5离散型随机变量及其分布律
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离散型随机变量及其分布律
5.离散型随机变量及其分布律【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第二章第§2离散型随机变量及其分布律【教材分析】：概率论考察的是与各种随机现象有关的问题，并通过随机试验从数量的侧面来研究随机现象的统计规律性，由此，就把随机试验的每一个可能的结果与一个实数联系起来。
随机变量正是为了适应这种需要而引进的，随机变量的引入有助于我们应用微积分等数学工具，把研究深入，一维离散型随机变量是随机变量中最简单最基本的一种。
【学情分析】：1、知识经验分析学生已经学习了概率的意义及概率的公理化定义，学习了事件的关系及运算，掌握了概率的基本计算方法。
2、学习能力分析学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。
【教学目标】：1、知识与技能：了解离散型随机变量的分布律，会求某些简单的离散型随机变量的分布律列；掌握伯努利试验及两点分布，2、过程与方法由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力。
3、情感态度与价值观通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”，从而激发学生学习数学的热情。
【教学重点、难点】：重点：掌握离散型随机变量的概念及其分布律、性质，理解伯努利试验，两点分布。
难点：伯努利试验，两点分布。
【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】：一、问题引入（离散型随机变量的概念）例1：观察掷一个骰子出现的点数。
随机变量 X 的可能值是 ：1， 2， 3， 4， 5， 6。
例2若随机变量 X 记为 “连续射击， 直至命中时的射击次数”， 则 X 的可能值是： 1,2,3,.例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现该射手射了30次，则随机变量 X 记为“击中目标的次数”，则 X 的所有可能取值为：0,1,2,3,,30.定义 有些随机变量的取值是有有限个或可列无限多个，称此随机变量为离散型随机变量。
离散型随机变量及其分布律
路口1
路口2
P{X=0}=P(A1)=1/2,
路口3
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
路口1
路口2
路口3
P{X=1}=P( A1 A2
)
1 2
1 2
= 1/4
路口1
路口2
路口3
P{X=2}=P(A1A2 A3
)
1 2
1 2
1 2
=1/8
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
例6 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
X
X (e)
0,
1,
当e 当e
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X0 1
1
1
pk
2
2
例7 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品, 现从中随机抽取一件,那末,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
其中(ai a j ), (i j) ,则称 X 服从等可能分布. 例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有 X pk
12 11
66
34 11
66
56 11 66
3. 伯努利试验和二项分布 看一个试验 将一枚均匀骰子抛掷3次.
令X 表示3次中出现“4”点的次数
X的分布律是：
P{ X
在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列, 叫做随机事件流.
离散型随机变量及其分布函数_图文
5.超几何分布
设X的分布律为
说明 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.
三、内容小结
1.常见离散型随机变量的分布 两点分布 二项分布 泊松分布
几何分布 超几何分布
两点分布
二项分布
泊松分布
则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.
定义 说明
离散型随机变量的分布律也可表示为 或
例1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号
灯.每盏灯以
的概率禁止汽车通过.以
表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信
号灯的工作是相互独立的），求 的分布律.
Байду номын сангаас
离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系 ：
也就是： 分布律
分布函数
二、常见离散型随机变量的概率分布
1.两点分布
设随机变量 X 只取0与1两个值 , 它的分布律为
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布或伯努利分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
离散型随机变量及其分布函数_图文.ppt
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)，发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.
