积分第二中值定理的证明回复
积分第二中值定理的证明如下：
设$f(x)$在$[a,b]$内连续，则存在$c\in[a,b]$，使得
$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$
证明：
考虑将$[a,b]$分成$n$个相等的小区间，每个小区间的长度为$\Delta x=\frac{b-a}{n}$，分别记为
$[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n]$，其中
$x_0=a,x_n=b$。
对于每个小区间$[x_{i-1},x_i]$，根据拉格朗日中值定理，存在$x_i^*\in[x_{i-1},x_i]$，使得
$$\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx=f(x_i^*)\Delta x$$
将上述式子对$i=1,2,...,n$进行求和，有
$$\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x$$
由于$f(x)$在$[a,b]$内连续，因此$f(x)$在
$[a,b]$内一定有界，即存在$M>0$，使得$|f(x)|\le
M$，$\forall x\in[a,b]$。于是有
$$\left|\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x\right|\le
\sum_{i=1}^n|f(x_i^*)|\Delta x\le M\sum_{i=1}^n\Delta x=(b-a)M$$
令$\Delta x\rightarrow0$，则有$n\rightarrow
\infty$，$x_i^*\rightarrow c$，其中$c\in[a,b]$。因此，
