高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学

(

(

(

x 2 + y 2 ≤ 1, x

+ y }

(

1

- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim

= lim 2

=- t →0 t →0

习题 8-1

1. 求下列函数的定义域：

(1) z =

解： x -

x - y ；

y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D =

{x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }

x

(2) z = ln( y - x) +

；

1 - x

2 - y 2

解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D =

{ x , y ) y > x ≥ 0 且 x

2

+ y 2 < 1

}

(3) u = R 2 - x 2 - y 2

- z 2 +

1

x 2 + y 2

+ z 2 - r 2

(R > r > 0) ；

解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒

⇒ D = {

x , y , z ) r 2

< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2

}

(4) u = arccos

z

x 2 + y 2

。

解：

z

2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤

x 2 + y 2 且 x 2 + y 2

≠ 0

2. 求下列多元函数的极限:：

(1) lim ln( x + e y )

x →1 x 2 + y 2

y →0

；

解： lim

x →1

y →0

ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)

1

= ln 2

(2) lim 2 - xy + 4

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：

A (2，1,-6)，

B (0，2，0)，

C (-3，0,5)，

D (1，-1，-7).

解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则

(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).

(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).

同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).

3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即

(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.

解之得z =11，故所求的点为M (0，0，

149

). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2

1 / 28

习题8-1

1. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ；

解：0,0x y D ≥≥⇒=

(

){,0,x y y x ≥≥

(2) 2

2

1)ln(y

x x

x y z --+

-=；

解：2

2

0,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}

2

2,01x y y x x

y >≥+

(3) )0(1

2

2

2

2

2222>>-+++

---=

r R r

z y x z y x R u ；

解：2

2

2

2

2

2

2

2

0R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0

D ⇒=

(){}

2

2222,,x y z r

x y z R <++≤

(4) 2

2

arccos

y

x z u +=。

221,0x y D ≤+≠⇒=

(

){}

22,0x y z x y ≤

+≠

2. 求下列多元函数的极限:： (1) 2

2

y 0

1)e ln(lim

y

x x y x ++→→；

解：y 1ln 2x y →→=

= (2) xy xy y x 4

2lim

0+-→→；

解：令t=xy

，1

2

0000

1(4)1

2lim 14x t t y t -→→→→-+===-

2 / 28

(3) x xy

y x sin lim

5

0→→；

解：0050

sin sin lim

5lim 55x x y y xy xy

x x →→→→==

(4) 2

2x 2

2220

0e

)()cos(1lim

y y x y x y x ++-→→；

解：2222222

2

222x 001cos()1

1cos()2(sin ),lim 20022()e

y x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xy

高等数学练习题 第七章 多元函数微积分

系 专业 班 姓名 学号 第一节 空间解析几何基础知识 第二节 多元函数的概念

一．选择题

1．方程22480x y z +-+=表示 （D ） （A ）平面 （B ）柱面 （C ）球 （D ）抛物面 2．函数)

ln(1y x z +=

的定义域 （ C ）

（A ）0>+y x （B ）0)ln(≠+y x （C ）1>+y x （D ）1≠+y x 3．设)1(-+=x f y z ，且当1=y x z =时，则)(y f = （ D ）

（A ）

1-y （B ）y （C ）2+y （D ）)2(+y y

4．若)0()l n

(),(22>>--=y x y x x y x f ，则),(y x y x f -+= （ B ）

（A ）)ln(y x - （B ）)ln(2y x -

（C ）

)ln (ln 2

1

y x - （D ）)ln(2y x - 二．填空题

1．点(4,3,5)M -到x 轴的距离d

2．若一球面以点(1,3,2)-为球心且过原点，则其方程为

3．与Z 轴和点)1,3,1(-A 等距离的点的轨迹方程是_____ _ ___

4

． 球面：07442222=--+-++z y x z y x 的球心是点__________，半径=R __

； 5. ln()z y x =-+

的定义域

6．设函数32(,)23f x y x xy y =-+，则(x f y =

7．已知2

2),(y x x

y y x f -=+，则=),(y x f 8．已知v

u w