九年级数学《圆周角定理》专题强化练习

《圆周角定理及其推论与圆内接四边形》圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论1:同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的对角互补。

题型一、圆周角定理及其推论例1.如图，AB是＜90的直径，BD是OO的弦，延长BD到C,使AC=AB, BD与CD的大小有什么关系？为什么？变式训练：1、如图，在＜30中,圆心角ZBOC=78°,则圆周角ZBAC的大小为（）2、如图，在00中，弦BC=1,点A是圆上一点，且ZBAC=30°,则00的半径是（）A.lB.2C.V3D.753、如图，OO的直径AB为10cm,弦AC为6cm, ZACB的平分线交G）0于D,求BC, AD, BD的长.A.1560B.780C.39°题型二、圆内接四边形例2、如图,AABC内接于OO,AD ABC的外角平分线，交于点D,连接BD,CD,判斷ADBC的形状，并说明理由.T7变式训练：1、四边形ABCD 内接于OO,AD〃BC,ZB二75°,则ZC二___________ .2、已知,四边形ABCD内接于OO,且ZA : ZC=1 : 2,则ZBOD= _________________3、如图，在00中，已知ZOAB=22.5°,则-ZC的度数为（）A. 135°B.122.5°C.115.50D. 112.5°C基础练习1.如图，点A,B,C 在±,ZABO=32°,ZA.CO=38°,则ZB0C 等于（）A.60°B.70°C.120°D.1400B/ Rcn-1 10°则ZBAD 的度数为（ ）4.如图，四边形“ABCD 为OO 的内接四边形，若ZBCD-110,oB 110° C. 90° D. 70°5.如图，平行四边形ABCD 的顶点A,B,D 在。

0° 0 中考数学专项练习圆周角定理（含解析）是⊙O 的直径，弦 CD ⊥ AB ，∠ CAB=40 D+ ∠ABD 的度数为〔 〕A. 100°B. 110°C. 120°D. 1502.A 、C 、B 是⊙O 上三点，假设∠ AOC=40°，那么∠ ABC 的度数是 ()A. 1 0°B.C.80°C 的外接圆，∠ OCB=40 °，那么∠ A 的度数等于A. 6B. 5C. 4，连接 BD ， O D. 3.如图，⊙ O 是△ A一】单项选择题 图，那么DD. 304.如图，EF是⊙ O的直径，把∠ A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB 与⊙ O交于点P，点B与点O 重合．将三角板ABC 沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠ POF＝x°，那么x 的取值范围是( )A. 30≤x≤60B. 30≤x≤90C.30≤x≤120D.60≤x≤1205.如图，圆心角∠ BOC=100°，那么圆周角∠ BAC 的大小是A. 50°B.100°C.130°D.200°6.以下各命题正确的选项是:〔〕A. 假设两弧相等，那么两弧所对圆周角相等B. 有一组对边平行的四边形是梯形.C. 垂直于弦的直线必过圆心 D. 有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.7.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为 1 的半圆形量角器中，画一个直径为 10的圆，把刻度尺 CA 的 0刻度固定在 刻度尺可以绕点 O 旋转．从图中所示的图尺可读出 sin 〕B.C.D. 【二】填空题 8.如图， P 是⊙ 0 直径那么∠ A 的度数为10.如图，在以 AB 为直径的半圆中，有一个边长为 1 的内接正方形 CF ，那么以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是 ___ ．.如图， AB 是⊙的直径，点 C 是半径 OA 的中点，过点 C 作DE ⊥AB ，交 O 于点 D ，E 两点，过点 D 作直径 DF ，连结 AF ，那么∠ DEA= AB 延长线上的点， PC 切⊙0于 C 、假设∠ P=40是半圆 的直径， ，那么 的大小是假设∠ BO ∠BCD ，那么弧 BD 的长为11 A. 半圆的圆 AOB 的o12. 如图，⊙ O的半径为6，四边形ABCD 内接于⊙ O，连接OB，OD，13. __________________________ 如图，AB 是⊙O的直径，C、D、E都是⊙ O上的点，∠ A=55°，∠B=70°，那么∠ E的度数是．14. _____________________________________ 如图，AD 和AC 分别是⊙ O的直径和弦，且∠ CAD=30°，OB⊥A D交AC于点B，假设OB=5，那么BC等于__________________________ ．O 的内接四边形ABCD 中，∠ A=105°，那么∠ BOD 等于【三】解答题16. 如图，在⊙ O 中，AC 与BD 是圆的直径，BE⊥ AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F形ABCD 是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；2〕求证：BE=CF．17. 如图，AB 是? O的直径，点C在? O上，过点C的直线与AB 的延长线交于点P，AC=PC，∠ COB=2∠PCB.〔1〕求证：PC是? O 的切线；〔2〕求证：BC= AB ；〔3〕点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N，假设AB=4 ，求MN ·M C 的值.【四】综合题18. 如图，⊙ O 是△ABC 的外接圆，AB=AC ，P是⊙O 上一点．〔1〕操作：请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠ P 的平分线；2〕说理：结合图②，说明你这样画的理由．〔1〕⊙D 的半径；〔2〕CE 的长． 【一】单项选择题【考点】垂径定理，圆周角定理 【考点】圆周角定理 【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，由〝一条弧所 对的圆周角等于它所对的圆心角的一半〞解答 . 【分析】此题考查了原周角和圆心角的联系 .【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：在△ OCB 中， OB=OC 〔⊙ O 的半径〕，∴∠O BC=∠0CB 〔等边对等角〕；∵∠ OCB=40°，∠ C0B=180°﹣∠ OBC ﹣∠ 0CB ， ∴∠COB=100°； 又∵∠ A= ∠C0B 〔同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半〕 ， ∴∠ A=50 °， 应选 B 、【分析】在等腰三角形 OCB 中，求得两个底角∠ OBC 、∠0CB 的度数，然 后根据三角形的内角和求得∠ COB=100°；最后由圆周角定理求得∠ A 的 度数并作出选择．【考点】圆周角定理【考点】圆周角定理【解析】【分析】∠ BOC ，∠ BAC 是同弧所对的圆周角和圆心角，∠ B OC=2∠ BAC ，因为圆心角∠ BOC=100°，所以圆周角∠ BAC=50°.【点评】此题考查圆周角和圆心角，解此题的关键是掌握同弧所对的圆周 角和圆心角关系，然后根据题意来解答。

2021年中考数学复习：圆周角定理专项练习题11．如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且，若∠ABC＝∠CAD，则弦AC＝．2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝6，那么CD的长为．3．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB＝10，BC＝4，则DP＝．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°，则∠BOD＝°．5．如图，⊙O上有两定点A、B，点P是⊙O上一动点（不与A、B两点重合），若∠OAB ＝35°，则∠APB的度数是．6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝2∠AOB，如果∠BAC＝40°，那么∠ACB的度数是．7．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝65°．则∠CDB的大小等于．8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交OC于D且CD ＝OD，若AB＝2，则⊙O的直径为．9．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC交⊙O于点D．若CD＝5，BC＝8，则AB的长为．10．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），M，N分别是BP，AB的中点．若AB＝4，∠APB＝30°，则MN长的最大值为．11．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝70°，则∠EAC的度数为．12．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于．13．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC＝50°，则∠D等于．14．如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC＝度．15．如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝10cm，AB＝6cm，则⊙O的半径长为cm．。