离散型随机变量及其分布规律
量。
离散型随机变量的取值
02 离散型随机变量的取值可以是整数、分数或任何可以
明确区分的数值。
离散型随机变量的概率
03
离散型随机变量的概率是指该随机变量取某个特定值
的概率，可以通过概率分布表或概率函数来描述。
性质
离散性
离散型随机变量的取值是离散的，可以一一列举出来。
有限性
离散型随机变量的取值范围通常是有限的，也可以是 无限的但可以划分为若干个有限区间。
Excel、SPSS、SAS等统计软件都提供了模 拟实验的功能。
操作步骤
在软件中设置离散型随机变量的分布参数， 运行模拟实验，并输出结果。
结果分析
根据软件提供的统计量，对模拟实验结果进 行分析和解释。
实验结果分析
数据整理
将模拟实验结果整理成表格或图形，以便更直观地展示。
对比分析
将不同实验条件下的结果进行对比，分析离散型随机变量的分布 规律。
结论总结
根据实验结果和分析，总结离散型随机变量的分布规律，并给出 实际应用的建议。
感谢观看
THANKS
概率性
离散型随机变量具有概率性，即其取每个特定值的概 率是确定的。
例子
01
投掷一枚骰子，出现1、2、3、4、5、6点数中的任何一个点数 都是一个离散型随机变量。
02
从一副扑克牌中抽取一张牌，出现红桃、黑桃、梅花、方块中
的任何一种花色都是一个离散型随机变量。
一个人的身高，由于可以明确区分不同的身高值，因此也是一
分布函数具有归一性，即P(X=x)在所有可能取值上的概率之和为1，即 P(X=x)从-∞到+∞的积分值为1。
对于任意实数x1<x2，P(X=x1)>=P(X=x2)。
离散型随机变量及其分布律
解 由 0 p 1 ( k 0 , 1 , 2 , ), p 1 k k k 0 1 k ( ) a 得 k 1 即 a 3 1 ! k! k 03 k k0 1k 1 1 ( ) ae 3 3 e3 ! k 0 k
2. 离散型随机变量分布律与分布函数及 事件概率的关系 (1) 若已知 X 的分布律：
X
pk
0 1 2
1 2
1
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
1 , 取得不合格品, X 0 , 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0-1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
p P { X x } k k
或
F ( x ) F ( x 0 ) k k k 1 , 2 , ) F ( x ) F ( x ) ( k k 1
( P { X x } P { x X x } ) k k 1 k 注 1º 离散型随机变量X的分布函数F(x)是阶
梯函数，x1, x2,· · · ,是F(x)的第一类间断 点, 而X在xk（k=1,2, · · ·）处的概率就是
F(x)在这些间断点处的跃度.
2º P { a X b }
P { a X b } P { X a } P { X b }
[ F ( b ) F ( a )] [ F ( b ) F ( b 0 )] [ F ( a ) F ( a 0 )]
离散型随机变量及其分布规律
解:
例5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，
已知他每发命中的概率是p，求射击次数X 的分布列.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …，
设 Ak = {第k 次命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X =1)=P(A1)=p,
P(X 2)P(A1A2 ) (1 p)p
P(X 3)P(A1A2 A3)(1 p)2p
可见 P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
这就是所求射击次数 X 的分布列.
若随机变量X的分布律如上式， 则称X 服从
几何分布. 不难验证:
(1 p)k1p 1
k 1
几个重要的离散性随机变量模型
(0,1)分布 二项分布 波松分布
一、 (0-1)分布 （二点分布）
按Po
k
n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1 p=0. p=0.05 p=0.02 p=0.01
0 10.349 0.3585 0.369 0.366
0
1 0.305 0.377 0.372 0.370
0
2 0.194 0.189 0.186 0.185
0
3 0.057 0.060 0.060 0.061
•• • • • • • 56 7 8 9 10
•
•
•
•
•
•
•
•
•20x
二项分布的图形特点:
X ~ Bn, p
对于固定n 及 P， 当k 增加时 , 概率P (X = k ) 先是随之增加
Pk
直至达到最大值, 随后单调减少.
当 n 1p 不为整数时， n 1p 二项概率 PX k
离散型随机变量及其分布律
λ
n! k n− k P{ X = k } = ( pn ) (1 − pn ) k!( n − k )!
n! λ 1 λ o(1) n− k k [ + o(1)] [1 − − ) = k ! ( n − k )! n n n n
[λ + o(1)]k λ o(1) n n( n − 1)⋯ ( n − k + 1) [1 − − ] = λ o(1) k k! n n k n [1 − − ] n n
的分布函数. 求随机变量 X 的分布函数 解
1 p{ X = 1} = p{ X = 0} = , 2
•
•
当x < 0时, 时
0
1
x
F ( x ) = P{ X ≤ x < 0} = P (φ ) = 0
•
•
0
当0 ≤ x < 1时,
1
x
1 F ( x ) = P { X ≤ x } = P { X = 0} = ; 2 当x ≥ 1时, 0, x < 0, F ( x ) = P{ X ≤ x } 1 = P{ X = 0}+ P{ X = 1} 得 F ( x ) = , 0 ≤ x < 1, 2 1 1 1, x ≥ 1. = + = 1. 2 2
( k −1 )
服从几何分布. 所以 X 服从几何分布
( k = 1,2,⋯)
首次成功” 说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型. 的概率模型
7.超几何分布 超几何分布
设X的分布律为 的分布律为
m n C M C N−−m M P{ X = m } = n CN
( m = 0,1,2,⋯ , min{ M , n})
离散型随机变量的分布律
（2-2）
+
其中， 0 p 1，
q 1 p ，
k 0 ，，
1 2， ，
n ，显然
P{ k}
n
n
k 0
k 0
0，
且 P{ k} Ckn p k q n k ( p q)n 1 ，
则称 服从参数为 n ，p 的二项分布，记作 ~ B (n ，p) 。
3
3
10
3
7
1
1 0.260 。
3
随机变量及其分布
离散型随机变量的分布律
1.2 常见的离散型随机变量分布
3. 泊松（Poisson）分布
若随机变量 的概率为
P{ k}
k e
k!
