2014华二自主招生试卷

自主招生考试数学试题一、选择题（每小题3分）1、已知81cos sin =⋅αα，且︒<<︒9045α，则ααsin cos -的值为（ ） A. 23 B. 23- C. 43 D. 23± 2、若c b a ，，为正数，已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实根，则方程()()01212=+++++c x b x a 的根的情况是（ ）A.没有实根B.有两个相等的实根C.有两个不等的实根D.根的情况不确定3、已知半径为1和2的两个圆外切与点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为（ ）A. 43B. 34C. 23 D. 3 4、下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（ ）二、填空题（每小题4分）5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得－2分，若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 题6、已知⊙O 的直径AB=20，弦CD 交AB 于G ，AG>BG ，CD=16，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则 AE －BF=7、如图，两个反比例函数x k y 1=和xk y 2=在第一象限内的图像依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥x 轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为8、若二次方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==-1)2(122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为 9、设正△ABC 的边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别为s 和t ，则22t s -=10、在△ABC 中， AC=2011，BC=2010，AB=20112010+，则C A cos sin ⋅=11、已知c b a ，，为实数，且514131=+=+=+c a ac c b bc b a ab ，，，则=++cabc ab abc 12、已知Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，且斜边AB 平行于x 轴，设斜边上的高为h ，则h 的取值为13、方程xx x 222=-的正根个数为 14、已知，124=+=+ab n b a ，，若221914919b ab a ++的值为2011，则n=15、任意选择一个三位正整数，其中恰好为2的幂的概率为16、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣。

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1 2014年华约自主招生数学试题
1．12345,,,,x x x x x 是正整数，任取四个其和组成的集合为{44，45，46，47}，求这五个数．
2．乒乓球比赛，五局三胜制．任一局甲胜的概率是1()2p p >，甲赢得比赛的概率是q ，求p 为多少时，q p -取得最大值．
3．函数2()(cos sin )sin()2sin (0)24
f x x x x a x b a π=
-+-+>的最大值为1，最小值为4-，求,a b 的值．
4．（1）证明(())y f g x =的反函数为11(())y g f x --=；
（2）1()(),()()F x f x G x f x -=-=，若()G x 的反函数是()F x ，证明()f x 为奇函数．
5．已知椭圆22
221x y a b
+=与圆222x y b +=，过椭圆上一点M 作圆的两切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ，求EOF S ∆的最小值．
6．已知数列{}n a 满足:110,n n n a a np qa +==+．（1）若1q =，求n a ；（2）若||1,||1p q <<，求证：数列{}n a 有界．
7．已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n
--≤．。

自主招生数学试题5一、选择题（每小题6分，共计36分） 1、方程2681x x -+=实根的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、某班进行一次标准化测试，试卷由25道选择题组成，每题答对得4分，不答得0分，答错扣1分，那么下列分数中不可能的是（ ）A 、95B 、89C 、79D 、75 3、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列6个代数式：ab 、ac 、a b c ++、a b c -+、2a b +、2a b -，其值为正的式子的个数是（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个4、两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是:1p ，而在另一个瓶子中是:1q ，若把两瓶溶液混合一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（ ）A 、2p q +B 、22p q p q++ C 、2pq p q + D 、22p q pq p q ++++ 5、已知直角三角形有一条直角边的长是质数n ，另外两条边长是两个自然数，那么它的周长是（ ）A 、21n +B 、21n -C 、2n n +D 、2n n - 6、如图，ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=，延长AC 到D ，使CD B C =，点P 是ABD∆的内心，则BPC ∠=（ ）A 、145B 、135C 、120D 、105二、填空题（共6小题，每题6分，共36分）7、设直线(1)10kx k y ++-=与坐标轴所构成的直角三角形的面积是k S ，则122008...___________S S S +++=。

8、已知方程121011x x x x m -+-+-+-=无解，则实数m 的取值范围___________。

9、已知11x x -=，则242____________20071x x x =++。

10、如图，电路中有4个电阻和一个电流表A ，若没有电流通过电流表A ，问电阻器断路的可能情况共有______________种。

2014年高水平大学自主选拔学业能力测试数学与逻辑（华约）一、（本小题满分10分）1x ,2x ,3x ,4x ,5x 为五个正整数，任取四个其和组成的集合为{}44,45,46,47，求i x （1i =，2， (5)． 【解析】记51ii S x==∑，若12345,,,,x x x x x 两两不等，那么对{}(),1,2,3,4,5i j i j ∀∈≠都有i j S x S x -≠-，这样12345,,,,x x x x x 任取四个数求和一共有5个不同的值，这与条件矛盾。

于是12345,,,,x x x x x 中必有两个数相等，据对称性，不妨设12x x a ==，3x b =，4x c =，5x d =，则问题变为对正整数,,a b c d ，集合{}{},2,2,244,45,46,47a b c d a b c a b d a c d +++++++++=，注意到集合元素的表达形式关于a 对称，于是据对称性，只需要讨论a 在序列,,,a b c d 中的大小。

情形一：a b c d <<<，这时候由集合的对应原则得47244245246a b c d a b c a b d a c d +++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，于是得到441a =，矛盾。

情形二：b a c d <<<，同情形一的证明可得11101213a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩。

