测试技术课后答案全集

第2章习题及解答1.判断正误(1)凡频谱是离散的信号必然是周期信号。

( × )准周期信号(2)任何周期信号都由频率不同，但成整倍数比的离散的谐波叠加而成。

( × )(3)周期信号的频谱是离散的，非周期信号的频谱也是离散的。

( × )(4)周期单位脉冲序列的频谱仍为周期单位脉冲序列。

( √ )(5)非周期变化的信号就是随机信号。

( × )准周期信号(6)非周期信号的幅值谱表示的是其幅值谱密度与时间的函数关系。

( × )(7)信号在时域上波形有所变化，必然引起频谱的相应变化。

( × )(8)各态历经随机过程是平稳随机过程。

( √ )(9)平稳随机过程的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征。

( √ )(10)非周期信号的频谱都是连续的。

( × ) 准周期信号(11)单位脉冲信号的频谱是无限带宽谱（√）(12)直流信号的频谱是冲击谱（√）2.选择正确答案填空(1)描述周期信号的数学工具是(B )。

A.相关函数B. 傅里叶级数C. 拉普拉斯变换D. 傅里叶变换(2)描述非周期信号的数学工具是( C )。

A.三角函数B. 拉普拉斯变换C. 傅里叶变换D. 傅里叶级数(3)将时域信号进行时移，则频域信号将会( D )A.扩展B. 压缩C. 不变D. 仅有相移(4)瞬变信号的傅里叶变换的模的平方的意义为( C )A.信号的一个频率分量的能量B. 在f处的微笑频宽内，频率分量的能量与频宽之比C. 在f处单位频宽中所具有的功率(5)概率密度函数是在（C）域，相关函数是在（A）域，功率谱密度函数是在（D）域描述随机信号。

A.时间B. 空间C. 幅值D. 频率 (6) 白噪声信号的自相关函数是（C ）A.相关函数B. 奇函数C. 偶函数D. 不存在3．已知方波信号傅里叶级数，请描述式中各常数相的物理意义，并绘出频谱图。

见书中例题4．已知锯齿波信号傅里叶级数，请描述式中各常数相的物理意义，并绘出频谱图。

1-3 求指数函数()(0,0)atx t Aea t -=>≥的频谱。

(2)22022(2)()()(2)2(2)a j f tj f tat j f te A A a jf X f x t edt Ae edt Aa j f a j f a f -+∞∞---∞-∞-=====-+++⎰⎰πππππππ()X f =Im ()2()arctanarctan Re ()X f f f X f a==-πϕ1-5 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。

0cos ()0ωtt T x t t T⎧<⎪=⎨≥⎪⎩解：0()()cos(2)x t w t f t =π ()2sinc(2)W f T Tf =π()002201cos(2)2j f t j f t f t e e πππ-=+ 所以002211()()()22j f tj f t x t w t e w t e -=+ππ根据频移特性和叠加性得： 000011()()()22sinc[2()]sinc[2()]X f W f f W f f T T f f T T f f =-++=-++ππ 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f 0，同时谱线高度减小一半。

也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。

1-6 求指数衰减信号0()sin atx t eωt -=的频谱解 :()0001sin()2j t j t t e e j -=-ωωω,所以()001()2j t j t at x t e e e j--=-ωω单边指数衰减信号1()(0,0)atx t ea t -=>≥的频谱密度函数为11221()()j tat j t a j X f x t edt e e dt a j a ∞∞----∞-====++⎰⎰ωωωωω根据频移特性和叠加性得：[]001010222200222000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]a j a j X X X j j a a a a ja a a a ⎡⎤---+=--+=-⎢⎥+-++⎣⎦--=-+-+++-++ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω1-7 设有一时间函数f (t )及其频谱如图1-27所示。

《绪论》0-1叙述我国法定计量单位的基本内容。

答：我国的法定计量单位是以国际单位制(SI)为基础并选用少数其他单位制的计量单位来组成的。

1．基本单位根据国际单位制(SI)，七个基本量的单位分别是：长度——米(Metre)、质量——千克(Kilogram)、时间——秒(Second)、温度——开尔文(Kelvn)、电流——安培(Ampere)、发光强度——坎德拉(Candela)、物质的量——摩尔(Mol>。

