高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第5讲 椭圆知能训练轻松闯关 文 北师大版

第五节 椭圆命题分析预测学科核心素养 从近五年的考查情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考的命题热点，直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．本节主要考查考生的数学运算、直观想象核心素养及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．授课提示：对应学生用书第177页 知识点一 椭圆的定义平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆．两定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点Ｗ．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． （1）当2a >|F 1F 2|时，P 点的轨迹是椭圆． （2）当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是线段． （3）当2a <|F 1F 2|时，P 点不存在． • 温馨提醒 • 二级结论1．椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为2b 2a，通径是最短的焦点弦．2．P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF |∈[a －c ，a ＋c ]，即椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c ． 必明易错椭圆的定义中易忽视2a >|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹为线段F 1F 2，当2a <|F 1F 2|时，不存在轨迹．1．若F1（－3，0），F2（3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）A．x225＋y216＝1 B．x2100＋y29＝1C．y225＋x216＝1 D．x225＋y216＝1或y225＋x216＝1解析：设点P的坐标为（x，y），因为|PF1|＋|PF2|＝10＞|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝a2－c2＝4，故点P的轨迹方程为x2 25＋y216＝1．答案：A2．（易错题）平面内一点M到两定点F1（0，－9），F2（0，9）的距离之和等于18，则点M的轨迹是_________．解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，且|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M 的轨迹是线段F1F2．答案：线段F1F2知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）图形性质范围x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，－b ），B 2（0，b ）A 1（0，－a ），A 2（0，a ），B 1（－b ，0），B 2（b ，0）离心率e ＝ca，且e ∈（0，1）a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2• 温馨提醒 • 二级结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P （x 0，y 0）与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ．（1）当P 为短轴端点时，θ最大．（2）S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc ．（3）焦点三角形的周长为2（a ＋c ）． 必明易错求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1（a >b >0）．1．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A ．22B ．2－12C ．2－ 2D ．2－1解析：由题意可知，|PF 2|＝2c ，|PF 1|＝22c ． 因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴2c ＋22c ＝2a ，解得ca＝2－1．答案：D2．（易错题）若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ） A ．x 25＋y 2＝1B ．x 24＋y 25＝1C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1D ．以上答案都不对解析：直线与坐标轴的交点为（0，1），（－2，0）， 由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1．当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1．答案：C3．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝_________．解析：当焦点在x 轴上时，10－m ＞m －2＞0，10－m －（m －2）＝4，所以m ＝4．当焦点在y 轴上时，m －2＞10－m ＞0，m －2－（10－m ）＝4，所以m ＝8．所以m ＝4或8． 答案：4或8授课提示：对应学生用书第178页题型一 椭圆的定义与标准方程1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） A ．2 3 B ．6 C ．4 3D ．12解析：由椭圆的方程得a ＝3．设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝（|BA |＋|BF |）＋（|CF |＋|CA |）＝2a ＋2a ＝4a ＝43． 答案：C2．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：（x ＋4）2＋y 2＝1和（x －4）2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值，最大值分别为（ ） A ．9，12 B ．8，11 C ．8，12D ．10，12解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10，易知|PM |＋|PN |＝（|PM |＋|MF 1|）＋（|PN |＋|NF 2|）－2，则其最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2＝8，最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2＝12．答案：C3．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（）A．x24＋y2＝1B．y216＋x24＝1C．x24＋y2＝1或y216＋x24＝1D．x24＋y2＝1或y24＋x2＝1解析：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a＝2b，又椭圆经过点（2，0），则若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆方程为x24＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆方程为y216＋x24＝1．答案：C1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．2．求椭圆方程的常用方法（1）定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．（2）待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b．当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n ＞0，m ≠n ），再用待定系数法求出m ，n 的值即可．题型二 椭圆的几何性质[例] （1）已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限的点，延长PF 2交椭圆于点Q ，若PF 1⊥PQ ，且|PF 1|＝|PQ |，则椭圆的离心率为（ ）A ．2－ 2B ．3－2C ．2－1D ．6－3[解析] 设|PF 1|＝|PQ |＝m （m ＞0），则|PF 2|＝2a －m ，|QF 2|＝2m －2a ，|QF 1|＝4a －2m ．由题意知△PQF 1为等腰直角三角形，所以|QF 1|＝2|PF 1|，故m ＝4a －22a ．因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，所以（4a －22a ）2＋[2a －（4a －22a ）]2＝4c 2，整理得4×（c a ）2＝36－242，即ca＝9－62＝6－3． [答案] D（2）已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于（ ） A ．2 B ．2或83C ．2或6D ．2或8[解析] 显然m ＞0且m ≠4，当0＜m ＜4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m ＞4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m14＝22，解得m ＝8．[答案] D求椭圆离心率的三种方法（1）直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．（2）列出含有a ，b ，c 的齐次方程（或不等式），借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程（或不等式）求解．（3）数形结合，根据图形观察，通过取特殊值或特殊位置求出离心率．[题组突破]1．（2021·洛阳模拟）已知椭圆x 211－m ＋y 2m －3＝1的长轴在y 轴上，且焦距为4，则m等于（ ） A ．5 B ．6 C ．9D ．10解析：由椭圆x 211－m ＋y 2m －3＝1的长轴在y 轴上，焦距为4，可得m －3－11＋m ＝2，解得m ＝9． 答案：C2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（ ） A ．（－3，0） B ．（－4，0） C ．（－10，0）D ．（－5，0）解析：∵圆的标准方程为（x －3）2＋y 2＝1，∴圆心坐标是（3，0），∴c ＝3．又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5．∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为（－5，0）． 答案：D题型三 直线与椭圆的位置关系[例] 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． （1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为（－a ，0），若|AB |＝425，求直线l 的倾斜角． [解析] （1）由e ＝c a ＝32得3a 2＝4c 2， 再由a 2＝b 2＋c 2得a ＝2b ，又12×2a ×2b ＝4，则ab ＝2，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． （2）由（1）得A （－2，0），设点B 的坐标为（x 1，y 1），由题意知直线l 的斜率存在，故设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k （x ＋2）．于是A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 2＝1，由方程组消去y 并整理得（1＋4k 2）x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，因为x ＝－2是方程的一个根，则 －2x 1＝16k 2－41＋4k 2，所以x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝k （x 1＋2）＝4k1＋4k 2．|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫－2－2－8k 21＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 1＋4k 22＝41＋k 21＋4k 2，由|AB |＝425，得41＋k 21＋4k 2＝425，整理得32k 4－9k 2－23＝0，即（k 2－1）（32k 2＋23）＝0，所以k ＝±1，所以直线l 的倾斜角为π4或3π4．1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单．2．设直线与椭圆的交点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]（k 为直线斜率）．[对点训练]已知椭圆的两焦点为F 1（－3，0），F 2（3，0），离心率e ＝32．（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l ：y ＝x ＋m ，若l 与此椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ |等于椭圆的短轴长，求m 的值．解析：（1）设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），则c ＝3，c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1，所以所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋m消去y ，得5x 2＋8mx ＋4（m 2－1）＝0，由Δ＞0，得m 2＜5．（*） 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4（m 2－1）5，y 1－y 2＝x 1－x 2，|PQ |＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m 52－16（m 2－1）5＝2． 解得m ＝±304，满足（*），所以m ＝±304．椭圆几何性质中的核心素养数学运算、直观想象——椭圆离心率的范围问题椭圆的离心率问题是高考命题的热点，离心率范围问题是高考难点，多为选择题、填空题的压轴小题，能力要求较高．[例] （1）（2021·青岛模拟）已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a >b >0）的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是（ ）A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，22 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，13[解析] （几何法）如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c ． ∴a －c ≤2c ≤a ＋c ．∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1．[答案] C（2）过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是_________．[解析] 由题设知，直线l ：x－c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为（c ，0），根据题意，将x ＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a．又圆与直线l 有公共点，所以2bc b 2＋c2≤b 2a ，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55．又0＜e ＜1，所以0＜e ≤55． [答案] ⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，55求椭圆离心率范围的两种方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，设P （x 0，y 0）为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a >b >0）上一点，则|x 0|≤a ，a －c ≤|PF 1|≤a ＋c 等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系题设条件有明显的几何关系直接根据题目中给出的条件或根据已知条件得题设条件直接有已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，32 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a ＝2（|AF |＋|BF |）＝8，所以a ＝2．又d ＝|3×0－4×b |32＋（－4）2≥45，所以1≤b ＜2，所以e ＝ca＝ 1－b 2a 2＝ 1－b 24．因为1≤b ＜2，所以0＜e ≤32．答案：A。

