八年级数学上册 第一章 勾股定理 由勾3、股4、弦5所想到的同步辅导素材 (新版)北师大版

第一章勾股定理3 勾股定理的应用教学目标1.利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.教学重难点重点：构建直角三角形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.难点：从实际问题中合理抽象出数学模型.教学过程导入新课游乐场有一个圆柱形的大型玩具,如图所示,现要从点A开始环绕圆柱侧面修建梯子,正好到达A点的正上方B点,已知圆柱形玩具的底面周长是12米,高AB为5米,那么梯子的长度是多少米?探究新知一、合作探究【探究1】确定立体物体表面上两点之间的最短距离.【例1】如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？(2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？∵AB2 = 122+92，∴AB = 15(cm).答：蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm.变式训练：如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q,那么所用细线最短需要_________cm.答案：13【探究2】应用勾股定理解决实际问题【例2】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.【解】设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE的长度为（x-1）m.在Rt△ACE中，∠AEC = 90°，由勾股定理得AE2+CE2 = AC2，即(x-1)2+32 = x2，解得x = 5.故滑道AC的长度为5 m.变式训练：在一次消防演习中,消防员架起一架25米长的云梯,如图所示那样斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.(1)这架云梯的顶端距地面有多高?(2)如果消防员接到命令,要把云梯的顶端下降4米(云梯长度不变),那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米?解：(1)由题图可以看出云梯、墙、地面可围成一个直角三角形,即云梯为斜边,云梯底部到墙的线段为一条直角边,云梯顶端到地面的线段为另一条直角边.根据题意252-72 = 242，所以云梯顶端距地面有24米.(2)当云梯顶端下降4米后,云梯顶部到地面的距离为20米.因为252-202 = 152,且15-7 = 8(米)，所以云梯底部应水平滑动8米.课堂练习1.有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，则问这根铁棒应有多长？2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为____.m=0.33m)的正方形.在水池正中央3.有一个水池，水面是一个边长为10尺(1尺=13有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？4.如图，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂的吗？参考答案1.解：如图，由题意得当铁棒在B处：AC = 1.5米，BC = 2米.∵AB2 = AC2+CB2 = 2.52，∴AB = 2.5米.∵油桶外的部分是0.5米，∴AD = 2.5+0.5 = 3(米).当铁棒垂直进入，得出油桶中的长度1.5米+桶外的0.5米= 2米.答：这根铁棒的长度范围是2米到3米.2.253.解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺.根据题意得x²+5² =（x+1）².解得x =12.x+1=12+1=13（尺）.答：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺和13尺.4.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由题意得x2+82 = (16-x)2,解得x = 6米.答：旗杆在离底部6米的位置断裂.课堂小结确定立体物体表面上两点之间的最短距离的方法：将其转化为平面上两点间的距离，利用两点之间，线段最短来求解.布置作业习题1.4第1，2，3，4题板书设计3 勾股定理的应用1.确定立体物体表面上两点之间的最短距离例1 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？2.应用勾股定理解决实际问题例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.。

