江苏省普通高等学校2017年高三数学招生考试模拟测试试题九2017080901140

2017年高考模拟试卷(9)参考答案南通市数学学科基地命题一、填空题1. {}2,5．2. 15. 3.-4. 4. 0.5. 5. 26y x =-. 6. 60.7. 30. 线性规划或待定系数法，设甲、乙混货物分别为x ,y 克，由题意3x+4y 1005x+2y 120≥⎧⎨≥⎩,设x+y=34)(52)x y x y λμ+++（，解得，31==λμ，，即可. 8.. 9.. 设CA=x,则PQ=2CPcos<CAP=([3,))x ∈+∞,PQ ≤<. 10. 1e. 易知函数()f x 在(],0-∞上有一个零点，所以由题意得方程ln 0ax x -=在()0+∞，上恰有一解，即ln x a x =在()0+∞，上恰有一解. 令ln ()x g x x =，21ln ()0x g x x -'==，得e x =，当()0,e x ∈时，()g x 单调递增，当()e ,+x ∈∞时，()g x 单调递减，所以()1e e a g ==.11．9.223331212922k x x x x x=+=++≥=,也可以求导. 12. 116-.设弦AB 中点为M ，则()OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+⋅=⋅ ， 若MP BP ，同向，则0OP BP ⋅> ；若MP BP ，反向，则0OP BP ⋅< ， 故OP BP ⋅的最小值在MP BP ，反向时取得，此时1||||2MP BP += ，2||||1||||()216MP BP OP BP MP BP +⋅=-⋅-=- ≥， 当且仅当1||||4MP BP == 时取等号，即OP BP ⋅ 的最小值是116-．13．（方法一）由题意，得sin sin ααββ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以αβ，是方程sin x x即方程()πsin 3x -5ππ()26k k αβ+=+∈Z，所以tan()αβ+=（方法二）同上，αβ，sin 0x x -的两根．设()sin f x x x -()cos f x x x '=-．令()0f x '=，得0tan x =，所以02x αβ+=，所以（方法三）直线210x y +-=交单位圆于A B ，两点， 过O 作OH AB ⊥，垂足为H ，易知OH =因为OC 60COH ∠=︒，即1502αβ+=︒，所以tan()tan300αβ+=︒=14．9⎧-⎨⎩⎭.32()322x x a x f x x a x a x ⎧--⎪=⎨⎪--+-<⎩，≥，，，当x a ≥时，320x x --=，得11x =-，23x =，结合图形知，① 当1a <-时，313x -，，成等差数列，则35x =-，代入3220x a --+-=得，9a =-； ② 当13a -≤≤时，方程3220x a x--+-=，即22(1)30x a x +-+=的根为34x x ，， 则343x x =，且3432x x +=，解得4x ，又342(1)x x a +=-，所以a .③ 当3a >时，显然不符合. 所以a 的取值集合95⎧-⎨⎩⎭. 二､解答题:本大题共6小题，共90分．15． (1)因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α．又sin 2α＋cos 2α＝1，所以5cos 2α＝1，即cos 2α＝15． 所以 cos2α＝2cos 2α－1＝－35．(2)由α∈(0，π)，且tan α＝2＞1，得α∈(π4，π2)，所以2α∈(π2，π). 由题知cos2α＝－35，所以sin2α＝45．又因为β∈(0，π)，cos β＝－7210∈(－1，0)，所以β∈(π2，π)， 所以sin β＝210，且2α－β∈(－π2，π2)．因为sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22， 所以2α－β＝－π4．16.（1）因为BD 垂直平分AC ，所以BA BC =，在△ABC 中，因为120ABC ∠=︒， 所以30BAC ∠=︒．因为△ACD 是正三角形，所以60DAC ∠=︒， 所以90BAD ∠=︒，即AD AB ⊥．因为=1AB ，120ABC ∠=︒，所以AD AC == 又因为1PA =，2PD =，由222PA AD PD +=， 知90PAD ∠=︒，即AD AP ⊥．因为AB AP ⊂，平面PAB ，AB AP A = ， 所以AD ⊥平面PAB ．（2）（方法一）取AD 的中点H ，连结CH ，NH ． 因为N 为PD 的中点，所以HN ∥PA ， 因为PA ⊂平面PAB ，HN ⊄平面PAB ， 所以HN ∥平面PAB ．由△ACD 是正三角形，H 为AD 的中点，所以CH AD ⊥．由（1）知，BA AD ⊥，所以CH ∥BA ， 因为BA ⊂平面PAB ，CH ⊄平面PAB ，HPA BCDMN所以CH ∥平面PAB ．因为CH HN ⊂，平面CNH ，CH HN H = ， 所以平面CNH ∥平面PAB ． 因为CN ⊂平面CNH ， 所以CN ∥平面PAB ．（方法二）取PA 的中点S ，过C 作CT ∥AD 交AB 的延长线于T ，连结ST ，SN ．因为N 为PD 的中点，所以SN ∥AD ，且12SN AD =，因为CT ∥AD ，所以CT ∥SN ． 由（1）知，AB AD ⊥，所以CT AT ⊥， 在直角△ CBT 中，1BC =，60CBT ∠=︒，得CT =由（1）知，AD =12CT AD =，所以CT SN =．所以四边形SNCT 是平行四边形， 所以CN ∥TS ．因为TS ⊂平面PAB ，CN ⊄平面PAB ， 所以CN ∥平面PAB ．17．（1）由题意知，124()2b b =-=，解得a =1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=. （2）① 由(2)N t ，，(01)A ，，(01)B -，，则 直线NA 的方程为11y x t =+，直线NB 的方程为31y x t=-.P A BCDMNTS由221122y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得，222422.2t x t t y t ⎧=-⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()2224222t t t t P --++，. 由223122y x t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，222121818.18t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()22212181818t t t t Q -++，. 所以直线PM 的斜率222221262482PMt t t k t t t ---+==-+， 直线QM 的斜率22218161812818QMt t t k t t t ---+==+， 所以PM QM k k =，故P M Q ，，三点共线.② 由①知，11k t =，213k t =，2368t k t-=. 所以21323122463182t k k k k k k t t t-+-=⨯-=-， 所以132312k k k k k k +-为定值1-.18．(1)设OP ＝r ，则l ＝r ·2θ，即r ＝l2θ，所以S 1＝12lr ＝l 24θ，θ∈(0，π2)．(2)设OC ＝a ，OD ＝b ．由余弦定理，得l 2＝a 2＋b 2－2ab cos2θ，所以 l 2≥2ab －2ab cos2θ．所以 ab ≤l 22(1－cos2θ)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．所以S △OCD ＝12ab sin2θ≤l 2sin2θ4(1－cos2θ)＝l 24tan θ，即S 2＝l 24tan θ．(3)1S 2－1S 1＝4l 2(tan θ－θ)，θ∈(0，π2)，． 令f (θ)＝tan θ－θ，则f '(θ)＝(sin θcos θ)'－1＝sin 2θcos 2θ．当θ∈[0，π2)时，f '(θ)＞0，所以f (θ)在区间[0，π2)上单调增．所以，当θ∈(0，π2)时，总有f (θ)＞f (0)＝0，即1S 2－1S 1＞0，即S 1＞S 2．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一． 19． （1）易得2143a =．（2）由111241n n n a a S +-=-，得11241n nn n n a a a a S ++-=-，所以11241n n n n na a S a a ++-=-①．所以12121241n n n n n a a S a a +++++-=-②，由②-①，得12112112n n n n n n n n na a a aa a a a a +++++++=---．因为10n a +≠，所以22112n nn n n na a ++++=-． 所以121112n n n n n n a a a a a a +++++-=--，即12111n nn n n na a a a a a ++++-=--，即11n n b b +-=，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列． 因为112134a b a a ==-，所以数列{}n b 的通项公式为14n b n =-．（3）由（2）知，114n n n a n a a +=--，所以11431141n n an a n n ++=+=--，所以14(1)141n n a a n n +=+--，所以数列41n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列．由124113a =⨯-，所以2(41)3n a n =-．（方法一）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列，则41m -，41p -，41r -成等比数列，所以2(41)(41)(41)p m r -=--， 所以2168164()0p p mr m r --++=，即2424()0p p mr m r --++=（*）． （途径一）（*）式即为2424()4p p mr m r mr -=-+<-，所以2211(2))22p -<，即11222p -<，所以p <2p mr <．（途径二）（*）式即为24241p p rm r -+=-．由222222(42)(42)(41)()0414141p p r p p r r r p p r mr p r p r r r -+-+----=⋅-==>---，所以2p mr <．（方法二）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列， 则41m -，41p -，41r -成等比数列， 记4m α=，4p β=，4r γ=（1αβγ<<<）， 则有1α-，1β-，1γ-成等比数列，所以2(1)(1)(1)βαγ-=--，即22()ββαγαγ-=-+．若2βαγ=，即2p mr =时，则2αγβ+=，所以αβγ==，矛盾； 若2βαγ>，则22()0βαγβαγ-+=->，所以1()12βαγ>+>，所以[][]2221(2)()()()()()0αγββαγαγαγαγαγαγ+---+>-+--+=->， 矛盾．所以2βαγ<，即2p mr <．20． (1) 由题意知曲线()y f x =过点(1,0)，且'(1)e f =；又因为222'()ln e x a f x a x b x x+=-++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有(1)e(2)0,'(1)e()e,f b f a b =+==+=⎧⎨⎩解得3,2a b ==-.(2) ①当2a =-时，函数()y f x =的导函数22'()e 2ln 0x f x x b x=--+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，若'()0f x =时，得222ln b x x =+， 设22()2ln g x x x =+(0)x > .由2332424'()x g x x x x-=-=0=，得x =1ln 2g =+.当0x <<'()0g x <，函数()y g x =在区间上为减函数，()(1ln 2,)g x ∈++∞；仅当1ln 2b >+时，()b g x =有两个不同的解，设为1x ，2x 12()x x <.此时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值.②由题意2e ln x a x b xkx ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立，取1x =得(2)e k b ≤+.下证2e ln e (2)x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立.首先，证明e e xx ≥. 设函数()e e xu x x =-，则'()e e xu x =-，当1x >时，'()0u x >； 当1x <时，'()0u x <；得e e (1)0xx u -=≥，即e e xx ≥，当且仅当都在1x =处取到等号.再证1ln 1x x+≥. 设1()ln 1v x x x=+-，则21'()x v x x -=，当1x >时，'()0v x >；当1x <时，'()0v x <；得()(1)0v x v =≥，即1ln 1x x+≥，当且仅当都在1x =处取到等号. 由上可得2e ln (2)e x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以min()(2)e f x b x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 即实数k 的最大值为(2)e b +.数学Ⅱ（附加题）21． A. 连结PQ ，因为四边形ACQP 是1O 的内接四边形， 所以A PQD ∠=∠， 又在2O 中，PBD PQD ∠=∠，所以A PBD ∠=∠， 所以AC ∥BD ．B ．（1） 设1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12234A ==-， 1213122A --⎛⎫ ⎪∴= ⎪-⎝⎭， 21582131461122M -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2）11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'''-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，即,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩ 代入22221x xy y ++=可得 ()()()()2222221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=，故曲线C '的方程为22451x xy y -+=．C. (1)曲线1C ：22(1)2x y ++=，极坐标方程为22cos 10ρθ+-= 曲线2C 的直角坐标方程为1y x =-； (2) 曲线1C 与曲线2C 的公共点的坐标为(0,1)-，极坐标为3(1,)2π． D. 因为0x >，0y >，0z >，所以1233x y z++，2463y x z++， 所以1239()()2462yx z x y z ++++≥．当且仅当::1:2:3x y z =时，等号成立．22．（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有37=35C种取法．其中X ABF ，这类三角形共有6个．因此(376635P X C ===． （2）由题意，X2，其中X ABF ，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，如△PAD (3个)，△PAB (6个)，共有9个；其中X PBD ，这类三角形共有6个；其中X =CDF ，这类三角形共有12个；其中X =BDF ，这类三角形共有2个．因此(635P X =，()9235P X ==，(635P X =，(1235P X ==，(235P X ==． 所以随机变量X 的概率分布列为：所求数学期望()E X 69612223535353535+⨯++． 23． (1)①当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(1＋1k (k ＋1))a k ＋12k ＞2．所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①，②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立．(2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝(1＋1n 2＋n )a n ＋12n ≤(1＋1n 2＋n ＋12n ＋1)a n (n ≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln(1＋1n 2＋n ＋12n ＋1)＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1，第 11页，共 11页 故 ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n ＋1(n ≥2)， 求和可得ln a n －ln a 2＜12⨯3＋1 3⨯4＋…＋1 (n －1)n＋123＋124＋…＋12n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )＋123·1－12n －21－12＝12－1n ＋122－12n ＜34． 