第五讲椭圆知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F 2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__,两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注:若集合P＝｛M｜｜MF1｜＋|MF2｜＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：（1）若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2）若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;（3）若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点错误!错误!错误!错误!1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦｜AB｜＝错误!，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．4．e＝错误!．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大,椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的弦，A(x1，y1),B（x2,y2）,弦中点M(x0，y0),则（1）弦长l＝错误!|x1－x2｜＝错误!|y1－y2｜；（2）直线AB的斜率k AB＝－错误!．7．若M、N为椭圆错误!＋错误!＝1长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点,则K PM·K PN＝－错误!．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×）(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．(×)（3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0,m≠n）表示的曲线是椭圆．(√）(4）错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的焦距相同．(√)题组二走进教材2．(必修2P42T4）椭圆x210－m＋错误!＝1的焦距为4，则m等于(C）A．4 B．8C．4或8 D．12［解析］当焦点在x轴上时,10－m＞m－2＞0,10－m－(m－2)＝4,∴m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3）过点A（3，－2）且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆的方程为(A)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1题组三走向高考4．(2018·课标全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C 上的一点，若PF1⊥PF2,且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(D）A．1－错误!B．2－错误!C．错误!D．错误!－1［解析］设|PF2｜＝x，则｜PF1｜＝3x，｜F1F2｜＝2x，故2a＝｜PF1|＋|PF2｜＝(1＋错误!）x，2c＝|F1F2｜＝2x，于是离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1．5．（2019·课标Ⅰ，10）已知椭圆C的焦点为F1（－1，0)，F2(1,0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2｜F2B|，｜AB|＝|BF1｜,则C的方程为（B)A．x22＋y2＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1［解析]设｜F2B|＝x（x＞0），则｜AF2|＝2x，｜AB|＝3x，｜BF1｜＝3x,|AF1｜＝4a－(｜AB｜＋|BF1｜)＝4a－6x,由椭圆的定义知｜BF1|＋｜BF2|＝2a＝4x，所以|AF1｜＝2x．在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2｜2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1,①在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋｜F1F2|2－2｜AF2｜·｜F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1，②由①②得x＝错误!，所以2a＝4x＝2错误!，a＝错误!,所以b2＝a2－c2＝2．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1．故选B．考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 (1）(2021·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是（B)A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线（2）已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1）是一定点．则|PA|＋｜PF｜的最大值和最小值分别为__6＋错误!，6－错误!__．(3)已知F1，F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面积为3错误!，则b＝__3__．［解析]（1）如图所示，由题知｜PF1｜＋｜PF2|＝2a，设椭圆方程：错误!＋错误!＝1(其中a＞b＞0）．连接MO，由三角形的中位线可得:｜F1M|＋｜MO|＝a（a＞|F1O｜），则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2）如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则｜PF|＋|PF1｜＝6．∴|PA|＋|PF|＝｜PA｜－|PF1|＋6．由椭圆方程x29＋y25＝1知c＝错误!＝2，∴F1（2，0),∴|AF1｜＝错误!．利用－｜AF1|≤|PA|－｜PF1｜≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)．∴｜PA|＋|PF｜≤6＋错误!，|PA|＋｜PF|≥6－错误!．故|PA|＋｜PF｜的最大值为6＋2，最小值为6－错误!．（3）｜PF1|＋｜PF2｜＝2a,又∠F1PF2＝60°,所以｜PF1|2＋｜PF2|2－2｜PF1||PF2｜cos 60°＝|F1F2|2，即(｜PF1|＋|PF2|）2－3|PF1｜|PF2｜＝4c2，所以3｜PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以｜PF1||PF2｜＝错误!b2，又因为S△PF1F2＝错误!｜PF1|｜PF2|sin 60°＝错误!×错误!b2×错误!＝错误!b2＝3错误!，所以b＝3．故填3．［引申］本例(2）中，若将“A(1,1）”改为“A(2，2)”，则｜PF｜－|PA|的最大值为__4__，|PF｜＋|PA|的最大值为__8__．［解析]设椭圆的右焦点为F1，则∵｜PF1｜＋|PA|≥|AF1|＝2（P在线段AF1上时取等号），∴｜PF|－|PA|＝6－（｜PF1|＋｜PA｜）≤4,∵|PA|－|PF1|≤｜AF1|＝2，(当P在AF1延长线上时取等号),∴｜PF|＋｜PA｜＝6＋｜PA｜－|PF1|≤8．名师点拨(1)椭圆定义的应用范围:①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1｜｜PF2｜；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕（1)(2021·大庆模拟)已知点M（3，0)，椭圆错误!＋y2＝1与直线y＝k（x＋错误!）交于点A、B,则△ABM的周长为__8__．（2）(2019·课标Ⅲ,15）设F1，F2为椭圆C：错误!＋错误!＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__(3，错误!)__．（3）(2021·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6，4),则｜PM|－｜PF1|的最小值为__－5__．［解析]（1)直线y＝k（x＋错误!）过定点N(－错误!，0)．而M、N恰为椭圆错误!＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．（2）因为F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知｜F1M｜＝｜F1F2|,又由椭圆方程错误!＋错误!＝1，知｜F1F2|＝8，｜F1M｜＋｜F2M｜＝2×6＝12，所以|F1M｜＝|F1F2|＝8，所以｜F2M|＝4．设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则错误!解得x0＝3，y0＝错误!,即M(3，错误!)．（3)由题意可知F2(3，0)，由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|．∴｜PM｜－|PF1｜＝|PM｜－(2a－|PF2|)＝｜PM|＋|PF2｜－2a≥｜MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又｜MF2|＝错误!＝5,2a＝10,∴｜PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM｜－|PF1|的最小值为－5．考点二椭圆的标准方程——师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0）；(2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为错误!；（3）经过点P(－2错误!,1)，Q（错误!，－2）两点;（4）与椭圆错误!＋错误!＝1有相同离心率，且经过点(2，－错误!)．［解析］（1）若焦点在x轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a ＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴错误!＝1,∴a＝3．∵2a＝3×2b,∴b＝1．∴方程为错误!＋y2＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴9b2＝1,∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程为错误!＋错误!＝1．综上所述,椭圆方程为错误!＋y2＝1或错误!＋错误!＝1．(2)由已知，有错误!解得错误!从而b2＝a2－c2＝9．∴所求椭圆方程为x212＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．（3）设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n)，∵点P(－2错误!，1），Q(错误!，－2）在椭圆上，∴错误!解得m＝错误!，n＝错误!．故椭圆方程为错误!＋错误!＝1．（4）若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝t（t＞0)，将点（2,－错误!）代入,得t＝错误!＋错误!＝2．故所求方程为错误!＋错误!＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝λ(λ＞0）代入点（2，－3），得λ＝错误!，∴所求方程为错误!＋错误!＝1．综上可知椭圆方程为x28＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．名师点拨(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a＞|F1F2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤:①作判断：根据条件判断焦点的位置;②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解,得方程．（3）椭圆的标准方程的两个应用①方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝λ（λ＞0)有相同的离心率．②与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）共焦点的椭圆系方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0，k＋b2＞0），恰当运用椭圆系方程,可使运算简便．〔变式训练2〕(1)“2＜m＜6”是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2)(2021·广东深圳二模)已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1(a＞0)的右焦点为F,O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足｜OF|＝|FP|，则C的方程为（D)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1[解析](1）错误!＋错误!＝1表示椭圆⇔错误!⇔2＜m＜6且m≠4，∴“2＜m＜6”是方程“错误!＋错误!＝1表示椭圆”的必要不充分条件,故选B．(2)根据对称性知P在x轴上，|OF｜＝|FP|，故a＝2c,a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1,故椭圆方程为：错误!＋错误!＝1．故选：D．考点三,椭圆的几何性质-—师生共研例3 （1)(2017·全国）椭圆C的焦点为F1(－1,0），F2(1，0）,点P在C上，F2P＝2，∠F1F2P＝错误!，则C的长轴长为(D）A．2 B．2错误!C．2＋错误!D．2＋2错误!(2)（2021·河北省衡水中学调研）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为(B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（3)(2021·广东省期末联考)设F1，F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的左、右焦点,若在直线x＝错误!上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（D)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析](1）椭圆C的焦点为F1(－1，0),F2（1,0），则c＝1，∵｜PF2|＝2，∴|PF1｜＝2a－|PF2|＝2a－2，由余弦定理可得|PF1｜2＝｜F1F2｜2＋|PF2｜2－2|F1F2|·|PF2｜·cos 错误!，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2×错误!，解得a＝1＋错误!，a＝1－错误!（舍去），∴2a＝2＋2错误!，故选D．（2）不妨设直线l:错误!＋错误!＝1,即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离错误!＝错误!⇒e＝错误!＝错误!，故选B．(3)如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知错误!－c≤2c,∴e2＝错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．故选D．名师点拨椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率,常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．求椭圆离心率的取值范围的方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，｜y|≤b，0＜e＜1,建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立题设条件有明显的几何关系〔变式训练3〕(1）（2017·全国卷Ⅲ）已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1（a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2）（2021·内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(3）已知F1，F2是椭圆x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是__错误!__．[解析](1）由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0),半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝错误!＝a，解得a＝错误!b,∴ba＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．故选A．（2）当P为短轴端点时∠A1PA2最大,由题意可知错误!＝tan 60°＝错误!，∴错误!＝错误!,∴e＝错误!＝错误!，故选D．(3)由题意可知当P为椭圆短轴端点时∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b,∴c2≥a2－c2，∴错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．考点四,直线与椭圆—-多维探究角度1直线与椭圆的位置关系例4 若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋错误!＝1总有公共点，则m的取值范围是(D)A．m＞1 B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5［解析]解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点（0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0＜错误!≤1且m≠5，故m≥1且m≠5．故选D．解法二：由错误!消去y整理得（5k2＋m)x2＋10kx＋5（1－m)＝0．由题意知Δ＝100k2－20（1－m)（5k2＋m）≥0对一切k∈R 恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，∴错误!，即m≥1,又m≠5，∴m≥1且m≠5．故选D．角度2中点弦问题例5 （1）(2021·湖北省宜昌市调研）过点P（3，1）且倾斜角为错误!的直线与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)相交于A,B两点，若AP→＝错误!，则该椭圆的离心率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2)已知椭圆错误!＋y2＝1,点P错误!，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为__2x＋4y－3＝0__．[解析］（1)由题意可知P为AB的中点,且k AB＝－1，设A （x1，y1)，B（x2,y2)，则错误!＋错误!＝1,错误!＋错误!＝1，两式相减得错误!＝－错误!，∴k AB＝错误!＝－错误!＝－错误!＝－1，即错误!＝错误!，∴e ＝错误!＝错误!,故选C ．(2)设弦的两端点为A (x 1，y 1),B (x 2，y 2),中点为M （x 0,y 0），则有错误!＋y 错误!＝1，错误!＋y 错误!＝1．两式作差，得错误!＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）＝0．∵x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，错误!＝k AB ,代入后求得k AB ＝－错误!＝－错误!，∴其方程为y －错误!＝－错误!错误!,即2x ＋4y －3＝0．角度3 弦长问题例6 已知椭圆E ：x 2a 2＋错误!＝1(a ＞b ＞0）经过点P 错误!，椭圆E 的一个焦点为(3，0）．（1）求椭圆E 的方程；（2)若直线l 过点M （0，错误!)且与椭圆E 交于A ，B 两点，求｜AB |的最大值．[解析] （1)依题意，设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1（－错误!，0),F 2(3，0)．由椭圆E 经过点P 错误!，得|PF 1｜＋|PF 2｜＝4＝2a ，∴a ＝2,c ＝错误!，∴b 2＝a 2－c 2＝1．∴椭圆E 的方程为错误!＋y 2＝1．（2）当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A(x1，y1），B(x2,y2）．由错误!得(1＋4k2)x2＋8错误!kx＋4＝0．由Δ＞0得(8错误!k）2－4（1＋4k2)×4＞0，∴4k2＞1．由x1＋x2＝－错误!,x1x2＝错误!得|AB|＝错误!·错误!＝2错误!．设t＝11＋4k2，则0＜t＜错误!，∴|AB|＝2错误!＝2错误!≤错误!，当且仅当t＝错误!时等号成立．当直线l的斜率不存在时,|AB｜＝2＜错误!．综上,｜AB|的最大值为错误!．名师点拨直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．（2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a,b，c的等式,解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．(3)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1），B（x2，y2),则｜AB|＝错误!＝错误!（其中k为直线斜率）．提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x1，y1)，B（x2，y2)，代入曲线方程,通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2,x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．〔变式训练4〕(1)(角度1)直线y＝kx＋k＋1与椭圆错误!＋错误!＝1的位置关系是__相交__．（2）（角度2）(2021·广东珠海期末）已知椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的右焦点为F，离心率错误!,过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1），则直线l的斜率为（D）A．2 B．－2C．错误!D．－错误!(3）(角度3)斜率为1的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交于A，B 两点，则|AB|的最大值为(C)A．2 B．错误!C．错误!D．错误![解析］(1)由于直线y＝kx＋k＋1＝k（x＋1)＋1过定点（－1,1），而（－1，1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交．(2）因为错误!＝错误!,∴4c2＝2a2，∴4（a2－b2)＝2a2，∴a2＝2b2,设A（x1，y1)，B(x2，y2），且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，错误!,相减得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以2b2(x1－x2)＋2a2（y1－y2)＝0，所以2b2＋4b2错误!＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－错误!，选D．(3）设A,B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2）,直线l的方程为y＝x＋t，由错误!消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0,则x1＋x2＝－错误!t，x1x2＝错误!．∴|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝1＋k2·错误!＝2·错误!＝错误!·错误!,当t＝0时，|AB｜max＝错误!．故选C．名师讲坛·素养提升利用换元法求解与椭圆相关的最值问题例7如图,焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点,则错误!·错误!的最大值为__4__．[解析］e2＝错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!，∴b2＝3,∴椭圆方程为x24＋错误!＝1,且F（－1,0）,A(2，0),设P（2sin θ，错误!cos θ)，则错误!·错误!＝（－1－2sin θ，－错误!cos θ）·（2－2sin θ，－错误!cos θ）＝sin2θ－2sin θ＋1＝（sin θ－1）2≤4．当且仅当sin θ＝－1时取等号，故错误!·错误!的最大值为4．另解：设P（x，y），由上述解法知错误!·错误!＝（－1－x，－y）·（2－x，－y）＝x2＋y2－x－2＝错误!（x－2）2（－2≤x≤2)，显然当x ＝－2时,错误!·错误!最大且最大值为4．名师点拨遇椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解,即令x＝a sin θ,y＝b cos θ，将其化为三角最值问题．〔变式训练5〕椭圆错误!＋错误!＝1上的点到直线x＋2y－错误!＝0的最大距离是（D)A．3 B．11C．2错误!D．错误!［解析]设椭圆错误!＋错误!＝1上的点P(4cos θ,2sin θ)，则点P 到直线x＋2y－2＝0的距离为d＝错误!＝错误!，∴d max＝错误!＝错误!．。