，（2-3）
其中，k 0 ，，
则称 服从参
1 2 ， ， 0是常数，
率可能会很大。
于是
P{
2} 1 (e8 8e8 ) 1 9e8 1 0.003 0.997 。
提示
概率论与数理统计
解 设每分钟接到的呼叫次数为 ，则 ~ P( ) ， 5 。
（1）每分钟恰好接到 7 次呼叫的概率为
57 e5
P{ 7}
0.104 44 。
7!
（2）每分钟接到的呼叫次数大于 4 的概率为
P{ 4} 1 P{
4}
1 P{ 0} P{ 1} P{ 2} P{ 3} P{ 4}
如果用 表示 n 重伯努利试验中事
件 A 发生的次数，
那么 服从二项分布。
特别地，当 n 1 时，式（2-2）化为
P{ i} p k q1 k (k 0 ，
离散型随机变量及其分布
（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
概率离散型随机变量及其分布律
P( X k) 1
k
即
a≥0 ,
a k! ae
k 0
k
1
e
k 0
k
k!
从中解得
ae
概率论
二、离散型随机变量表示方法
（1）公式法
P{ X xk } pk , k 1, 2,
（2）列表法 X
x1 p1
x2 xk p2 pk
把观察一个灯泡的使用 P{X 1} =P{时数看作一次试验 X=0}+P{X=1} , “使用到1000小时已坏” )3+3(0.8)(0.2) 2 视为事件 A .每次试验 , =(0.2 A 出现的概率为0.8
P( X k )C (0.8) (0.2) , k 0,1,2,3
k 3 k
3k
设随机变量序列 {Xn }, Xn ~ b(n, pn ),则 k e k k n k limP{ X n k } limC n pn (1 pn ) , n n k! 其中 npn 0, k为任一固定的非负整数 .
泊松定理的意义：
1. 在定理的条件下, 二项分布的极限分布是泊松分布.
pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0, （ 2）
k k
p 1
k=1,2, …
用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律
概率论
例1 设随机变量X的分布律为：
P( X k) a
试确定常数a .
k
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据分布律的性质
P(X =k)≥0,
PX k p 1 p
概率论-离散型随机变量及其分布律、分布函数
4. 泊松分布
设随机变量X的分布律为 P{X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分
布,记为 X ~ π().
通常在n很大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布， 简称泊松近似。
Cnk
pk (1 p)nk
k e
k！
，
其中 np ，可查表 p247 得到泊松分布的概率。
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面的情况. 若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
3
4
0.0625 0.0625
例2 随机变量 X 的概率分布律如下，求常数 c
X01 2
1
1
3
pk
c 2
c 4
c 8
3
解：∵ pk 1,
k 1
即 1c 1c 3c 1
248
∴
c8 9
例3 设随机变量 X 的概率分布律如下，
X 0 1 23 4 5 6 pk 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
分析：这是不放回抽样.但由于这批元件 的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元 件的总数来说又很小,因而此抽样可近似 当作放回抽样来处理. 把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解： 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
2.2离散型随机变量及其分布律
当1≤x<2时, {X≤x}={X=0}∪{X=1} X 0 1x 2
又{X=0}与{X=1}互不相容 得: F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}
=0.6+0.3=0.9
当x≥2时, {X≤x}为必然事件
X
0 1 2x
8
得: F(x)=P{X≤x}=1
0, x 0
F
(
x)
0.6, 0.9,
P{X k} C5k pk (1 p)5k
k 0,1,..., 5 18
例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标
的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有
两弹击中目标的概率.
