002-信号的傅里叶分析
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信号的傅里叶分析
阳建宏
北京科技大学
2019/9/3
傅里叶
“An arbitrary function, coutinous or with discontinuities, defined in a finite interval by an arbitrarily capricious graph can always be expressed as a sum of sinusoids”
北京科技大学 机械工程学院
9/ 80
周期信号的傅里叶级数—举例
因此，有x( ：t)A 2n 4 2A 2n 1co n0 ts (n 1 ,3 ,5 , )
A 2n42A2 n 1sinn(0t2)
A()
A 2
幅值谱 4A 2
()
2
相位谱
4A
92
4A
252
0 0
30
50
0 0
30
50
北京科技大学 机械工程学院
10/ 80
周期信号的傅里叶级数
按“指数形式”展开：
周期信号三角函数形式的傅里叶级数
x(t)a0 (ancosn0tbnsinn0t)
n1
根据欧拉公式
cos n 0
1 ( e jn 0 2
t0T x(t)dt
t0
工程中的信号都满足上述条件
北京科技大学 机械工程学院
7/ 80
周期信号的傅里叶级数—举例
例：周期性三角波的傅里叶级数
x(t)
A
...
-T0/2 0
T0/2
...
t
A
2A T0
t
(T0 t 0) 2
2A
x(t) A
T0
t
(0 t T0 ) 2
各参数分别为：
02f02/T0
an
2 T0
T0
2 T0
x(t)cosn0t.dt
2
bn
2 T0
T0
2 T0
x(t)sinn0t.dt
2
上式可进一步表示为 x(t)A0 Ancons0 (tn)
A0 a0
n1
An an2 bn2
n
arctg
T0/2
因为Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱，复数频谱不仅 包括正频率项而且含有附频率项，因此这种频谱相对于纵轴是左右 对称的。
令F(0)=a0考虑到
F(nw 0)ejnw 0t F(nw 0)ejnw 0t
n 1
n1
得到x(t)的指数形式傅里叶级数
x(t) F nw0 ejnw0t n
其中指数形式傅里叶级数的系数 F (n w 0 ) 或者F n
Fn
1 T0
T0/2ier
Fourier, Jean Baptiste Joseph French baron, physicist, mathematician 1768 - 1830
Cooley, Tukey: FFT in 1965
北京科技大学 机械工程学院
2/ 80
傅里叶
傅里叶最主要的两个贡献：
4/ 80
傅里叶分析
1 傅里叶级数 2 傅里叶变换 3 离散傅里叶变换 4 总结
北京科技大学 机械工程学院
5/ 80
周期信号的傅里叶级数
周期信号： x ( t) x ( t n)T( n 1 ,2 , )
按“三角函数形式”展开：
x(t)a0 (ancosn0tbnsinn0t) n1
“周期函数都可以表示成为谐波关系的正弦函数的加权和”
——傅里叶的第一个主要论点，即傅里叶级数
“非周期函数都可以用正弦函数的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点，即傅里叶变换
北京科技大学 机械工程学院
3/ 80
傅里叶变换
基本思想
“任意”的函数或者信号通过一定的分解，都能够表示 为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数是被充分研究而 相对简单的函数类，使用正弦函数来表示可以更加简单地处 理原来的信号。
x(t)
x(t
nT0
),
n 1, 2, 3,
北京科技大学 机械工程学院
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周期信号的傅里叶级数—举例
解：
a 0 T 1 0 T T 0 0 //2 2x (t)d t T 2 00 T 0/2(A 2 T A 0t)d tA 2
2
an
T0
e jn 0 )
s in n 0
1
( e jn 0 e jn 0 )
j2
e jn0 cos n 0 j s in n 0
可以得到 x(t) a 0n 1 a n 2jb nejn w 0 ta n 2jb nejn w 0 t
T0 /2 T0 /2
x(t)cosn0t
dt
4
T0
T0 0
/
2
(A
2TA0 t)cosn0t
dt
n42π A2si2nn2π 0 n42π A2
(n1,3,5, ) (n2,4,6, )
2
bnT0
TT 00//22x(t)sin n0td t0
bn an
北京科技大学 机械工程学院
6/ 80
周期信号的傅里叶级数
所有周期信号都能进行傅里叶级数展开吗？
并非任意的周期信号都能进行傅里叶级数展开
充分条件：狄利克雷（Dirichlet）条件
在一周期内，只存在有限个间断点 在一周期内，只存在有限个极大值和极小值 在一周期内，信号是绝对可积的
意义
它将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域 信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进 行处理、加工，最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信 号转换成时域信号。
应用
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概 率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
北京科技大学 机械工程学院
a 令 F(nw0)
an
jbn 2
考虑到
n 是n的偶函数，b
n 是n的奇函数可知
1 F(nw 0)2(anjbn)
x(t)a 0 F (n w 0)ejn w 0 t F ( n w 0)ejn w 0 t
n 1
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周期信号的傅里叶级数
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北京科技大学
2019/9/3
傅里叶
“An arbitrary function, coutinous or with discontinuities, defined in a finite interval by an arbitrarily capricious graph can always be expressed as a sum of sinusoids”
北京科技大学 机械工程学院
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周期信号的傅里叶级数—举例
因此，有x( ：t)A 2n 4 2A 2n 1co n0 ts (n 1 ,3 ,5 , )
A 2n42A2 n 1sinn(0t2)
A()
A 2
幅值谱 4A 2
()
2
相位谱
4A
92
4A
252
0 0
30
50
0 0
30
50
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周期信号的傅里叶级数
按“指数形式”展开：
周期信号三角函数形式的傅里叶级数
x(t)a0 (ancosn0tbnsinn0t)
n1
根据欧拉公式
cos n 0
1 ( e jn 0 2
t0T x(t)dt
t0
工程中的信号都满足上述条件
北京科技大学 机械工程学院
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周期信号的傅里叶级数—举例
例：周期性三角波的傅里叶级数
x(t)
A
...
