青岛版4.1一元二次方程-导学案

《3.1 一元二次方程》学案【学习目标】1. 认识一元二次，会辨认一元二次方程。

2.学会把一元二次方程化成一般形式，并能找出二次方程系数、一次项系数和常数项。

3.感悟一元二次方程与实际生活的密切关系。

【学习过程】一.知识回顾：一元一次方程（举例）：分式方程（举例）：二.自主探究：（一）一元二次方程的概念1.自学课本76页内容，得到的三个方程分别是：①②③2.整理这三个方程，使方程的右边为0，并左边按 x 的将幂排列。

①②③这三个方程的共同特点：3. 像这样的方程叫做一元二次方程。

对应练习：1.下面的方程是一元二次方程吗？为什么？（1） x2-9=0 （2）y2-4y=0 (3)1／3x-x2 =0 (4)4s(s-1)=4s2+2(5)3x+ x2-1=0 (6)3x3-4x2+1=02.关于x的方程（a-1）x2-3ax+5=0是一元二次方程，这时的取值范围是___________(二)一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为___________________，二次项是________,一次项是________，常数项是_______，其中a称为__________b称为__________.对应练习：1.一元二次方程3x2=5x的一般形式为____________，二次项系数为__________一次项系数为__________常数项为__________.2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数，常数项。

①3x(x+1)=4(x-2) ②(x+3)2=(x+2)(4x-1) ③2(y+5)(y-1)=y2-8 ④2t=(t+1)2三.课堂小结通过本节课的学习，你认为要重点掌握的知识是_____________________________________________________，在学习的过程中你的困惑有_____________________________________________________，你对自己本节课的表现满意的地方是_____________________________________________。

青岛版数学九年级上册《认识一元二次方程》教学设计一. 教材分析《认识一元二次方程》是青岛版数学九年级上册的教学内容。

本节课的主要内容是一元二次方程的定义、性质和解法。

一元二次方程是初中数学的重要内容，是进一步学习高中数学的基础。

本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。

但是，对于一元二次方程的定义和性质还需要进一步的学习和理解。

此外，学生的学习习惯和思维方式也会影响他们对一元二次方程的学习。

三. 教学目标1.了解一元二次方程的定义和性质。

2.学会解一元二次方程的方法。

3.能够应用一元二次方程解决实际问题。

四. 教学重难点1.一元二次方程的定义和性质。

2.一元二次方程的解法。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和练习法进行教学。

通过问题和实例引导学生思考和探索，通过练习巩固所学知识。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，引导学生思考和探索。

2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的定义和性质，通过实例和PPT课件呈现一元二次方程的解法。

3.操练（20分钟）让学生分组练习解一元二次方程，教师巡回指导，及时纠正错误。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题巩固学生对一元二次方程的理解和解法。

5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程的应用，解决实际问题。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调一元二次方程的定义和性质，以及解法。

7.家庭作业（5分钟）布置一些练习题，让学生回家巩固所学知识。

8.板书（5分钟）板书一元二次方程的定义、性质和解法。

本节课通过问题驱动法、实例教学法和练习法，引导学生了解和掌握一元二次方程。

在教学过程中，注意调动学生的积极性，鼓励他们思考和探索。

通过练习和实际问题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

一元二次方程[学生课前活动设计]过程：发放课前预学案，学生对照预学案自主学习，通过翻阅课本以及交流复习前面所学有关方程数学知识，通过“活动中体验”，学生课前以小组为单位进行交流，经历建模过程。

目的：是通过预学自己探究解决本节课有关基础知识，为学习新知识做准备，学生在上述活动中经历建模过程，体验到预习的重要性，同时也能发现自己困惑的问题，以便在听讲时能够做到有的放矢，培养学生的自学能力与预习兴趣。

一元二次方程导学稿（第一课时）课前预学 （一）温故知新1、下列式子哪些是方程？并指出它们的名字。

2＋3＝5 3x ＋2 5x ＋3＝18x －2y ＝52、什么是一元一次方程？你是怎样理解“元”和“次”的？ （二）活动中体验七、课堂学生学习效果评测表格设计课程结束后，指导学生进行学习效果评价。

