2018.5年青岛市高考模拟检测理科数学

2018青岛一模word。

山东省青岛市2018届高三统一质量监测理科综合试题2018年青岛市高三统一质量检测理科综合能力测试本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。

第一卷1至6页，第二卷6至16页，共300分。

考试时间150分钟。

考生注意：1.答题前，务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与准考证号、姓名是否一致。

2.第一卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第二卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将答题卡收回。

可能用到的相对原子质量：H-1、Li-7、C-12、O-16、Fe-56、La-139第一卷（选择题共126分）本卷共21小题，每小题6分，共126分。

一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列关于细胞结构和功能的叙述，正确的是：A．核膜上的核孔允许蛋白质和RNA自由出入。

B．线粒体外膜上没有运输葡萄糖分子和氧气分子的载体。

C．细胞膜、细胞质基质中负责转运氨基酸的“载体”都是蛋白质。

D．蛋白质和DNA分子的多样性都与它们的空间结构密切相关。

2.下列有关实验的叙述，错误的是：A．调查某荒地内蒲公英的种群密度时，所选择的样方数不影响调查结果。

B．探究温度对酶活性影响的实验中，酶和底物应分别在同一温度下预热。

C．观察细胞有丝分裂实验时，不能辨别视野中哪条染色体携带致病基因。

D．用微电流计测量静息电位时，要将微电流计的两极分别置于膜外和膜内。

3.研究表明，细胞周期依赖性蛋白激酶（CDK）是细胞周期调控的核心物质，各种CDK在细胞周期内特定的时间被激活，驱使细胞完成细胞周期。

其中CDK1（CDK的一种）在分裂间期活性高，分裂期活性迅速下降，以顺利完成分裂。

2018年青岛市高考模拟检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C B C D C A B A C D A B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1- 14．3 15．20172018 16．1256π 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分）解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得sin cos sin B A A C =， ………………2分又()C A B π=-+，所以sin cos sin()3B A A A B +=+，故sin cos sin cos cos sin B A A A B A B =+，…………………………………4分所以sin cos A B A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，故cos B =6分（2）2D B ∠=∠，21cos 2cos 13D B ∴=-=-………………………………………7分又在ACD ∆中， 1AD =， 3CD =∴由余弦定理可得22212cos 1923()123AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴AC = ………………………………………………………………………………9分在ABC ∆中， BC ， AC = cos 3B =， ∴由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =-+⋅，即21262AB AB =+-⋅，化简得260AB --=，解得AB =故AB 的长为12分18．（本小题满分12分）解:（1）当,M N 为各棱中点时，//AD 面1B MN 证明如下：连接CD 1//CN B D 且112CN B D BC ==∴四边形1B DCN 为平行四边形， 1//DC B N ∴ 又DC ⊄面1B MN ，1B N ⊂面1B MN ∴//DC 面1B MN …………………………3分 ,M N 为各棱中点 //AC MN ∴又AC ⊄面1B MN ，MN ⊂面1B MN ，∴//AC 面1B MN ……………………………5分DC AC C =，∴面//ADC 面1B MN又AD ⊂面ADC ，//AD ∴面1B MN …………………………………………………6分 （2）如图，设AC 中点为O ，作OE OA ⊥，以OA ，OE ，OB 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，2BN =AB BC ==，6AC ∴=133(2,0,1),(1,0,2),(3,0,0),(0,4,3),(,4,)22M N A B D ----1(3,0,1),(2,4,2)MN B M ∴=-=- ………………………………………………………8分设平面1B MN 的法向量为(,,)n x y z =，则有1,n MN n B M ⊥⊥302420x z x y z -+=⎧∴⎨+-=⎩，可得平面1B MN 的一个法向量(1,1,3)n = ……………………10分 又93(,4,)22AD =--，414cos ,||||n AD n AD n AD ⋅∴<>==设直线AD 与平面1B MN 所成角为α，则41s in |c o s ,|n AD α=<>=……………12分 19．（本小题满分12分） 解：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ …3分 （2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ，根据题意，111103()1()1()0.419.3x u x P x x φφσ-->=-=-=，即1103()0.619.3x φ-=. 由(0.7257)0.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈， 所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分. …………7分（ⅱ）因为(45)2,Y B ～，4423()55()()iiiP Y i C -∴==，0,1,2,3,4i =.所以10分 所以()45528E Y =⨯=. …………………………12分20．（本小题满分12分） 解：（1）设点1F 、2F 分别为(,0),(,0)(0)c c c ->由已知2ca=，所以2c a =，224c a =，22223b c a a =-=又因为点3(1,)2在双曲线C 上，所以229141a b -= 则222294b a a b -=，即2249334a a a-=，解得214a =，12a =所以1c =………………………………………………………………………………………3分 连接PQ ，因为12,OF OF OP OQ ==，所以四边形12PFQF 为平行四边形因为四边形12PFQF 的周长为所以21122PF PF F F +=>=所以动点P 的轨迹是以点1F、2F 分别为左、右焦点， 长轴长为可得动点P 的轨迹方程为：221(0)2x y y +=≠……………………………………………5分（2）因为22221=+x x ,,12,1222222121=+=+y x y x 所以12221=+y y ………………………6分 所以||||OG MN ⋅= 212122212221212122212221222221y y x x y y x x y y x x y y x x +++++--+++==1212121232232213()222x x y y x x y y --+++≤= ………………………………………10分 等号当仅当21212121223223y y x x y y x x ++=--,即02121=+y y x x所以ON OM ⊥,即OMN ∆为直角三角形………………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（1）由已知0x >，且2121()2x ax f x x a x x++'=++=①当280a ∆=-≤时，即当a -≤≤()0f x '≥则函数()f x 在[1,2]1分②当280a ∆=->时，即a <-a >2210x ax ++=有两个根，a x -=，因为0x >，所以4a x -=11≤时，令(1)30f a '=+≥，解得3a ≥-∴当3-或>()f x 在[1,2]上单调递增…………………3分2°当12<<时，令(1)30f a '=+<，9(2)02f a '=+>， 解得932a -<<-∴当932a -<<-时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增；…………………5分3°当24a -≥时，令9(2)02f a '=+≤，解得92a ≤- ∴当92a ≤-时，函数()f x 在[1,2]上单调递减； ……………………………………6分（2）函数121()()ln x x g x e x a f x e x ax a --=++-=--+则11()()x g x e a h x x -'=--=则121()0x h x e x-'=+>，所以()g x '在(0,)+∞上单调增当0,(),,()x g x x g x →→-∞→+∞→+∞，所以()R g x '∈所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点1x当11(0,),()0,(,),()0x x g x x x g x ''∈<∈+∞>，所以1()g x 为()g x 的最小值 由已知函数()g x 有且只有一个零点m ，则1m x =所以()0,()0,g m g m '==则111ln 0m m e a m e m am a --⎧--=⎪⎨⎪--+=⎩ …………………………………9分则11111ln ()()0m m m e m e m e m m ------+-=，得11(2)ln 0m m m e m m----+= 令11()(2)ln (0)x x p x x e x x x --=--+>，所以()0,p m = 则121()(1)()x p x x e x-'=-+，所以(0,1),()0,(1,),()0x p x x p x ''∈>∈+∞<所以()p x 在(1,)+∞单调递减，因为1111(1)10,()(2)1(2)0e e e p p e e e e e e e---=>=--+=--< 所以()p x 在(1,)e 上有一个零点，在(,)e +∞无零点所以m e < …………………………………………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程 解：（1）因为2sin 4cos 0ρθθ-=，所以22sin 4cos 0ρθρθ-=，所以24y x = ……………………………………………2分因为12cos 2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩，所以22(1)4x y ++= …………………………………………4分（2）由题知点1(,0)2P 在直线l 上将直线l的参数方程12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =得，240t --=设,M N 两点对应的参数为12,t t则12124t t t t +==-……………………………………………………………………6分 所以1212121212||||||1111||||||||||||t t t t PM PN t t t t t t +-+=+==12== ………………………………………………………………10分23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲解：（1）因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=所以函数()f x 的最小值为3 ………………………………………………………………5分（2）由（1）知，11a b+因为2222222222()()()2()0m n c d mc nd m d n c mcnd md nc ++-+=+-=-≥所以22222121()[1](13a b a ++≥⨯+= 所以22122a b +≥ ……………………………………………………………………………10分。

青岛市高三教学质量统一检测数学试题（理科） 2018.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 (i 为虚数单位)等于A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．若集合}11,|{31≤≤-==x x y y A ，}1{x y x B -==，则A B =A ．(]1,∞-B ．]1,1[-C ．φD ．{1}3．设p 和q 是两个简单命题，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则p 是q ⌝的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是1=a 3=b b a a += b a b -= PRINT b a ,A ．1 3 B ．4 1 C ． 0 0 D ．605．若dx x a ⎰=22sin π，dx x b ⎰=1cos ，则a 与b 的关系是A ．b a <B ．b a >C ．b a =D ．0=+b a 6．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是A ．2 B. 1C ．22+D. 1+7．已知抛物线2x ay =的焦点恰好为双曲线222y x -=的上焦点，则a 的值为A ．1B ．4C ．8D ．168．将奇函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωφωφ=+≠>-<<的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为A ．2B ．3C ．4D ．6 9．已知281(0,0)x y x y+=>>，则x y +的最小值为A ．12B ．14C ．16D ．1810．过原点的直线与函数x y 2=的图像交于B A ,两点，过B 作y 轴的垂线交于函数x y 4=的图像于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是A ．)2,1(B ．)4,2(C ．)2,21( D ．)1,0(11．在数列}{n a 中，a a a n n +=+1（a n ,N *∈为常数），若平面上的三个不共线的非零向量,,满足a a 20101+=，三点C B A ,,共线且该直线不过O 点，则2010S 等于A ．1005B ．1006C ．2010D ．201212．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是直线1m 和直线1n ，给出下列四个命题： ①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ； ③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合； 其中不正确．．．的命题个数是 A.1 B. 2 C.3 D. 4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．若nxx )1(+展开式中第2项与第6项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数为 ；14．已知区域}0,5,0|),{(},0,0,10|),{(≥≤≥-=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率()P A = ； 15．关于x 的不等式|2||1|5x x ++-<的解集为 ；16．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量)cos ,2sin 3(x t x m +=，)cos 2,1(x n =，设函数n m x f ⋅=)(. (Ⅰ)若21)32cos(=-πx ，且⊥，求实数t 的值; (Ⅱ)在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,若1,3)(==b A f ,且ABC ∆的面积为23,实数1=t ,求边长a 的值.18．（本小题满分12分）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品, 2种家电商品, 3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.(Ⅰ)试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率;(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为40元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是21,若使促销方案对商场有利，则x 最少为多少元？19.(本题满分共12分)下图分别为三棱锥ABC S -的直观图与三视图，在直观图中，SA SC =，N M 、分别为SB AB 、的中点.（Ⅰ）求证：SB AC ⊥;（Ⅱ）求二面角B NC M --的余弦值.CSN侧视图20.(本题满分共12分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a ,且42342+=+a a a ,其中*∈N n .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,令2n n a b =,其中*∈N n ,试比较n n T T 4121++与1log 22log 2212-++n n b b 的大小,并加以证明.21.(本题满分12分)已知定义在正实数集上的函数ex x x f 221)(2+=,b x e x g +=ln 3)(2（其中e 为常数，2.71828e =⋅⋅⋅）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同.(Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1时,x a e x g e aex x f )2())(2(6)2)((222+≤++-恒成立,求实数a 的取值范围.22.(本题满分14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两焦点分别为21,F F ，P 是椭圆C 上的一点，且在x 轴的上方，H 是1PF 上一点，若12120,0PF F F PF==⋅=⋅， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31λ（其中O 为坐标原点）.(Ⅰ)求椭圆C 离心率e 的最大值;(Ⅱ)如果离心率e 取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知22=b ，点），（01-M ，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM , 求直线l 的方程.青岛市高三教学质量统一检测数学试题（理科）答案 2018.3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBBBA BCDDA AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13．20 14．4115．），（23- 16．），（∞+1三、解答题（共74分）． 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)由题意得01)62sin(2cos 2)2sin 3(2=+++=++=⋅t x x t x π…………3分 所以21)32cos(21)62sin(2-=---=-+-=ππx x t …………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2)62sin(21)62sin(2)(++=+++=ππx t x x f由题意得32)62sin(2)(=++=πA A f所以21)62sin(=+πA …………………8分 因为6136260ππππ<+<<<A A ，，所以6562ππ=+A解得3π=A因为ABC ∆的面积为23,所以23sin 21=A bc ,2=bc 即2=c …………10分 由余弦定理得32121241cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a …………12分 18．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)选出3种商品一共有37C 种选法, …………2分选出的3种商品中至多有一种是家电商品有251235C C C +种. …………4分所以至多有一种是家电商品的概率为7637251235=+=C C C C P .…………5分 (Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为ξ,可能值为0, 40,80,120.…………6分(),81212103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ…………7分 (),832121402113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ…………8分(),832121801223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ …………9分 ().1111200333=⎪⎫ ⎛⋅⎪⎫ ⎛==C P ς…………10分所以60812088084080=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .所以60≥x ,因此要使促销方案对商场有利，则x 最少为60元. …………12分19.(本题满分12分)解: 由题意知: 32==SC SA ，侧面⊥SAC 底面ABC ， 底面ABC ∆为正三角形…………2分 (Ⅰ) 取AC 的中点O ,连结OB OS ,. 因为BC AB SC SA ==,, 所以OB ACSO AC ⊥⊥,. 所以⊥AC 平面OSB .所以SB AC ⊥ …………4分(Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系xyz O -,则)2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(N M S C B A -.(4,0,0),AC SB ∴=-=-.).2,0,1(),0,3,3(-==…………6分设=n ),,(z y x 为平面CMN 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅02033z x y x ，取1=z ,得6,2-==y x . 所以)1,6,2(-=n …………8分又由上可得).2,3,2(),0,32,2(==CN CB 设),,(c b a m =为平面NBC 的法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+=⋅02320322c b a b a ,得02=+c a , 令1=c ，则)1,36,2(-=…………10分所以11333333122||||,cos -=⨯+--=>=<n m所以二面角B NC M --的余弦值为1133. …………12分 20.(本题满分12分)解:(Ⅰ)因为12212+++=n n n n a a a a ,即0)2)((11=-+++n n n n a a a a又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以12+=n n a a 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列…………2分 由42342+=+a a a 得4882111+=+a a a ,解得21=a 故数列{}n a 的通项公式为n n a 2=)N (*∈n …………4分 (Ⅱ) 因n n n n a b 4222===，所以4,411==+nn b b b 即数列{}n b 是首项为4,公比是4的等比数列 所以)14(34-=nn T …………6分 则1431)14(48441211-+=-+=+++n n n n n T T 又147114641log 22log 2212-+=-+=-++n n n b b n n )14)(14()4713(41471431log 22log 241212121--⋅-+=---=-+-+-++n n n b b T T nn n n n n n 猜想：13471+>⋅-n n …………8分①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,上面不等式显然成立； ②假设当k n =时，不等式13471+>⋅-k k 成立…………9分当1+=k n 时，1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k综上①②对任意的*∈N n 均有13471+>⋅-n n …………11分又410,410n n ->->01log 22log 24122121<-+-+∴++n n n n b b T T 所以对任意的*∈N n 均有1log 22log 24122121-+<+++n n n n b b T T …………12分 21.(本题满分12分)解:(Ⅰ)e x x f 2)(+=',xex g 23)(='………………1分设函数ex x x f 221)(2+=与b x e x g +=l n 3)(2的图象有公共点为),(00y x 由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=++=+032ln 3221002002020x x e e x b x e ex x ………………………3分解得:22e b -= ………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2ln 3)(22e x e x g -=所以x a x e x g eaex x f ln ))(2(6)2)((2222+=++- 即)1(2)ln 2x x x x a -≥-（当)1,1[ex ∈时，0ln <x ，0ln >-∴x x当[]e x ,1∈时，x x ≤≤1ln ，且等号不能同时成立，0ln >-∴x x所以,则由(1)式可得x x x x a ln 22--≥在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒成立……………………7分设x x x x x F ln 2)(2--=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1又2)ln (ln 22)(1()(x x x x x x F --+-='）……………………9分令0)(='x F 得：1=x 又0ln 22,1ln >-+∴≤x x x所以，当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，0)(<'x F ；当(]1,x e ∈时，0)(>'x F ； 所以，)(x F 在)1,1[e上为减函数，)(x F 在(]1,e 上为增函数…………11分又<<+-=0)1(21)1(e e ee F 12)(2--=e e e e F故12)()(2max--==e ee e F x F所以实数a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--,122e e e ……………12分 22.(本题满分14分)解:(Ⅰ)由题意知1212,PF OH F F PF ⊥⊥ 则有OH F 1∆与21PF F ∆相似 所以λ==PF PF OF OH 121……………2分设0),0,(),0,(21>-c c F c F ,),(1y c P则有122122=+b y a c ,解得a b y 21=所以ab y PF 212==根据椭圆的定义得:a b a PF a P F 22122-=-= ……………4分2222b a b -=∴λ,即λλ+=1222ab 所以112122222-+=-==λab ac e ……………6分显然1122-+=λe 在]21,31[上是单调减函数 当31=λ时,2e 取最大值21 所以椭圆C 离心率e 的最大值是22……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21211222222=-=-==a a b a c e ,解得42=a 所以此时椭圆C 的方程为12422=+y x ……………10分 由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为k ,则其方程为),0(),1(k N x k y +=设),(11y x Q ,由于2=,所以有),1(2),(1111y x k y x ---=-3,3211k y x =-=∴……………12分 又Q 是椭圆C 上的一点,则12)3(4)32(22=+-k 解得4±=k所以直线l 的方程为044=+-y x 或044=++y x ……………14分。

