2010届高三高考复习数学专题学案：《立体几何初步》——《平面的基本性质》1

平面的基本性质（1）学案班级学号姓名学习目标（1）了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示法；（2）初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；（3）了解平面的基本性质：公理1、公理2、公理3，并能简单应用性质解决一些简单的问题．课堂学习一、重点难点重点：平面的概念及其表示；三种语言相互之间的转化；平面的基本性质．难点：平面的基本性质及其简单应用．二、知识建构1．平面的概念：2．平面的画法及其表示方法：3．图形语言、符号语言、文字语言的相互转化：公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

符号表示：公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

符号表示：公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示：三、典型例题例1.将下列文字语言转化为符号语言，图形语言： ⑴点A 在平面α内，但不在平面β内；⑵直线a 经过平面α外一点M ； ⑶直线l 在平面α内，又在平面β内。

（即平面α和β相交于直线l ．）例2.把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表示出来．例3．将下列符号语言转化为图形语言： ⑴A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈；⑵a α⊂，b β⊂，//a c ，b c p = ，c αβ= ．例4.如图，ABC ∆中，若BC AB ，在平面α内，判断AC 是否在平面α内．例3．如图PQ 分别是正方体ABCD -1111D C B A 的棱AA 1, CC 1上的点。

⑴画出BQ,PQ 分别与平面A 1B 1C 1D 1的交点；⑵画出过B,P,Q 三点的平面与平面1111D C B A 的交线.课后复习1.空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线, 那么这四点中 ( ) A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线2.若两个不重合的平面有公共点，则公共点个数是 （ ） A.1个 B.2个 C. 1个或无数个 D.无数个且在同一条直线Z 上3.下面四个说法中，正确的是 （1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 （2）若M α∈，M β∈，l αβ= ，则M l ∈（3）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内4.下列说法正确的是 （1）平面α的长是4米，宽是3米.（2）平面α与平面β若有公共点, 就不止一个;（3）线段MN 在平面α内，线段MN 所在的直线不一定在平面α内（4）因为平面型斜屋面不与地面相交, 所以屋面所在的平面不与地面相交. 5.下列叙述中正确的是 A .因为α∈P ,α∈Q ,所以PQ α∈. B.因为α∈P β∈Q 所以PQ αβ=C.因为AB α⊂，C AB ∈， D AB ∈，所以CD α∈.D.因为AB α⊂，AB β⊂，所以A ∈()αβ 且B ∈αβ .6.用符号表示“点A 在直线l 上，在平面α外” .7.如图所示，用符号表示下列关系：A 平面ABC, A 平面BCD, BD 平面ABD ， BD 平面ABC, 平面ABC 平面ACD= .， =BC . （以下各题请做在作业本上） 8.分别根据下列条件划出相应的图形： （1）α∈P ,α∈Q l P ∈,l Q ∈（2）βα =l ，ABC ∆顶点l A ∈，α∈B ，B l ∉,C β∈,l C ∉.9. 在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形。

课题：10.1平面的基本性质课题：10.1平面的基本性质【教学目标】1.知识目标：理解和掌握平面的三个基本性质，并学会应用性质进行一些简单的分析和判断。

2. 能力目标：通过实例和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。

通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力。

3.情感目标：（1）通过创设主题式故事情境，增强学习兴趣。

（2）结合生活，进行“数学来源于生活”的唯物主义观念教育。

（3）通过问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

【教学重点】平面的基本性质。

因为研究空间图形时，往往将有关点、线归结到一个平面内，再利用平面图形的性质解决。

所以要求学生对基本性质有较深刻的理解。

【教学难点】平面的基本性质的掌握与运用。

因为平面的基本性质既抽象又枯燥，而中职幼师专业的学生想象和思维都较弱，所以掌握与运用三个平面的基本性质会有一定的难度。

【教学方法】遵循学生的认知规律，结合多媒体将具体与抽象、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起。

进行思考、交流，师生共同讨论等学法。

根据中职学生想象能力、思维能力较弱的特点，尽量从直观入手，因此考虑通过创设既靠近生活，又体现数学本质，并且能从情感上激发学生主动、深入思考的有效情境（主题式故事情境）作为载体的启发式教法。

【教学过程】图9−5公理1作为判断和证明直线是否在平图9−8反映了只要“两面共一点”，就两面共一线，且过这一点，线唯把信封的一角竖立在桌面上，那么信封所在平面和桌面所在平面只交于一点，对吗？如图：在长方体ABCD—A1B1C1D1是棱A1B1上的中点，画出C1三点所确定的平面α与长方体表面的交线。