圆周角定理综合训练一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．163．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．165．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是度．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=度．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是C D的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长【解答】解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE．则∠C=∠E，由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，所以△ABE和△BCD都是直角三角形，所以∠CBD=∠EAB．又△OAM是直角三角形，∵AO=1，∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．故选：A．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．16【解答】解：连接BC，则∠B=∠F，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACG=∠F．又∵∠CAF=∠FAC，∴△ACG∽△AFC，∴AC：AF=AG：AC，即AG•AF=AC2=（2）2=8．故选：C．3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．【解答】解法一：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴=；设BE=2x，则DE=5﹣2x，EC=x，AE=2（5﹣2x）；连接BC，则∠ACB=90°；Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，则BC=x；在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10﹣3x，BC=x；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，即：72=（10﹣3x）2+（x）2，整理，得4x2﹣20x+17=0，解得x1=+，x2=﹣；由于x＜，故x=﹣；则DE=5﹣2x=2．解法二：连接OD，OC，AD，∵OD=CD=OC则∠DOC=60°，∠DAC=30°又AB=7，BD=5，∴AD=2，在Rt△ADE中，∠DAC=30°，所以DE=2．故选：A．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；∴直径BE==2，∵直径是圆内接正方形的对角线长，∴圆内接正方形的边长等于∴⊙O的内接正方形的面积为2．故选：A．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对【解答】解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；共有6对相等的角．故选：C．6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，∴两弧所对圆心角相差20°，∴2∠A﹣2∠C=20°，∴∠A﹣∠C=10°…①；∵∠CEB是△AEC的外角，∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．故选：D．7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在【解答】解：如图，分别以AC，BC为边，作等边△APC，等边△BP′C，连接BP，依题意，结合等边三角形的性质可知∠APB=∠AP′B=30°，所以满足条件的点P的个数为2个．故选：B．8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°【解答】解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，∴2（∠A﹣∠D）=20°即∠A﹣∠D=10°∵∠DEC=80°∴∠DEC=∠D+∠A=80°∴∠A=45°，∠D=35°．故选：B．9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠AOB=360°÷5=72°．故选：A．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣【解答】解：连接AD，OD∵∠BAC=90°，AB=AC=2∴△ABC是等腰直角三角形∵AB是圆的直径∴∠ADB=90°∴AD⊥BC∴点D是BC的中点∴OD是△ABC的中位线∴∠DOA=90°∴△ODA，△ADC都是等腰直角三角形∴两个弓形的面积相等=AD2=1．∴阴影部分的面积=S△ADC故选：A．11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确．所以①②③⑤共4个正确．故选C．12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于点N．在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；∴∠DOG=∠DCO；∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；∵MN⊥AB，GH⊥CD；∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．故选：B．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°【解答】解：连接OD，∵AO=OC=OD，DA=DC，∴△ADO≌△CDO．∴∠COD=∠AOD=∠AOC=80°．∴∠ODC=∠OCD=∠ODA=∠OAD=50°．∴∠CDA=100°．∵AD∥BC，∴∠DCB=180°﹣∠CDA=180°﹣100°=80°．∴∠BCO=∠BCD﹣∠OCD=80°﹣50°=30°．故选：B．14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①若△ABD∽△CAD，则一定有AD：BD=CD：AD，即AD2=BD•CD，而两三角形只有一对角对应相等，不会得到另外的对应角相等，故①不正确；②若△BEG∽△AEB，则一定有BE：EG=AE：BE，即BE2=EG•AE，而两三角形只有一对公共角相等，不会得到另外的对应角相等，故②不正确；③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠ACE=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故③正确；∵根据相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故④正确．故选：B．二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是60度．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°；由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=28度．【解答】解：∵∠BOC=56°∴∠A=∠BOC=28°．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=﹣x2+x．【解答】解：根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，∵CD=1，BD=2而AB=BC∴∴∠ADB=∠BDC∵∠ABD=∠ACD∴△ADB∽△PDC∴CD：BD=PD：AD而BD=2CD∴PD=x∴BP=BD﹣PD=2﹣x∴PA•PC=BP•PD=（2﹣x）×x=﹣x2+x．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为2．【解答】解：∵弧AB=弧AC=弧CD，∴∠1=∠2=∠3=∠4；∴△AEC∽△BAC；∴CE：AC=AC：BC；∵AC=AB=3，因此CE•BC=3×3=9；∵BC=BE+CE，∴CE（BE+CE）=9，整理得：CE•BE+CE2=9 ①；由根据相交弦定理得，BE•CE=A E•ED=5 ②；②代入①得：5+CE2=9，解得：CE=2（负值舍去）．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=3．【解答】解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴△ADC∽△BDE，∴．①同理可由△ADB∽△CDE，得．②①×②，得==3．Rt△AEC中，tan∠AEC=．同理得tan∠AEB=．故tan∠AEC•tan∠AEB==3．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC=90°；又∵0C⊥AD，∴∠OFA=90°，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD．又∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED．（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，∴tan∠C=．在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，∴，解得．（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，∴AE=BD，∴AE=BD=DE，∴，∴∠BAD=30°，又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=AB=5，DE=5，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，过点D作DH⊥AB于H，∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，∴四边形AEDB的面积=．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．【解答】（1）解：猜想OG⊥CD．证明：如图，连接OC、OD，∵OC=OD，G是CD的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），在Rt△ACE和Rt△BCF中，∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．∴AE=BF．（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．∴OH=AD，即AD=2OH，又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．在Rt△BDE和Rt△ADB中，∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△ADB，∴，即BD2=AD•DE．∴．又BD=FD，∴BF=2BD，∴①，设AC=x，则BC=x，AB=，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠BAD．在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．∴AF=AB=，BD=FD．∴CF=AF﹣AC=．在Rt△BCF中，由勾股定理，得②，由①、②，得，∴x2=12，解得或（舍去），∴，∴⊙O的半径长为．=π•（）2=6π．∴S⊙O22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．【解答】（1）证明：连接AC，如图∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC（1分）又∵∠BDC=∠BAC在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC（3分）∴CF=BF；（4分）（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点∴∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线．（5分）∴CE=CG，AE=AG（6分）在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）∴BE=DG（7分）∴AE=AB﹣BE=AG=AD+DG即6﹣BE=2+DG∴2BE=4，即BE=2（8分）又∵△BCE∽△BAC∴BC2=BE•AB=12（9分）BC=±2（舍去负值）∴BC=2．（10分）解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分在Rt△ADB与Rt△FEB中，∵∠ABD=∠FBE∴△ADB∽△FEB，则，即，∴BF=3EF（6分）又∵BF=CF，∴CF=3EF利用勾股定理得：（7分）又∵△EBC∽△ECA则，则CE2=AE•BE（8分）∴（CF+EF）2=（6﹣BE）•BE即（3EF+EF）2=（6﹣2EF）•2EF ∴EF=（9分）∴BC=．（10分）23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．【解答】（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，∴ED是△ABF的中位线，∴ED∥BF，∴∠CEB=∠ABF，又∵∠C=∠A，∴△CBE∽△AFB．（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，∴，又AF=2AD，∴．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．∴∠F=∠BCD．在△BCG和△BFC中，，∴△BCG∽△BFC．∴．即BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）∵∠CBD=∠CAD∴∠BAD=∠CBD（3分）∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD∴ID=BD；（5分）（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D∴△ABD∽△BED（7分）∴∴AD×DE=BD2=ID2（8分）∵ID=6，AD=x，DE=y∴xy=36（9分）又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10∴6＜x≤10∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分）说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？【解答】解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．（2分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°∴△PDC为等边三角形；（6分）（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°∴△PDC为等边三角形．（12分）31 / 31。

圆周角定理及确定圆的条件一、选择题1.如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A=36°，则∠BOC的度数为（）A. 18°B. 36°C. 60°D. 72°2.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（）A. 30°B. 50°C. 60°D. 70°3.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）A. ∠ADCB. ∠ABDC. ∠BACD. ∠BAD4.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）A. 43°B. 35°C. 34°D. 44°6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A. B. 2 C. D.7.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=，BD=5，则OH的长度为（）A. B. C. 1 D.8.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（）A. B. 5 C. D. 59.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（）A. 2πB. πC. πD. π10.如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°11.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（）A. 50°B. 60°C. 80°D. 90°12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A. 130°B. 100°C. 65°D. 50°13.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形14.如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A. 80°B. 120°C. 100°D. 90°15.如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E，F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F=（）A. 25°B. 30°C. 40°D. 55°16.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为（）A. 1B.C.D.17.已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，D为CB延长线上一点，∠AOC=130°，则∠ABD的度数为（）A. 40°B. 50°C. 65°D. 100°18.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为（）A. 35°B. 40°C. 50°D. 80°19.如图，平行四边形ABCD内接于⊙O，则∠ADC=（）A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°20.如图所示，点A、B、C、D分别是⊙O上的四点，∠BAC=50°，BD是直径，则∠DBC的度数是（）A. 40°B. 50°C. 20°D. 35°二、填空题1.如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB=______度．2.如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为______．3.如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为______ ．4.如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是______．5.如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=______度．6.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=______ °．7.如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=______．8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD=120°，则∠DCE=______．9.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点B的任意一点，则∠BPC=______度．10.如图，A、B、C、D是⊙O上四点，BD是⊙O的直径．若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB=______°．11.如图，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第______秒．12.在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6cm，以C为圆心，3cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是______．13.如图，⊙O的半径为3cm，当圆心0到直线AB的距离为______cm时，直线AB与⊙O相切．14.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是______．15.如图，直线l：y=-x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为______．三、解答题1.如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．2.已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=6，sin∠P=，求AB的值．4.如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O 于点D，连接CD交AB于点E．求证：（1）PD=PE；（2）PE2=PA•PB．5.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2=DF•DA．6.如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．。

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。

2.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

4.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

5.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

练习题1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案为：45°或135°．2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．3、（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．4、（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．5、（2022•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角，则∠APD 的度数是 ．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD ＝∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝60°，∴∠APD ＝∠AOD ＝×60°＝30°，故答案为：30°．6、（2022•徐州）如图，A 、B 、C 点在圆O 上，若∠ACB ＝36°，则∠AOB ＝ ．【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AOB ，∠ACB ＝36°，∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．故答案为：72°．7、（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．8、（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．9、（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．。