2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。

2018年青岛市高考模拟检测数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|(3)(6)0}A x x x =+-≥ R ()A B =I ð A ．(3,6)- B ．[6,)+∞ D ．(,3)(6,)-∞-+∞U2．i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ． 第四象限3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．215π B ．320π C ．2115π- D ．3120π-4. 在如图所示的框图中，若输出360S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 A ．2?k > B ．2?k <C ．3?k >D ．3?k <5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的 前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a - 成等差数列，则42S S = A ．3 B ．9 C ．10 D ．136．已知直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），则“a =”是“0OA OB ⋅=u u u r u u u r”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，则(1)(2)(3)(2020)f f f f +++⋅⋅⋅+= A ．2log 5B ．2log 5-C ．2-D ．08．将函数()=2sin(2+)3f x x π图像上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为 A ．24x π=- B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=9．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-a y y x y x 41，目标函数y x z 23-=的最小值为4-，则a 的值是A ．1B ．0C ．1-D ．1210．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．5B ．53C ．52D ．5611．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =u u u r u u u r，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，1AA l ⊥于点1A ，若四边形1AA CF 的面积为l 的方程为A．x = B．x =- C ．2x =- D ．1x =-12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① (0)0f =；② 当R x ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12||||x x =时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数： 1()sin f x x x =；2())f x x =-；31,0(), 0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩；24()x xf x e e x =--.则其中是“偏对称函数”的函数个数为A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．已知向量a r ，b r 满足||5b =r ，||4a b +=r r ，||6a b -=r r，则向量a r 在向量b r 上的投影为 ．俯视图正视图 侧视图14．已知5()(21)a x x x+-展开式中的常数项为30，则实数a = ． 15．定义12nnp p p +++L 为n 个正数12,,,n p p p L 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则122320172018111b b b b b b +++=L ． 16．已知三棱锥A BCD -中，3,1,4,AB AD BC BD ====当三棱锥A BCD -的体积最大时，其外接球的体积为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知cos 3b A ac +=． （1）求cos B ；（2）如图，D 为ABC ∆外一点，若在平面四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，BC =AB的长．18．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1BB ⊥底面ABC ，14BB =，AB BC ⊥，且AB BC ==，点,M N 为棱,AB BC 上的动点，且AM BN =，D 为11B C 的中点.（1）当点,M N 运动时，能否出现//AD 面1B MN 情况，请说明理由. （2）若BN =，求直线AD 与平面1B MN 所成角的正弦值.CAB DABC1B1AD1CMN19．（12分）为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N u σ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%.（ⅰ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）（ⅱ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y ． （说明：()111()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6φ=，(0.6554)0.4φ=）20．（12分）在平面直角坐标系中，点1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点3(1,)2在双曲线C 上.不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形12PF QF的周长为（1）求动点P 的轨迹方程；（2）在动点P 的轨迹上有两个不同的点1122(,)(,)M x y N x y 、，线段MN 的中点为G ，已知点12(,)x x 在圆222x y +=上，求||||OG MN ⋅的最大值，并判断此时OMN ∆的形状.21．（12分）已知函数2()ln (R)f x x ax x a =++∈. （1）讨论函数()f x 在[1,2]上的单调性； （2）令函数12()()x g x ex a f x -=++-， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数，若函数()g x 有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修44-：坐标系与参数方程（10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线1C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，曲线2C 的参数方程是12cos 2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）. （1）求曲线1C 的直角坐标方程及2C 的普通方程；（2）已知点1(,0)2P ，直线l的参数方程为1222x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设直线l 与曲线1C相交于,M N 两点，求11||||PM PN +的值．23．选修45-：不等式选讲（10分） 已知函数()|1||2|f x x x =++-. （1）求函数()f x 的最小值k ；（2）在（1）的结论下，若正实数,a b满足11a b +，求证：22122a b+≥.2018年青岛市高考模拟检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C B C D C A B A C D A B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1- 14．3 15．20172018 16．1256π 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分）解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得sin cos sin B A A C +=， ………………2分又()C A B π=-+，所以sin cos sin()B A A A B +=+，故sin cos sin cos cos sin B A A A B A B +=+，…………………………………4分所以sin cos A B A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，故cos B =6分（2）2D B ∠=∠Q ，21cos 2cos 13D B ∴=-=-………………………………………7分又在ACD ∆中， 1AD =， 3CD =∴由余弦定理可得22212cos 1923()123AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴AC = ………………………………………………………………………………9分在ABC ∆中，BC =AC =cos B =， ∴由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =-+⋅，即21262AB AB =+-⋅260AB --=，解得AB = 故AB的长为12分 18．（本小题满分12分） 解:（1）当,M N 为各棱中点时，//AD 面1B MN 证明如下：连接CD 1//CN B D 且112CN B D BC ==∴四边形1B DCN 为平行四边形， 1//DC B N ∴又DC ⊄面1B MN ，1B N ⊂面1B MN∴//DC 面1B MN …………………………3分,M N Q 为各棱中点 //AC MN ∴又AC ⊄面1B MN ，MN ⊂面1B MN ，∴//AC 面1B MN ……………………………5分 Q DC AC C =I ，∴面//ADC 面1B MN又AD ⊂Q 面ADC ，//AD ∴面1B MN …………………………………………………6分 （2）如图，设AC 中点为O ，作OE OA ⊥，以OA ，OE ，OB 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，BN =QAB BC ==，6AC ∴=133(2,0,1),(1,0,2),(3,0,0),(0,4,3),(,4,)22M N A B D ----Q1(3,0,1),(2,4,2)MN B M ∴=-=-u u u u r u u u u r………………………………………………………8分设平面1B MN 的法向量为(,,)n x y z =r ，则有1,n MN n B M ⊥⊥r u u u u r r u u u u r302420x z x y z -+=⎧∴⎨+-=⎩，可得平面1B MN 的一个法向量(1,1,3)n =r ……………………10分 又93(,4,)22AD =--u u u r，cos ,77||||n AD n AD n AD ⋅∴<>==r u u u rr u u u r r u u u u r设直线AD 与平面1B MN 所成角为α，则sin |cos ,|77n AD α=<>=r u u u r ……………12分19．（本小题满分12分） 解：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ …3分 （2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ，根据题意，111103()1()1()0.419.3x u x P x x φφσ-->=-=-=，即1103()0.619.3x φ-=.由(0.7257)0.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分. …………7分（ⅱ）因为(45)2,Y B ～，4423()55()()i i iP Y i C -∴==，0,1,2,3,4i =.所以10分 所以()45528E Y =⨯=. …………………………12分 20．（本小题满分12分） 解：（1）设点1F 、2F 分别为(,0),(,0)(0)c c c ->由已知2ca=，所以2c a =，224c a =，22223b c a a =-= 又因为点3(1,)2在双曲线C 上，所以229141a b -= 则222294b a a b -=，即2249334a a a -=，解得214a =，12a =所以1c =………………………………………………………………………………………3分 连接PQ ，因为12,OF OF OP OQ ==，所以四边形12PF QF 为平行四边形因为四边形12PF QF 的周长为 所以21122PF PF F F +=>=所以动点P 的轨迹是以点1F 、2F 分别为左、右焦点， 长轴长为可得动点P 的轨迹方程为：221(0)2x y y +=≠……………………………………………5分（2）因为22221=+x x ,,12,1222222121=+=+y x y x 所以12221=+y y ………………………6分所以||||OG MN ⋅= 212122212221212122212221222221y y x x y y x x y y x x y y x x +++++--+++==1212121232232213()222x x y y x x y y --+++≤= ………………………………………10分 等号当仅当21212121223223y y x x y y x x ++=--,即02121=+y y x x所以ON OM ⊥,即OMN ∆为直角三角形………………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（1）由已知0x >，且2121()2x ax f x x a x++'=++=①当280a ∆=-≤时，即当a -≤≤()0f x '≥则函数()f x 在[1,2]上单调递增…………………………………………………………1分②当280a ∆=->时，即a <-或a >2210x ax ++=有两个根，4a x -=，因为0x >，所以4a x -=11≤时，令(1)30f a '=+≥，解得3a ≥-∴当3a -≤<-a >()f x 在[1,2]上单调递增…………………3分2°当12<<时，令(1)30f a '=+<，9(2)02f a '=+>， 解得932a -<<-∴当932a -<<-时，函数()f x 在上单调递减，在2]上单调递增；…………………5分欢迎来主页下载---精品文档精品文档3°当24a -+≥时，令9(2)02f a '=+≤，解得92a ≤-∴当92a ≤-时，函数()f x 在[1,2]上单调递减； ……………………………………6分 （2）函数121()()ln x x g x e x a f x e x ax a --=++-=--+ 则11()()x g x e a h x x-'=--= 则121()0x h x e x-'=+>，所以()g x '在(0,)+∞上单调增 当0,(),,()x g x x g x →→-∞→+∞→+∞，所以()R g x '∈所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点1x当11(0,),()0,(,),()0x x g x x x g x ''∈<∈+∞>，所以1()g x 为()g x 的最小值由已知函数()g x 有且只有一个零点m ，则1m x =所以()0,()0,g m g m '==则1110ln 0m m e a m e m am a --⎧--=⎪⎨⎪--+=⎩…………………………………9分则11111ln ()()0m m m e m e m e m m ------+-=，得11(2)ln 0m m m e m m----+= 令11()(2)ln (0)x x p x x e x x x--=--+>，所以()0,p m = 则121()(1)()x p x x e x-'=-+，所以(0,1),()0,(1,),()0x p x x p x ''∈>∈+∞< 所以()p x 在(1,)+∞单调递减， 因为1111(1)10,()(2)1(2)0e e e p p e e e e e e e---=>=--+=--< 所以()p x 在(1,)e 上有一个零点，在(,)e +∞无零点所以m e < …………………………………………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程欢迎来主页下载---精品文档精品文档 解：（1）因为2sin 4cos 0ρθθ-=，所以22sin 4cos 0ρθρθ-=，所以24y x = ……………………………………………2分因为12cos 2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩，所以22(1)4x y ++= …………………………………………4分（2）由题知点1(,0)2P 在直线l 上 将直线l的参数方程1222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =得，240t --=设,M N 两点对应的参数为12,t t则12124t t t t +==-……………………………………………………………………6分 所以1212121212||||||1111||||||||||||t t t t PM PN t t t t t t +-+=+==12== ………………………………………………………………10分 23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲解：（1）因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=所以函数()f x 的最小值为3 ………………………………………………………………5分（2）由（1）知，11a b+=因为2222222222()()()2()0m n c d mc nd m d n c mcnd md nc ++-+=+-=-≥所以22222121()[1](13a b a b ++≥⨯+= 所以22122a b+≥ ……………………………………………………………………………10分。