由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34，即a n ＜2e 34(n ≥2)，而a 1＝1＜2e 34，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 34．。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为底面积，h 为高．13一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x 2－1＝0}，B ＝{－1，2，5}，则A∩B＝________．2. 已知复数z ＝(i 是虚数单位)，则|z|＝________．2＋i1－i 3. 书架上有3本数学书，2本物理书．若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为________．4. 运行如图所示的伪代码，其结果为________．　S←1For I From 1 To 7 Step 2　S←S＋I End For Print S5. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________．6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为________．7. 已知实数x ，y 满足则目标函数z ＝x －y 的最小值为________．{x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，)8. 若一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方310体的棱长为________．9. 在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝，cosB ＝，则π435边c ＝________．10. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________．11. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·的值为13DC → BD → AD → BC→ ________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－4，0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A 、B 两点．若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为____________．13.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)＝2x ＋，设g(x)＝m2x 若函数y ＝g(x)－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是{f （x ），x >1，f （－x ），x ≤1，)________．14. 设函数y ＝的图象上存在两点P 、Q ，使得△POQ 是以O 为直{－x3＋x2，x <e ，alnx ，x ≥e )角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象(A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R )如图所示．(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；(2) 当x∈时，求f(x)的取值范围．[－π2，π2]16.(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧面ACC 1A 1是正方形，点O 是侧面ACC 1A 1的中心，∠ACB＝，M 是棱BC 的中点．求证：π2(1) OM∥平面ABB 1A 1；(2) 平面ABC 1⊥平面A 1BC.如图所示，A ，B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16 km 处，直线AB 的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P.垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求(A ，B ，P 可看成三个点)：① 垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；② 垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大)．现估测得A ，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30 t 和50 t ，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M(x 0，y 0)是椭圆C ：＋y 2＝1上一点，从原x24点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2(r>0)作两条切线分别与椭圆C 交于点P ，Q ，直线OP ，OQ 的斜率分别记为k 1，k 2.(1) 若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；(2) 若r ＝.255① 求证：k 1k 2＝－；14② 求OP·OQ 的最大值．已知函数f(x)＝的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝x ，其中e 是自然对数的底数．axex (1) 求实数a 的值；(2) 若对任意的x∈(0，2)，都有f(x)＜成立，求实数k 的取值范围；1k ＋2x －x2(3) 若函数g(x)＝lnf(x)－b(b∈R )的两个零点为x 1，x 2，试判断g′的正负，(x1＋x22)并说明理由．设数列{a n}共有m(m∈N，m≥3)项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m－i 项a i＋1，a i＋2，…，a m中的最小项为B i，r i＝A i－B i(i＝1，2，3，…，m－1)．(1) 若数列{a n}的通项公式为a n＝2n，求数列{r i}的通项公式；(2) 若数列{a n}是单调数列，且满足a1＝1，r i＝－2，求数列{a n}的通项公式；(3) 试构造一个数列{a n}，满足a n＝b n＋c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m(m∈N，m≥3)，数列{r i}都是单调递增的，并说明理由(十)1. {－1}　解析：由A ＝{－1，1}，B ＝{－1，2，5}，则A∩B＝{－1}．本题考查了集合交集的概念，属于容易题．2. 解析：z ＝＝＋i ，|z|＝＝.本题主要考查复数的模的概1022＋i 1－i 1232(12)2 ＋(32)2 102念及除法运算等基础知识，属于容易题．3. 解析：基本事件数共10种，取出的2本书都是数学书的事件有(数1，数2)，310(数1，数3)，(数2，数3)，共3种，则取出的2本书都是数学书的概率为.本题考查了310古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数．本题属于容易题．4. 17　解析：由题设伪代码的循环体执行如下：S ＝1＋1＋3＋5＋7＝17.本题考查伪代码的基础知识，属于容易题．5. 17　解析：360×＝18人，则从高三年级学生中抽取的人数为55－20－18＝17.20400本题主要考查分层抽样的概念，属于容易题．6. 解析：由题设知抛物线的方程为y 2＝2px ，将P(1，3) 代入y 2＝2px ，得92p ＝，即抛物线焦点到准线的距离为p ，即为.本题主要考查抛物线的方程，以及p 的几9292何意义，属于容易题．7. －3　解析：画出可行域发现z ＝x －y 过点(1，4)时，z ＝x －y 取得最小值－3.本题主要考查简单的线性规划问题．本题属于容易题．8. 2　解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为8，该正方体的棱长310为2.本题主要考查简单的几何体的体积问题，属于容易题．9.7　解析：由cosB ＝，得sinB ＝，则sinC ＝sin(A ＋B)＝，由正弦定理得35457210＝，得c ＝7.本题主要考查和差角公式，以及利用正弦定理解三角形．本题属于a sinA csinC 中等题．10. 20　解析：a n ＞0，前n 项和S n ＞0, S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，则(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，S 9－S 6＝(S 6－S 3)2/S 3＝(S 6－2S 3＋S 3)2/S 3＝(5＋S 3)2/S 3＝(S ＋10S 3＋25)23/S 3＝S 3＋ 25/S 3＋ 10，由均值不等式得：当且仅当S 3＝5时，S 3＋25/S 3有最小值5＋5＝10，此时S 3＋25/S 3 ＋10有最小值10＋10＝20，则S 9－S 6的最小值为20.本题主要考查等比数列的性质以及基本不等式．本题属于中等题．11. －2　解析：由AB ＝AC ＝3，cos∠BAC＝，利用余弦定理得BC ＝2，·＝133AD → BC→·＝·＋·，而由利用余弦定理知cosB ＝，可得·＝－2.本(AB → ＋13BC → )BC → AB → BC → 13BC → BC → 33AD →BC → 题主要考查余弦定理和向量的数量积问题．本题属于中等题．12. x±3y ＋4＝0　解析：由设AB 的中点为H ，连接AC ，HC ，设HC ＝y ，AH ＝x ，则由勾股定理得：，得tan HPC=，则k=，直线l 过22229255x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x y ==∠13±13点P(－4，0)，则直线l 的方程为x±3y ＋4＝0. 本题主要考查垂径定理，勾股定理，斜率与倾斜角的关系．本题属于中等题．13.　解析：f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)＝2x ＋，由f(0)＝0，[－32，32]m 2x得m ＝－1，作出y ＝g(x)的图象，再作直线y ＝t ，可以发现当t∈时，y ＝g(x)的[－32，32]图象与直线y ＝t 有且只有一个交点，即函数y ＝g(x)－t 有且只有一个零点，所以实数t的取值范围是.本题突出了函数思想和分类讨论思想，考查了利用导数求最值和恒[－32，32]成立问题．本题属于难题．14.　解析：不妨设点P 在y 轴左侧，Q 在y 轴右侧，P 一定在y ＝－x 3＋x 2(0，1e ＋1]上．① 若Q 在y ＝－x 3＋x 2上，设Q(x ，－x 3＋x 2)，则P(－x ，x 3＋x 2)，OP⊥OQ，·＝－x 2＋(x 3＋x 2)(x 2－x 3)＝0，所以x 4－x 2＋1＝0，无解．② 若Q 在OQ → OP→ y ＝alnx 上，设Q(x ，alnx)(x≥e)，则P(－x ，x 3＋x 2)，OP⊥OQ，·＝－x 2＋alnx(x 3＋x 2)＝0，化简得alnx(x ＋1)＝1.因为a≠0，所以OQ → OP→ lnx(x ＋1)＝.设f(x)＝lnx(x ＋1)(x≥e)，f′(x)＝lnx ＋＋1，x≥e 时，f′(x)>0恒成1a 1x 立，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(e)，即lnx(x ＋1)≥e＋1，所以≥e＋1，即0＜a≤1a .本题突出了函数思想和分类讨论思想，考查了向量数量积处理垂直问题、利用导数求1e ＋1最值问题．本题属于难题．15. 解：(1) 由图象知，A ＝2，(2分)又＝－＝，ω＞0，所以T ＝2π＝，得ω＝1.(4分)T 45π6π3π22πω所以f(x)＝2sin(x ＋φ)，将点代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z )，即(π3，2)π3π2φ＝＋2kπ(k∈Z )．π6又－＜φ＜，所以φ＝.(6分)π2π2π6所以f(x)＝2sin.(8分)(x ＋π6)(2) 当x∈时，x ＋∈，(10分)[－π2，π2]π6[－π3，2π3]所以sin ∈，即f(x)∈[－，2]．(14分)(x ＋π6)[－32，1]316. 证明：(1) 在△A 1BC 中，因为O 是A 1C 的中点，M 是BC 的中点，所以OM∥A 1B.(4分)又OM 平面ABB 1A 1，A 1B 平面ABB 1A 1，所以OM∥平面ABB 1A 1.(6分)⊄⊂(2) 因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥底面ABC ，所以CC 1⊥BC.又∠ACB＝，即BC⊥AC，而CC 1，AC 平面ACC 1A 1，且CC 1∩AC＝C ，所以BC⊥平面π2⊂ACC 1A 1.(8分)而AC 1平面ACC 1A 1，所以BC⊥AC 1.⊂又ACC 1A 1是正方形，所以A 1C⊥AC 1.而BC ，A 1C 平面A 1BC ，且BC∩A 1C ＝C ，所以⊂AC 1⊥平面A 1BC.(12分)又AC 1平面ABC 1，所以平面ABC 1⊥平面A 1BC.(14分)⊂17. 解：(解法1)由条件①，得＝＝.(2分)PA PB 503053设PA ＝5x ，PB ＝3x ，则cos∠PAB＝＝＋，(6分)（5x ）2＋162－（3x2）2×16×5x x 1085x 所以点P 到直线AB 的距离h ＝PAsin∠PAB＝5x·1－(x 10＋85x )2 ＝＝，(10分)－14x4＋17x2－64－14（x2－34）2＋225所以当x 2＝34，即x ＝时，h 取得最大值15 km ，34即选址应满足PA ＝5 km ，PB ＝3 km.(14分)3434(解法2) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．(2分)则A(－8，0)，B(8，0)．由条件①，得＝＝.(4分)PA PB 503053设P(x ，y)(y ＞0)，则3＝5，（x ＋8）2＋y2（x －8）2＋y2化简，得(x －17)2＋y 2＝152(y ＞0)，(10分)即点P 的轨迹是以点(17，0)为圆心，15为半径的位于x 轴上方的半圆．则当x ＝17时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15 km.所以点P 的选址应满足在上述坐标系中且坐标为(17，15)．(14分)18. (1) 解：因为椭圆C 右焦点的坐标为(，0)，所以圆心M 的坐标为，3(3，±12)(2分)从而圆M 的方程为(x －)2＋＝.(4分)3(y ±12)2 14(2) ① 证明：因为圆M 与直线OP ：y ＝k 1x 相切，所以＝，即(4－5x )25520k ＋10x 0y 0k 1＋4－5y ＝0，(6分)2120同理，有(4－5x )k ＋10x 0y 0k 2＋4－5y ＝0，20220所以k 1，k 2是方程(4－5x )k 2＋10x 0y 0k ＋4－5y ＝0的两根，(8分)2020从而k 1k 2＝＝＝＝－.(10分)14② 解：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，联立解得{y ＝k1x ，x24＋y2＝1，)x ＝，y ＝，(12分)2121同理，x ＝，y ＝，22所以OP 2·OQ 2＝·＝·＝·(14分)≤＝，当且仅当k 1＝±时取等号．所以OP·OQ 的最大值为.(16分)254125219. 解：(1) 由题意得f′(x)＝，因函数在x ＝0处的切线方程为y ＝x ，所a （1－x ）ex以f′(0)＝＝1，得a ＝1.(4分)a1(2) 由(1)知f(x)＝＜对任意x∈(0，2)都成立，所以k ＋2x －x 2＞0，即x ex 1k ＋2x －x2k ＞x 2－2x 对任意x∈(0，2)都成立，从而k≥0.(6分)又不等式整理可得k ＜＋x 2－2x ，令g(x)＝＋x 2－2x ，ex x exx 所以g′(x)＝＋2(x －1)＝(x －1)＝0，得x ＝1，(8分)ex （x －1）x2(exx2＋2)当x∈(1，2)时，g′(x)＞0，函数g(x)在(1，2)上单调递增，同理，函数g(x)在(0，1)上单调递减，所以k ＜g(x)min ＝g(1)＝e －1.综上所述，实数k 的取值范围是[0，e －1)．(10分)(3) 结论是g′＜0.(11分)(x1＋x22)证明：由题意知函数g(x)＝lnx －x －b ，所以g′(x)＝－1＝，1x 1－xx 易得函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以只需证明＞1即可．(12分)x1＋x22因为x 1，x 2是函数g(x)的两个零点，所以相减得x 2－x 1＝ln .{x1＋b ＝lnx1，x2＋b ＝lnx2，)x2x1不妨令＝t ＞1，则x 2＝tx 1，则tx 1－x 1＝lnt ，所以x 1＝lnt ，x 2＝lnt ，x2x11t －1tt －1即证lnt>2，即证φ(t)＝lnt －2·>0.(14分)t ＋1t －1t －1t ＋1因为φ′(t)＝－＝>0，所以φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，1t 4（t ＋1）2（t －1）2t （t ＋1）2所以φ(t)>φ(1)＝0.综上所述，函数g(x)总满足g′<0成立．(16分)(x1＋x22)20. 解：(1) 因为a n ＝2n 单调递增，所以A i ＝2i ，B i ＝2i ＋1，所以r i ＝2i －2i ＋1＝－2i ，1≤i≤m－1.(4分)(2) 若{a n }单调递减，则A i ＝a 1＝1，B i ＝a m ，所以r i ＝a 1－a m >0，不满足r i ＝－2，所以{a n }单调递增．