第一章 勾股定理（提高）勾股定理（提高）【学习目标】1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，， ．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以．a b ，c 222a b c +=222a c b =-222b c a =-()222c a b ab =+-方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】类型一、与勾股定理有关的证明1、在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 延长线上的点，求证：【答案与解析】证明：作等腰三角形底边上的高AE ∵AB=AC ，AE ⊥BC∴BE=EC,∠AEB=∠AEC=90°∴【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题． 类型二、与勾股定理有关的线段长2、如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE 丄DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．【答案与解析】222222()()AD AB AE DE AE BE -=+-+2222AE DE AE BE =+--22DE BE =-()()DE BE DE BE =+-BD CD =解：连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC （三线合一），BD=CD=AD ，∠ABD=45°， ∴∠C=45°， ∴∠ABD=∠C ， 又∵DE 丄DF ，∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF ， ∴∠FDC=∠EDB ， 在△EDB 与△FDC 中， ∵，∴△EDB ≌△FDC （ASA ）， ∴BE=FC=3，∴AB=7，则BC=7， ∴BF=4，在Rt △EBF 中， EF 2=BE 2+BF 2=32+42， ∴EF=5． 【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE 和BF ，再由勾股定理求出EF 的长． 举一反三： 【变式】（2018春•天津校级期中）如图，∠C=30°，PA ⊥OA 于A ，PB ⊥OB 于B ，PA=2，PB=11，求OP 的长．【答案】解：∵PA ⊥OA ，∠C=30°，∴PC=2PA=4，∴BC=BP+PC=11+4=15， ∵PB ⊥OB ，∠C=30°， 设OB=x ，则OC=2x ，在Rt △BOC 中，由勾股定理得：x +15=（2x ）， 解得，即，222∴OP===14．类型三、与勾股定理有关的面积计算3、（2018•丰台区二模）问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积．小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积；思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．【思路点拨】（1）根据图形得出S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公式求出即可；（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可．【答案与解析】解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是：S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC=4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3=4.5，故答案为：4.5；（2）如图2的△MNP，S△MNP=S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP=5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1=7，即△MNP的面积是7．【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大．举一反三：【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是（）A．17B．36C．77D．94【答案】C类型四、利用勾股定理解决实际问题4、（2019•贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．【答案与解析】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA ′=20米， BC ′==15（米），则：CC ′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键． 举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得： ， 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得：则AB ＝15．所以需要爬行的最短路程是15．勾股定理（提高）【巩固练习】一．选择题1．如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13cmcm 12AA '=12392A B π'=⨯⨯=22222129225AB AA A B ''=+=+=cm cm2. （2019•漳州）如图，△ABC 中，AB=AC=5,BC=8，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）.若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3．如图，长方形AOBC 中，AO=8，BD=3，若将矩形沿直线AD 折叠，则顶点C 恰好落在边OB 上E 处，那么图中阴影部分的面积为（ ）A.30 B ．32 C ．34 D ．164．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2 , ，之间的距离为3 ,则的值是（ ）A ．68B ．20C ．32D ．475．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12,则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42或32 D ．37或33 6．（2018•烟台）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2018的值为（ ）1l 2l 3l 1l 2l 2l 3l 2ACA ．B ．C ．D ．二．填空题7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边的平方为______． 8． 将一根长为15cm 的很细的木棒置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分长度x 的范围是 ． 9．如图，在的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，这样的点C 共 个．10．（2019•黄冈校级自助招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边长为a ，较长的直角边长为b ，那么（a+b ）2的值是 _________ ．11．已知长方形ABCD ，AB ＝3，AD ＝4，过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为_______________．12．（2018春•召陵区期中）如图，在四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，那么四边形ABCD 的面积是 ．三．解答题 13．（2018•青岛模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，求运动过程中，点D 到点O 的最大距离．20122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭20132⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭201212⎛⎫⎪⎝⎭201312⎛⎫ ⎪⎝⎭55⨯cmcm14．现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求： 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．15．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A 城气象局测得沙尘暴中心在A 城的正西方向240km 的B 处，以每时12km 的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km 的范围为受影响区域． （1）A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？（2）若A 城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？【答案与解析】一．选择题1. 【答案】C 【解析】∵BE ⊥AC ，∴△AEB 是直角三角形，∵D 为AB 中点，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，,所以BE=12.2. 【答案】C 【解析】过点A 作AE ⊥BC,则由勾股定理得AE=3，点D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）.所以3≤AD ＜5，AD=3或4，共有3个符合条件的点. 3．【答案】A 【解析】由题意CD ＝DE ＝5，BE ＝4，设OE ＝，AE ＝AC ＝，所以，222144BE AB AE =-=x 4x +()22284x x +=+，阴影部分面积为．4．【答案】A【解析】如图，分别作CD ⊥交于点E ，作AF ⊥，则可证△AFB ≌△BDC ，则AF ＝3＝BD, BF ＝CD ＝2＋3＝5，∴DF ＝5＋3＝8＝AE ，在直角△AEC 中，勾股定理得．5．【答案】C【解析】高在△ABC 内部，第三边长为14；高在△ABC 外部，第三边长为4，故选C ． 6．【答案】C【解析】解：根据题意：第一个正方形的边长为2；第二个正方形的边长为：；第三个正方形的边长为：，…第n 个正方形的边长是，所以S 2018的值是（）2012，故选C. 二．填空题 7．【答案】169或119；【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边． 8．【答案】2cm≤x≤3cm；【解析】由题意可知BC=5cm ，AC=12cm ，AB=13cm ．当木棒垂直于底面时露在杯子外面的部分长度最长为，15-AC=15-12=3cm ，当木棒与AB 重合时露在杯子外面的部分长度最短为15-AB=15-13=2cm.9．【答案】8；【解析】如图所示：有8个点满足要求．6x =1168433022⨯⨯+⨯⨯=3l 2l 3l 2228+2=68AC =10．【答案】25；【解析】根据题意，结合勾股定理a 2+b 2=13，四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，联立解得：（a+b ）2=13+12=25． 11．【答案】； 【解析】连接BE ，设AE ＝，BE ＝DE ＝，则，． 12．【答案】36.【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC===5，在△ACD 中，AC 2+CD 2=25+144=169=AD 2， ∴△ACD 是直角三角形， ∴S 四边形ABCD =AB •BC+AC •CD =×3×4+×5×12 =36．故答案是：36．三．解答题 13．【解析】解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE+DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1， DE===，∴OD 的最大值为：+1．78cm x 4x -()22234x x +=-78x =14．【解析】解：如图所示：15．【解析】∴A城受沙尘暴影响的时间为15小时.勾股定理的逆定理（提高）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力. 【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如）.（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、（2019春•咸丰县月考）如图所示，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ 的面积为多少 cm 2.a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ≠+222a b c +<222a b c +>c 222x y z +=x y z 、、a b c 、、t at bt ct 、、22121n n n -+，，1,n n >2222,21,221n n n n n ++++n 2222,,2m n m n mn -+,m n m n >、【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．【答案与解析】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．2、如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判断△DEC的形状，并说明理由；（2）求∠ADB的度数．【思路点拨】把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°，注意旋转只是三角形的位置变了，三角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度60°，因此出现等边△BDE，从而才能更有利的判断三角形的形状和求∠ADB的度数．【答案与解析】解：（1）根据图形的旋转不变性，AD=EC ，BD=BE ，又∵∠DBE=∠ABC=60°，∴△ABC 和△DBE 均为等边三角形， 于是DE=BD=3，EC=AD=4， 又∵CD=5，∴DE 2+EC 2=32+42=52=CD 2； 故△DEC 为直角三角形．（2）∵△DEC 为直角三角形， ∴∠DEC=90°，又∵△BDE 为等边三角形， ∴∠BED=60°，∴∠BEC=90°+60°=150°， 即∠ADB=150°．【总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结论． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝CD ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．【答案】解：连接BD ．∵ CD ⊥CP ，且CD ＝CP ＝2，∴ △CPD 为等腰直角三角形，即∠CPD ＝45°． ∵ ∠ACP+∠BCP ＝∠BCP+∠BCD ＝90°， ∴ ∠ACP ＝∠BCD ． ∵ CA ＝CB ，∴ △CAP ≌△CBD(SAS)， ∴ DB ＝PA ＝3．在Rt △CPD 中，．又∵ PB ＝1，则．∵ ，∴ ，∴ △DPB 为直角三角形，且∠DPB ＝90°， ∴ ∠CPB ＝∠CPD+∠DPB ＝45°+90°＝135°． 