【全程复习方略】版高中数学 7.5平面与平面垂直课时提能训练 苏教版

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课时提能演练(四十三)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( )(A)a平行于α内的所有直线(B)α内有无数条直线与a平行(C)直线a上的点到平面α的距离相等(D)α内存在无数条直线与a成90°角2.(2012·温州模拟)下列命题中正确的个数是( )①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；④平行于同一平面的两直线可以相交.(A)1 (B)2 (C)3 (D)43.已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )(A)a∥b，b⊂α，则a∥α(B)a、b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β(C)a⊥α，b∥α，则a⊥b(D)当a ⊂α，且b ⊄α时，若b∥α，则a∥b 4.(预测题)下列命题正确的是( )(A)直线a 与平面α不平行，则直线a 与平面α内的所有直线都不平行(B)如果两条直线在平面α内的射影平行，则这两条直线平行 (C)垂直于同一直线的两个平面平行(D)直线a 与平面α不垂直，则直线a 与平面α内的所有直线都不垂直5.已知点O 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1底面ABCD 的中心，则下列结论正确的是( )(A)直线OA 1⊥平面AB 1C 1 (B)直线OA 1∥平面CB 1D 1 (C)直线OA 1⊥直线AD (D)直线OA 1∥直线BD 16.(2012·厦门模拟)a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题：a c a ab a bb c b a b c a a b c a γ⎧⎧⇒⇒⎨⎨γ⎩⎩ααγ⎧⎧⇒αβ⇒αβ⎨⎨ββγ⎩⎩ααγ⎧⎧⇒α⇒α⎨⎨γ⎩⎩ ① ②　③④　⑤⑥ 其中正确的命题是( )(A)①②③ (B)①④⑤ (C)①④ (D)①③④二、填空题(每小题6分，共18分)7.考察下列两个命题，在“ ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a 、b 为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为 .b b a b a __________ ⊂α⎫⎫⎪⎪⇒αα⇒α⎬⎬⎪⎪⎭⎭b a ①a ② 8.(易错题)已知l 、m 、n 是互不相同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m∥n. 其中所有真命题的序号为 .9.(2012·嘉兴模拟)已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 分别与α，β交于A ，C ，过点P 的直线n 分别与α，β交于B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为 . 三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·台州模拟)已知如图：E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点.(1)求证：EG∥平面BB 1D 1D ； (2)求证：平面BDF∥平面B 1D 1H.11.(2012·大庆模拟)如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点. (1)若E 为A 1C 1的中点，求证：DE∥平面ABB 1A 1； (2)若E 为A 1C 1上一点，且A 1B∥平面B 1DE ，求A 1EEC 1的值.【探究创新】(16分)如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为菱形，平面AA 1C 1C⊥平面ABCD.(1)证明：平面AB 1C∥平面DA 1C 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP∥平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选A.若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面或垂直，所以A不正确，B、D 正确，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确.2.【解析】选B.a∩α＝A时，a⊄α，∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α，l与α无公共点，∴l与α内任一直线都无公共点，③正确；长方体中A1C1与B1D1都与面ABCD平行，∴④正确.3.【解析】选C.A选项是易错项，由a∥b，b⊂α，也可能a⊂α；B 中的直线a，b不一定相交，平面α，β也可能相交；C正确；D中的直线a，b也可能异面.4.【解析】选C.当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线在平面α内的射影平行，则可以为异面直线，故选项B错误；直线a与平面α不垂直，但直线a可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D错误，只有选项C正确.5.【解析】选B.如图，连接A1B，A1D，BD.易知BD∥B1D1，A1B∥D1C，故面A1BD∥面CD1B1，A1O⊂面A1BD，∴A1O∥面CB1D1.6.【解析】选C.①④正确，②错在a、b可能相交或异面.③错在α与β可能相交.⑤⑥错在a可能在α内.7.【解析】①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“a为平面α外的直线”，即“a⊄α”.它同样适合②，故填a⊄α.答案：a⊄α8.【解析】①中，当α、β不平行时，也可能存在符合条件的l、m；②中的直线l、m也可能异面；③中由l∥γ，l⊂β，γ∩β＝m得l ∥m，同理l∥n，故m∥n.答案：③【变式备选】设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a ⊂α，b ⊄α， a ，b 是异面直线，那么b ∥α； ②若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ；③若a ⊂α，b ∥α，a ，b 共面，那么a ∥b ； ④若α∥β，a ⊂α，则a ∥β.上面命题中，所有真命题的序号是 .【解析】①中的直线b 与平面α也可能相交，故不正确； ②中的直线a ，b 可能平行、相交或异面，故不正确；由线面平行的性质得③正确；由面面平行的性质可得④正确. 答案：③④9.【解析】分两种情况考虑，即当点P 在两个平面的同一侧和点P 在两平面之间两种可能.由两平面平行得交线AB ∥CD ，截面图如图所示，由三角形相似可得BD ＝245或BD ＝24.