(6分)则A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1，所以r i ＝a i －a i ＋1＝－2，即a i ＋1－a i ＝2，1≤i≤m－1，所以{a n }是公差为2的等差数列，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，1≤n≤m－1.(10分)(3) 构造a n ＝n －，其中b n ＝n ，c n ＝－.(12分)(12)n (12)n下证数列{a n }满足题意．证明：因为a n ＝n －，所以数列{a n }单调递增，(12)n所以A i ＝a i ＝i －，B i ＝a i ＋1＝i ＋1－，(14分)(12)i (12)i ＋1所以r i ＝a i －a i ＋1＝－1－，1≤i≤m－1.(12)i ＋1因为r i ＋1－r i ＝－[－1－(12)i ＋2 ][－1－(12)i ＋1 ]＝>0，(12)i ＋2所以数列{r i }单调递增，满足题意．(16分)(说明：等差数列{b n }的首项b 1任意，公差d 为正数，同时等比数列{c n }的首项c 1为负，公比q∈(0，1)，这样构造的数列{a n }都满足题意．)。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = ，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为i a b -．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ． 4．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 【考点】条件结构的流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 5．若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【考点】圆柱的体积、球的体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7．记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【答案】59【考点】几何概型【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．【答案】【考点】双曲线渐近线、准线【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ． 【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．11．已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．12．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin α=cos α=易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m m +=⎪⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【考点】向量表示【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】[-【考点】直线与圆、线性规划【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥． 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-．【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3sin x x =，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π(6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．试题解析：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan3x =-，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-．【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC OA λ=⇔=111OB OC λλλ+++ ；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b ==E 的标准方程是22143x y+=．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0077x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P的坐标为． 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等． 18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】试题分析：（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处． 过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．于是4s i 3s555N Eα=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 【考点】正、余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果． 19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列． 【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：①用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；②用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；③通项法：n a 为关于n 的一次函数；④前n 项和法：2n S An Bn =+．20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【答案】（1）3a >；（2）见解析；（3）36a <≤．试题解析：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点．所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x -，2=3a x -．列表如下：故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，． 【考点】利用导数研究函数得单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析．（2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，即2·AC AP AB =． 【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握． （2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程． 【答案】（1）；（2）228x y +=．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=． 【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的的距离d ==【考点】参数方程与普通方程的互化【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【答案】（1）17；（2）4． 【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值． 试题解析：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ． 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ． 因为AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -．（1）111,AB AC =-= ，则1111111,1cos ,77||||A B AC A B AC A B AC ⋅-⋅===-． 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=． 因为[0,]θ∈π，所以sin θ==．因此二面角B -A 1D -A． 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”． 23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n + 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+ ．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【答案】（1）nm n+；（2）见解析． 试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m nn p m n -+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++- 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++- 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++- 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x|0＜x ＜5}，则A∩B＝__________．2. 已知复数z 满足(3＋i)z ＝10i(其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数是__________．3. 一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是__________．(第5题)4. 甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则一次游戏中甲胜出的概率是__________．5. 执行如图所示的算法流程图，则输出k 的值为________．6. 已知点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为__________．7. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________．8. 已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为________ cm 3. 9. 若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，3x －y≥0，y ≥0，则|3x －4y －10|的最大值为________．10. 已知函数f(x)＝sinx (x∈[0，π])和函数g(x)＝12tanx 的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为__________．11. 若点P ，Q 分别是曲线y ＝x ＋4x 与直线4x ＋y ＝0上的动点，则线段PQ 长的最小值为__________．12. 已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，且(a －c )·(3b －c )＝1，则|c|的最大值为__________．13. 已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为__________．14. 已知经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝12x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的圆心距C 1C 2等于__________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在梯形ABCD 中，已知AD∥BC，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan ∠ADC ＝－2.求：(1) CD 的长； (2) △BCD 的面积．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：(1) 平面AMP⊥平面BB1C1C；(2) A1N∥平面AMP.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为4.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点M ，N 是椭圆C 上的两点，且四边形POMN 是平行四边形，求点M ，N 的坐标．18. (本小题满分16分)经市场调查，某商品每吨的价格为x(1＜x ＜14)百元时，该商品的月供给量为y 1万吨，y 1＝ax ＋72a 2－a(a ＞0)；月需求量为y 2万吨，y 2＝－1224x 2－1112x ＋1.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．(1) 若a ＝17，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2) 记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a 的取值范围．已知函数f(x)＝exe x ，g(x)＝ax －2lnx －a(a∈R ，e 为自然对数的底数)．(1) 求f(x)的极值；(2) 在区间(0，e]上，对于任意的x 0，总存在两个不同的x 1，x 2，使得g(x 1)＝g(x 2)＝f(x 0)，求a 的取值范围．20. (本小题满分16分)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n ＝2k －1，3a n ，n ＝2k (k∈N *)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2的正整数n 的值；(3) 设数列{a n }的前n 项和为S n ，问是否存在正整数m ，n ，使得S 2n ＝mS 2n －1？若存在，求出所有的正整数对(m ，n)；若不存在，请说明理由.(十九)1. {1，3} 解析：本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. 1－3i 解析：z ＝10i3＋i＝1＋3i ，z 的共轭复数是1－3i.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 1 解析：最低分为86，若最高分为9x ，此时平均分不是91，说明最高分为94，去掉86和94，89＋92＋91＋92＋90＋x ＝91×5，则x ＝1.本题主要考查平均分的基础知识．本题属于容易题．4. 14 解析：基本事件数为8种，一次游戏中甲胜出的基本事件数为2种，则所求的概率为14.本题考查用列举法解决古典概型问题．本题属于容易题．5. 3 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环n ＝6，k ＝1；第2次循环n ＝3，k ＝2；第3次循环n ＝1，k ＝3.本题关键是把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．6. 43解析：F(1，0)，准线方程x ＝－1，由第一象限的点A 到其准线的距离为5，则A(4，4)，则直线AF 的斜率为43.本题考查抛物线方程的特征，直线斜率公式．本题属于容易题．7. 179 解析：S 5S 3＝a 1×5＋12×5×4da 1×3＋12×3×2d＝5a 1＋10d 3a 1＋3d ＝3，则d ＝4a 1，则a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179.本题考查了等差数列的通项与前n 项和的公式的应用．本题属于容易题．8. 96π 解析：设圆锥的底面半径为r ，侧面积＝12×母线长×底面圆周长＝60π，得r ＝6，此圆锥的高为8，则此圆锥的体积为13×36π×8＝96π.本题考查了圆锥的侧面展开图以及体积求法．本题属于容易题．9. 494 解析：设z ＝3x －4y －10，画出可行域，利用线性规划求出－494≤z ≤－7，则|z|的最大值为494.本题考查了线性规划的内容和绝对值的意义．本题属于容易题．10.34π 解析：sinx ＝12tanx ＝12·sinx cosx得2cosxsinx ＝sinx ，(2cosx －1)sinx ＝0，x ∈[0，π]，x ＝π3或0或π，则△ABC 的面积为12×π×sin π3＝34π.本题考查了三角函数的图象和性质，以及同角三角函数的关系．本题属于容易题．11. 71717 解析：设曲线上任意一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1＋4x 0，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋1＋4x 017，当x 0>0时，d ＝4x 0＋1＋4x 017≥917，当x 0<0时，d ＝－4x 0－1－4x 017≥717.综上所述，d min ＝71717.本题考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用．本题属于中等题．12. 