情形三：b c a d <<<，同情形一亦有439b =，矛盾。

情形四：b c d a <<<，同情形一亦有438b =，矛盾。

综上所述，12345,,,,x x x x x 的值为1234511,10,12,13x x x x x =====及其轮换。

二、（本小题满分15分）乒乓球比赛，甲胜的概率是1()2p p >，若采用五局三胜制，甲获胜的概率是q ，求p 为多少时，p q -取得最大值．【解析】设比赛用了ξ局，当甲用3局取胜，则()33q p ξ==；当甲用4局取胜，则()()13341q C p p ξ==-当甲用5局取胜，则()()223451q C p p ξ==-。

高中自主招生考试数 学(试卷满分：150分 考试时间：120分钟)准考证号 姓名 座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1． 如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（ ） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示， 则其左视图面积为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为 （ ） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7． 实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为 ．9． 在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为 ．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b， 例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14． 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分） 如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点， 交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种 产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。

华二自招训练题〔二〕Part 1 Words and phrasesI. Choice:1. A person’s _________ body temperature is about 37C.(A :ordinary, B:normal, C: common,D:usual)2.When I opened the door, a parcel on the floor___________ my eye.(A: met, B: caught, C:drew,D: attracted)3.Many foreigners_____________the Great Wall as the World’s Seventh Wonder.(A: look at ,B: look for,C: look around,D: look on)4. A piece of ______________music will make you happy. (A:fond ,B: pleased, C: merry,D: glad)5.It has been ten years now since the Labour Party came to____________ in that country.(A:power ,B: control ,C: force,D: charge)6.Have you finished your report yet? No, I'll finish in _________ten minutes. (A:other,B:another, C:more,D: less )7.You are __________your time trying to persuade him; He'll never join us. (A:spending,B: losing, C: missing, D: wasting )8.It's nearly seven o'clock. Jack ___________be here at any moment. (A:need,B: must,C: can,D: s hould )9.What did you think of her speech? She ____________for an hour but didn't ____________much . (A:spoke …say;B: said …speak;C: said …say ;D:spoke …speak )11.He was expected to ___________at the meeting but he failed to come. (A:come across, B:show out,C: turn up,D: present out )12.The information ______________on the mystery of Mary's sudden death. (A:threw light,B: ga ve light,C: made light ,D:too light )13.It's necessary for us to ______________our bad habits. (A:break with,B：break out of, C:break away with, D:break up )14._______________her clothing,the woman must be from an Arabian country. (A:Looking at, B: Seen fron,C: Observe by, D:Judging by )15.As we all know, our living conditions can only be ____________step by step. (A:improved, B: raised, C:turned, D:corrected )16. What he said will ____________.(A:realize, B:complete,C: come true, D: finish )17.It will further strengthen the exchange between ___________and thus lead _____________bett er understanding. (A:peoples ……to;B: people ……into; C:peoples ……/ ;D:people ……/)18..This photo ___________me of what we did together during our holiday. (A:reminds,B: recogn izes,C: remembers D :causes ).19.Students in that area learn how to ______________food and animals besides subjects. (A:feed, B:plant, C:grow, D:raise )20.I went to Hangzhou last summer vacation with my brother and visited many _______________ ______.(A:places of interests, B:places of interest, C:place of interest, D: place of interests )21 .Please ________________this little gift as your souvenir. (A:receive, B:get,C:accept, D:gain ).22.We have ______________some victories despite these difficulties. (A:finished, B:completed,C : achieved, D:accomplished )23. All this ____________me that she was innocent. (convinced, persuaded, advised, taught )24 .A daughter's marriage is quite a(n) _____________for a father. (A:incident, B:accident, C:eve nt,D: thing )25.He ran into the burning house and saved the child, which was really a brave ______________. (A:motion,B: action, C:deed, D:act )26.The girl kept a cat as a __________.(A:animal.B: beast, C:pet,D: creature )27. She has no ___________in him. ( A: belief ;B: faith, C: hope, D: trust )28.I was not ____________to see the difference between them. (A: capable, B: able, C: qualified, D: enabled )29. Gold is ___________ , wealth is abstract. (A: real, B: actual, C: concrete, D: exact )30.The town was __________in the early hours of the morning. (A: ever,B: still, C: yet, D: never )31.Is it __________for you to buy so many dresses at a time? (A: vital,B: necessary, C: essential, D: imperative )32.Her behavior is _________of great praises. (A: worthy, B: worth,C: worthwhile ,D: valuable )33.Are we allowed to take __________in the museum? (A: drawings, B: paintings,C: portraits, D: pictures )34.You'd better ___________the holiday arrangement once more before you leave tomorrow. (A: go round, B: go into, C: go after,D: go over )35.Her outstanding ____________in the competition proved that she was a worthy winner. (A: per formance, B: activity, C: behavior, D: personality )36.___________your step, or you might fall into the poll. (A: Feel, B: See, C: Watch, D: Look )37. As we know, there are four ___________of blood. (A: kinds, B: sorts, C: types, D: shapes )38.Please __________that you won't make such a mistake. (A: make sure, B: make out, C: make u p,D: make in )39.There 'll be some baby birds in the nest, these eggs are ready to ____________.(A: search, B: match, C: clench, D: hatch )40.The close _____________are not allowed to get married. (A:relationships,B： relatives,C: rela tions,D: relatives )II. Phrases1.As a whole2.As far as3.As usual4.Ask a favor of6.Ask after7.Associate A with B8.Assure …of/assure sb.that…9.At a loss / at sea10.At all costs / at any cost11.At first sight12.At one time13.At present14.At the cost of15.At the mercy of16.At the moment17.At the risk of one’s life18.At times19.Attach… to20.Attach importance toIII. Put the following into English or vice versa: 1.你最好从整体来看待这个问题。

