第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第三节 对数函数（2）
学习要求
1.复习巩固对数函数的图象和性质；
2.会求一类与对数函数有关的复合函数的定义域、值域等；
3.了解函数图像的平移变换、对称变换、绝对值变换。
．
【课堂互动】
自学评价
1．函数3log (2)y x =+的图象是由函数 3log y x =的图象向左平移2个单位
得到。
2. 函数3lo g (2)3y x =-+的图象是由函
数3log y x =的图象向右平移2个单位，得到。
3. 函数log ()a y x b c =++（0,1a a >≠）
的图象是由函数log a y x =的图象当
0,0b c >>时先向左平移 b 个单位，再向上平移 c 个单位得到; 当0,0b c <>时先向右平移| b|个单位，再向上平移c 个单位得到; 当0,0b c ><时先向左平移 b 个单位，再向下平移|c |个单位得到; 当
0,0b c <<时先向右平移| b|个 单位，
再向下平移|c| 个单位得到。
4.说明：上述变换称为平移变换。
()()y f x y f x a b =→=++
【精典范例】
例1：说明下列函数的图像与对数函数3log y x =的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：
(1)3log ||y x =； (2)3|log |y x =； (3) 3log ()y x =-；(4) 3log y x =-
分析：由函数式出发分析它与3log y x =的关系，再由3log y x =的图象作出相应函数的图象。
【解】（1）
3log y x =−−−−−−−→保留y轴右边的图像，
并
作关于y轴对称图像
3log ||y x =
间为(,0)-∞。
（2）3log y x = −−−−−−−→保留x轴上方的图像
将x轴下方图像翻折上去
3|log |y x = 由图象知：单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)。
（3）
3log y x =−−−−−→关于y轴对称
3log ()y x =-
由图象知：单调减区间为(,0)-∞。
（4）
3log y x =−−−−−→关于x轴对称
3log y x =-
点评:
（1 ①
()(||)y f x y f x =−−−−−−−→=保留y轴右边的图像，，
并作关于y轴对称图像
； ②
()|()|y f x y f x =−−−−−−−→=保留x轴上方的图像，
将x轴下方图像翻折上去
； 听课随笔
③
()()y f x y f x =−−−−−→=-关于y轴对称
；
④
()()y f x y f x =−−−−−→=-关于x轴对称
（2）练习：怎样由对数函数12
log y x =的
图像得到下列函数的图像？ (1)12
|log 1|y x =+；
(2)1
2
1log y x
=；
答案：（1）由的图象先向2左平移1个单位，保留上方部分的图象，并把x 轴下方部分的图象翻折上去得到
12
|log 1|y x =+的图象。
（2）1
2
1log y x
=的图象是12
log y x =关于x
轴对称的图象。
例2：求下列函数的定义域、值域：
（1）2log (3)y x =+； （2）
2
2log (3)
y x =-； （3）
2
log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．
分析：这是复合函数的值域问题，复合函数的值域的求法是在定义域的基础上，利用函数的单调性，由内而外，逐层求解。
【解】（1）由30x +>得3x >-
2log (3)y x ∴=+的定义域为(,3)-∞-，值域为R
（2）由2
30x ->
得x <<
，
∴2
2log (3)y x =-
的定义域为(
由2
033x <-≤，令2
3t x =-,则
(0,3]t ∈，
∴2
2log (3)y x =-的值域为2(,log 3]-∞
（3）由2
470x x -+>得x R ∈，即定义域为R
设2
47t x x =-+则3t ≥
当1a >时log a y t =在[3,)+∞上是单调增
函数，∴2
l o g (47)a y x x =-+的
值域为[l o g 3,)a
+∞ 当01a <<时log a y t =在[3,)+∞上是单
调减函数，∴2
log (47)a y x x =-+的值域
为(,log 3]a -∞
点评: 求复合函数的值域一定要注意定义域。
例3：设f (x )＝lg(ax 2
－2x ＋a ),
(1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围；
(2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围．
【解】(1) ∵f (x )的定义域是(－∞, ＋∞), ∴ 当x ∈(－∞, ＋∞)时,都有ax 2－2x ＋a >0, 即满足条件a >0, 且△<0, 4－4a 2<0, ∴a >1. (2) ∵f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，即当x 在定义域内取值时，可以使y ∈(－∞, ＋∞).
要求ax 2
－2x ＋a 可以取到大于零的一切值，∴ a >0且△≥0 (4－4a ≥0)或a ＝0,
解得0≤a ≤1.
点评:第一小题相当于ax 2
－2x ＋a >0,恒成立，； 第二小题是要ax 2－2x ＋a 能取到大于零的一切值，两题都利用二次函数的性质求解，要能正确区分这两者的区别。
追踪训练一
1. 比较下列各组值的大小：
（1）43log 5，22log 3；
（2）2
3log 2，2
3log 2，33log (log 2)；
2.解下列不等式：
（1）252x +> （2）3log (2)3x +< 3.画出函数2log (1)y x =+与2log (1)y x =-的图象，并指出这两个函数图象之间的关系。
答案：1。
（1）43log 5>22log 3；
（2）2
3log 2>2
3log 2>33log (log 2)
2．（1）5log 22x >- （2）225x -<<
3．图象略函数2log (1)y x =+的图象向右平移
2个单位得到2log (1)y x =-的图象。
【选修延伸】
例4: 已知0<log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。
[分析]：由条件可得： 441,1110log log m n m n >>⎧⎪
⎨
<<⎪⎩
； 所以，0<44log log n m <，则1m n >>。
[变式]：已知log 4log 4m n <，则m ，n 的大小又如何？
【解】∵log 4log 4m n <， ∴
4411log log m
n
<
，
当1m >，1n >时，得44110log log m
n
<<
，
∴44log log n m <， ∴1m n >>． 当01m <<，01n <<时，得
44110log log m
n
<
<，
∴
44log log n m
<，
∴01n m <<<．
当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <，
∴01
m <<，1n >，
∴01m n <<<．
综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<
思维点拔：
对于不同底的对数式，一般的方法是转化为同底的对数式，然后再利用对数函数的单调性求解，此类题目也可以用对数函数的图象的分布特征求解。
数形结合是解决函数问题的重要思想方法。
追踪训练二
1比较下列各组值的大小． 2log 0.4，3log 0.4，4log 0.4 答案：2log 0.4<3log 0.4<4log 0.4。