专题24.12 圆周角（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．等弧所对的圆周角相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．过弦的中点的直线必过圆心2．如图，四边形ABCD 的顶点A ，B ，C 在圆上，且边CD 与该圆交于点E ，AC ，BE 交于点F.下列角中，弧AE 所对的圆周角是( )A ．∠ADEB ．∠AFEC ．∠ABED ．∠ABC3．如图，菱形OABC 的顶点A 、B 、C 在圆O 上，且，若点P 是圆周上60OAB ∠=︒任意一点且不与A 、B 、C 重合，则∠APC 的度数为（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°4．如图，内接于，AD 是的直径，若，则的度数是ABC A O A O A 20B ∠=︒CAD ∠（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°5．如图，是的外接圆，，于点D ，O A ABC A 60B ∠=︒OD AC ⊥OD =的直径为（ ）O AA ．B ．8C ．D ．126．是的外接圆，若长等于半径，则的度数为（ ）O A ABC A BC A ∠A ．B ．C ．或D ．或60︒120︒30°150︒60︒30°7．如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC ＝CD ，∠DAC ＝36°，∠ACD ＝44°，则∠ADB 的度数为（ ）A ．55°B ．64°C ．65°D ．70°8．如图，C ，D 是上直径AB 两侧的两点，若，则的度数是O A 20ABC ∠=︒BDC ∠（ ）A ．50°B ．60°C ．80°D ．70°9．已知锐角，如图，AOB ∠（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点OA C O OC PQ OB ，连接；D CD（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，；C D CD PQ M N （3）连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的（ ）OM MNA ．B ．若．则COM COD∠=∠OM MN =80OCD ∠=︒C ．D ．MN CD ∥3MN CD=10．如图，AB 、CD 分别是⊙O 的直径，连接BC 、BD ，如果弦，且DE AB ∥∠CDE ＝62°，则下列结论错误的是（ ）A ．CB ⊥BD B ．∠CBA ＝31°C ．D ．BD ＝DEA A AC AE =11．如图，已知AB 是的直径，弦CD 与AB 交于点E ，设，O A ABC α∠=，，则（ ）ABD β∠=AEC γ∠=A ．B ．90αβγ+-=︒90βγα+-=︒C ．D ．90αγβ+-=︒180αβγ++=︒二、填空题12．如图，为的直径，点，，在上，且，，则AB O A C D E O A AD CD =A A80E ∠=︒的度数为______．ABC ∠13．如图，在菱形ABCD 中，，，点E 是射线CD 上一点，连接6BC =120C ∠=︒BE ，点P 在BE 上，连接AP ，若，则面积的最大值为__________．BAP CBE ∠=∠ABP △14．如图，是的外接圆，，的平分线交于点D ，O A Rt ABC △90BAC ∠=︒BAC ∠O A的平分线交AD 于点E ，连接BD ，若DE 的长为_______．ABC ∠O A15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．若点的,,A B P (12),(14),(21)-，，，C 横坐标和纵坐标均为整数，且，则点的坐标为________．（写出一个正12ACB APB ∠=∠C 确的坐标即可）16．如图，半圆的直径，弦，把沿直线对折，且恰好5cm AB =3cm AC =AC AD AC 落在上，则的长为__________．AB AD17．如图，内接于⊙O ，，外角的平分线交⊙O 于点ABC A 25BAC ∠=︒ABC A ABE ∠D ，若，则的度数为______．BC BD =C ∠18．如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝8，将△ABC 终点A 逆时针旋转（B 与D 为对应点）至△ADE ，旋转过程中直线BD ，CE 相交于F ，当AD 从第一次与BC 平行旋转到第二次与BC 平行时，点F 运动的路径长为 _____．19．如图，线段，以线段为斜边作，，的平分线4AB =AB Rt ABC A AC BC >C ∠与线段的垂直平分线交于点，则线段的取值范围为_________．CN AB M CM20．如图，动点M 在边长为4的正方形ABCD 内，且AM ⊥BM ，P 是CD 边上的一个动点，E 是AD 边的中点，则线段PE +PM 的最小值为_______．21．如图，在中，半径为4，将三角板的60°、90°角顶点A ，B 放在圆上，O A AC ，BC 两边分别与交于D ，E 两点，，则△ABC 的面积为______．O A BE DE22．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 经过原点，且与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，点C 在第四象限的⊙M 上，且∠AOC =60°，OC =3，则点B 的坐标是___________．三、解答题23．如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD ＝84°，AE 交⊙O 于点B ，且AB ＝OC ，求的度数A BE24．如图，D 是的边上一点，连结，作的外接圆O ，将ABC A BC AD ABD △沿直线折叠，点C 的对应点E 落在上．ADC A AD O A (1)若，如图1．30ABC ∠=︒①求的度数．ACB ∠②若，求的度数．AD DE =EAB ∠(2)若，如图2．求的长．A A ,4,2AD BE AC CD ===BC25．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠D =60°且AB =6，过O 点作OE ⊥AC ，垂足为E ．(1)填空：∠CAB =__________度；(2)求OE 的长；(3)若OE 的延长线交⊙O 于点F ，求弦AF ，AC 和FC 围成的图形（阴影部分）的面积S ．26．如图，⊙O 是以△ABC 的边AC 为直径的外接圆，∠ACB ＝54°，如图所示，D 为⊙O 上与点B 关于AC 的对称点，F 为劣弧BC 上的一点，DF 交AC 于N 点，BD 交AC 于M 点．(1)求∠DBC 的度数；(2)若F 为弧BC 的中点，求．MNON27．如图，CD 与EF 是⊙O 的直径，连接CE 、CF ，延长CE 到A ，连接AD 并延长，交CF 的延长线于点B ，过点F 作⊙O 的切线交AB 于点G ，点D 是AB 的中点．(1)求证：；EF AB ∥(2)若，，求FG 的长．3AC = 2.5CD =28．已知P 是上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别O A 有动点A 、B （不与P ，Q 重合），连接AP 、BP ．若．APQ BPQ ∠=∠（1）如图1，当，，时，求的半径；45APQ ∠=︒1AP =BP =C A （2）在（1）的条件下，求四边形APBQ 的面积（3）如图2，连接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上（不与P 、M 重合），连接ON 、OP ，若，探究直线AB 与ON 的位置关系，并说明理由．290NOP OPN ∠+∠=︒参考答案1．A【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．解：A . 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A 选项正确；B .平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B 选项错误；C 、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C 选项错误；D .圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D 选项错误.故选A.【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．2．C【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可.解：弧AE 所对的圆周角是：∠ABE 或∠ACE故选：C【点拨】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.3．C【分析】分两种情况，由圆周角定理分别求解即可．解： 菱形OABC 的顶点A 、B 、C 在圆O 上，且，60OAB ∠=︒,120,AB OC AOC \Ð=°∥如图，分两种情况：①当点P 在优弧APC 上时， 由圆周角定理得：∠APC =∠AOC =×120°=60°； 1212②当点P 在劣弧AC 上时， 由圆周角定理得：∠APC ==120°；18060︒-︒综上所述，∠APC 为60°或120°，故选：C ．【点拨】本题考查了菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．4．C【分析】首先连接CD ，由AD 是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得O A ，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案．90ACD ∠=︒20D B ∠=∠=︒解：连接CD ，∵AD 是的直径，O A ∴．90ACD ∠=︒∵，20D B ∠=∠=︒∴．18090108902070CAD D ∠=︒-︒-∠=︒-︒-︒=︒故选：C ．【点拨】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．5．C【分析】根据圆周角定理求出，再根据垂径定理和30°所对直角边是斜边的一半120AOC ∠=︒计算即可．解：连接AO 、CO∵是的外接圆，，O A ABC A 60B ∠=︒∴，120AOC ∠=︒又∵，，OA OC =OD AC ⊥∴，60AOD ∠=︒∴，30OAD ∠=︒∵OD =∴；OA =∴⊙O 的直径为故选：C ．【点拨】本题主要考查了圆周角定理和垂径定理的应用，解题的关键是结合所对30°直角边是斜边的一半计算．6．C【分析】利用等边三角形的判定与性质得出，再利用圆周角定理得出答案．60BOC ∠=︒解：如图，连接BO ，CO ，∵的边BC 等于圆的半径，ABC A ∴是等边三角形，BOC A∴，60BOC ∠=︒∴，30A ∠=︒若点在劣弧BC 上，则，A '150A '∠=︒∴或；A ∠=30°150︒故选C ．【点拨】本题主要考查了三角形的外接圆与外心以及等边三角形的判定与性质和圆周角定理，得出是等边三角形是解题的关键．BOC A 7．B【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到A A DC BC =∠BAC ＝∠DAC ＝36°，∠ABD ＝∠ACD ＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB 的度数．解：∵BC ＝CD ，∴，A A DC BC =∵∠ABD 和∠ACD 所对的弧都是，A AD ∴∠BAC ＝∠DAC ＝36°，，72BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒∵∠ABD ＝∠ACD ＝44°，∴∠ADB ＝180°−∠BAD −∠ABD ＝180°−72°−44°＝64°，故选：B ．【点拨】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．8．D【分析】由AB 是直径可得∠ACB =90°，由∠ABC =20°可知∠CAB =70°，再根据圆周角定理可得∠BDC 的度数，即可得出答案．解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵∠ABC =20°，∴∠CAB =70°，∴∠BDC =∠CAB =70°，故选：D ．【点拨】本题考查了圆周角定理，由AB 是直径求出∠ACB =90°是解题的关键．9．D【分析】连接、，根据作法可得，即可得到，MD ON A A A CM CD DN ==COM COD DON ∠=∠=∠则可判断A 选项；若，可得，推出即可求出的OM MN =60NOM ∠=︒20COD ∠=︒OCD ∠度数，则可判断B 选项；根据得到即可判断C 选项；根据A A CM DN =CDM DMN =∠∠即可判断D 选项．CM CD DN MN ++＞解：连接、，如图所示MD ON∵以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，分别以点，为O OC PQ OB D C D 圆心，长为半径作弧，交弧于点，CD PQ M N∴A A A CM CD DN==∴COM COD DON∠=∠=∠∴A 选项说法正确，不符合题意若OM MN=∵OM ON=∴MN OM ON==∴60NOM ∠=︒∵COM COD DON∠=∠=∠∴20COD ∠=︒又∵OC OD=∴18020802OCD ODC ︒-︒===︒∠∠∴B 选项说法正确，不符合题意∵A A CM DN=∴CDM DMN=∠∠∴MN CD∥∴C 选项说法正确，不符合题意∵CM CD DN MN++＞∴3MN CD＜∴D 选项说法错误，符合题意故选D ．【点拨】本题考查了作图、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、弧、弦和圆心角的关系等知识点，解决此题的关键是熟悉几何图形的性质，结合几何图形的性质将复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．10．D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A ，根据圆周角定理可判断B 选项，根据圆周角与弧的关系可判断C ，根据判断D 选项．CDE CDB ∠≠∠解：∵AB 、CD 分别是⊙O 的直径，，90CBD ∴∠=︒∴CB ⊥BD ，故A 选项正确，如图，连接，BE，且∠CDE ＝62°，DE AB ∥，62BOD CDE ∴∠=∠=︒，1312BCD BOD ∴∠=∠=︒，OC OB =Q ，31CBO BCO ∴∠=∠=︒，62AOC ∴∠=︒，62CBE CDE ∠=∠=︒ ，31ABC ABE ∴∠=∠=︒，∴AA AC AE =故B ，C 选项正确，，31,90BCD CBD ∠=︒∠=︒ ，59BDC ∴∠=︒，62CDE ∠=︒ ，CDE CDB ∴∠≠∠BD DE ，故D 选项不正确，∴≠故选D ．【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．11．B【分析】连接AC ，根据同弧所对的圆周角相等，将转化为，再根据直径所对的βγα+-ACB ∠圆周角是直角即可得到．90βγα+-=︒解：连接AC ，令，如图所示：BCD θ∠=在△BCE 中，（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），γαθ=+∵（同弧或等弧所对的圆周角相等），ACD ABD β∠=∠=，ACD ACD ACB βγααθαθ∴+-=∠++-=∠+=∠又∵AB 是直径，∴（直径所对的圆周角是直角），90ACB ∠=︒，90βγα∴+-=︒故选：B ．【点拨】本题考查了三角形外角的性质，圆周角定理，正确作出辅助线，将转化为是解题的关键．βγα+-ACB ∠12．20︒【分析】连接、，由圆周角定理得出，进而结合题意得出，由AE BD 90AEB =︒∠10AED ∠=︒圆心角、弧、弦的关系定理，即可求出的度数．10CBD DBA AED ∠∠∠===︒ABC ∠解：如图，连接、，AE BD为的直径，AB Q O A ，90AEB ∠∴=︒，80DEB ∠=︒ ，10AED AEB DEB ∠∠∠∴=-=︒，AD CD =A A，10CBD DBA AED ∠∠∠∴===︒，101020ABC ABD CBD ∠∠∠∴=+=︒+︒=︒故答案为：．20︒【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键．13．【分析】若要使的面积最大，底AB 固定，故只要AB 边上的高最大时，即三角形面积ABP △最大；可证，故可知点P 在△APB 的外接圆的劣弧上，当点P 在劣弧120APB ∠=︒A AB 的中点处，△APB 的面积最大，求出AB 边上的高即可求解．A AB 解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =6，AB //CD ，∴180,ABC BCD ∠+∠=︒∵，120C ∠=︒∴ 即，60,ABC ∠=︒60ABP PBC ︒∠+∠=∵，BAP CBE ∠=∠∴，60ABP BAP ∠+∠=︒∵，180()18060120APB ABP BAP ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒∴点P 在在△APB 的外接圆上，若要使的面积最大，底AB 固定，，故只要AB 边上的高最大ABP △120APB ∠=︒时，即三角形面积最大；此时点P 在劣弧的中点处，如图，A AB设点O 为△APB 的外接圆的圆心，OP ⊥AB 于点F ，∴，,132AF AB ==1602APF APB ∠=∠=︒∴30,PAF ∠=︒∴2AP PF =由勾股定理得，222AF PF AP +=∴22234PF PF+=∴PF∴11622APB S AB PF ∆==⨯=A即面积的最大值为ABP △故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，垂径定理等知识，正确作出辅助圆，熟练掌握知识点是解题的关键．14．1【分析】连接CD ，根据AD 、BE 分别平分∠BAC 和∠ABC ，结合圆周角定理和三角形外角性质，得出，根据直径所对的圆周角为90°，结合BD =CD ，DBE BED ∠=∠BC =定理，求出，即可求出．