答案：245或2410.【证明】(1)取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ， 由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D.(2)由题意可知BD ∥B 1D 1.如图，连接HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF. 又B 1D 1∩HD 1＝D 1， BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H.11.【解析】(1)取B 1C 1中点G ，连接EG 、GD ， 则EG ∥A 1B 1，DG ∥BB 1， 又EG ∩DG ＝G ，∴平面DEG ∥平面ABB 1A 1， 又DE ⊂平面DEG ， ∴DE ∥平面ABB 1A 1.(2)设B 1D 交BC 1于点F ，则平面A 1BC 1∩平面B 1DE ＝EF. 因为A 1B ∥平面B 1DE ，A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以A 1B ∥EF. 所以A 1E EC 1＝BF FC 1.又因为BF FC 1＝BD B 1C 1＝12，所以A 1E EC 1＝12.【探究创新】【解题指南】(1)转化为线线平行来证明；(2)先猜想点P 的位置，然后再证明.【解析】(1)由棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的性质知AB 1∥DC 1，A 1D ∥B 1C ，AB 1∩B 1C ＝B 1，A1D∩DC1＝D，∴平面AB1C∥平面DA1C1.(2)存在这样的点P满足题意.在C1C的延长线上取点P，使C1C＝CP，连接BP，∵B1B CC1，∴BB1CP，∴四边形BB1CP为平行四边形，∴BP∥B1C，又∵A1D∥B1C，∴BP∥A1D，∴BP∥平面DA1C1.【方法技巧】立体几何中探索性问题的解法探索性问题是近几年高考中出现频率较高的题目，能较好地考查学生的猜想能力和推理能力.一般以判断点的存在性为主，用几何法解答探索性问题的一般步骤是：先假设所求的点存在，然后在这一条件下进行推理论证，得出相关的结论.如果得出矛盾，则说明假设不成立，即不存在满足条件的点；如果得不出矛盾，则说明假设成立，即存在满足条件的点.【变式备选】如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF ∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由.【解析】存在这样的点F，使面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点.证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥CF，又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊂平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，又CC1、CF 平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.。

2.3.2 平面与平面垂直的判定基础练习题（含答案解析）1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定解析：选C.当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补．2．在四棱锥P－ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A．平面P AB⊥平面P ADB．平面P AB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面P AD解析：选C.由面面垂直的判定定理知：平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面P AD，A、B、D正确．3．如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A.如图，平面α为平面AD1，平面β为平面BC1，平面γ为平面AC，∵m⊂α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m⊥γ，l⊂γ，由线面垂直的性质得m⊥l.4.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面P DFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC解析：选C.可画出对应图形(图略)，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面P AE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面P AE，故D成立．5．(2013·德州高一检测)已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对解析：选D.∵DA⊥AB，DA⊥P A，AB∩P A＝A，∴DA⊥平面P AB，同理BC⊥平面P AB，AB⊥平面P AD，DC⊥平面P AD，∴平面AC⊥平面P AD，平面AC⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面PDC⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD.6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，P A ＝6，那么二面角P－BC－A的大小为________．解析：取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP ＝OA＝3，P A＝6，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，则AC⊥BD.∵P A⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴P A⊥BD.∵P A∩AC＝A，∴BD⊥面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B 确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数9．点P是菱形ABCD所在平面外一点，且P A＝PC，求证：平面P AC⊥平面PBD.证明：如图所示，连接AC，BD交于点O，连接PO，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵AO＝OC，P A＝PC，∴PO⊥AC.∵BD∩PO＝O，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBD.10．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∵EF⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.。