它们的单位代号分别为：米(m))、千克(kg)、秒(s)、开(K)、安(A)、坎(cd)、摩(mol)。

国际单位制(SI)的基本单位的定义为：米(m)是光在真空中，在1／299792458s的时间间隔内所经路程的长度。

千克(kg)是质量单位，等于国际千克原器的质量。

秒(s)是铯-133原子基态的两个超精细能级间跃迁对应的辐射9192631770个周期的持续时间。

安培(A)是电流单位。

在真空中，两根相距1m的无限长、截面积可以忽略的平行圆直导线内通过等量恒定电流时，若导线间相互作用力在每米长度上为2×10-7N，则每根导线中的电流为1A。

开尔文(K)是热力学温度单位，等于水的三相点热力学温度的1／273．16。

摩尔(mol)是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与0．012kg碳-12的原子数目相等。

使用摩尔时，基本单元可以是原子、分子、离子、电子及其他粒子，或是这些粒子的特定组合。

坎德拉(cd)是一光源在给定方向上的发光强度，该光源发出频率为540×1012Hz的单色辐射，且在此方向上的辐射强度为1／683W／sr。

2．辅助单位在国际单位制中，平面角的单位——弧度和立体角的单位——球面度未归入基本单位或导出单位，而称之为辅助单位。

辅助单位既可以作为基本单位使用，又可以作为导出单位使用。

它们的定义如下：弧度(rad)是一个圆内两条半径在圆周上所截取的弧长与半径相等时，它们所夹的平面角的大小。

第二章 测量结果的数据处理及误差分析√2-3 用标准测力机检定材料试验机，若材料试验机的示值为5.000MN ，标准测力仪输出力值为4.980MN ，试问材料机在5.000MN 检定点的示值误差、示值的相对误差各为多少?解：示值误差=，020.0000.5980.4−=−示值的相对误差=%04.0000.5020.0−=−√2-8 设间接测量量z x y =+，在测量x 和时是一对一对同时读数的。

测量数据如下表。

试求的标准测量序号y z 偏差。

1 2 3 4 5 6 78 9 10 x 读数100 104 1029810310199101105102 y 读数51 51 5450515250505351解：101.5x =，51.3y =，0.42y σ=，0.687x σ=152.8z x y =+=z x y =+，1,1z z x y∂∂∴==∂∂ 由于10(,)()(0.55iix y x x y y ρ−−∴==∑0.98z σ∴=。

1m 距离的标准偏差为0.2mm 。

如何表示间的函数式？求测此10m 距离的标准差。

见书P27-28页的内容。

5.033，25.039，25.034mm 。

如不计其他不确定度来源，最佳值及其标准不确定度。

见书P36页例题2.8√2-9 用米尺逐段丈量一段10m 的距离，设丈量接测量解：参√2-14 用千分尺重复测量某小轴工件直径10次，得到的测量数据为25.031，25.037，25.034，25.036，25.038，25.037，25.036，2试估计解：参答案网 w w w .h k s h p .c n第三章 信号描述与分析-3 求指数函数的频谱。

√解：()e (00)atx t A a t −=>≥，3dt e Ae dt e t x X t j at t j ∫∫+∞−−+∞∞−−==0)()(ωωω220)()ωωωωω+−=+=+−=+∞+−a j a A j a A e j a Ata j （3-4 求被截断的余弦函数0cos t ω0cos ||()0 ||t t x t t Tω<⎧=⎨≥T解：⎩(题图3-4 )的傅里叶变换。

第一章1答：测试技术是实验科学的一部分，主要研究各种物理量的测量原理和测量信号分析处理方法，是进行各种科学实验研究和生产过程参数测量必不可少的手段，起着人的感官的作用。

2答：测试系统由传感器、中间变换装置和显示记录装置三部分组成。

传感器将被测物理量检出并转换为电量，中间变换装置对接收到的电信号用硬件电路进行分析处理或经A/D变换后用软件进行信号分析，显示记录装置则测量结果显示出来，提供给观察者或其它自动控制装置。

3答：在工程领域，科学实验、产品开发、生产监督、质量控制等，都离不开测试技术。

测试技术应用涉及到航天、机械、电力、石化和海洋运输等每一个工程领域。

4答：例如：全自动洗衣机中用到如下传感器：衣物重量传感器，衣质传感器，水温传感器，水质传感器，透光率光传感器(洗净度) 液位传感器，电阻传感器(衣物烘干检测)。

第二章1答：信号波形是指被测信号幅度随时间的变化历程。

2答：从信号描述上分为：确定性信号与非确定性信号；从信号的幅值和能量上分为：能量信号与功率信号；从分析域上分为：时域与频域；从连续性分为：连续时间信号与离散时间信号；从可实现性分为：物理可实现信号与物理不可实现信号。