明确评价的具体内容，以学生自评为主，学生互评，教师评价为辅。

肯定优点的同时，指出问题所在，以及改进建议等。

附：学生自评表内容项目 知识与技能过程与方法情感态度与价值观得分 师生互动 2 3 5 自主练习 5 5 5 课堂展示 5 5 5 合计323335总结及建议 213>+x212x x x =-+-活动一、如图，正方形桌面的面积是2m 2，求它的边长。

设边长Xm ，可列方程为___________ ． 活动二五一前夕，为增强学生体质，培养学生集体荣誉感。

我校决定举行一次篮球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排5天,每天安排3场比赛,组织者应邀请多少个队参加比赛?设组织者应邀请x 个队参赛, 可列方程为___________. 活动三、如图，有一长5m 的梯子靠放在矩形花园的墙上，梯子的底端与墙的距离是3m 若梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等。

你知道梯子底端向右滑动的距离是多少吗？设顶端向下滑的距离为xm ，可列方程为观察与思考：这些方程使我们以前学过的方程吗？名字是？一元二次方程导学稿（第一课时）【学习目标】1、了解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。

一元二次方程学习目标：1.熟练掌握一元二次方程及有关概念，认识一元二次方程的一般形式。

2.会用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程。

3.熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，并能用这些知识解决相关问题。

4.会列一元二次方程解决相关实际问题 学习重点：1.理解一元二次方程必须同时具备三个条件，缺一不可2.会用适当的方法解一元二次方程3.能找到问题中的相等关系并列出方程 学习过程：（知识网络架）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙-=+=++⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔<-⇔=-⇔>-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧利润问题几何图形问题增长率问题数字问题一元二次方程的应用根与系数的关系一元二次方程没有实根方程有两个相等的实根方程有两个不相等的实根方程式一元二次方程根的判别因式分解法公式法配方法直接开平方法一元二次方程的解法形式一元二次方程的一般一元二次方程的定义念一元二次方程的有关概一元二次方程a c x x a b x x c bx ax ac b ac b ac b 212122220040404根据网络架进行知识学习 一、一元二次方程的概念 形如：()002≠=++a c bx ax1.下列关于x 的方程：其中是一元二次方程的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个 2、关于x 的方程（m+3)x |m|-1-2x+4=0是一元二次方程，则m=二、自学一元二次方程的解法，尝试解下列方程（相信你一定能行！）： （1）直接开平方法： （2）配方法： （3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b aac b b x解下列方程（1）(2x ＋3)2－25＝0. （直接开平方法）（2） 02722=--x x .（配方法）1)4(,02)3(,53)2(,032)1(223222=+=+-=+=--y x x x x x x x（3）02722=--x x .（公式法）（4）()()2322+=+x x （因式分解法）（5）0)52()13(22=+--x x （因式分解法）（6）请用四种方法解方程：（2x-3)2=x 2三、一元二次方程的根的判别式（这部分是重点考点哦，加油！）： （1）当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； （2）当 时，方程有两个相等．．．．的实数根；（3）当 时，方程没有实数根．．．．．。

简易方程（教案）-四年级下册数学青岛版（五四学制）一、教学目标1. 让学生理解方程的概念，掌握方程的解法和应用。

2. 培养学生运用方程解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作交流、积极参与的态度，激发学生对数学学习的兴趣。

二、教学内容1. 方程的概念：等式、方程的定义，方程的解法。

2. 一元一次方程：方程的解法，方程的应用。

3. 二元一次方程：方程的解法，方程的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：方程的解法，方程的应用。

2. 教学难点：理解方程的概念，掌握方程的解法，解决实际问题。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔、教鞭等。