21BD =1DE BD ==解：连接CD ，如图所示：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，∴，A A BD CD =∴，，BD CD =CBD CAD BAD ∠=∠=∠∵为直径，且BC BC =∴∠BDC =90°，∴，22222BD DC BC +===∴，21BD =∴，1BD =∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBE ，∵，，DBE CBD CBE ∠=∠+∠BED ABE BAD ∠=∠+∠∴，DBE BED ∠=∠∴．1DE BD ==故答案为：1．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线，根据题意证明，是解题的关键．DBE BED ∠=∠15．或或或或或　写出其中一个就可以（答案不唯(52)，(3,4)(5,0)(1,2)-(3,2)-(1,0)-一）【分析】直接利用圆周角定理，以P 为圆心，PA 为半径画圆，圆上的格点即可作为C 点．解：由联想到同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，12ACB APB ∠=∠所以点在以点为圆心，为半径的圆上，进而得到满足横、纵坐标为整数的六个C P PA 点：、、、、、C (3,4)(52)，(5,0)(3,2)-(1,2)-(1,0)-【点拨】本题考查了圆周角定理，解题关键是理解题意，能利用圆找出符合条件的点．16．【分析】连接OD ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，运用圆周角定理，可证得∠DOB =∠OAC ，即证△AOF ≌△ODE ，所以OE =AF =cm ，根据勾股定理，得DE =4cm ，在直角三角形ADE 32中，根据勾股定理，可求AD 的长．解：连接OD ，AD ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ．根据题意知，∠CAD =∠BAD ，∴，A ACD BD =∴点D 是弧BC 的中点．∴∠DOB =∠OAC =2∠BAD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE =AF =cm ，32∴DE =2cm ，又∵AE ==4cm ，5322+∴AD cm ．==【点拨】在圆的有关计算中，作弦的弦心距是常见的辅助线之一．熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．17．75°【分析】先求出∠DAC 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠DBE 的度数，再通过角平分线求出∠ABE 的度数，最后通过三角形外角性质求出∠C 的度数．解：∵BC =BD ，，25BAC ∠=︒∴∠BAD =∠BAC =25°，∴∠DAC =50°，∵四边形ADBC 是圆内接四边形，∴∠DAC +∠DBC =180°，∵∠DBE +∠DBC =180°，∴∠DBE =∠DAC =50°，∵BD 平分，ABE ∠∴∠ABE =2∠DBE =100°，∴∠C =∠ABE -∠BAC =100°-25°=75°，故答案为：75°【点拨】本题考查了三角形外角的性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．18．【分析】由题意和旋转的性质可知：，可知、、、四点共圆．随45ABD ACE ∠=∠=︒A B C F 着的旋转可知，点运动的路径是 以、、、四点共圆的圆上，当AD 从第ABC A F A B C F 一次与BC 平行旋转到第二次与BC 平行时，点运动的轨迹是以为直径的半圆，求出F AC 的长就可以求出点的路径长．AC F 解：如图所示：连接， 由旋转的性质可知：和是等腰直角三角形．AF ABD △ACE A∴，45ABD ACF ∠=∠=︒∴、、、四点共圆．A B C F ∵，90ABC ∠=︒∴该圆是以为直径圆．AC ∴随着的旋转可知：点运动的轨迹是以为直径的圆上．ABC A F AC ∴当AD 从第一次与BC 平行旋转到第二次与BC 平行时，点运动的轨迹是以F 为直径的圆的周长的一半．AC由勾股定理可知：AC ==∴当AD 从第一次与BC 平行旋转到第二次与BC 平行时，点F 运动的路径长为：，12AC π⨯∴点F 运动的路径长为：．12π⨯=故答案为：．【点拨】本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理等知识．通过圆周角定理的推论找到四点共圆是解决本题的关键．19．4CM <【分析】因为AB 是直角三角形的斜边，可以看成是点C 在以AB 为直径的圆上，通过可以判断点C 在圆弧EB 之间，而在点E 、点B 位置是极限位置，求出在这两点AC BC >时CM 的值即可．解：∵AB 是直角三角形ABC 的斜边，∴点C 在以AB 为直径的圆上，∵，DM 是AB 的垂直平分线，AC BC >∴点C 在圆弧ECB 之间的圆弧上，∵CN 是∠ACB 的平分线，∴CN 与圆弧AB 相交于的中点，A AB ∵DM 是AB 的垂直平分线，∴DM 与圆弧AB 相交于的中点，A AB 所以CN 、DM 、交于一点，即M 点，A AB ∵AB =4，∴BD =DM =2，如图1，当B ，重合时，CM 最小，CCM ===因为此时三角形不存在（成为线段），所以应取CM >如图2，当点C 在E 点时，CM 最大，为圆D 的直径，∴，4CM =因为此时AC =BC ，不符题意，所以应取，4CM <所以CM 的范围为，4CM <故答案为：．4CM <<【点拨】本题考查了圆直角三角形，熟练运用直径所对的圆周角为直角、等弧对等角、垂径定理是解题关键．20．2【分析】作点E 关于DC 的对称点E '，设AB 的中点为点O ，连接OE '，交DC 于点P ，连接PE ，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE +PM 的最小值为OE '的值减去以AB 为直径的圆的半径OM ，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．解：作点E 关于DC 的对称点E '，设AB 的中点为点O ，连接OE '，交DC 于点P ，连接PE ，如图所示：∵动点M 在边长为4的正方形ABCD 内，且AM ⊥BM ，∴点M 在以AB 为直径的圆上，OM =AB =2，12∵正方形ABCD 的边长为4，∴AD =AB =4，∠DAB =90°，∵E 是AD 的中点，∴DE =AD =×4=2，1212∵点E 与点E '关于DC 对称，∴DE '=DE =2，PE =PE '，∴AE '=AD +DE '=4+2=6，在Rt △AOE '中，OE '===∴线段PE +PM 的最小值为：PE +PM =PE '+PM =ME '=OE '-OM =．2-故答案为：．2-【点拨】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，作出辅助线，熟练掌握相关性质及定理，是解题的关键．21．【分析】连结AE ，根据∠CBA =90°所对的弦得出AE 为的直径，得出AE =8，根据BE =DE ，O A 得出∠BAE =∠DAE ，可求∠BAE =∠DAE =30°，利用30°直角三角形性质求出BE =DE =，利用勾股定理求出AB 142AE ===质求出BC =BE +CE =12即可．解：连结AE ，∵∠CBA =90°，∴AE 为的直径，O A ∴AE =8，∵BE =DE ，∴，A A BE DE =∴∠BAE =∠DAE ，∵∠BAC =60°，∴∠BAE =∠DAE =30°，∴BE =DE =，AB 142AE ===∵AE 为直径，∴∠EDA =90°，∵∠A =180°-∠ABC -∠BAC =180°-90°-60°=30°，∴EC =2ED =8，∴BC =BE +CE =12，∴S △ABC =．111222AB BC ⋅=⨯=故答案为【点拨】本题考查直角所对弦和直径所对圆周角性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形面积，掌握直角所对弦和直径所对圆周角性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形面积是解题关键．22．（，）##（，）00【分析】连接AC ，AB ，BC ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理在Rt △OCH 中，先后求得OH ，CH ，AH ，再在Rt △ACH 中，求得AC ，在Rt △ABC 中，利用勾股定理构建方程求得BC ，AB ，再在Rt △AOB 中，利用勾股定理即可解决问题．解：连接AC ，AB ，BC ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，∵∠AOC =60°，则∠OCH =30°，且OC =3，∴OH =OC =，CH =，1232==∵点A (4，0)，∴AO =4，∴AH = AO - OH =，52在Rt △ACH 中，AC =，==∵∠BOA =90°，∴AB 为⊙M 的直径，∴∠BCA =90°，∵∠AOC =60°，∴∠ABC =60°，则∠BAC =30°，在Rt △ABC 中，BC =AB ，12AB 2=AC 2+BC 2，即AB 22+(AB )2，12∴AB 2=，523在Rt △AOB 中，OB 2=AB 2- AO 2=，43∴OB点B 的坐标是：（．0．【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．23．68°【分析】连接OB ，如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠EBO =2∠A ，则∠E =2∠A ，再利用∠EOD =84°得到2∠A +∠A =84°，解得∠A =28°，接着计算出∠BOE 的度数，从而得到的度数．A BE 解：连接OB ，如图，∵OB =OC ，OC =AB ，∴OB =AB ，∴∠A =∠BOA ，∴∠EBO =∠A +∠BOA =2∠A ，∵OB =OE ，∴∠E =∠EBO =2∠A ，∵∠EOD =∠E +∠A ，∴2∠A +∠A =84°，解得∠A =28°，∴∠E =∠EBO =56°，∴∠BOE =180°-∠E -∠EBO =180°-56°-56°=68°，∴的度数为68°．A BE 【点拨】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，添加辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键．24．(1)①30，②60；(2)︒︒6BC =【分析】（1）①根据折叠的性质可得，根据等弧所对的圆周角即可求解；ACD AED ∠=∠②根据等边对等角可得，根据（1）的结论可得，进而DAE DEA ∠=∠∠=∠ACB ABC 根据折叠的性质求得，进而根据即可求得，60CAE ∠=︒CAB CAE ∠-∠BAE ∠（2）根据，可得，，根据折叠的性质可得A A A A AD DE BE DE +=+A A AE DB =AE BE =，进而即可求解．4DB AE ==(1)①，，A A AD AD = 30ABC ∠=︒，30AED ABD ∴∠=∠=︒将沿直线折叠，点C 的对应点E 落在上，ADC A AD O A ；30ACB AED ∴∠=∠=︒②，AD DE =，DAE DEA ∴∠=∠，DEA DBA ∠=∠ ，30DAE ∴∠=︒将沿直线折叠，点C 的对应点E 落在上，ADC A AD O A ，30DAE DAC ∴∠=∠=︒中，，则，ABC A 30ABC ACB ∠=∠=︒180120CAB ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒，60CAE CAD EAD ∠=∠+∠=︒ ，1206060EAB CAB CAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，60EAB ∴∠=︒(2) A A AD BE=A A A A AD DEBE DE +=+∴A A AE DB∴=AE BE∴=折叠AC AE∴=4DB AE ∴==2CD = 426BC CD DB ∴=+=+=【点拨】本题考查了折叠的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧与弦的关系，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．25．(1)30(2)(3)3232π【分析】（1）利用圆周角定理解得，由直径所对的圆周角是90°，得到60B D ∠=∠=︒，最后根据三角形内角和180°解答即可；90ACB ∠=︒（2）证明是等边三角形，得到BC =3，再证明是的中位线，由中位COB △OE ABC A线的性质解答；（3）连接OC ，证明，将阴影部分的面积转化为扇形FOC 的面()AFE COE ASA ≅V V 积，再结合扇形面积公式解答．(1)解：∠D =60°60B ∴∠=︒AB 是⊙O 的直径，90ACB ∴∠=︒906030CAB ∴∠=︒-︒=︒故答案为：30；(2)∠D =60°60B ∴∠=︒OC OB=Q 是等边三角形COB ∴A 1632BC OB ∴==⨯=AB 是⊙O 的直径，90ACB ∴∠=︒OE AC⊥ OE BC∴∥是AB 中点O 是的中位线OE ∴ABC A 1322OE BC ∴==(3)连接OC ，∠CAB =30°,AO OC =Q 30ECO ∴∠=︒1111120302224FAC FOC AOC ∠=∠=⨯∠=⨯︒=︒Q FAE ECO∴∠=∠AC OF⊥Q 90,FEA OEC AE CE ∴∠=∠=︒=()AFE COE ASA ∴≅V V AFE COES S ∴=V V ．26033===3602FOC S S ππ⨯∴阴影扇形【点拨】本题考查扇形的面积计算、含30°角的直角三角形、圆周角定理、垂径定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．26．(1)36°；(2)．12【分析】（1）利用对称的性质证明BD ⊥AC ，所以∠DBC 与∠ACB 互余，即可求出∠DBC ；（2）利用等弧所对的圆周角等于圆心角的一半和三角形内角和为180°，求出∠BDF 、∠OBM 的度数并证明其相等，再根据证明△BOM ≌△DNM (ASA )，从而得到OM =NM ，即可求出．12MN ON =解：(1)∵点B 、点D 关于AC 对称，∴BD ⊥AC ，∴∠DBC +∠ACB =90°，∵∠ACB =54°，∴∠DBC =90°-54°=36°，故∠DBC 的度数为36°．(2)连接OF ，∵点F 是的中点，A BC ∴∠BOF =∠COF =2∠BDF ，∵OC =OB ，∴∠OBC =∠OCB =54°，∴∠OBM =∠OBC -∠DBC =54°-36°=18°，∠BOC =180°-2×54°=72°，∴∠BOF =∠BOC ==36°，121722⨯︒∴∠BDF ===18°，12BOF ∠1362⨯︒∴∠BDF =∠OBM ，∵点B 、点D 关于AC 对称，∴DM =BM ，∴在△BOM 和△DNM 中，OBM NDM BM DMOMB NMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOM ≌△DNM ，∴NM =OM ，∴．12MN MN ON OM NM ==+【点拨】本题考查了轴对称、圆和全等三角形，熟练利用对称点连线与对称轴垂直，圆心角与圆周角的关系以及全等三角形的判定能有效帮助解此题．27．(1)见分析；(2)65【分析】（1）连接DE ，根据CD 和EF 都是⊙O 的直径得到∠DEA =∠ECF =90°，根据直角三角形的性质得到CD =AD =BD ，利用等腰三角形三线合一的性质推出∠ADE =∠CDE ，进而得到∠ADE =∠OED ，即可得到；EF AB ∥（2）根据直角三角形斜边上的中线求得,勾股定理求得,由（1）25AB CD ==4BC =可得,根据切线的性质可得，根据，代入数值，即可12EF AB =FG AB ⊥sin FG AC B BF AB ==得到FC ．解：(1)证明：连接DE ，∵CD 和EF 都是⊙O 的直径，∴∠DEA =∠ECF =90°，∵D 是AB 的中点，∴CD =AD =BD ，∴∠ADE =∠CDE ，∵OD =OE ，∴∠OED =∠CDE ，∴∠ADE =∠OED ，∴；EF AB ∥(2)连接DF ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DFC =90°，∴∠DFC =∠FCE =∠CED =90°，∴四边形CEDF 是矩形，∴FC =DE ，DE ∥BC ，∴，1AE AD EC DB ==∴AE =CE ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴，12DE BC =∵AB =2CD =5，AC =3，∴，4BC ===∴FC =2．422BF BC FC ∴=-=-=是的切线，FG O A GF EF∴⊥ EF AB∥FG AB∴⊥90BGF BCA ∴∠=∠=︒∴sin FG AC B BF AB==∴325FG =65FG ∴=【点拨】此题考查了圆周角定理，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．28．（1）；（2；（3）；见分析3294//AB ON 【分析】（1）连接AB ，由已知得到∠APB =∠APQ +∠BPQ =90°，根据圆周角定理证得AB 是⊙O 的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；（2）证明是等腰直角三角形，得出ABQ △AQ BQ ==可得结论；ABP ABQ APBQ S S S ∆∆=+四边形（3）连接OA 、OB 、OQ ，由∠APQ =∠BPQ 证得，即可证得OQ ⊥AB ，然后»»AQ BQ =根据三角形内角和定理证得∠NOQ =90°，即NO ⊥OQ ，即可证得AB ∥ON ．解：（1）连接AB ，如图1，∵，45APQ BPQ ∠=∠=︒∴，90APB APQ BPQ ∠=∠+∠=︒∴AB 是的直径，O A∴，3AB ===∴的半径为；O A 32（2）连接AQ ，BQ ，如图2，∵90APB ∠=︒∴18090AQB APB ∠=︒-∠=︒∵45APQ BPQ ∠=∠=︒∴45ABQ BAQ ∠=∠=︒∴是等腰直角三角形ABQ △∵，3AB =∴3AQ BQ AB ====∴1191224ABP ABQ APBQ S S S ∆∆=+=⨯⨯=四边形（3），理由如下：连接OQ ，如图3，//AB ON∵，APQ BPQ ∠=∠∴，»»AQ BQ =∴OQ AB⊥∵，OP OQ =∴，OPN OQP ∠=∠∵，180OPN OQP PON NOQ ∠+∠+∠+∠=︒∴，2180OPN PON NOQ ∠+∠+∠=︒∵，290NOP OPN ∠+∠=︒∴，90NOQ ∠=︒∴NO OQ⊥∴//AB ON【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．。