平面的基本性质（一）平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间．一、素质教育目标（一）知识教学点平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的．1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述．（二）能力训练点1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力．2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．（三）德育渗透点借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及公理3的三个推论的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，更由于对三个推论的证明培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用．（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义．（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论．（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题．2．教学难点（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式．（3）确定两相交平面的交线．3．解决办法（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解．（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用．三、课时安排2课时．四、学生活动设计准备好两块纸板，一块薄平的泡沫板，四根长15cm左右的小竹针，其中三根一样长，一根稍短．针对三条公理设计不同的活动，对公理1，可作如下示范：把直尺的两端紧按在玻璃黑板上，完全密接；对公理2，可用两块硬纸板进行演示（如图1－9）；对公理3，使用图1－10所示的模型进行演示．五、教学步骤（一）明确目标（1）理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论．（2）掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译．（3）理解“有且只有一个”的含义，在此基础上，以公理3为主要依据，推证其三个推论．（4）能够用模型来说明有关平面划分空间的问题．（5）理解并掌握证明命题的常用方法——反证法和同一法．（二）整体感知本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学．首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证．其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”．通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解．对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号．最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意．三、教学重点、难点的学习与完成过程A．公理师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示11）．这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？生：不是，因为平面是无限延展的．师：对，根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图1－9－（1）给学生看）．问：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点．生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论分别是什么？生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线．师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示为图1－9－（2）或图1－12．公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？（教师演示图1－10给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分别是什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．A∈α，B∈α，C∈α，图形表示为图1－13，公理3是确定平面位置的依据之一．以上三个公理是平面的基本性质．其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在．也就是说，如果有顶多只有一个．因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面——存在性和唯一性．B．推论师：确定一个平面的依据，除公理3外，还有它的三个推论．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论．生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面．求证：经过a和A有且只有一个平面．证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a上任取两点B、C．∴A、B、C三点不在同一直线上．∴过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∴B∈α，C∈α．即过直线a和点A有一个平面α．“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面β．∴B∈β，C∈β．∴过不共线三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾．∴假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面β，而只能有一个平面α．这里证明“唯一性”时用了反证法．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．其条件、结论分别是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面．师（板书）：已知：直线a∩直线b＝A．求证：经过a、b有且只有一个平面．证明：“存在性”．在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，∴平面α是经过相交直线a、b的一个平面．“唯一性”．设过直线a和b还有另一个平面β，则A、B、C三点也一定都在平面β内．∴过不共线三点A、B、C就有两个平面α和β．∴平面α与平面β重合．∴过直线a、b的平面只有一个．这里证明唯一性时，用的是“同一法”．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（证明作为思考题）C．练习1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．其中命题和叙述方法都正确的是． [ ] 2．下列推断中，错误的是[ ]D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β的交线．（图1－16）四、总结、扩展本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论．其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．五、布置作业1．复习课本有关内容并预习课本例题．2．课本习题（略）．3．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β、γ的交线．4．思考题：（1）三个平面把空间可能分成几部分？（2）如何证明推论3？六、答案练习：1．D，2．C，3．图1－18．作业：3．图1－19．七、板书设计。