青岛市高考模拟检测 数学（理科）答案 第1页（共6页）2018年青岛市高考模拟检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．C B CD C A B A C D A B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 14． 15． 16．1-3201720181256π三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．（一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分）解：（1）在中，由正弦定理得， (2)分 ABC ∆sin cos sin B A A C +=又，所以， ()C AB π=-+sin cos sin()B A A A B +=+故，…………………………………4分 sin cos sin cos cos sinB A A A B A B +=+所以， sin cos A B A =又，所以，故……………………………………………6分 (0,)A π∈sin 0A ≠cos B =（2），………………………………………7分 2D B ∠=∠ 21cos 2cos 13D B ∴=-=-又在中， ，ACD ∆1AD =3CD =∴由余弦定理可得， 22212cos 1923(123AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=∴， ………………………………………………………………………………9分AC =在中，， ， ABC∆BC =AC =cos B =∴由余弦定理可得，2222cos ACAB BC AB BC B =-+⋅即简得，解得21262AB AB =+-⋅260AB --=AB =故的长为………………………………………………………………………12分 AB青岛市高考模拟检测 数学（理科）答案 第2页（共6页）18．（本小题满分12分）解:（1）当为各棱中点时，面,M N //AD 1B MN 证明如下：连接CD 且 1//CN B D 112CN B D BC ==四边形为平行四边形， ∴1B DCN 1//DC B N ∴又面，面 DC ⊄1B MN 1B N ⊂1B MN 面…………………………3分∴//DC 1B MN 为各棱中点,M N //AC MN ∴又面，面，面……………………………5分 AC ⊄1B MN MN ⊂1B MN ∴//AC 1B MN ，面面DC AC C = ∴//ADC 1B MN 又面，面…………………………………………………6分AD ⊂ ADC //AD ∴1B MN （2）如图，设中点为，作，以，，分别为，，轴建立空间AC O OE OA ⊥OA OE OB x y z 直角坐标系，，BN =AB BC ==6AC ∴= 133(2,0,1),(1,0,2),(3,0,0),(0,4,3),(,4,22M N A B D ---- ………………………………………………………8分 1(3,0,1),(2,4,2)MN B M ∴=-=- 设平面的法向量为，则有1B MN (,,)n x y z = 1,n MN n B M ⊥⊥ ，可得平面的一个法向量 ……………………10分 302420x z x y z -+=⎧∴⎨+-=⎩1B MN (1,1,3)n = 又， 93(,4,22AD =--cos ,||||n AD n AD n AD ⋅∴<>== 设直线与平面所成角为，则……………12分 AD 1B MN αsin |cos ,|n AD α=<>= 19．（本小题满分12分）解：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯ …3分1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为， 1x 根据题意，，即. 111103()1()1(0.419.3x u x P x x φφσ-->=-=-=1103()0.619.3x φ-=由得，， (0.7257)0.6φ=111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为分. …………7分117。

青岛2018高考理科数学二模试题 2018.05 一、选择题： 1．设集合{|M x y ==，{||1|2}N x x =-≤，则M N =IA ．[2,)+∞B ．[1,3]-C ．[2,3]D ．[1,2]-2．若复数2a i z i+=（R a ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则z 的模等于A ．12B ．2C ．1 D 3．设向量()()4,,,1x x ==，则“ ex dt t=⎰12”（ 2.718e = 是自然对数的底数）是“b a //”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设12log 3a =，0.21()3b =，121()2c -=，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 5．已知x 、y 取值如下表：y x 0.95 1.45y x =+，则m =A ．1.5 B ．1.55 C ．3.5 D ．1.8 6．已知三个函数：①()f x x =3，②()tan f x x =，③()sin f x x x =，其图象能将圆22:1O x y +=的面积等分的函数的个数是A ．3B ．2C ．17．已知椭圆:C 22221 (0)x y a b ab+=>>的右顶点是圆224x y x +-+ 则椭圆C 的方程为 A ．22 1 4x y +=B ．22 1 3x y +=C ．22 1 2x y +=D ．2243x y +=8．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》相除法”. 若输入的,m n 分别为385,105，执行该程序框图（图中“ MOD m n ”的余数，例：11 MOD 74=），则输出的m 等于A ．0B ．15C ．35D ．709．把,,,A B C D 四件玩具全部分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且,A B 两件玩具不能分给 同一个人，则不同的分法有A ．36种B ．30种C ．24种D ．18种 10．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[2,0]x ∈-时，()(12xf x =-，若在 区间(2,6)-内，函数()log (2) (01)a y f x x a a =-+>≠且恰有1个零点，则实数a 的取值范围是A ．(1,4)B ．1(,1)(4,)4+∞U C ．(4,)+∞ D ．(0,1)(1,4)U二、填空题：11．已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= .12.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>焦距长为4，焦点到渐近线的距离等于，则双曲线离心率为13．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为4，则该几何体的体积为______.14．在直角坐标系xOy 中，点P (,)x y 满足21050210x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，向量()1,1-=a ，则OP a ⋅的最大值是 15．函数()y f x =图象上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ,，规定||(,)||A B k k K A B AB -=（||AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点24242正视俯视侧视B 之间的“近似曲率”.设曲线1y x=上两点11(,),(,)A a B a aa(01)a a >≠且，若(,)1m K A B ⋅>恒成立，则实数m 的取值范围是三、解答题： 16. 在ABC∆中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，且sin cos a B a B c .（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）已知函数2()cos ()32Af x x λω=+-(0, 0)λω>>的最大值为2，将()y f x =的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍后便得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =的最小正周期为π. 当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域.17．甲、乙两名运动员进行2016里约奥运会选拔赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和数学期望．18．四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且平面ACFE⊥平面ABCD，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点，2A B B D==，AE=CH=（Ⅰ）求证：CH⊥平面BDF；（Ⅱ）若Q 为DEF ∆的重心，求QH 与平面BEF 所成角的正弦值.19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22732a a -=，且321S a 成等比数列，*N n ∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令2224(1)nn n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于任意的*N n ∈，都有64|31|nTλ<-成立，求实数HEFABCD Gλ的取值范围.20.已知椭圆2212:1(0)6x y C b b+=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2F 也为抛物线22:8C y x =的焦点，过点2F 的直线l 交抛物线2C 于A B ,两点.（Ⅰ）若点(8,0)P 满足PA PB =，求直线l 的方程；（Ⅱ）T 为直线3x =-上任意一点，过点1F 作1TF 的垂线交椭圆1C 于M N,两点，求1TF MN的最小值.21．已知函数()ln(1)f x x mx =++(R)m ∈． （Ⅰ）当0m ≠时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）有这样的结论：若函数()p x 的图象是在区间[,]a b 上连续不断的曲线，且在区间(,)a b 内可导，则 存在0(,)x a b ∈，使得0()()()p b p a p x b a-'=-. 已知函数()f x 在12(,)x x 上可导（其中211x x >>-），若 函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-.（1）证明：对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >； （2）已知正数12,λλ满足121λλ+=. 求证：对任意的实数12,x x ，若211x x >>-时，都有11221122()()()f x x f x f x λλλλ+>+.1-10： C B A A D B A C B D 11.19- 12. 2 13.644π- 14．1 15．[)2+∞ 16. 解：（Ⅰ）Q sin cos a B a B c∴sin sin cos A B A B C = ………………………………………2分()C A B π=-+ ，∴sin sin cos )A B A B A B =+cos cos sin )A B A B +tan A ∴，0A π<< ，3A π∴=………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21cos(2)3()cos ()3362x f x x πωπλωλ++=+-=- cos(2)3232x λπλω=++-，∴32λ-=，从而5λ= ………………………………7分∴251()5cos ()3cos(2)6232f x x x ππωω=+-=+-，从而541()cos()2332g x x πω=+-，23423ππωω∴=⇒=∴51()cos(3)232f x x π=+-. …………………………………………10分 当[0,]2x π∈时，113336x πππ≤+≤，1cos(3)3x π∴-≤+≤，从而23()4f x -≤≤，∴()f x的值域为2[3,]4-. ……………………１2分17．解：（Ⅰ）用A 表示“甲在3局以内(含3局)赢得比赛”，KA 表示第K 局甲获胜，K B 表示第K 局乙获胜，则11(),(),1,2,3,4,522K K P A P B K ===则12123111113()()()222228P A P A A P B A A =+=⨯+⨯⨯=……………………………………5分（Ⅱ）X 的可能取值为2,3,4,5121211111(2)()()22222P X P A A P B B ==+=⨯+⨯=1231231111111(3)()()2222224P X P B A A P A B B ==+=⨯⨯+⨯⨯=12341234111111111(4)()()222222228P X P A B A A P B A B B ==+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12345123451234512345(5)()()()()P X P A B A B A P B A B A B P A B A B B P B A B A A ==+++1111114222228=⨯⨯⨯⨯⨯=……………………………………………………10分故X 的分布列为所以111123()234524888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………………………12分18．（Ⅰ）证明： ACFE 为平行四边形，AE =CF ∴= 四边形ABCD 为菱形，AG CG ∴=，BG DG =，AD AB =2AB BD == ，ABD ∴∆是以2AG CG ∴== H 为FG 的中点，CH GF ∴⊥………3分 四边形ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥ 平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE I 平面ABCD AC =，BD ∴⊥平面ACFECH ⊂ 平面ACFE ， BD CH ∴⊥BD GF G = ，BD ⊂平面BDF ，GF ⊂平面BDF ，∴CH ⊥平面BDF……………………………………………5分（Ⅱ）在面ACFE 中，作GMAC ⊥交EF 于M平面ACFE ⊥平面ABCD ，∴GM ⊥平面ABCD 四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥以G 为原点，GA 为x 轴建系如图所示则(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，(0,0,0)G,A，(C由（Ⅰ）可知CH FG ⊥，CG =，2CH =，30FGC ∴∠= ， 由（Ⅰ）可知CG CF =，30GFC ∴∠= ，从而120FCG ∠= ACFE 为平行四边形，60EAG ∴∠=作EN AC ⊥于N ， 平面ACFE ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，3sin 602EN AE ==，cos60AN AE ==3)2E ∴ ACFE为平行四边形，(EF AC ∴==-，从而3()22F - H是FG的中点,3()44H ∴-…………………………………………7分设DEF ∆的重心Q 的坐标为000(,,)x y z ，则010)3x =+=011(001)33y =+-=-，0133(0)1322z =++=∴1(,1)3Q -，11(,)34QH =- ……………………………………………8分设面BEF 的法向量为(,,)n x y z =,(EF AC ==-，31,)2BE =-由003002n EF x y z n BE ⎧-=⎧⋅=⎪⇒⎨-+=⋅=⎪⎩r uu u r r uur 令2z =，则3y =，x =，取(0,3,2)n =r (10)分设QH 与平面BEF 所成角为θ，则sin |cos ,|||||n QH n QH n QH θ⋅=<>==⋅r uuu r r uuu r r uuur 65=. ………12分19．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由227232321a a S a -=⎧⎪⎨=⋅⎪⎩11111(21)3(6)2(23)()33a d a d a d a d a d +-+=⎧⇒⎨+-⋅+=+⎩ (2)分 即111232()(26)0a d a d a d -+=⎧⎨++-=⎩,解得：122a d =⎧⎨=⎩ 或12525a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当125a =-，25d ==12, 2a d ∴==，此时22(1)2n a n n =+-=…………………………6分（Ⅱ）22222224(1)1111[]4(2)16(2)n n n n n b a a n n n n +++===-++ ………………………8分123n n T b b b b =++++222222222222111111111111111111[][][][][][]161316241635164616571668=-+-+-+-+-+- 2222111111[][]16(1)(1)16(2)n n n n ++-+--++ 222211115111[1][]164(1)(2)6416(1)(2)n n n n =+--=-+++++22116454[]5(1)(2)n T n n ∴=-+<++ ………………………………………10分 为满足题意，必须|31|5λ-≥，2λ∴≥或43λ≤-.…………………………12分20．解：（Ⅰ）由抛物线22:8C y x =得2(2,0)F ,当直线l斜率不存在，即:2l x =时，满足题意 …………………………………2分 当直线l 斜率存在，设:(2)(0)l y k x k =-≠，1122(,)(,)A x y B x y ,由28(2)y x y k x ⎧=⎨=-⎩ 得2222(48)40k x k x k -++= ∴21212122488,()4k x x y y k x x k k k++=+=+-= ………………………4分设AB 的中点为G ，则22244(,)k G k k+， PA PB= , , 1PGPG l kk ∴⊥⋅=-，22401248k k k k -∴⨯=-+-,解得k =则2)y x =- ∴直线l的方程为2)y x =-或2x =………………………6分（Ⅱ）222211(2,0), (2,0), 642, :162x y F F b C ∴-=-=+= (7)分设T 点的坐标为(3,)m - 则直线1TF 的斜率132TFm k m -==--+ 当0m ≠时，直线MN 的斜率1MN k m =， 直线MN 的方程是2x my =- 当0m =时，直线MN 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式 所以直线MN 的方程是2x my =-设3344(,),(,)M x y N x y ，则221622x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩, 得22(3)420m y my +--=34342242,33m y y y y m m ∴+==-++ ……………………………………9分1TF =MN =…11分1TF MN ∴= 当且仅当22411m m +=+，即1m =±时，等号成立，此时1TF MN取得最小…………………………………………13分21．解:（Ⅰ）()f x 的定义域为(1,)-+∞1()1()11m m x mx mm f x x x ++++'==++ ……………………………………………………1分当0m >时，11()(1)0m mm+---=-<，即11m m+-<-，1,()0x f x '>-∴>()f x ∴在(1,)-+∞上单调递增 ………………………………………………………3分 当0m <时，11()(1)0m mm+---=->，即11m m+->-由()0f x '>,解得11m x m+-<<-，由()0f x '<，解得1m x m +>-()f x ∴在1(1,)m m+--上单调递增，在1(,)m m+-+∞上单调递减 ………………5分 （Ⅱ）（1）令121112()()()()()()()()f x f x h x f x g x f x x x f x x x -=-=----， 则1212()()()()f x f x h x f x x x -''=--. 函数()f x 在区间12(,)x x 上可导，则根据结论可知：存在012(,)x x x ∈使得12012()()()f x f x f x x x -'=-，又1()1f x m x '=++， 000011()()()11(1)(1)x x h x f x f x x x x x -'''∴=-=-=++++………………8分当1(,]x x x ∈时，()0h x '≥，从而()h x 单调递增，1()()0h x h x ∴>=；当02(,)x x x ∈时，()0h x '<，从而()h x 单调递减，2()()0h x h x ∴>=； 故对任意12(,)x x x ∈，都有()0h x >，即()()f x g x >……………………10分（2）121λλ+=Q ，且10λ>，20λ>，211x x >>-112211122221(1)()0x x x x x x x λλλλλ∴+-=-+=->， 11221x x x λλ∴+>同理11222xx x λλ+<， 112212(,)x x x x λλ∴+∈∴由（1）知对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >，从而12121122112211221111212()()()()()()()[(1)]()f x f x f x f x f x x x x x f x x x f x x x x x λλλλλλ--+>+-+=--+--12221122211222112()()()()()()()()(1)()f x f x x x f x f x f x f x f x f x x x λλλλλ-=-+=-+=+-- 1122()()f x f x λλ=+…………………………………………14分。