类型二、勾股定理逆定理的应用22222228DP CP CD =+=+=21PB =29DB =22819DB DP PB =+=+=3、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足，且a +b +c =12，请你探索△ABC 的形状． 【答案与解析】 解：令=k ． ∴a +4=3k ，b +3=2k ，c +8=4k ，∴a =3k ﹣4，b =2k ﹣3，c =4k ﹣8． 又∵a +b +c =12，∴（3k ﹣4）+（2k ﹣3）+（4k ﹣8）=12， ∴k=3．∴a =5，b =3，c =4． ∴△ABC 是直角三角形．【总结升华】此题借用设比例系数k 的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状． 举一反三：【变式】（2018春•渝中区校级月考）△ABC 的三边a 、b 、c 满足|a+b ﹣50|++（c﹣40）2=0．试判断△ABC 的形状是 ． 【答案】直角三角形． 解：∵|a+b ﹣50|++（c ﹣40）2=0，∴，解得，∵92+402=412，∴△ABC 是直角三角形． 故答案为直角三角形．4、如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A 发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN 线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里，缉私艇B 测得C 与其距离为12海里，若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？438324a b c +++==438324a b c +++==【答案与解析】解：∵ ，∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°． 又BD ⊥AC ，可设CD ＝，∴①－②得，解得．∴ ≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．【巩固练习】一．选择题 1．（2019春•平武县校级月考）下列各组数中，可以构成勾股数的是（ ） A ．13，16，19B ．，，C ．18，24，36D ．12，35，372．（2018春•凉山州期末）△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A.a ：b ：c=1：1 B.∠A ：∠B ：∠C=3：4：5 C.（a+b ）（a ﹣b ）=c D.∠A ：∠B ：∠C=1：2：322三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2．③若△ABC 中，a 2﹣b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．④222222251216913AB BC AC +=+===x 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②2216926119x x x -+-=14413x =1441441313169÷=25．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）6． 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：①能组成一个三角形 ②能组成直角三角形 ③能组成直角三角形 ④三个内角的度数之比为3：4:5能组成一个三角形 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二．填空题7．若△ABC 中，，则∠B ＝____________．8．（2019春•罗定市期中）若△ABC 的三边长分别为x +1，x +2，x +3，要使此三角形成为直角三角形，则x= ．9．若一个三角形的三边长分别为1、、8(其中为正整数)，则以、、为边的三角形的面积为______． 10．△ABC 的两边分别为5，12，另一边为奇数，且是3的倍数，则应为______，此三角形为______． 11．（2018春•寿县期中）在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度以每小时15海里速度前进，2小时后，甲乙两船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏东___________度． 12． 如果线段能组成一个直角三角形，那么________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)．三．解答题 13．（2018秋•广州校级期末）如图，已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD ，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=300m ，AD=400m ，CD=1300m ，BC=1200m ．请计算种植草皮的面积．c b a ,,c h 222,,c b a 222111,,a b c hb a 1,1,1()()2b a b ac -+=a a 2a -a 2a +a b ，c a b c ++c a b c ，，2,2,2cb a14．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．三角形的面积与周长的比值（2）若a+b﹣c=m，则猜想=（并证明此结论）．15．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【答案与解析】一．选择题1．【答案】D【解析】判断一组数是不是勾股数时，应先判断他们是否都是正整数，在验证他们平方间的关系，所以只有D项满足．2．【答案】B．3．【答案】A；sl【解析】由2n 2+2n+1＞2n 2+2n ，且2n 2+2n+1＞2n+1，得到2n 2+2n+1为最长的边，∵（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=1+4n+8n 2+8n 3+4n 4，（2n 2+2n+1）2=1+4n+8n 2+8n 3+4n 4∴（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=（2n 2+2n+1）2∴△ABC 为直角三角形． 4．【答案】C ；【解析】①c 不一定是斜边，故错误；④若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则（a+b ）（a﹣b ）≠c 2，故错误． 5．【答案】C ；【解析】． 6．【答案】B ；【解析】因为，两边之和等于第三边，故不能组成一个三角形，①错误；因为，所以．又因为．得．两边同除以，得②正确；因为，所以③正确，360°×=150°，最大角并不是90°，所以④错误． 二．填空题7．【答案】90°；【解析】由题意，所以∠B=90°．8．【答案】2；【解析】由题意得：（x +1）2+（x +2）2=（x +3）2，解得：x 1=2，x 2=﹣2（不合题意，舍去）. 9．【答案】24；【解析】∵7＜＜9，∴＝8． 10．【答案】13；直角三角形； 【解析】7＜＜17． 11．【答案】30；【解析】解：由题意得：甲船的路程：AO=8×2=16，乙船的路程：BO=15×2=30，∵302+162=342， ∴∠AOB=90°，∵AO 是北偏东60°方向， ∴BO 是南偏东30°． 故答案为：30．22222272425152025+=+=，222a b c +=222,,c b a ab ch =ab c h =222a b c +=22222a b a b h+=22a b 222111a b h +=2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭512222b ac =+a a c12．【答案】能；【解析】设为斜边，则，两边同乘以，得，即 ． 三．解答题13．【解析】解：连接BD ，在Rt △ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2=3002+4002=5002，在△CBD 中，CD 2=13002，BC 2=12002，而12002+5002=13002，即BC 2+BD 2=CD 2，则∠DBC=90°，S 四边形ABCD =S △BAD +S △DBC AD •BD+BD •BC=360000m 2．答：种植草皮的面积是360000m 2．14．【解析】（1）解：∵S=×3×4=6，L=3+4+5=12，∴==，∴同理可得其他两空分别为1，；c 222c b a =+41222414141c b a =+222)2()2()2(c b a =+s l（2）； 证明：∵a +b ﹣c =m ，∴a +b =m +c ，∴a 2+2ab +b 2=m 2+2mc +c 2，又∵a 2+b 2=c 2，∴2ab =m 2+2mc ，∴S==m （m +2c ）， ∴==． 15．【解析】（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）解：答案如图所示．（3）证明：连接EC，∵△ABC ≌△DBE ，∴AC=DE ，BC=BE ，∵∠CBE=60°，∴EC=BC ，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC 2+EC 2=DE 2，∴DC 2+BC 2=AC 2．即四边形ABCD 是勾股四边形．4s m l =2ab 12ab s l a b c =++1(2)4m m c m c c+++4m《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若时，△ABC 是锐角三角形；若时，△ABC 是钝角三角形．a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：.【思路点拨】由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1)，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF′＝90°．∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵ ∠ACF′＝∠BCF ，∴ ∠ECF′＝45°． 222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a b c 、、a b c <<2a b c =+2729222AE BF EF +=222AE BF EF +=在△ECF 和△ECF′中∴ △ECF ≌△ECF′(SAS)，∴ EF ＝EF′．在Rt △AEF′中，，∴ ．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：.【答案】解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC ＝AD ，故点A 转至点C ．点B 转至点E ，连结BE ．∵ BD ＝DE ，∠BDE ＝60°∴ △BDE 为等边三角形，BE ＝BD易证△DAB ≌△DCE ，∠A ＝∠2，CE ＝AB∵ 四边形ADCB 中∠ADC ＝60°，∠ABC ＝30°∴ ∠A ＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A ＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴∴2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°222AE F A F E ''+=222AE BF EF +=222BD AB BC =+222BC CE BE +=222BC AB BD +=【答案与解析】 解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使CE=CP ，连结EP ，EB在△APC 和△BEC 中∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8又∵PB 2=1，BE 2=9∴PE 2+ PB 2= BE 2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB 、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合即△APC ≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2019春•丰城市期末）如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．【思路点拨】连接AC ，在直角三角形ABC 中，由AB 及BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD 及CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD 为直角三角形，根据四边形ABCD 的面积=直角三角形ABC 的面积+直角三角形ACD 的面积，即可求出四边形的面积．【答案与解析】解：连接AC ，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC 为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC 2=25，又∵CD=12，AD=13，∴AD 2=132=169，CD 2+AC 2=122+52=144+25=169，∴CD 2+AC 2=AD 2，∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°，则S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =AB •BC +AC •CD=×3×4+×5×12=36．故四边形ABCD 的面积是36． PCA ECB AC BC PC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC 中点G ，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵ ∠ABG=∠HCG ，BG=CG ，∠AGB=∠HGC∴ △GAB ≌△HCG∴ ∠GAB=∠H ，AB=CH又∵ AB=AD ，∠B=∠D ，BG=DE∴ △ABG ≌△ADE∴ ∠GAB=∠DAE在中，设，由勾股定理得：∴ AF=HF∴ ∠FAH=∠H∴ ∠FAH=∠DAE∴ ∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD ，一般方法是在∠BAF 中取一个角使之等于∠EAD ，再证明另一个角也等于∠EAD ，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角. 举一反三：【变式】（2018春•防城区期末）如图所示，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？Rt ADF △AD a =222222325()41654AF AD DF a a a AF a =+=+==∴【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ．∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得： ．∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．222228006001000000GB GH BH =+=+=222223425ED AE AD =+=+=。