某某省泰兴中学高一数学教学案(120)必修 2 平面的基本性质(1)班级某某目标要求1、理解平面的基本概念，掌握它的基本画法，会用图形、文字和符号语言描述点、直线、平面及其位置；2、了解公理1、公理2，并能使用它们解释生活中的一些现象；3、初步学习几何中的证明．重点难点重点：使用符号语言及公理1、公理2的正确理解和使用；难点：公理1、公理2的正确理解和使用．典例剖析例1、（1）已知平面α与平面β相交，且lαβ=，试画出图形；（2）用符号语言表示“点C在直线AB上，直线AB与平面α交于点P，C不在平面α内”，并画出图形；（3）将判断：“Pl P lPααββ∈⎫⇒=∈⎬∈⎭且”改写成文字语言叙述．例2、已知：如图，三角形ABC在平面α外，A,,AB P BC Q AC R ααα===， 求证：P 、Q 、R 三点共线．例3、：三个平面两两相交，得到三条交线，求证：如果其中有两条交线交于一点，那么第三条交线必通过这一点． 学习反思 公理1：；它的作用为：判断直线是否在平面内、点是否在平面内；公里2：______________________________________________________________________它的作用为：只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线； 两平面的公共点必在它们的交线上． 课堂练习1、用符号语言表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”, _________________.2、判断下列叙述的真假 ①、因为,P Q αα∈∈, 所以PQ α∈②、因为,P Q αβ∈∈, 所以PQ αβ=③、因为,,,AB C AB D AB α⊂∈∈ 所以CD α∈ ④、因为,AB AB αβ⊂⊂, 所以()A αβ∈且()B αβ∈3、若,,,A B A l B l αα∈∉∈∈，那么直线l 与平面α有个交点．4、用符号语言表示“平面α与平面β的交线为a ，直线a 不在平面γ内，点P 在β内，点P 不在α内”： ． 5、在正方体1111ABCD A B C D -中，Ｐ为棱1BB 中点，画出由11,,A C P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线．某某省泰兴中学高一数学作业(120)班级 某某得分1、若,,,a b c a b M αβαβ⊂⊂==，则点M 与直线c 关系为________________.2、用符号语言表示语句“直线,a b 相交于平面α内的一点M ”3、一个平面把空间分成部分；两个平面把空间分成部分；三个平面把空间分成部分．4、下列推理正确的是（1）,,A A l l B B l ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭（2）,,A A AB B B αβαβαβ∈∈⎫⇒=⎬∈∈⎭（3）a A A a αα⊂⎫⇒∉⎬∉⎭ (4)a A a A ββ⊂⎫⇒∉⎬∉⎭5、根据条件画出下列图形： （1）,,,A B A l B l αα∈∉∈∈；（2）l αβ=，ΔABC 的顶点,,,,A l B B l C C l αβ∈∈∉∈∉．C 1A 1CBA6、用符号语言叙述下列图形.7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， 点P 在棱1CC 上，点M 在棱1BB 上． （1）画出直线AP 和平面1111A B C D 的交点E ； （2）作出平面ACM 和平面1111A B C D 的交线l ．8、如图，平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的四条边上，求证： 若EH 与FG 所在的两条直线相交于点P ，则P 必在BD 所在的直线上．PHGFEDCBAbaAαlaNMβαγβαabc OPC 1B 1A 1A9、1O 是正方体1111ABCD A B C D 的上底面1111A B C D 的中心，M 是对角线1A C 和截面11B D A 的交点．求证：1,,O M A 三点共线．O 1M D 1C 1B 1A 1DCBA。

课题：9．1平面的基本性质(一)教学目的：1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”2理解平面的无限延展性3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系4教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用“立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图教学过程：一、复习引入： 在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？二、讲解新课：1．平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面(1)一个平面：水平放置和直立；当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.(2) 直线与平面相交，如图1（2）、（3），：（3）两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）a βαB A βB AαβB A ααβa 图 2A （1）3①在立体几何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等4空间图形是由点、线、面组成的空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示=b A⊂aαα=∅α=Al β= 集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言α⊄（平面α外的直线a ）表示α⊄a （平面α外的直线a ）表示a α=∅或a α=三、讲解范例：例1将下列符号语言转化为图形语言：（1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈；（2）a α⊂，b β⊂，//a c ，bc p =，αβ=解：说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）例2 将下列文字语言转化为符号语言：（1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线l 在平面α内，又在平面β内（即平面α和β相交于直线l ） 解：（1）A ∈α，A ∉β； （2）M ∈a ，M ∉α；（3）l ∈α，l ∈β（即α β＝l ）例3 在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形答案：右图四、课堂练习：1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）可画一个平面，使它的长为4cm ，宽为2cm ． （ ）（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．（ ）（3）一个平面的面积为20 cm 2． （ ）（4）经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面．（ ）答案：（1）×（2）√（3）×（4）√2．观察（1）、（2）、（3）三个图形，模型说明它们的位置关系有什么不同，并用字母表示各个平面．3．请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．(4)(3)(2)(1)4．如图所示，用符号表示以下各概念：①点A 、B 在直线a 上 ；②直线a 在平面内 ；点C 在平面内 ；③点O 不在平面内 ；直线b 不在平面内 ．答案：①,A a B a ∈∈ ②,a C αα⊂∈ ③,O b αα∉⊄ 5．①一条直线与一个平面会有几种位置关系 ．②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示），问至少要 几根木棍，才可能使桌面稳定？答案： ①3种 ②相交于经过这个点的一条直线 ③至少3根五、小结 ：平面的概念；平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法；点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关系的转换六、课后作业：试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：（1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过不属于平面α的点A ，且a 不在平面α内；（3）平面α与平面β相交于直线l ，且l 经过点P ；（4）直线l 经过平面α外一点P ，且与平面α相交于点M 七、板书设计（略）八、课后记：(3)(2)(1)。