3答：可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。

不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号。

4答：在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号，能量不是有限值的信号称为功率信号。

5答：周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。

6答：信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)。

时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。

信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。

7答：周期函数展开为傅立叶级数的物理意义: 把一个比较复杂的周期信号看成是许多不同频率的简谐信号的叠加。

w ww .kh d a w.c o m信号及其描述习题1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。

画出频谱图|C n |—ω ；φn —ω 图并与表1-1对比。

解：傅立叶级数的复指数形式表达式：⋅⋅⋅±±±==∑+∞−∞=,3,2,1,0;)(0n eC t x n tjn nω式中： []()⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅±±±=⋅⋅⋅±±±=−=−−=+×+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤+⎢⎣⎡−==−−−−−−−−−∫∫∫,6,4,2;0,5,3,1;2cos 12111)(1)(1200002002002022000000000000n n n A j n n A j e e n jA n jA e jn A T e jn A T dt Ae dt e A T dt e t x T C jn jn T t jn T t jn T t jn T t jn T T t jn n πππππωωππωωωωω所以： ⋅⋅⋅±±±±=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∑+∞−∞=,7,5,3,1;2)(0n en A j t x t jn n ωπ幅值频谱：⋅⋅⋅±±±==+=,5,3,1;222n n A C C C nI nR n π相位频谱：立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。

求正弦信x s求指数函数的频谱。

）和单位阶跃函数（题图）的频谱 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅−−−=⋅⋅⋅=−=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−==,5,3,1;2,5,3,1;202n n n A arctg C C arctg nR nI n πππϕ傅 号的绝对均值和均方根值1.2 x (t )=x 0sin ωt μ| |x rm 解： ωππωμ2;2sin 1)(lim 0000000====∫∫∞→T x tdt x T dt t x T T T x 式中：()2sin 1)(10020002000x dt dt x T dt t x T x T T rms ===∫∫ω1.3 解：00;Ae x ;()(≥>=−t t t αα)f j A dt e Ae dt e t x f X ft j t ft j παπαπ2)()(022+=⋅==∫∫∞+−−∞+∞−−1.41-1a 1-1b .求符号函数（题图w ww .kh d a w.c o m解:1) 符号函数的频谱:令: fj dt e e dt e e dt e t x f X t x e t x ft j tft j t ft j t ππαπααπαα1)1(lim )()(;)(lim )(0220021101=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−===∫∫∫∞+−−−∞−−→−−→2)单位阶跃函数的频谱: fj dt e e dt e t x f X t x e t x ft j t ft j tππααπαα21lim )()(;)(lim )(02022202=⎟⎠⎞⎜⎝⎛===∫∫∞+−−→−−→1.5求被截断的余弦函数cos ω0t （题图1-2）的傅立叶变换。

1.1简述测量仪器的组成与各组成部分的作用答：感受件、中间件和效用件。

感受件直接与被测对象发生联系，感知被测参数的变化，同时对外界发出相应的信号;中间件将传感器的输出信号经处理后传给效用件，放大、变换、运算;效用件的功能是将被测信号显示出来。

1.2测量仪器的主要性能指标及各项指标的含义是什么答：精确度、恒定度、灵敏度、灵敏度阻滞、指示滞后时间等。

精确度表示测量结果与真值一致的程度;恒定度为仪器多次重复测量时，指示值的稳定程度；灵敏度以仪器指针的线位移或角位移与引起这些位移的被测量的变化值之间的比例表示；灵敏度阻滞又称感量，是足以引起仪器指针从静止到做微小移动的被测量的变化值；指示滞后时间为从被测参数发生改变到仪器指示出该变化值所需时间,或称时滞。

2.3试述常用的一、二阶测量仪器的传递函数及它的实例答:一阶测量仪器如热电偶；二阶测量仪器如测振仪.2。

4试述测量系统的动态响应的含义、研究方法及评价指标。

答：测量系统的动态响应是用来评价系统正确传递和显示输入信号的指标.研究方法是对系统输入简单的瞬变信号研究动态特性或输入不同频率的正弦信号研究频率响应.评价指标为时间常数τ（一阶）、稳定时间t s和最大过冲量A d（二阶)等。