3 勾股定理的应用1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．假设计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，假设计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．谈重点 长方体外表上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】 如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个外表都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的外表爬行到右侧外表上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s ．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？解：如图②，在Rt△ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm.又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ，∴它从点A 沿着正方体的外表爬行到点B 处，需要时间为52＝2.5 s. 小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．【例1－2】 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的外表爬到对角顶点C 1处(三条棱长如下列图)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解：蚂蚁由A点沿长方体的外表爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC1中，AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.故AC1＝5.如图②，在Rt△ACC1中，AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.如图③，在Rt△AB1C1中，AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.点技巧巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行局部展开，画出局部的展开图，假设将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其外表看两点之间的连线绝大局部是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A 处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它成心不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，那么对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线．在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π cm.∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离此题文字表达较多，要求在阅读的根底上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB 剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的外表由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数〞转化为定理中的“形〞，再转化为“数〞．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．解决几何体外表上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】 如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm ，底面周长为60 cm ，在外侧距下底1 cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm 的点F 处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.那么蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30 cm ，MC ＝SB ＝DF ＝1 cm ，所以MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt△MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，所以SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的根底．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】 如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？解：设CD＝x cm，由题意知DE＝x cm，BD＝(8－x) cm，AE＝AC＝6 cm，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝10 cm.于是BE＝10－6＝4 cm.在Rt△BDE中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.故CD的长为3 cm.。