R P QαCBA第1课时 平面的基本性质公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)．公理2如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)．公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面．例1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于O ，AC 、BD 交于点M ．求证：点C 1、O 、M 共线．证明：A 1A ∥CC 1⇒确定平面A 1C A 1C ⊂面A 1C ⇒O ∈面A 1C ⇒O ∈A 1C面BC 1D∩直线A 1C ＝O ⇒O ∈面BC 1D O 在面A 1C 与平面BC 1D 的交线C 1M 上∴C 1、O 、M 共线变式训练1：已知空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内，求证：直线AB 和CD 既不相交也不平行．提示：反证法．例2. 已知直线l 与三条平行线a 、b 、c 都相交．求证：l 与a 、b 、c 共面．证明：设a ∩l ＝A b ∩l ＝B c ∩l ＝C a ∥b ⇒ a 、b 确定平面α ⇒l ⊂β A ∈a, B ∈bb ∥c ⇒b 、c 确定平面β 同理可证l ⊂β所以α、β均过相交直线b 、l ⇒ α、β重合⇒ c ⊂α ⇒a 、b 、c 、l 共面变式训练2：如图，△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线AB 、BC 、CA 分别交平面α于P 、Q 、R 点．求证：P 、Q 、R 共线．证明：设平面ABC∩α＝l ，由于P ＝AB∩α，即P ＝平面ABC∩α＝l ， A即点P 在直线l 上．同理可证点Q 、R 在直线l 上．∴P 、Q 、R 共线，共线于直线l ．例3. 若△ABC 所在的平面和△A 1B 1C 1所在平面相交，并且直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，求证： (1) AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1分别在同一个平面内；(2) 如果AB 和A 1B 1，BC 和B 1C 1分别相交，那么交点在同一条直线上．证明：(1) ∵AA 1∩BB 1＝0，∴AA 1与BB 1确定平面α，又∵A ∈a ，B ∈α，A 1∈α，B 1∈α，∴AB ⊂α，A 1B 1⊂α，∴AB 、A 1B 1在同一个平面内同理BC 、B 1C 1、AC 、A 1C 1分别在同一个平面内(2) 设AB∩A 1B 1＝X ，BC∩B 1C 1＝Y ，AC∩A 1C 1＝Z ，则只需证明X 、Y 、Z 三点都是平面A 1B 1C 1与ABC 的公共点即可．变式训练3：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1中点，求证：(1) E 、C ．D 1、F 四点共面；(2) CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明(1) 连结A 1B 则EF ∥A 1B A 1B ∥D 1C∴EF ∥D 1C ∴E 、F 、D 1、C 四点共面(2) 面D 1A∩面CA ＝DA∴EF ∥D 1C 且EF ＝21D 1C∴D 1F 与CE 相交 又D 1F ⊂面D 1A ，CE ⊂面AC ∴D 1F 与CE 的交点必在DA 上∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．证明：(1) 若a 、b 、c 三线共点P ，但点p ∉d ，由d 和其外一点可确定一个平面α又a∩d ＝A ∴点A ∈α ∴直线a ⊂α同理可证：b 、c ⊂α ∴a 、b 、c 、d 共面(2)若a 、b 、c 、d 两两相交但不过同一点∵a ∩b ＝Q ∴a 与b 可确定一个平面β又c ∩b ＝E ∴E ∈β同理c ∩a ＝F ∴F ∈β∴直线c 上有两点Ｅ、Ｆ在β上 ∴c ⊂βO C 1B 1A 1ABCABECDFA 1B 1C 1D 1同理可证：d ⊂β 故a 、b 、c 、d 共面由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面变式训练4：分别和两条异面直线AB 、CD 同时相交的两条直线AC 、BD 一定是异面直线，为什么?解：假设AC 、BD 不异面，则它们都在某个平面α内，则A 、B 、C 、D ∈α.由公理1知AC α⊂≠,BD α⊂≠.这与已知AB 与CD 异面矛盾，所以假设不成立,即AC 、BD 一定是异面直1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面．2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合．3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．。