第5讲 椭圆1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．[解析] 因为方程x 22－k ＋y22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则由⎩⎪⎨⎪⎧2－k >0，2k －1>0，2k －1>2－k 得⎩⎪⎨⎪⎧k <2，k >12，k >1，故k 的取值范围为(1，2)． [答案] (1，2)2．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为________．[解析] 依题意，2c ＝4，c ＝2，又e ＝c a ＝22，则a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.[答案] x 28＋y 24＝13．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________．[解析] M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆左焦点F (－3，0)，且AB ＝AF ＋BF ，△ABM 的周长等于AB ＋AM ＋BM ＝(AF ＋AM )＋(BF ＋BM )＝4a ＝8.[答案] 84．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件． [解析] 把椭圆方程化成x 21m＋y 21n＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反之，若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1m＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．[答案] 充要5．如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若 PF 1＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为________．[解析] b 2＝2，c ＝a 2－2，故F 1F 2＝2a 2－2，又PF 1＝4，PF 1＋PF 2＝2a ，PF 2＝2a －4，由余弦定理得cos 120°＝42＋（2a －4）2－（2a 2－2）22×4×（2a －4）＝－12，化简得8a ＝24，即a ＝3.[答案] 36．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率为________．[解析] 由题意知2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，所以e ＝35或e ＝－1(舍去)．[答案] 357．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为________． [解析] 因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以PF 1＋PF 2＝655c ＝2a ，所以e ＝c a ＝53.[答案]538．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是________．[解析] 圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c ，0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部， 所以只需⎩⎪⎨⎪⎧2c <a ，c 2a 2＋c 2b 2<1⇒0<c a <12.即椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 9．(2018·无锡调研)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．[解析] 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以S △OAB ＝12·OF ·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53. [答案] 5310．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．[解析] 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c2a ＝2cc ＋3c＝3－1.[答案] 3－111.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0，1)，Q (0，2)．设M 、N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上．[解] (1)由题意知b ＝22＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12. 所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②设T (x ，y )．联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3. 因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋（3y －4）22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．12．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，右顶点到右准线的距离为2－ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，若直线y ＝k 1x (k 1>0)与椭圆C 在第一象限的交点为A ，y ＝k 2x (k 2<0)与椭圆C 在第二象限的交点为B ，且OA 2＋OB 2＝3.①证明：k 1k 2为定值；②若点P 满足OP →＝2OA →，直线BP 与椭圆交于点Q ，设BP →＝mBQ →，求m 的值． [解] (1)设椭圆C 的半焦距为c ， 则由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧e ＝22＝c aa 2c －a ＝2－2，解得⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1xx 2＋2y 2＝2， 解得x 21＝21＋2k 21，y 21＝2k 211＋2k 21，所以OA 2＝2（1＋k 21）1＋2k 21，同理OB 2＝2（1＋k 22）1＋2k 22， 从而3＝OA 2＋OB 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 211＋2k 21＋1＋k 221＋2k 22，整理得4k 21k 22＝1.由于k 1>0，k 2<0，故k 1k 2＝－12.②设Q (x 3，y 3)，由OP →＝2OA →得P (2x 1，2y 1)，又由BP →＝mBQ →，得(2x 1－x 2，2y 1－y 2)＝m (x 3－x 2，y 3－y 2)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝2m x 1＋m －1m x 2y 3＝2m y 1＋m －1m y2.由点Q 在椭圆上得⎝ ⎛⎭⎪⎫2m x 1＋m －1m x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m y 1＋m －1m y 22＝1， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 212＋y 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＋y 22＋2·m －1m ·2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 22＋y 1y 2＝1，(*) 由①得y 1y 2x 1x 2＝－12，即x 1x 22＋y 1y 2＝0， 而A ，B 在椭圆上，故x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，代入(*)式得4m 2＋（m －1）2m 2＝1，解得m ＝52.1．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________．[解析] 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7.[答案] 72.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．[解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1>0即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，所以5－12<e <1.[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，13．以椭圆上任意一点与焦点所连结的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是________．[解析] 如图，设线段是PF 1，O 1是线段PF 1的中点，连结O 1O ，PF 2，其中O 是椭圆的中心，F 2是椭圆的另一个焦点，则在△PF 1F 2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是OO 1＝12PF 2＝12(2a －PF 1)＝a －12PF 1＝R －r ，故两圆内切．[答案] 内切4．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF →1·PF →2＝0，则e 21＋e 22（e 1e 2）2的值为________．[解析] 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，F 1F 2＝2c ，P 为第一象限的交点，由题意得PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2，所以PF 21＋PF 22＝2a 21＋2a 22.又因为PF →1·PF →2＝0，所以PF 1⊥PF 2. 所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即2a 21＋2a 22＝4c 2.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22（e 1e 2）2＝2. [答案] 25.(2018·南京学情调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝2.过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q .(1)求椭圆的方程；(2)若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．[解] (1)因为c a ＝22，a2c＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)法一：设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1，－y 1)． 因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1.令y ＝0，解得m ＝－x 1y 1－1.因为k AQ ＝－y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1.令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1.所以mn ＝－x 1y 1－1×x 1y 1＋1＝x 211－y 21.又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22＋y 2＝1上，所以x 212＋y 21＝1，即1－y 21＝x 212，所以x 211－y 21＝2，即mn ＝2.所以mn 为常数，且常数为2.法二：设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y ＝kx ＋1， 令y ＝0，得m ＝－1k.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1， 消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P ＝－4k1＋2k2， 所以y P ＝k ×x P ＋1＝1－2k21＋2k2，则Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 2，－1－2k 21＋2k 2.所以k AQ ＝－1－2k21＋2k 2－1－4k 1＋2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12k x ＋1.令y ＝0，得n ＝－2k ，所以mn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ×(－2k )＝2.所以mn 为常数，常数为2.6．(2018·常州市高三教育学会学业水平监测)已知圆C ：(x －t )2＋y 2＝20(t ＜0)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个公共点为B (0，－2)，F (c ，0)为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B .(1)求t 的值以及椭圆E 的方程；(2)过点F 任作与坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一定点P ，使PF 恰为∠MPN 的平分线？解：(1)由题意知，b ＝2，因为C (t ，0)，B (0，－2)，所以BC ＝t 2＋4＝20，所以t ＝±4， 因为t ＜0，所以t ＝－4.因为BC ⊥BF ，所以c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆E 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x 25＋y 24＝1，化简得(4＋5k 2)x2－10k 2x ＋5k 2－20＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k 24＋5k2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k2.若点P 存在，设P (m ，0)，由题意得k PM ＋k PN ＝0， 所以y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝k （x 1－1）x 1－m ＋k （x 2－1）x 2－m＝0.所以(x 1－1)(x 2－m )＋(x 2－1)(x 1－m )＝0，即2x 1x 2－(1＋m )(x 1＋x 2)＋2m ＝2·5k 2－204＋5k 2－(1＋m )10k 24＋5k 2＋2m ＝0.所以8m －40＝0，所以m ＝5，即在x 轴上存在一定点P (5，0)，使PF 恰为∠MPN 的平分线．。

2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5 椭圆课后作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5 椭圆课后作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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8．5 椭圆[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟）已知正数m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2＋错误!＝1的焦点坐标为（）A．(±错误!，0) B．(0，±错误!)C．(±3，0）或(±5，0）D．（0，±错误!)或（±错误!,0）答案B解析因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，则m＝4，所以圆锥曲线x2＋y2m＝1即为椭圆x2＋错误!＝1，易知其焦点坐标为（0，±错误!)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC的一个内角，且sinθ＋cosθ＝错误!，则方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示( ）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆答案D解析因为(sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝错误!，所以sinθcosθ＝－错误!＜0，结合θ∈(0,π)，知sinθ〉0,cosθ<0，又sinθ＋cosθ＝错误!＞0，所以sinθ＞－cosθ＞0，故错误!＞错误!＞0，因为x2sinθ－y2cosθ＝1可化为错误!＋错误!＝1,所以方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示焦点在y轴上的椭圆．故选D。

