NI B 2r

磁场高斯定理 安培环路定理

磁场高斯定理 安培环路定理

R
例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。
解：视为无限多平行长 直电流的场。 分析求场点p的对称性 做 po 垂线，取对称的 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
l
以上结果对任意形状 的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
n B dl 0 Ii i 1
安培环路定理
2. 明确几点 (1) 电流正负规定：电流方向与环路方向满足 右手定则时电流 I取正；反之取负。 (2) B 是指环路上一点的磁感应强度，不是任 意点的，它是空间所有电流共同产生的。
I
a
b
B
B d l lb c d d a c B d l B d l B d l B d l Bab
a
得长直载流螺线管内的磁场： B μ0 nI 无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外 部磁场为零。
B
b
l
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均 匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
同轴电缆的内导体圆柱
半径为R1，外导体圆筒内外
半径分别为R2、 R3，电缆载 有电流I，求磁场的分布。
课堂练习
0 I B r r R1 2 2 R1 0 I B R1 r R2 2 r 2 2 0 I ( R3 r ) B r R2 2 2 2 r ( R3 R2 )

磁场中的高斯定理和安培环路定理

磁场中的高斯定理和安培环路定理

规定：
与L 绕向成右旋关系 与L 绕向成左旋关系
Ii 0 Ii 0
例如：
Ii I1 2I2
(穿 过L )
注意：

L
B dl
0 Ii
(穿 过L)
B:
与空间所有电流有关

B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关


穿过 L的电流：对 B 和 B dl 均有贡献 L
2
r1
2
d r1 r2
2.26 106 wb
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1.导出： 可由毕 — 沙定律出发严格推证
采用： 以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与 平面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向 与电流成右旋关系。
B 0I 2r
练习：同 求轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1

r

R2 ,
B

0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
2.长直载流螺线管的磁场分布
已知：I、n(单位长度导线匝数) 分析对称性 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零

dl


0I
2π
2π
0
d

0I
对任意形状的回路
B dl
0I
rd

0I
d
2π r
2π

第九讲 磁场高斯定理和安培环路定理

第九讲 磁场高斯定理和安培环路定理

Bdl
0
说明磁场为非保守场（涡旋场）。
3
至此，我们得到真空中稳恒磁场所满足的两 个基本方程：
静电场
E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，是无旋场
比较
?

S
B dS 0
（磁通连续定理）
磁 场 B dl 0 I i
i

L
B dl 0 I i
4
作积分环路并计算环流 如图 r R
I
0
作积分环路并计算环流
R r
如图 r R
I
利用安培环路定理求 B
B dl 0 I
B dl Bdl 2rB
B dl Bdl 2rB
利用安培环路定理求 B
R
B

B dl 0 I
L
1. 只有被L连环着的电流才对 B 沿L的环流有贡献。 2. 取回路L的方向与电流方向成右手螺旋关系， 否则环流差一负号。
B dl B dl B dl
0 I ( d1 d2 ) 2 L 1 L2 I 0 ( ) 0 2
磁感应线都是闭合曲线
B 0
B ds 0 s B ds BdV
s V
8
磁通量单位：韦伯(Wb)1韦伯＝1T1米2
B ds 0
s
＝ E ds qi / 0
s i
静电场： 电力线起于正电荷、止于负电荷，是有源场。
B dl Brd
L
.
I
B
r
d