高中数学《平面的基本性质》教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握平面的基本性质，包括平面的定义、平面的表示方法、平面的性质等。

2. 培养学生运用平面几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。

二、教学内容1. 平面的定义：平面是无限延展、无厚度的二维空间。

2. 平面的表示方法：用字母“α”、“β”等表示平面。

3. 平面的性质：（1）平面上的点与直线的关系：任意一点在平面内，都可以用平面内的直线表示。

（2）平面上的直线与直线的关系：平面内的任意两条直线，要么相交于一点，要么平行。

（3）平面上的直线与点的关系：平面内的任意一点，要么在给定直线上，要么不在给定直线上。

三、教学重点与难点1. 教学重点：平面的定义、表示方法和平面的性质。

2. 教学难点：平面的性质中直线与直线、直线与点的关系的理解和应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过思考和讨论，自主探究平面的基本性质。

2. 利用几何画板或实物模型，直观展示平面的性质，帮助学生建立空间想象。

3. 设计适量练习题，让学生在实践中巩固知识。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如平面地图、桌面等，引出平面的概念。

2. 新课导入：介绍平面的表示方法，讲解平面的性质。

3. 课堂讲解：详细讲解平面的性质，引导学生理解直线与直线、直线与点的关系。

4. 例题讲解：分析并解决典型例题，让学生掌握平面几何的应用。

5. 课堂练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。

6. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，提出更高层次的问题，激发学生兴趣。

7. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固平面几何知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对平面基本性质的理解程度。

2. 练习题解答：检查学生课后练习题的完成情况，评估其对知识的掌握程度。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解其合作能力和解决问题的能力。

七、教学反思1. 反思教学内容：根据学生的反馈，调整教案内容，使之更符合学生的认知水平。

第5课时平面的基本性质（1）
一、学习目标
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1、2、3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
二、数学活动
1．直线和点是构成平面几何的基本要素，你是如何理解直线这一概念的？2．能否将桌面理解为平面？请你尝试用一个图形表示平面？
三、数学建构
1．平面的概念及表示
2．点、直线、平面的关系
3．平面的基本性质
公理1：
公理2：
公理3：
四、数学应用
例1 如图，直角梯形ABDC 中，AB∥CD，AB>CD ，S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，由三点S A C ，，所确定的平面SAC 和由三点S B D ，，所确定的平面SBD 是否有公共点，为什么？是否有公共直线，若有公共直线，请画出这条直线，并说明理由．
例 2 已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于R Q P 、、．求证：R Q P 、、三点共线．
五、巩固与小结
《必修二》 P24 练习T1、4、5、6、7
小结：
A
B C P
Q
R
α。