山东省青岛市2018届高三理综5月第二次模拟检测试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至7页，第Ⅱ卷8至18页，共300分.考试时间150分钟.考生注意：1．答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将答题卡收回。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N—14 O—16 Cu—64第I卷（选择题共126分）本卷共21小题，每小题6分，共126分。

一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列关于物质跨膜运输的叙述，正确的是A．磷脂是构成细胞膜的重要成分,但与物质的跨膜运输无关B．神经递质的释放过程需要消耗能量，但不需要载体蛋白C．在质壁分离的过程中,植物细胞液浓度逐渐降低D．神经元细胞处于静息状态时不进行葡萄糖的跨膜运输2．近期，斯坦福大学公布了一项新的癌症治疗研究成果，他们发明的两种药物可直接注射到肿瘤组织中，激活T细胞增强其杀伤能力，来达到杀死肿瘤细胞的目的。

下列相关叙述不正确的是A．细胞中的抑癌基因主要是阻止细胞的不正常增殖B．癌变是多个基因突变引起的,因此该项成果不能用于多种癌症的治疗C．杀死肿瘤细胞的过程中细胞免疫发挥了重要作用D．对肿瘤病理切片的显微镜观察和癌基因检测可以作为癌症诊断的依据3．下列有关基因表达的叙述中正确的是A．mRNA中碱基数量越多翻译形成的多肽链就越长B．胰岛素基因和RNA聚合酶基因不能在同一细胞中表达C．由于密码子具有简并性，因此一种tRNA可与多种氨基酸结合D．mRNA的密码子序列直接控制蛋白质分子中氨基酸的排列顺序4．独脚金内酯是近年发现的新型植物激素。

理科答案一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D A B C D A C A B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 4028 12. 132 13.24- 14．(4,2)-15．②④三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）sin()sin sin a b a cA B A B+-=+-∴a b a cc a b+-=- …………………………2分222a b ac c ∴-=- 2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴=== (5)分(0,)B π∈ ，3B π∴= ………………………………………………………6分（Ⅱ）由3b =，sin A =，sin sin a bA B=，得2a = ……………………………7分由a b<得A B<，从而cos A =…………………………………………9分故sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………10分 所以ABC∆的面积为1sin 2S ab C ==……………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为320C ，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为111111111111464466446646C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ……………………4分 所以111111111111464466446646320819C C C C C C C C C C C C P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== …………………6分（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2,33211616433202057162881548(0),(1),32019573201919C C C P P C C ξξ⨯⨯⨯⨯========⨯⨯⨯⨯1231644332020166841(2),(3)320199532019285C C C P P C C ξξ⨯========⨯⨯⨯⨯ (10)分所以ξ的分布列为所以2888157()012357199528595E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………12分证明：（Ⅰ）连结1A D 交1AD 于G ， 因为1111ABCD A B C D -为四棱柱，所以四边形11ADD A 为平行四边形，所以G 为1A D 的中点，又1E 为11 A B 中点，所以1E G 为11A B D ∆的中位线， 从而11//B D E G ……………………………………4分 又因为1B D ⊄平面11AD E ，1E G ⊂平面11AD E ，所以1//B D 平面11AD E ． …………………………5分（Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，所以11,,AA A B A A AD ⊥⊥又090BAD ∠=，所以1,,AB AD AA 两两垂直. ……………6分如图，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 设AB t =，则()0,0,0A ，(),0,0B t ，(),1,0C t ，()0,3,0D ，()1,1,3C t ，()10,3,3D .从而(,1,0)AC t = ，(,)3,0BD t -=.因为AC BD ⊥，所以2300AC BD t ⋅=-+=+，解得t =……………………8分所以1(0,3,3)AD =，,0)AC =.设1111,,()n x y z = 是平面1ACD 的一个法向量，则1110,0.AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110330y y z +=+=⎪⎩ 令11x =，则1(1,n =. …………………………………………………………9分 又1(0,0,3)CC =，(CD = .设2222,,()n x y z = 是平面11CDD C 的一个法向量，则1220,0.CC n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22220zy=⎧⎪⎨+=⎪⎩令21x=，则2(1)n=. ………………………………………………………10分∴121212|11(0|1cos,7n nn nn n⨯+⋅<>===⋅∴平面1ACD和平面11CDD C所成角（锐角）的余弦值17. ……………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}na的公差为d，则101919,a a d=+=101109101002S a d⨯=+⨯=解得11,2a d==，所以21na n=- (3)分所以123121n nb b b b b n-⋅⋅⋅=+……①当11,3n b==时2,n≥当时123121nb b b b n-⋅⋅=-……②①②两式相除得21(2)21nnb nn+=≥-因为当11,3n b==时适合上式，所以21(N)21nnb nn*+=∈-………………………………6分（Ⅱ）由已知24(1)(21)n nnn bcn⋅=-+，得411(1)(1)()(21)(21)2121n nnncn n n n=-=-+-+-+则123n nT c c c c=++++1111111(1)()()(1)()335572121nn n=-+++-+++-+-+………………………7分当n为偶数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+1111111(1)()()()335572121n n =--+++--+++-+1212121nn n =-+=-++ ………………………………………………………………9分 当n 为奇数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+1111111(1)()()()335572121n n =--+++--++---+12212121n n n +=--=-++ ……………………………………………………………11分 综上：2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数… ………………………………………………………12分 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为直线l 与圆O 相切 所以圆2223x y +=的圆心到直线l的距离d =，从而222(1)3m k =+…2分由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：222(12)4220k x kmx m +++-= 设11(,)E x y ，22(,)F x y则122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+ …………………………………………………4分所以12121212()()OE OF x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++2222222121222222222224(1)()(1)12123222(1)2201212m k m k x x km x x m k m k km k k k k k--=++++=+++++--+--===++所以OE OF ⊥ ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ） 直线l 与圆O 相切于W ，222212121,1,22xx y y +=+=∴EW FWλ====………………………………8分由（Ⅰ）知12120x x y y +=，∴1212x x y y =-，即22221212x x y y = 从而22221212(1)(1)22x x x x =--，即2212214223x x x -=+∴21234x λ+== ……………………………………………………………12分因为1x ≤≤，所以1[,2]2λ∈ (13)分21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ） 原函数定义域为(1,)-+∞，()ln(1)1g x x '=++，则 (0)0g =，(0)1g '=，:l y x ∴= ………………………………………………………2分由22112(1)202y x kx x k x y x ⎧=++⎪⇒+-+=⎨⎪=⎩l 与函数()f x的图象相切，24(1)801k k ∴∆=--=⇒=………………4分 （Ⅱ）由题21()1ln(1)12h x x kx x =+++++,1()1h x x k x '=+++ 令1()1x x k x ϕ=+++,因为221(2)()10(1)(1)x x x x x ϕ+'=-=>++对[0,2]x ∈恒成立， 所以1()1x x k x ϕ=+++，即()h x '在[0,2]上为增函数 ………………………………6分 max 7()(2)3h x h k ''∴==+()h x 在[0,2]上单调递减()0h x '∴≤对[0,2]x ∈恒成立，即max 7()03h x k '=+≤ 73k ∴≤-…………………………………………………………………………………8分（Ⅲ）当1]x ∈时，()ln(1)10g x x '=++>()(1)ln(1)g x x x ∴=++在区间1]上为增函数，∴1]x ∈时，0()g x ≤≤…………………………………………………………………………10分21()12f x x kx =++的对称轴为：x k =-，∴为满足题意，必须14k -<-<……11分此时2min 1()()12f x f k k =-=-，()f x 的值恒小于(1)f -和(4)f 中最大的一个对于1]t ∀∈，总存在12,(1,4)x x ∈-，且12x x ≠满足()()i f x g t =(1,2)i =，min ((),min{(1),(4)})f x f f ∴⊆-2min 41141()0102(4)493(1)2k k f x k f k f k -<<⎧-<-<⎧⎪⎪⎪<-<⎪⎪⎪∴⇒⎨<+⎪⎪<-⎪<-⎪⎩ …………………………………………………13分94k <<……………………………………………………………………14分。

2018年5月青岛市高考二模检测理科数学及答案2018年青岛市高考模拟检测数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题），全卷满分150分，考试用时120分钟。

祝考试顺利。

注意事项：1.答题前，请在试题卷和答题卡上填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2.选择题：用2B铅笔将答案标号涂黑在答题卡上对应题目的答案标号上，其他地方无效。

3.填空题和解答题：用签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内作答，其他地方无效。

4.选考题：先在答题卡上用2B铅笔涂黑所选题目的题号，然后在答题卡上对应的答题区域内作答，其他地方无效。

5.考试结束后，请将答题卡交回。

一、选择题1.若B = 4/R，下列选项中符合B。

0的是（B = 4/(R -7i)）。

A。

(-3,6)B。

[6.+∞)C。

(-3,-2]D。

(-∞,-3)(6,+∞)2.在复平面内，若z = 2 + 3i，则z的共轭复数z'在复平面内的位置是2-3i。

3.已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，求其内切圆的直径为多少步。

若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是1-π/6.4.如图所示的框图中，若输出S = 360，则判断框中应填入的关于k的判断条件是k。

2.5.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6，3a4，-a5成等差数列，则S4 = 3S2，k = 6，S = 1，输出S的值为9.6.已知直线x-2y+a=0与圆O：x+y=2相交于A，B两点（O为坐标原点），则a=5是“OA·OB=”的充分不必要条件。

20.在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C:(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 (a>0.b>0) 的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点(1.ab/2)在双曲线C上。

不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为42.1) 求动点P的轨迹方程；2) 在动点P的轨迹上有两个不同的点M(x1.y1)、N(x2.y2)，线段MN的中点为G，已知点(x1.x2)在圆x+y=2上，求|OG|*|MN|的最大值，并判断此时△XXX的形状。