6＋22解析：建立平面直角坐标系，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，令c ＝(x ，y)，则a －c ＝(1－x ，－y)，b －c ＝(－x ，1－y)．∵ (a －c )·(b －c )＝1，∴ x 2＋y 2－x －y ＝1，x ＋y ＝x 2＋y 2－1，(x ＋y)2＝(x 2＋y 2－1)2＝x 2＋y 2＋2xy≤2(x 2＋y 2)，2－3≤x 2＋y 2≤2＋3，6－22≤|c|≤6＋22，|c|max ＝6＋22.本题考查了用解析法解决向量数量积的问题，并利用重要不等式求解或者利用距离模型求解．本题属于中等题．[试题更正：原题中“(a －c )(3b －c )＝1”更正为“(a －c )(b －c )＝1”．]13. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，174 解析：x ＋y ＋4＝2xy≤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，x ＋y≥4，当且仅当x ＝y ＝2时取＝.∵ (x ＋y)2－a(x ＋y)＋1≥0，∴ (x ＋y)＋1x ＋y≥a.∵ (x ＋y)＋1x ＋y ≥174，则a≤174.本题考查对数函数的性质和基本不等式的运用．本题属于中等题．14. 459 解析：假设圆心所在直线为y ＝kx ，则k －121＋12k ＝2－k1＋2k，k ＝1.故假设圆C 1：(a －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＝a 25，圆C 2：(b －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＝b 25，圆C 1：36a 2－100a ＋65＝0，圆C 2：36b 2－100b ＋65＝0.∴ a＋b ＝10036，a ×b ＝6536，∴ C 1C 2＝（a －b ）2＋（a －b ）2＝459.本题考查了正切的差角公式、圆的对称性、两点间的距离公式和韦达定理的运用．本题综合性强，属于难题．15. 解：(1) 因为tan ∠ADC ＝－2，所以sin ∠ADC ＝255，cos ∠ADC ＝－55.(2分)所以sin ∠ACD ＝sin(π－∠ADC－π4)＝sin (∠ADC＋π4)＝sin ∠ADC ·cos π4＋cos ∠ADC ·sin π4＝1010.(6分)在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD·sin ∠DAC sin ∠ACD ＝ 5.(8分)(2) 因为AD∥BC, 所以cos ∠BCD ＝－cos ∠ADC ＝55.(10分) 在△BDC 中，由余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2·BC·CD·cos ∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7，(12分)所以S △BCD ＝12×7×5×sin ∠BCD ＝12×7×5×255＝7.(14分)16. 证明：(1) 因为直三棱柱ABCA 1B 1C 1，所以BB 1⊥底面ABC. 因为AM ⊂底面ABC ，所以BB 1⊥AM.(2分) 因为M 为BC 中点，且AB ＝AC ，所以AM⊥BC.又BB 1∩BC ＝B ，BB 1⊂平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以AM⊥平面BB 1C 1C.(4分)因为AM ⊂平面APM ，所以平面APM⊥平面BB 1C 1C.(6分)(2) 取C 1B 1中点D ，连结A 1D ，DN ，DM ，B 1C.由于D ，M 分别为C 1B 1，CB 的中点，所以DM∥CC 1且DM ＝CC 1，故DM∥AA 1且DM ＝AA 1.则四边形A 1AMD 为平行四边形，所以A 1D ∥AM.又A 1D 平面APM ，AM ⊂平面APM ，所以A 1D ∥平面APM.(9分)由于D ，N 分别为C 1B 1，CC 1的中点，所以DN∥B 1C. 又P ，M 分别为BB 1，CB 的中点，所以MP∥B 1C. 则DN∥MP.又DN ⊄ 平面APM ，MP ⊂平面APM ，所以DN∥平面APM.(12分) 由于A 1D ∩DN ＝D ，所以平面A 1DN ∥平面APM.由于A 1N ⊂平面A 1DN ，所以A 1N ∥平面APM.(14分)17. 解：(1) 由题意知，1a 2＋94b2＝1，2a ＝4.(2分)解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则ON 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，y 22，PM 的中点坐标为(1＋x 12，32＋y 12)．因为四边形POMN 是平行四边形，所以⎩⎨⎧1＋x 12＝x 22，32＋y 12＝y 22.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2－1，y 1＝y 2－32.(6分)因为点M ，N 是椭圆C 的两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 22＋4y 22＝12，3（x 2－1）2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－322＝12.(8分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝32.(12分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－32.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝32，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝0. 所以，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，N(2，0)；或M(－2，0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32.(14分) 18. 解：(1) 若a ＝17，由y 2＞y 1，得－1224x 2－1112x ＋1>17x ＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫172－17.解得－40<x<6.(3分)因为1<x<14，所以1<x<6.设该商品的月销售额为g(x)，则g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧y 1·x ，1<x<6，y 2·x ，6≤x ＜14.(5分)当1<x<6时，g(x)＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x<g(6)＝337.(7分)当6≤x<14时，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1224x 2－1112x ＋1x ，则g′(x)＝－1224(3x 2＋4x －224)＝－1224(x －8)(3x ＋28)，由g′(x)>0，得x<8，所以g(x)在[6，8)上是增函数，在(8，14)上是减函数，当x ＝8时，g(x)有最大值g(8)＝367.(10分)(2) 设f(x)＝y 1－y 2＝1224x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1112＋a x ＋72a 2－1－a ， 因为a>0，所以f(x)在区间(1，14)上是增函数．若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间[6，14)上有零点，(12分)所以⎩⎪⎨⎪⎧f （6）≤0，f （14）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋10a －117≤0，72a 2＋13a>0，解得0＜a≤17.(15分)答：(1) 若a ＝17，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大；(2) 若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，17.(16分) 19. 解：(1) 因为f(x)＝ex e x ，所以f′(x)＝（1－x ）eex.(2分) 令f′(x)＝0，得x ＝1.(3分)当x∈(－∞，1)时，f ′(x)>0，f(x)是增函数； 当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0，f(x)是减函数．所以f(x)在x ＝1时取得极大值f(1)＝1，无极小值．(5分)(2) 由(1)知，当x∈(0，1)时，f(x)单调递增；当x∈(1，e]时，f(x)单调递减．因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(e)＝e ·e 1－e＞0，所以当x∈(0，e]时，函数f(x)的值域为(0，1]．(7分)当a ＝0时，g(x)＝－2lnx 在(0，e]上单调，不合题意；(8分)当a≠0时，g ′(x)＝a －2x ＝ax －2x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a x，x ∈(0，e]，故必须满足0<2a <e ，所以a>2e.(10分)此时，当x 变化时，g ′(x)，g(x)的变化情况如下：所以x→0，g (x)→＋∞，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝2－a －2ln a ，g(e)＝a(e －1)－2. 所以对任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g(x 1)＝g(x 2)＝f(x 0)，当且仅当a 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ≤0，g （e ）≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a －2ln 2a ≤0，a （e －1）－2≥1.(13分)令m(a)＝2－a －2ln 2a ，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞，m ′(a)＝－a －2a ，由m ′(a)＝0，得a ＝2. 当a∈(2，＋∞)时，m ′(a)<0，函数m(a)单调递减；当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，2时，m ′(a)>0，函数m(a)单调递增． 所以，对任意a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞有m(a)≤m(2)＝0， 即2－a －2ln 2a ≤0对任意a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞恒成立． 由a(e －1)－2≥1，解得a≥3e －1.综上所述，当a∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3e －1，＋∞时，对于任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g(x 1)＝g(x 2)＝f(x 0)．(16分)20. 解：(1) 由题意，数列{a n }的奇数项是以a 1＝1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以a 2＝2为首项，公比为3的等比数列． (1分)所以对任意正整数k ，a 2k －1＝2k －1，a 2k ＝2×3k －1.所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝2k －1，2·3n2－1，n ＝2k (k∈N *)．(3分) (2) ① 当n 为奇数时，由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，得2×2×3n ＋12－1＝n ＋n ＋2，所以2×3n －12＝n ＋1.令f(x)＝2×3x －12－x －1(x≥1)，由f′(x)＝23×(3)x×ln 3－1≥23×3×ln 3－1＝ln3－1>0，可知f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以f(x)≥f(1)＝0，所以当且仅当n ＝1时，满足2×3n －12＝n ＋1，即2a 2＝a 1＋a 3.(6分)② 当n 为偶数时，由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，得2(n ＋1)＝2×3n 2－1＋2×3n ＋22－1，即n ＋1＝3n2－1＋3n2，上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立． 综上，满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2的正整数n 的值只有1.(8分) (3) S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝n （1＋2n －1）2＋2（1－3n）1－3＝3n ＋n 2－1，n ∈N *.S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3n －1＋n 2－1.(10分)假设存在正整数m ，n ，使得S 2n ＝mS 2n －1，则3n ＋n 2－1＝m(3n －1＋n 2－1)，所以3n －1(3－m)＝(m －1)(n 2－1)，(*) 从而3－m≥0，所以m≤3.又m∈N *，所以m ＝1，2，3.(12分)① 当m ＝1时，(*)式左边大于0，右边等于0，不成立．② 当m ＝3时，(*)式左边等于0，所以2(n 2－1)＝0，n ＝1，所以S 2＝3S 1.(14分)③当m＝2时，(*)式可化为3n－1＝n2－1＝(n＋1)(n－1)，则存在k1，k2∈N*，k1＜k2，使得n－1＝3k1，n＋1＝3k2且k1＋k2＝n－1，从而3k2－3k1＝3k1(3k2－k1－1)＝2，所以3k1＝1，3k2－k1－1＝2，所以k1＝0，k2－k1＝1，于是n＝2，S4＝2S3.综上可知，符合条件的正整数对(m，n)只有两对：(2，2)，(3，1)．(16分)。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，若A∪B＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为____________．2. 已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝____________．3. 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50～90 km/h 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图(如图所示)，则速度在70 km/h 以下的汽车有________辆．(第3题)4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为____________．S←1I←1While I ＜5S←S＋2I←I＋1End WhilePrint S(第4题)5. 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，若AB ＝5，则ω的值为____________．(第5题)6. 若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为______________．7. 抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 216－y 29＝1渐近线的距离为____________． 8. 已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使平面DAC⊥平面BAC ，则三棱锥DABC 的体积为__________．9. 若公比不为1的等比数列{a n }满足log 2(a 1·a 2·…·a 13)＝13，等差数列{b n }满足b 7＝a 7，则b 1＋b 2＋…＋b 13的值为____________．10. 定义在R 上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝log 2(2＋x)＋(a －1)x ＋b(a ，b 为常数)．若f(2)＝－1，则f(－6)的值为____________．11. 已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1.若点C 满足|OA →＋CB →|＝1，则|OC →|的取值范围是____________．12. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋cosx ，x ≥0，x （a －x ），x ＜0.若关于x 的不等式f(x)＜π的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，π2，则实数a 的取值范围是____________． 13. 已知点A(0，1)，B(1，0)，C(t ，0)，点D 是直线AC 上的动点，若AD≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为____________．14. 已知正数a ，b ，c 满足b ＋c≥a，则b c ＋c a ＋b的最小值为____________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA ＝35，tan(A －B)＝－12. (1) 求tanB 的值；(2) 若b ＝5，求c.。