2014年高水平大学自主选拔学业能力测试模拟试题A d v a n c e dA s s e s s m e n t f o rA d m i s s i o n (A A A )物理探究(二)总分考生须知:1.本试卷共100分,考试时间90分钟.2.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁准考证号㊁考点名称填写在答题卡上.3.请用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上.答在试卷上的无效.保持答卷清洁,完整,严禁在答卷上作任何标记.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.本题得分评卷人1.(10分)某人通过焦距为10c m ,直径为4.0c m 的薄凸透镜观看方格纸,每个方格的边长为0.3c m.他使透镜的主轴A B 与方格纸垂直,透镜与纸面相距10c m ,眼睛位于透镜主轴上离透镜5.0c m 处.问他至多能看到同一行上几个完整的方格?本题得分评卷人2.(10分)足球运动员在离球门L =11m 处的罚球点,将球准确地从横梁正中下边沿踢进球门,球在进门时离地高度为h =2.5m ,足球质量为m =0.5k g,空气阻力不计.问该运动员传给足球的最小能量是多少?.煕教育本题得分评卷人3.(15分)当原子弹(M=1k g钚P u242)爆炸时,每个钚原子辐射出一个放射性粒子.假设风将这些粒子均匀吹散在整个大气层,试计算落在地面附近体积V=1d m3的空气中放射性粒子数目.地球半径R取6ˑ106 m.学煕教育本题得分评卷人4.(15分)如右图所示,一质量为m 的四轮汽车在半径为r 的水平圆形轨道上行驶.当汽车静止不动或直线前进时,每个车轮的荷重相等.设左右车轮的间距为s ,重心G 离地面的高度为h .当汽车以速度v 行驶时,试求:(1)汽车内侧与外侧车轮对地面的压力(设同一侧前后轮对地面的压力相同)(2)使行驶的汽车不倾覆的最高限速.学煕教育本题得分评卷人5.(15分)如右图所示,温度为0ħ时,两根长度均为L ㊁均匀的不同金属棒,密度分别为ρ1和ρ2,线膨胀系数分别为α1和α2,它们的一端粘合在一起并从A 点悬挂在天花板上,恰好能水平静止.若温度升高到t ħ,仍需它们水平静止平衡,则悬点应该如何调整?(若用a 1表示线膨胀系数,L 0表示固体在0ħ的线度,L 1表示固体在t ħ时的线度,则有线膨胀公式:L 1=L 0(1+a 1*t )).学煕教育本题得分评卷人6.(15分)如图所示,在真空室中平面直角坐标系的y 轴竖直向上,x 轴上的P 点与Q 点关于坐标原点O 对称,P Q间的距离d =30c m.坐标系所在空间存在一匀强电场,场强的大小E =1.0N /C .一带电油滴在x O y 平面内,从P 点与x 轴成30ʎ的夹角射出,该油滴将做匀速直线运动,已知油滴的速度v =2.0m /s 射出,所带电荷量q =1.0ˑ10-7C ,重力加速度为g =10m /s 2.若在空间叠加一个垂直于x O y 平面的圆形有界匀强磁场,使油滴通过Q 点,且其运动轨迹关于y 轴对称.已知磁场的磁感应强度大小为B =2.0T ,求:(1)油滴在磁场中运动的时间t ;(2)圆形磁场区域的最小面积S .学煕教育本题得分评卷人7.(20分)使一原来不带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触,分开之后,小球获得电量q.现让小球与大球反复接触,在每次分开后,都给大球补充电荷,使其带电量恢复到原来的值Q.求小球可能获得的最大电量.学煕教育。