解:.设X为击中目标的次数.
X : B6000,0.001
P X 2 1 P X 2 1 PX 0 PX 1
0 1
x x
1 2
1 0.9
1, x 2 0.6
注: 左闭右开
0 1 2x
9
0, x 0
F(x)
0.6, 0.9,
0 1
x1 x2
1, x 2
(3)
P(X
1 2
)
F
(
1 2
)
0.6
P
(
1 2
X
3 2
)
F
(
3 2
)
F
(
1 2
)
0.9
0.6
0.3
P(1≤X≤2)=P({X=1}∪{1<X≤2})
P
X k
Ck41 C150
(k 5, 6, 7, 8, 9,10)
具体写出,即可得 X 的分布律:
X 5 6 7 8 9 10
离散型随机变量及其分布律
机变量.若以T记某元素的寿命,它所可能取的值充满
一个区间,是无法按一定次序一一列举出来的，因而 它是一个非离散型的随机变量.本节只讨论离散型随 机变量.
概率论
容易知道,要掌握一个离散型随机变量X的统计规律, 必须且只需知道X的所有可能取的值以及取每一个可
能值的概率.
设离散型随机变量X的所有可能取的值为 xk k 1,2,L ,
特别,当n=1时二项分布化为
PX k pkqnk , k 0,1
这就是(0-1)分布.
概率论
例2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品.已知某一在批产品的一级品率 为0.2,现在从中随机地抽查20只.问20只元件中愉有
k只(k=0,1,…,20)为一级品的概率是多少？
1pg4p2gL43gpg114 p4g4142p4gL4g4143p pk 1 p nk
k个
nk个
这种指定的方式共有
n k
种，它们是两两互不相容的，故在n次
试验中A发生k次的概率为
n k
pk
1
p nk
，记q
1
p，即有
显然
PX
k
n k
pk
1
p nk
,k
0,1, 2,L
,n
概率论
修”，则知80台中发生故障不能及时维修的概率为
P A1 U A2 U A3 U A4 P A1 PX 2
而X : b20,0.01，故有
概率论
1
PX 2 1 X k k 0
1
k
1 0
20 k
0.01k
0.99 20 k
0.0169.
即有P A1 U A2 U A3 U A4 0.0169
一个区间,是无法按一定次序一一列举出来的，因而 它是一个非离散型的随机变量.本节只讨论离散型随 机变量.
概率论
容易知道,要掌握一个离散型随机变量X的统计规律, 必须且只需知道X的所有可能取的值以及取每一个可
能值的概率.
设离散型随机变量X的所有可能取的值为 xk k 1,2,L ,
特别,当n=1时二项分布化为
PX k pkqnk , k 0,1
这就是(0-1)分布.
概率论
例2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品.已知某一在批产品的一级品率 为0.2,现在从中随机地抽查20只.问20只元件中愉有
k只(k=0,1,…,20)为一级品的概率是多少？
1pg4p2gL43gpg114 p4g4142p4gL4g4143p pk 1 p nk
k个
nk个
这种指定的方式共有
n k
种，它们是两两互不相容的，故在n次
试验中A发生k次的概率为
n k
pk
1
p nk
，记q
1
p，即有
显然
PX
k
n k
pk
1
p nk
,k
0,1, 2,L
,n
概率论
修”，则知80台中发生故障不能及时维修的概率为
P A1 U A2 U A3 U A4 P A1 PX 2
而X : b20,0.01，故有
概率论
1
PX 2 1 X k k 0
1
k
1 0
20 k
0.01k
0.99 20 k
0.0169.
即有P A1 U A2 U A3 U A4 0.0169
离散型随机变量的概率分布
例 保险公司为一单位500名员工办理了一年期 医疗保险，每张保单最多理赔一次。假设员工 是否发生医疗费用是相互独立的，理赔概率为 0.01，问保险期内最可能发生几次理赔，并求 相应的概率。
4. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
P{ X k} ke , k 0,1,2, ,
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验.
(3) 二项概率公式 若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
n pkqnk k
得 X 的分布律为
X0
1
k
n
pk
qn
n pqn1 1
n pkqnk k
pn
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b(n, p).