2. 学具：练习本、铅笔、橡皮等。

五、教学过程1. 导入：通过PPT展示一些生活中的实际问题，引导学生发现其中的数量关系，从而引出方程的概念。

2. 新课：讲解方程的定义，通过PPT展示一些方程的例子，让学生理解方程的意义。

然后，讲解方程的解法，让学生掌握解方程的方法。

3. 案例分析：通过PPT展示一些一元一次方程和二元一次方程的例子，让学生分析并解决这些问题，巩固所学知识。

4. 小组讨论：将学生分成小组，让每个小组解决一个实际问题，培养学生合作交流的能力。

5. 课堂小结：总结本节课所学内容，让学生明确方程的概念和解法。

6. 作业布置：布置一些方程的练习题，让学生巩固所学知识。

六、板书设计1. 方程的概念：等式、方程的定义，方程的解法。

2. 一元一次方程：方程的解法，方程的应用。

3. 二元一次方程：方程的解法，方程的应用。

七、作业设计1. 基础题：解一元一次方程和二元一次方程。

2. 提高题：解决一些实际问题，运用方程进行计算。

3. 拓展题：研究一些方程的规律，探索方程的解法。

八、课后反思1. 教师要关注学生在课堂上的表现，及时发现问题并给予指导。

2. 教师要关注学生的学习进度，适当调整教学计划，确保每个学生都能掌握所学知识。

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料初二数学课程教案授课题目4.1一元二次方程授课类型新授课教学目标1.能够准确表述一元二次方程的概念。

2.会把一元二次方程化为一般形式，并能熟练确定各项及其系数。

3.会判断一个数是不是一元二次方程的根。

重点一元二次方程的概念及其一般形式难点能运用一元二次方程的相关知识解决简单问题教学过程任务一、温故知新你能区分下列方程哪些是一元一次方程，哪些是二元一次方程，哪些是分式方程吗？请把序号写在对应位置．任务二、合作探究：理解一元二次方程的概念.一元二次方程概念中你能找出几个关键词？请写出来．【变式拓展】要使关于x的方程是一元二次方程，求k值．【课堂小结】1. 知识方面：2. 数学思想方法：2)1()1(1=+-+++xkxk k作业1..下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？为什么？（1）20=x（2）2211-+=x x（3）()()24321+=-x x x（4）()221=+t t2.把关于x的一元二次方程()25131+-=+x a x x化成一般形式．主要教学内容练习一下列方程哪些是一元二次方程，请把序号写下来：（1）012=-x（2）yx3)1(22=-（3）xx4592-=（4）3210--=x x（5）0212=-xx（6）052=-xx2.一元二次方程的一般形式是：.练习三仿照课本例1，将关于x的一元二次方程()()3142+=-x x x化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．学以致用：1.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）2x(x+1)=5(x-2)(x-2)（2）2(y+5)(y-1) = y2-81. 知识方面：教学小结2. 数学思想方法：。

4.1 一元二次方程（第一课时）学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

难点：由实际问题列出一元二次方程。

准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

导学流程：（一）课前延伸：1、我们已经学过的一元一次方程是怎么定义的？2、根据题意列方程：（1）正方形桌面的面积是2m２，求它的边长？（2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。

如果花圃的面积是24 m２，求花圃的长和宽？-------------------------------------------------(二)课内探究：1、自主学习：自学课本124—125页，认识一元二次方程。

2、合作探究：探究新知【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长是多少？设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？合作交流动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。

列出的方程是（1）.【做一做】根据题意列出方程：1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。

3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述三个方程以及方程（1）的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。

3、精讲点拨：（1）只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是一次项，是常数项，是二次项系数，是一次项系数。

课题 4.1一元二次方程备课人课型新授课课时 1教学目标知识与能力1、理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。

2、能根据具体情景应用知识。

过程与方法综合运用以前所学的代数式及其运算等知识，巩固和加深我们对所学知识的理解情感态度价值观体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型课标要求能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型重点一元二次方程的定义、一般形式难点一元二次方程的一般形式教法自主探究合作交流教具学具教学程序教师活动学生活动激情导入认定目标自主探究课前互动31页3题、4题出示学习目标自学导航阅读课本124页至125页，独立完成下列问题（一）：（1）设教室的长为xm，得到的方程为_________________________________（2）设较短的直角边为xcm, 得到的方程为3题4号板演4题3号板演其余下面完成同组批改本组的问题一生口述目标，其余生静听、领会快速阅读思考概念1 / 3激情互_________________________________（3）设AB=1,AC=x时，得到的方程为_________________________________（二）：把上面方程（1）、（2）、（3）分别进行整理，使方程的右边为0，并将左边按x的降幂排列为：（1）----------------------------------------------（2）-------------------------------（3）-------------------------------方程（1）（2）（3）的两边都是________，它们都只含_____有未知数，并且整理后未知数的最高次数都是_____。