2018年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A ={x|(x +3)(x −6)≥0}，B ={x|2x ≤14}，则(∁R A)∩B =( ) A.(−3, 6) B.[6, +∞) C.(−3, −2]D.(−∞, −3)U(6, +∞)2. 在复平面内，复数z =4−7i 2+3i（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.2π15B.3π20C.1−2π15D.1−3π204. 在如图所示的框图中，若输出S =360，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A.k >2？B.k <2？C.k >3？D.k <3？5. 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6，3a 4，−a 5成等差数列，则S4S 2=( )A.3B.9C.10D.136. 已知直线x −2y +a =0与圆O:x 2+y 2=2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），则“a =√5”是“OA →∗OB →=0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知定义域为R 的奇函数f(x)，当x >0时，满足f(x)={−log 2(7−2x),0<x ≤32,f(x −3),x >32 ，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)=( ) A.log 25 B.−log 25 C.−2 D.08. 将函数f(x)=2sin(2x +π3)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）A.直线x =−π24 B.直线x =π4 C.直线x =5π24D.直线x =π129. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y ≥−1x +y ≤4y ≥a ，目标函数z =3x −2y 的最小值为−4，则a的值是（ ） A.1B.0C.−1D.1210. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.5B.53C.52D.5611. 已知过抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF →=3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1CF 的面积为12√3，则准线l 的方程为（ ）A.x =−√2B.x ＝−2√2C.x ＝−2D.x ＝−112. 对于定义域为R 的函数f(x)，若满足①f(0)=0；②当x ∈R ，且 x ≠0时，都有xf ′(x)>0；③当x 1<0<x 2，且|x 1|=|x 2|时，都有f(x 1)<f(x 2)，则称f(x)为“偏 对称函致”．现给出四个函数：f 1(x)=xsinx ；f 2(x)=ln(√x 2+1−x)；f 3(x)={e x −1,x ≥0−x,x <0 ；f 4(x)=e 2x −e x −x ；则其中是“偏对称函数”的函数个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．已知向量a →,b →满足|b →|=5,|a →+b →|=4,|a →−b →|=6，则向量a →在向量b →上的投影为________．已知(x +ax )(2x −1)5展开式中的常数项为30，则实数a =________． 定义np1+p 2+⋯+p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+1，又b n =a n +14，则1b1b 2+1b2b 3+⋯+1b2017b 2018=________．已知三棱锥A −BCD 中，AB =3，AD =1，BC =4，BD =2√2，当三棱锥A −BCD 的体积最大时，其外接球的体积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．（一）必考题：共60分．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知bcosA +√33a =c ．（1）求cosB ；（2）如图，D 为△ABC 外一点，若在平面四边形ABCD 中，∠D =2∠B ，且AD =1，CD =3，BC =√6，求AB 的长．如图所示，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱BB 1⊥底面ABC ，BB 1=4，AB ⊥BC ，且AB =BC =3√2，点M ，N 为棱AB ，BC 上的动点，且AM =BN ，D 为B 1C 1的中点． （1）当点M ，N 运动时，能否出现AD // 面B 1MN 情况，请说明理由．（2）若BN =√2，求直线AD 与平面B 1MN 所成角的正弦值．为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u 0；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布N(u, σ2)(u ＝u 0，σ约为19.3)，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%． (i)估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）(ii)从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望E(Y)．= 1 − \pℎi(\dfrac{{x}_{1} − u}{∖sigma})}表示{X\gt x_{1}}的概率.参考数据{\varphi (0.7257)}{0.6},{\varphi (0.6554)}{0.4)}$在平面直角坐标系中，点F 1、F 2分别为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点(1, 32)在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为4√2． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在动点P 的轨迹上有两个不同的点M(x 1, y 1)、N(x 2, y 2)，线段MN 的中点为G ，已知点(x 1, x 2)在圆x 2+y 2=2上，求|OG|⋅|MN|的最大值，并判断此时△OMN 的形状．已知函数f(x)=x 2+ax +lnx(a ∈R)． （1）讨论函数f(x)在[1, 2]上的单调性；（2）令函数g(x)=e x−1+x 2+a −f(x)，e =2.71828…是自然对数的底数，若函数g(x)有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 1的极坐标方程为ρsin 2θ−4cosθ＝0，曲线C 2的参数方程是{x =−1+2cosφy =2sinφ（φ为参数）． （1）求曲线C 1的直角坐标方程及C 2的普通方程；（2）已知点P(12,0)，直线l的参数方程为{x=12+√22ty=√22t（t为参数），设直线l与曲线C1相交于M、N两点，求1|PM|+1|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x+1|+|x−2|．（1）求函数f(x)的最小值k；（2）在（1）的结论下，若正实数a，b满足1a +1b=√k，求证：1a2+2b2≥2参考答案与试题解析2018年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】 C【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】可解出集合A ，B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【解答】A ={x|x ≤−3, 或x ≥6}，B ={x|x ≤−2}； ∴ ∁R A ={x|−3<x <6}；∴ (∁R A)∩B ={x|−3<x ≤−2}=(−3, −2]． 2.【答案】 B【考点】 复数的运算 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z ，再求出z 在复平面内对应的点的坐标得答案． 【解答】∵ z =4−7i2+3i =(4−7i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=−13−26i 13=−1−2i ，∴ z =−1+2i ，则z 在复平面内对应的点的坐标为：(−1, 2)，位于第二象限． 3.【答案】 C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案． 【解答】解：直角三角形的斜边长为√52+122=13， 设内切圆的半径为r ， 则r =5+12−132=2，∴ 内切圆的面积为πr 2=4π，∴ 豆子落在内切圆外部的概率P =1−4π12×5×12=1−2π15.故选C . 4.【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】当S =1时不满足退出循环的条件，执行循环体后：S =6，k =5， 当S =6时不满足退出循环的条件，执行循环体后：S =30，k =4， 当S =30时不满足退出循环的条件，执行循环体后：S =120，k =3， 当S =120时不满足退出循环的条件，执行循环体后：S =360，k =2， 当S =360时满足退出循环的条件，故判断框中应填入的关于k 的判断条件是k <3？， 5.【答案】 C【考点】等比数列的前n 项和 【解析】设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q >0，由a 6，3a 4，−a 5成等差数列，可得6a 4=a 6−a 5，6a 4=a 4(q 2−q)，化为q 2−q −6=0，q >0．解得q ，再利用求和公式即可得出． 【解答】设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q >0，∵ 满足a 6，3a 4，−a 5成等差数列， ∴ 6a 4=a 6−a 5，∴ 6a 4=a 4(q 2−q)，∴ q 2−q −6=0，q >0． 解得q =3． 则S 4S 2=a 1(34−1)3−1a 1(32−1)3−1=32+1=10．6.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立{x −2y +a =0x 2+y 2=2 ，化为：5y 2−4ay +a 2−2=0，△>0，由OA →∗OB →=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0，可得5y 1y 2−2a(y 1+y 2)+a 2=0，把根与系数的关系代入解出a ，即可判断出关系． 【解答】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立{x −2y +a =0x 2+y 2=2，化为：5y 2−4ay +a 2−2=0，直线x −2y +a =0与圆O:x 2+y 2=2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点）， ∴ △=16a 2−20(a 2−2)>0，解得：a 2<10． ∴ y 1+y 2=4a5，y 1y 2=a 2−25，OA →∗OB →=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0， ∴ (2y 1−a)(2y 2−a)+y 1y 2=0，∴ 5y 1y 2−2a(y 1+y 2)+a 2=0， ∴ 5×a 2−25−2a ×4a 5+a 2=0，解得a =±√5．则“a =√5”是“OA →∗OB →=0”的充分不必要条件． 7.【答案】 B【考点】函数奇偶性的性质 函数的求值 【解析】通过计算前几项，可得n =3，4，…，2020，数列以3为周期的数列，计算可得所求和． 【解答】解：定义域为R 的奇函数f(x)，可得f(−x)=−f(x)， 当x >0时，满足f(x)={−log 2(7−2x),0<x ≤32,f(x −3),x >32 ， 可得x >32时，f(x)=f(x −3)，则f(1)=−log 25，f(2)=f(−1)=−f(1)=log 25， f(3)=f(0)=0，f(4)=f(1)=−log 25，f(5)=f(2)=f(−1)=−f(1)=log 25， f(6)=f(3)=f(0)=0，f(7)=f(4)=f(1)=−log 25，f(8)=f(2)=f(−1)=−f(1)=log 25， …f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)=(−log 25+log 25+0)×673−log 25=−log 25. 故选B . 8.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】 此题暂无解析【解答】解：将函数f(x)=2sin(2x +π3)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y =2sin(4x +π3)图象，向左平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象， g(x)=2sin[4(x +π12)+π3]=2sin(4x +2π3)，则4x +2π3=π2+kπ，k ∈Z ， 即x =kπ4−π24,k ∈Z ，所以离原点最近的对称轴为直线x =−π24． 故选A ． 9.【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】作出可行域，变形目标函数并平移直线y =32x −12z 可得结论． 【解答】作出约束条件所对应的可行域（如图），目标函数z =3x −2y 可化为y =32x −12z ，平移直线y =32x −12z 可知， 由，{x −y =−1y =a，解得x =a −1，y =a ， ∴ A(a −1, a)，当直线经过点A 截距取最小值，z 最小， ∴ 3(a −1)−2a =−4， 解得a =−1 10.【答案】 D【考点】由三视图求体积（组合型） 【解析】由三视图可得，该几何体为四棱锥D −BCC 1B 1和三棱锥B 1−DEB 的组合体，利用几何体的体积公式即可计算． 【解答】由三视图可得，该几何体为四棱锥D −BCC 1B 1和三棱锥B 1−DEB 的组合体 则的四棱锥D −BCC 1B 1的体积为V 1=13×1×1×2=23，三棱锥B 1−DEB 的体积为 V 2=13×12×1×1×1=16， 则该几何体的体积为23+16=56．11.【答案】A【考点】抛物线的性质【解析】设|BF|＝m，|AF|＝3m，则|AB|＝4m，p=32m，∠BAA1＝60∘，利用四边形AA1CF的面积为12√3，建立方程，求出m，即可求出准线l的方程．【解答】设|BF|＝m，|AF|＝3m，则|AB|＝4m，p=32m，∠BAA1＝60∘，∵四边形AA1CF的面积为12√3，∴(32m+3m)×3msin602=12√3，∴m=43√2，∴p2=√2，∴准线l的方程为x=−√2，12.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】条件②等价于f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增，条件③等价于f(x)−f(−x)<0在(−∞, 0)上恒成立，依次判断各函数是否满足条件即可得出结论．【解答】由②可知当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增，∵f1(π2)=f1(5π2)=0，∴f1(x)在(0, +∞)上不单调，故f1(x)不满足条件②，∴f1(x)不是“偏对称函数”；又f2(x)=ln(√x2+1−x)=√x2+1+x，∴f2(x)在R上单调递减，不满足条件②，∴f2(x)不是“偏对称函数”；由③可知当x1<0时，f(x1)<f(−x2)，即f(x)−f(−x)<0在(−∞, 0)上恒成立，对于f3(x)，当x<0时，f3(x)−f3(−x)=−x−e−x+1，令ℎ(x)=−x−e−x+1，则ℎ′(x)=−1+e−x>0，∴ ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递增，故ℎ(x)<ℎ(0)=0，满足条件③， 由基本初等函数的性质可知f 3(x)满足条件①，②， ∴ f 3(x)为“偏对称函数”；对于f 4(x)，f 4′(x)=2e 2x −e x −1=2(e x −14)2−98， ∴ 当x <0时，0<e x <1，∴ f 4′(x)<2(1−14)2−98=0， 当x >0时，e x >1，∴ f 4′(x)>2(1−14)2−98=0，∴ f 4(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增，满足条件②， 当x <0，令m(x)=f 4(x)−f 4(−x)=e 2x −e −2x +e −x −e x −2x ，则m′(x)=2e 2x +2e −2x −e −x −e x −2=2(e 2x +e −2x )−(e −x +e x )−2， 令e −x +e x =t ，则t ≥2，于是m′(x)=2t 2−t −6=2(t −14)2−498≥2(2−14)2−498=0，∴ m(x)在(−∞, 0)上单调递增，∴ m(x)<m(0)=0，故f 4(x)满足条件③， 又f 4(0)=0，即f 4(x)满足条件①， ∴ f 4(x)为“偏对称函数”．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分． 【答案】 −1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】运用向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，代入计算可得所求值． 【解答】向量a →,b →满足|b →|=5,|a →+b →|=4,|a →−b →|=6， 可得(a →+b →)2=16，(a →−b →)2=36，即为a →2+b →2+2a →⋅b →=16，a →2+b →2−2a →⋅b →=36，两式相减可得a →⋅b →=−5， 则向量a →在向量b →上的投影为a →∗b →|b →|=−55=−1．【答案】 3【考点】二项式定理的应用 【解析】根据二项式展开式定理，求出展开式中的常数项即可． 【解答】(x +ax )(2x −1)5=(x +ax )[...+C 54⋅(2x)⋅(−1)4+C 55⋅(−1)5]，∴展开式中的常数项为ax⋅C54⋅2x=30，解得a=3．【答案】20172018【考点】数列的求和【解析】由题意可得：na1+a2+⋯⋯+a n =12n+1，可得：a1+a2+……+a n=2n2+n．n≥2时，a1+a2+……+a n−1=2(n−1)2+n−1．相减可得a n．n=1时，a1=3．对于上式成立．可得b n=a n+14=n，1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1．再利用裂项求和方法即可得出．【解答】由题意可得：na1+a2+⋯⋯+a n =12n+1，可得：a1+a2+……+a n=2n2+n．∴n≥2时，a1+a2+……+a n−1=2(n−1)2+n−1．∴a n=4n−1．n=1时，a1=3．对于上式成立．∴a n=4n−1．∴b n=a n+14=n，∴1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1．则1b1b2+1b2b3+⋯+1b2017b2018=1−12+12−13+……+12017−12018=1−12018=20172018．【答案】1256π【考点】球的体积和表面积【解析】直接利用三棱锥的体积和球的体积运算求出结果．【解答】如图所示：当BC⊥平面ABD时，三棱锥的体积最大．由于：AB=3，AD=1，BC=4，BD=2√2，所以：BD2+AD2=AB2，则：△ABD为直角三角形．设外接球的半径为r，则：(2r)2=(4)2+(2√2)2+1，解得：r=52，所以球体的体积为：V=43π(1258)=125π6．故答案为：125π6三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．（一）必考题：共60分．【答案】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且：bcosA+√33a=c，则：sinBcosA+√33sinA=sin(A+B)，整理得：sinAcosB=√33sinA，由于：sinA≠0，所以：cosB=√33．由于∠D=2∠B，所以：cosD=2cos2B−1=−13．在△ACD中，AD=1，CD=3，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcosD=1+9+2=12，所以：AC=2√3．在△ABC中，BC=√6，AC=2√3,cosB=√33，所以：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB，整理得：AB2−2√2AB−6=0，解得：AB=3√2．故AB的长为3√2．【考点】三角形求面积【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出cosB的值．（2）利用（1）的结论，进一步利用余弦定理求出结果．【解答】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且：bcosA+√33a=c，则：sinBcosA+√33sinA=sin(A+B)，整理得：sinAcosB=√33sinA，由于：sinA≠0，所以：cosB=√33．由于∠D=2∠B，所以：cosD=2cos2B−1=−13．在△ACD中，AD=1，CD=3，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcosD=1+9+2=12，所以：AC=2√3．在△ABC中，BC=√6，AC=2√3,cosB=√33，所以：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB，整理得：AB2−2√2AB−6=0，解得：AB=3√2．故AB的长为3√2．【答案】当M，N为棱AB，BC中点时，AD // 面B1MN．证明如下：连结CD，CN // B1D，且CN=B1D=12BC，∴四边形B1DCN为平行四边形，∴DC // 面B1MN，∵M、N为棱AB，BC中点，∴AC // MN，又AC面B1MN，MN⊂面B1MN，∴AC // 面B1MN，∵DC∩AC=C，∴面ADC // 面B1MN．如图，设AC中点为O，作OE⊥OA，以OA、OE、OB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵BN=√2，AB=BC=3√2，∴AC=6，∵M(2, 0, 1)，N(−1, 0, 2)，A(3, 0, 0)，B1(0, −4, 3)，D(−32, −4, 32)，∴MN→=(−3, 0, 1)，B1M→=(2, 4, −2)，设平面B1MN的法向量n→=(x, y, z)，则{n →∗MN →=−3x +z =0n →∗B 1M →=2x +4y −2z =0 ，取x =1，得n →=(1, 1, 3)， 又AD →=(−92, −4, 32)，∴ cos <n →，AD →>=n →∗AD →|n →|∗|AD →|=4√1477， 设直线AD 与平面B 1MN 所成角为α，则sinα=|cos <n →,AD →>|=|n →∗AD →||n →|∗|AD →|=4√1477． ∴ 直线AD 与平面B 1MN 所成角的正弦值为4√1477．【考点】直线与平面所成的角 【解析】（1）连结CD ，推导出四边形B 1DCN 为平行四边形，从而DC // 面B 1MN ，当M 、N 为棱AB ，BC 中点时，AC // MN ，则AC // 面B 1MN ，由此能证明面ADC // 面B 1MN ． （2）设AC 中点为O ，作OE ⊥OA ，以OA 、OE 、OB 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD 与平面B 1MN 所成角的正弦值． 【解答】当M ，N 为棱AB ，BC 中点时，AD // 面B 1MN ． 证明如下：连结CD ，CN // B 1D ，且CN =B 1D =12BC ，∴ 四边形B 1DCN 为平行四边形，∴ DC // 面B 1MN ， ∵ M 、N 为棱AB ，BC 中点，∴ AC // MN ， 又AC 面B 1MN ，MN ⊂面B 1MN ，∴ AC // 面B 1MN ，∵ DC ∩AC =C ，∴ 面ADC // 面B 1MN ． 如图，设AC 中点为O ，作OE ⊥OA ，以OA 、OE 、OB 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， ∵ BN =√2，AB =BC =3√2，∴ AC =6，∵ M(2, 0, 1)，N(−1, 0, 2)，A(3, 0, 0)，B 1(0, −4, 3)，D(−32, −4, 32)， ∴ MN →=(−3, 0, 1)，B 1M →=(2, 4, −2)， 设平面B 1MN 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →∗MN →=−3x +z =0n →∗B 1M →=2x +4y −2z =0 ，取x =1，得n →=(1, 1, 3)， 又AD →=(−92, −4, 32)，∴ cos <n →，AD →>=n →∗AD →|n →|∗|AD →|=4√1477， 设直线AD 与平面B 1MN 所成角为α，则sinα=|cos <n →,AD →>|=|n →∗AD →||n →|∗|AD →|=4√1477．∴ 直线AD 与平面B 1MN 所成角的正弦值为4√1477．【答案】u 0＝65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03≈103．(i)设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为x 1， 则P(x >x 1)＝1−φ(x 1−10319.3)＝0.4，∴ φ(x 1−10319.3)＝0.6，∴x 1−10319.3=0.7257，解得x 1≈117．∴ 本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是117分．(ii)由题意可知Y ∼B(4, 25)，∴ P(Y ＝k)=C 4k⋅(25)k (1−25)4−k ，k ＝0，1，2，3，4． ∴ Y 的分布列为：∴ E(Y)＝4×25=85．【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）根据加权平均数公式计算； (2)(i)令x 1−10319.3=0.7257计算x 1的值；(ii)根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列和数学期望． 【解答】u 0＝65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03≈103．(i)设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为x 1， 则P(x >x 1)＝1−φ(x 1−10319.3)＝0.4，∴ φ(x 1−10319.3)＝0.6，∴x 1−10319.3=0.7257，解得x 1≈117．∴ 本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是117分．(ii)由题意可知Y ∼B(4, 25)，∴ P(Y ＝k)=C 4k⋅(25)k (1−25)4−k ，k ＝0，1，2，3，4． ∴ Y 的分布列为：∴ E(Y)＝4×25=85． 【答案】设F 1，F 2分别为(−c, 0)，(c, 0) 可得ca =2，b 2=c 2−a 2=3a 2， 又点(1, 32)在双曲线C 上，∴ 1a 2−94b 2=1， 解得a =12，c =1．连接PQ ，∵ OF 1=OF 2，OP =OQ ，∴ 四边形PF 1QF 2的周长为平行四边形．∴ 四边形PF 1+PF 2=2√2>2，∴ 动点P 的轨迹是以点F 1、F 2分别为左右焦点的椭圆（除左右顶点）， ∴ 动点P 的轨迹方程x 22+y 2=1(y ≠0)；∵ x 12+x 22=2，x 122+y 12=1,x 222+y 22=1，∴ y 12+y 22=1． ∴ |OG|⋅|MN|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2⋅√(x 1+x 22)2+(y 1+y 22)2=12√3−2x 1x 2−2y 1y 2⋅√3+2x 1x 2+2y 1y 2≤12(3−2x 1x 2−2y 1y 2+3+2x 1x 2+2y 1y 22)=32．∴ 当3−2x 1x 2−2y 1y 2=3+2x 1x 2+2y 1y 2⇒x 1x 2+y 1y 2=0时取最值， 此时OM ⊥ON ，△OMN 为直角三角形． 【考点】双曲线的离心率 【解析】（1）可得ca =2，b 2=c 2−a 2=3a 2，1a 2−94b 2=1，解得a =12，c =1．又PF 1+PF 2=2√2>2，可得动点P 的轨迹是以点F 1、F 2分别为左右焦点的椭圆（除左右顶点），即可．（2）可得x 12+x 22=2，x 122+y 12=1,x 222+y 22=1，∴ y 12+y 22=1．|OG|⋅|MN|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2⋅√(x 1+x 22)2+(y 1+y 22)2=12√3−2x 1x 2−2y 1y 2⋅√3+2x 1x 2+2y 1y 2≤12(3−2x 1x 2−2y 1y 2+3+2x 1x 2+2y 1y 22)=32．⇒x 1x 2+y 1y 2=0时取最值，此时△OMN 为直角三角形． 【解答】设F 1，F 2分别为(−c, 0)，(c, 0) 可得ca =2，b 2=c 2−a 2=3a 2， 又点(1, 32)在双曲线C 上，∴ 1a 2−94b 2=1，解得a =12，c =1．连接PQ ，∵ OF 1=OF 2，OP =OQ ，∴ 四边形PF 1QF 2的周长为平行四边形．∴ 四边形PF 1+PF 2=2√2>2，∴ 动点P 的轨迹是以点F 1、F 2分别为左右焦点的椭圆（除左右顶点）， ∴ 动点P 的轨迹方程x 22+y 2=1(y ≠0)；∵ x 12+x 22=2，x 122+y 12=1,x 222+y 22=1，∴ y 12+y 22=1． ∴ |OG|⋅|MN|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2⋅√(x 1+x 22)2+(y 1+y 22)2=12√3−2x 1x 2−2y 1y 2⋅√3+2x 1x 2+2y 1y 2≤12(3−2x 1x 2−2y 1y 2+3+2x 1x 2+2y 1y 22)=32．∴ 当3−2x 1x 2−2y 1y 2=3+2x 1x 2+2y 1y 2⇒x 1x 2+y 1y 2=0时取最值， 此时OM ⊥ON ，△OMN 为直角三角形． 【答案】由已知x >0，且f′(x)=2x 2+ax+1x，①当△=a 2−8≤0时，即当−2√2≤a ≤2√2时，f′(x)≥0， 则函数f(x)在[1, 2]递增，②当△=a 2−8>0即a <−2√2或a >2√2时，2x 2+ax +1=0有2个根， x =−a±√a 2−84，∵ x >0，∴ x =−a+√a2−84，1∘，当−a+√a2−84≤1时，令f′(1)=3+a ≥0，解得：a ≥−3，故−3≤a <−2√2或a >2√2时，函数f(x)在[1, 2]递增， 2∘当1<−a+√a2−84<2时，令f′(1)=3+a <0，f′(2)=92+a >0，解得：−92<a <−3，故当−92<a <−3时，函数f(x)在[1, −a+√a2−84)递减，在[−a+√a2−84, 2]递增，3∘当−a+√a2−84≥2时，令f′(2)=92+a ≤0，解得：a ≤−92，故a ≤−92时，函数f(x)在[1, 2]递减；函数g(x)=e x−1+x 2+a −f(x)=e x−1−lnx −ax +a ， 则g′(x)=e x−1−1x −a =ℎ(x)，则ℎ′(x)=e x−1+1x 2>0，g′(x)在(0, +∞)递增，当x →0，g(x)→+∞，x →+∞，g(x)→+∞，故g′(x)∈R ，故g′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 1，当x ∈(0, x 1)，g′(x)<0，x ∈(x 1, +∞)，g′(x)>0， 故g(x 1)为g(x)的最小值，由已知函数g(x)有且只有1个零点m ，则m =x 1，故g′(m)=0，g(m)=0，则{e m−1−1m−a =0em−1−lnm −am +a =0，则e m−1−lnm −(e m−1−1m )m +(e m−1−1m )=0， 得(2−m)e m−1−lnm +m−1m=0，令p(x)=(2−x)e x−1−lnx +x−1x(x >0)，故p(m)=0，则p′(x)=(1−x)(e x−1+1x 2)，故x ∈(0, 1)，p′(x)>0，x ∈(1, +∞)，p′(x)<0， 故p(x)在(1, +∞)递减，∵ p(1)=1>0，p(e)=(2−e)e e−1−1+e−1e=(2−e)e e−1−1e <0，故p(x)在(1, e)上有1个零点，在(e, +∞)无零点， 故m <e ． 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出g′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 1，由已知函数g(x)有且只有1个零点m ，则m =x 1，得(2−m)e m−1−lnm +m−1m=0，令p(x)=(2−x)e x−1−lnx +x−1x(x >0)，故p(m)=0，求出m 的范围即可．【解答】由已知x >0，且f′(x)=2x 2+ax+1x，①当△=a 2−8≤0时，即当−2√2≤a ≤2√2时，f′(x)≥0， 则函数f(x)在[1, 2]递增，②当△=a 2−8>0即a <−2√2或a >2√2时，2x 2+ax +1=0有2个根， x =−a±√a 2−84，∵ x >0，∴ x =−a+√a2−84，1∘，当−a+√a2−84≤1时，令f′(1)=3+a ≥0，解得：a ≥−3，故−3≤a <−2√2或a >2√2时，函数f(x)在[1, 2]递增， 2∘当1<−a+√a2−84<2时，令f′(1)=3+a <0，f′(2)=92+a >0，解得：−92<a <−3，故当−92<a <−3时，函数f(x)在[1, −a+√a2−84)递减，在[−a+√a2−84, 2]递增，3∘当−a+√a2−84≥2时，令f′(2)=92+a ≤0，解得：a ≤−92，故a ≤−92时，函数f(x)在[1, 2]递减；函数g(x)=e x−1+x 2+a −f(x)=e x−1−lnx −ax +a ，则g′(x)=e x−1−1x −a =ℎ(x)，则ℎ′(x)=e x−1+1x 2>0，g′(x)在(0, +∞)递增，当x →0，g(x)→+∞，x →+∞，g(x)→+∞，故g′(x)∈R ， 故g′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 1，当x ∈(0, x 1)，g′(x)<0，x ∈(x 1, +∞)，g′(x)>0， 故g(x 1)为g(x)的最小值，由已知函数g(x)有且只有1个零点m ，则m =x 1， 故g′(m)=0，g(m)=0，则{e m−1−1m −a =0em−1−lnm −am +a =0，则e m−1−lnm −(e m−1−1m )m +(e m−1−1m )=0， 得(2−m)e m−1−lnm +m−1m=0，令p(x)=(2−x)e x−1−lnx +x−1x(x >0)，故p(m)=0，则p′(x)=(1−x)(e x−1+1x 2)，故x ∈(0, 1)，p′(x)>0，x ∈(1, +∞)，p′(x)<0， 故p(x)在(1, +∞)递减，∵ p(1)=1>0，p(e)=(2−e)e e−1−1+e−1e=(2−e)e e−1−1e<0，故p(x)在(1, e)上有1个零点，在(e, +∞)无零点， 故m <e ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 【答案】∵ 曲线C 1的极坐标方程为ρsin 2θ−4cosθ＝0， ∴ ρ2sin 2θ−4ρcosθ＝0，∴ 曲线C 1的直角坐标方程为y 2＝4x ．∵ 曲线C 2的参数方程是{x =−1+2cosφy =2sinφ （φ为参数）．∴ C 2的普通方程为(x +1)2+y 2＝4． 将直线l 的参数方程{x =12+√22t y =√22t（t 为参数）代入y 2＝4x ，得t 2−4√2t −4＝0，设M ，N 两点对应的参数为t 1，t 2， 则t 1+t 2＝4√2，t 1t 2＝−4， ∴1|PM|+1|PN|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√3．【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）曲线C 1的极坐标方程转化为ρ2sin 2θ−4ρcosθ＝0，由此能求出曲线C 1的直角坐标方程；曲线C 2的参数方程消去参数，能求出C 2的普通方程．试卷第21页，总21页 （2）将直线l 的参数方程代入y 2＝4x ，得t 2−4√2t −4＝0，由此能求出1|PM|+1|PN|的值．【解答】∵ 曲线C 1的极坐标方程为ρsin 2θ−4cosθ＝0， ∴ ρ2sin 2θ−4ρcosθ＝0，∴ 曲线C 1的直角坐标方程为y 2＝4x ．∵ 曲线C 2的参数方程是{x =−1+2cosφy =2sinφ（φ为参数）． ∴ C 2的普通方程为(x +1)2+y 2＝4．将直线l 的参数方程{x =12+√22t y =√22t （t 为参数）代入y 2＝4x ，得t 2−4√2t −4＝0，设M ，N 两点对应的参数为t 1，t 2，则t 1+t 2＝4√2，t 1t 2＝−4，∴ 1|PM|+1|PN|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√3．[选修4-5：不等式选讲]（10分）【答案】∵ |x +1|+|x −2|≥|x +1−x +2|＝3，故函数的最小值是3；由（1），1a +1b =√3，∵ (m 2+n 2)(c 2+d 2)−(mc +nd)2＝m 2d 2+n 2c 2−2mncd ＝(md −nc)2≥0， 故(1a 2+2b 2)[12+(√2)2]≥(1a ×1+√2b ×√2)2＝3， 故1a +2b ≥2．【考点】绝对值三角不等式【解析】（1）根据绝对值不等式的性质求出函数的最小值即可； （2）求出1a +1b =√3，根据不等式的性质证明即可．【解答】∵ |x +1|+|x −2|≥|x +1−x +2|＝3，故函数的最小值是3；由（1），1a +1b =√3，∵ (m 2+n 2)(c 2+d 2)−(mc +nd)2＝m 2d 2+n 2c 2−2mncd ＝(md −nc)2≥0， 故(1a 2+2b 2)[12+(√2)2]≥(1a ×1+√2b ×√2)2＝3， 故1a 2+2b 2≥2．。