二项分布 n 1 两点分布
二项分布的图形
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.
设 Ai 表示“抽到的第 i 个产品是正品”, P{ X k} P( A1A2 Ak1 Ak )
P( A1) P( A2 ) P( Ak1) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
(k 1,2, )
若随机变量 X 的分布律为
X 1 2 k , p q 1, pk p qp qk1 p
k0 k!
离散型随机变量及其分布列
故 X 的分布列为
X
2
3
P
1 4
3 4
X 的数学期望为 E(X)＝2×14＋3×34＝141.
X 0 10 20 50 60
P
1 3
2 5
1 15
2 15
1 15
某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名 男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用 X表示其中的男生人数，求X的分布列．
解：依题意，随机变量 X 服从超几何分布， 所以 P(X＝k)＝Ck6CC41440－k(k＝0,1,2,3,4)． ∴P(X＝0)＝CC06C14044＝2110，P(X＝1)＝CC16C14034＝345，
P(X＝2)＝CC26C14024＝37，P(X＝3)＝CC36C14014＝281， P(X＝4)＝CC46C14004＝114，∴X 的分布列为
考题 (2011·湖南高考)某商店试销某种商品20天，获得如
下数据： 日销售量(件) 0 1 2 3
频数
1595
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设 某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货．若 发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频 率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分 布列和数学期望．
【解】 (1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为 0
件)＋P(当天商品销售量为 1 件)
＝210＋250＝130.
(2)由题意知，X 的可能取值为 2,3. P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为 1 件”)＝250＝14； P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为 0 件”)＋P(“当天商 品销售量为 2 件”)＋P(“当天商品销售量为 3 件”)＝210＋ 290＋250＝34.
离散型随机变量及其分布列
两人中一人送考 1 次，另一人送考 3 次”为事件 C，“这两人送考次数相同”
为事件 D，
由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝CC120C22001100＋CC110022C00180＝110909，
解
P(X＝2)＝P(C)＝CC12022C00180＝11969， P(X＝0)＝P(D)＝C220＋CC22210000＋C280＝18939， 所以 X 的分布列为
解 (1)由统计图得 200 名司机中送考 1 次的有 20 人，送考 2 次的有 100
人，送考 3 次的有 80 人，所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人
20×1＋100×2＋80×3
均次数为
200
＝2.3.
(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考 1 次，另一人送考 2
次”为事件 A，“这两人中一人送考 2 次，另一人送考 3 次”为事件 B，“这
3.(2020·安阳模拟)某公司为了准确把握市场，做好产品计 划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品 50 天，统计发现每天的销售 量 x 分布在[50,100)内，且销售量 x 的分布频率
1n0－0.5，10n≤x<10n＋1，n为偶数， f(x)＝2n0－a，10n≤x<10n＋1，n为奇数. (1)求 a 的值并估计销售量的平均数； (2)若销售量大于或等于 70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中 用分层抽样的方法随机抽取 8 天，再从这 8 天中随机抽取 3 天进行统计， 设这 3 天来自 X 个组，求随机变量 X 的分布列(将频率视为概率)．
解析 答案
(2)(2021·辽宁大连联考)已知随机变量 ξ 只能取三个值：x1，x2，x3，其 概率依次成等差数列，则公差 d 的取值范围是_____________.
N5离散型随机变量及其分布律FF
x1 x2 xk
例1(续) 设盒中有5个球 (2白3红), 从中任抽3个, 以X表
示取得白球的个数, 试求随机变量X的分布律.
解 随机变量X 的所有可能取值为: 0, 1, 2.
0 3 C2 C3 1 P{ X 0} 3 C5 10 1 2 C2 C3 6 P{ X 1} 3 C5 10 2 1 C2 C3 3 P{ X 2} 3 C5 10
是一个离散型随机变量. X 的所有可能取值为: 0, 1, 2.
例2 设某狙击手每次击中目标的概率是0.8, 现该 狙击手共射击30次, 则
X (e) “射中目标的次数” ,
是一个离散型随机变量.
X 的所有可能取值为: 0, 1, …, 30.