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1 探索勾股定理1.勾股定理的探索如图,在单位长度为1的方格纸中画一等腰直角三角形，然后向外作三个外正方形：观察图形可知：（1）各正方形的面积:正方形①的面积S1为1,正方形②的面积Ｓ2为１,正方形③的面积Ｓ3为2;(2)各正方形面积之间的关系:S１＋S2＝Ｓ３;（3)由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是:两直角边的平方和等于斜边的平方.【例1】如图,Rt△ABC在单位长度为1的正方形网格中，它的外围是以它的三条边为边长的正方形.回答下列问题:(１)a2=_＿＿_＿____＿,b2＝__________, c2＝_＿＿___＿＿__;(2)a，b,c之间有什么关系?（用关系式表示)分析:ａ2等于以ＢC为边长的正方形的面积16，b2等于以AC为边长的正方形的面积９,c2等于以AB为边长的正方形的面积25.解:(１)１6 9 25 （2)a2＋b２＝ｃ2．释疑点网格中求正方形的面积求以AB为边长的正方形的面积时，可把它放到以正方形格点为顶点的正方形CDＥF(如图）中去,它的面积等于正方形CDＥＦ的面积减去它外围的４个小直角三角形的面积.2.勾股定理(1)勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾（ａ)和股（b)分别表示直角三角形的两条直角边,用弦（c）来表示斜边．(２）勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即：勾2＋股2＝弦2。