课时提能演练(四十三)(45分钟 100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.若直线a ⊂平面α,则条件甲：“直线b ∥α”是条件乙：“b ∥a ”的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).2.(2012·无锡模拟)下列命题中正确的是_______. ①若直线a 不在α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行； ④若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ⑤平行于同一平面的两直线可以相交．3.下列两个命题，在“______”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a 、b 为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为______．b ab a b a b a_____ _____⊂α⎫⎫⎪⎪⇒αα⇒α⎬⎬⎪⎪⎭⎭① ②4.过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有______条.5.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过A 、C 、E 三点的平面的位置关系是______.6.正方体AC 1的棱长为1，过AC 作平行于对角线BD 1的截面，则截面面积为______.7.若一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线的位置关系是______.8.已知直线m,n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m,n距离相等的点的集合可能是①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集.其中正确的是______.二、解答题(每小题15分，共45分)9.(2012·南京模拟)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，P分别是BC，A1D1的中点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.(1)求证：MN∥平面ADD1A1；(2)求三棱锥P-DEN的体积.10.(2012·淮安模拟)如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，M为CE上一点，且BM⊥EC，点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE.11.如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2.(1)求证：AC∥平面BEF；(2)求四面体BDEF的体积.【探究创新】(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点.点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.答案解析1.【解析】因为b∥α时a与b并不一定平行，而b∥a时，b与α也不一定平行，还可能有b⊂α，故条件甲是条件乙的既不充分也不必要条件.答案：既不充分也不必要2.【解析】a∩α＝A时，a⊄α，∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；l∥α，l与α无公共点，∴l与α内任一直线都无公共点，④正确；长方体中A1C1与B1D1都与面ABCD平行，∴⑤正确．答案：④⑤3.【解析】①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“a为平面α外的直线”，即“a⊄α”．它同样适合②，故填a⊄α.答案：a⊄α4.【解析】如图所示，与平面DBB1D1平行的直线有EF、FG、GH、HE、EG、FH共6条，同理，连结A1B1,A1D1,AB,AD的中点，也有6条，综上知与平面DBB1D1平行的直线共有12条.答案：125.【解析】如图所示，连结BD交AC于点O，连结EO.∵四边形ABCD是正方形，∴O为BD的中点.又∵E为DD1的中点，∴EO∥BD1，又BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：平行6.【解析】连结BD，过AC中点O作OE∥BD1交D1D于E.则三角形ACE的面积即为所求.由AC==答案:7.【解题指南】把文字叙述转化为符号叙述.然后利用线面平行的性质，把线面平行转化为线线平行.【解析】已知a ∥α，a ∥β，α∩β=l ， 设过a 的平面γ∩α=m,∵a ∥α，∴a ∥m.设过a 的平面γ′∩β=n, ∵a ∥β,∴a ∥n,∴m ∥n.∵n ⊂β,m ⊄β,∴m ∥β. 又∵m ⊂α,α∩β=l ,∴m ∥l .∴a ∥l . 答案：平行8.【解析】到两条平行直线m,n 距离相等的点的集合，构成平面β.①若α与β相交，本题所求点的集合是一条直线.②若α∥β则本题所求点的集合是空集.③若α与β重合则本题所求点的集合是一个平面. 答案：①②④9.【解析】(1)取PE 中点F ，连结MF 、NF.1MFAPNF PD MNF MF NF F ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭平面∥平面ADD 1A 1. MN ⊂平面MNF ，所以MN ∥平面ADD 1A 1 (2)过D 作D 1C 的垂线，垂足为G. ∵BC ⊥平面D 1C ，∴BC ⊥DG, ∴DG ⊥平面PNE,∴V P-DEN =V D-PNE =31PNE 11DD DC 111S DG D CCE a .36D C 6==···· 10.【证明】取DE 中点H ，连结MH 、AH. 因为BM ⊥EC ，且BE=BC.所以M 为CE 的中点.所以MH 为△EDC 的中位线，所以MH ∥DC ，且MH=12DC. 因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以DC ∥AB ，且DC=AB. 故MH ∥AB ，且MH=12AB.因为N 为AB 中点，所以MH ∥AN ，且MH=AN. 所以四边形ANMH 为平行四边形，所以MN ∥AH. 因为MN ⊄平面ADE ，AH ⊂平面ADE ， 所以MN ∥平面ADE.11.【解题指南】(1)转化为证明线线平行；(2)根据面面垂直确定四面体的高，进而求得体积．【解析】(1)设AC ∩BD=O ，取BE 中点G ，连结FG ，OG ， 所以，OG12DE. 因为AF ∥DE ，DE=2AF ，所以AF OG ， 从而四边形AFGO 是平行四边形，FG ∥AO. 