磁场的高斯定理和安培环路定理

磁场的高斯定理和安培环路定理

. . . . . . . . ..
第4节
. . . .. . .. B . ∮H ·dl = 2rH = NI . . . . . H = NI/2r， r . . . . R 1 . . B = o NI/2r . . R 2 . . .. . 环管截面 r R， . .. . . ... B o NI/2R = o n I 解：1、环管内：
第八章
I
R
r B
R
r
第4节
第八章
直线电流的磁力线
I
I B
第4节
例8-5 求通电螺绕环的磁场分布。设环管 的轴线半径为 R，环上均匀密绕 N 匝线圈， 线圈中通有电流 I，管内磁导率为 o 。
第八章
I
I
. . . . . . ..
. . . .. . .. . . R1 R2
..
. . . ...
第八章
第4节
第八章
通电螺线管的模型
I
第4节
思考题： 如果通电螺线管的磁力线如下所示，图 中环路积分 ∮H ·dl = ？
第八章
I
L
I
二、磁场的安培环路定理 1、真空中 根据闭合电流产生的磁场公式，即安 培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B 沿闭合回路 L 的积分，即环流为： ∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式 中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流 I 的代数和。 物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第八章
I
R
o dS
B
Io
r
第4节
2、r＞R ∮H ·dl =∮H dl = 2rH ΣIo = I H = I /2r ，B = oI /2r 上式表明，从导线外部看， 磁场分布与全部电流 I 集中 在轴线上相同。 μ I B H 2 πR I μ 0I 2 R π 2 πR 0 r 0

133磁场的基本特征 高斯定理和安培环路定理

133磁场的基本特征 高斯定理和安培环路定理

S 恒定电流磁场是散度为零的场 B = 0
B d S = 0
1
1.磁感线
切线方向—— B 的方向； 疏密程度—— B 的大小.
I I I
2
I S N S I N
3
直线电流的磁感应线
I I B
4
圆电流的磁感应线
I
5
通电螺线管的磁感应线
I
I
6
各种典型的磁感应线的分布：
围绕单根载流导线的任一回路 L
L2
对L每个线元 d l 以过垂直导线平面作参考分解 为分量 dl// 和垂直于该平面的分量 d l d l B 0 B d l B d l B d l //
L
B d l B d l I 证明步骤同上 // 0 L L //
直线电流的磁感线
圆形电流的磁感线
7
直螺线管电流的磁感线
环形螺线管电流的磁感线
8
1.磁力线的特征 无头无尾 与电流套连 与电流成右手螺旋关系 闭合曲线
I
2. 磁通量
B d s 单位：韦伯(Wb) m S
9
2. 磁通量 磁场的高斯定理
S B
ΔN B ΔS
磁场中某点处垂直 B 矢量的单位面积上 通过的磁感线数目等于该点 B 的数值.
讨论
S 0 1）Bd
S
磁场的基本性质方程
2）关于磁单极：
将电场和磁场对比： 由电场的高斯定理
d Sq 0 D
S
可把磁场的高斯定理写成 与电场类似的形式
BdS qm
S
q0 －自由电荷
qm － 磁荷

磁场的高斯定理和安培环路定律

磁场的高斯定理和安培环路定律

0I
是否成立？？？
设任意回路L在垂直于导线的平面内，与电流
成右手螺旋。
l B dl Bdl cos
0I
2πr
dlc
os
d
B
I
dl
r
0I
2πr
rd
0I
2π
d
l
B dl
l
0I
dl cos rd
闭合回路不环绕电流时
B1
0I
2 π r1
B2
0I
2 π r2
B1
B2
d
I
dl1
r1
dl2
I
I
解：取垂直纸面向里为法
B
线方向，以导线1所在位
置为坐标原点，建立如图 所示的坐标轴。
x
l
取细长条面元，面元内为
均匀磁场
a aa
B
0I 2x
2
0I
3a
x
o
x
窄条形面元的元磁通为
dm B dS BdS Bldx I
通过矩形面积内的磁通量
m
dm
2a
Bldx
a1
2a
a
0I 2x
2
0I
o
B 0I
2π x
B // S
x
方向垂直于纸面向里
dΦ BdS 0I ldx I
2π x
B
Φ
S
B dS
0Il
2π
d2
d1
dx x
l
Φ 0Il ln d2
2π d1
d1 d2
o
x
例2 两平行的无限长直导线通有电流 I , 相距3a，
矩形线框宽为a，高为l与直导线共面，求通过线框的

磁场的高斯定理和安培环路定理.

磁场的高斯定理和安培环路定理.