O 21 x O 21x O 21 x O 21x A B C D 2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

（1）函数的最小正周期是（ ）。

A. B.C.D.（2）圆的圆心到直线的距离是（ ）。

A.B. C. 1 D.（3）不等式的解集是（ ）A. B.C.D.（4）在内，使成立的x 取值范围为（ ）A. B.C.D.（5）设集合，则（ ）A. B. C. D.（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）。

A. B.C.D.（7）函数是奇函数的充要条件是（ ）A.ab=0B. a+b=0C. a=bD.（8）已知，则有（ ）。

A. B. C.D.（9）函数A. 在（）内单调递增 B. 在（）内单调递减 C. 在（）内单调递增 D. 在（）内单调递减（10） 极坐标方程与的图形是（ ）。

（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）。

A.8种B. 12种C. 16种D. 20种（12）据2017年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“”末，我国国内生产总值约为（ ）。

A. 115 000 亿元B. 120 000亿元C. 127 000亿元 Ｄ. 135 000亿元 二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）椭圆的一个焦点是（0，2），那么k= 。

（14）的展开式中项的系数是 。

（15）已知，则。

（16）已知函数那= 。

三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）已知复数，求实数a,b 使（18）（本小题满分12分）设为等差数列，为等比数列，，分别求出及的前10项的和及。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试 时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作 答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