一、离散型随机变量的分布律
1. 离散型随机变量 2. 离散型随机变量的分布律 设xk (k=1,2,…)为离散型随机变量X的所有可能 取值, 事件{X=Xk}发生的概率为pk , 即
第五讲 离散型随机变量及其分布律
• 离散型随机变量的分布律 • 几种常见离散型分布
一、离散型随机变量的分布律
1. 离散型随机变量 如果随机变量X所有的可能取值为有限 个或可列无限多个 , 则称随机变量 X为 离散型随机变量。
例1 设盒中有5个球 (2白3红),从中任抽3个,则
X (e) “抽得的白球的个数” ,
如果随机变量 X 的分布律为
P{ X k } C p (1 p)
k n k
n k
, k 0,1, , n.
则称X服从参数为n, p 的二项分布.
记作 X ~ B(n, p)
(0–1) 分布是 n = 1 的二项分布.
二项分布的取值情况 设 X ~ B( 8, X 0 1
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X
x1 x2 … xk …
注2
分布列的pk性特质征：性pkp质1 ：0…p2
…
pk
1；
pk
1.P(
X
xk)=
P( )=
1
k 1
k 1
例1
若
P(
X
k)
C k N
( k 1, 2, , N ) 为随机变量X 的
分布律，试确定常数C .
解 由分布律特征性质 1知 C 0 , 由其特征性质 2知
1
《概率论与数理统计》 第五课：离散型随机变量及其分布律
5 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量 离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数.
随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
C 其中
记为
0<p
X~
<b(1Pn, (+,qXpP=…)(1n.kA-kpp1)A，kq2(1Cn则nkkAp称pnk)qknXnAk服nk,k以从1参nAk重n数k0B为2,e1rn,n,oApu,nnl的)i试, 二验n项=为1分背时布？景，
N
P(X
k 1
k)
N Ck k1 N
C N
(1 2
N)
C ( N 1) 2
C
2 N 1
.
例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四 组信号灯,每组信号灯以1 2的概率允许或禁止汽 车通过.以 X 表示汽车首次停下时,它已通过的信 号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的), 求 X 的分布律.
解
设 p 为每组信号灯禁止汽车通过的概率, 则有
X0
1
2
3
4
pk p (1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
将 p 1 代入得 2
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
(二)、常见的离散型随机变量的分布
1. 两点分布((0 -1)分布) 定义3 若离散型随机变量 X 的分布律为
指这n次试验的 实验条件相同
互逆的
可以形象地把这两 个互逆结果叫做 “成功”和“失败”
2. 二项分布
定义4
在相同条件下进行 n 次重复试验，且各次试验的
结果在概率上互不影响，每次试验只有两个可能的结果 A 与 A ,
则称这 n 次试验为 n重 Bernouli(伯努利)试验，简称 Bernouli试验
X
0
1
( 0 < p < 1)
pk
1- p
p
则称 X 服从参数为 p 的两点分布，记为 X ~(0 —1)或 X ~ b(1,p).
描述了只有两种 可能结果的随机试验
新生儿: “是女孩”，“是男孩”
掷骰子: “掷出4点”，“未掷出4 抽点验”产品: “正品”，“次品”
如果我们独立地重复进行 n 次这种仅有两个可能结果的试验
或 Bernouli 概型.
只有两个结果的n 次独立重复试验
设 P(A)= p， P(A ) = 1- p = q (0 < q < 1)，记 X 为事件 A 在这 n 次试验中发生的次数，则 X 是一个随机变量，且其可能的取值
为 0,1,2,… n， 分布律： P(X = k) = ? ( k = 0,1,2,… n )
如何把握离散型随机变量？
定义2 设离散型随机变量 X 的所有可能取值为x1 , x2 , …,
xk , … ，
且 X 取这些值的概率分别为
P{ X= xk} = pk ,
k =1, 2, 3, …
(*)
则称(*)式为离散型随机变量 X 的概率分布律，简称分布律.
注1 分布列也可表示为表格的形式：
概率函数、分布律
设 Ai 表示 “第 i 次试验中 A 发生了”，则
n
C
k n
p k q nk
P{ X k } PC(nkAp1k Aqn2k , A(kkA=k 01,A1,k2,2 … nA)n)
定义5 若离P散(A型1 A随2机变A量k AXk1的A分k2布列A为n)
k 0
( p q)n = 1
意义 ？
1, 2, 3, . 实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”,则 X 的所有可能取值为:
0, 1, 2, 3, , 30.
二、机变量 X 的所有可能取值为有限个或无穷可列个，
则称 X 为离散型随机变量.