第二4节 、磁场的安培环路定理
第八章
1、真空中
根据闭合电流产生的磁场公式，即安
培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B
沿闭合回路 L
∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式
中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流
I 的代数和。
物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第4节
第八章
电流正负符号按右手螺旋定则：
电流方向与 L 的绕行方向符合右手螺
旋关系时，此电流为正，否则为负。
举例说明：
+I I
+ I1 + I2
- I3
L
第24、节 有磁介质
第八章
∮L B ·dl =μoΣI = μoΣIo +μoΣI’
式中ΣIo 和ΣI’ 分别是穿过安培环路 L 的自 由电流和束缚电流的总和。
其中 n = N/2R 为螺绕环单位长度的匝数。
2、环管外：ΣIo = 0，H// = 0，B// = 0 此式说明密绕螺绕环外部无磁场。
第特4节 例：当
R


第八章
时，即为无限长螺线管。
因此，长直螺线管内磁感应强度公式为：
B = o n I 此式表明，理想长直螺线管内部的磁感应强
注意：螺绕环和螺线管的外部磁场为零的结 论是在假定它们由许多不相连的圆环密集排 列组成的模型下得出的。实际上圆环以螺旋 线形式相连形成螺绕环和螺线管，沿螺绕环 和螺线管有一电流分量通过，即等效一圆电 流和长直载流导线，因此它们的外部磁场不 为零。但相比内部磁场而言，则相对很小。
2π R
μ 0I
2π R
第八章
I R
r

磁的高斯定理和安培环路定理

磁的高斯定理和安培环路定理

m B dS 0
S
3. 磁场的高斯定理（磁通连续原理） (Gauss law of magnetic field ) 通过任意闭合曲面的 磁通量恒为零。
B dS 0
S
此式说明磁场是无源场, 磁感应线是闭合曲线，磁 单极即磁荷不存在。
真空中稳恒磁场的安培环路定理
第三节
Gauss theorem and Ampere circuital theorem in magnetic field
磁场的高斯定理 ( Gauss law of magnetic field ) 1.磁感应线(magnetic induction line)
① 磁感应线上每一点的 切线方向 ：该点磁感应强 度 B 的方向。
L
3.多根导线穿过安培环路：
d 1 d 2 d 0 i
L L L
4.环路不在一个平面内，这时把 d 分解到平
行与导线的平面 d 和垂直于导线的平面d L d L ( d + d ) d d
S
稳恒磁场
m B dS 0
S
静电场是有源场，电力线 有起始、终点
磁场是无源场，磁力 线无头无尾(闭合曲线)
E d 0
L
B d 0 I内
L
静电场是保守力场 ，是无 旋场，可引入“电势”概念
磁场是非保守力场 , 是 涡旋场 , 不可引入“势能 ”概念
成立的条件—— B 是常矢，面是平面。
en
θ
θ
en
B
通过任意闭合曲面S 上的的磁通量 φm：

磁场中的高斯定理及安培环路定理

磁场中的高斯定理及安培环路定理

P
r B
则 B dN -磁感应线密度
dS
2. 几种典型的磁感应线
I
直线电流
圆电流
载流长螺线管
3. 磁感应线特性
磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； 磁感应线不相交。
二. 磁通量(magnetic flux)
1. 定义 通过磁场中任一给定面的
磁感线数目称为通过该面的 磁通量，用 表示。 2. 磁通量的计算 ① 磁场不均匀，S 为任意曲面
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
Ñ B dl μ0 NI
l
B 0 NI
2 r
Amperian loop
B
o R1 R2 r
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 ：
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动， 在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i （电流密度）。求此电流产生的磁场。
因而，同静电场中利用高斯定理确定已知电荷分 布的电场分布一样，需要满足一定的对称性。
例题1 ：
已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布， 求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布
解： 首先分析对称性
电流分布——轴对称
I
磁场分布——轴对称
R
r
dS1
dB
dB2 dB1
O
l
P
dS2
电流及其产生的磁场具有轴对称分布时
B 0I 2 x
方向：
I
a
阴影部分通过的磁通量为:
rr B dS