2.6试说明二阶测量系统通常取阻尼比ξ=0.6~0。

8范围的原因答：二阶测量系统在ξ=0.6~0。

8时可使系统具有较好的稳定性，而且此时提高系统的固有频率ωn会使响应速率变得更快。

3.1测量误差有哪几类?各类误差的主要特点是什么？答：系统误差、随机误差和过失误差。

系统误差是规律性的，影响程度由确定的因素引起的，在测量结果中可以被修正；随机误差是由许多未知的或微小因素综合影响的结果，出现与否和影响程度难以确定,无法在测量中加以控制和排除,但随着测量次数的增加，其算术平均值逐渐接近零；过失误差是一种显然与事实不符的误差.3。

2试述系统误差产生的原因及消除方法答：仪器误差，安装误差，环境误差,方法误差，操作误差(人为误差），动态误差。

第1章 测试技术基础知识1.4 常用的测量结果的表达方式有哪3种？对某量进行了8次测量，测得值分别为：82.40、82.43、82.50、82.48、82.45、82.38、82.42、82.46。

试用3种表达方式表示其测量结果。

解：常用的测量结果的表达方式有基于极限误差的表达方式、基于t 分布的表达方式和基于不确定度的表达方式等3种1）基于极限误差的表达方式可以表示为0max x x δ=±均值为8118i x x ==∑82.44因为最大测量值为82.50，最小测量值为82.38，所以本次测量的最大误差为0.06。

极限误差max δ取为最大误差的两倍，所以082.4420.0682.440.12x =±⨯=±2）基于t 分布的表达方式可以表示为x t x x ∧±=σβ0标准偏差为s ==0.04样本平均值x 的标准偏差的无偏估计值为ˆx σ==0.014 自由度817ν=-=，置信概率0.95β=，查表得t 分布值 2.365t β=，所以082.44 2.3650.01482.440.033x =±⨯=±3）基于不确定度的表达方式可以表示为0x x x x σ∧=±=±所以082.440.014x =±解题思路：1）给出公式；2）分别计算公式里面的各分项的值；3）将值代入公式，算出结果。

第2章 信号的描述与分析2.2 一个周期信号的傅立叶级数展开为12ππ120ππ()4(cos sin )104304n n n n n y t t t ∞==++∑（t 的单位是秒） 求：1）基频0ω；2）信号的周期；3）信号的均值；4）将傅立叶级数表示成只含有正弦项的形式。

解：基波分量为12ππ120ππ()|cos sin 104304n y t t t ==+ 所以：1）基频0π(/)4rad s ω=2）信号的周期02π8()T s ω==3）信号的均值42a = 4）已知 2π120π,1030n n n n a b ==，所以4.0050n A n π=== 120π30arctan arctan arctan 202π10n n nn bn a ϕ=-=-=-所以有0011()cos()4 4.0050cos(arctan 20)24n n n n a n y t A n t n t πωϕπ∞∞===++=+-∑∑2.3某振荡器的位移以100Hz 的频率在2至5mm 之间变化。

第二章 测试装置的基本特性2-5 想用一个一阶系统做100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，那么时间常数应取多少？若用该系统测量50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 解：设该一阶系统的频响函数为1()1H j ωτω=+，τ是时间常数则 21()1()A ωτω=+稳态响应相对幅值误差21()1100%1100%1(2)A f δωπτ⎛⎫⎪=-⨯=-⨯ ⎪+⎝⎭令δ≤5%，f =100Hz ，解得τ≤523μs 。

如果f =50Hz ，则 相对幅值误差：262111100%1100% 1.3%1(2)1(25231050)f δπτπ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-⨯=-⨯≈ ⎪ ⎪++⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭相角差：6()arctan(2)arctan(25231050)9.33f ϕωπτπ-=-=-⨯⨯⨯≈-︒2-6 试说明二阶装置阻尼比ζ多采用0.6~0.8的原因。

解答：从不失真条件出发分析。

ζ在0.707左右时，幅频特性近似常数的频率范围最宽，而相频特性曲线最接近直线。

2-9 试求传递函数分别为1.5/(3.5s + 0.5)和41ωn 2/(s 2 + 1.4ωn s + ωn 2)的两环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）。