因为FG ⊂平面BEF,AO ⊄平面BEF, 所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF. (2)因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD, 所以AB ⊥平面ADEF.因为AF ∥DE,∠ADE=90°,DE=DA=2AF=2， 所以△DEF 的面积为12×ED ×AD=2， 所以四面体BDEF 的体积=DEF 14S AB .33⨯=【变式备选】如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP=AB ，BP=BC=2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点. (1)证明：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E —ABC 的体积V.【解析】(1)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点， ∴EF ∥BC.∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD ，∴EF ∥AD. 又∵AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD.(2)连结AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G,则EG ⊥平面ABCD ，且EG=12PA.在△PAB 中，AP=AB ，∠PAB=90°，BP=2，∴EG 2=∴ABC 11S AB BC 222===·∴E ABC ABC111V S EG .3323-===· 【探究创新】【解析】连结AC 交BQ 于点O ，连结OM.若PA ∥平面MQB ，则由PA ⊂平面PAC ， 平面PAC ∩平面MQB=OM ，得PA ∥OM 所以PM AO.PC AC= 在□ABCD 中，∵AD ∥BC ， ∴△AOQ ∽△COB ，∴AO AQ.OC BC= 又∵Q 为AD 的中点，AD=BC ，∴AO AQ 1AO 1OC BC 2AC 3==∴=，，∴PM 11PM PC PC 33==，即， ∴t=13时，PA ∥平面MQB.。

§1.2.4 第17课时 平面与平面垂直(2)学习目标：1.掌握平面与平面垂直的性质定理并能加以运用；2.强化线线垂直、线面垂直、面面垂直相互转化的思想；学习重点：平面与平面垂直的性质定理的理解及这两个定理的运用．学习难点：理解平面与平面垂直的性质定理成立的条件．学习过程：一、课前准备：自学课本P431.面面垂直的性质定理： ．面⊥面⇒ ． 符号表示： ．2.如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线 ．符号表示： ．3.两个平面互相垂直，下列命题正确的是 ．①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面；⑤过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线有且仅有一条.4.已知平面α⊥β，直线a 满足a ⊥β，且α⊄a ，则a 与α的位置关系是 ．5.在所给正方体中，下列结论正确是 ．①平面ADD 1A 1⊥平面ABCD②D 1A ⊥AB③D 1A ⊥面ABCD6.在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． 求证：AB ⊥BC ．二、合作探究：例1.已知：三个平面γβα,,，α⊥γ，β⊥γ，α∩l =β．求证：l ⊥γ．例2.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆O 上的动点，过动点C 的直线VC 垂直于⊙O 所在平面，D 、E 分别是VA 、VC 的中点，直线DE 与平面VBC 有什么关系？试说明理由.例3.在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥CD，AF⊥DB，垂足分别为E,F．求证：⑴EF⊥DC；⑵平面DBC⊥平面AEF．三、课堂练习：课本P43练习第4题．四、回顾小结：1.当两平面垂直时，常添加的辅助线是在一个平面内作两面交线的垂线，或过一个面内一点作另一个面的垂线；性质定理可简化为“面面垂直，则线面垂直；2.判定定理，性质定理有时要和其他定理结合起来用．五、课外作业：课课练六、自我测试：1.下列四个命题中，正确的是．①垂直于同一个平面的两个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一个平面的两条直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行．2.AB是⊙O的直径，SA⊥⊙O所在平面M，平面M内有一动点P，使得PB⊥PS，则动点P与⊙O的位置关系是．3.如图，α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，BC⊂β，DE⊂β，BC⊥DE．求证：AC⊥DE．。

【全程复习方略】2013版高中数学 7.1平面、空间两条直线的位置关系课时提能训练苏教版(45分钟 100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.(2012·扬州模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．2.设P表示一个点，a,b表示两条直线，α,β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________.①P∈a,P∈α⇒a⊂α②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b3.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点.以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为__________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)4.和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是___________.5.以下命题中，正确命题的序号是___________.①有三个角是直角的四边形一定是矩形②不共面的四点可以确定四个平面③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线④若点A、B、C∈平面M，且点A、B、C∈平面N，则平面M与平面N重合⑤若l1, l2, l3是空间三条不同的直线，且l1∥l2∥l3，则l1, l2, l3共面⑥若l1, l2, l3是空间三条不同的直线，且l1, l2, l3共点，则l1, l2, l3共面6.如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是___________.