山东省青岛市数学高考理数五模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题． (共12题；共23分)1. （2分） (2018高三上·双鸭山月考) 已知命题，命题 ,则（）A . 命题是假命题B . 命题是真命题C . 命题是真命题D . 命题是假命题2. （2分）若集合，，则=（）A .B .C . 或D . 或3. （2分）(2017·邯郸模拟) 复数的虚部为（）A .B .C . ﹣D . ﹣4. （2分） (2018·茂名模拟) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a2+a8=10，则S9= （）A . 20B . 35C . 45D . 905. （2分）(2017·四川模拟) 若（1﹣x）n=1+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），且a1：a3=1：7，则a5等于（）A . 35B . ﹣35C . 56D . ﹣566. （2分） (2015高三上·潮州期末) 执行图题实数的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为（）A . 44B . 16C . 256D . log3167. （2分） (2017高一上·福州期末) 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于（）．A . 2B . 4C .D .8. （2分）等差数列{an}的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2=（）A . -6B . -8C . 8D . 69. （2分） (2018高一上·广西期末) 直线被圆截得的弦长为（）A .B .C .D .10. （1分） (2015高二下·东台期中) 甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为________．11. （2分）已知抛物线焦点为，过做倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，若，则（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f（x）= x3+x2+ax．若g（x）= ，对任意x1∈[ ，2]，存在x2∈[ ，2]，使f'（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·苏州月考) 在正方体中，直线与直线所成角的大小为________．14. （1分） (2016高二下·长治期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，则cosA的值为________．15. （1分）(2017·安徽模拟) 设M是△ABC边BC上的任意一点， = ，若=λ +μ ，则λ+μ=________．16. （1分）(2016·淮南模拟) 实数x，y满足，则的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2020高三上·青浦期末) 已知向量，，其中，记 .（1）若函数的最小正周期为，求的值；（2）在（1）的条件下，已知△ 的内角、、对应的边分别为、、，若，且，，求△ 的面积.18. （15分） (2016高二下·晋江期中) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．19. （5分）(2017·广元模拟) 如图，在四棱锥E﹣ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若AB=2 ，AE=3 ，平面EBD⊥平面ABCD，直线AE与平面ABD所成的角为45°，求二面角B﹣AE ﹣D的余弦值．20. （10分） (2016高三上·沙坪坝期中) 如图，已知P（x0 ， y0）是椭圆C： =1上一点，过原点的斜率分别为k1 ， k2的两条直线与圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2= 均相切，且交椭圆于A，B两点．（1）求证：k1k2=﹣；（2）求|OA|•|OB|得最大值．21. （15分）(2012·天津理) 已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．22. （5分）(2017·盐城模拟) 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+ ）=1．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与圆C相切，求r的值．23. （5分）(2017·东北三省模拟) 已知函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）（Ⅰ）证明：f（x）≥2 ；（Ⅱ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集．参考答案一、选择题． (共12题；共23分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。