勾三股四弦五——《勾股定理》
在中国古代，大约是公元前十一世纪战国时期，西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。

商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。

”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。

以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。

这就是著名的勾股定理，也称为“商高定理”。

数学家刘徽（公元263年）作《九章算术注》时，依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。

刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。

开方除之，即弦也。

”上述内容直白表达就是，青朱两个正方形经过分割、拼合成以弦长为边长的新正方形，重点在于新形成的正方形是在原来两个正方形基础上拼合而成，这就完全适合直角三角形两条
直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。

用勾（a）和股（b）相乘（a×b）等于
两块红色三角形的面积，乘以二（2ab）即
为四块红色三角形的面积，以勾（a）股（b）
的差（b-a）再平方即为中间的黄色正方形，
所有四个红色三角形的面积加这个黄色正方形的面积，即为弦（c）为边长的正方形的面积。

数学表达式为：c2=(a-b)2+2ab=a2+b2-2ab+2ab=a2+b2
1。

第1章 勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A A D BC CB D A。

八年级上册第一章《勾股定理》复习要点知识点一：勾股定理要点：⑴.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，a 2 +b 2 =c 2 ，⑵.历史文化： 勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。

⑶格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得 c 2 =a 2 +b 2 =82 +152 =64+225=289 ∵C ＞0 ∴C=17【典例精析】1．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．3．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形， 这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而c 2＝ ＋ ． 化简后即为 c 2＝ ．知识点二：直角三角形的判别要点; *如果三角形三边长为a 、b 、c ，c 为最长边，只要符合a 2 +b 2 =c 2 ，这个三角形是直角三角形。

（勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件）AC160abc图1－1 【典例精析】1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A.5、6、7 B.1、4、9 C.5、12、13D.5、11、122、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A.b 2=c 2－a 2B.a ∶b ∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A －∠BD.∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶1553、三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是 三角形。

4、将直角三角形的三条边同时扩大4倍后，得到的三角形为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定5．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？知识点三：勾股定理的综合应用【典例精析】1、如图1－1，在钝角ABC 中，CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，AD BC ⊥于D ，求AD 的长。

八年级上册数学各章节知识梳理八年级上册数学各章节知识梳理【一】整体分析1、掌握勾股定理及其逆定理，会利用它们解决一些实际问题。

2、正确理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本运算，并能熟练地进行二次根式的化简。

3、掌握二次根式加、减、乘、除的运算法则，能够进行二次根式的运算。

掌握二次根式的化简，进一步提高学生的运算能力。

4、理解二元一次方程组，会正确求解。

能利用二元一次方程组解决实际问题。

5、理解相似一次函数的概念，掌握一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。

【二】教材分析本学期教学内容共计六章：《勾股定理》、《实数》、《位置与坐标》、《一次函数》、《二元一次方程组》、《数据的分析》。

第一章：《勾股定理》的主要内容是勾股定理的探索和应用。

其中勾股定理的应用是本章教学的重点。

《实数》：主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的概念和运算。

本章的内容虽然不多，但在初中数学中占有十分重要的地位。

本章的教学重点是平方根和算术平方根的概念和求法，教学难点是算术平方根和实数两个概念的理解。

《位置与坐标》：主要内容是生活中一些简单几何图形的平移和旋转。

简单几何图形的平移是本章教学的重点，简单图案的设计是本章的难点。

《一次函数》：的主要内容是介绍函数的概念，以及一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。

其中一次函数的图像的表达式是本章的重点和难点。

《二元一次方程组》：要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组来解一些实际的问题。

第六章《数据的分析》主要讲述平均数和中位数、众数的概念，会求平均数和能找出中位数及众数。

【三】重要时间节点第一次月考一般在九月底，考试内容为前两章，勾股定理和实数；期中考试一般在十月底，考试前四章内容，主要内容是实数计算和一次函数。

由勾3、股4、弦5所想到的老师：大家知道，32+42=52，那么若3个连续的正整数a，b，c(a＜b＜c)满足a2+b2=c2，是否只有3，4，5一种情况？我说：是的.理由是：设b=x，则a=x－1，c=x+1(x＞1，且x为整数），于是有(x-1)2+ x2=(x+1)2，整理，得x2－4x=0. 因为x＞1，所以两边同时除以x，得x－4=0，解得x=4.所以a=3，b=4，c=5.所以符合这种关系的3个连续的正整数只有3，4，5这一种情况.老师：很好！说得非常精彩！大家再想一想：等式“32+42=52”中的左边是2个数，右边是1个数，左边比右边多一个数，即3个连续的正整数中较小的两个数的平方和等于最大数的平方，那么，5个连续的正整数有没有类似的规律呢？看同学们半天也没有反应，老师启发道：是否存在5个这样的正整数，使其中较小的3个数的平方和等于较大的2个数的平方和呢？我说：设这5个连续的正整数分别为x－2，x－1，x，x+1，x+2(x＞2，且x为整数），则有(x－2)2+(x－1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2.整理，得x2－12x=0.因为x＞2，所以两边同时除以x，得x－12=0，解得x=12.所以5个连续的正整数为10，11，12，13，14，即有102+112+122=132+142.老师：豪康同学说得非常棒！那么7个连续的正整数，情况又怎样？王瑜：设这7个连续的正整数分别为x－3，x－2，x－1，x，x+1，x+2，x+3(x＞3，且x为整数），则有(x－3)2+(x－2)2+(x－1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2.整理，得x2－24x=0.因为x＞3，所以两边同时除以x，得x－24=0，解得x=24.所以7个连续的正整数为21，22，23，24，25，26，27，即有212+222+232+242=252+262+272.老师：王瑜同学说得很好！由此我们猜想出有下面的结论：存在2k+1个连续的正整数，使其中较小的(k+1)个数的平方和等于较大的k个数的平方和，验证过程留给同学们课后去解答.本文档仅供文库使用。