(填序号)7.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小是________.8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的序号是__________.二、解答题(每小题15分，共45分)9.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求证：M、N、K三点共线.10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1A，C1C的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．11.如图所示，四棱锥A—BCED中，AC⊥底面BCED，底面BCED为直角梯形，BD∥EC，∠ECB=∠DBC=90°，BD=1,BC=AC=EC=4.求异面直线DE与AB所成角的余弦值.【探究创新】 (15分)求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．答案解析1.【解析】正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC 为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A ′B,BC ′,A ′D,C ′D ，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有124242⨯=对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)． 答案：242.【解析】当a ∩α=P 时,P ∈a,P ∈α,但a ⊄α,∴①错;当a ∩β=P 时,②错;如图,∵a ∥b,P ∈b,∴P ∉a,∴由直线a 与点P 确定唯一平面α, 又a ∥b,由a 与b 确定唯一平面β,但β过直线a 与点P,∴β与α重合,∴b ⊂α,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案：③④【误区警示】解答本题时常因考虑不到一些特殊情况而导致错误．3.【解析】结合图形可得直线AM 与直线C 1C 、BN 是异面直线，故①、②错误；由异面直线的定义可得③、④正确．答案：③④4.【解析】画出图形分析.图①中，AB、CD与异面直线a、b都相交，此时AB、CD异面；图②中，AB、AC与异面直线a、b都相交，此时AB、AC相交.答案：异面或相交5.【解析】如图(1)，平面α内∠ABC为直角，P α，过P作PD⊥AB，PE⊥BC，则四边形PDBE有三个直角，故①错误；在图(2)的平面α内，四边形ABCD中任意三点不共线，知③错误；图(3)中，M∩N=l，A、B、C都在l上，知④错误，对于⑤:空间中三条互相平行的直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面,故命题错误.对于⑥:空间中共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面.只有②正确．答案：②6.【解析】在(1)图中分别连结PS,QR，易证PS∥QR，∴P,Q,R,S共面；在(3)图中分别连结PQ,RS，易证PQ∥RS，∴P,Q,R,S共面．如图，在(2)图中过P,Q,R,S可作一正六边形，故四点共面；(4)图中PS与QR为异面直线，∴四点不共面.答案：(1)(2)(3)【误区警示】对于截面问题，常因不能准确确定平面的交线而出错．7.【解析】连结AB1，易知AB1∥EF，连结B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连结GH，则GH∥AB1∥EF.故∠HGB(或其补角)为EF与BC1所成的角，设AB=BC=AA1=a,连结HB，在三角形GHB中，易知,故两直线所成的角为∠HGB=60°.答案：60°8.【解题指南】将平面图形还原为空间图形，然后逐一进行判断．【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③【变式备选】(2011·杭州模拟)已知a,b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a,b 在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的序号是__________(写出所有正确结论的序号)．【解析】①、②、④对应的情况如下：用反证法可证明③不可能.答案：①②④ 9.【证明】PQ CB M RQ DB N RP DC K =⎧⎪=⇒⎨⎪=⎩M N K BCD M N K PQR∈⎧⎨∈⎩、、平面、、平面⇒M 、N 、K 在平面BCD 与平面PQR 的交线上，即M 、N 、K 三点共线. 【变式备选】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，N 为BB 1的中点，O 为正方形BCC 1B 1的中心．(1)过O 作一直线与AN 交于P ，与CM 交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ 的长．【解析】(1)由ON ∥AD 知，AD 与ON 确定一个平面α.又O,C,M 三点确定一个平面β(如图所示)．平面α、β及面ABCD 两两相交.延长CM，DA交于点Q，连结OQ交AN于点P. 则直线OPQ即为所求作的直线.(2)由Rt△AMQ≌Rt△BMC，得AQ=CB=1，又∵△OPN∽△QPA，ON=12BC=12AQ.∴PN∶PA＝1∶2.2AP AN3==解Rt△APQ可得10.【证明】如图所示，取B1B的中点G，连结GC1，EG，∵GB∥C1F，且GB=C1F∴四边形C1FBG是平行四边形，∴FB∥C1G，且FB=C1G,∵D1C1∥EG，且D1C1=EG,∴四边形D1C1GE为平行四边形．∴GC1∥D1E，且GC1=D1E,∴FB∥D1E，且FB=D1E，∴四边形EBFD1为平行四边形．又∵FB＝FD1，∴四边形EBFD1为菱形．【误区警示】解答本题时，常忽视对四边形EBFD1为平面图形的证明，如证得BE=ED1=D1F=FB后即下结论得到菱形．11.【解析】过点B作BF∥ED交EC于F，连结AF，则∠FBA(或其补角)即为异面直线DE 与AB 所成角，在△BAF 中，AB=， 由余弦定理得cos ∠ABF=222BF AB AF 2BF AB 5+-=；即异面直线DE 与AB ． 【探究创新】【证明】(1)若a 、b 、c 三线共点P ，但点P ∉d ，由d 和P 点可确定一个平面α. 设a ∩d ＝A,∴点A ∈α,∴直线a ⊂α.同理可证：b 、c ⊂α,∴a 、b 、c 、d 共面.(2)若a 、b 、c 、d 两两相交但不过同一点.∵a ∩b ＝Q,∴a 与b 可确定一个平面β.又c ∩b ＝E,∴E ∈β.同理c ∩a ＝F,∴F ∈β.∴直线c 上有两点Ｅ、Ｆ在β上,∴c ⊂β.同理可证：d ⊂β,故a 、b 、c 、d 共面.由(1)(2)知：两两相交且不过同一点的四条直线必共面.。