a - -1. a + a -1 = 4 , a 2 + a -2 =14 , 四校自招-数学·华二卷 a 4 + a -4 = 194学而思高中部 胡晓晨老师 2. S = 1 ⨯(6 ⨯ 3) ⨯(6 ⨯ 4) = 216ABC 2 5 5 25【高中知识点】解三角形——三角形面积公式a 2 +b 2 3. a 2 a 2 + b 2+ = 4 , b 22 2 + = 2 , a 2 b 2 b 4 + a 4 = 2a 2b 2 ,a 2 =b 2若 a = b , ( b )2013 ( a )2014 = 0a b若 a = -b , ( b )2013 ( a )2014 = -2 a bans 0 或-24. 第五列B+A=D ，结合第一列A+B=D ，可得第二列B+C=B 没有进位∴ C = 0∴ A+B=D 也没有进位，算式即A B B 0 B+ B 0 A D AD B D D D 而 A ≥ 1, B ≥ 1，且 A ≠ B∴ D = A + B ≥ 3D 可取到3, 4,,9 ，共 7 个值5. 40 ⨯ 20 ⨯10= 2100 ⨯ 40 【注】我觉得答案也可以是-40 cm ，砖扔到鱼缸里，鱼缸就被砸破了 6. 连 BF , JH ，过 H 作 HM ⊥ AJ 于 M ，则FBE ≌HJM∴ MJ = BE∴ AJ - DH = AJ - AM = MJ = BE∴ AJ = DH + BE = JE + BE = BJ∴ AJ = 1 2b3 ∴ ∠GJA = 60︒ ∴ ∠IJE = 30︒ 设 IJ = x ，则 BE = x ， JE = 3 x ， BJ = x +2 3 x = 1 2 2∴ x = 2 - 7. 题目不全8. 【注】题目表述应为内切球，不是内切圆大正方体边长2 cm, 其内切球直径2 cm ，也作为小正方体的外接球2∴小正方体边长cm小正方体表面积6⨯( 2 )2 = 8 cm 23【高中知识点】立体几何——正方体与球(a - b )2 + (b - c )2 + (c - a )2 9. = 16 + 36 +100 = 8 +18 + 50 = 762 210. 1- 4 ⨯ 4 = 75 6 15【高中知识点】概率——对立事件发生的概率11. (-8, 4)12. 【注】题目应当补充条件：行驶的时间刚好为整数（单位：小时）(100c +10b + a ) - (100a +10b + c ) = 55t即99(c - a ) = 55t9(c - a ) = 5t∴ c - a = 5,t = 9∴ a = 1, c = 6∴ b = 033 3 a 2 + b 2 + c 2 = 3713. (2x 2 - 3)(7 x - 4) + (-5x + 2) = 14 x 3 -8x 2 - 26 x +1414. 【注】题目意思应表述为，最大的正整数最大值可能为多少 ans 35 ；可构造出11个数分别为1, 1, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 3515. 设 AD = 1 , DC = 2 ，则 AE = 1 ,DF = 2AD = 2 , 3AF = ,EF = AF - AE = - 1 = 23 31⨯ 2 ∴ S DEF S ABCD = 2 3 = 1 = 3 2 2 3 6二、16. C17. x 0 > -118. 4【高中知识点】解析几何——点的轨迹问题19. 设 BC = x ，则S = (x - a )3b -(x - 4b )a = (3b - a )x + ab ，当a = 3b 时， S 不变ans B三、20. 1 x - 2 = a + 32若 a + 3 < 0 ，即a < -3 ，原方程无解若 a + 3 = 0 ，即a = -3，原方程即 1 x - 2 = 0 ， x = 4 2若 a + 3 > 0 ，即a > -3，原方程即 1 x - 2 = ±(a + 3) ， x = 2a +10 或-2a - 22【高中知识点】绝对值不等式⎩ ⎩ OE ⎬OA = ⎬O C21. ⑴设购进甲、乙两种手机分别 x , y 台，则⎧0.4x + 0.25y = 15.5⎨0.03x + 0.05y = 2.1⎧x = 20解得⎨ y = 30答：购进甲手机20 台，乙手机30 台⑵设增加购进乙手机数量为a 台，则甲手机减少 a 台，则2(20 - a ) ⨯ 0.4 + (30 + a ) ⨯ 0.25 ≤ 162解得a ≤ 10(20 - a) ⨯ 0.03 + (30 + a ) ⨯ 0.05 = 0.035a + 2.1 ≤ 2.452 ∴当a = 10 时，利润最大，此时乙手机共40 台，甲手机共15 台答：购进甲手机15 台，乙手机40 台，可达到利润最大，最大为2.45 万元22. ⑴设OD 与 AC 交于点 E ，连OC则 AC ⊥ CB ⎫⇒ OE ⊥ AC ⇒ EA = EC ⇒ DA = DC⎭DA = DC ⎫ ⇒DAO ≌DCO ⇒ ∠DCO = ∠DAO = 90︒⎭∴ DC 为切线，即 DE 为切线⑵ CE= 2 ，则 DC = 1DE 3 DE 3∠ODA = ∠ODE ⇒ OA= DA = DC = 1设OA = x ，则OE = 3x∴ OB = x , BE = 2xOE DE DE 3CE 为切线， ∠ECB = ∠CAE ⇒ ECB ∽EAC∴ EC = EB= CBEA EC AC 设CB = a ，则CA = ⇒ EC = 2 2x ⇒ 2aCB = 2CA 2CB 2 + CA 2 = AB 23 n 2 (n +1)2 + n 2 + (n +1)2 n 2 (n +1)2 + 2n (n +1) +1 (n (n +1) +1)22 ∴ a 2 + 2a 2 = 4x 2 ⇒ a = 2 x ⇒ cos ∠ABC = CB = CA 2 x3 = 32x 323.⑴-1 = -1 = -1n (n +1) = -1 = n (n +1) +1 -1 = 1= 1 -1n (n +1)n (n +1) n (n +1) n (n+1)n n +1⑵原式 = (1+1- 1) + (1 + 1 - 1) ++ (1+ 1 - 1 ) = 9 + (1 - 1 ) = 992 23 【高中知识点】数列——裂项求和9 10 10 1024. ⑴ y = -x 2 - 2x + 3⑵①PDE 为直角三角形，且∠P = ∠BAC = 45︒∴ PE = 2PD = 2DE∴ C PDE = PE + DE + PD = ( +1)PE设 P (m , -m 2 - 2m + 3) ，易求得直线 AB 解析式为 y = x + 3则 E (m , m + 3)∴ PE = -m 2 - 3m = -(m + 3)2 + 92 4∴当m =- 3 时， PE 取到最大值 9 ， C = ( +1)PE 取到最大值 9( 2 +1)2 此时 P (-3 , 15)2 44 PDE 4②若 N 在对称轴上，则 PF = 2 ，即-m 2 - 2m + 3 = 2∴ m = -1± 又-3 < m < 0∴ m = -1-∴ P (-1- 2, 2)若点 M 在对称轴上，则 AF + PF = 2∴ 3+ m - m 2 - 2m + 3 = 21+ 1 + n 2 1 (n +1)2 2 2217 -1 ∴ m = -1± 172又-3 < m < 0∴ m =-1- 17 2∴ -m 2 - 2m + 3 =17 -12∴ P (-1- 17 , ) 2 2【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从涉及到的重要高中知识点来说，二附中的考察并无明显针对性（例如上中的考点，明显针对不等式） 本卷中考到的解三角形、概率、立体几何、解析几何、数列等等，涉及到的也非常非常浅，而且考试足以通过初中知识解决2. 初高衔接知识点分析高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到 95%，几何大约 5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主这在本试卷中，体现的非常非常明显，也说明了参加二附中的考试，并不需要超前学习很多，在初中知识的延展范围内，牢牢地打好基础即可考到的初高衔接的知识题目如第一、1, 3, 9, 12, 17第 20, 23 题等，全部都在考察“解方程”，“代数式变换”，“二次函数性质”这也与高中数学以代数为主切合因此，二附中的选拔主线便是——让代数功底强的学生占据主要优势3. 初中知识点分析初中知识以几何为主，但本卷中几何考到的并不多，考察了基本的知识与应用 如第 2, 5, 6 题（本题难度较大，来源是 2014 年美国数学竞赛十二年级试题）第 15 题第二 16, 19 题, 第 22 题数论知识考察也少，如第4, 12 题建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论组合知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏。