1.1探索勾股定理勾股定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征——三角形中一个角是直角，转化成数量关系——三边之间满足222b a c +=。

利用它可以解决直角三角形中的许多计算问题，是解直角三角形的主要根据之一。

它在理论上有重要的地位，在实际中有很大的用途，因而这一节课的教学就显得相当重要。

对“勾股定理”的教学，笔者做如下的设计：一、复习性导语，自然引入(时间：7—8分钟)我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。

对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。

那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。

这一段导语的目的是，既复习旧知识：三角形两边之和大于第三边，又很自然地引出新问题：勾股定理。

这时，让学生带着问题去阅读课文的第一、二自然段。

二、拼图证明，直观易懂(时间：13—15分钟)勾股定理的证明方法很多，采用哪种方法直观易懂地使定理得到证明，是本节课教学的难点，为解决这个难点，我们设计这样一则填空题：用两直角边是a 、b ，斜边是c 的四个全等直角三角形拼成图1。

观察图形并思考、填空：1．拼成的图中有_______个正方形，______个直角三角形。

2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。

3．图中大正方形的面积为_______，小正方形的面积为_______，四个直角三角形的面积为_______。

4．从图中可以看到大正方形的面积等于小正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，于是可列等式为_______，将等式化简、整理，得_______。

学生讨论、回答，教师及时点拨，并适时引导，使学生正确地完成填空题。

对于勾股定理的证明，我们没有采用教师讲解的方法去完成，而是设计了一组思考填空题，让学生在思考、填空的过程中完成该定理的证明。

第1章 勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么22c a b +，22b c a -，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比拟，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕；2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比拟而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A。

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生活处处有勾股例1 小明把一根长为160㎝的细铁丝剪成三段，做成一个等腰三角形风筝的边框ABC （如图1)，已知风筝的高AD ＝40㎝，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？解：因为AB ＝AC,AD⊥BC，所以BD ＝DC 。

又因为AB ＋AC ＋BC ＝160㎝,所以AB ＋BD ＝21×160＝80(㎝）．设AB ＝x ㎝，则BD ＝(80-x ）㎝。

由勾股定理知,222AB BD AD =+，即222)80(40x x =-+,解得50=x ．所以AB ＝AC ＝50㎝，BC ＝60㎝．所以将其折成50㎝，50cm ，60㎝的三段即可。

例2 一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1。

6米，要开进厂门形状如图2所示的某工厂,问：这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）?说说你的理由．解：这辆卡车能通过厂门． 图2理由如下：如图2，MN 为卡车的宽度，连接AB ，过M ，N 作AB 的垂线交半圆于C ，D 两点，连接CD,OD 。

过点O 作OE⊥CD，垂足为E,则CD=MN=1。

6 m ，AB=2 m.因为△OC D 是等腰三角形，OE⊥CD,所以CE=DE=0。

8 m, OC=OA=1 m. 在Rt△OCE 中,OE 2=OC 2-CE 2=12-0。

【八年级】八年级数学上册第一章勾股定理复习教案八年级（上）第一复习勾股定理一、所有要点1、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）2.毕达哥拉斯定理的逆定理如果一个三角形的三条边的长度：a，B，C，有一个关系式A2+B2=C2，那么这个三角形就是一个直角三角形。

3、勾股定理的证明常见方法如下：方法一：可以证明简化方法二：四个直角三角形的面积和一个小正方形的面积之和等于一个大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为所以这个大广场的面积是方法三：，，化简得证4.共谋次数记住共谋次数可以提高问题解决的速度，例如；；；；8,15,17；9,40,41等二、经典训练（一）多项选择题：1.下列说法正确的是（）a、如果a、B和C是△ ABC，A2+B2=C2；b.若a、b、c是rt△abc的三边，则a2＋b2＝c2；c、如果a、B和c是RT的三个边△ ABC，则A2+B2=C2；d.若a、b、c是rt△abc的三边，，则a2＋b2＝c2．2.如果△ ABC分别是，，，那么下面的形式是正确的（）a． b. c. d.3.如果直角三角形的一条右边的长度是9，而另两条边是连续的自然数，则直角三角形的周长是（）a．121b．120c．90d．不能确定4.在△ ABC，ab=15，AC=13，高度ad=12，然后是△ ABC是（）a．42b．32c．42或32d．37或33（二）填空：5．斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是．6.如果三角形是直角三角形，则三条边和应符合要求，且边是直角的对边；如果三角形的三条边满足，那么三角形就是一个三角形，其中边是边，与边相对的角度是7．一个三角形三边之比是，则按角分类它是三角形．8.如果三角形的三个内角之比为，最短边长为，最长边长为，则三角形的三个角的度数分别为，另一侧的平方为9．如图，已知中，，，，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是．10.如果矩形的一侧为，其面积为，则其一条对角线为二、综合发展:11.如图所示，对于高宽闸门，需要在对角线顶点之间加固木条，以确定木条的长度12.一个三角形三条边的长分别为，，，这个三角形最长边上的高是多少？13.如图所示，小李打算建一个蔬菜棚，宽4米，高3米，长20米。