【全程复习方略】2013版高中数学 7.6空间几何体及其表面积和体积课时提能训练苏教版(45分钟 100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.(2012·苏北四市联考)已知正三棱锥的底面边长为2，则它的体积为_______.2.圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是_______.3.P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PB=，P-ABCD 体积等于_______.4.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D－ABC的体积为_______.5.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为_______.6.(2012·南京模拟)有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为_______.7.圆锥的表面积为15πcm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为_______cm3.8.已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB，△PAC，△PBC的面积分别为1.5 cm2，2 cm2，6 cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为_______cm2．(注S球=4πr2，其中r为球半径)二、解答题(每小题15分，共45分)9.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8 cm.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高多少？10.(2012·宿迁模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点.(1)求证：EF∥平面ABC1D1;(2)求证：EF⊥B1C;(3)求三棱锥B1-EFC的体积.11.(2012·扬州模拟)如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直.(1)求证：AF⊥平面CBF；(2)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF;(3)求三棱锥C-BEF的体积.【探究创新】(15分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C 1，所爬的最短路程为(1)求证：D 1E ⊥A 1D ； (2)求AB 的长度.答案解析1.【解析】如图，正三棱锥P-ABC 中，PA=PB=PC=3，AB=BC=AC=2，PO ⊥平面ABC. ∵O 为△ABC 的重心,∴OA=23×2×sin60°∴2,==∴V 正三棱锥=2122343⨯⨯=答案：32.【解析】上底面半径r=1,下底面半径R=2. ∵S 侧=6π，设母线长为l ,则π(1+2)·l =6π,∴l =2,∴高∴221V (1122).3=π+⨯+=3.【解析】设PA=a,AB=b,AD=c,则(2222222222a b 8a c 13,a b c 17⎧+==⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪++==⎪⎩解得a=2,b=2,c=3, V P-ABCD =13×2×3×2=4. 答案：44.【解析】设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，沿AC 折起后，依题意得：当BD=a 时，BE ⊥DE ， ∴DE ⊥平面ABC ，∴三棱锥D －ABC 的高为DE＝a 2，∴23D ABC 11V a 32=⨯－．3 【误区警示】解答本题时常因弄不清折叠前后线段的位置关系及数量关系的变化而导致错误． 5.【解析】因为扇形弧长为2π， 所以圆锥母线长为3，高为所求体积21V 1.33=⨯π⨯⨯=π答案：3π 6.【解析】设正方体的棱长为a. 三个球的半径依次为r 1,r 2,r 3, 由题意得2r 1=a,r 1=a 2,a 2+a 2=(2r 2)2,r 2,a 2+a 2+a 2=(2r 3)2，r 3, 所以三个球的表面积之比为222222123a 2a 3r r r a 444=∶∶∶∶=1∶2∶3.答案：1∶2∶37.【解析】设底面圆的半径为r ，母线长为a ，则侧面积为12×(2πr)a=πra ．由题意得22ra r 151ra a6⎧π+π=π⎪⎨π=π⎪⎩，解得2215r 73615a 7⎧=⎪⎪⎨⨯⎪=⎪⎩，故圆锥的高h =所以体积为21115V r h 337=π=π⨯⨯=．8.【解题指南】当三线互相垂直时，联想构造长方体，长方体的对角线即为外接球的直径． 【解析】设PA=a ，PB=b,PC=c,则有13ab 22a 11ac 2b 32c 41bc 62⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩，解得．所以外接球的表面积为S=4π×2=26π(cm 2)． 答案：26π9.【解析】设原三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面积为S cm 2，高为h cm.∵DE ∥AB, ∴△EDC ∽△ABC, 且2EDC EDCABCS CE 11(),S S.SAC 44==∴= ∴当侧面AA 1B 1B 水平放置时，无水的空间即CDE-C 1D 1E 1为一小三棱柱. 此时水的体积为V 水=Sh-14S ·h=34Sh(cm 3).当底面ABC 水平放置时，水占有的空间为一个三棱柱，设该三棱柱的高为h ′cm,则34Sh=Sh ′ ∴h ′=34h=34×8=6(cm),∴液面高6 cm. 10.【解析】(1)连结BD 1，在△DD 1B 中，E ，F 分别为D 1D,DB 的中点，则111111EFD BD B ABC D EF ABC D ⎫⎪⊂⎬⎪⊄⎭平面平面 ⇒EF ∥平面ABC 1D 1.()1111111 B C AB2B C BC AB,BC ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⎪⎬⊂⎪⎪⋂=⎭平面1111111111B C ABC D B C BD EF B C.BD ABC D EF BD ⇒⊥⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎭平面平面(3)∵CF ⊥平面BDD 1B 1, ∴CF ⊥平面EFB 1且∴111EF BD B F 2====B 13,==∴EF 2+B 1F 2=B 1E 2,即∠EFB 1=90°.∴111B EFC C B EF B EF 111111V V SCF EF B F CF 1.33232--===⨯⨯⨯⨯=⨯=·· 11.【解题指南】证明本题(1)的关键是恰当地利用面面垂直的性质来证明线面垂直；证明本题(2)的关键是作辅助线构造平行四边形；第(3)问计算锥体的底面积是关键.