中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项（三）1．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．2．已知AB为圆O的直径，C为圆周上不同于A、B两点的一点，CH为△ABC的AB边上的高线，且有tan A+tan B﹣4tan A tan B＝0．若△ABC边AB上的中线长为1：（I）求圆O的面积；（Ⅱ）求sin∠HCO；（Ⅲ）若线段BC上一点T满足2CT＝3TB，求点T到直线CO的距离．3．如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是半圆的中点，BE⊥CD交CD的延长线于点E，tan∠CAB＝2．（1）求证：CD＝DE；（2）求sin∠ABE的值．4．如图，A，B，C是⊙O上的点，sin A＝，半径为5，求BC的长．5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝∠D．过点C作CH⊥AB交DA的延长线于点E，设垂足为H．以CE为直径作⊙O分别交AD，BC于点F，G，连结CF，若CF＝CH．（1）求证：四边形ABCD为菱形．（2）若tan B＝，OH＝9，求AE的长．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA 为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．7．如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O 于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称，作BE⊥l于点E，连接AD，DE（1）依题意补全图形；（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．8．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．（1）连接AD，求∠OAD；（2）点F在上，∠CDF＝45°，DF交AB于点N．若DE＝，求FN的长．9．如图所示，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点A，速度为1cm/s，若AB＝10cm，点O到AC的距离为4cm．（1）求弦AC的长；（2）问经过多长时间后，△APC是等腰三角形．10．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上的一点，AF，CD的延长线相交于点G．（1）若⊙O的半径为，且∠DFC＝45°，求弦CD的长．（2）求证：∠AFC＝∠DFG．参考答案1．解：（1）连接OD．∵DC⊥OA，AM＝MO，∴DA＝DO，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°．（2）连接OC，CF，EC．∵OA⊥CD，∴＝，CM＝DM，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，∵∠CDE＝45°，∴CF＝DF，FM＝CM＝DM＝3，DF＝FC＝3，∵∠CED＝∠COD＝60°，∠CFE＝90°，∴EF＝CF＝，∴DE＝EF+DF＝+3．2．解：（Ⅰ）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵△ABC边AB上的中线长为1，∴OC＝1，∴⊙O的面积为π．（Ⅱ）设AH＝b，BH＝c，CH＝a，∵tan A+tan B﹣4tan A tan B＝0，tan A＝，tan B＝，∴（+）＝4×，∵b+c＝2，∴a＝，在Rt△COH中，OH＝＝＝，∴sin∠HCO＝＝．（Ⅲ）作TK⊥OC于K．∵∠COB＝60°或120°，∴BC＝1或，∵＝，∴CT＝BC，∴d＝CK＝CT•sin60°＝×1×＝或d＝CK＝CT•sin30°＝××＝，∴T到CO的距离d＝．3．解：（1）连接BC、BD、OD，∵，∴∠DOB＝90°，∴∠BCE＝∠DOB＝45°，∴CE＝BE，∵∠BDE＝∠A，∴tan∠BDE＝＝2，BE＝2DE，∴CD＝DE．（2）方法一：连接OE、BC、OC，设OE、BC交于点F，∵OB＝OC，CE＝BE，∴OE垂直平分BC，设CD＝DE＝2x，则BE＝4x，∴BC＝BE＝4x，BF＝EF＝BE＝2x，∵tan∠CAB＝＝2，∴AC＝2x，∴OF＝AC＝x，∴OE＝OF+EF＝3x，OB＝＝x，作EM⊥OB于点M，∵OB•EM＝OE•BF，∴EM＝＝，∴sin∠ABE＝＝．方法二：连接OC、OE，过点O作OH⊥CD于点H，则CH＝DH＝CD＝DE，易证△OBE≌△OCE，∴∠ABE＝∠OCE，∠OEB＝∠OEC＝45°，设CH＝DH＝x，则CD＝DE＝2x，OH＝EH＝3x，∴OC＝x，∴sin∠ABE＝sin∠OCH＝．4．证明：方法Ⅰ：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC，如图1∵OB＝OC，且OD⊥BC，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOD＝∠A，sin A＝sin∠BOD＝，∵在Rt△BOD中，∴sin∠BOD＝＝，∵OB＝5，∴＝，BD＝4，∵BD＝CD，∴BC＝8．方法Ⅱ：作射线BO，交⊙O于点D，连接DC，如图2．∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠A，∴sin A＝sin∠BDC＝，∵在Rt△BDC中，∴sin∠BDC＝＝．∵OB＝5，BD＝10，∴＝，∴BC＝8．5．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠D+∠DAB＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B+∠DAB＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE是直径，CH⊥AB，∴∠CFD＝90°＝∠CHB，∵CF＝CH，∴△CFD≌△CHB（AAS），∴CB＝CB，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：由（1）可知，BC∥AD，CF⊥AD，∴BC⊥CF，∴∠B＝∠BAE，∵BH＝DF，AB＝AD，∴AF＝AH，∵tan∠B＝＝tan∠BAE，∴可以假设AH＝4a，则HE＝3a，AE＝5a，AF＝4a，∵∠E＝∠E，∠AHE＝∠EFC＝90°，∴△EAH∽△ECF，∴＝＝，∴＝＝∴CF＝12a，CE＝15a，∵OH＝9，∴15a＝2（3a+9），∴a＝2，∴AE＝5a＝10．6．解：（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵OH⊥AB，∴AH＝HB＝1，∴OA＝AH÷cos30°＝．（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．∵＝，∴OP⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAH＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP是等边三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ＝QA＝OA＝．（3）连接PC．在Rt△ABC中，AC＝BC＝，∵AQ＝QO＝AO＝．∴QC＝AC﹣AQ＝﹣＝，∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA，∴PQ＝1，∴tan∠ACP＝＝＝．7．解：（1）如图，（2）∠BAD＝∠BED．理由如下：连结BC、CD，如图，∴AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵直线l与MA所在直线关于直线MD对称，∴MD平分∠EMC，∴BC＝BE，∴点C与点E关于直线MD对称，∴△BCD≌△BED，∴∠BCD＝∠BED，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BED．8．解：（1）如图1，连接OD，∵是⊙的直径，于点∴AB垂直平分CD，∵M是OA的中点，∴，∴，∴∠DOM＝60°，∵AO＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠OAD＝60°；（2）如图2，连接CF，CN，∵OA⊥CD于点M，∴点M是CD的中点，∴AB垂直平分CD，∴NC＝ND，∵∠CDF＝45°，∴∠NCD＝∠NDC＝45°，∴∠CND＝90°，∴∠CNF＝90°，由（1）可知，∠AOD＝60°，∴∠ACD＝30°，又∵DE⊥CA交CA的延长线于点E，∴∠E＝90°，∵∠ACD＝30°，DE＝．∴CD＝2DE＝2，∴CN＝CD•sin45°＝2，由（1）可知，∠CAD＝2∠OAD＝120°，∴∠F＝180°﹣120°＝60°，在Rt△CFN中，FN＝．9．解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，易知AO＝5，OD＝4，从而AD＝＝3，∴AC＝2AD＝6；（2）设经过t秒△APC是等腰三角形，则AP＝10﹣t①如图2，若AC＝PC，过点C作CH⊥AB于H，∵∠A＝∠A，∠AHC＝∠ODA＝90°，∴△AHC∽△ADO，∴AC：AH＝OA：AD，即AC：＝5：3，解得t＝s，∴经过s后△APC是等腰三角形；②如图3，若AP＝AC，由PB＝x，AB＝10，得到AP＝10﹣x，又∵AC＝6，则10﹣t＝6，解得t＝4s，∴经过4s后△APC是等腰三角形；③如图4，若AP＝CP，P与O重合，则AP＝BP＝5，∴经过5s后△APC是等腰三角形．综上可知当t＝4或5或s时，△APC是等腰三角形．10．解：（1）如图1，连接OD，OC，∵直径AB⊥CD，∴，DE＝CE，∴，又∵在Rt△DEO中，，∴DE＝3，∴CD＝6；（2）证明：如图2，连接AC，∵直径AB⊥CD，∴＝，∴∠ACD＝∠AFC，∵四边形ACDF内接于⊙O，∴∠DFG＝∠ACD，∴∠DFG＝∠AFC．。