1．（5分）已知集合A ={1，2}，B ={a ，a 2+3}．若A ∩B ={1}，则实数a 的值为 ． 2．（5分）已知复数z =（1+i ）（1+2i ），其中i 是虚数单位，则z 的模是 ． 3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件． 4．（5分）如图是一个算法流程图，若输入x 的值为161，则输出y 的值是 ．（第4题） （第6题） （第12题） 5．（5分）若tan （α﹣4 ）=61．则tan α= ．6．（5分）如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则21V V 的值是 ． 7．（5分）记函数f （x ）=26x x -+定义域为D ．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 ．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线1322=-y x 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是 ． 9．（5分）等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3=47，S 6=463，则a 8= ． 10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 11．（5分）已知函数x xee x x xf 12)(3-+-=，其中e 是自然对数的底数．若)2()1(2a f a f +-≤0．则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m +n = ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若PB PA ⋅≤20，则点P 的横坐标的取值范围是 ．14．（5分）设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，⎩⎨⎧∉∈=Dx x D x x x f ,,)(2，其中集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==*,1|N n n n x x D ，则方程0lg )(=-x x f 的解的个数是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a，若AB ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数()f x =的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}na 的各项均为实数，其前n 项的和为S n，已知36763，44SS ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}AB =，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为i a b -．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ． 4．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 【考点】条件结构的流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 5．若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【考点】圆柱的体积、球的体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7．记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【答案】59【考点】几何概型【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．【答案】【考点】双曲线渐近线、准线【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ． 【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．11．已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．12．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m m +=⎪⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【考点】向量表示【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】[-【考点】直线与圆、线性规划【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥． 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-．【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3sin x x =，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π(6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．试题解析：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan3x =-，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤ 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-．【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC OA λ=⇔=111OB OC λλλ+++；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b ==E 的标准方程是22143x y+=．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --， 从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以20001(,)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P的坐标为． 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等． 18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】试题分析：（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处． 过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．于是4s i 3s555N Eα=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 【考点】正、余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果． 19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列． 【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：①用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；②用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；③通项法：n a 为关于n 的一次函数；④前n 项和法：2n S An Bn =+．20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【答案】（1）3a >；（2）见解析；（3）36a <≤．试题解析：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点．所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1x ，2x ．列表如下：故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，．【考点】利用导数研究函数得单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析．（2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，即2·AC AP AB =． 【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握． （2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程． 【答案】（1）；（2）228x y +=．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=． 【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的的距离d ==【考点】参数方程与普通方程的互化【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【答案】（1）17；（2）4． 【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值． 试题解析：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ． 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ．因为AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -．（1）11(3,1,3),(3,1AB AC =--=， 则111111(1cos ,7||||A B AC A B AC A B AC ⋅===-．因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=． 因为[0,]θ∈π，所以sin 4θ==． 因此二面角B -A 1D -A ． 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”． 23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k的抽屉(1,2,3,,)k m n =+．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【答案】（1）nm n+；（2）见解析．试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m n n p m n-+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-，即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)XB n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. (本小题满分10分) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1，若矩阵AB －1对应的变换把直线l 变为直线l′：x ＋y－2＝0，求直线l 的方程．22.(本小题满分10分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎫θ－π4＝3 2.(1) 把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 已知P 为曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上一点，求P 到直线l 的距离的最大值．23. (本小题满分10分)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12，a ，a(0＜a ＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.(1) 求ξ的分布列及数学期望；(2) 在概率P(ξ＝i)(i ＝0，1，2，3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a 的取值范围．24.(本小题满分10分)如图，正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝1，D 1D ＝2，点P 为棱CC 1的中点． (1) 设二面角AA 1BP 的大小为θ，求sin θ的值； (2) 设M 为线段A 1B 上的一点，求AMMP的取值范围．(四)21. 解：B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1，∴ AB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.(5分)设直线l 上任意一点(x ，y)在矩阵AB－1对应的变换下为点(x′，y ′)，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x －2y ，y ′＝2y. 代入l′，得(x －2y)＋(2y)－2＝0，化简后得l ：x ＝2.(10分) 22. 解：(1) 直线l 的极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝32，则22ρsin θ－22ρcos θ＝32，即ρsin θ－ρcos θ＝6， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋6＝0.(5分)(2) 因为P 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ上一点，所以P 到直线l 的距离d ＝|4cos θ－3sin θ＋6|2＝|5cos （θ＋φ）＋6|2，所以当cos (θ＋φ)＝1时，d 的最大值为1122.(10分)23. 解：(1) P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝C 01⎝⎛⎭⎫1－12C 02(1－a)2＝12(1－a)2， P (ξ＝1)＝C 11·12C 02(1－a)2＋C 01⎝⎛⎭⎫1－12C 12a(1－a) ＝12(1－a 2)， P (ξ＝2)＝C 11·12C 12a(1－a)＋C 01⎝⎛⎭⎫1－12C 22a 2 ＝12(2a －a 2)， P (ξ＝3)＝C 11·12C 22a 2＝a 22.(4分)所以ξ的分布列为(5ξ的数学期望为E (ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×a 22＝4a ＋12.(6分)(2) P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a)，P (ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝1－2a 2.P (ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝1－2a 22.由⎩⎨⎧a （1－a ）≥0，1－2a 2≥0，1－2a 22≥0和0＜a ＜1，得0＜a ≤12，即a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.(10分) 24. 解：(1) 如图，以点D 为原点O ，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A(1，0，0)，A 1(1，0，2)，P(0，1，1)，B(1，1，0)， 所以AA 1→＝(0，0，2)，AB →＝(0，1，0)． 设平面AA 1B 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝z 1＝0，n ·AB →＝y 1＝0，得n ＝(1，0，0)，(1分)同理向量PA 1→＝(1，－1，1)，PB →＝(1，0，－1)． 设平面PA 1B 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PA 1→＝x 2－y 2＋z 2＝0，n ·PB →＝x 2－z 2＝0，得m ＝(1，2，1)，(3分)所以cos 〈n ，m 〉＝n·m|n|·|m|＝66，(4分)则sin θ＝306.(5分) (2) 设M(x ，y ，z)，因为BM →＝λBA 1→，即(x －1，y －1，z)＝λ(0，－1，2)，所以M(1，1－λ，2λ)，(6分)MA →＝(0，λ－1，－2λ)，MP →＝(－1，λ，1－2λ)，AMMP ＝（λ－1）2＋4λ21＋λ2＋（1－2λ）2＝5λ2－2λ＋15λ2－4λ＋2＝1＋2λ－15λ2－4λ＋2.(7分) 令2λ－1＝t ∈[－1，1]，则2λ－15λ2－4λ＋2＝4t5t 2＋2t ＋5，当t ∈[－1，0)时，4t 5t 2＋2t ＋5∈⎣⎡⎭⎫－12，0；当t ∈(0，1]时，4t 5t 2＋2t ＋5∈⎝⎛⎦⎤0，13；当t ＝0时，4t5t 2＋2t ＋5＝0，所以4t 5t 2＋2t ＋5∈⎣⎡⎤－12，13，则AM MP ∈⎣⎡⎦⎤22，233.(10分)。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学附加分(满分40分,考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A.B.C.D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分．若多做,则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图,∠PAQ 是直角,圆O 与射线AP 相切于点T,与射线AQ 相交于两点B,C.求证：BT 平分∠OBA.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－14,求矩阵A 的特征值和特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋13＝0,已知A ⎝⎛⎭⎫1，3π2,B ⎝⎛⎭⎫3，3π2,P 为圆C 上一点,求△PAB 面积的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)设x,y 均为正数,且x ＞y,求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.【必做题】 第22.23题,每小题10分,共20分．解答时应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤．22. 如图,在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,底面△ABC 是直角三角形,AB ＝AC ＝1,AA 1＝2,点P 是棱BB 1上一点,满足BP →＝λBB 1→(0≤λ≤1)．(1) 若λ＝13,求直线PC 与平面A 1BC 所成角的正弦值； (2) 若二面角PA 1CB 的正弦值为23,求λ的值．