1.在ABC ∆中，AE AC AD AB AC E AB D A C B 5,5,,,2==∈∈∠=∠+∠,且I H G F ,,,依次为边BC 上的4个五等分点，则._________=∠+∠+∠+∠DIE DHE DGE DFE2. 已知方程02=++c bx ax 的两根之和为p ，两根平方和为q ，两根立方和为r ，则.________=++cp bq ar3. 设,ac b a b c b a c c b a k ++-=+-=-+=且,6952n n m =+++则关于自变量的一次函数n m kx y ++=的图像必过第________象限4. 某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起站在台阶上拍毕业照，现要将其排列成前多后少的梯形方阵（排数3≥），且各行的人数必须是连续的正整数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么满足上述要求的排列方案有_______种.5. 若二次函数1322++-=t tx x y 在[]3,1∈x 上的最小值为1-，则.________=t6. 在ABC ∆中，060,8,5=∠==A AC AB ，则它的内切圆半径为._________7. 设y x ,为实数，则32226522+-++-=y x y xy x f 的最小值是.____________8. 如图，ABC ∆中，CF BE AD ,,交于形内点P ，FE 延长线交BC 于点G .若15=BD ，,6=CD 则._________=CG9. 已知n 为正整数，且99192+-n n 是完全平方数，则n 所有可能的值为._________10. 设,23=a 则()[]33291++-a a 的值为.________11. 已知抛物线43432+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x a ax y 的开口向下，它与x 轴交于点,,B A 与y 轴交于点C ，如果ABC ∆是等腰三角形，求a 的值.12. 锐角ABC ∆的内心为I ，垂心为H ，ABC ∆的外接圆的劣弧AC 的中点为M ，若MH MI =，求.ABC ∠13.若函数()213212+-=x x f 在区间[]b a ,上的最小值为a 2，最大值为b 2，求[].,b a。

一．选择题（共6小题）1．如图所示是一把杆秤的示意图。

图中O为支点，A为零刻度线位置，B为重物所挂位置。

C为秤陀，秤杆上相邻两侧刻度线之间的距离为△x．若把这把杆秤的秤砣换一个较重的秤砣，则为了仍能使用这把杆秤的正确秤量，在保持O点和B点位置不变的条件下，必须适当改变零刻度线A的位置和调整相邻两刻度线之间的距离△x．下列调整方法可能正确的是（）A．将A点移近O点，并增大△xB．将A点移近B点，并增大△xC．将A点移近O点，并减小△xD．将A点移近B点，并减小△x2．在如图所示的电路中，总电流I为1.2安，R1＝R2＝2R3．则下列对通过R2电流的判断正确的是（）A．大小为0.6安，方向向右B．大小为0.6安，方向向左C．大小为0.3安，方向向右D．大小为0.3安，方向向左3．图所示电路是由十二个不同的电阻组成的，已知R1＝12欧，其余电阻阻值未知，测得A、B间总电阻为6欧。

今将R1换成6欧的电阻，则A、B间的总电阻为（）A．6欧B．4欧C．3欧D．2欧4．两个定值电阻R1、R2串联后接在输出电压U稳定于12V的直流电源上，有人把一个内阻不是远大于R1、R2的电压表接在R1两端，如图，电压表的示数为8V，如果他把此电压表改接在R2两端，则电压表的示数将（）A．小于4伏B．等于4伏C．大于4伏小于8伏D．等于或大于8伏5．用均匀电阻丝制成直径为D的半圆图，如图所示，已知oa两点间的电阻为R，则bc两点间的电阻为（）A．8πR/（π+2）2B．2πR/（π+2）2C．R D．无法计算6．如图所示，为保证驾驶员的安全，轿车上设有安全带提示系统。

当驾驶员坐在座椅上时，座椅下的电键S1闭合、电键S2断开，指示灯L亮起；当驾驶员系上安全带时，电键S2闭合，指示灯L熄灭，在如图所示的各电路中，符合上述要求的是（）A．B．C．D．二．填空题（共3小题）7．如图所示，有一块均匀的半圆形薄金属片，先将它按甲方式接在电路中，测得电阻为R1；然后再将它按乙方式接入电路，它的电阻值为R2．则R1、R2满足的关系是R1＝R2。