圆周角定理（原卷）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.题型1：圆周角定理求角度1.1．如图，点A，B，C在⊙O上，⊙ACB=35°，则⊙AOB的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．55°【变式1-1】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=110°，那么∠ACB的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°【变式1-2】如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若弧CE的度数是92°，则⊙C的度数是（）A．46°B．88°C．24°D．23°题型2：圆周角定理的有关证明2.已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．【变式2-1】如图，在⊙ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F.求证：AE=BF.【变式2-2】如图，A、B、C、D四点共圆，且⊙ACB＝⊙ACD＝60°．求证：⊙ABD是等边三角形．圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．题型3：推论1-同弧或等弧所对圆周角相等3.如图，在⊙O中，AB＝AC，若⊙B＝70°，则⊙A等于（）A．70°B．40°C．20°D．140°【变式3-1】如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD=CD，∠B=50°，则∠DAE的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°̂=BĈ=CD̂，OC与AD相交于点E．【变式3-2】如图，已知在⊙O中，AB求证：（1）AD∥BC；（2）四边形BCDE为菱形．题型4：推论2-直径所对圆周角是90°4.如图，AB是⊙O的直径．若⊙BAC＝43°，那么⊙ABC的度数是（）A．43°B．47°C．53°D．57°【变式4-1】如图，AB为⊙O的直径，⊙BED＝20°，则⊙ACD的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°【变式4-2】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊙AB交AC于点D．若⊙A＝30°，OD＝2．求CD 的长．题型5：圆周角定理多结论问题5.有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-1】如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点P，使得PA>AB；②若PB=2PA，则PB=2PA；③∠PAB不是直角；④∠POB=2∠OPA．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．③④C．②③④D．①②④【变式5-2】如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，则下列说法中正确的有（）①点C、O、B一定在一条直线上；②若点E、点D分别是CA、AB的中点，则OE=OD；③若点E是CA的中点，连接CO，则⊙CEO是等腰直角三角形．A．3个B．2个C．0个圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．题型6：圆内接四边形的性质6.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=105°，则∠α=（）A．150°B．130°C．105°D．75°【变式6-1】如图，ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC=125°，那么∠AOC等于（）A．125°B．120°C．110°D．130°【变式6-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为BD的中点．若⊙DCE ＝110°，求⊙BAC的度数．题型7：圆周角定理综合7.如图，已知⊙O是等腰⊙ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是AB上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD.（1）求证：DA平分⊙EDC.（2）若⊙EDA＝72°，求BC的度数.【变式7-1】如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD=BD.连接AC 并延长，与BD的延长线相交于点E.（1）求证：CD=DE；（2）若AC=6，半径OB=5，求BD的长.【变式7-2】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，此时BD//EG.（1）求证：AB=BF；（2）当F为BC的中点，且AC=3时，求⊙O的直径长.一、单选题1．如图，点A，B，C在⊙O上，⊙BAC=35°，则⊙ COB的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．35°2．如图，⊙ABC内接于⊙O，连接OB、OC，若⊙BAC=64°，则⊙OCB的度数为（）A．64°B．36°C．32°D．26°3．如图，⊙O是△ABP的外接圆，半径r=2，∠APB=45∘，则弦AB的长为（）A．√2B．2C．2 √2D．44．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若⊙DAB=50°，则⊙ABC 的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°5．如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，⊙AOB＝96°，则⊙ACB的度数为（）A．192°B．120°C．132°D．l506．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC的大小是（）A．60∘B．45∘C．30∘D．15∘二、填空题7．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙D＝50°，则⊙ABC的度数为.8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，如果⊙A=15°，弦CD=4，那么AB的长是.9．已知点A、B、C、D均在圆上，AD⊙BC，AC 平分⊙BCD，⊙ADC=120°，则⊙ABC的度数为．10．如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA=30°，点A的坐标为(2,0)，则点D的坐标为.11．如图，点A、B、C是半径为4的⊙O上的三个点，若⊙BAC＝45°，则弦BC的长等于．三、解答题12．如图，⊙ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，⊙ADC＝68°，求⊙BAC.13．已知BC为半圆O的直径，AB=AF，AC交BF于点M，过A点作AD⊙BC于D，交BF于E，求证：AE=BE.14．如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊙AB于点E，BD交CE于点F.（1）求证：CF=BF（2）若CD=6，CA=8，求AE的长15．如图，⊙ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一个动点（不与A、B重合）．设⊙OAB=α，⊙C=β（1）当α=35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．。