（全国版）2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5讲椭圆增分练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5讲椭圆增分练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第5讲椭圆板块四模拟演练·提能增分［A级基础达标］1．[2016·湖北八校联考]设F1，F2为椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点，点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则错误!的值为（）A.错误!B.错误! C。

错误! D。

错误!答案B解析由题意知a＝3，b＝错误!，c＝2.设线段PF1的中点为M,则有OM∥PF2,∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝错误!＝错误!。

又∵|PF1|＋｜PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－｜PF2|＝错误!,∴错误!＝错误!×错误!＝错误!。

故选B。

2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于错误!，则C的方程是( ）A.错误!＋错误!＝1 B。

错误!＋错误!＝1C。

错误!＋错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1答案D解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝ca＝错误!⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此椭圆C的方程是错误!＋错误!＝1。

3．“－3<m〈5”是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B解析要使方程错误!＋错误!＝1表示椭圆，只须满足错误!解得－3〈m<5且m≠1，因此，“－3〈m<5"是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆"的必要不充分条件．故选B。

【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5讲椭圆学案板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．考点2 椭圆的标准方程和几何性质[必会结论]椭圆的常用性质(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为.(5)椭圆离心率e＝.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )(3)椭圆上一点P 与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a ＋2c(其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(4)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(5)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2．[2017·浙江高考]椭圆＋＝1的离心率是( )A. B. C. D.59答案 B解析 ∵椭圆方程为＋＝1，∴a ＝3，c ＝＝＝.∴e ＝＝.故选B.3．[2018·广东模拟]已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m ＝() A ．2 B ．3 C ．4 D ．9答案 B解析 由4＝(m>0)⇒m ＝3，故选B.4．[课本改编]已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C 的方程是() A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1 答案 D解析 依题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，c a ＝13，c2＝a2－b2，解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C 的方程为＋＝1.5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.答案14解析椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋＝1，因为其焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝1，依题意知＝2，解得m＝. 6．[2018·上海联考]若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.答案4或8解析①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.板块二典例探究·考向突破考向椭圆的定义及标准方程例1 (1)[2018·杭州模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )B.＋y2＝1A.＋＝1D.＋＝1C.＋＝1答案A解析由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A.(2)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．答案4解析连接PF2，则OM为△PF1F2的中位线，|OM|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.触类旁通(1)在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数2a>|F1F2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系．(2)待定系数法求椭圆方程，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．【变式训练1】(1)[2018·厦门模拟]已知椭圆＋y2＝1，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点．则|PF1|·|PF2|的最大值为( )A．6 B．4 C．2 D．8答案B解析设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a＝4，|PF1|·|PF2|＝mn≤2＝4(当且仅当m＝n＝2时，等号成立)．故选B.(2)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是________．答案＋＝1解析设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．由题意知解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为＋＝1.(3)[2017·豫北六校联考]设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周长为16.则|AF2|＝________.答案5解析由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3.∵△ABF2的周长为16，∴4a＝16，∴a＝4.则|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，∴|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5.考向椭圆的几何性质例2 (1)[2017·全国卷Ⅲ]已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A. B. C. D.13答案 A解析 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝＝a ，解得a ＝b ，∴＝，∴e ＝＝＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2 ＝＝.故选A.(2)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．答案 35解析 由题意知，2a ＋2c ＝2(2b)，即a ＋c ＝2b ，又c2＝a2－b2，消去b ，整理得5c2＝3a2－2ac ，即5e2＋2e －3＝0，解得e ＝或e ＝－1(舍去)．触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．【变式训练2】 (1)[2016·全国卷Ⅰ]直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.34答案 B解析 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c ，0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝(e＝－舍去)，故选B.(2)[2018·锦州模拟]设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．答案33解析在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.所以e＝＝＝.考向椭圆中的焦点三角形例3 [2018·××县校级月考]椭圆＋y2＝1上的一点P与两焦点F1，F2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求·的最大值与最小值；(2)设∠F1PF2＝θ，求证：S△F1PF2＝tan.解(1)设P(x，y)，∴F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2－2.∵x2∈[0,4]，∴x2－2∈[－2,1]．∴·的最大值为1，最小值为－2. (2)证明：由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，在△F1PF2中，由余弦定理可得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cosθ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)，可得4c2＝4a2－2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)⇒|PF1|·|PF2|＝，即有△F1PF2的面积S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝b2＝b2tan＝tan.触类旁通椭圆的焦点三角形：椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc；(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)；(5)当P为短轴端点时，θ最大；(6)若焦点三角形的内切圆圆心为I，延长PI交F1F2于点Q，则＝＝，所以＝＝＝(e为离心率)．【变式训练3】(1)如图所示椭圆中，P为椭圆上一点，F为其一个焦点，PF为直径的圆与长轴为直径的圆的关系为________．答案内切解析设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，F、F′分别是椭圆的左、右焦点，作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2＋y2＝a2，如图所示．设PF中点为M，连接PF′，∴OM是△PFF′的中位线，可得|OM|＝|PF′|，即两圆的圆心距为|PF′|根据椭圆定义，可得|PF|＋|PF′|＝2a，∴圆心距|OM|＝|PF′|＝(2a－|PF|)＝a－|PF|，即两圆的圆心距等于它们的半径之差，因此，以PF为直径的圆与以长轴为直径的圆x2＋y2＝a2相内切．(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.答案3解析由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，⊥，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，所以2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以|PF1||PF2|＝2b2，所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝b2＝9.所以b＝3.考向直线与椭圆的综合问题命题角度弦的中点问题1例4 [2018·南昌模拟]已知椭圆：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( ) B．9x＋y－5＝0A．9x－y－4＝0D．x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以两式相减得＋x－x＝0，得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得＋x1－x2＝0，得＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－＝－9，即9x＋y－5＝0.2命题角度弦长问题例5 [2018·陕西咸阳模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．解(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2.又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，∴＋＝1，∴a2＝8，b2＝2.故所求椭圆方程为＋＝1.(2)设l 的方程为y ＝x ＋m ，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x ＋m ，x28＋y22＝1，整理，得x2＋2mx ＋2m2－4＝0.∵Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.∴x1＋x2＝－2m ，x1x2＝2m2－4.则|AB|＝× 错误!＝.点P 到直线l 的距离d ＝＝.∴S △PAB ＝d|AB|＝××＝≤＝2.当且仅当m2＝2，即m ＝±时取得最大值．触类旁通直线与椭圆综合问题的处理方法解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单． 核心规律1.椭圆中的参数a ，b ，c 三者的关系为a2－b2＝c2，这是椭圆中参数关系的核心．2.求离心率常用两种方法：(1)求得a ，c 的值，代入公式e ＝即可；(2)列出a ，b ，c 的方程或不等式，根据b2＝a2－c2将b 消掉，转化为含有a 和c 的关系，最后转化为关于e 的方程或不等式．满分策略1.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和y2的分母大小．2.关于离心率的范围问题，一定不要忘记椭圆离心率的固有范围0<e<1.3.注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x ，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 14——椭圆离心率范围的求解技巧[2018·衡中模拟]F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．解题视点 将垂直问题转化为向量的数量积，再借助于椭圆本身的属性|x|≤a 破解．解析 解法一：设P(x0，y0)为椭圆上一点，则＋＝1.PF1→＝(－c －x0，－y0)，＝(c －x0，－y0)，若∠F1PF2＝90°，则·＝x ＋y －c2＝0.∴x ＋b2＝c2，∴x ＝.∵0≤x ≤a2，∴0≤≤1.∴b2≤c2，∴a2≤2c2，∴≤e<1.解法二：如图，由题意，∠F1PF2≥90°，∠OPF2≥45°，sin∠OPF2＝≥，∴≤e<1.答案 ≤e<1答题启示 建立关于a ，b ，c 的关系式等式或不等式，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法. 跟踪训练已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F1，F2的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部(不包括边界)，则此椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22答案 B 解析 设椭圆＋＝1的短轴的一个端点为B ，中心为O ，椭圆上任意一点为M ，过焦点F1，F2的两条互相垂直的直线的交点为P ，则点P 在以O 为圆心，|F1F2|为直径的圆上，且该圆的半径r ＝|OP|＝|F1F2|＝c(其中c ＝)，则由椭圆的性质及题意可得r<b ，即c<b ，所以c2<b2＝a2－c2，所以2c2<a2，得c<a ，所以e ＝<＝，故所求椭圆的离心率的取值范围是.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2016·湖北八校联考]设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF1的中点在y 轴上，则的值为( )A. B. C. D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝，c ＝2.设线段PF1的中点为M ，则有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝＝.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a ＝6，∴|PF1|＝2a －|PF2|＝，∴＝×＝.故选B.2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C 的方程是( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1 答案 D解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝＝⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此椭圆C 的方程是＋＝1.3．“－3<m<5”是“方程＋＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 要使方程＋＝1表示椭圆，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 5－m>0，m ＋3>0，5－m≠m＋3，解得－3<m<5且m≠1，因此，“－3<m<5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3,0)B ．(－4,0)C ．(－10,0)D ．(－5,0) 答案 D解析 圆的标准方程为(x －3)2＋y2＝1，∴圆心坐标是(3,0)，∴c＝3.又b ＝4，∴a＝＝5.∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．故选D.5．[2018·黑龙江双鸭山模拟]过椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点作垂直于x 轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.3＋14答案 B解析 ∵过椭圆的两个焦点作垂直于x 轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，∴c＝，即ac ＝a2－c2，∴e2＋e －1＝0，∵0<e<1，∴e＝，故选B.6．[2018·惠来月考]以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案C解析解法一：由题意知，c＝1，a2－b2＝1，故可设椭圆的方程为＋＝1，离心率的平方为：①，∵直线x－y＋3＝0与椭圆有公共点，将直线方程代入椭圆方程得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ＝36(b4＋2b2＋1)－4(2b2＋1)(8b2＋9－b4)≥0，∴b4－3b2－4≥0，∴b2≥4，或b2≤－1(舍去)，∴b2的最小值为4，∴①的最大值为，此时，a2＝b2＋1＝5，∴离心率最大的椭圆方程是：＋＝1.故选C.解法二：令直线x－y＋3＝0与椭圆的一个交点为P，则2a＝|PF1|＋|PF2|，∵e＝＝，∴当|PF1|＋|PF2|最小时e最大，F1，F2在直线x－y＋3＝0的同侧，F1关于x－y＋3＝0的对称点F1′(－3,2)，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1′|＋|PF2|≥|F1′F2|＝2，即2a≥2，a≥，当a＝时e最大，此时b2＝a2－c2＝4，所求椭圆方程为＋＝1.故选C. 7．[2018·深圳检测]若x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．答案(0,1)解析将椭圆的方程化为标准形式得＋＝1，因为x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，所以>2，解得0<k<1. 8．[2018·江西模拟]过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．答案22解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，得＝，所以e＝. 9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，其左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为－.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：x＋x为定值，并求该定值．解(1)∵c＝，e＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，则椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：由于·＝－，则x1x2＝－4y1y2，xx＝16yy.而＋y＝1，＋y＝1，则1－＝y，1－＝y，∴＝yy，则(4－x)(4－x)＝16yy，(4－x)(4－x)＝xx，展开得x＋x＝4为一定值．10．[2018·山东模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2＋y2＝1上．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k的直线过点M(2,0)，且与椭圆C相交于A，B两点，试探讨k为何值时，OA⊥OB.解(1)依题意b＝1，c＝1，所以a2＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－2)．由消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)，所以x1x2＋k2(x1－2)(x2－2)＝0，即(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝0，所以－＋4k2＝0，解得k2＝，此时Δ>0，所以k＝±.[B级知能提升]1．[2018·湖南郴州]设e 是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163 C ．(0,3)∪D ．(0,2)答案 C 解析 当k>4时，c ＝，由条件知<<1，解得k>；当0<k<4时，c ＝，由条件知<<1，解得0<k<3，故选C.2．[2018·重庆模拟]已知F1，F2为椭圆C ：＋＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，·的最大值、最小值分别为( )A ．9,7B ．8,7C ．9,8D ．17,8答案 B解析 由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1，0)，设E(x ，y)，则＝(－1－x ，－y)，＝(1－x ，－y)，·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x ＝0时，·有最小值7，当x ＝±3时，·有最大值8，故选B.3.[2018·鼓楼期末]由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0.由右椭圆＋＝1(x≥0)的焦点F0和左椭圆＋＝1(x≤0)的焦点F1，F2确定的△F0F1F2叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆＋＝1(x≥0)的离心率的取值范围为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 答案 C解析 连接F0F1、F0F2， 根据“果圆”关于x 轴对称，可得△F1F0F2是以F1F2为底边的等腰三角形，∵△F0F1F2是锐角三角形，∴等腰△F0F1F2的顶角为锐角，即∠F1F0F2∈.由此可得|OF0|>|OF1|，∵|OF0|、|OF1|分别是椭圆＋＝1、＋＝1的半焦距，∴c>，平方得c2>b2－c2，又∵b2＝a2－c2，∴c2>a2－2c2，解得3c2>a2，两边都除以a2，得3·2>1，解之得>.∵右椭圆＋＝1(x≥0)的离心率e＝∈(0,1)，∴所求离心率e的范围为.故选C. 4．[2017·北京高考]已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.解(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)，由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM的斜率kAM＝，故直线DE的斜率kDE＝－，所以直线DE的方程为y＝－(x－m)，直线BN的方程为y＝(x－2)．联立错误!解得点E的纵坐标yE＝－.由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，S△BDN＝|BD|·|n|，所以△B DE与△BDN的面积之比为4∶5. 5．已知过点A(0,2)的直线l与椭圆C：＋y2＝1交于P，Q两点．(1)若直线l的斜率为k，求k的取值范围；(2)若以PQ为直径的圆经过点E(1,0)，求直线l的方程．解(1)依题意，直线l的方程为y＝kx＋2，由消去y得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，令Δ＝(12k)2－36(3k2＋1)>0，解得k>1或k<－1，所以k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，则P(0,1)，Q(0，－1)或P(0，－1)，Q(0,1)，此时以PQ为直径的圆过点E(1,0)，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，又E(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)．由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(k2＋1)x1x2＋(2k－1)(x1＋x2)＋5＝＋(2k－1)＋5＝.因为以PQ为直径的圆过点E(1,0)，所以·＝0，即＝0，解得k＝－，满足Δ>0，故直线l的方程为y＝－x＋2，综上，所求直线l的方程为x＝0或y＝－x＋2.。