像这样的方程叫做一元二次方程（三）、（1）一元二次方程都可以化为：ax2+bx+c=0的形式，称为一元二次方程的一般形式，其中a x2，bx，c分别称为这个方程的____________________ _____________a、b分别称为___________和________________（2）写出方程3 x2-2x-1=0的二次项系数是_________、一次项系数是______常数项是__________学生独立完成问题组内交流自学中的困惑问题，全组达成一致意见。

《一元二次方程》教案教学目标：学问与技能目标1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．驾驭一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．过程与方法目标1．通过一元二次方程的引入，培育学生分析问题和解决问题的实力；2．通过一元二次方程概念的学习，培育学生对概念理解的完整性和深刻性．情感与看法目标由学问来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培育学生用数学的意识．教学重、难点：重点：一元二次方程的意义及一般形式．难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”；判定一个数是否是方程的根.教学过程:一、创设问题情境1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先打算好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培育学生手、脑、眼并用的实力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应当怎样求出截去的小正方形的边长？老师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学学问不够用，须要学习新的学问，学了本章的学问，就可以解这个方程，从而解决上述问题．学生看投影并思索问题二、探究新知1．复习提问(1)什么叫做方程？曾学过哪些方程？(2)什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？(3)什么叫做分式方程？2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以视察、比较，得到一元二次方程的概念．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．3．例题解析例1 把方程223122+=-+x x x ))(（化为一元二次方程的一般形式，写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数.4．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x (5x -2)＝x (x ＋1)＋4x 2；(2)7x 2＋6＝2x (3x ＋1)； (3)2172x= (4)6x 2＝x ；(5)2x 2＝5y ；(6)-x 2＝05．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．ax 2称二次项，bx 称一次项，c 称常数项，a 称二次项系数，b 称一次项系数．一般式中的“a ≠0”为什么？假如a ＝0，则ax 2+bx +c ＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．6．要剪一块面积为150cm 2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，这块铁片应当怎样剪？ 设长为x cm ，则宽为(x -5)cm列方程x (x -5)=150，即x 2-5x -150=0请依据列方程回答以下问题：(1)x 可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．(2)完成下表：(3)分析：x 2-5x -150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用二分法求出该方程的根．解：(1)x 不行能小于5．理由：假如x <5，则宽(x -5)<0，不合题意．x 不行能等于10．理由：假如x =10，则面积x 2-5x -150=-100，也不行能．(2)(3)铁片长x 三、习题演示1、把方程3x (x -1)＝2(x ＋1)＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？老师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．2、下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：(4)(b2＋1)x2-bx＋b＝2；(5)2tx(x-5)＝7-4tx．老师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．四、总结引导学生从下面四方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从学问内容上学到了什么内容？分清晰概念的区分和联系？1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会学问来源于实际以及转化为方程的思想方法．2．一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区分和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．4．要会用一些方法求一元二次方程的根.。