解：11 1.53() 3.50.57171K H s s s s ===+++，即静态灵敏度K 1=32222222241() 1.4 1.4n n n n n nK H s s s s s ωωωωωω==++++，即静态灵敏度K 2=41 因为两者串联无负载效应，所以总静态灵敏度K = K 1 ⨯ K 2 = 3 ⨯ 41 = 1232-10 设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。

已知传感器的固有频率为800Hz ，阻尼比ζ=0.14，问使用该传感器作频率为400Hz 的正弦力测试时，其幅值比A (ω)和相角差ϕ(ω)各为多少？若该装置的阻尼比改为ζ=0.7，问A (ω)和ϕ(ω)又将如何变化？解：设222()2n n nH s s ωωζωω=++，则2221()12n n A ωωωζωω=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，22()arctan1nn ωζωϕωωω=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2221()12n n A f f f f f ζ=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，22()arctan1nn f f f f f ζϕ=-⎛⎫- ⎪⎝⎭将f n = 800Hz ，ζ = 0.14，f = 400Hz ，代入上面的式子得到A (400) ≈ 1.31，ϕ(400) ≈ −10.57︒如果ζ = 0.7，则A (400) ≈ 0.975，ϕ(400) ≈ −43.03︒第三章 常用传感器与敏感元件3-3 电阻丝应变片与半导体应变片在工作原理上有何区别？各有何优缺点？应如何针对具体情况来选用？解答：电阻丝应变片主要利用形变效应，而半导体应变片主要利用压阻效应。

作业一1、欲使测量结果具有普遍科学意义的条件是什么？答：①用来做比较的标准必须是精确已知的，得到公认的；②进行比较的测量系统必须是工作稳定的，经得起检验的。

2、非电量电测法的基本思想是什么？答：基本思想：首先要将输入物理量转换为电量，然后再进行必要的调节、转换、运算，最后以适当的形式输出。

3、什么是国际单位制？其基本量及其单位是什么？答：国际单位制是国际计量会议为了统一各国的计量单位而建立的统一国际单位制，简称SI，SI制由SI单位和SI单位的倍数单位组成。

基本量为长度、质量、时间、电流强度、热力学温度、发光强度，其单位分别为米、千克、秒、安培、开尔文、坎德拉、摩尔。

4、一般测量系统的组成分几个环节？分别说明其作用？答：一般测量系统的组成分为传感器、信号调理和测量电路、指示仪器、记录仪器、数据处理仪器及打印机等外部设备。

传感器是整个测试系统实现测试与自动控制的首要关键环节，作用是将被测非电量转换成便于放大、记录的电量；中间变换（信号调理）与测量电路依测量任务的不同而有很大的伸缩性，在简单的测量中可完全省略，将传感器的输出直接进行显示或记录；信号的转换（放大、滤波、调制和解调）；显示和记录仪器的作用是将中间变换与测量电路出来的电压或电流信号不失真地显示和记录出来；数据处理仪器、打印机、绘图仪是上述测试系统的延伸部分，它们能对测试系统输出的信号作进一步处理，以便使所需的信号更为明确。

5、举例说明直接测量和间接测量的主要区别是什么？答：无需经过函数关系的计算，直接通过测量仪器得到被测量值的测量为直接测量，可分为直接比较和间接比较两种。

直接将被测量和标准量进行比较的测量方法称为直接比较；利用仪器仪表把原始形态的待测物理量的变化变换成与之保持已知函数关系的另一种物理量的变化，并以人的感官所能接收的形式，在测量系统的输出端显示出来，弹簧测力。

间接测量是在直接测量的基础上，根据已知的函数关系，计算出所要测量的物理量的大小。

精品文档《绪论》0-1叙述我国法定计量单位的基本内容。

答：我国的法定计量单位是以国际单位制(SI) 为基础并选用少数其他单位制的计量单位来组成的。

1．基本单位根据国际单位制(SI) ，七个基本量的单位分别是：长度——米(Metre) 、质量——千克(Kilogram)、时间——秒 (Second) 、温度——开尔文(Kelvn)、电流——安培(Ampere) 、发光强度——坎德拉(Candela) 、物质的量——摩尔(Mol> 。