2018年青岛市高考模拟检测理科综合能力测试本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I卷1至7页，第Ⅱ卷8至18页，共300分。

考试时间150分钟。

考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将答题卡收回。

可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 N—14 O—16 Cu—64第I卷(选择题共126分)本卷共21小题，每小题6分，共126分。

一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于物质跨膜运输的叙述，正确的是A．磷脂是构成细胞膜的重要成分，但与物质的跨膜运输无关B．神经递质的释放过程需要消耗能量，但不需要载体蛋白C．在质壁分离的过程中，植物细胞液浓度逐渐降低D．神经元细胞处于静息状态时不进行葡萄糖的跨膜运输2．近期，斯坦福大学公布了一项新的癌症治疗研究成果，他们发明的两种药物可直接注射到肿瘤组织中，激活T细胞增强其杀伤能力，来达到杀死肿瘤细胞的目的。

下列相关叙述不正确的是A．细胞中的抑癌基因主要是阻止细胞的不正常增殖B．癌变是多个基因突变引起的，因此该项成果不能用于多种癌症的治疗C．杀死肿瘤细胞的过程中细胞免疫发挥了重要作用D．对肿瘤病理切片的显微镜观察和癌基因检测可以作为癌症诊断的依据3．下列有关基因表达的叙述中正确的是A．mRNA中碱基数量越多翻译形成的多肽链就越长B．胰岛素基因和RNA聚合酶基因不能在同一细胞中表达C．由于密码子具有简并性，因此一种tRNA可与多种氨基酸结合D．mRNA的密码子序列直接控制蛋白质分子中氨基酸的排列顺序4．独脚金内酯是近年发现的新型植物激素。