复习课时备课（导学案）四年级上册数学青岛版一、知识点梳理在进行复习备课前，先要整理出本课时需要学生掌握的知识点，以便更好地安排教学内容和方式。

数的认识1.自然数的认识和认识1以内的数。

2.0的数学意义，0与自然数的关系。

计数方法1.学生通过物品的分组和穿插数量进行计数。

2.给出一些数目，让学生背诵，增加熟练度。

数的合和分1.用物品以分步骤的形式进行数的合计和分解的演示。

2.大数分与小数合的转换。

口算题1.10以内数的加减法口算。

2.一些大于10的加减法口算。

计算方法1.10以内数的加减法的计算方法。

2.运用计算方法解决数的合和分的问题。

几何图形1.圆形，正方形，长方形的认识。

2.给定一个图形，让学生用口语和文字对其进行描述。

二、教学活动安排为了使学生更好地掌握本课程所涉及的知识点，应该采用多种教学方法。

1. 感性认识1.让学生通过游戏、动画等形式对自然数和0的概念有一个初步的感性认识。

2.在教室中布置各种数字，让学生通过计数发现数字规律。

3.在黑板上用生动形象的图案演示数字的合并与分裂，让学生感受到数字的变化和增减。

2. 认知训练1.教师给每个学生发放一定数量的小物品，让他们运用计数方法，尝试不同的给出数量的计算。

2.在黑板上给出数学问题，要求学生用大数分和小数合的思路解决问题。

3.教师提供一些简单的计算题，让学生以口算的方式解决问题。

3. 合作探究1.让学生分组，让他们用自己的方式合计出一定数量的物品，然后再分组计算解决问题。

2.让学生来自行发现计算方法的规律和特点。

3.以小组为单位展开作业互评活动，让他们对自己和其他组员的解答方法进行分析和总结。

三、教学重点与难点在备课过程中，要注意以下重点和难点：1. 重点1.让学生建立起数字意义，并通过各种途径来加深他们对数字意义的认识。

2.教师在讲解计算方法的过程中，注重概念的讲解和思维的引导。

2. 难点1.让学生运用口算的方式解决一些较大的数字计算问题。

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料4.1一元二次方程（2） 教学设计【教学目标】1、知识与技能：经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识。

2、能力培养：能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型。

3、情感与态度：发展估算意识和能力，培养克服困难【教学重难点】判定一个数是否是方程的根，用估算方法求一元二次方程的近似解突破措施：自主学习与小组讨论相结合【教学过程】一、导入环节（2分钟）（一）导入新课，板书课题导入语：前面我们已经学习了点与圆的位置关系，还记得吗？从这节课开始，我们探究直线与圆的位置关系，同学们来看本节课的学习目标.二、先学环节（15分钟）（一）出示自学指导二 自主交流 探究新知1、 如图,一个直角三角形的三边都是整数,它的斜边长是11cm,两条直角边的差为7cm,求两直角边的长.设较短直角边的长为x （cm ），由两条直角边的差为7cm 可知，较长直角边的长是 。

根据问题中的等量关系两条直角边的平方和=斜边的平方可以得到方程 。

探究方程一元二次方程x 2+7x-36=0的解2、下面哪些数是方程012102=++x x 的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．3、认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。

⑴0162=-x ⑵0)2)(3(=-+x x⑶49)2(2=-x ⑷25122=+-x x【分析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题．三、自主应用 巩固新知【例1】若x ＝2是方程0542=-+x ax 的一个根，你能求出a 的值吗？【分析】根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代入方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a 的一元一次方程，进而解即可．解：【例2】若x=1是关于x 的一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)的一个根，求代数式2007(a+b+c)的值。

用公式法解一元二次方程学习目标1．使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。

2．引导学生熟记求根公式aac b b x 242-±-=并理解公式中的条件042≥-ac b 3．使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程。

学习重点：1．掌握一元二次方程的求根公式。

2．熟练地运用求根公式解一元二次方程。

学习难点：求根公式的推导教学过程（一）复习引入我们学过了一元二次方程的两种解法，它们是1．直接开平方法：a x =2 )0(≥a2．配方法：（提问步骤）（二）探索新知1.学生尝试用配方法推导一元二次方程的求根公式:)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 2．交流讨论：分析公式的特点，记忆公式。

3．例题学习例1、解方程 0232=+-x x（学生自主解答，教师点拨）小结：方程满足一般式，确定a 、b 、c 后代入求根公式，即可求出方程的根。

例2、 解方程 4722=+x x（小组交流合作完成）小结：方程不是一般式，先化为一般形式后再求方程的根。

例3、解方程 03422=-+-x x（自主完成，小组交流）小结：方程的二次项系数为负数，通常先把它化为正数，再求根较好，而且ac b 42-＜0可以用算术平方根的意义得到方程没有实数根。

4．反馈练习（1）03522=-+x x （2）12252=+y y （3）522=+t t （4）16)8(=-P P（学生先练习，老师后点评）（三）课堂总结：（1）要牢记一元二次方程的求根公式 )04(2422≥--±-=ac b aac b b x （2）利用求根公式求一元二次方程的根的步骤：①化方程为一般形式②确定方程中的a 、b 、c 的值③算出ac b 42-的值④代入求根公式求方程的根（3）求根公式是在042≥-ac b 时求方程的根，如果ac b 42-＜0时，则方程在实数范围内无解。