-T0/2 0
T0/2
...
t
A
2A T0
t
(T0 t 0) 2
2A
x(t) A
T0
t
(0 t T0 ) 2
各参数分别为：
02f02/T0
an
2 T0
T0
2 T0
x(t)cosn0t.dt
2
bn
2 T0
T0
2 T0
x(t)sinn0t.dt
2
上式可进一步表示为 x(t)A0 Ancons0 (tn)
A0 a0
n1
An an2 bn2
n
arctg
T0/2
因为Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱，复数频谱不仅 包括正频率项而且含有附频率项，因此这种频谱相对于纵轴是左右 对称的。
令F(0)=a0考虑到
F(nw 0)ejnw 0t F(nw 0)ejnw 0t
n 1
n1
得到x(t)的指数形式傅里叶级数
x(t) F nw0 ejnw0t n
其中指数形式傅里叶级数的系数 F (n w 0 ) 或者F n
Fn
1 T0
T0/2ier
Fourier, Jean Baptiste Joseph French baron, physicist, mathematician 1768 - 1830
Cooley, Tukey: FFT in 1965
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傅里叶
傅里叶最主要的两个贡献：
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傅里叶分析
1 傅里叶级数 2 傅里叶变换 3 离散傅里叶变换 4 总结
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周期信号的傅里叶级数
周期信号： x ( t) x ( t n)T( n 1 ,2 , )
按“三角函数形式”展开：
x(t)a0 (ancosn0tbnsinn0t) n1
“周期函数都可以表示成为谐波关系的正弦函数的加权和”
——傅里叶的第一个主要论点，即傅里叶级数
“非周期函数都可以用正弦函数的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点，即傅里叶变换
北京科技大学 机械工程学院
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傅里叶变换
基本思想
“任意”的函数或者信号通过一定的分解，都能够表示 为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数是被充分研究而 相对简单的函数类，使用正弦函数来表示可以更加简单地处 理原来的信号。
x(t)
x(t
nT0
),
n 1, 2, 3,
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周期信号的傅里叶级数—举例
解：
a 0 T 1 0 T T 0 0 //2 2x (t)d t T 2 00 T 0/2(A 2 T A 0t)d tA 2
2
an
T0
e jn 0 )
s in n 0
1
( e jn 0 e jn 0 )
j2
e jn0 cos n 0 j s in n 0
可以得到 x(t) a 0n 1 a n 2jb nejn w 0 ta n 2jb nejn w 0 t
T0 /2 T0 /2
x(t)cosn0t
dt
4
T0
T0 0
/
2
(A
2TA0 t)cosn0t
dt
n42π A2si2nn2π 0 n42π A2
(n1,3,5, ) (n2,4,6, )
2
bnT0
TT 00//22x(t)sin n0td t0
bn an
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周期信号的傅里叶级数
所有周期信号都能进行傅里叶级数展开吗？
并非任意的周期信号都能进行傅里叶级数展开
充分条件：狄利克雷（Dirichlet）条件
在一周期内，只存在有限个间断点 在一周期内，只存在有限个极大值和极小值 在一周期内，信号是绝对可积的
意义
它将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域 信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进 行处理、加工，最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信 号转换成时域信号。
应用
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概 率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
北京科技大学 机械工程学院
a 令 F(nw0)
an
jbn 2
考虑到
n 是n的偶函数，b
n 是n的奇函数可知
1 F(nw 0)2(anjbn)
x(t)a 0 F (n w 0)ejn w 0 t F ( n w 0)ejn w 0 t
n 1
北京科技大学 机械工程学院
11/ 80
周期信号的傅里叶级数