- 1 - / 3第6课时平面与平面平行1．两个平面的位置关系： 2．两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (记忆口诀：线面平行，则面面平行) 3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的平行． (记忆口诀：面面平行，则线线平行) 4．两个平行平面距离和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的，两个平行面的公垂线段的，叫做两个平行平面的距离．例1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1中点． (1) 求证：平面AMN ∥平面EFDB ； (2) 求异面直线AM 、BD 所成角的余弦值． 解：(1) 易证EF ∥B 1D 1 MN ∥B 1D 1∴EF ∥MN AN ∥BE 又MN∩AN ＝N EF∩BE ＝E ∴面AMN ∥面EFDB(2) 易证MN ∥BD ∴∠AMN 为AM 与BD 所成角 易求得 cos ∠AMN ＝1010变式训练1：如图，α∥β，AB 交α、β于A 、B ，CD 交α、β于C 、D ，AB ⋂CD ＝O ，O 在两平面之间， AO ＝5，BO ＝8，CO ＝6．求CD ． 解：依题意有AC ∥DBOD COOB AO =即OD685=∴OD ＝548∴CD ＝548＋6＝578例2 . 已知平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在平面α和平面β间的两条线段，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且nm FDCF EBAE ==．求证：EF ∥α∥β．证明：1°若AB 与CD 共面，设AB 与CD 确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BDA 1 ABC B 1 C 1 EF M ND 1 DBDβ αACO- 2 - / 3∵α∥β ∴AC ∥BD 又∵FDCFEB AE =∴EF ∥AC ∥BD ∴EF ∥α∥β 2°若AB 与CD 异面，过A 作AA'∥CD 在AA'截点O ，使nmFD CF EB AE OA AO ===1' ∴EO ∥BA' OF ∥A'D∴平面EOF ∥α∥β ∴EF 与α、β无公共点 ∴EF ∥α∥β变式训练2：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点． 求证：(1) AP ⊥MN ； (2) 平面MNP ∥平面A 1BD ．证明：(1) 连BC 1易知AP 在BCC 1B 1内射影是BC 1 BC 1⊥MN ∴AP ⊥MN (2) ∵⇒⎭⎬⎫PM B A BD PN ////1面MNP ∥面A 1BD例3.已知a 和b 是两条异面直线．(1) 求证：过a 和b 分别存在平面α和β，使α∥β； (2) 求证：a 、b 间的距离等于平面α与β的距离．(1) 在直线a 上任取一点P ，过P 作b'∥b ，在直线b 上取一点Q 过Q 作a'∥a 设a, b'确定一个平面α a', b 确定平面β a'∥aa ⊂α ∴a'∥α 同理b ∥α 又a'、b ⊂β ∴α∥β 因此，过a 和b 分别存在两个平面α、β(2) 设AB 是a 和b 的公垂线，则AB ⊥b ，AB ⊥a ∴AB ⊥a' a'和b 是β内的相交直线，∴AB ⊥β 同理AB ⊥α 因此，a, b 间的距离等于α与β间的距离．变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ 、PF 、QC 分别交平面α于A 、B 、C 、点，交平面β于D 、F 、E 点，PA ＝9，AD ＝12，DQ ＝16，△ABC 的面积是72，试求△DEF 的面积．解：平面α∥平面β，∴AB ∥DF ，AC ∥DE ， ∴∠CAB ＝∠EDF ．在△PDF 中，AB ∥DF ，DF ＝AD PA PA +AB ＝37AB ，同理DE ＝74AC ．QFD ECABαβP- 3 - / 3S △DEF ＝21DF·DE sin ∠EDF ＝34S △ABC ＝96．例4.如图，平面α∥平面β，∆ABC ．∆A 1B 1C 1分别在α、β内，线段AA 1、BB 1、CC 1交于点O ，O 在α、β之间，若AB ＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，OA :OA 1＝3:2． 求∆A 1B 1C 1的面积．解：∵α∥β AA 1∩BB 1＝O ∴AB ∥A 1B 1 同理AC ∥A 1C 1 BC ∥B 1C 1∴△ABC ∽△A 1B 1C 1 S △ABC ＝21AB·AC·sin60°＝2323111==OA OA B A AB ∴49111=∆∆C B A ABC S S ∴111C B A S ∆＝932 变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 是PD 的中点．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的正切值． （1）证：因为底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， 所以AB ＝AD ＝AC ＝a ，在△PAB 中，由PA 2＋AB 2＝2a 2＝PB 2知PA ⊥AB ， 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD ． 因为PB ＝PD ＋DC ＋CB ＝2ED ＋DC ＋DA ＝(ED ＋DA )＋(ED ＋DC )＝EA ＋EC ∴PB 、EA 、EC 共面．PB ⊄平面EAC ，所以PB ∥平面EAC ．（2） 解：作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ∥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ．作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角．又E 是PD 的中点，从而G 是AD 的中点，EG ＝21a ，AG ＝21a ，GH ＝AG sin 60°＝43a ，332． 1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理． 2．正确运用两平面平行的性质．3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面．B 1A 1C 1 βα BCAO DEACBP。