【解析】(1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF=AB ， ∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB. 又AF ⊥BF ，且BF ∩BC=B ，BF 、BC ⊂平面CBF ， ∴AF ⊥平面CBF.(2)设DF 的中点为N ，连结MN ，NA ，则MN 12CD ，又AO 12CD ，则MN AO ，MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN.又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ， ∴OM ∥平面DAF.(3)过点E 作EH ⊥AB 于H ，由题意知△ABF 中，AF ⊥BF ，AB=2，AF=1，则∠BAF=60°,又四边形ABEF 是等腰梯形，所以∠EBH=60°,所以1EH BH 22==，则EF=AB-2HB=1.故S △BEF =11224⨯⨯=V C-BEF =BEF 1SBC 3⨯⨯=【变式备选】(2012·宿州模拟)已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，AB=1，AC=AD=CD=DE=2，F 、O 分别为CE 、CD 的中点. (1)求证：CD ⊥平面AFO ； (2)求三棱锥C-ADE 的体积.【解析】(1)∵AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ， ∴DE ⊥平面ACD ，∴DE ⊥CD ， ∵F 、O 分别为CE 、CD 的中点， ∴FO ∥ED ，∴FO ⊥CD.∵△ACD 是等边三角形，∴AO ⊥CD ， ∴CD ⊥平面AFO.(2)由(1)中DE ⊥平面ACD ，得DE ⊥AO ， 又AO ⊥CD,且DE ∩CD=D,∴AO ⊥平面CDE,∴AO 是三棱锥A-CDE 的高.∴V C-ADE =V A-CDE =13S △CDE ·AO=13×12×2×2.【探究创新】【解析】(1)连结AD1，由长方体的性质可知：AE⊥平面AD1，A1D⊂平面AD1，∴AE⊥A1D，又∵AD=AA1=1，∴AD1⊥A1D，又AE∩AD1=A，∴A1D⊥平面AED1，又∵D1E⊂平面AED1，∴D1E⊥A1D.(2)设AB=x,点A到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为|AC1如图乙的最短路程为AC==1∵x>1,∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4,故从点A沿长方体的表面爬到点C1=解得x=2.即AB的长度为2.。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二第3课时两平面垂直的性质【课时目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________________________________________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a⊄α，a⊥β，那么__________(a与α的位置关系)．一、填空题1．平面α⊥平面β，a⊂α，b⊂β，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．2．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确的命题是________(填序号)．3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．4．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的序号为________．①a与b可能垂直，但不可能平行；②a 与b 可能垂直，也可能平行； ③a 与b 不可能垂直，但可能平行； ④a 与b 不可能垂直，也不可能平行．5．如图，两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M 、N 分别是BD 和AE 的中点，那么①AD ⊥MN ；②MN ∥平面CDE ；③MN ∥CE ；④MN 、CE 异面．其中结论正确的是________(填序号)． 6．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′＝________．7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，PD/∈l ，则下列命题中正确的为________．(只填序号) ①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线垂直于β； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O ，空间一点P 到α、β、γ的距离分别是2 cm 、3 cm 、6 cm ，则点P 到O 的距离为________ cm ．9．在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在底面ABC 上的射影H 必在________．二、解答题10．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ． 求证：BC ⊥AB ．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD ⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求P点到平面ABCD的距离．1．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面内作交线的垂线，这样，就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．2．无论从判定还是从性质来看，线线垂直、线面垂直和面面垂直都是密切相关的，面对复杂的空间图形，要善于发现它们之间的内在联系，找出解决问题的切入点，垂直关系的转化为：第3课时 两平面垂直的性质 答案知识梳理1．垂直 交线 a ⊥β2．(1)第一个平面内 a ⊂α (2)a ∥α 作业设计 1．a ⊥β 2．②④ 3．0解析 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾． 4．③ 5．①②③ 6．2∶1解析 如图： 由已知得AA ′⊥面β， ∠ABA ′＝π6，BB ′⊥面α，∠BAB ′＝π4，设AB ＝a ，则BA ′＝32a ，BB ′＝22a ，在Rt △BA ′B ′中，A ′B ′＝12a ，∴AB A ′B ′＝21．7．①③④解析 由性质定理知②错误． 8．7解析 P 到O 的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm 为长、宽、高的长方体的对角线的长． 9．