第5讲 椭圆1．(2016·洛阳统考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x216＋y 2＝1 B ．x 2＋y216＝1C.x220＋y25＝1D.x25＋y220＝1 解析：选C.依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧22a2＋22b2＝1a2－b2＝15，由此解得a 2＝20，b 2＝5，因此所求的椭圆方程是x220＋y25＝1.2．(2016·淮南模拟)椭圆x29＋y24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21解析：选C.若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，解得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.3．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．23B ．26C ．42D ．43 解析：选D.依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a2－c2＝216－4＝43.4．(2016·烟台质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x28＋y26＝1 B.x216＋y26＝1C.x28＋y24＝1D.x216＋y24＝1解析：选A.设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.5．(2016·江西省九校模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，3－1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，63解析：选A.设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，结合题目条件可得四边形AFBF ′为矩形，则有|AB |＝|FF ′|＝2c ，结合椭圆定义有|AF |＋|BF |＝2a ，而|AF |＝2c sin α，|BF |＝2c cos α，则有2c sin α＋2c cos α＝2a ，则e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，则α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋64，1，故e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，3－1.6．(2016·唐山质检)已知动点P (x ，y )在椭圆C ：x225＋y216＝1上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足|MF →|＝1，且MP →·MF →＝0，则|PM →|的最小值为( ) A.3B ．3 C.125D ．1 解析：选A.由题意得F (3，0)，|PM |2＝|PF |2－|MF |2≥(a －c )2－1＝(5－3)2－1＝3.所以|PM→|min ＝3.7．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故b ≤c ，所以b 2≤c 2，即a 2≤2c 2，所以22≤c a .又c a <1，所以22≤e <1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 8．椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且斜率为3，所以倾斜角∠MF 1F 2＝60°.因为∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，所以∠F 1MF 2＝90°，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c .由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－19．已知P 为椭圆x225＋y216＝1上的一点，F 1，F 2为两焦点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆。

第讲椭圆．(·洛阳统考)已知中心在原点的椭圆的右焦点为(，)，直线＝与椭圆的一个交点的横坐标为，则椭圆方程为( )＋＝．＋＝＋＝＋＝解析：选.依题意，设椭圆方程为＋＝(＞＞)，则有，由此解得＝，＝，因此所求的椭圆方程是＋＝.．(·淮南模拟)椭圆＋＝的离心率为，则的值为( )．－．．－或或解析：选.若＝，＝＋，则＝，由＝，即＝，解得＝－；若＝＋，＝，则＝，由＝，即＝，解得＝.．矩形中，＝，＝，则以，为焦点，且过，两点的椭圆的短轴的长为( )．．．．解析：选.依题意得＝，所以椭圆的焦距为＝＝，长轴长＝＋＝，所以短轴长为＝＝＝. ．(·烟台质检)一个椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，(，)是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆方程为( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析：选.设椭圆的标准方程为＋＝(＞＞)．由点(，)在椭圆上知＋＝.又，，成等差数列，则＋＝，即＝·，＝，又＝－，联立得＝，＝.．(·江西省九校模拟)已知椭圆＋＝(>>)上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若⊥，设∠＝α，且α∈，则该椭圆离心率的取值范围为( )解析：选.设椭圆的左焦点为′，连接′，′，结合题目条件可得四边形′为矩形，则有＝′＝，结合椭圆定义有＋＝，而＝α，＝α，则有α＋α＝，则＝＝α＋α)＝，而α∈，则α＋∈，那么∈，故∈.．(·唐山质检)已知动点(，)在椭圆：＋＝上，为椭圆的右焦点，若点满足＝，且·＝，则的最小值为( )．．解析：选.由题意得(，)，＝－≥(－)－＝(－)－＝.所以＝.．若椭圆＋＝(>>)与曲线＋＝－恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是．解析：由题意知，以半焦距为半径的圆与椭圆有公共点，故≤，所以≤，即≤，所以≤.又<，所以≤<.答案：．椭圆Γ：＋＝(>>)的左、右焦点分别为，，焦距为.若直线＝(＋)与椭圆Γ的一个交点满足∠＝∠，则该椭圆的离心率等于．解析：已知(－，)，(，)，直线＝(＋)过点，且斜率为，所以倾斜角∠＝°.因为∠＝∠＝°，所以∠＝°，所以＝，＝.由椭圆定义知＋＝＋＝，所以离心率＝＝＝－.答案：－．已知为椭圆＋＝上的一点，，为两焦点，，分别为圆(＋)＋＝和圆(－)＋＝上的点，则＋的最小值为．解析：由题意知椭圆的两个焦点，分别是两圆的圆心，且＋＝，从而＋的最小值为＋－－＝. 答案：．(·石家庄一模) 已知椭圆＋＝(>>)的两个焦点分别为，，设为椭圆上一点，∠的外角平分线所在的直线为，过点，分别作的垂线，垂足分别为点，，当在椭圆上运动时，，所形成的图形的面积为．解析：延长交的延长线于点′，则＝′，＝′，所以′＝′＋＝＋＝.因为，分别是′，的中点，所以＝.同理可得＝.因此，的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆，其方程为＋＝，故，所形成的图形的面积为π.答案：π．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．()与椭圆＋＝有相同的离心率且经过点(，－)；()已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且到两焦点的距离分别为，，过且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：()由题意，设所求椭圆的方程为＋＝或＋＝(，＞)，因为椭圆过点(，－)，所以＝＋＝，或＝＋＝.故所求椭圆的标准方程为＋＝或＋＝.()由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝(＞＞)或＋＝(＞＞)，由已知条件得解得＝，＝，所以＝.故椭圆方程为＋＝或＋＝..(·高考陕西卷)已知椭圆：＋＝(＞＞)的半焦距为，原点到经过两点(，)，(，)的直线的距离为.()求椭圆的离心率；()如图，是圆：(＋)＋(－)＝的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．解：()过点(，)，(，)的直线方程为＋－＝，则原点到该直线的距离＝＝，由＝，得＝＝，解得离心率＝.。