2018年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1}2．（5分）设复数z＝﹣1+i（i是虚数单位），z的共轭复数为，则＝（）A．B．C．D．3．（5分）若，则cosα的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线的一个焦点为F（0，﹣2），一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．5．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝（）A．4B．5C．2D．37．（5分）已知三棱柱ABC﹣A 1B1C1的侧棱与底面垂直，，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π8．（5分）函数f（x）＝ln||的大致图象是（）A．B．C．D．9．（5分）已知，其中e＝2.71…，e为自然对数的底数，则在的展开式中x2的系数是（）A．240B．80C．﹣80D．﹣240 10．（5分）已知函数的最小周期为4π，且其图象向右平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则φ＝（）A．B．C．D．11．（5分）已知点A是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则p 的值为（）A．B．1C．D．212．（5分）若函数e x f（x）（e＝2.718…，e为自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．给出下列函数：①f（x）＝lnx；②f（x）＝x2+1；③f（x）＝sin x；④f（x）＝x3．以上函数中具有M性质的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．（5分）已知向量，向量，若，则k的值为．14．（5分）已知实数x，y满足，则的最小值为．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，在[﹣4，4]上随机地取一个数x，则事件“不等式f（x﹣1）≥f（1）”发生的概率是．16．（5分）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，∠ADB ＝，则CD的取值范围为三、解答题：共70分..解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题-21题为必考题，每个考题都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求解答.必考题：共60分17．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，等比数列{b n}的公比为2，且．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令，记数列{c n}的前n项和为T n，试比较T n与的大小．18．（12分）如图，圆柱H横放在底面边长为1的正六棱锥P﹣ABCDEF的顶点P上，O1和O2分别是圆柱左和右两个底面的圆心，正六棱锥P﹣ABCDEF底面中心为O，PO＝1，M、N分别是圆柱H的底面O1的最高点和最低点，G 是圆柱H的底面O2的最低点，P为NG中点，点M、O1、N、A、O、D、G、P共面，点O1、P、D共线，四边形ADGN为矩形．（1）证明：MG∥平面PCD；（2）求二面角M﹣CD﹣A大小．注：正棱锥就是底面是一个正多边形，顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥．19．（12分）某校高三年级的500名学生参加了一次数学测试，已知这500名学生的成绩全部介于60分到140分之间，为统计学生的这次考试情况，从这500名学生中随机抽取50名学生的考试成绩作为样本进行统计．将这50名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），……，第八组[130，140]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）估计该校高三年级的这500名学生的这次考试成绩的中位数；（3）若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，记这2名学生中属于第一组的人数为ξ，令η＝2ξ+1，求ξ的分布列及E（η）．20．（12分）已知O为坐标原点，点A、B在椭圆上，点在圆D：x2+y2＝r2（r＞0）上，AB在中点为Q，满足O、E、Q三点共线．（1）求直线AB的斜率；（2）若直线AB与圆D相交于M、N两点，记△OAB的面积为S1，△OMN的面积为S2，求S＝S1+S2的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝ae2x﹣ae x﹣xe x（a≥0，e＝2.718…，e为自然对数的底数），若f（x）≥0对于x∈R恒成立．（1）求实数a的值；（2）证明：f（x）存在唯一极大值点x0，且．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线（t为参数），（α为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线．（1）求曲线C1，C2的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C2上的点P对应的参数为C1上的点，求PQ的中点M到直线C3距离d的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＞3﹣4x；（2）若f（x）+|1﹣x|≥6m2﹣5m对一切实数x都成立，求m的取值范围．2018年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1}【解答】解：A＝{x|x2﹣1＞0}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，则∁R A＝{x|﹣1≤x≤1}，则（∁R A）∩B＝{﹣1，0，1}，故选：C．2．（5分）设复数z＝﹣1+i（i是虚数单位），z的共轭复数为，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵z＝﹣1+i，∴．∴＝＝．故选：C．3．（5分）若，则cosα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α∈（0，），∴α﹣∈（﹣，），又sin（）＝，∴cos（）＝，则cosα＝cos[（）+]＝cos（）cos﹣sin（）sin＝＝．故选：A．4．（5分）已知双曲线的一个焦点为F（0，﹣2），一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点在y轴上，双曲线的渐近线方程为y＝±x，若双曲线的一条渐近线的斜率为，则＝，其一个焦点为F（0，﹣2），则有a2+b2＝4，解可得：a2＝3，b2＝1；双曲线的标准方程为：﹣x2＝1；故选：C．5．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意该几何体是一个以底面位正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥可得．四棱锥底面面积S＝4×4＝16．四棱锥法的高为4．那么棱锥体积V＝＝．半圆锥的体积V′＝πr2×h＝×4×＝∴该几何体的体积为﹣＝故选：D．6．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝（）A．4B．5C．2D．3【解答】解：模拟执行程序，可得a＝1，A＝1，S＝0，n＝1S＝2不满足条件S≥10，执行循环体，n＝2，a＝，A＝2，S＝不满足条件S≥10，执行循环体，n＝3，a＝，A＝4，S＝不满足条件S≥10，执行循环体，n＝4，a＝，A＝8，S＝满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A 1B1C1的侧棱与底面垂直，，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【解答】解：如图所示，∵AB2+AC2＝4＝，∴∠BAC＝90°．分别取BC，B1C1的中点M，N，取MN的中点O，则点O为三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的球心．半径r＝＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积S＝4πr2＝12π．故选：D．8．（5分）函数f（x）＝ln||的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解∵，∴f（﹣x）＝ln||＝﹣ln||＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，排除C当x＝e+1，则f（e+1）＝ln||＝ln|e+2|﹣lne＞0，故排除B，当x＝0时，f（0）＝0，故排除A故选：D．9．（5分）已知，其中e＝2.71…，e为自然对数的底数，则在的展开式中x2的系数是（）A．240B．80C．﹣80D．﹣240【解答】解：方法一：由e x dx＝e x＝e﹣1，∴＝5，∴则（x﹣﹣2）5＝[（x﹣）﹣2]5＝（x﹣）5+（x﹣）4（﹣2）1+（x﹣）3（﹣2）2+（x﹣）2（﹣2）3+（x﹣）1（﹣2）4+（x﹣）0（﹣2）5，则展开式中x2，则出现在（x﹣）4（﹣2）1及（x﹣）2（﹣2）3，∴（﹣2）x3（﹣）1＝160，（﹣2）3x2（﹣）0＝﹣80，∴在的展开式中x2的系数80，方法二：由e x dx＝e x＝e﹣1，∴＝5，则（x﹣﹣2）5＝[（x ﹣）﹣2]5，展开式的通项（x﹣）5﹣r（﹣2）r＝（﹣2）r x5﹣r﹣k（﹣）k＝（﹣4）k（﹣2）r x5﹣r﹣2k，由题意可知：5﹣r﹣2k＝2，当r＝3，k＝0，则（﹣2）3＝﹣80，当r＝1，k＝1，则（﹣4）（﹣2）＝160，则在的展开式中x2的系数80，故选：B．10．（5分）已知函数的最小周期为4π，且其图象向右平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则φ＝（）A．B．C．D．【解答】解：知函数的最小周期为4π，则：ω＝，所以：，其图象向右平移个单位后得到：g（x）＝sin（）且图象关于y轴对称，则：（k∈Z），解得：φ＝k（k∈Z），当k＝﹣1时，φ＝﹣，故选：A．11．（5分）已知点A是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则p 的值为（）A．B．1C．D．2【解答】解：设过点A与抛物线相切得直线方程为y＝kx﹣）．由得x2﹣2pkx+p2，△＝4k2p2﹣4p2＝0，可得k＝±1，则Q（p，），P（﹣p，），∴△APQ的面积为S＝，∴p＝2．故选：D．12．（5分）若函数e x f（x）（e＝2.718…，e为自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．给出下列函数：①f（x）＝lnx；②f（x）＝x2+1；③f（x）＝sin x；④f（x）＝x3．以上函数中具有M性质的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：对于①，f（x）＝lnx，则g（x）＝e x lnx，则g′（x）＝e x（lnx+），函数先递减再递增，对于②，f（x）＝x2+1，则g（x）＝e x f（x）＝e x（x2+1），g′（x）＝e x（x2+1）+2xe x＝e x（x2+2x+1）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）＝e x f（x）在定义域R上是增函数，对于③，f（x）＝sin x，则g（x）＝e x sin x，g′（x）＝e x（sin x+cos x）＝e x sin（x+），显然g（x）不单调；对于④，f（x）＝x3，则g（x）＝e x f（x）＝e x•x3，g′（x）＝e x•x3+3e x•x2＝e x（x3+3x2）＝e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）＝e x f（x）在定义域R上先减后增；∴具有M性质的函数的序号为②．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．（5分）已知向量，向量，若，则k的值为3．【解答】解：向量，向量，若，则＝，∴+2+＝﹣2+，∴•＝0，∴4（2﹣k）+2（k﹣1）＝0，解得k＝3．故答案为：3．14．（5分）已知实数x，y满足，则的最小值为4．【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，联立，解得A（1，0），＝2+，其几何意义为可行域内的动点与定点P（0，﹣2）连线的斜率加2．∵kP A＝＝2，∴的最小值为4．故答案为：4．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，在[﹣4，4]上随机地取一个数x，则事件“不等式f（x﹣1）≥f（1）”发生的概率是．【解答】解：若f（x）在[0，+∞）上单调递减，则f（x）在（﹣∞，0）递增，由不等式f（x﹣1）≥f（1），|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，故满足条件的概率p＝＝，故答案为：．16．（5分）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，∠ADB ＝，则CD的取值范围为（0，4]【解答】解：AB＝BC＝2，∠ABC＝，可知△ABC是等腰三角形，由题意，动点D和A，B，C四点共圆，三角形ABC外接圆半径为2，若D与C重合时CD＝0，若CD为直径时，最大值4．∴4＞DC＞0．故答案为：（0，4]．三、解答题：共70分..解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题-21题为必考题，每个考题都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求解答.必考题：共60分17．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，等比数列{b n}的公比为2，且．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令，记数列{c n}的前n项和为T n，试比较T n与的大小．（1）等差数列{a n}的公差为2，等比数列{b n}的公比为2，且．【解答】解：n＝1，2，可得：a1b1＝2，（a1+2）b1×2＝2×22，联立解得a1＝2，b1＝1．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n，b n＝2n﹣1．（2）令＝＝＝，∴数列{c n}的前n项和为T n＝+++……++＝，∴T n＜．18．（12分）如图，圆柱H横放在底面边长为1的正六棱锥P﹣ABCDEF的顶点P上，O1和O2分别是圆柱左和右两个底面的圆心，正六棱锥P﹣ABCDEF底面中心为O，PO＝1，M、N分别是圆柱H的底面O1的最高点和最低点，G 是圆柱H的底面O2的最低点，P为NG中点，点M、O1、N、A、O、D、G、P共面，点O1、P、D共线，四边形ADGN为矩形．（1）证明：MG∥平面PCD；（2）求二面角M﹣CD﹣A大小．注：正棱锥就是底面是一个正多边形，顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥．【解答】证明：（1）∵P为NG的中点，O1为MN中点，∴PO1∥MG，又∵O1、P、D共线，∴PD∥MG，∵PD⊂平面PCD，MG⊄平面PCD，∴MG∥平面PCD．解：（2）∵O是正六棱锥P﹣ABCDEF底面中心，∴PO⊥底面ABCDEF，取BC中点W，连结OW，AD，则OW⊥AD，分别以OA、OW、OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵P为NG中点，四边形ADGN为矩形，O为AD中点，PO＝1，∴NA∥PO，NA＝PO＝1，从而NA⊥底面ABCDEF，∴M、N分别是圆柱H的底面O1的最高点和最低点，∴O1N⊥底面ABCDEF，从而M，O1，N，A共线，∵正六棱锥P﹣ABCDEF的底面边长为1，∴AD＝2，∵四边形ADGN为矩形，NG∥AD，且NG＝AD＝2，∴P为NG中点，NP∥AD，且NP＝，∴在O1AD中，NP为△O1AD的中位线，从而N为O1A中点，∴O1N＝AN＝1，∴M（1，0，3），C（﹣，，0），D（﹣1，0，0），＝（），＝（2，0，﹣3），设平面MCD的法向量为＝（x，y，z），∴，取x＝1，得＝（1，﹣，﹣），平面ABCDEFr法向量＝＝（0，0，1），二面角M﹣CD﹣Ar平面角为θ，∴cosθ＝＝＝，∴θ＝．∴二面角M﹣CD﹣A大小为．19．（12分）某校高三年级的500名学生参加了一次数学测试，已知这500名学生的成绩全部介于60分到140分之间，为统计学生的这次考试情况，从这500名学生中随机抽取50名学生的考试成绩作为样本进行统计．将这50名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），……，第八组[130，140]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）估计该校高三年级的这500名学生的这次考试成绩的中位数；（3）若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，记这2名学生中属于第一组的人数为ξ，令η＝2ξ+1，求ξ的分布列及E（η）．【解答】解：（1）由频率分布直方图知第7组的频率为：f7＝1﹣（0.004+0.012+0.016+0.03+0.02+0.006+0.004）×10＝0.08，完成频率分布直方图如右图．（2）成绩落在第一组的频率为0.004×10＝0.04，成绩落在第二组的频率为0.012×10＝0.12，成绩落在第三组的频率为0.016×10＝0.16，成绩落在第四组的频率为0.03×10＝0.3，∵0.04+0.12+0.16＝0.32＜0.5，0.04+0.16+0.12+0.3＝0.62＞0.5，设该校的500名学生这次考试的成绩的中位数为x，则90＜x＜100，∴0.04+0.12+0.16+0.03×（x090）＝0.5，解得x＝96．∴这500名学生的这次考试成绩的中位数为96．（3）第六组有学生：50×0.006×10＝3人，第一组有学生：50×0.004×10＝2人，ξ可能的取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴ξ的分布列为：E（ξ）＝＝，∵η＝2ξ+1，∴E（η）＝2E（ξ）+1＝2×＝．20．（12分）已知O为坐标原点，点A、B在椭圆上，点在圆D：x2+y2＝r2（r＞0）上，AB在中点为Q，满足O、E、Q三点共线．（1）求直线AB的斜率；（2）若直线AB与圆D相交于M、N两点，记△OAB的面积为S1，△OMN的面积为S2，求S＝S1+S2的最大值．【解答】解：（1）点在圆D：x2+y2＝r2（r＞0）上，∴r2＝+＝．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴x0＝，y0＝．∵满足O、E、Q三点共线．∴k OE＝k OQ，∴＝，化为：＝﹣．由+＝1，+＝1，相减可得：+（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，∴＝0，解得k AB＝1．（2）设直线AB的方程为：y＝x+m．点O到直线MN的距离d＝，|MN|＝2＝2＝．S2＝d|MN|＝＝．联立，化为：3x2+4mx+2m2﹣2＝0，△＞0，可得m2＜3．可得：x1+x2＝，x1x2＝．|AB|＝＝＝．∴S1＝d|AB|＝×＝|m|．∴S＝S1+S2＝|m|+＝＝．∵m2＜3，∴当m2＝时，即m＝时，S取得最大值：×＝．21．（12分）已知函数f（x）＝ae2x﹣ae x﹣xe x（a≥0，e＝2.718…，e为自然对数的底数），若f（x）≥0对于x∈R恒成立．（1）求实数a的值；（2）证明：f（x）存在唯一极大值点x0，且．【解答】（1）解：f（x）≥0对于x∈R恒成立，即ae2x﹣ae x﹣xe x≥0，∵e x＞0，化为：ae x﹣a﹣x≥0，令g（x）＝ae x﹣a﹣x，g′（x）＝ae x﹣1，a＝0时，f（x）≥0对于x∈R不恒成立，舍去．a＞0时，令g′（x）＝ae x﹣1＝0，解得x＝﹣lna．可得x＝﹣lna时，g（x）取得极小值即最小值，∴g（﹣lna）＝1﹣a+lna≥0．令h（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0）．∴h′（x）＝﹣1＝，可得x＝1时，函数h（x）取得极大值，∴h（x）≤h（1）＝0．∴只有a＝1时，g（﹣lna）＝0，满足f（x）≥0恒成立．故a＝1．（2）证明：由（1）可得：a＝1．∴f（x）＝e2x﹣e x﹣xe x，f′（x）＝e x（2e x﹣x﹣2）．令g（x）＝2e x﹣x﹣2．g′（x）＝2e x﹣1在R上单调递增，存在唯一零点x1，使得g′（x1）＝﹣1＝0，即x1＝﹣ln2．f（﹣ln2）＝＜0．可得：函数g（x）在（﹣∞，﹣ln2）上单调递减，在（﹣ln2，+∞）上单调递增．又f′（﹣1）＝＜0，f′（﹣2）＝×＞0．可得f（x）存在唯一极大值点x0∈（﹣2，﹣1）．﹣x0﹣2＝0.＝．f（x0）＝﹣﹣＝＝＝．令x0＝﹣，＝＞+＞+．∴．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线（t为参数），（α为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线．（1）求曲线C1，C2的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C2上的点P对应的参数为C1上的点，求PQ的中点M到直线C3距离d的最小值．【解答】解：（1）∵曲线（t为参数），∴曲线C1消去参数t，得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝1．曲线C1是以（2，﹣1）为圆心，以1为半径的圆．∵曲线（α为参数），∴曲线C2消去参数α，得曲线C2的普通方程为：＝1，曲线C2是焦点在x轴上的椭圆．（2）∵C2上的点P对应的参数，∴P（0，1），∵Q为C1上的点，∴Q（2+cos t，sin t﹣1），∴PQ的中点M（1+，），∵直线，∴直线C3的直角坐标方程为x﹣y＝0．∴PQ的中点M到直线C3距离d＝＝，∴当sin（t﹣）＝1时，PQ的中点M到直线C3距离d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＞3﹣4x；（2）若f（x）+|1﹣x|≥6m2﹣5m对一切实数x都成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）；∴由不等式f（x）＞3﹣4x得：，或，或；解得；∴原不等式的解集为；（2）f（x）+|1﹣x|＝|x﹣1|+|2x﹣1|+|1﹣x|＝2|x﹣1|+|2x﹣1|＝|2x﹣2|+|2x﹣1|≥1；即f（x）+|1﹣x|的最小值为1；又f（x）+|1﹣x|≥6m2﹣5m对一切实数x都成立；∴1≥6m2﹣5m；解得；∴m的取值范围为．。