1.2.1 平面的基本性质1．平面的概念及表示(1)平面的概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．(2)平面的表示方法①图形表示平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)．②字母表示平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．(3)点、线、面位置关系的符号表示(1)平面的基本性质①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB α．②公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ．③公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面． (2)公理3的推论①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． ②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． ③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．1．如果直线a 平面α，直线b 平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是( )A ．l αB ．l αC ．l ∩α＝MD ．l ∩α＝NA [∵M ∈a ，N ∈b ，a α，b α，∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l α.故选A.] 2．下列说法正确的是( ) A ．三点可以确定一个平面B ．一条直线和一个点可以确定一个平面C ．四边形是平面图形D ．两条相交直线可以确定一个平面D [A 错误，不共线的三点可以确定一个平面． B 错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． C 错误，四边形不一定是平面图形． D 正确，两条相交直线可以确定一个平面．] 3．如图所示，用符号可表达为________．α∩β＝m ，n α且m ∩n ＝A [由题图可知平面α与平面β相交于直线m ，且直线n 在平面α内，且与直线m 相交于点A ，故用符号可表示为：α∩β＝m ，n α且m ∩n ＝A .]①②(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形．思路探究：根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．[解](1)①α∩β＝l，mα，nβ，l∩n＝P，l∥m.②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩b∩c＝O，a∩γ＝O.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“”表示，直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．(1) (2)图(1)可以用几何符号表示为________________．图(2)可以用几何符号表示为________________．[答案](1)α∩β＝AB，aα，bβ，a∥AB，b∥AB，a∥b(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，Al，Bl思路探究：法一：a，b确定一个平面→l在平面内→a，c，l共面→a，b，c，l共面法二：a，b确定一个平面→b，c确定另一个平面→两平面重合[证明]如图．法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线lα.∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．故a，b，c，l共面．法二：∵a∥b，∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴ABα，即lα.又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，而B∈b，C∈c，∴BCβ，即lβ.∴b，lα，b，lβ，而b∩l＝B，∴α与β重合，故a，b，c，l共面．在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．确定一个平面的方法有：①直线和直线外一点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[解] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l 1∩l 2＝A ，∴l 1，l 2确定一个平面α. ∵l 2∩l 3＝B ，∴l 2，l 3确定一个平面β. ∵A ∈l 2，l 2α，∴A ∈α. ∵A ∈l 2，l 2∈β，∴A ∈β.同理可证B ∈α，B ∈β，C ∈α，C ∈β.∴不共线的三个点A ，B ，C 既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l 1，l 2，l 3在同一平面内．1．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？[提示] 由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交于一条直线．2．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．试问CE ，D 1F ，DA 三线是否交于一点？为什么？[提示] 交于一点．证明：如图所示，连结EF ，D 1C ，A 1B . ∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， ∴EF 12A 1B .又∵A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥D 1C ， ∴E ，F ，D 1，C 四点共面， 且EF ＝12D 1C ，∴D 1F 与CE 相交于点P . 又D 1F 平面A 1D 1DA ，CE 平面ABCD .∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理3，可得P ∈DA ， 即CE ，D 1F ，DA 相交于一点．【例3】 如图所示，在四面体ABCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，求证：EF ，GH ，BD 交于一点．思路探究：先证明GH 和EF 共面且交于一点O ，然后说明O 是平面ABD 和平面BCD 的公共点，而平面ABD 和平面BCD 相交于直线BD ，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O 在交线上，即点O 在直线BD 上．从而证明了直线EF ，GH ，BD 都过点O .[证明] ∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点， ∴GE ∥AC ，GE ＝12AC .又DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3， ∴FH ∥AC ，FH ＝25AC .∴FH ∥GE ，FH ≠GE .∴四边形EFHG 是一个梯形，GH 和EF 交于一点O . ∵O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内， ∴O 在这两平面的交线上．而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条， ∴点O 在直线BD 上． ∴EF ，GH ，BD 交于一点．证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由公理2完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上．3．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别在棱AB ，BB 1，CC 1上，且DP ，RQ 相交于点O .求证：O ，B ，C 三点共线．[证明] 如图，可知平面AC ∩平面BC 1＝BC .⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫QR 平面BC 1，O ∈RQ⇒O ∈平面BC 1⎭⎪⎬⎪⎫DP 平面AC ，O ∈DP⇒O ∈平面AC⇒O 为平面BC 1与平面AC 的公共点 又∵平面AC ∩平面BC 1＝BC ，∴O ∈BC ， 即O ，B ，C 三点共线．1．本节课的重点是理解平面的概念，会画一个平面并会表示平面，会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系．难点是掌握三个公理并会简单应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)理解平面的概念及空间图形画法要求．(2)文字语言、符号语言、图形语言的转换方法．(3)证明点、线共面的方法．(4)证明点共线、线共点的方法．3．本节课的易错点是平面基本性质运用中忽略重要条件．1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数( )①A∈a，aα⇒Aα；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③Aa，aα⇒Aα；④A∈a，aα⇒Aα.A．1 B．2C．3 D．4D[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，Aa，aα，但A∈α；④不正确，“Aα”表述错误．]2.如图所示，点A∈α，Bα，Cα，则平面ABC与平面α的交点的个数是______个．无数[因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC与平面α的交点有无数个．]3．空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________个．3[当三条直线不共面时确定平面个数最多，为3个．]4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．[解]设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．理由如下：∵点M∈平面ACD1，点N平面ACD1，所以MN平面ACD1.同理，MN平面BDC1，∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1的交线．。