它们的单位代号分别为：米(m)) 、千克 (kg) 、秒 (s) 、开 (K) 、安 (A) 、坎 (cd) 、摩 (mol) 。

国际单位制 (SI) 的基本单位的定义为：米(m) 是光在真空中，在 1／ 299792458s的时间间隔内所经路程的长度。

千克 (kg) 是质量单位，等于国际千克原器的质量。

秒 (s) 是铯 -133 原子基态的两个超精细能级间跃迁对应的辐射9192631770个周期的持续时间。

安培 (A) 是电流单位。

在真空中，两根相距1m的无限长、截面积可以忽略的平行圆直导线内通过等量恒定电流时，若导线间相互作用力在每米长度上为2× 10-7 N，则每根导线中的电流为 1A。

开尔文 (K) 是热力学温度单位，等于水的三相点热力学温度的1／ 273． 16。

摩尔 (mol) 是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与0． 012kg碳 -12 的原子数目相等。

使用摩尔时，基本单元可以是原子、分子、离子、电子及其他粒子，或是这些粒子的特定组合。

坎德拉 (cd) 是一光源在给定方向上的发光强度，该光源发出频率为540× 1012Hz的单色辐射，且在此方向上的辐射强度为1／ 683W／ sr 。

2．辅助单位在国际单位制中，平面角的单位——弧度和立体角的单位——球面度未归入基本单位或导出单位，而称之为辅助单位。

辅助单位既可以作为基本单位使用，又可以作为导出单位使用。

求如图2-11所示周期性锯齿波、半波整流波形、全波整流波形的傅里叶展开式，并画出其频谱图。

（48学时用题）一） 周期性锯齿波的傅里叶展开式： 1． 写出时域表达式：T A T t t t f 3),0(,3)(=<<=2． 用三角函数法求傅立叶系数：2230)2(331)(120A T Tt T tdt Tdt t f Ta TT=====⎰⎰)]cos )(1()sin 1([32]0)')(sin 1()sin 1([32)'sin 1(032''**00cos 3200cos )(202000000000=--=⎰-=⎰=>>⎰-=⎰<<⎰=⎰=T t n n t n n t TTdt t t n n t n n t T dt t n n T t T dt vu uv dt uv Ttdt n t T T tdt n t f T n a ωωωωωωωωωωωωπππωπωωωωωωωωωωωωωn A T n T n n n n T t n n t n n t T T dt t t n n t n n t T dt t n n T t T dt vu uv dt uv T tdt n t T T tdt n t f T n b -=-=⨯-=-=⨯-=+-=⎰---=-⎰=>>⎰-=⎰<<⎰=⎰=3232132)2cos 1(320)]sin )(1()cos 1([32])')(cos 1()cos 1([32)'cos 1(032''**00sin 3200sin )(20020000000003 傅立叶三角级数展开式：tn nt t t AA tn n A t A t A t A A tn a a t f n n 00000000010sin 1.......3sin 312sin 21(sin 2sin .......3sin 32sin 2sin 2cos )(ωωωωπωπωπωπωπω+++-=-+-+-+-+=+=∑∞=4 画频谱图：又：2* 用复指数法求傅立叶系数：)0(22)3(2)3(2)]sin cos [3)()]sin (cos [331)(1000000000≠-===--=-=-===⎰⎰⎰⎰--n n j A n jA T n j T n j dt t n jt t n t Tdt t n j t n t T dtteTdt et f Tc TT Ttjn Ttjn n ππππωωωωωω（分步积分）欧拉公式2230)2(331)(1200A T Tt T tdt Tdt t f Ta c TT======⎰⎰3* 傅立叶复指数展开式：∑∞-∞=-=+±+±+±+=≠∑∞-∞=+=∑∞-∞==n t jn en j A A tn n j At j At j At j AA n n tjn e nc c n t jn e n c t f 0220sin 2.......)03sin(6)02sin(4)0sin(22)0(000)(ωπωπωπωπωπωω 4* 画频谱图：半波整流波形的傅里叶展开式：3． 写出时域表达式：T Tt T T t t A t f πωω2,2,020,sin )(00=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<= 4． 