23. 已知数列{a n }满足a n ＝3n －2,f(n)＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n,g(n)＝f(n 2)－f(n －1),n ∈N *.求证： (1) g(2)＞13； (2) 当n ≥3时,g(n)＞13.(九)21. A. 证明：连结OT.因为AT 是切线,所以OT ⊥AP.(2分)因为∠PAQ 是直角,即AQ ⊥AP,所以AB ∥OT,所以∠TBA ＝∠BTO.(5分)又OT ＝OB,所以∠OTB ＝∠OBT,(8分)所以∠OBT ＝∠TBA,即BT 平分∠OBA.(10分)B. 解：矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6,(2分) 由f(λ)＝0,解得λ1＝2,λ2＝3.(4分)当λ1＝2时,特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x －2y ＝0， 故属于特征值λ1＝2的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；(7分) 当λ2＝3时,特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，x －y ＝0， 故属于特征值λ2＝3的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(10分) C. 解：圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋43x －4y ＋13＝0, 即(x ＋23)2＋(y －2)2＝3.(4分)又A(0,－1),B(0,－3),所以AB ＝2.(6分)P 到直线AB 距离的最小值为23－3＝3,(8分)所以△PAB 面积的最小值为12×2×3＝ 3.(10分) D. 证明：因为x ＞0,y ＞0,x －y ＞0,2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y)＋1（x －y ）2(4分) ＝(x －y)＋(x －y)＋1（x －y ）2≥33（x －y ）21（x －y ）2＝3,(8分) 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(10分) 22. 解：以A 为坐标原点O,分别以AB,AC,AA 1所在直线为x 轴.y 轴.z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz.因为AB ＝AC ＝1,AA 1＝2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A 1(0,0,2),B 1(1,0,2),P(1,0,2λ)．(1分)(1) 由λ＝13得,CP →＝⎝⎛⎭⎫1，－1，23,A 1B →＝(1,0,－2),A 1C →＝(0,1,－2), 设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1),由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2z 1＝0，y 1－2z 1＝0. 不妨取z 1＝1,则x 1＝y 1＝2,从而平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(2,2,1)．(3分) 设直线PC 与平面A 1BC 所成的角为θ,则sin θ＝|cos 〈CP →,n 1〉|＝|CP →·n 1|CP →|·|n 1||＝2233, 所以直线PC 与平面A 1BC 所成的角的正弦值为2233.(5分) (2) 设平面PA 1C 的法向量为n 2＝(x 2,y 2,z 2), A 1P →＝(1,0,2λ－2),由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C →＝0，n 2·A 1P →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－2z 2＝0，x 2＋（2λ－2）z 2＝0. 不妨取z 2＝1,则x 2＝2－2λ,y 2＝2,所以平面PA 1C 的法向量为n 2＝(2－2λ,2,1)．(7分)则cos 〈n 1,n 2〉＝9－4λ34λ2－8λ＋9. 因为二面角PA 1CB 的正弦值为23, 所以9－4λ34λ2－8λ＋9＝53,(9分) 化简得λ2＋8λ－9＝0,解得λ＝1或λ＝－9(舍去), 故λ的值为1.(10分)23. 证明：(1) 由题意知,a n ＝3n －2,g(n)＝1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n2,(1分) 当n ＝2时,g(2)＝1a 2＋1a 3＋1a 4＝14＋17＋110＝69140＞13.(2分) (2) 用数学归纳法加以证明：① 当n ＝3时,g(3)＝1a 3＋1a 4＋1a 5＋…＋1a 9＝17＋110＋113＋116＋119＋122＋125＝17＋⎝⎛⎭⎫110＋113＋116＋⎝⎛⎭⎫119＋122＋125＞18＋⎝⎛⎭⎫116＋116＋116＋⎝⎛⎭⎫132＋132＋132 ＝18＋316＋332＞18＋316＋116＞13, 所以当n ＝3时,结论成立．(4分)② 假设当n ＝k 时,结论成立,即g(k)＞13, 则n ＝k ＋1时,g(k ＋1)＝g(k)＋⎝⎛⎭⎫1a k2＋1＋1a k2＋2＋…＋1a （k ＋1）2－1a k (6分) ＞13＋⎝⎛⎭⎫1a k2＋1＋1a k2＋2＋…＋1a （k ＋1）2－1a k ＞13＋2k ＋13（k ＋1）2－2－13k －2＝13＋（2k ＋1）（3k －2）－[3（k ＋1）2－2][3（k ＋1）2－2]（3k －2）＝13＋3k 2－7k －3[3（k ＋1）2－2]（3k －2）, 由k ≥3可知,3k 2－7k －3＞0,即g(k ＋1)＞13. 所以当n ＝k ＋1时,结论也成立．综合①②可得,当n ≥3时,g(n)＞13.(10分)。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}.若A∩B={1}，则实数a的值为 .解析：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}.A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1.答案：1.2.已知复数z=(1+i)(1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是 .解析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.复数z=(1+i)(1+2i)=1+i2+3i=1-2+3i=-1+3i，∴|z|==3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件.解析：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6061000100=，则应从丙种型号的产品中抽取300×6100=18件.答案：184.如图是一个算法流程图：若输入x的值为116，则输出y的值是 .解析：初始值x=116，不满足x ≥1， 所以y=2+log 2116=2-log 224=-2. 答案：-2.5.若tan 164πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.则tan α= . 解析：直接根据两角差的正切公式计算即可∵tan tantan 14tan 4tan 11tan ta 46n 1παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+， ∴6tan α-6=tan α+1， 解得tan α=75. 答案：75.6.如图，在圆柱O1O2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则12V V 的值是 .解析：设球的半径为R ，则球的体积为：343R π，圆柱的体积为：πR 2·2R=2πR 3.则313224332V R R V ππ==.答案：32.7.记函数 D.在区间[-4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 .解析：由6+x-x 2≥0得x 2-x-6≤0，得-2≤x ≤3， 则D=[-2，3]，则在区间[-4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率()()325549P --==--.答案：59.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是 .解析：求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P ，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积.双曲线2213x y -=的右准线：x=32，双曲线渐近线方程为：y=3x ，所以P 322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，Q 322⎛- ⎝⎭，，F 1(-2，0).F 2(2，0).则四边形F 1PF 2Q 的面积是：241⨯=答案：9.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3=74，S 6=634，则a 8= . 解析：设等比数列{a n }的公比为q ≠1， ∵S 3=74，S 6=634， ∴()311714a q q -=-，()6111634a q q -=-， 解得114a =，q=2. 则a 8=14×27=32. 答案：32.10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 . 解析：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和为：600642240xx⨯+≥=(万元).当且仅当36004xx=时取等号.∵x＞0，∴x=30. 答案：30.11.已知函数f(x)=x3-2x+e x-1xe，其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是 .解析：求出f(x)的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f(x)在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f(x)为奇函数，原不等式即为2a2≤1-a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围.函数f(x)=x3-2x+ex-1xe的导数为：f′(x)=3x2-2+e x+1xe≥1xxe=0，可得f(x)在R上递增；又f(-x)+f(x)=(-x)3+2x+e-x-e x+x3-2x+e x-1xe=0，可得f(x)为奇函数，则f(a-1)+f(2a2)≤0，即有f(2a2)≤-f(a-1)=f(1-a)，即有2a2≤1-a，解得-1≤a≤12.答案：[-1，12 ].12.如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC mOA nOB=+(m，n∈R)，则m+n= .解析：如图所示，建立直角坐标系.A(1，0).由OA与OC的夹角为α，且tanα=7. ∴cosαsinα∴C(15，75).cos(α+45°)=2(cosα-sinα)=35-.sin(α+45°)=2(sinα+cosα)=45.∴B(35-，45).∵OC mOA nOB=+(m，n∈R)，∴1355m n=-，7455n=+，解得n=74，m=54.则m+n=3.答案：3.13.在平面直角坐标系xOy中，A(-12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2+y2=50上.若PA PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是 .解析：根据题意，设P(x0，y0)，则有x02+y02=50，PA PB=(-12-x0，-y0)·(-x0，6-y0)=(12+x0)x0-y0(6-y0)=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0-6y0+30≤0，即2x0-y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立22000050250x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解可得x 0=-5或x 0=1，结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是1]， 答案：1].14.设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，()2x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩，，，其中集合D={x|x=1n n -，n ∈N*}，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .解析：∵在区间[0，1)上，()2x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩，，，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，∴在区间[1，2)上，()()211x x Df x x x D⎧-∈⎪=⎨-∉⎪⎩，，，此时f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点；同理：区间[2，3)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[3，4)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[4，5)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[5，6)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[6，7)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[7，8)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[8，9)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 在区间[9，+∞)上，f(x)的图象与y=lgx 无交点； 故f(x)的图象与y=lgx 有8个交点； 即方程f(x)-lgx=0的解的个数是8.答案：8二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F(E与A、D 不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC.(2)AD⊥AC.解析：(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论.(2)通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论.答案：(1)因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC.(2)在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，∵BC⊥BD，所以FG∥BC，又平面ABD⊥平面BCD，∴FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，∵AD⊥EF，且EF∩FG=F，∴AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，∴AD⊥AC.16.已知向量a=(cosx，sinx)，b=(3，，x∈[0，π].(1)若a∥b，求x的值.(2)记f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析：(1)根据向量的平行即可得到tanx=3-，问题得以解决. (2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出.答案：(1)∵a =(cosx ，sinx)，b =(3，，a ∥b ，∴，∴tanx= ∵x ∈[0，π]， ∴x=56π.(2)f(x)1236a b cosx sinx x π⎛⎫===-=+⎫⎪⎪⎭⎭⎪⎝， ∵x ∈[0，π]， ∴x+6π∈[6π，76π]，∴-1≤cos(x+6π)≤2， 当x=0时，f(x)有最大值，最大值3，当x=56π时，f(x)有最小值，最大值17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1)求椭圆E 的标准方程.(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.解析：(1)由椭圆的离心率公式求得a=2c ，由椭圆的准线方程22a x c =±，则2228a c⨯=，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2-c 2=3，即可求得椭圆方程.(2)方法一：设P(x 0，y 0)，分别求得直线PF 2的斜率及直线PF 1的斜率，则即可求得l 2及l 1的斜率及方程，联立求得Q 点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y 02=x 02-1，联立即可求得P 点坐标；方法二：设P(m ，n)，当m ≠1时，21PF n k m =-，11PF n k m =+，求得直线l 1及l 1的方程，联立求得Q 点坐标，根据对称性可得221m n n-=±，联立椭圆方程，即可求得P 点坐标. 