第5讲椭圆1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的□01和等于□02常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或03焦距．集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做□(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝□042a，且2a□05>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆□01相交； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆□02相切； (3)Δ<0⇔直线与椭圆□03相离． 4．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝□01 1＋k 2|x 1－x 2|＝□02 1＋1k2|y 1－y 2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长□032b 2a，最长为□042a . 5．必记结论(1)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，P 点在长轴端点处．(2)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a .1．概念辨析(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )(3)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．小题热身(1)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B ．53C ．23D ．59答案 B解析 由已知得a ＝3，b ＝2，所以c ＝a 2－b 2＝32－22＝5，离心率e ＝c a ＝53. (2)直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,3)∪(3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(0,3)∪(3，＋∞)答案 B解析 把y ＝x ＋2代入x 2m ＋y 23＝1得3x 2＋m (x ＋2)2＝3m ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，由题意得Δ＝(4m )2－4m (3＋m )＝12m (m －1)>0且3＋m ≠0，又因为m >0且m ≠3，所以m >1且m ≠3，所以m 的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)． (3)(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 解析 由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a >0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.(4)已知动点P (x ，y )的坐标满足x 2＋y ＋2＋x 2＋y －2＝16，则动点P 的轨迹方程为________．答案x 264＋y 215＝1 解析 由已知得点P 到点A (0，－7)和B (0,7)的距离之和为16，且16>|AB |，所以点P 的轨迹是以A (0，－7)，B (0,7)为焦点，长轴长为16的椭圆．显然a ＝8，c ＝7，故b 2＝a 2－c 2＝15，所以动点P 的轨迹方程为x 264＋y 215＝1.题型 一 椭圆的定义及应用1．过椭圆x 24＋y 2＝1的左焦点F 1作直线l 交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆右焦点，则△ABF 2的周长为( )A ．8B ．4 2C ．4D ．2 2答案 A解析 因为椭圆为x 24＋y 2＝1，所以椭圆的半长轴a ＝2，由椭圆的定义可得AF 1＋AF 2＝2a＝4，且BF 1＋BF 2＝2a ＝4，∴△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)＝4a ＝8.2．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 A解析 如图，∵椭圆y 24＋x 23＝1，∴焦点坐标为B (0，－1)和B ′(0,1)，连接PB ′，AB ′，根据椭圆的定义，得|PB |＋|PB ′|＝2a ＝4，可得|PB |＝4－|PB ′|，因此|PA |＋|PB |＝|PA |＋(4－|PB ′|)＝4＋(|PA |－|PB ′|)．∵|PA |－|PB ′|≤|AB ′|，∴|PA |＋|PB |≤4＋|AB ′|＝4＋1＝5.当且仅当点P 在AB ′的延长线上时，等号成立． 综上所述，可得|PA |＋|PB |的最大值为5.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝________.答案 3解析 设|PF 1|＝t 1，|PF 2|＝t 2，则由椭圆的定义可得t 1＋t 2＝2a ，① 在△F 1PF 2中∠F 1PF 2＝60°，所以t 21＋t 22－2t 1t 2·cos60°＝4c 2，② 由①2－②得3t 1t 2＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12t 1t 2·sin60°＝12×43b 2×32＝33，所以b ＝3.利用定义求焦点三角形及最值的方法1．设椭圆x 29＋y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过焦点F 1的直线交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若△ABF 2的内切圆的面积为π，则|y 1－y 2|＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 A解析 画出图形如图所示．∵椭圆方程为x 29＋y 25＝1，∴a ＝3，b ＝5，c ＝2. 又△ABF 2的内切圆的面积为π， ∴△ABF 2内切圆的半径r ＝1，∴S △ABF 2＝12×(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|)×r＝12×4a ×r ＝2ar ＝6， 又S △ABF 2＝12×|y 1－y 2|×2c ＝2|y 1－y 2|，∴2|y 1－y 2|＝6，∴|y 1－y 2|＝3.2．(2018·安徽皖江模拟)已知F 1，F 2是长轴长为4的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，则△PF 1F 2面积的最大值为________．答案 2解析 解法一：∵△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|·sin∠F 1PF 2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝12a 2.又∵2a ＝4，∴a 2＝4，∴△PF 1F 2面积的最大值为2.解法二：由题意可知2a ＝4，解得a ＝2.当P 点到F 1F 2距离最大时，S △PF 1F 2最大，此时P 为短轴端点，S △PF 1F 2＝12·2c ·b ＝bc .又∵a 2＝b 2＋c 2＝4，∴bc ≤b 2＋c 22＝2，∴当b ＝c ＝2时，△PF 1F 2面积最大，为2. 题型 二 椭圆的标准方程及应用1．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 方程x 2m －2＋y26－m＝1表示椭圆⇔⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，解得2<m <6且m ≠4， 所以“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为10，一个焦点的坐标是(－5，0)，则椭圆的标准方程为________．答案x 29＋y 24＝1解析 由题意得，该椭圆的焦点在x 轴上，c ＝5，2a ＋2b ＝10，即a ＋b ＝5，又因为a 2－b 2＝c 2＝5，所以a －b ＝1，解得a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的标准方程是x 29＋y 24＝1.3．已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析 如图，由题意知|PA |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|PA |＋|PF |＝2且|PA |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.1．定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有： (1)b 2＝a 2－c 2；(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a ； (3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a . 2．待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．可简记为“先定型，再定量”．1．与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．答案x 225＋y 216＝1 解析 设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r . 所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|，所以点P 的轨迹是以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.2．已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为________．答案x 29＋y 24＝1或y 2814＋x 29＝1 解析 若焦点在x 轴上，由题知a ＝3，因为椭圆的离心率e ＝53，c ＝5，b ＝2，所以椭圆方程是x 29＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，a 2－c 2＝9，又离心率e ＝c a ＝53，解得a 2＝814，所以椭圆方程是y 2814＋x29＝1.题型 三 椭圆的几何性质1．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等答案 D解析 由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B ．12 C ．13 D ．14答案 D解析 依题意易知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，且P 在第一象限内，由∠F 1F 2P ＝120°可得P 点的坐标为(2c ，3c )．又因为k AP ＝36，即3c 2c ＋a ＝36，所以a ＝4c ，e ＝14，故选D. 条件探究 将举例说明2中点P 满足的条件改为“椭圆C 上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°”，求C 的离心率的取值范围．解 解法一：椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2＝90°⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有公共点⇔b ≤c ，如图，由b ≤c ，得a 2－c 2≤c 2，即a 2≤2c 2，解得e ＝ca ≥22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 解法二：设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)，若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－c 2＝0. ∴x 20＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2＝c 2，∴x 20＝a 2c 2－b 2c 2.∵0≤x 20≤a 2，∴0≤c 2－b 2c2≤1.∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1.1．利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． (2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． 2．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解． (2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解．如举例说明2.(3)由椭圆的定义求离心率．e ＝c a ＝2c2a，而2a 是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c 是焦距，从而与焦点三角形联系起来．1．(2018·长沙模拟)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1 B ．x 22＋y 2＝1C.x 24＋y 22＝1 D ．y 24＋x 22＝1答案 C解析 易知b ＝c ＝2，故a 2＝b 2＋c 2＝4，从而椭圆E 的标准方程为x 24＋y 22＝1.2．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x轴，若|PF |＝34|AF |，则该椭圆的离心率是________．答案 14解析 根据椭圆几何性质可知|PF |＝b 2a ，|AF |＝a ＋c ，所以b 2a ＝34(a ＋c )，即4b 2＝3a2＋3ac .又因为b 2＝a 2－c 2，所以有4(a 2－c 2)＝3a 2＋3ac ，整理可得4c 2＋3ac －a 2＝0，两边同除以a 2，得4e 2＋3e －1＝0，所以(4e －1)·(e ＋1)＝0，由于0<e <1，所以e ＝14.题型 四 直线与椭圆的综合问题角度1 椭圆与向量的综合问题1．(2018·六安舒城中学模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.则椭圆C 的离心率是________．答案 23解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. 直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －c ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2c －2a 3a 2＋b 2. 因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2.即3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 2c －2a 3a 2＋b2. 得离心率e ＝c a ＝23.角度2 弦长及弦中点问题2．(1)斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B ．455C ．4105D ．8105(2)直线y ＝x ＋m 被椭圆2x 2＋y 2＝2截得的线段的中点的横坐标为16，则中点的纵坐标为________．答案 (1)C (2)－13解析 (1)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.Δ＝(8t )2－4×5×4(t 2－1)>0，得t 2<5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.(2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，2x 2＋y 2＝2，消去y 并整理得3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设线段的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2m3，∴－2m 3＝13，解得m ＝－12.由截得的线段的中点在直线y ＝x －12上，得中点的纵坐标y ＝16－12＝－13.解法二：设线段的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则2x 21＋y 21＝2,2x 22＋y 22＝2.两式相减得 2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 把y 1－y 2x 1－x 2＝1，x 1＋x 2＝13代入上式，得y 1＋y 22＝－13，则中点的纵坐标为－13. 角度3 直线与椭圆的位置关系及综合问题3．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5答案 D解析 直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则点(0,1)在椭圆x 25＋y 2m＝1内部或在椭圆上，所以1m ≤1，由方程x 25＋y2m ＝1表示椭圆，则m >0且m ≠5，综上知m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.4．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . 解 (1)由已知得F (1,0)，直线l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22. 所以直线AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4kx 1－x 2－.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0，故直线MA ，MB 的倾斜角互补， 所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .1．解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题． 2．弦中点问题的解决策略(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数的关系表示中点坐标． (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率的关系．3．求解直线与椭圆相交的弦长问题的步骤(1)设直线Ax ＋By ＋C ＝0与椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的两个交点坐标分别为E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．(2)把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程． (3)利用根与系数的关系，得到x 1＋x 2与x 1x 2或y 1y 2与y 1＋y 2.(4)把与E ，F 有关要求的量(如弦长|EF |、直线与椭圆相关的图形面积等)用E ，F 的坐标表示出来，并变形为只含x 1＋x 2与x 1x 2(或y 1＋y 2与y 1y 2)的形式．(5)将(3)中所得的含有参数的式子等量代入(4)中，得到含参数的代数式，经过其他运算得到化简结果．4．重要结论(1)椭圆中最短的焦点弦为通径，长度为2b2a.(2)设斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.1．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45m 2－ ＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .2．(2018·沈阳质检)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2,0)． 设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*)因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16k1＋4k2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外， 所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0， 又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4，则32<k <2或－2<k <－32. 则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 高频考点 求椭圆的离心率问题考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．[典例1] 从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24 B ．12 C ．22D ．32答案 C解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a ，由于OP ∥AB ，∴－y 0c＝－b a ，y 0＝bc a ，把P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得－c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2b 2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.[典例2] (2018·芜湖模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (c,0)．圆C ：(x －c )2＋y 2＝1上所有点都在椭圆E 的内部，过椭圆上任一点M 作圆C 的两条切线，A ，B为切点，若∠AMB ＝θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，则椭圆C 的离心率为( ) A ．2－ 2 B ．3－2 2 C.32－ 2 D ．2－1答案 B解析 圆C ：(x －c )2＋y 2＝1的圆心为右焦点F (c,0)，半径为1，(1)当M 位于椭圆的右顶点(a,0)时，|MF |取得最小值a －c ，此时|MA |取得最小值， 即有∠AMB ＝π2，sin π4＝1a －c，可得a －c ＝2，①(2)当M 位于椭圆的左顶点(－a,0)，|MF |取得最大值a ＋c .此时|MA |取得最大值，即有∠AMB ＝π3，sin π6＝1a ＋c ，可得a ＋c ＝2，②由①②解得a ＝1＋22，c ＝1－22， 则e ＝c a ＝2－22＋2＝3－2 2.。