2014年华约自主招生物理试题及答案D答案：1 【解答】（1）如图做受力分析。

垂直斜面方向受力平衡：N=mgcosθ=4mg/5则摩擦力f1为：f1=μN=5/4×4mg/5=mg平行斜面方向做匀加速运动：ma=f1−mgsinθ=mg−3mg/5=2mg/5则a=25g=4m/s2，且方向沿传送带向上运动到物块速度与传送带速度相同时经过的时间为：t1=v/a=1s运动的距离为：S1=at2/2=2m。

剩下的距离为S2=L−S1=18m，之后物块与传送带一起作匀速运动，则t2=S2/v=4.5s 故t=t1+t2=5.5s（2）法一：由第一问可知，在物块加速过程中摩擦力为f1=mg=40N此时摩擦力对物块做功W 1 = f 1a 1t 12/2 = 80J 匀速过程中摩擦力满足：f 2 = mgsinθ = 35 mg = 24N 则传送带做功W 2 = f 2S 2 = 432J 则总做功W = W 1 + W 2 = 512J （注：若是求传送带做功，则需考虑内能的变化，此时W 1 = f 1v 1t 1 = 160J ，W 2不变，总功为W = W 1 + W 2 = 592J ） 法二：用功能原理，传送带对物块所做的功为物块获得的机械能（动能与重力势能）则： W =mv 2/2+ mgLsinθ = 512J2. 【解答】（1）在地面上，有（黄金代换）：2R MmG mg =---------①对于同步卫星：r T m r Mm G 22)2(π=------② 联立解得：322T gR v π= ----------------③ (2) 由机械能守恒： r Mm G mv R Mm G mv -=-2202121----------④ 联立②③④解得：)21(23220gT R gR v π-= 地球自转的速度为TR u π2= 则最小的发射速度为u v u -=00=T R gT R gR ππ2)21(2322--3【解答】（1）由R =mv /Bq ，及动量守恒m a v a =m b v b ，可得R a :R b =q b :q a ，故q a :q b =1:45（2）由T =2πm /Bq ，有T a /T b =m a q b /m b q a ，有m a /m b =q a T a /q b T b ==2/117（3）由电荷与质量之比，可设(m a +m b )=119m o ，(q a +q b )=46q 0，其中m o ,q 0为定值，单位分别为一个原子质量单位和一个单位正电荷，可推测m o =2,q 0=2，此核为U ,质量数为238，核电荷数为92。