答案：(1)由题意可知：椭圆的离心率12c e a ==，则a=2c ，① 椭圆的准线方程22a x c =±，则2228a c⨯=，② 由①②解得：a=2，c=1，则b 2=a 2-c 2=3，∴椭圆的标准方程：22143x y +=. (2)方法一：设P(x 0，y 0)，则直线PF 2的斜率2001PF y k x =-， 则直线l 2的斜率0201x k y -=-，直线l 2的方程()0011x y x y -=--， 直线PF 1的斜率1001PF y k x =+， 则直线l 1的斜率0101x k y +=-，直线l 1的方程()0011x y x y +=-+， 联立()()00001111x y x y x y x y -⎧=--⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩，解得：02001x x x y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，则Q(-x 0，2001x y -)， 由P ，Q 在椭圆上，P ，Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则20001x y y -=，∴y 02=x 02-1，则220022001431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：202016797x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则0077x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，又P 在第一象限，所以P 的坐标为：方法二：设P(m ，n)，由P 在第一象限，则m ＞0，n ＞0， 当m=1时，2PF k 不存在，解得：Q 与F1重合，不满足题意，当m ≠1时，21PF n k m =-，11PF n k m =+， 由l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，则11l m k n +=-，21l m k n-=-，直线l 1的方程()11m y x n +=-+①，直线l 2的方程()11m y x n-=--②，联立解得：x=-m ，则Q(-m ，21m n-)，由Q 在椭圆方程，由对称性可得：221m n n-=±， 即m 2-n 2=1，或m 2+n 2=1，由P(m ，n)，在椭圆方程，22221143m n m n⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得：2216797m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或22221143m n m n ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：).18.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度.(2)将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度.解析：(1)设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=35，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度.答案：(1)设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC ⊂平面ABCD ，∴CC 1⊥AC ，∴NP ⊥AC ，∴NP=12cm ，且AM 2=AC 2+MC 2，解得MC=30cm ， ∵NP ∥MC ，∴△ANP ∽△AMC ， ∴124030AN NP AN AM MC ==，，得AN=16cm. ∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.(2)设玻璃棒在GG 1上的点为M ，玻璃棒与水面的交点为N ， 在平面E 1EGG 1中，过点N 作NP ⊥EG ，交EG 于点P ， 过点E 作EQ ⊥E 1G 1，交E 1G 1于点Q ，∵EFGH-E 1F 1G 1H 1为正四棱台，∴EE 1=GG 1，EG ∥E 1G 1， EG ≠E 1G 1，∴EE 1G 1G 为等腰梯形，画出平面E 1EGG 1的平面图， ∵E 1G 1=62cm ，EG=14cm ，EQ=32cm ，NP=12cm ， ∴E 1Q=24cm ，由勾股定理得：E 1E=40cm ，∴sin ∠EE 1G 1=45，sin ∠EGM=sin ∠EE 1G 1=45，cos ∠EGM=35-， 根据正弦定理得：sin sin EM EGEGM EMG =∠∠，∴sin ∠EMG=725，cos ∠EMG=2425，∴sin ∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin ∠EGMcos ∠EMG+cos ∠EGMsin ∠EMG=35， ∴12203sin 5NP EN GEM ===∠ cm.∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.19.对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n-k +a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k =2ka n 对任意正整数n(n ＞k)总成立，则称数列{a n }是“P(k)数列”. (1)证明：等差数列{a n }是“P(3)数列”. (2)若数列{a n }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a n }是等差数列.解析：(1)由题意可知根据等差数列的性质，a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=(a n-3+a n+3)+(a n-2+a n+2)+(a n-1+a n+1)=2×3a n ，根据“P(k)数列”的定义，可得数列{a n }是“P(3)数列”.(2)由已知条件结合(1)中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列.答案：(1)证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+(n-1)d ，则a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=(a n-3+a n+3)+(a n-2+a n+2)+(a n-1+a n+1) =2a n +2a n +2a n ， =2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P(3)数列”.(2)证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P(3)数列，则a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n ，①， 因为数列{an}是“P(2)数列”，所以a n-3+a n-2+a n +a n+1=4a n-1，②， a n-1+a n +a n+2+a n+3=4a n+1，③，②+③-①，得2a n =4a n-1+4a n +1-6a n ，即2a n =a n-1+a n+1，(n ≥4)，因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4， 所以a 2=4a 4-a 3-a 5-a 6=4(a 3+d)-a 3-(a 3+2d)-(a 3+3d)=a 3-d ，因为a 1+a 2+a 4+a 5=4a 3，所以a 1=4a 3-a 2-a 4-a 5=4(a 2+d)-a 2-(a 2+2d)-(a 2+3d)=a 2-d ， 也即前3项满足等差数列的通项公式， 所以{a n }为等差数列.20.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a ＞0，b ∈R)有极值，且导函数f ′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域.(2)证明：b 2＞3a.(3)若f(x)，f ′(x)这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围. 解析：(1)通过对f(x)=x 3+ax 2+bx+1求导可知g(x)=f ′(x)=3x 2+2ax+b ，进而再求导可知g ′(x)=6x+2a ，通过令g ′(x)=0进而可知f ′(x)的极小值点为x=3a -，从而f(3a-)=0，整理可知b=2239a a+ (a ＞0)，结合f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a ＞0，b ∈R)有极值可知f ′(x)=0有两个不等的实根，进而可知a ＞3.(2)通过(1)构造函数()()()423322459134272781381a a h a b a a a a a=-=-+=--，结合a ＞3可知h(a)＞0，从而可得结论.(3)通过(1)可知f ′(x)的极小值为233a a f b ⎛⎫⎪⎭= -⎝'-，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f(x)的两个极值之和为3422273a ab -+，进而问题转化为解不等式23242723327392a a ab a b a -+-+=-≥-，因式分解即得结论.答案：(1)因为f(x)=x 3+ax 2+bx+1，所以g(x)=f ′(x)=3x 2+2ax+b ，g ′(x)=6x+2a ，令g ′(x)=0，解得x=3a -. 由于当x ＞3a-时g ′(x)＞0，g(x)=f ′(x)单调递增； 当x ＜3a-时g ′(x)＜0，g(x)=f ′(x)单调递减； 所以f ′(x)的极小值点为x=3a-，由于导函数f ′(x)的极值点是原函数f(x)的零点，所以f(3a-)=0，即33102793a a ab -+-+=， 所以2239a b a=+(a ＞0). 因为f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a ＞0，b ∈R)有极值，所以f ′(x)=3x 2+2ax+b=0的实根，所以4a 2-12b ≥0，即22293a a a-+≥0，解得a ≥3， 所以2239a b a=+(a ≥3). (2)证明：由(1)可知()()()423322459134272781381a a h a b a a a a a=-=-+=--， 由于a ＞3，所以h(a)＞0，即b 2＞3a.(3)由(1)可知f ′(x)的极小值为2()33a a fb '-=-，设x 1，x 2是y=f(x)的两个极值点，则x 1+x 2=23a -，x 1x 2=3b， 所以f(x 1)+f(x 2)=x 13+x 23+a(x 12+x 22)+b(x 1+x 2)+2=(x 1+x 2)[(x 1+x 2)2-3x 1x 2]+a[(x 1+x 2)2-2x 1x 2]+b(x 1+x 2)+2=3422273a ab-+， 又因为f(x)，f ′(x)这两个函数的所有极值之和不小于72-， 所以23242372327392a a ab a b a -+-+=-≥-， 因为a ＞3，所以2a 3-63a-54≤0， 所以2a(a 2-36)+9(a-6)≤0，所以(a-6)(2a2+12a+9)≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a-6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是(3，6].[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)21.如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.求证：(1)∠PAC=∠CAB.(2)AC2=AP·AB.解析：(1)利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC.利用圆的性质可得∠ACB=90°.再利用三角形内角和定理即可证明.(2)由(1)可得：△APC∽△ACB，即可证明.答案：(1)∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC.∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°.∵AP⊥PC，∴∠APC=90°.∴∠PAC=90°-∠ACP，∠CAB=90°-∠ABC，∴∠PAC=∠CAB.(2)由(1)可得：△APC∽△ACB，∴AC AP AB AC=.∴AC2=AP·AB.B.[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)22.已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(1)求AB.(2)若曲线C1：22182x y+=在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.解析：(1)按矩阵乘法规律计算.(2)求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可.答案：(1)AB=011010020210⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝=⎭⎛⎫⎪⎝⎭.(2)设点P(x ，y)为曲线C 1的任意一点，点P 在矩阵AB 的变换下得到点P ′(x 0，y 0)， 则02210x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即x 0=2y ，y 0=x ， ∴x=y 0，y=2x ， ∴2200188y x +=，即x 02+y 02=8， ∴曲线C 2的方程为x 2+y 2=8.C.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)23.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解析：求出直线l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d 关于参数s 的函数，从而得出最短距离.答案：直线l 的直角坐标方程为x-2y+8=0， ∴P 到直线l的距离224d -+==∴当d5=D.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)24.已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，证明ac+bd ≤8.解析：a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，令a=2cos α，b=2sin α，c=4cos β，d=4sin β.代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)，即可得出.答案：∵a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，令a=2cos α，b=2sin α，c=4cos β，d=4sin β.∴ac+bd=8(cos αcos β+sin αsin β)=8cos(α-β)≤8.当且仅当cos(α-β)=1时取等号. 因此ac+bd ≤8.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)=4×16=64，当且仅当a bc d=时取等号.∴-8≤ac+bd ≤8.[必做题]每小题10分.25.如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB=AD=2，AA 1∠BAD=120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值. (2)求二面角B-A 1D-A 的正弦值.解析：(1)在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ，由AA 1⊥平面ABCD ，可得AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.结合已知求出A ，B ，C ，D ，A 1，C 1的坐标，进一步求出1A B ，1AC ，DB ，1DA 的坐标.直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值.(2)求出平面BA 1D 与平面A 1AD 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B-A 1D-A 的余弦值，进一步得到正弦值.答案：(1)在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ， ∵AA 1⊥平面ABCD ，AD 、Ax ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.∵AB=AD=2，AA 1BAD=120°，∴A(0，0，0)，-1，0)，1，0)，D(0，2，0)，A 1(0，0，C 111(31A B =-，，，1(31AC =，，(33)0DB =-，，， 1DA=(0，-2∵111111177A B AC A B AC A B A os C c ===-，.∴异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17. (2)设平面BA 1D 的一个法向量为n =(x ，y ，z)，由100n DB n DA ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得3020y y -=-+=⎪⎩，取12(3n =，，； 取平面A1AD 的一个法向量为m =(1，0，0).∴341m n cos m n m n===⨯，. ∴二面角B-A1D-A 的正弦值为34，则二面角B-A 1D-A 4=.26.已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球(m ，n ∈N*，n ≥2)，这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(k=1，2，3，…，m+n).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p.(2)随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x 的数学期望，证明E(x)＜()()1nm n n +-.解析：(1)设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=p(A 2)=P(A 2|A 1)P(A 1)+P(A 2|1A )P(1A )，由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.(2)x 的所有可能取值为1111111n k n m n n n n mk C P x C --+⎛⎫⋯== ⎪⎝⎭++，，，，，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，从而E(x)1111111n n n mn mk k n nk k nm n m nC C k C C k --++--==++⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，由此能证明E(x)＜()()1n m n n +-. 答案：(1)设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球， 则p=P(A 2)=P(A 2|A 1)P(A 1)+P(A 2|1A )P(1A )()()21111n n n m n n mn nm n m n m n m n m n m n m n--+=⨯+⨯==+-++-+++-+. 证明：(2)∵x 的所有可能取值为1111n n n m++⋯，，，，111n k n m n C k P x C --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，∴E(x)1112111211111111n n n n n mn mn mn mk k k k n nnnk k n k n k n n m n mn mn mC C C C k C C k C k C n ----++++----====++++⎛⎫=== ⎪--⎝⎭∑∑∑∑＜ ()()()()()2221212111111n n n n n n n m n m n nn m n m n C C C C n C n C m n n ------+-+-++=+++==--+-… ∴E(x)＜()()1nm n n +-.。