用三角函数法求傅立叶系数：πππωωωAT TA T t TA tdt A Tdt t f Ta TT=-⨯-=-===⎰⎰)1)22(cos(202/)cos 1(sin 1)(100200⎪⎩⎪⎨⎧-=--+++-=---+++-=-++=>-++=<<==⎰⎰⎰为偶数为奇数n n A n T t n nt n nA T t n t n t n t n T A dtt n t t n t T A tdt n t A Ttdt n t f Ta T T T n ,)1(2,002/)])1(cos(11))1(cos(11[202/))]cos(1())cos(1[())(sin(21)(sin(21(2)sin(21)sin(21cos sin **cos sin 2cos )(22000000000000002/02/00000πωωπωωωωωωωωωωωωβαβαβαωωω当n=1时，2/)2cos 21(2sin )2sin 21cos sin **cos sin 2cos )(2002/002/000001=-==>=<<==⎰⎰⎰T t TA dtt TA tdt t A Ttdt n t f Ta T T Tωωωαααωωω2/)])1(sin(11))1(sin(11[202/))]sin(1())sin(1[())(cos(21)(cos(21(2)cos(21)cos(21sin sin **sin sin 2sin )(2000000000000002/02/00000=---++=---++=--+=>--+=<<==⎰⎰⎰T t n nt n nA T t n t n t n t n T A dtt n t t n t T A tdt n t A Ttdt n t f Tb T T Tn ωωπωωωωωωωωωωωωβαβαβαωωω当n=1时，22/02/)2sin 21()2cos 1()2cos 1(21sin**sin sin 2sin )(20002/022/000001A T tTA T t t TA dt t T A tdt t A T tdt n t f Tb T T T==-=-=>-=<<==⎰⎰⎰ωωωααωωω3 傅立叶三角级数展开式：.......)4cos 1512cos 31sin 421(2cos )1(2.......4cos 1522cos 32sin 22)sin cos ()(000020000010+--+=--+-++=++=∑∞=t t t Atn n A t A t A t A At n b t n a a t f n n n ωωωππωπωπωπωπωω4 画频谱图：2* 用复指数法求傅立叶系数（略）：全波整流波形的傅里叶展开式： 5． 写出时域表达式：Tt A t f πωω2,2sin )(00==6． 用三角函数法求傅立叶系数：πππωωωAT TAT t TA tdt A Tdt t f Ta TT2)1)(cos()2cos2(2sin1)(100=-⨯-=-===⎰⎰20000000000000004122)212212[0))]221(cos(211))221(cos(211[))]2cos(22())2cos(22[())2(sin(21)2(sin(21(2)sin(21)sin(21cos sin **cos 2sin 2cos )(2nAnnA T t n n t n nAT t n t n t n t n TA dt t n t t n t T A tdt n t A Ttdt n t f Ta T TTn -⨯=--++--=--+++-=---+++-=-++=>-++=<<==⎰⎰⎰ππωωπωωωωωωωωωωωωβαβαβαωωω0=n b (f(t)为偶函数)3 傅立叶三角级数展开式：.......)3cos 3512cos 151cos 3121(4cos )41(4.......3cos 3542cos 154cos 342cos )(00002000010+---=-+-+-+-+=+=∑∞=t t t Atn n A t A t A t AAtn a a t f n n ωωωπωπωπωπωππω4 画频谱图：又：2* 用复指数法求傅立叶系数：220000000000000004120412)]}2cos(21)2cos(21[()]2sin(21)2sin(21({[)]sin 2sincos 2sin[)()]sin (cos 2sin[2sin1)(100nA nA dtt n t t n t j t n t t n t TA dt t n t j t n t T A dt t n j t n t T A dtteA Tdt et f Tc TTTTtjn Ttjn n -⨯=--⨯=--+---++=-=-===⎰⎰⎰⎰⎰--ππωωωωωωωωωωωωωωωωωω（积化和差）欧拉公式3* 傅立叶复指数展开式：∑∞-∞=-=-+±-+±-+±-+=∑∞-∞=-=∑∞-∞==n t jn e n Atn n At A t A t AAn t jn e n A n t jn e n c t f 0)241(120cos )241(4.......)03cos(352)02cos(152)0cos(3220)241(20)(ωπωπωπωπωππωπω4* 画频谱图：5 求正弦信号t X t x ωsin )(0=的绝对均值xu和均方根值rms xππππωωωωωω02/02/02)2(22)0cos (cos 22)0cos 2(cos12cos 12sin 2sin 11XX X TT X tTX dt t TX dt t XTdt x TuT T TTx=-⨯-=-⨯-=-⨯-⨯=⨯-⨯====⎰⎰⎰22)2sin 21(2)2cos 1(2)sin (1)(1020202022XTTXt t TXdtt TXdt t XTdt t x Tx T TTTrms =⨯=-⨯=-===⎰⎰⎰ωωωω2-7 求如图2-12所示非周期信号的频谱。