第10讲 圆周角定理【思维入门】1．如图3－10－1，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ， 连结BC ，BD ，下列结论中不一定正确的是 ( ) A ．AE ＝BE B.AD ︵＝BD ︵ C ．OE ＝DED ．∠DBC ＝90°图3－10－1 图3－10－2 图3－10－32．如图3－10－2，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为( )A.3 B ．3 C ．23D ．43．如图3－10－3，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连结AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是( )A ．44°B ．54°C ．72°D ．53° 4．如图3－10－4，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°图3－10－4 图3－10－55．如图3－10－5，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，连结OD ，OE ，若∠A ＝65°，则∠DOE ＝____°.6．如图3－10－6，点A ，B ，D ，E 在圆上，弦AE 的延长线与弦BD 的延长线相交于点C.给出下列三个条件：(1)AB是圆的直径；(2)D是BC的中点；(3)AB＝AC.请在上述条件中选择两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明．图3－10－6【思维拓展】7．如图3－10－7，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结E C.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为()A．25B．8C．210D．213图3－10－7 图3－10－88．如图3－10－8，半圆O的直径AB＝10 cm，弦AC＝6 cm，AD平分∠BAC，则AD 的长为()A．4 5 cm B．3 5 cm C．5 5 cm D．4 cm9．如图3－10－9，已知在△ABC中，AB＞AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F.求证：AB－AC＝2AF.图3－10－910．如图3－10－10，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝120°，求CA ＋CBCD 的值．图3－10－10【思维升华】11．如图3－10－11，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2， BC ＝1，若以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ， 则ADDB ＝____.12．如图3－10－12，已知四边形ABCD 内接于一圆， AB ＝BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM ＝DC ＋CM .图3－10－1213．如图3－10－13，在边长为1的正方形ABCD 的边AB 上任取一点E (A ，B 两点除外)，过E ，B ，C三点的圆与BD 相交于点H ，与正方形ABCD 的外角平分线相交于点F ，与CD 相交于点G .(1)求证：四边形EFCH 是正方形；(2)设BE ＝x ，△CGH 的面积是y ，求y 与x 的函数解析式，并求y 的最大值．图3－10－13答案：第10讲 圆周角定理【思维入门】1．如图3－10－1，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ， 连结BC ，BD ，下列结论中不一定正确的是 ( C ) A ．AE ＝BEB.AD ︵＝BD ︵C ．OE ＝DED ．∠DBC ＝90° 2．如图3－10－2，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝60°， AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为 ( C )图3－10－2A.3B ．3C ．23D ．43．如图3－10－3，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连结AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是 ( B )图3－10－3 A ．44° B ．54° C．72° D ．53°4．如图3－10－4，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于 ( C )图3－10－4 A ．55° B ．60° C ．65° D ．70°【解析】 连结BD ，如答图，第4题答图∵点D 是AC 弧的中点， 即CD ︵＝AD ︵，∴∠ABD ＝∠CBD ， 而∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＝90°－25°＝65°.5．如图3－10－5，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交 AB ，AC 于点D ，E ，连结OD ，OE ，若∠A ＝65°，则∠DOE ＝__50__°.6．如图3－10－6，点A ，B ，D ，E 在圆上，弦AE 的延长线与弦BD 的延长线相交于点C .给出下列三个条件：(1)AB 是圆的直径；(2)D 是BC 的中点；(3)AB ＝AC .请在上述条件中选择两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明．图3－10－6解：(1)(2)为已知条件，(3)为结论． 证明：如答图，连结AD ，第6题答图∵AB 是圆的直径， ∴AD ⊥BC ，∵D 是BC 的中点， ∴AD 垂直平分BC ， ∴AB ＝AC .图3－10－5(1)(3)作为条件，(2)作为结论，证明：如答图，连结AD，∵AB是圆的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC的中点(等腰三角形三线合一)．(2)(3)作为条件，(1)作为结论．证明：如答图，连结AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AB是圆的直径．【思维拓展】7．如图3－10－7，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结E C.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为(D)图3－10－7A．25B．8C．210D．213【解析】∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝12AB＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r－2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r－2，∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，连结BE，如答图，第7题答图∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝AE2－AB2＝102－82＝6，在Rt △BCE 中， ∵BE ＝6，BC ＝4，∴CE ＝BE 2＋BC 2＝62＋42＝213.故选D.8．如图3－10－8，半圆O 的直径AB ＝10 cm ，弦AC ＝6 cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为 ( A ) A ．4 5 cmB ．3 5 cmC ．5 5 cmD ．4 cm【解析】 如答图，连结OD ，OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF⊥AC 于F ，∵∵CAD ＝∵BAD (角平分线的性质)， ∴∠DOB ＝∠OAC ＝2∠BAD ， ∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ＝12AC ＝3 cm ，在Rt∵DOE 中，DE ＝OD 2－OE 2＝4 cm ， 在Rt∵ADE 中，AD ＝DE 2＋AE 2＝4 5 cm.故选A.9．如图3－10－9，已知在△ABC 中，AB ＞AC ，∠A 的外角平分线交△ABC 的外接圆于点E ，过E 作EF ⊥AB ，垂足为F .求证：AB －AC ＝2AF .图3－10－9证明：如答图，在AB 上取D 使FD ＝AF ，连结ED 并延长交圆于G ，连结BG ，第8题答图第9题答图则有∠1＝∠2＝∠3，∠1＝∠G . ∴∠3＝∠G ，∴BG ＝BD ，又∵∠BAC ＝180°－2∠1＝180°－(∠1＋∠2)＝∠AEG ， ∴BGC ︵＝ACG ︵，∴AC ︵＝BG ︵，即AC ＝BG .∴AB －AC ＝AB －BD ＝AD ＝2AF .10．如图3－10－10，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝120°，求CA ＋CBCD 的值．图3－10－10解：如答图，连结AD ，DB ，作BE ∥CD 交AC 延长线于E .第10题答图∵CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝120°，∴∠E ＝∠ACD ＝60°，∠ECB ＝60°，AD ︵＝DB ︵， ∴△BEC 为等边三角形，AD ＝BD ， ∴BE ＝EC ＝CB ，∵∠ADB ＝180°－∠ACB ＝∠ECB ＝60°，AD ＝BD ， ∴△ADB 为等边三角形， ∵∠EBC ＝∠ABD ＝60°， ∴AD ＝DB ＝AB ，在△ABE 与△DBC 中，⎩⎨⎧AB ＝DB ，∠ABE ＝∠DBC ，BE ＝BC ，∴△ABE ≌△DBC (SAS )，∴CD ＝AE ＝CA ＋CE ＝CA ＋CB ，∴CA ＋CB CD ＝1.【思维升华】11．如图3－10－11，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2， BC ＝1，若以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ， 则AD DB ＝__32__.12．如图3－10－12，已知四边形ABCD 内接于一圆， AB ＝BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM ＝DC ＋CM .图3－10－12证明：在MA 上截取ME ＝MC ，连结BE ，如答图， ∵BM ⊥AC ，而ME ＝MC ，∴BE ＝BC ，∴∠BEC ＝∠BCE ， ∵AB ＝BD ，∴∠ADB ＝∠BAD ，第12题答图而∠ADB ＝∠BCE ， ∴∠BEC ＝∠BAD ，又∵∠BCD ＋∠BAD ＝180°，∠BEA ＋∠BEC ＝180°， ∴∠BEA ＝∠BCD ，而∠BAE ＝∠BDC ，AB ＝BD ， ∴△ABE ≌△DBC ，∴AE ＝DC ， ∴AM ＝AE ＋ME ＝DC ＋CM . 13．如图3－10－13，在边长为1的正方形ABCD 的边AB 上任取一点E (A ，B 两点除外)，过E ，B ，C 三点的圆与BD 相交于点H ，与正方形ABCD 的外角平分线相交于点F ，与CD 相交于点G .(1)求证：四边形EFCH 是正方形；(2)设BE ＝x ，△CGH 的面积是y ，求y 与x 的函数解析式，并求y 的最大值．图3－10－11图3－10－13解：(1)∵E，B，C，H，F在同一圆上，且∠EBC＝90°，∴∠EHC＝90°，∠EFC＝90°.又∵∠FBC＝∠HBC＝45°，∴CF＝CH.∵∠HBF＋∠HCF＝180°，∴∠HCF＝90°.∴四边形EFCH是正方形．(2)∵∠GHB＋∠GCB＝180°，∴∠GHB＝90°，由(1)知∠CHE＝90°，∴∠CHG＋∠CHB＝∠EHB＋∠CHB.∴∠CHG＝∠EHB.∴CG＝BE＝x，∴DG＝DC－CG＝1－x.∴△CGH中，CG边上是高为12DG＝12(1－x)．∴y＝12x.12(1－x)＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋116.当x＝12时，y有最大值116.。