2014年“华约”自主招生物理试题1.如图所示的传送带装置，与水平面的夹角为θ，且tan θ=0.75．传送带的速度为v =4m/s ，摩擦系数为μ=0.8，将一个质量m =4kg 的小物块轻轻的放置在装置的底部，已知传送带装置的底部到顶部之间的距离L =20m ．（本题重力加速度g =10m/s 2）（1）求物块从传送带底部运动到顶部的时间t ；（2）求此过程中传送带对物块所做的功．【答案】（1）5.5s （2）512J【解析】【详解】(1)受力分析且由平衡条件得：4cos 5N mg mg θ== 则摩擦力1f N mg μ==平行斜面方向做匀加速运动：1sin f mg ma θ-= 解得：24m a s =，且方向沿传送带向上； 运到到物块与传送带速度相同时经过的时间为：11v t s a == 运动的距离为：21122s at m == 剩下的距离为2118s L s m =-=之后物块与传送带一起匀速运动， 则22 4.5s t s v== 所以12 5.5t t t s =+=；(2) 用功能原理，传送带对物块所做的功为物块获得的机械能（动能与重力势能）则：W =m v 2/2+ mg L sin θ = 512J ．2.已知地球的半径为R ，地球附近的重力加速度为g ．一天的时间为T ．已知在万有引力作用下的势能公式为E p = −GMm/ r ，其中M 为地球的质量，r 为卫星到地心的距离．（1）求同步卫星环绕地球的飞行速度v ；（2）求从地球表面发射同步轨道卫星时的速度v 0至少为多少．【答案】（1）v = （22R T π 【解析】【详解】(1)在地面上，有：2mM mg GR = 对于同步卫星：222()Mm Gm r r T π= 速度为：2r v Tπ=联立解得：v = (2)由机械能守恒：2201122Mm Mm mv G mv G R r-=-综合以上各式解得：0v =地球自转的速度为2R u Tπ=最小的发射速度为002R u v u Tπ=-=-． 3.在磁场中，一静核衰变成为a ，b 两核，开始分别做圆周运动．已知a 和b 两核圆周运动的半径和周期之比分别为R a : R b =45:1，T a : T b =90:117．此裂变反应质量亏损为Δm ．（1）求a 和b 两核电荷数之比q a /q b ；（2）求a 和b 两核的质量数之比m a /m b ；（3）求静核的质量数和电荷数；（4）求a 核的动能E k a ．【答案】（1）1:45 （2）2117 （3）A=238,Z=92 （4）2117119mc ∆ 【解析】【详解】(1) 由R=m v /Bq ，及动量守恒m a v a =m b v b ，可得R a : R b =q b :q a ，故q a :q b =1:45(2) 由T =2πm/Bq ，有T a /T b =m a q b /m b q a ，有m a /m b =q a T a /q b T b =2/117(3) 由电荷与质量之比，可设(m a +m b )=119m o ，(q a +q b )=46q 0，其中m o ，q 0定值，单位分别为一个原子质量单位和一个单位正电荷，可推测m o =2，q 0=2，此核为U ，质量数为238，核电荷数为92(4) 动能满足：E ka =m a v a 2/2=p a 2/2m a ，同样E kb =p b 2/2m b ，其中p a ，p b两核动量． 由动量守恒知：p a =p b ，于是有E ka /E kb =m b /m a =1/172则Δm c 2=E k a +E kb ，则E ka =117Δm c 2/119．4.假设房间向环境传递热量的速率正比于房间和环境之间的温度差，暖气片向房间传递热量的速度也正比于暖气片与房间之间的温度差．暖气片温度恒为T 0，当环境温度为−5℃时，房间温度保持在22℃．当环境温度为−15℃时，房间温度保持为16.5℃．（1）求暖气片的温度T 0；（2）给房子加一层保温材料，使得温差一定时房间散热的速率下降20%，求环境温度为−15℃时房间的温度．【答案】（1）55°C （2）20.4°C 【解析】(1)设两次房间温度分别为T 1=22℃，T 1′=16.5℃，环境温度分别为T 2=−5℃，T 2′=−15℃；设暖气片向房间的散热系数为k 1，房间向环境的散热系数为k 2，当房间温度平衡时暖气片向房间的散热速率与房间向环境的散热速率相同，则有：101212()()k T T k T T -=-'''101212()()k T T k T T -=- 两式相比可得：0112'''0112T T T T T T T T --=-- 代入数据解得：0055T C =； (2)设此时房间的温度为''1T ，则有： '''''1012120()(120)()0k T T k T T -=-- 由101212()()k T T k T T -=-可得：12911k k =； 由'''''1012120()(120)()0k T T k T T -=--可得：''0120.4T C ≈．5.蜡烛与光屏的间距为1．8m ．从蜡烛处开始移动透镜，第一次在光屏上出现清晰的像之后，又向前移动了0.72m 时，再一次出现了清晰的像．求透镜的焦距f ．【答案】0.378m【解析】【详解】令光源蜡烛与光屏间距为L ，两次成像时，物距（光源与透镜距离）分别为，像距分别为，两次透镜间距为d ，则由成像公式：1/u 1+1/v 1=1/f由对称性（或光路可逆性），交换蜡烛与光屏位置，则成像时透镜在同样位置，故：u 1=v 2， u 2=v 1可得：u 1+v 1=Lu 2−u 1=d =v 1−u 1整理可得：f =u 1v 1/(u 1+v 1) =(L 2−d 2)/4L =0.378m ．6.在x 轴上有两个点电荷q 1和q 2（q 1在q 2的左边）．x 轴上每一点处电势随着x 而变化的关系如图所示．当x =x 0时，电势为0；当x =x 1时，电势有最小值．（点电荷产生的电势为U =kq /r ）（1）求两个电荷q 1和q 2的位置；（2）求两个电荷的比值q 1/q 2．【答案】（1）21110:2,0x q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1:0,0q （2）2101x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】(1)(2) 由于在x =0处，电势趋于正无穷，可知在原点有一个正电荷，即q 1或q 2在x =0处．假设q 1在原点，则q 2在正半轴，此时在正半轴一定有某处（即q 2所处位置）电势为无穷大，与图像矛盾，则只能是q 2在原点，q 1在负半轴．又由于总电势可以为负，则可知20q <设1q 位置2(,0)x ，20x <在0x x =处，总电势为零，则 210020()kq kq x x x +=- 在1x x =处，电势最低点，则电场强度为零21221120()kq kq x x x +=- 由以上各式解得：212102x x x x =- 21120:(1)x q q x =- 则两点电荷位置为q 1：2110(2,0)x x x - q 2：（0，0）电荷比为21120(1)q x q x =-- ．7.在如图所示的电路中，有四个电磁继电器．相关参数标注在图上（图片来自网络）．（1）闭合开关后有何现象；（2）改变滑动变阻器的阻值（总阻值为1欧姆），闭合开关后的现象与（1）有何不同．【答案】（1）闭合开关后，四个继电器会从左向右依次闭合，三个灯泡从左往右依次变亮．到最后一个继电器闭合后，电源被短路，则四个继电器从左往右又会依次打开，三个灯泡从左向右依次熄灭，直到最后一个继电器打开，电源又接入电路，四个继电器又将依次闭合，三个灯泡又依次亮起，依次一直循环下去． （2）具体看解析【解析】(1) 闭合开关后，四个继电器会从左往右依次闭合，三个灯泡从左往右依次亮．到最后一个继电器闭合后，电源被短路（由于此时的滑动变阻器电阻为零），则有四个继电器从左往右又会依次打开，三个灯泡从左往右依次熄灭，直到最后一个继电器打开，电源又接入电路，四个继电器又将依次闭合，三个灯泡依次亮起，依次一直循环下去；(2)只考虑第一个继电器与滑运变阻器，电源所组成的电路，则其实为断电器与变阻器并联，继而与电池相连的电路，设R 1为第一个断电器的线圈电阻，R 2为滑运变阻器的电阻，r 为电源的内阻，E 为电源电动势，I 为整体电流，I 1为通过电磁继电器的电流，则稳定时：1212/()Ir IR R R R E ++=2112·R I I R R =+ 消去I ，有：221121223()42ER R I r R R R R R =++=+ 当10.1I A >时，210.07713R >Ω=Ω 即滑动变阻器的电阻小于0.077Ω时，现象与第一问一样．当滑动变阻器的电阻大于0.077Ω时，无论四个继电器是否闭合，第一个继电器始终达到吸附电流10.1I A >，则不会断开，因此当四个继电器都闭合之后，电路将保持这样的状态，三个灯泡全部亮起，不会像第一问一亲循环闪烁．。