（四）拓展练习（1）用公式法解方程31242-=-x x 得到方程的根是 。

青岛版数学初三上册同步导学案：4【学习目标】1、经历方程解的探究过程，增进对方程解的认识。

2、能依照实际问题建立一元二次方程的数学模型。

3、渗透“夹逼”思想，进展估算意识和能力，培养克服困难【学习重难点】用估算方法求一元二次方程的近似解【学习过程】一、学习预备：1、什么是方程的解？二、自主探究任务一、依照题意估算方程一元二次方程x2+7x-36=0的解的方法：将方程x2+7x-36=0化为x2+7x=36（1）x可能小于0吗？可能大于11吗？什么缘故？_____________________________________[来源:学+科+网Z+X+X+K]因为：当x=0时，x2+7x的值为0，小于36；aa当x=11时，x2+7x的值为198，大于36；这说明：方程x2+7x=36的解在________________之间（2）在实数0~11之间取一个中间值，例如取x=5，通过运算和比较得出：方程x2+7x=36的解在________________之间（3）在实数0~5之间取一个中间值，例如取x=3，通过运算和比较得出：方程x2+7x=36的解在________________之间[来源:1ZXXK]（4）在实数3~5之间取一个中间值，例如取x=4，通过运算和比较得出：[来源:1]方程x2+7x=36的解在________________之间（5）在实数3~4之间取一个中间值，例如取x=3.5，通过运算和比较得出：方程x2+7x=36的解在________________之间类似地，连续做下去，能够连续确定方程x2+7x=36的根的第2位小数，第3位小数。

如此，就能用估算的方法求出方程x2+7x=36（即方程x2+7x-36=0）的一个根的近似值。

（6）假如不考虑方程x2+7x=36的实际意义，方程x2+7x=36还有一个负根，用估算的方法求出方程x2+7x=36（即方程x2+7x-36=0）的负根的近似值在：__________之间说明方程x2+7x=36的解有________个三、课堂小结：1、谈一谈，这节课你有哪些收成？[来源:1]2、关于本节所学内容你还有哪些疑问？四、随堂训练用估算的方法求出方程的解：1、x2+x-12=0的解：_____________________2、x2-3x-10=0的解：______________________[来源:Zxxk ]。

3．5一元二次方程的应用（2）【课前预习】（二）完成下列问题1、某商品原价289元，降价后售价为256元，则降价的百分数是多少？2、某乡产粮大户,2007年粮食产量为50吨,由于加强了经营和科学种田,2008年粮食产量上升到60.5吨.求粮食产量增长的百分率.课堂学习：（一）合作探究问题1某种手表,原来每只售价96元,经过连续2次降价后,现在每只售价54元,平均每次降价的百分率是多少?问题2某钢铁厂今年一月份的某种钢产量是5000吨,此后每月比上个月产量提高的百分数相同,且三月份比二月份的产量多1200吨,求这个相同的百分数.（二）课堂练习1．某商品连续两次降价10%后为m 元，则该商品原价为（ ）A ．1.12m 元B ．1.12m 元C ．0.81m 元 D ．0.81m 元 2．某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x ，根据题意，得（ ）A ．5000（1+x 2）=7200B ．5000（1+x ）+5000（1+x ）2=7200C ．5000（1+x ）2=7200D ．5000+5000（1+x ）+5000（1+x ）2=72003.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．23000(1)5000x +=B ．230005000x = C ．23000(1)5000x +=％ D ．23000(1)3000(1)5000x x +++= 4．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是( )A ．256)x 1(2892=-B ．289)x 1(2562=-C ．256)x 21(289=-D ．289)x 21(256=-5．某药品原来每盒售价96元，由于两次降价，现在每盒54元，•则平均每次降价的百分数为_______．6．某农场的粮食产量，若两年内从25万公斤，增加到30.25万公斤，则平均每年的增长率为_______．7．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为__________________，解得年利率是_________．8．某市2002年底人口为20万人，人均住房面积9m 2，计划2003年、2004年两年内平均每年增加人口为1万，为使到2004年底人均住房面积达到10m，则该市两年内住房平均增长率必须达到_________．（10=3.162，11=3.317，精确到1%）9．某林场原有森林木材存量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，•••则经过一年木材存量达到________，经过两个木材存量达到__________．10．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．•某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，•发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款________元．11．益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，•若每件商品售价a元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？12．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，•商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193．6万元，求这两个月的平均增长率．（三）课堂测试1．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2011年盈利1500万元，到2013年盈利2160万元，且从2011年到2013年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2012年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2014年盈利多少万元？2.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?。