6-2磁场的高斯定理和安培环路定理

6-2磁场的高斯定理和安培环路定理

例6-3 如图所示,载流长直导线上的电流强度为 I , 它与边长分别为 a 和 b 矩形共面，边与长直导线平 行,两者之间的距离 d .求载流长直导线的磁场穿过 该平面的磁通量. 0 I 解 B 2π x B C B I
dΦ BdS
0
I
b
A dx D
2π x
bdx
o
x
d
a
0 Ib d a dx Φ 2 π d x 0 Ib d a ln 2π d
I2 I 3
l
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
L
I1
B d l 0 (I1 I1 I1 I 2 )
L
0 I1 I2） （
第六章 恒定磁场
11
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
0 乘以该闭合路径
I
电流 I 正负的规定 ：I 与 为正；反之为负.
L 成右螺旋时，
第六章 恒定磁场
9
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
注意
(1)环路定理中的磁感强度 B
为闭合路径 L 上的 磁感强度,它是由空间所有电流产生的。 (2)磁感强度沿闭合路径的环流,仅与闭合路径所包
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁 感 线 规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.
I I I
第六章 恒定磁场
1
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
I S S N I
N

磁场的高斯定理和安培环路定理

磁场的高斯定理和安培环路定理
磁场是无源场 磁场是 无源场 比较 静电场 稳恒 磁场 磁感应线闭合成环，无头无尾 不存在磁单极。 磁感应线闭合成环，或两端伸向 不存在磁单极（？） 高斯定理 环路定理
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考： 如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I

n
B内 0nI
外

B
I //

0 //
I B 2r
练习： 半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求： 内部 B ?
已知：
解：


R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献； 对 LB dl 无贡献

06磁场的高斯定理和安培环路定理

06磁场的高斯定理和安培环路定理

∫
∑
(4)安培环路定理说明磁场性质 磁场定理说明磁场性质 磁场是有旋场。
6
特例：以无限长载流直导线为例。 特例：以无限长载流直导线为例。 长直导线周围的磁力 线为一系列的同心圆， 长直导线周围的磁力 线为一系列的同心圆，选 取路径方向与磁感应强度方向相同； 感应强度方向相同 取路径方向与磁感应强度方向相同； 左边= 左边
dB ' '
dl '
o dl ' '
点的总磁场方向平行于电流平面。 无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
13
. .. . .. . .. . .. . ..
a
b
B
B外 = 0
d
d a c d
c
∫ B ⋅ dl = ∫
b
a
B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl
b
c
∵ B ⊥ d l , cosθ = 0
B 螺线管外： 螺线管外： 外 = 0,
b
∫
c
b
B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl = 0,
∫ dl
B ⊥ dl , cosθ = 0
∫ B⋅ dl = 0
L
8
例1：长直密绕载流螺线管通有电流为 I，线圈密度 ： 线圈密度 为 n，求管内一点的磁感应强度 。 ，求管内一点的磁感应强度 解：理想密绕螺线管，管内的磁 理想密绕螺线管， 场是均匀的， 场是均匀的，管外的磁场为 0 ； 作闭合环路 abcda,环路内的 环路内的 电流代数和为： 电流代数和为：∑ I = nabI

磁场高斯定理 安培环路定理

磁场高斯定理 安培环路定理
l
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
已知： 例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 ， 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元， 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等， r 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致，目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0