直线AB 上解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥面ABC1，又AC⊂面ABC，∴面ABC1⊥面ABC．∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．10．证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB．11．证明(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．12．证明设AC∩BD＝O，连结EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD．13．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．∴P点到平面ABCD的距离为23．。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二第2课时 两平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．________________叫做二面角的面．二面角α的范围为________________．2．平面与平面的垂直①定义：如果两个平面所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． ②面面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条______，那么这两个平面互相垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥α⇒α⊥β．一、填空题 1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系． 其中正确的是________(填序号)．2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条． 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β； ②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β．4．过两点与一个已知平面垂直的平面有________个．5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD＝32，则二面角B－AC－D的大小为________．6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)．①BC∥面PDF; ②DF⊥面PAE；③面PDF⊥面ABC; ④面PAE⊥面ABC．7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．二、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD．11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E 是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．第2课时两平面垂直的判定答案知识梳理1．两个半平面这条直线每个半平面0°≤α≤180°2．①直二面角②垂线l⊂β作业设计1．②④解析①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．2．0解析若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．3．①③解析②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．4．1或无数解析当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．5．60°解析如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝3 2，∴∠BOD＝60°．6．①②④解析如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴①正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF⊥平面PAE．∴②正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴④正确．7．45°解析可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析 由PA ⊥面ABCD 知面PAD ⊥面ABCD ，面PAB ⊥面ABCD ， 又PA ⊥AD ，PA ⊥AB 且AD ⊥AB ， ∴∠DAB 为二面角D —PA —B 的平面角， ∴面DPA ⊥面PAB ．又BC ⊥面PAB ， ∴面PBC ⊥面PAB ，同理DC ⊥面PDA ， ∴面PDC ⊥面PDA ． 9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明 ∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点， ∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ， ∴AC ⊥平面BGD ．又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BGD ．∵EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面BGD ．11．(1)证明 如图所示，连结BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ．又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB ． 又因为PA ⊥平面ABCD ， BE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BE ．而PA ∩AB ＝A ， 因此BE ⊥平面PAB ． 又BE ⊂平面PBE ， 所以平面PBE ⊥平面PAB ．(2)解 由(1)知，BE ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以PB ⊥BE ．又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A —BE —P 的平面角． 在Rt △PAB 中，tan ∠PBA ＝PAAB ＝3，则∠PBA ＝60°．故二面角A —BE —P 的大小是60°．12．证明 (1)由E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点知 EF ∥BC ．因为EF ⊄平面ABC ． BC ⊂平面ABC ．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．。