练习五
1. 已知:E 是正方形ABCD 的BC 边中点,过点D B .分别作AE 垂线，垂足分别是G F ..求角FBG ∠.
2. 若k 为整数，使得关于x 的方程03)32(2=++-x k kx 有有理数根，则称k 为“好数”，求这个好数k 的个数。

3. 在ABC Rt ∆中，已知6=AC ,点E 在AC 边上，满足AE CE 2=,D 为斜边AB 中点,F 为线段BC 一动点，满足ο90=∠EDF ，求FC BF -最大值。

4. 已知n （3≥n ）个实数数n 的最小值。

5.已知o为锐角三角形ABC的外心，ο
∠BAC,延长CO,与AB交于点D，延长BO与AC交于点E，
60
=
6.
7.
8.
9. 已知二次函数b x ax y ++=421与 a x bx y ++=422均有最小值，记1y 与2y 的最小值是 n m ,。

（1）若0=+n m ，证明：任意的实数x ，均有021≥+y y ；
（2）若n m ,均大于0，且 2=mn 记M 为n m ,中较大者，求M 的值。

10. 如图，在三角形ABC 中，AC AB =,D 为边AC 上一动点，过点D 作AB DE //,DE 与BC 交于点E ,F 为BD 中点，1o 与2o 是CDE ∆和BDE ∆外接圆圆心，证明：
（1）ο90=∠AFO ;
（2）2
1FO FO FD FA =。

J I H B D G E A F C.....................2014华二自主招生数学试题一、填空题1．已知a+a -1=4，则a 4+a -4=______．2．⊙O 为△ABC 外接圆，已知R=3，边长之比为3：4：5，S △ABC =_____．3．,4112222b a b a +=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛20142013b a a b _________． 4．四个不相等的整数ABCD ，满足下式的关系，则D 可能有________个取值+DBDDD BCADAABBCB5．有一个鱼缸它的底为100cm×40cm ，高50cm ，现在鱼缸内装水，水面高40cm ，将一个底为40cm×20cm ，高为10cm 的砖块扔到鱼缸中．缸内水面上升了________cm ．6．有一个正方形ABCD ，边长为1，其中有两个全等矩形BEFC ，GHIJ ，BE=_________．7．13+a=9+b=3+c ，求 a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=______．8．甲手上有1～5号牌，乙手上有6～11号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘积为3的倍数，则这样的概率为_________．9．直角坐标系xOy 内有一个△OEF ，原点O 为位似中心，相似比为2，点E 的对应点为E′，已知E(2，1)，求E′的坐标_____．10．一辆车的计程车速度为55km/h ，出发时它的里程表上的里程数为abc ，n 小时(n 是整数)行程结束时里程表上的里程数是为cba ，其中 a≥1，a+b+c≤7，a 2+b 2+c 2=_________．11．有一个多项式，除以2x 2-3，商式是7x-4，余式是-5x+2，多项式为__________．12．有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为_______．13．有一个矩形ABCD ，DC=2BC ，E 、F 为AB 边上点，DE 、DF 将∠ADC 三等分， S △DEF /S 矩=________．14．抛物线上两点A(-5，y 1)，B(3，y 2)，抛物线顶点在(x 0，y 0)，当y 1＞y 2＞y 0，求x 0的取值范围__________．15．l 1、l 2交于点O ，平面内有任意点M ，M 到 l 1、l 2的距离分别为a 、b ，有序实数对(a ，b)为距离坐标，若有序实数对为(2，3)，这样的数有几个?___________二、选择题 16．若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD 全等的有( ) A ．△BCE B ．△ADF C ．△ADE D ．△CDE17．有一个长方形纸片，其长为a ，宽为b(a>b)，现将这种纸片按下图的方式拼成矩形ABCD ，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S ，当BC 的长改变时，S 不变，a 和b 满足( )A ．a=2bB ．a=3bC ．a=34b D ．a=4b 三、解答题18．解关于x 的方程a x =--3221．19．某商场购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价和 售价如下图：进货用了资金15.5万元，获得毛利2.1万元． (1)问该商场购进两种手机各多少台？ (2)若现在进货资金不超过16万；且(1)的基础上购进乙种手机，增加的数量是购进甲种手机减少数量的两倍，问该商场采用何种进货方案使得毛利最大．20．如图所示，C 在⊙O 上，OD ∥BC ，AD 是切线，延长DC 、AB 交于点Ｅ． (1)求证：DE 是切线；(2)32=DE CE ，求cos ∠ABC 的值．21．(1)设n 是给定的正整数，化简：()1111122-+++n n， (2)根据(1)的结果，计算2222221019113121121111+++++++++Λ的值．22．已知抛物线过点A(-3，0)，B(0，3)，C(1，0)(1)求解析式；(2)P 是直线AB 上方抛物线上一点，不与A 、B 重合，PD ⊥AB 于D ，PF ⊥x 轴于F ，与AB 交于E ．①当C △PDE 最大时，求P 的坐标②以AP 为边作正方形APMN ，M 或N 恰好在对称轴上，求P 的坐标．。