磁场的高斯定理和安培环路定理

磁场的高斯定理和安培环路定理
§2-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 垂直于电流元平面内的磁感线是头尾相接的闭合同心 圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于 零。即，通过任意闭合曲面的通量都等于零。
由叠加原理，在整个电流回路形成的
磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量
L Bn dl 0In ,
L Bnk dl 0
任意回路
¸¸
n
B dl L
0
Ii
i1
穿过回路 的电流
闭合路径包围的电流为电
流 密度沿所包围的曲面的
¸
Ii
j dS
S
i
积分 安培环路定理说明磁场不是保守场，不存在标
量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分
重要的性质。
安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定 对称性的恒磁场问题。
设 I1 , I 2 , … , I n电流过回路L，In 1 , I n 2 , … , I n k
电流不穿过回路L。令 B1 , B2 , … , Bn k 分别为单根
导线
I1
,
I
2
,
L
…
¸ B1
,
In
dl
பைடு நூலகம்
k产生的磁场，则有
¸
0I1 ,
L Bn1
dl
0
¸ #¸
# 所有电流的总¸ 场 ¸
小结
应用环路定理求解磁感应强度的步骤：
(1)根据通电电流产生的磁场的对称性，选 择合适的闭合曲线L，并规定计算方向；
(2)计算磁感应强度的环流以及通过曲线L 所包围的平面的电流的代数和；

高斯定理和安培环路定理

高斯定理和安培环路定理

r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
dI ' dI
P
B0
例 无限大平面电流的磁场．有一无限大的导体平面，均匀地 流着自下而上的面电流．设其电流线密度(垂直于电流线的单 位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B．
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内，电流I穿 过L. 设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I 成右螺旋）
载流长直导线的磁感强 度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
l
I
R R
L
r
2 π rB 0 I
0 r R
2 π rB
B
0I
2π r
B
2 π r l B d l 0 π R 2 I
I
.
dI
dB
0r
R
2
2
I
B
0 Ir
2π R
2
B
B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
B
0 Ir
B dl μ 0 Ii
L
内
—— 安培环路定律
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分 等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 μ 0 倍
安培环路定理

n B dl 0 Ii i 1
一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.
回路绕向化为逆时针时则对任意形状的回路设闭合回路l为圆形回路l与i不成右螺旋安培环路定律恒定电流的磁场中磁感应强度沿一闭合路径l的线积分等于路径l包围的电流强度的代数和的环路上各点的磁场为所有电流的贡献安培环路定理一闭合路径的积分的值等于乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和