高中数学《平面的基本性质》教案章节一：平面的概念1.1 教学目标让学生理解平面的基本概念，包括平面的定义和表示方法。

让学生掌握平面的性质，如平面的无限延展性和平面的包含关系。

1.2 教学内容平面定义：平面是无限延展的、无厚度的二维空间。

平面表示方法：用希腊字母“π”表示平面。

平面性质：平面的无限延展性，平面内任意两点可以确定一条直线。

1.3 教学步骤引入平面的概念，引导学生思考日常生活中的平面例子。

讲解平面的定义和表示方法，通过图形和实例进行说明。

引导学生理解平面的性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节二：平面的基本性质2.1 教学目标让学生掌握平面的基本性质，包括平面的连续性、平行的性质和平面的包含关系。

2.2 教学内容平面连续性：平面上的任意两点都可以用一条直线连接。

平面平行性质：同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

平面包含关系：一条直线可以包含在平面内，也可以不包含在平面内。

2.3 教学步骤回顾平面的概念和表示方法，引导学生思考平面的性质。

讲解平面的连续性，通过图形和实例进行说明。

讲解平面的平行性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。

讲解平面的包含关系，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节三：平面的画法3.1 教学目标让学生掌握平面的画法，包括平面在坐标系中的表示和平面的方程。

3.2 教学内容平面在坐标系中的表示：平面可以用方程表示，如Ax + By + C = 0。

平面方程的求法：通过已知的平面上的点和平面的法向量来求解平面方程。

3.3 教学步骤引导学生回顾平面的概念和性质，引出平面的画法。

讲解平面在坐标系中的表示方法，通过图形和实例进行说明。

讲解平面方程的求法，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节四：平面与直线的关系4.1 教学目标让学生掌握平面与直线的关系，包括平面与直线的相交和平行。

4.2 教学内容平面与直线的相交：平面与直线相交时，交点称为直线在平面上的投影。

平面与直线的平行：平面与直线平行时，直线上的任意点都不在平面内。

1.2.1 平面的基本性质与推论[学习目标] 1.掌握平面的基本性质和三个推论，会用三种语言表述性质与推论.2.了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的位置关系.[知识链接]1.在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、重合.2.点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外.[预习导引]1.平面的基本性质(1)基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内，这时我们说，直线在平面内或平面经过直线.(2)基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.也可简单说成，不共线的三点确定一个平面.(3)基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交.这条公共直线叫做两个平面的交线.2.平面基本性质的推论(1)推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.(2)推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.(3)推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.共面和异面直线(1)共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面.(2)异面直线：既不相交又不平行的直线.要点一三种语言的转换例1 用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图(1)(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图(2). 规律方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪演练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图(1).(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2).(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图(3).要点二点线共面问题例2 证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内.证明方法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内.方法二(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内.∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.规律方法在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.跟踪演练2 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面. 证明如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.要点三点共线与线共点问题例3 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.证明∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q ∈直线AD ，即D 、A 、Q 三点共线. 规律方法 点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用基本性质3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪演练3 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且BG GC ＝DHHC＝2.求证：直线EG ，FH ，AC 相交于同一点.证明 ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD 且EF ＝12BD .又∵BG GC ＝DH HC ＝2，∴GH ∥BD 且GH ＝13BD ，∴EF ∥GH 且EF >GH ，∴四边形EFHG 是梯形，其两腰所在直线必相交， 设两腰EG ，FH 的延长线相交于一点P ，如图， ∵EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ， ∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD ， 又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故直线EG ，FH ，AC 相交于同一点.1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( ).A.异面B.相交C.不相交D.不平行答案 D解析和两条异面直线都相交的两条直线可能相交，也可能异面，但一定不平行.2.下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )答案 D解析画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示.3.若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作( )A.Q∈b∈βB.Q∈b⊂βC.Q⊂b⊂βD.Q⊂b∈β答案 B解析∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b ⊂β，∴Q∈b⊂β.4.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.答案C解析∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.5.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.答案(1)4 (2)7解析(1)可以想象三棱锥的确4个顶点，它们总共确定4个平面.(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个基本性质的作用，体会先部分再整体的思想.3.判断两条直线的位置关系时，若要判定直线平行或相交可用平面几何中的定义处理.判定异面直线的方法往往用定义和反证法.借助长方体模型判定两直线的位置关系，也是常用的一种方法，更直观.。