青岛版数学初三上册同步导学案：4【学习目标】因式分解法是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，表达了一种“降次”思想、“转化”思想,并了解这种转化思想在解方程中的应用。

【学习重难点】用因式分解法解某些方程【学习过程】一.课前预备1、（1）将一个多项式（专门是二次三项式）因式分解，有哪几种分解方法？（2）将下列多项式因式分解① 3x2－4x ② 4x2－9y2 ③x2－6xy ＋9y2④ (2x ＋1)2＋4(2x ＋1)＋4二、自主探究解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法） 2：探究认真观看方程特点，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？3、归纳：（1）关于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，再使_________________________，从而实现_____ ____________，这种解法叫做__________________。

（2）假如0a b ⋅=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的依照。

例如：假如(1)(1)0x x +-=，那么10x +=或_______，即1x =-或________。

归纳内化:因式分解法解一元二次方程的一样步骤1、将方程______________2、将方程左边分解成两个一次因式的____________3、令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程4、解这两个一元一次方程，它们的解确实是原方程的解三、课堂小结：这节课我学到了[来源:Zxxk ]四、随堂训练1．方程(3)0x x +=的根是 __________[来源:学.科.网]2．x2-5x 因式分解结果为_______；2x （x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．[来源:1]3．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．[来源:1]2．若关于x 的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程能够为（ ）A ．（x+5）（x-7）=0B ．（x-5）（x+7）=0C ．（x+5）（x+7）=0D ．（x-5）（x-7）=04、用因式分解法解下列方程（1）x2+x=0 （2）x2-23x=0（3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0（5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2[来源:Zxxk ]5、已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a b b a ab +--的值．。

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料4.1 一元二次方程 教学设计【教学目标】1.掌握一元二次方程及其各项和各项系数等概念.2.能识别一元二次方程及其各项系数.3.极度热情、全力以赴，培养方程思想和数感.【教学重难点】重点：一元二次方程的概念和它的一般形式.难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定.【课时安排】1课时【教学过程】一、出示学习目标观察下面的三个方程，结合125页黑框部分，完成以下题目.2222354017360x x x x x x --==-+-= 1.方程的两边是 ，只含有 未知数，并且未知数的 ，这样的方程叫一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式是 ．其中 叫做一元二次方程的二次项， 叫做一元二次方程的一次项， 叫做常数项，二次项的系数是 一次项的系数是 ．（二）自学检测反馈1.判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程，不是的，请写出理由．(1)()y x 3122=-； (2)4112=+x ； (3)0132=-x ； （4）0233=-x x2.关于x 的方程()02372=-+--x x m m，当m= 时，方程为一元二次方程 3.把方程2732-=x x 化为一元二次方程的一般形式，写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数．一般形式__________________________;二次项_______________,二次项系数________ 一次项___________,一次项系数_________;常数项_________二、探究一：把方程2(21)(32)2x x x +-=+化为一元二次方程的一般形式，写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数．探究二：关于x 的方程0)1(4)12(2=-+-+k kx x k ．(1)k 为何值，此方程是一元一次方程，求出这个一元一次方程的解.(2) 若此方程是一元二次方程，写出k 的取值范围.三、训练环节1.判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程(1)()00242≠=--m x mx (2)()()0512122=-+-++a x a x a (3)01322=-x2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出每个一元二次方程的各项及各项系数．(1)()()32413+=-x x x (2) ()212+=t t3.已知2=x 是关于x 的方程02232=-a x 的解，则=a ____________. 4.关于x 的一元二次方程(a －1)x 2+x+a 2－1=0的一个根是0，则a 的值为（ ）A. 1B. －1C. 1或－1D. 05.如果关于一元二次方程2310x x k -++=有一个根是-1，求k 的值课堂总结：1.一元二次方程的定义有三条：等式的两边是整式，含有一个未知数，未知数的最高次数是2次,三个条件缺一不可.2.利用定义求字母系数时，一定要注意检查二次项的系数不是0. 【教学反思】。