勾股定理赏“新”悦目1. 操作型例1 （2016年烟台）如图1，O为数轴原点，A，B两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数是_________.分析：由“等腰三角形三线合一”得到OC⊥AB，根据勾股定理可计算出M对应的实数可确定．解：因为△ABC为等腰三角形，OA=OB=3，所以OC⊥AB.在Rt△OBC中，因为以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，所以，即点M2. 规律探索型例2 （2016年青海）如图2，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……，照此规律继续下去，则S9的值为（）A．621⎪⎭⎫⎝⎛B．721⎪⎭⎫⎝⎛C．622⎪⎪⎭⎫⎝⎛D．722⎪⎪⎭⎫⎝⎛分析：根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可推出2S2=S1，2S3=S2，根据数的变化找出变化规律，得S n=321-⎪⎭⎫⎝⎛n，依此规律即可得出结论．解：在图中标上字母E，如图2所示．因为正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，所以DE2+CE2=CD2，DE=CE.所以2S2=S1．观察图形可发现规律，S1=22=4，S2=12S1=2，S3=12S2=1，S4=12S3=12，……，所以S n=321-⎪⎭⎫⎝⎛n．当n=9时，S9=3921-⎪⎭⎫⎝⎛=621⎪⎭⎫⎝⎛.故选A.图2 图1 O （0）。

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《探索勾股定理》方法学习【例1】 在△ABC 中,已知∠Ｂ=９0°，∠A、∠Ｂ、∠C 的对边分别是ａ、b 、c,且a ＝５,ｂ＝1２，求c 2. 【分析】由∠B=9０°,知ｂ才是斜边(如图）,所以a 2+c 2= b 2,注意不要受思维定势(勾股定理的表达式:)的影响而误认为c 是斜边【解答】由∠B=９0°，则知ｂ是Rt△ABC 的斜边， 由勾股定理,得c 2=22b a -=22125-=119.【总结】我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角,从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行求解.【例2】如图,在△ABＣ中,ＡB = ２５，AC = 30，BC 边上的高AD= 24，求BC 的长.【分析】本例不能直接求出BC 的长，但通过观察图形可以发现BC边上的高AD 把△ABC 分成了两个直角三角形,可以分别在两个直角三角形中救出ＢD 、DC 的长,从而救出BC 的长.【解答】在直角三角形AB Ｄ中,由勾股定理，得 B Ｄ 2=AB 2－AD 2＝２52－242=49,所以ＢD=7 ； 在直角三角形ＡＤＣ中，由勾股定理,得CD ２=ＡC ２－ＡD 2＝302－242＝32４，所以CD ＝1８. 所以，BC = BD ＋ D Ｃ = 7 + １8 = 25。

探索天地由勾3、股4、弦5所想到的◎左豪康左丁政老师：大家知道，32+42=52，那么若3个连续的正整数a，b，c(a＜b＜c)满足a2+b2=c2，是否只有3，4，5一种情况？我说：是的.理由是：设b=x，则a=x－1，c=x+1(x＞1，且x为整数），于是有(x-1)2+ x2=(x+1)2，整理，得x2－4x=0. 因为x＞1，所以两边同时除以x，得x－4=0，解得x=4.所以a=3，b=4，c=5.所以符合这种关系的3个连续的正整数只有3，4，5这一种情况.老师：很好！说得非常精彩！大家再想一想：等式“32+42=52”中的左边是2个数，右边是1个数，左边比右边多一个数，即3个连续的正整数中较小的两个数的平方和等于最大数的平方，那么，5个连续的正整数有没有类似的规律呢？看同学们半天也没有反应，老师启发道：是否存在5个这样的正整数，使其中较小的3个数的平方和等于较大的2个数的平方和呢？我说：设这5个连续的正整数分别为x－2，x－1，x，x+1，x+2(x＞2，且x为整数），则有(x－2)2+(x－1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2.整理，得x2－12x=0.因为x＞2，所以两边同时除以x，得x－12=0，解得x=12.所以5个连续的正整数为10，11，12，13，14，即有102+112+122=132+142.老师：豪康同学说得非常棒！那么7个连续的正整数，情况又怎样？王瑜：设这7个连续的正整数分别为x－3，x－2，x－1，x，x+1，x+2，x+3(x＞3，且x为整数），则有(x－3)2+(x－2)2+(x－1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2.整理，得x2－24x=0.因为x＞3，所以两边同时除以x，得x－24=0，解得x=24.所以7个连续的正整数为21，22，23，24，25，26，27，即有212+222+232+242=252+262+272.老师：王瑜同学说得很好！由此我们猜想出有下面的结论：存在2k+1个连续的正整数，使其中较小的(k+1)个数的平方和等于较大的k个数的平方和，验证过程留给同学们课后去解答.。