圆周角定理的综合运用一 巧作辅助线求角度教材P89习题24.1第7题)求证：圆内接平行四边形是矩形．已知：如图1，已知平行四边形ABC D 是⊙O 的内接四边形．求证：平行四边形ABCD 是矩形．图1证明：∠A ＋∠C ＝180 °(圆内接四边形对角互补)又∠A ＝∠C (平行四边形对角相等)∴∠A ＝∠C ＝90 °所以圆内接平行四边形是矩形．如图2，△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于D ，∠A ＝50°，则∠OCD 的度数是( A )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°图2变形1答图【解析】 如图，连接OB ，∵∠A ＝50°，∴∠BOC ＝2∠A ＝100°.∵OB ＝OC ，∴∠OCD＝∠OBC ＝180°－∠BOC 2＝40°.如图3，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝__60°__．图3变形2答图【解析】 如图，连接DO 并延长，∵四边形OABC 为平行四边形，∴∠B ＝∠AOC .∵∠AOC ＝2∠ADC ，∴∠B ＝2∠ADC .∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠B ＋∠ADC ＝180°，∴3∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝60°，∴∠B ＝∠AOC ＝120°.∵∠1＝∠OAD ＋∠ADO ，∠2＝∠OCD ＋∠CDO ，∴∠OAD ＋∠OCD ＝(∠1＋∠2)－(∠ADO ＋∠CDO )＝∠AOC －∠ADC ＝120°－60°＝60°.[2012·青岛]如图4，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝60°，则∠ABC 的度数是__150°__．【解析】 在优弧ADC ︵上取点D ，连接AD ，CD ，∵∠AOC ＝60°，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝30 °. ∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝180°－∠ADC ＝180°－30°＝150°.故答案为150°.图4图5如图5，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝55°，则∠BCD 的度数为( A )A ．35°B ．45°C ．55°D ．75°如图6，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC ＝∠APC ＝60°.(1)求证：△ABC 是等边三角形；(2)求圆心O 到BC 的距离OD .解：(1)在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠APC ＝60°，又∵∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC 是等边三角形；(2)如图，连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠BAC ＝120°.∵OB ＝OC ，OD ⊥BC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝12(180°－∠BOC )＝30°.在Rt △BOD 中，∠ODB ＝90°，∠OBC ＝30°，∴OD ＝12OB ＝12×8＝4.图6变形5答图二 圆周角定理与垂径定理的综合教材P89习题24.1第5题)如图7，OA ⊥BC ，∠AOB ＝50°，试确定∠ADC 的大小．图7解：∵OA ⊥BC ，∴AC ︵＝AB ︵，∴∠ADC ＝12∠AOB ＝25°. 【思想方法】 垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径定理求解．如图8，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA ＝30°，OC ＝3 3 cm ，则弦AB 的长为( A )图8A ．9 cmB ．3 3 cmC.92 cmD.332cm 解：∵∠CBA ＝30°，∴∠AOC ＝2∠CBA ＝60°，∵AB ⊥OC ，∴∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝30°，∴OD ＝12OA ＝12×33＝323(cm)， 由勾股定理得：AD ＝OA 2－OD 2＝4.5 cm ，∵AB ⊥OC ，OC 过O ，∴AB ＝2AD ＝9(cm)，故选A.如图9，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC .若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为( D )图9 变形2答图A ．215B ．8C ．210D ．213【解析】 ∵⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，AB ＝8，∴AC ＝BC ＝4，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r －2，在Rt △AOC 中，∵AC ＝4，OC ＝r －2，∴OA 2＝AC 2＋OC 2，即r 2＝42＋(r －2)2，解得r ＝5，∴AE ＝2r ＝10，连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，在Rt △ABE 中，∵AE ＝10，AB ＝8，∴BE ＝AE 2－AB 2＝102－82＝6，在Rt △BCE 中，∵BE ＝6，BC ＝4，∴CE ＝BE 2＋BC 2＝62＋42＝213.故选D.如图10，半圆O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6 cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为( A )图10 变形3答图A ．4 5 cmB ．3 5 cmC ．5 5 cmD ．4 cm【解析】 连接OD ，OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵∠CAD ＝∠BAD (角平分线的性质)，∴CD ︵＝BD ︵，∴∠DOB ＝∠OAC ＝2∠BAD ，∴△AOF ≌△OED ，∴OE ＝AF ＝12AC ＝3 cm ， 在Rt △DOE 中，，DE ＝OD 2－OE 2＝4 cm ，在Rt △ADE 中，AD ＝DE 2＋AE 2＝4 5 cm ，故选A.如图11，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB ＝30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线E F 与⊙O 交于G ，H 两点，若⊙O 的半径为7，则GE ＋FH 的最大值为__10.5__．图11 变形4答图【解析】 如图，当GH 为⊙O 的直径时，GE ＋FH 有最大值．∵⊙O 的半径为7，∴GH ＝14.连接OA ，OB .∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝60°，∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形， ∴AB ＝OA ＝OB ＝7，∵点E ，F 分别是AC ，B C 的中点，∴EF ＝12AB ＝3.5， ∴GE ＋FH ＝GH －EF ＝14－3.5＝10.5.故答案为10.5.如图12，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB ＝40°，∠APD ＝65°.(1)求∠B 的大小；(2)已知AD ＝6，求圆心O 到BD 的距离．图12变形5答图解：(1)∵∠APD ＝∠C ＋∠CAB ，∴∠C ＝∠APD －∠CAB ＝65°－40°＝25°.∴∠B ＝∠C ＝25°.(2)如图，过点O 作OE ⊥BD 于点E ，则DE ＝BE .又∵AO ＝BO ，∴OE ＝12AD ＝12×6＝3.∴圆心O 到BD 的距离为3.如图13所示，AB 是⊙O 的一条弦，E 在⊙O 上，设⊙O 的半径为4 cm ，AB ＝4 3 cm ，(1)求圆心O 到弦AB 的距离OD ；(2)求∠AEB 的度数．解：(1)连接OA ，OB .∵OD ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝2 3 cm. 在Rt △ODA 中，OA ＝4 cm ，∴OD ＝OA 2－AD 2＝16－12＝2 (cm)；(2)Rt △ODA 中，OA ＝4 cm ，OD ＝2 cm ，∴∠OAD ＝30°，∴∠AOD ＝60°.∵OA ＝OB ，OD ⊥AB ，∴∠AOB ＝2∠AEB ＝120°，∴∠AEB ＝12∠AOB ＝60°.图13图14如图14，已知在⊙O 中，AB ＝43，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A ＝30°，求BD 及OF 的长．解：∵AB ＝43，AC ⊥BD 于F ，∠A ＝30°，∴BF ＝12AB ＝43×12＝23，AF ＝AB 2－BF 2＝（43）2－（23）2＝6. ∵AC 是⊙O 的直径，∴BD ＝2BF ＝2×23＝4 3.设OF ＝x ，则OB ＝AF －OF ＝6－x ，在Rt △OBF 中，OB 2＝BF 2＋OF 2，即(6－x )2＝(23)2＋x 2，解得x ＝2，即OF ＝2.答：BD 的长是43，OF 的长是2.如图15，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，以OA 为直径的⊙D 与AC 相交于点E . (1)若AC ＝16，求AE 的长．(2)若C 点在⊙O 上运动(不包括A ，B 两点)，则在运动的过程中AC 与AE 有何特殊的数量关系？请把你探究得到的结论填写在横线上____________________________________________________________________．图15变形8答图解：(1)如图，连接OE ，∵AO 是⊙D 的直径，∴∠OEA ＝90°，∴OE ⊥AC .∵OE 过⊙O 的圆心O ，∴AE ＝CE ＝12AC ＝12×16＝8. (2)若C 点在⊙O 上运动(不包括A ，B 两点)，则在运动的过程中AE ＝12AC .。