高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆学案文052212128．5 椭圆[知识梳理]1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形续表3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．4．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b2a，最长为2a .5．必记结论(1)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，P 点在长轴端点处．(2)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . [诊断自测] 1．概念思辨(1)平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )(3)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(选修A1－1P 35例3)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．20C ．241D ．441答案 D解析 因为a >5，所以椭圆的焦点在x 轴上，所以a 2－25＝42，解得a ＝41.由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ＝441.故选D.(2)(选修A1－1P 42A 组T 6)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 3．小题热身(1)(2014·大纲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.(2)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析 由已知得直线y ＝3(x ＋c )过M ，F 1两点，所以直线MF 1的斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，则MF 1＝c ，MF 2＝3c ，由点M 在椭圆Γ上知：c ＋3c ＝2a ，故e ＝ca＝3－1.题型1 椭圆的定义及应用典例1 已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7应用椭圆的定义．答案 D解析 根据椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，得|PF 2|＝7，故选D.[条件探究] 若将典例中的条件改为“F 1，F 2分别为左、右焦点，M 是PF 1的中点，且|OM |＝3”，求点P 到椭圆左焦点的距离？解 由M 为PF 1中点，O 为F 1F 2中点，易得|PF 2|＝6，再利用椭圆定义易知|PF 1|＝4.典例2 (2018·漳浦县校级月考)椭圆x 24＋y 2＝1上的一点P 与两焦点F 1，F 2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值； (2)设∠F 1PF 2＝θ，求证：S △F 1PF 2＝tan θ2.(1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．解 (1)设P (x ，y )，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，∵x 2∈[0,4]，∴34x 2－2∈[－2,1]．∴PF 1→·PF 2→的最大值为1，最小值为－2.(2)证明：由椭圆的定义可知||PF 1|＋|PF 2||＝2a ， |F 1F 2|＝2c ，设∠F 1PF 2＝θ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)，可得4c 2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)⇒|PF 1|·|PF 2|＝2b21＋cos θ，即有△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝tan θ2.方法技巧椭圆定义的应用技巧1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．2．通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．见典例2.冲关针对训练1．已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析 如图，由题意知|PA |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|PA |＋|PF |＝2且|PA |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.2．已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B ＝________.答案 54解析 由题意知，A ，C 为椭圆的两焦点，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝2a2c＝a c ＝54. 题型2 椭圆的标准方程及应用典例1 (2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为坐标原点，F 1、F 2为它的两个焦点，离心率为22，过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论．答案x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1 解析 由椭圆的定义及△ABF 2的周长知4a ＝16，则a ＝4，又ca ＝22，所以c ＝22a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8.当焦点在x 轴上时，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆C 的方程为y 216＋x 28＝1.综上可知，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.典例2 (2017·江西模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且焦距为23，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，求椭圆的方程．用待定系数法，根据已知列出方程组．解 设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝a 28，由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2， 又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2， |PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38， 又∵2c ＝23，∴c ＝3， ∴a 2＝8，b 2＝5.所求椭圆的方程为x 28＋y 25＝1.方法技巧求椭圆标准方程的步骤1．判断椭圆焦点位置． 2．设出椭圆方程．3．根据已知条件，建立方程(组)求待定系数，注意a 2＝b 2＋c 2的应用． 4．根据焦点写出椭圆方程．见典例1,2.提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．可简记为“先定型，再定量”．冲关针对训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.P 为椭圆上的一点，PF 1与y 轴相交于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，且M 为PF 1的中点，S △PF 1F 2＝32.求椭圆的方程． 解 设P (x 0，y 0)∵M 为PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点． ∴x 0＝c ，y 0＝12.PF 2∥y 轴，△PF 1F 2是∠PF 2F 1＝90°的直角三角形，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2＋14b2＝1，12·2c ·12＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.题型3 椭圆的几何性质典例1 (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34用方程思想．A ，M ，E 三点共线，B ，N ，M 三点共线．答案 A解析 由题意知过点A 的直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，当x ＝－c 时，y ＝k (a －c )，当x ＝0时，y ＝ka ，所以M (－c ，k (a －c ))，E (0，ka )．如图，设OE 的中点为N ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ka 2，由于B ，M ，N 三点共线，所以k BN ＝k BM ，即ka2－a ＝k (a －c )－c －a ，所以12＝a －c a ＋c ，即a ＝3c ，所以e ＝13.故选A.典例2 F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．由∠F 1PF 2＝90°，求出x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2后，利用x 20∈[0，a 2]求解．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析 设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)，若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－c 2＝0. ∴x 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2＝c 2，∴x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2.∵0≤x 20≤a 2，∴0≤c 2－b 2c2≤1.∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1. [条件探究] 将典例2中条件“∠F 1PF 2＝90°”改为“∠F 1PF 2为钝角”，求离心率的取值范围．解椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ，如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1. 方法技巧求解椭圆离心率(或其范围)常用的方法1．若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定a 2，b 2，进而求出a ，c 的值，从而利用公式e ＝ca直接求解．2．若椭圆的方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a ，b ，c 的齐次等式(或不等式)，化为关于a ，c 的齐次方程(或不等式)，进而化为关于e 的方程(或不等式)进行求解．见典例1,2.冲关针对训练(2015·重庆高考)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝|F 1F 2| ＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)连接QF 1，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|. |PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝ (2－2)2＋(2－1)2＝ 9－62＝6－ 3.题型4 直线与椭圆的综合问题角度1 利用直线与椭圆的位置关系研究椭圆的标准方程及性质典例 (2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .本题(2)用代入法列出方程，用方程组法求解．解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.角度 2 利用直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的问题典例 (2014·全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．直线与椭圆构成方程组，用设而不求的方法求弦长，再求△OPQ 的面积．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 方法技巧直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法1．合理消元，消元时可以选择消去y ，也可以消去x .见角度1典例． 2．利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来． 3．构造基本不等式或利用函数知识求最值．见角度2典例． 4．涉及弦中点的问题常用“点差法”解决．冲关针对训练(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得 10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.1.(2017·浙江高考)椭圆x29＋y24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59答案 B解析 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴e ＝c a ＝53.故选B.2．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，所以34＋2|PF 1||PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.3．(2018·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.答案 2 2解析 解法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my ＋1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2＋2my－1＝0⇒y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2.∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝2 2m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2. 解法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b2a＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2. 4．(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35， 故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，则m ＝4，所以圆锥曲线x 2＋y 2m＝1即为椭圆x 2＋y 24＝1，易知其焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆 答案 D解析 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732＜0，结合θ∈(0，π)，知sin θ>0，cos θ<0，又sin θ＋cos θ＝34＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故1－cos θ＞1sin θ＞0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 2－1cos θ＋x 21sin θ＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选D.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A. 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.12D.14答案 C解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2＋n 2.因为c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，所以c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，所以m 2＝c 4a 2，n 2＝c 4a 2＋c 22，所以2c 4a 2＋c 22＝c 2，化为c 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝12.故选C.6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m 千米，远地点距地面n 千米，地球半径为r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋r )(n ＋r )千米 B.(m ＋r )(n ＋r )千米 C ．2mn 千米 D ．mn 千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 则近地点A 距地心为a －c ，远地点B 距地心为a ＋c . ∴a －c ＝m ＋r ，a ＋c ＝n ＋r ， ∴a ＝m ＋n2＋r ，c ＝n －m2.又∵b 2＝a 2－c 2＝⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －m 22＝mn ＋(m ＋n )r ＋r 2＝(m ＋r )(n ＋r )．∴b ＝(m ＋r )(n ＋r )，∴短轴长为2b ＝2(m ＋r )(n ＋r )千米，故选A.7．(2017·九江期末)如图，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.3－1D.22答案 C 解析 连接AF 1，∵F 1F 2是圆O 的直径，∴∠F 1AF 2＝90°， 即F 1A ⊥AF 2，又∵△F 2AB 是等边三角形，F 1F 2⊥AB ， ∴∠AF 2F 1＝12∠AF 2B ＝30°，因此，在Rt △F 1AF 2中，|F 1F 2|＝2c ， |F 1A |＝12|F 1F 2|＝c ，|F 2A |＝32|F 1F 2|＝3c .根据椭圆的定义，得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝(1＋3)c ，解得a ＝1＋32c ，∴椭圆的离心率为e ＝c a＝3－1.故选C.8．(2018·郑州质检)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655 C.855D.455答案 C解析 设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.12 B.22C.32D.34答案 C解析 设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(a >b >0，m >1)，则切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，切线BD的方程为y ＝k 2x ＋mb ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －ma )，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 21)x 2－2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0.因为Δ＝(2ma 3k 21)2－4(b 2＋a 2k 21)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理，得k 21＝b 2a 2·1m 2－1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 22)x 2＋2a 2mbk 2x ＋a 2m 2b 2－a 2b 2＝0，因为Δ2＝(2a 2mbk 2)2－4×(b 2＋a 2k 22)(a 2m 2b 2－a 2b 2)＝0，整理，得k 22＝b 2a2·(m 2－1)．所以k 21·k 22＝b 4a 4.因为k 1k 2＝－14，所以b 2a 2＝14，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以e ＝32，故选C.10．(2018·永康市模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．0<e ≤32B.12≤e <1 C.32<e <1 D.32≤e <1 答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)焦点在x 轴上，连接OA ，OB ，OP ，依题意，O ，P ，A ，B 四点共圆， ∵∠APB ＝60°，∠APO ＝∠BPO ＝30°， 在直角三角形OAP 中，∠AOP ＝60°，∴cos ∠AOP ＝b |OP |＝12，∴|OP |＝b12＝2b ，∴b <|OP |≤a ，∴2b ≤a ，∴4b 2≤a 2， 由a 2＝b 2＋c 2，即4(a 2－c 2)≤a 2，∴3a 2≤4c 2，即c 2a 2≥34，∴e ≥32，又0<e <1， ∴32≤e <1， ∴椭圆C 的离心率的取值范围是32≤e <1.故选D.二、填空题11．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案733解析 依据圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163，∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，所以P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733.12．(2018·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________．答案 5x 29＋5y 24＝1解析 设F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧0＋y 2＝12×1＋x2，y －0x －1×12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝655，a ＝355，又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝95－1＝45，所以椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1，即5x 29＋5y24＝1. 13．(2018·江西五市联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫55，1 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1.14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案63解析 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)， ∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.B 级三、解答题15．(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2 (2,0)， |F 2C |＝ (2－2)2＋(0＋2)2＝2<r ＝ 6.F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，所以直线l 过焦点F 1.设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2. 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.16．(2018·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△PAB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，∴4a 2＋1b2＝1.∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14× (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 5(4－m 2). 点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2)≤m 2＋4－m 22＝2.而且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． ∴△PAB 面积的最大值为2.17．(2018·兰州模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4. ∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y24＝1，得x 0＝221＋2k2，y 0＝22k 1＋2k2，∴直线AP 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22)， 直线AQ 的方程为y ＝k1－1＋2k 2(x ＋22)， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2，∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k1＋1＋2k 2－22k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |.设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k ，则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4， 令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2,0)，P 2(2,0)．18．(2018·湖南十校联考)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得，k AP ·k BP ＝y x ＋3·y x －3＝－23(x ≠±3)，化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)． (2)证明：由题意知，M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则直线AP ，BP 的斜率必存在且不为0.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23.设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，①设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根， 所以y 1＋y 2＝－4mt 3＋2m 2，y 2y 2＝2t 2－63＋2m2.又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2，所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3.又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2|＝12·|t |－24t 2＋48m 2＋723＋2m 2， 所以S △MON ＝26t 24t 2＝62， 即△MON 的面积为定值62.。