磁场中的高斯定理和安培环路定律

磁场中的高斯定理和安培环路定律

写成
L Bdl cos B dl 0 I
B 0 I
dl
要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向
与环路方向一致， B // dl , cos 1 22
或 Bdl , cos 0
环路要经过所研究的场点。
五、解题方法
1.场对称性分析； 2.选取环路； 3.确定环路内电流的代数和 I ； 4.应用环路定理列方程求解。
2.环流
Bdl
只与环路内的电流有关，
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流
都有关。
若
Bdl 0
并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。
若
B dl 0 环路内并不一定无电流。
4.环路定理只适用于闭合电流或无限电流，
16
例2：利用安培环路定律计算载流无限长直导线外一点 的磁感应强度。
由于环路上各点的 B 大小相等； 且 B // dl ；θ=0
B dl
L
0 I 2r
2r
0 I
B
Ir
L
I 向下时为负值。
13
当L B环 d路l 为 任0 意I形左状边时=：右边定理成立I。
LB dl LBdlcos
由于 Bdlcos Brd
2 0I rd
0 2r
0I
d r
L
θ
B
dl
当电流不在环路内时
r
选择如图所示的环路
b c d a
B dl ( )B dl
a
b
c
d
24
其中
c a
B dl B dl 0,
m dm B dS
/2
n
规定闭合面的外法线方向为正
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(1)环路要经过所研究的场点。
B的方向与环路方向 (3)要求环路上各点 B 大小相等， 一致，目的是将: B dl μ0 I 写成 B μ0 I L dl 或 B 的方向与环路方向垂直， B dl , cos θ 0 B dl 0
I
a
b
B
B d l lb c d d a c B d l B d l B d l B d l Bab
a
得长直载流螺线管内的磁场： B μ0 nI 无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外 部磁场为零。
l l
根据安培环路定理：
B dl μ0 NI
l
Amperian loop
μ0 NI B 2πr
磁场不均匀
B
0 NI B 2 r
o
R1
R2
o r
R2
R1
r
若 R1、R2 R2 R1
N n 2 R1
则:
B μ0nI
当 2 R d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
0 I B r 2 2 R
多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
l
以上结果对任意形状 的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
n B dl 0 Ii i 1
安培环路定理
2. 明确几点 (1) 电流正负规定：电流方向与环路方向满足 右手定则时电流 I取正；反之取负。 (2) B 是指环路上一点的磁感应强度，不是任 意点的，它是空间所有电流共同产生的。
(3) 环路定理适用于闭合稳恒电流的磁场。而 有限电流（如一段不闭合的载流导线）不适用 环路定理，只能用毕奥—萨伐尔定律。 (4) 安培环路定理说明磁场性质—— 磁场是非保守场，是涡旋场。
稳恒磁场是有旋、无源场
B d l μ0 ( I1 I1 I1 I 2 )
L
讨论： 安培环路定理 B dl μ0 I
例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。
解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 磁场分布——轴对称
r
O
I
R
dS1
dB
dB2
dB1
l
P
dS 2
电流及其产生的磁场具有轴对称分布时
作积分回路如图 r > R
则 B 沿该闭合回路的环流为：
I
R
L B dl L Bdl 2rB L B dl 0 I
L
(2)环路的长度便于计算；
二 安培环路定理的应用举例 例题 长直密绕螺线管，单位长度上电流匝 数为 n ，求螺线管内的磁感应强度分布。
解：1 ) 对称性分析：螺线管内磁力线平行于 轴线，且在同一条磁力线上各点的 B 大小相 等， 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 。
选择安培环路如图：
B 沿闭合回路的环流为：
根据安培环路定理：
B
r
得：
μ 0I B 2 πr
如图示，当 r R 时
作积分回路如图，IR则 B 沿该闭合回路的环流为：
L B dl L Bdl 2rB
根据安培环路定理：
I
r
0 I 2 R
o
B
' L B dl 0 I
I 2 0 r 2 R
安培环路定理 (Ampere’s circulation theorem) 在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任 一闭合路径的线积分，等于 μ0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和。 I LB dl μ0 I L 注意
电流 I 正负的规定 ： I 与 L 成右螺旋 时， I 为正；反之为负。
L
I1 I1
L
I2 I 3 I1
μ （ 0 I1 I 2）
思考： 1） B 是否与回路 L 外电流有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0？
L
是否回路 L 内无电流穿过？
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。 利用安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁场 分布的对称性，选取合适的闭合环路。 选取环路原则：
电流在回路之外
d
B1
I
B2 dl B1 dl1 B2 dl2 d 2 dl1 2π r1 r2 B1 dl1 B2 dl2 0 l
B d l 0
l
0 I 0 I B1 ， B2 2π r1 2π r2 0 I
安培环路定理的推证： 考虑闭合回路在与导线垂直的平面内。
μ0 I 载流长直导线 B 的磁感强度为： 2πr
I
o
B
r

L
B dl
2πr μ0 I LB dl 2 π r Ldl B d l μ I 0
L

0 I
dl cos
dl
L
L
设闭合回路 L 为圆形回 路（ L与 I 成右螺旋）
B d l μ n ab I 0
l
b
c
d
例题 一载流螺绕环，匝数为 N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有电流 I ，求管内磁感应强度。
o r
R2
R1
解 1） 对称性分析：环内 B 线为同心圆，环外 B 为零。 2）选回路：取同心圆安培环路。
o r
R2
R1
B d l Bdl 2 π rB
I
o
B
R
若回路绕向化为逆时针时，则
dl
l
0 I 2π l B d l 2π 0 d 0 I
对任意形状的回路
d
B dl

I
B dl
0 I
l
l
r
2πr dl cos rd
dl cos
与 I 成右螺旋
0 I 2 π l B d l 2 π 0 d 0 I

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