第5讲 椭 圆)1．椭圆的定义2.椭圆的标准方程和几何性质1．辨明两个易误点(1)椭圆的定义中易忽视2a ＞|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹为线段F 1F 2，当2a ＜|F 1F 2|时，不存在轨迹．(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．2．求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． (2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a 、b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．1.教材习题改编椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A 、B 两点，则△F 1AB 的周长为( )A ．12B ．16C ．20D ．24C △F 1AB 的周长为 |F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B | ＝2a ＋2a ＝4a .在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5，所以△F 1AB 的周长为4a ＝20，故选C.2．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25＋y 2＝1 B ．x 24＋y 25＝1C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对C 直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， 所以a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，所以a 2＝5，所求椭圆的标准方程为y 25＋x 24＝1.故选C.3．(2016·高考全国卷乙)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B ．12 C.23D ．34B 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12(e ＝－12舍去)，故选B ． 4．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.(3，4)∪(4，5)5．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5，4)，则椭圆的标准方程为________．由e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5，4)代入可得c 2＝9，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1. x 245＋y 236＝1椭圆的定义及应用(1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝( )A.23 B ．1 C.43D ．53(2)(2017·徐州模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．【解析】 (1)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(0<b <1)，知a ＝1，因为|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝2， 两式相加得|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4， 所以|AF 2|＋|BF 2|＝4－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4－|AB |. 因为|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列， 所以2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|， 于是2|AB |＝4－|AB |， 所以|AB |＝43.(2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.【答案】 (1)C (2)3本例(2)中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程． 由原题得b 2＝a 2－c 2＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5，故椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的应用椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1||PF 2|；通过整体代入可求其面积等．1．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△PF 1F 2的面积为( )A ．4B ．6C ．2 2D ．4 2A 因为点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝6，又因为|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又易知|F 1F 2|＝25，显然|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，故△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积为12×2×4＝4.故选A.2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8<16，所以动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝48，又焦点C 1、C 2在x 轴上，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1. x 264＋y 248＝1椭圆的标准方程(1)(2017·湖南省东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B ．x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D ．x 24＋y 2＝1(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的标准方程为________．【解析】 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设点A 在第一象限，如图所示．因为AF 2⊥x 轴，所以|AF 2|＝b 2. 因为|AF 1|＝3|BF 1|， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c ，－13b 2.将B 点代入椭圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b 22b 2＝1，所以259c 2＋b 29＝1.又因为b 2＋c 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝13，b 2＝23.故所求的方程为x 2＋y 223＝1.【答案】 (1)A (2)x 2＋y 223＝11．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．因为椭圆经过P 1，P 2两点，所以P 1，P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. x 29＋y 23＝1 2．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．则椭圆C 2的方程为________．法一(待定系数法)：由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32， 解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.法二(椭圆系法)：因椭圆C 2与C 1有相同的离心率，且焦点在y 轴上，故设C 2：y 24＋x2＝k (k >0)，即y 24k ＋x 2k＝1.又2k ＝2×2，故k ＝4，故C 2的方程为y 216＋x 24＝1.y 216＋x 24＝1椭圆的几何性质(高频考点)椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大． 高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)由椭圆的方程研究其性质； (2)由椭圆的性质求参数的值或范围； (3)求离心率的值或范围．(1)(2016·高考全国卷丙)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B ．12 C.23D ．34(2)(2017·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．【解析】 (1)设E (0，m )，则直线AE 的方程为－x a ＋ym＝1，由题意可知M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，m －mc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 2和B (a ，0)三点共线，则m －mc a －m 2－c ＝m 2－a ， 化简得a ＝3c ，则C 的离心率e ＝c a ＝13.(2)设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1，0)，A (2，0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4. 【答案】 (1)A(2)4(1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．角度一 由椭圆的方程研究其性质1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3，0)B ．(－4，0)C ．(－10，0)D ．(－5，0)D 因为圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1， 所以圆心坐标为(3，0)，所以c ＝3.又b ＝4， 所以a ＝b 2＋c 2＝5. 因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以椭圆的左顶点为(－5，0)．角度二 由椭圆的性质求参数的值或范围 2．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2 B ．2或83C ．2或6D ．2或8D 显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m14＝22，解得m ＝8. 角度三 求离心率的值或范围3．(2017·新余模拟)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A ．e ≤12B ．e ≥14C.14≤e ≤12D ．0<e ≤14或12≤e <1C 因为椭圆C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，所以|PF 1|＝32×2c ＝3c .由a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，解得14≤c a ≤12.所以椭圆C 的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.直线与椭圆的位置关系(2016·高考全国卷甲改编)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k＞0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；(2)当2|AM |＝|AN |时，证明：4k 3－6k 2＋3k －8＝0. 【解】 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1＞0. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2，0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明：将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k ＞0)代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2（3－4k 2）3＋4k 2， 故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k23＋4k2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0.(1)直线与椭圆位置关系判断的步骤 ①联立直线方程与椭圆方程；②消元得出关于x (或y )的一元二次方程；③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．(2)直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则 |AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率，k ≠0)．(2017·河北省三市第二次联考)已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A 、B 两点，|AB |＝233.(1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C 、D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1，0)，求k 的值．(1)设焦距为2c ， 因为e ＝ca ＝63，a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝33， 因为b 2a ＝33，所以b ＝1，a ＝3， 所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，解得k 2>1.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2，若以CD 为直径的圆过E 点，则EC →·ED →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，则(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝9（k 2＋1）1＋3k2－12k （2k ＋1）1＋3k2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2>1.所以k ＝76.——数形结合思想在椭圆求值中的应用(经典考题)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.【解析】 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ， 则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.因为D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， 所以|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|， 所以|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12. 【答案】 12(1)本题利用了数形结合的思想，把DF 1和DF 2分别看作△MAN 和△MNB 的中位线，再结合椭圆定义即可求解．(2)在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化．1.过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是( )A ．14B ．16C ．18D ．20C 如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 1即△PQF 的周长取得最小值为10＋2×4＝18.2．设F 1，F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．如图，|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知点M 在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋（6－3）2＋42＝15.151．(2017·江西五市八校二模)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)B 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y 24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B ．2．(2017·洛阳统考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1 D ．x 25＋y 220＝1C 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则有错误!，由此解得a 2＝20，b 2＝5，因此所求的椭圆方程是x 220＋y 25＝1.3．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为( )A.33B ．13 C.23D ．63C PQ 为过F1垂直于x 轴的弦，则Q ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，△PF 2Q 的周长为36. 所以4a ＝36，a ＝9.由已知b 2a ＝5，即a 2－c 2a＝5.又a ＝9，解得c ＝6，解得c a ＝23，即e ＝23.4．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2为两焦点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．(2017·湖北八校联考)设F 1，F 2分别为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B ．513 C.49D ．59B 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，因为OM ⊥F 1F 2，所以PF 2⊥F 1F 2，所以|PF 2|＝b 2a ＝53.又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B ．6．(2017·福建省毕业班质量检测)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A.5－12 B ．33 C.22D ．63D 不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB |＝a ，所以|OA |＝22a ，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，又点A 在椭圆上，所以a 24a 2＋a 24b 2＝1，所以a 2＝3b 2，所以a 2＝3(a 2－c 2)，所以3c 2＝2a 2，所以椭圆的离心率e ＝ca ＝63，故选D ． 7．(2017·贵阳模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．由题意可知e ＝ca ＝32，2b ＝4，得b ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.x 216＋y 24＝1 8．(2017·安徽黄山一模)已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________．圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F (1，0)，一个顶点为A (3，0)，所以c ＝1，a ＝3，因此椭圆的离心率为13.139．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c <b ，即c 2<b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2<a 2－c 2，即2c 2<a 2，所以e 2<12，又因为0<e <1，所以0<e <22.⎝⎛⎭⎪⎫0，2210．(2017·安徽江南十校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点O的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________．不妨设点P 在第一象限，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a 2，在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，34a ，代入椭圆方程得：116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，则c 2a 2＝45，所以离心率e ＝255.25511．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t 1＝224＋（－3）23＝2，或t 2＝（－3）24＋223＝2512.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B ．(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1②.由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.13．如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若 |PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5B b 2＝2，c ＝a 2－2，故|F 1F 2|＝2a 2－2，又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝2a －4，由余弦定理得cos 120°＝42＋（2a －4）2－（2a 2－2）22×4×（2a －4）＝－12，化简得8a ＝24，即a ＝3，故选B ．14．(2017·陕西省五校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ．若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△FAB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ， 当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立． 此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.2315．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积． (1)由已知得c ＝22，e ＝c a ＝63. 解得a ＝2 3. 又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ， 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3，2)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.16．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m . 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2x 1x 2＝m 2－42＋k2，又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22， 可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m29m 2－4>0，解得49<m 2<4，此时Δ>0，解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23， 所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.。